容斥原理

例2 有100位旅客，其中10人不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，83人懂 俄语，既懂英语又懂俄语的有多少人？
①这个题目中告诉的量有重复的，也有独立的，这时我们可以这样来画图表示：
75+83+10-100＝68（人） 答：既懂英语又懂俄语的有68人。
例2 有100位旅客，其中10人不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，83人懂 俄语，既懂英语又懂俄语的有多少人？
=总数－[（一项）＋（一项）－（两项） [两项都没 （一项）＋（一项）－（两项） ]＋两项都没=总数]
=4（人） 40－（25＋19－8） 答：没有采集标本的有4人。
1.某班有48人，其中37人做完了语文作业，42人做完了数学作业，语 文、数学作业都没做完的人一个也没有。这个班语文、数学作业都做 完的有多少人？
75＋83＋10－100 =68（人） 答：既懂英语又懂俄语的有68人。
小 结
1.只有两个部分的包含排除问题中，总量的求法： 求独立的部分之和； 有重复部分的两个量的和减去重复部分。
2.公式：
（一项）＋（一项）－（两项）＋两项都没=总数
尝试训练二
京华小学五年级的学生采集标本，采集昆虫标本的有 25人，采集植物 标本的有19人，两种标本都采集的有8人，全班学生共有40人，没有 采集标本的有多少人？
容斥原理
王老师有一次统计一下她班级里的一次考试的成绩。语文得优秀的同学有 22人。数学得优秀的有25人。可是她发现不对？她们班总共只有30名同学，
可是现在却是22+25，怎么就有47名同学了呢？
所以，我们在计数的时候，一定要把重复的部分去掉。这也就是 我们这一节课的精髓——包含与排除问题。
例1
某校艺术团的小演奏家们，每人都至少会演奏小提琴和钢琴中
短跑 17 游泳 18 篮球 15 短跑和游泳 6 游泳和篮球 6 篮球和短跑 5 短跑、游泳 和篮球 2
动手画韦恩图，然后分析数据，理解韦恩图中各个部分的数学意义。
除了4个学生三个项目都没有达到优秀外，其余学生每人至少有一项优 秀，用韦恩图表示为：
例5
某小学45名学生参加数学、作文、美术竞赛，有21ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ参加数学
竞赛，15人参加作文竞赛，其中7人既参加作文竞赛又参加数学竞赛， 3人既参加作文竞赛又参加美术竞赛，但没有一人既参加数学竞赛又参 加美术竞赛。 （1）只参加数学竞赛的有（ （2）只参加作文竞赛的有（ （3）只参加美术竞赛的有（ ）人； ）人； ）人；
这里有3个量，所以要用3个圆圈来表示，再根据题目的意思，我们知道数学与 作文有交叉，作文与美术有交叉，但美术与数学没有交叉。所以，我们可以画 图如下： A 数学 D E 作文 B 美术 C
和，还应该知道哪些量，怎么运算？
（D，G，用A+B-D-G，因为D、G两部分加起来就是黑色圈与 棕色圈相交的部分） (3)假如知道了黑色圈、棕色圈、绿色圈这三个圈所表示的数字， 要求这三个圈的和，我们应该怎么办呢？
尝试训练三
一个工厂有一批工人，每人至少会一门技术，其中会开车床的有 235 人，会开铣床的有218人，会开刨床的有207人，既会开车床又会开铣 床的有112人，既会开车床又会开刨床的有71人，既会开铣床又会开 刨床的有63人，三种都会的有19人，这个工厂一共有多少人？
=[（一项）＋（一项）]＋两项都没－总数 [两项 （一项）＋（一项）－（两项） ]＋两项都没=总数
37＋42＋0－48 =31（人）
2.在87人中，会下中国象棋的有68人，会下国际象棋的有50 人，两种象棋都不会下的有10人。两种象棋都会下的有几人？
1.只有两个部分的包含排除问题中，总量的求法：
①求独立的部分之和，
②有重复部分的两个量的和减去重复部分。 2.理解韦恩图中各个部分的数学意义是解题关键。 3.公式 （一项）＋（一项）－（两项）＋两项都没=总数
(1)假如知道黑色的圈所代表的数量，要求A所表示的数量，我
们还必须这里面的哪些量？
（D，F，G） (2)假如知道了黑色圈与棕色圈所代表的数字，要求这两个圈的
①这个题目中告诉的量有重复的，也有独立的，这时我们可以这样来画图表示：
[（一项）＋（一项）－（两项）]＋两项都没=总数 （一项）＋（一项）－（两项）=总数
例2 有100位旅客，其中10人不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，83人懂 俄语，既懂英语又懂俄语的有多少人？
[（一项）＋（一项）－（两项） ]＋两项都没=总数 两项=（一项）＋（一项）＋两项都没－总数
和中减去重复的量。
（一项）＋（一项）－（两项）=总数
尝试训练一
一个班有42名学生都订了《中国少年报》和《小学生报》两种报纸， 订阅《中国少年报》有32人，订阅《小学生报》有27人，至少有多少 人订阅两种报纸？
（一项）＋（一项）－（两项） 两项=（一项）＋（一项）－总数 =总数
32＋27－42 =17（人）
小 结
1.当两个计数部分有重复时，为了不重复计数，应该从它们的 和中减去重复部分。这一原理，就是包含与排除原理。 2.用包含与排除原理解决问题有两种方法： 第一种方法是：先把有重复的计数部分处理成没有重复的计数 部分，然后把几个不重复的计数部分相加。 第二种方法是：先把有重复计数部分的几个量相加，再从这个
的一种，他们中有32人会拉小提琴，27人弹钢琴，小提琴和钢琴都能 演奏有11人，这个团共有多少个演奏家？
分 析
解法一：只会拉小提琴的：32-11＝21（人）
只会弹钢琴的：27-11＝16（人） 全团总人数：21+16+11＝48（人） 解法二：32+27-11＝48（人） 答：这个团共有48个小演奏家。
[（一项和）－（两项） ]＋两项都没 =总数 =总数 （一项）＋（一项）－（两项） ]＋两项都没 [（一项和）－（两项和）＋三项]＋三项都没=总数 235＋218＋207－（112＋71＋63）＋19 =433（人）
例4
某班全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目测试，有4个学生
在这三个项目都没达到优秀，其余学生每人至少有一项达到优秀，这部分 学生达到优秀项目的人数如下表。求这个班的学生人数。
短跑 17 游泳 18 篮球 15 短跑和游泳 6 游泳和篮球 6 篮球和短跑 5 短跑、游泳 和篮球 2
[（一项和）－（两项和）＋三项]＋三项都没=总数
17＋18＋15－（6＋6＋6）＋2＋4 =39（人）
例4
某班全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目测试，有4个学生
在这三个项目都没达到优秀，其余学生每人至少有一项达到优秀，这部分 学生达到优秀项目的人数如下表。求这个班的学生人数。