成都市石室中学2020届高三上学期10月月考数学(文)试题(Word版含解析)

成都市石室中学2019~2020学年度上期高三10月月考数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分.）1.已知集合{|(1)(2)0},{|0}=--≤=>M x x x N x x ，则（ ） A. N M ⊆ B. M N ⊆ C. M N ⋂=∅ D. M N R =U【答案】B【详解】由题意知：()(){}{}12012M x x x x x =--≤=≤≤，则M N ⊆ 本题正确选项：B2.已知i 为虚数单位，则232019i i i i ++++L 等于（ ） A. i B. 1 C. i - D. 1- 【答案】D【详解】由于234110i i i i i i +++=--+=， 且)ni n N *∈（的周期为4，2019=4504+3⋅， 所以原式=2311i i i i i ++=--=-.故选：D3.已知命题p ：(),0x ∀∈-∞，22310x x -+>，命题q ：若0x ≥，则22310x x -+≤，则以下命题正确的为（ ）A. p 的否定为“[0,)x ∃∈+∞，22310x x -+≤”，q 的否命题为“若0x <，则22310x x -+>”B. p 的否定为“(,0)x ∃∈-∞，22310x x -+≤”，q 的否命题为“若0x <，则22310x x -+>”C. p 的否定为“[0,)x ∃∈+∞，22310x x -+≤”，q 的否命题为“若0x ≥，则22310x x -+>”D. p 的否定为“(,0)x ∃∈-∞，22310x x -+≤”，q 的否命题为“若0x ≥，则22310x x -+>” 【答案】B【详解】p 的否定为“(,0)x ∃∈-∞，22310x x -+≤”，q 的否命题为“若0x <，则22310x x -+>” 故选：B4.已知{}n a 是公差为12的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和.若2a ，6a ，14a 成等比数列，则5S =（ ） A.352B. 35C. 252D. 25【答案】C【详解】因为2a ，6a ，14a 成等比数列，所以226214111151133,()()()2222a a a a a a a =+=++∴=， 因此5311255542222S =⨯+⨯⨯⨯=,选C.5.中国古代数学著作《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．意思是现有松树高5尺，竹子高2尺，松树每天长自己高度的一半，竹子每天长自己高度的一倍，问在第几天会出现松树和竹子一般高？如图所示是源于其思想的一个程序框图，若输入的x ＝5，y ＝2，输出的n 为4，则程序框图中的中应填（ ）A. y ＜xB. y≤xC. x≤yD. x ＝y【答案】C【详解】解：模拟程序的运行，可得x ＝5，y ＝2，n ＝1 x 152=，y ＝4 不满足条件，执行循环体，n ＝2，x 454=，y ＝8，此时，x ＞y ， 不满足条件，执行循环体，n ＝3，x 1358=，y ＝16，此时，x ＞y ，不满足条件，执行循环体，n ＝4，x 40516=，y ＝32，此时，x ＜y ，由题意，此时，应该满足条件，退出循环，输出n 的值为4． 可得程序框图中的 中应填x ≤y ？故选：C ．6.设函数2,1(),12x x f x x x -⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，则满足()()12f f a f a =⎡⎤⎣⎦的a 的取值范围是（ ） A. (,0]-∞ B. [0,2] C. [2,)+∞ D. (,0][2,)-∞+∞U【答案】D【详解】函数2,1(),12x x f x x x -⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，()()12f f a f a =⎡⎤⎣⎦得到()1f a ≥ 当1a <时：()21af a -=≥解得0a ≤，即0a ≤当1a ≥时：()12af a =≥解得2a ≥，即2a ≥ 综上所述：(,0][2,)a ∈-∞+∞U故答案选D7.若直线()24y k x =-+与曲线24y x =-有两个交点，则k 的取值范围是（ ）A. [)1,+∞ B. 31,4⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ C. 3,14⎛⎤⎥⎝⎦D. (],1-∞- 【答案】C 解析：曲线24y x =-可化为，所以图象是以原点为圆心，为半径的圆，且只包括x 轴上方的图象，而直线()24y k x =-+经过定点，当直线与该半圆相切时刚好有一个交点，可以用圆心到直线的距离等于半径，求出临界值，利用数形结合，慢慢将直线绕定点转动，当直线过圆上的一点时，正好有两个交点，此时的，再转动时仍只有一个交点，所以取值范围为3,14⎛⎤⎥⎝⎦，故选C. 8.已知2ln3a =，3ln 2b =，6c e=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. a c b >> B. b c a >> C. c a b >> D. c b a >>【答案】C【详解】由题得ln 9,ln8a b ==， ∴a b >．又633ln 32ln 32(ln 3)2e c a e e e--=-=-=⋅， 设()ln ,0f x x e x x =->，则()1e x e f x x x-'=-=， ∴当0x e <<时，()0,()f x f x '<单调递减； 当x e >时，()0,()f x f x '>单调递增。

∵3e >，∴(3)()f f e >，即3ln3ln 0e e e e ->-=， ∴0c a ->，因此c a >， ∴c a b >>． 故选C ．9.已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα= A. 15 5 3 25【答案】B【详解】2sin 2cos21α=α+Q ，24sin cos 2cos .0,,cos 02π⎛⎫∴α⋅α=αα∈∴α> ⎪⎝⎭Q ． sin 0,2sin cos α>∴α=α，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5∴α=α=，又sin 0α>，sin 5α∴=，故选B ．10.函数2()(1)sin f x x x x x =+-+的零点的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【详解】依题意()()()1sin f x x x x =+-，故1x =-是函数()f x 的零点.构造函数()sin g x x x =-，注意到()00g =，且()'1cos 0g x x =-≥，所以()g x 在R 上递增，只有唯一零点0x =.所以()f x 有两个零点1x =-或0x =.故选B.11.已知双曲线2222:1x y C a b -=（0,0a b >>）的焦距为4，其与抛物线2:E y x =交于,A B 两点，O为坐标原点，若OAB ∆为正三角形，则C 的离心率为（ ）A.2【答案】C【详解】设OAB ∆的边长为2m ，由抛物线和双曲线均关于x 轴对称，可设)),,,Am Bm -，又2m =，故1m =，所以)A ，故22311a b -=，又2c =，即224a b +=，解得a b ==则ce a==故选：C ．12.已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0>ω，||2πϕ„，4π-为()f x 的零点：且()4f x f π⎛⎫⎪⎝⎭„恒成立，()f x 在区间,1224ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上有最小值无最大值，则ω的最大值是（ ） A. 11 B. 13C. 15D. 17【答案】C【详解】由题意知函数()()024f x sin x x ππωϕωϕ⎛⎫=+≤= ⎪⎝⎭＞，， 为y ＝f （x ）图象的对称轴，4x π=-为f （x ）的零点，∴214n +•22ππω=，n ∈Z ，∴ω＝2n +1． f （x ）在区间1224，ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上有最小值无最大值，∴周期T ≥（2412ππ+）8π=，即28ππω≥，∴ω≤16． ∴要求ω的最大值，结合选项，先检验ω＝15，当ω＝15时，由题意可得4π-⨯15+φ＝k π，φ4π=-，函数为y ＝f （x ）＝sin （15x 4π-）， 在区间1224，ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上，15x 4π-∈（32π-，38π），此时f （x ）在x 2π=-时取得最小值，∴ω=15满足题意．则ω的最大值为15， 故选：C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知数列{}n a 满足11a =，11lg lg 2n n a a +=+，则5a =________. 【答案】100【详解】因为1111111lg lg lg lg lg 222n n n n n n n na a a a a a a a ++++=+⇒⇒-===⇒11a =. 所以数列{}n a 为以1为首项为公比的等比数列，即44511100a a q ==⨯=故填：10014.已知112,1,,,1,2,322a ⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，若幂函数()f x x a =为奇函数，且在(0,)+∞上递减，则a =____． 【答案】1-【详解】112,1,,,1,2,322a ⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭Q 幂函数()f x 在(0,)+∞上递减， ∴ 0a <，即12,1,2a ⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭又因为()f x x a=为奇函数，∴ 1a =-． 故答案为：1-.15.已知球O 的内接圆锥体积为23π，其底面半径为1，则球O 的表面积为__________. 【答案】254π【详解】由圆锥体积为23π，其底面半径为1，设圆锥高为h 则221133h ππ=⨯⨯，可求得2h = 设球半径为R ，可得方程：()2221R R --=，解得：54R =25254=164S ππ∴=⨯本题正确结果：254π16.已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，且F 到准线l 的距离为2，直线1l：0x my -=与抛物线C 交于P ，Q 两点（点P 在x 轴上方），与准线l 交于点R ，若||3QF =，则QRF PRFS S ∆∆=________.【答案】67【详解】因为F 到准线l 的距离为2，所以2p =，抛物线C ：24y x =，(1,0)F .设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，因为||3QF =，即22+1=3=2x x ⇒所以2y =-代入直线1l：0m =⇒=所以直线1l为：0x y =由22004x y y y y x ⎧=⎪⇒--=⎨⎪=⎩所以12y y =-，所以12y y -==152x = ，所以2167121==5112QRFPRFS QR QF x S PRPFx ∆∆++===++故填：67三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.在ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，sin 2sin C B =.（1）求BDCD； （2）若1AD AC ==，求BC 的长．【答案】（1）2；（2）322. 【详解】解：（1）由正弦定理可得在ABD ∆中，sin sin AD BDB BAD=∠， 在ACD ∆中，sin sin AD CDC CAD=∠， 又因为BAD CAD ∠=∠，sin 2sin BD CCD B==. （2）sin 2sin C B =，由正弦定理得22AB AC ==， 设DC x =，则2BD x =，则222254cos cos 24AB AD BD x BAD CAD AB AD +--∠==∠⋅，2222222AC AD CD x AC AD +--==⋅. 因为BAD CAD ∠=∠，所以2254242x x --=，解得22x =.32BC x ==.18.随着经济的发展，个人收入的提高.自2018年10月1日起，个人所得税起征点和税率的调整.调整如下:纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额.依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如下表：（1）假如小李某月的工资、薪金所得等税前收人总和不高于8000元，记x 表示总收人，y 表示应纳的税，试写出调整前后y 关于x 的函数表达式； （2）某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表： 先从收入在[)3000,5000及[)5000,7000的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选2人作为新纳税法知识宣讲员，求两个宣讲员不全是同一收入人群的概率； （3）小李该月的工资、薪金等税前收入为7500元时，请你帮小李算一下调整后小李的实际收入比调整前增加了多少？【答案】（1）调整前y 关于x 的表达式为()()0,350035000.03,350050004550000.1,50008000x y x x x x ⎧≤⎪=-⨯<≤⎨⎪+-⨯<≤⎩，调整后y 关于x 的表达式为()0,500050000.03,50008000x y x x ≤⎧=⎨-⨯<≤⎩（2）47（3）220元【详解】解：（1）调整前y 关于x 的表达式为()()0,350035000.03,350050004550000.1,50008000x y x x x x ⎧≤⎪=-⨯<≤⎨⎪+-⨯<≤⎩，调整后y 关于x 的表达式为()0,500050000.03,50008000x y x x ≤⎧=⎨-⨯<≤⎩. （2）由频数分布表可知从[)3000,5000及[)5000,7000的人群中按分层抽样抽取7人，其中[)3000,5000中占3人，分别记为,,A B C ，[)5000,7000中占4人，分别记为1，2，3，4，再从这7人中选2人的所有组合有：AB ，AC ，1A ，2A ，3A ，4A ，BC ，1B ，2B ，3B ，4B ，1C ，2C ，3C ，4C ，12，13，14，23，24，34，共21种情况，其中不在同一收入人群的有：1A ，2A ，3A ，4A ，1B ，2B ，3B ，4B ，1C ，2C ，3C ，4C ，共12种，所以所求概率为124217P ==. （3）由于小红的工资、薪金等税前收入为7500元，按调整起征点前应纳个税为15003%250010%295⨯+⨯=元； 按调整起征点后应纳个税为25003%75⨯=元， 由此可知，调整起征点后应纳个税少交220元， 即个人的实际收入增加了220元， 所以小红的实际收入增加了220元.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，AD BC ∥，12AB BC CD AD ===，G 是PB 的中点，PAD △是等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD .（1）求证：CD ⊥平面GAC ；（2）求三棱锥D GAC -与三棱锥P ABC -的体积之比. 【答案】（1）见详解；（2）1:1.【详解】（1）证明：取AD 的中点为O ，连接OP ，OC ，OB ，设OB 交AC 于H ，连接GH .AD BC ∵∥，12AB BC CD AD ===， ∴四边形ABCO 与四边形OBCD 均为菱形.OB AC ∴⊥，OB CD ∥.CD AC ∴⊥. PAD QV 为等边三角形，O 为AD 中点， PO AD ∴⊥.Q 平面PAD ⊥平面ABCD 且平面PAD I 平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD 且PO AD ⊥， PO ∴⊥平面ABCD .CD ⊂Q 平面ABCD ，PO CD ∴⊥.H Q ，G 分别为OB ，PB 的中点，GH PO ∴∥. GH CD ∴⊥.又GH AC H Q ⋂=，CD \^平面GAC .（2）2D GAC G ADC G ADC P ABC P ABC G ABC V V V V V V ------==1:122ADC ABC S ADS BC===△△. 20.已知函数()()211e xa x x f x ---=（e 为自然对数的底数）. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）求证：当3e a ≥-时，对[)0,x ∀∈+∞，()1f x ≥-. 【答案】（1）见详解；（2）见详解.【详解】（1）()()21exx a x a f x -++'=()()1e x x x a --=，由()0f x '=得1x =或x a =. 当1a =时，()0f x '≥，函数()f x 在(),-∞+∞内单调递增.当1a <时，函数()f x 在(),a -∞，()1,+∞内单调递增，在(),1a 内单调递减. 当1a >时，函数()f x 在(),1-∞，(),a +∞内单调递增，在()1,a 内单调递减. （2）证明：要证[)0,x ∀∈+∞，()1f x ≥-，即证[)0,x ∈+∞，()min 1f x ≥-. ①由（1）可知，当1a >，[)0,x ∈+∞时，()()(){}min min 0,f x f f a =.(0)1f =-，()1e aa f a --=.设()1e a a g a --=，1a >，则()0e aa g a '=>， ()g a ∴在()1,+∞单调递增，故()()211eg a g >=->-，即()1f a >-. ∴()min =1f x -.②当1a =时，函数()f x 在[)0,+∞单调递增，()()min 01f x f ==-.③当3e 1a -≤<时，由（1）可知，[)0x ∈+∞，时，()()(){}min min 0,1f x f f =. 又()01f =-Q ，()()3e 3311e ea f ---=≥=-， ()min 1f x ∴=-.综上，当3e a ≥-时，对[)0,x ∀∈+∞，()1f x ≥-.21.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>过点()0,1A． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)斜率为1的直线l 交椭圆C 于()11,M x y ，()22,N x y 两点，且12x x >．若直线3x =上存在点P ，使得PMN ∆是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形，求直线l 的方程． 【答案】(Ⅰ) 2213x y += (Ⅱ) y=x -1 【详解】（Ⅰ）由题意得2221,.b c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得23a =． 所以椭圆C 的方程为2213x y +=． （Ⅱ）设直线l 的方程为y=x+m ，()3,P P y 由2213x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得2246330x mx m ++-=.令223648480m m ∆=-+>，得22m -<<．1232x x m +=-，()212314x x m =-． 因为PMN ∆是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形，所以NP 平行于x 轴．过M 做NP 的垂线，则垂足Q 为线段NP 的中点．设点Q 的坐标为(),Q Q x y ，则2132Q M x x x x +===．由方程组()12212213231432x x m x x m x x ⎧+=-⎪⎪⎪=-⎨⎪+⎪=⎪⎩，，，解得2210m m ++=，即1m =-． 而()122m =-∈-，， 所以直线l 的方程为y=x-1．22.在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：22(4)4x y +-=.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.（Ⅰ）求圆心C 的极坐标；（Ⅱ）从原点O 作圆C 的弦，求弦的中点轨迹的极坐标方程.【答案】（Ⅰ）4,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭（Ⅱ）4sin ρθ=233ππθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭ 【详解】（Ⅰ）因为22(4)4x y +-=，所以圆心(0,4)C所以圆心C 的极坐标为4,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭（Ⅱ）根据题意知直线斜率不为0，故设直线为x my =联立直线与圆有2222(4)4(1)8120x y m y y x my ⎧+-=⇒+-+=⎨=⎩2=6448(1)0m m ∆-+>⇒<< 所以12281y y m +=+ ，121228()1m x x m y y m +=+=+所以弦的中点坐标为1221224=2143321x x m x m m y y y m +⎧=⎪⎪+-<<⎨+⎪==⎪+⎩①，② ①② 得到x m y = ，再代入②得：241y x y =⎛⎫+ ⎪⎝⎭化简有24x y y += 将222cos ,sin x x y y ρθρρθ=⎧+=⎨=⎩代入有()2cos sin 4sin ρθρθρθ+=，化简得4sin ρθ=又因为m <<即cos sin θθ<< 所以233ππθ<<所以弦的中点轨迹的极坐标方程为4sin ρθ=233ππθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭。