四川省2020年上学期成都石室中学高三数学理开学考试试题(最新精编)可打印
2020年四川省成都市石室中学高考数学一诊试卷(理科)
2020年四川省成都市石室中学高考数学一诊试卷（理科）一．选择题：1．（5分）已知集合{|1}A x N x =∈>，{|5}B x x =<，则(A B = )A ．{|15}x x <<B ．{|1}x x >C ．{2，3，4}D ．{1，2，3，4，5}2．（5分）已知复数z 满足1iz i =+，则z 的共轭复数(z = )A ．1i +B ．1i -CD ．1i --3．（5分）若等边ABC ∆的边长为4，则(AB AC = )A ．8B ．8-C ．D ．-4．（5分）在6(21)()x x y --的展开式中33x y 的系数为( ) A ．50B ．20C ．15D ．20-5．（5分）若等比数列{}n a 满足：11a =，534a a =，1237a a a ++=，则该数列的公比为() A ．2-B ．2C ．2±D ．126．（5分）若实数a ，b 满足||||a b >，则( ) A ．a b e e > B ．sin sin a b >C ．11a ba be e e e +>+D ．))ln a ln b >7．（5分）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，14AA =，2AB =，点E ，F 分别为棱1BB ，1CC 上两点，且114BE BB =，112CF CC =，则( ) A ．1D E AF ≠，且直线1D E ，AF 异面 B ．1D E AF ≠，且直线1D E ，AF 相交 C ．1D E AF =，且直线1D E ，AF 异面 D ．1D E AF =，且直线1D E ，AF 相交8．（5分）设函数21()92f x x alnx =-，若()f x 在点(3，f （3）)的切线与x 轴平行，且在区间[1m -，1]m +上单调递减，则实数m 的取值范围是( ) A ．2m …B ．4m …C ．12m <…D ．03m <…9．（5分）国际羽毛球比赛规则从2006年5月开始，正式决定实行21分的比赛规则和每球得分制，并且每次得分者发球，所有单项的每局获胜分至少是21分，最高不超过30分，即先到21分的获胜一方赢得该局比赛，如果双方比分为20:20时，获胜的一方需超过对方2分才算取胜，直至双方比分打成29:29时，那么先到第30分的一方获胜．在一局比赛中，甲发球赢球的概率为12，甲接发球赢球的概率为35，则在比分为20:20，且甲发球的情况下，甲以23:21赢下比赛的概率为( ) A ．18B ．320C ．950D ．72010．（5分）函数11()x f x e x-=-的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．11．（5分）设圆22:230C x y x +--=，若等边PAB ∆的一边AB 为圆C 的一条弦，则线段PC 长度的最大值为( )A B ．C ．4D ．12．（5分）设函数()cos |2||sin |f x x x =+，下述四个结论： ①()f x 是偶函数；②()f x 的最小正周期为π；③()f x 的最小值为0；④()f x 在[0，2]π上有3个零点． 其中所有正确结论的编号是( ) A ．①② B ．①②③ C ．①③④ D ．②③④二．填空题：13．（5分）若等差数列{}n a 满足：11a =，235a a +=，则n a = ．14．（5分）今年由于猪肉涨价太多，更多市民选择购买鸡肉、鸭肉、鱼肉等其它肉类．某天在市场中随机抽出100名市民调查，其中不买猪肉的人有30位，买了肉的人有90位，买猪肉且买其它肉的人共30位，则这一天该市只买猪肉的人数与全市人数的比值的估计值为 ．15．（5分）已知双曲线22:13y C x -=的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线l 分别与两条渐进线交于A ，B 两点，若120F B F B =，1F A AB λ=，则λ= ．16．（5分）若函数2,1()(2)(),1x e a x f x x a x a x ⎧-<=⎨--⎩…恰有2个零点，则实数a 的取值范围是 ． 三．解答题：17．（12分）某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如表：该公司从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据如表：假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题： （1）估计该公司一位会员至少消费两次的概率；（2）某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；（3）以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，设该公司为一位会员服务的平均利润为X 元，求X 的分布列和数学期望()E X ．18．（12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 2)cos 2B AC +=． （Ⅰ）求sin B ；（Ⅱ）若ABC ∆的周长为8，求ABC ∆的面积的取值范围．19．（12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，且60ADC ∠=︒，11AA CD ==，1AD =（Ⅰ）证明：平面1CDD ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角1D AD C --的余弦值．。
石室中学高2020届2019-2020学年度上期入学考试数学试题(理)
成都石室中学高2020届2019~2020学年上期入学考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足20171zi i=-，其中i 为虚数单位，则z =（ ） A.1i -B.1i +C.1i --D.1i -+2.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 3.下列判断正确的是（ ）A.命题“0,201920190xx ∀>+>”的否定是“000,201920190x x ∃≤+≤”B.函数()f x =的最小值为2C.“2x =”是“2x -=D.若0a b ⋅<，则向量a 与b 夹角为钝角4.对于函数()44sin cos f x x x =-，下列结论不正确的是（ ）A.在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 B.图像关于y 轴对称 C.最小正周期为2π D.值域为[]1,1-5.在如图的程序框图中，若输入77,33m n ==，则输出的n 的值是（ ） A.3 B.7C.11D.336.某柱体的正视图与侧视图是全等的正方形，俯视图是圆，记该柱体的表面积为1S ，其内切球的表面积为2S ，且21S S λ=，则（ ） A.1 B.C. D. 7.高三某6个班级从“青城山”等6个不同的景点中任意选取一个进行郊游活动，其中1班、2班不去同一景点且均不去“青城山”的不同的安排方式有多少种（ ） A.2454C A B.2456CC.2454A AD.2456A8.如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，2BE EA =，若{}{}222ln(34),2xA x y x xB y y -==--+==A B =U (0,1)(4,4]-(,4]-∞(4,)-+∞=λ3234233AB AC AD EC ⋅=⋅，则ABAC的值是（ ）239.定义在R 上的函数满足()()2f x f x -=，且[)121+x x ∈∞、，有()()12120x x f x f x ->-，若()()1g x f x =+，实数a 满足()()212log log 21g a g a g ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，则的最小值为（ ）A.B. C. D. 10.在平面区域2200x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩内任取一点(),P x y ，则存在R α∈，使得点P 的坐标(),x y 满足()2cos +sin 0x y αα-=的概率为（ ）A.316π B.3116π- C.434π- D.116π-11.ABC ∆中,已知7AB BC AC ===,D 是边AC 上一点,将ABD ∆沿BD 折起,得到三棱锥A BCD -.若该三棱锥的顶点A 在底面BCD 的射影M 在线段BC 上,设BM x =,则x 的取值范围为（ ）A.(B.C.(D.(12.设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右顶点为A B 、，P 是双曲线上不同于A B 、的一点，设直线AP BP 、的斜率分别为m n 、，则当()4136ln ln 32a m nb mn mn ⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭取得最小值时，双曲线C 的离心率为（ ）A.12+B.2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.若nxx )1(-的展开式中第3项和第5项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为 ．14.已知圆()()222:42C x y r -+-= 截y轴所得的弦长为过点()0,4且斜率为k 的直线l 与圆C 交于A B 、两点，若AB ，则k = ．15.已知抛物线x y 42=的一条弦AB 经过焦点,F O 为坐标原点，点M 在线段OB 上，且()f x a 1213223OB OM =，点N 在射线OA 上，且3ON OA =，过M N 、向抛物线的准线作垂线，垂足分别为C D 、,则CD 的最小值为 ．16.已知函数()(1)(2)e e xf x m x x =----，若关于x 的不等式0)(>x f 有且只有一个正整数解，则实数m 的取值范围为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）某高校在2016年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下表所示.第组 [160,165)第组 [165,170)第组 [170,175)第组 [175,180)第组 [180,185] （Ⅰ）求频率分布表中,n p 的值，并估计该组数据的中位数（保留1位小数）；（Ⅱ）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，则第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，学校决定从6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第4组至少有1名学生被甲考官面试的概率.18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 和{}n b 满足111,0a b ==，11434,434n n n n n n a a b b b a ++=-+=--. （Ⅰ）证明：{}n n a b +是等比数列，{}n n a b -是等差数列； （Ⅱ）设12n n c a n =-+，求数列{}n n c ⋅的前n 项和n S .19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面⊥PAD 平面ABCD ，PAD ∆是等边三角形，四边形ABCD是矩形，2=CD ，F 为棱PA 上一点，且)10(<<=λλAP AF ，M 为AD的中点，四棱锥P ABCD -的体积为362. （Ⅰ）若21=λ，N 是PB 的中点，求证：平面//MNF 平面PCD ； （Ⅱ）是否存在λ，使得平面FMB 与平面PAD 所成的二面角余弦的绝对值为1133?20.（本小题满分12分）已知椭圆C ：上任意一点到其两个焦点的距离之和等于，焦距为，圆，是椭圆的左、右顶点，是圆的任意一条直径，四边形面积的最大值为 （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图，若直线与圆相切，且与椭圆相交于两点，直线与平行且与椭圆相切于（两点位于的同侧），求直线，距离的取值范围.21.（本小题满分12分），其中0mn ≠.（Ⅱ）若()()0f x g x +=的两根为12,x x ，且12x x >，证明： 22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，曲线041=-+y x C :，曲线为参数）θθθ(sin 1cos :2⎩⎨⎧+==y x C ，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线21C C ,的极坐标方程； （Ⅱ）射线),(:200παραθ<<≥=l 分别交21C C , 于N M ,两点，求||||OM ON 的最大值．)0(12222>>=+b a by a x 21,F F 52c 2222:c y x O =+21,A A AB O B AA A 21)0(:1≠+=m m kx y l O N M ,2l 1l P P O ,1l 1l 2l d成都石室中学高2020届2019~2020学年上期入学考试数学（理科）参考答案一、选择题：1—5：ABCCC 6—10：DDAAB 11—12：BD 二、填空题：13.-20 14.3415.4 16.32e e e a +<≤三、解答题：17. 解：（1）由已知：5302010100n ++++=，0.5000.3500.2000.100 1.000p ++++=，∴35,0.300n p ==，中位数估计值为171.7………4分（2）由已知，笔试成绩高的第3、4、5组的人数之比为3:2:1，现用分层抽样的方法选6名学生。
成都石室中学高 2020 届 2019—2020 学年度上期入学考试试题
成都石室中学高2020届2019—2020学年度上期入学考试化学试卷时间：100分钟满分100分试卷说明：请将答案写在答题卷上！可能用到的相对原子质量：H-1 Li-7 C-12N-14 O-16 Na-23 Mg-24 Cl-35.5S-32 Co-59 Mn-55Ⅰ卷（满分44分）一．选择题（本小题包括22个小题，每题2分，共44分，每小题只有一个．．．．正确选项）1．化学与生活密切相关，下列有关说法正确的是( )A．《格物粗谈》记载“红柿摘下未熟，每篮用木瓜三枚放入，得气即发，并无涩味。
”文中的“气”是指乙烷B．SO2具有漂白性,工业上常用来漂白纸浆、毛、丝等。
此外，SO2还能用于杀菌、消毒等C．铁在潮湿的空气中放置，易发生化学腐蚀而生锈D．地球上99%的溴元素以Br2形式存在于海水中2．常温下，下列各组离子在给定条件下一定能大量共存的是( )A．由水电离的c(H+)=1.0×10-13mol/L的溶液的溶液中：Mg2+、Al3+、Cl－、S2O32－B．c(OH-)/c(H+)=1.0×1012的溶液中: Ca2+、NH4+、Fe3+、Cr2O72-C．澄清透明的溶液中：H+、Na+、NO3－、MnO4－D．滴加甲基橙显黄色的溶液中：Cu2+、Ba2+、HCO3－、AlO2－3．下列离子方程式或电离方程式正确的是( )A．NaHSO3溶液呈酸性：NaHSO3＝Na＋＋H＋＋SO2－3B．在Na2S2O3溶液中滴加稀硝酸：2H＋＋S2O2－3＝S↓＋SO2↑＋H2OC．工业制漂白粉的反应：Cl2+2OH﹣＝ClO﹣+Cl﹣+H2OD．向Na2SiO3溶液中通入少量CO2：SiO2－3＋CO2＋H2O＝H2SiO3↓＋CO2－34．柠檬酸是无色晶体，无臭、味极酸，分子结构如图所示。
广泛用于食品业、化妆业等。
其钙盐在冷水中比在热水中易溶解。
下列有关柠檬酸的说法正确的是( )A．易溶于水，其分子式为C6H6O7B．1mol该物质与足量的钠反应最多生成4molH2C．该物质可以发生取代反应生成环状化合物D．相同官能团的异构体有9种5．下列实验操作与现象都正确，且能得出对应结论的是( )32到一种黑色分散系，其中分散质粒子是直径约为9.3nm的金属氧化物，下列有关说法中正确的是( )A．可用过滤的方法将黑色金属氧化物与Na+分离开B．该分散系的分散质为Fe2O3，具有丁达尔效应C．加入NaOH时发生的反应可能为：Fe2++2Fe3++8OH—=Fe3O4+4H2OD．在电场作用下，阴极附近分散系黑色变深，则说明该分散系带正电荷7. 化学在日常生活和生产中有着重要的应用。
四川省成都石室中学2020届高三数学上学期第一次月考试题 理(无答案)
第五期一学月考试数学试题（理科）考试时间：120分钟 总分：150分参考公式：如果事件互斥，那么 球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 24R S π=如果事件相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B ⋅= 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 334R V π=在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,,)k kn k n n P k C p p k n -=-=…辅助角公式 22sin cos sin(),tan ba b a b aαααϕϕ+=++=（） 第一部分 （选择题 共60分）注意事项：1、选择题必须使用2B 铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上。
2、本部分共12小题，每小题5分，共60分。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．已知集合A ＝{－2，0，2}，B ＝{-1，2}，则A ∩B ＝( ) A ．∅ B ．{2} C ．{0} D ．{2}-2．若复数21)()a i a R +-∈（为实数，则a 的值为（） A ． 1 B ． 2 C ． ﹣1 D ． 不存在3．如果一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图都是半径等于5的圆，那么这个空间几何体的表面积等于( )A.100π3 B ．100π C ．25π3D.25π . 4．已知函数,0()()1,0ax x f x a R x x ≥⎧=∈⎨-<⎩，若f ＝2，则a ＝( )A.14B.12C ．1D ．2 5. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果s=（ ） A ．0 B ．1 C ． 3 D ．46．在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，则A ＝( ) A ．30° B．45° C．60° D．75°7．在同一坐标系中画出函数y ＝log a x ，y ＝a x，y ＝x ＋a 的图象，可能正确的是( )8．正三棱柱111C B A ABC -(侧棱垂直底面，底面为正三角形的棱柱)的底面边长为2，侧棱长为3，则正三棱柱111C B A ABC -的体积为( ) A.1 B ．23 C ．23D ．3 9．“直线x －y +k ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝2有两个不同的交点”的充要条件是( )A ．k ∈ (－3，1)B ．k ∈C ．k ∈ (0，1)D ．k ∈ (－∞，－3)∪(1，＋∞)10．设函数()x x x f cos 21sin 23+=，若将函数f （x ）的图象向右平移6π个单位，所得图象对应函数为()y g x =，则（ ）A ．()y g x =的图象关于直线3π-=x 对称 B. ()y g x =图象关于原点对称C ．()y g x =的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛-0,3π对称 D. ()y g x =图象关于y 轴对称11．已知双曲线)0,1(12222>>=-b a by a x 的焦距为2c ，直线l 过点（a ，0）和（0，b ），且点（1，0）到直线l 的距离与点（－1，0）到直线l 的距离之和c s 54≥，则双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A 、(]3,1 B 、(]2,1 C 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡5,25 D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,26 12、设函数错误!未找到引用源。
2020届四川省年上学期成都石室中学高三数学理开学考试试题答案
○1 当 4a2 48 0 时，即 2 3 a 0 ， f (x) 0
f (x) 在 (0, ) 上单调递增；.................8 分
○2 当 4a2 48 0 时，即 a 2 3 ，又 f (0) 4 0
令 f (x) 3x2 2ax 4 0 ，则 x1 2a
x 2
16940 ，所以 bˆ
xi
i 1 n
x yi y xi x 2
8470 16940
0.5 ，
i 1
a y bx 74 0.5110 19 ，所以 y 0.5x 19 ，................10 分
将 x 125 代入，得 y 81.5 ， 所以估计 B 同学的物理成绩为 81.5 分．....................12 分
当直线 l 的斜率存在时，设 l 的方程为 y kx m ，
由
y kx
x
2
4
y2
m
4
可得
(1
4k 2
)x2
8kmx
4m2
4
0
，…………5
分
因为直线 l 与椭圆 C 有且只有一个交点，
所以△ 1 (8km)2 4(1 4k 2 )(4m2 4) 0 ，即 m2 1 4k 2 ，…………6 分
设 AB 2 ，∵四边形 ABCD 为菱形， DAB 60 ，∴ BD 2, AC 2 3 .
∵ DBF 为等边三角形，∴ OF 3 .
∴ A 3,0,0 , B 0,1,0, D 0, 1,0, F 0,0, 3 ，
DB EF, DB EF
E(0, 2, 3)
∴ AD 3, 1, 0 , AF 3, 0, 3 , EF 0, 2, 0 .
石室中学高2021届2020-2021学年度上期数学入学考试参考答案(理科)
x
e−a
．
( ) 则 g( x) = ex − a = xex − a ，令 t ( x) = xex − a ， x 0, e−a ， t( x) = ex (x +1) 0 ， xx
( ) 所以 t ( x) 在 0, e−a 上是单调增函数．
( ) 要使得 g ( x) 在 0, e−a 上存在极值，
( ) ( ) f (e) = 1 − 2 ， f e3
e2
=
1 e2
−1 3
，
f
(e)
f
e2
所以
f (x)min
=
f
(3) =
ln 3 − 2 3
，
f (x)max
=
f
(e2 ) =
1 e2
−1 3
．…………5 分
（Ⅱ）依题意
g
(
x)
=
ex
+
1 x
−
a
ln
x
+
1 x
−1
=
ex
−
a
ln
x
+1，
0
x1 x2
x1 x2
k2 =
m2 − r2 1+ k2
+
km
−2km 1+− r2k2 =
m2 − r2
…9 分
1+ k2
将
m2
=1+
4k 2
代入上式，可得
k1k2
=
(4
− r2 )k2 m2 − r2
+1
=
(4 − r2 )k2 4k 2 + (1 −
+1 r2)
2020届四川省成都市石室中学高考一诊试卷数学(理科)(PDF版)
2020 年四川省成都市石室中学高考一诊试卷数学（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12 小题，共60.0 分）1. 已知集合A={x∈N|x＞1}，B={x|x＜5}，则A∩B=（）A. {x|1＜x＜5}B. {x|x＞1}C. {2，3，4}D. {1，2，3，4，5}2. 已知复数z 满足iz=1+i，则z 的共轭复数=（）A. 1+iB. 1-iC.D. -1-i3. 若等边△ABC 的边长为 4，则•=（）A. 8B. -8C.D. -84. 在（2x-1）（x-y）6 的展开式中x3y3 的系数为（）A. 50B. 20C. 15D. -205. 若等比数列{a n}满足：a1=1，a5=4a3，a1+a2+a3=7，则该数列的公比为（）A. -2B. 2C. ±2D.6. 若实数a，b 满足|a|＞|b|，则（）A. e a＞e bB. sin a＞sin bC.D.7. 在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1 中，AA1=4，AB=2，点E，F 分别为棱BB1，CC1 上两点，且BE= BB1，CF= CC1，则（）A. D1E≠AF，且直线D1E，AF 异面B. D1E≠AF，且直线D1E，AF 相交C. D1E=AF，且直线D1E，AF 异面D. D1E=AF，且直线D1E，AF 相交8. 设函数，若f（x）在点（3，f（3））的切线与x 轴平行，且在区间[m-1，m+1]上单调递减，则实数m 的取值范围是（）A. m≤2B. m≥4C. 1＜m≤2D. 0＜m≤39. 国际羽毛球比赛规则从 2006 年 5 月开始，正式决定实行 21 分的比赛规则和每球得分制，并且每次得分者发球，所有单项的每局获胜分至少是 21 分，最高不超过 30 分，即先到 21 分的获胜一方赢得该局比赛，如果双方比分为 20：20 时，获胜的一方需超过对方 2 分才算取胜，直至双方比分打成 29：29时，那么先到第 30 分的一方获胜．在一局比赛中，甲发球赢球的概率为，甲接发球赢球的概率为，则在比分为 20：20，且甲发球的情况下，甲以 23：21 赢下比赛的概率为（）A. B. C. D.10. 函数f（x）= 的图象大致为（）A. B.C. D.11. 设圆C：x2+y2-2x-3=0，若等边△PAB 的一边AB 为圆C 的一条弦，则线段PC 长度的最大值为（）A. B. 2 C. 4 D.12. 设函数f（x）=cos|2x|+|sin x|，下述四个结论：①f（x）是偶函数；②f（x）的最小正周期为π；③f（x）的最小值为 0；④f（x）在[0，2π]上有 3 个零点．其中所有正确结论的编号是（）A. ①②B. ①②③C. ①③④D. ②③④二、填空题（本大题共4 小题，共20.0 分）13. 若等差数列{a n}满足：a1=1，a2+a3=5，则a n=______．14. 今年由于猪肉涨价太多，更多市民选择购买鸡肉、鸭肉、鱼肉等其它肉类．某天在市场中随机抽出 100名市民调查，其中不买猪肉的人有 30 位，买了肉的人有 90 位，买猪肉且买其它肉的人共 30 位，则这一天该市只买猪肉的人数与全市人数的比值的估计值为______．15. 已知双曲线C：x2- =1 的左，右焦点分别为F1，F2，过F1 的直线l 分别与两条渐进线交于A，B 两点，若•=0，=λ，则λ=______．16. 若函数f（x）= 恰有 2 个零点，则实数a 的取值范围是______．三、解答题（本大题共7 小题，共82.0 分）17. 某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按 200 元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如表：消费次第第 1 次第 2 次第 3 次第 4 次≥5次收费比例 1 0.95 0.90 0.85 0.80该公司从注册的会员中，随机抽取了 100 位进行统计，得到统计数据如表：消费次第第 1 次第 2 次第 3 次第 4 次第 5 次频数60 20 10 5 5假设汽车美容一次，公司成本为 150 元，根据所给数据，解答下列问题：（1）估计该公司一位会员至少消费两次的概率；（2）某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；（3）以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，设该公司为一位会员服务的平均利润为X 元，求X的分布列和数学期望E（X）．18. △ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，设．（Ⅰ）求 sin B；（Ⅱ）若△ABC 的周长为 8，求△ABC 的面积的取值范围．19. 如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1 中，底面ABCD 是边长为 2 的菱形，且∠ADC=60°，，．（Ⅰ）证明：平面CDD1⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角D1-AD-C 的余弦值．20. 设椭圆，过点A（2，1）的直线AP，AQ 分别交C 于不同的两点P，Q，直线PQ 恒过点B（4，0）．（Ⅰ）证明：直线AP，AQ 的斜率之和为定值；（Ⅱ）直线AP，AQ 分别与x 轴相交于M，N 两点，在x 轴上是否存在定点G，使得|GM|•|GN|为定值？若存在，求出点G 的坐标，若不存在，请说明理由．21. 设函数，，．（Ⅰ）证明：f（x）≤0；（Ⅱ）当时，不等式恒成立，求m 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l：（t 为参数）与曲线C：（m 为参数）相交于不同的两点A，B．（Ⅰ）当α= 时，求直线l 与曲线C 的普通方程；（Ⅱ）若|MA||MB|=2||MA|-|MB||，其中M（，0），求直线l 的倾斜角．23. 已知函数f（x）=|x+1|+|ax-1|．（Ⅰ）当a=1 时，求不等式f（x）≤4的解集；（Ⅱ）当x≥1时，不等式f（x）≤3x+b 成立，证明：a+b≥0．答案和解析1.【答案】C2.【答案】A3.【答案】A4.【答案】B5.【答案】B6.【答案】C7.【答案】A8.【答案】C9.【答案】B10.【答案】D11.【答案】C12.【答案】B13.【答案】n14.【答案】0.415.【答案】116.【答案】[ ，1）∪{2}∪[e，+∞）17.【答案】解：（1）100 位会员中，至少消费两次的会员有 40 人，∴估计一位会员至少消费两次的概率为．（2）该会员第一次消费时，公司获得利润为 200-150=50（元），第 2 次消费时，公司获得利润为 200×0.95-150=40（元），∴公司这两次服务的平均利润为（元）．（3）由（2）知，一位会员消费次数可能为 1 次，2 次，3 次，4 次，5 次，当会员仅消费 1 次时，利润为50 元，当会员仅消费 2 次时，平均利润为 45 元，当会员仅消费 3 次时，平均利润为 40 元，当会员仅消费4 次时，平均利润为 35 元，当会员仅消费 5 次时，平均利润为 30 元，故X 的所有可能取值为 50，45，40，35，30，X 的分布列为：X 50 45 40 35 30P 0.6 0.2 0.1 0.05 0.05X 数学期望为E（X）=50×0.6+45×0.2+40×0.1+35×0.05+30×0.05=46.25（元）．【解析】（1）100 位会员中，至少消费两次的会员有 40 人，即可得出估计一位会员至少消费两次的概率．（2）该会员第一次消费时，公司获得利润为 200-150=50（元），第 2 次消费时，公司获得利润为200×0.95-150=40（元），即可得出公司这两次服务的平均利润．（3）由（2）知，一位会员消费次数可能为 1 次，2 次，3 次，4 次，5 次，当会员仅消费 1 次时，利润为50 元，当会员仅消费 2 次时，平均利润为 45 元，当会员仅消费 3 次时，平均利润为 40 元，当会员仅消费4 次时，平均利润为 35 元，当会员仅消费 5 次时，平均利润为 30 元，故X 的所有可能取值为 50，45，40，35，30，即可得出X 的分布列．本题考查了频率与概率的关系、随机变量的分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（1）∵且 sin（A+C）=sin B∴，又∵∴，∴，∴，∴，∴．（2）由题意知：a+b+c=8，故b=8-（a+c）∴，∴∴，，∴∴，或（舍），即∴（当a=c 时等号成立）综上，△ABC 的面积的取值范围为．【解析】（1）直接利用三角函数关系式的变换的应用和倍角公式的应用求出结果．（2）利用余弦定理和不等式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．19.【答案】（1）证明：令CD 的中点为O，连接OA，OD1，AC，∵，∴D1O⊥DC 且又∵底面ABCD 为边长为 2 的菱形，且∠ADC=60°，∴AO= ，又∵，∴，∴D 1O⊥OA，又∵OA，DC⊆平面ABCD，OA∩DC=O，又∵D1O⊆平面CDD1，∴平面CDD1⊥平面ABCD．（2）过O 作直线OH⊥AD 于H，连接D1H，∵D1O⊥平面ABCD，∴D1O⊥AD，∴AD⊥平面OHD1，∴AD⊥HD1，∴∠D1HO 为二面角D1-AD-C 所成的平面角，又∵OD=1，∠ODA=60°，∴，∴，∴．【解析】（1）令CD 的中点为O，连接OA，OD1，AC，证明D1O⊥DC，D1O⊥OA，然后证明平面CDD1⊥平面ABCD．（2）过O 作直线OH⊥AD 于H，连接D1H，说明∠D1HO 为二面角D1-AD-C 所成的平面角，通过求解三角形，求解即可．本题考查平面与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线PQ、AP、AQ 的斜率分别为k，k1，k2，由得（1+4k2）x2-32k2x+64k2-8=0，△＞0，可得：，，，== ；（Ⅱ）设M（x3，0），N（x4，0），由y-1=k1（x-2），令y=0，得x3=2- ，即M（2- ，0），同理，即N（2- ，0），设x 轴上存在定点G（x0，0），2+（x0-2）（）+ |= ，=|（x0-2）要使|GM|•|GN|为定值，即x0-2=1，x0=3，故x 轴上存在定点G（3，0）使|GM|•|GN|为定值，该定值为 1．【解析】（Ⅰ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线y=k（x-4）和椭圆方程，运用韦达定理，直线PQ、AP、AQ 的斜率分别为k，k1，k2，运用直线的斜率公式，化简整理即可得到得证；（Ⅱ）设M（x3，0），N（x4，0），由y-1=k1（x-2），令y=0，求得M 的坐标，同理可得N 的坐标，再由两点的距离公式，化简整理可得所求乘积．本题考查椭圆的方程和运用，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查直线的斜率公式，以及存在性问题的解法，考查化简运算能力，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）f′（x）= -cos x 在x∈[0，]上单调递增，f′（x）∈[ -1，]，所以存在唯一x0∈（0，），f′（x0）=0．当x∈（0，x0），f′（x）＜0，f（x）递减；当x∈（x0，），f′（x）＞0，f（x）递增．（Ⅱ）g′（x）= -sin x+m（x- ），g″（x）= -cos x+m，当m≥0时，g′（x）≤0，则g（x）在[0，]上单调递减，所以g（x）min=g（）= ，满足题意．当- ＜m＜0 时，g″（x）在x 上单调递增．g''（0）= +m＞0，所以存在唯一x1∈（0，），g″（x1）=0．当x∈（0，x1），g″（x）＜0，则g′（x）递减；当x∈（x1，），g″（x）＞0，则g′（x）递增．而g′（0）=- m＞0，g′（）=0，所以存在唯一x2 ，g′（x2）=0，当x∈（0，x2），g′（x）＞0，则g（x）递增；x ，g′（x）＜0，则g（x）递减．要使g（x）≥恒成立，即，解得m≥，所以≤m＜0，当m≤- 时，g″（x）≤0，当x∈[0，]，g′（x）递减，又，g′（x）≥0，所以g（x）在递增．则g（x）≤g（）= 与题意矛盾．综上：m 的取值范围为[ ，+∞）．【解析】（Ⅰ）利用f（x）的导数可先判断出其单调区间，比较可求出函数的最大值，即可证；（Ⅱ）对g（x）二次求导判断出m≥0时，可求出g（x）min=g（）= ，当- ＜m＜0 时，与题意矛盾，综合可求出m 的取值范围．本题考查利用导数求函数单调区间，求函数最值问题，还涉及函数恒成立问题，属于中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）当α= 时，直线l：（t 为参数）化为，消去参数t，可得直线l 的普通方程为y=x- ；由曲线C：（m 为参数），消去参数m，可得曲线C 的普通方程为y2=2x；（Ⅱ）将直线l：（t 为参数）代入y2=2x，得．，．由|MA||MB|=2||MA|-|MB||，得|t1t2|=2|t1+t2|，即，解得|cosα|= ．∴直线l 的倾斜角为或．【解析】（Ⅰ）当α= 时，直线l：（t 为参数）化为，消去参数t，可得直线l 的普通方程；直接把曲线C 的参数方程消去参数m，可得曲线C 的普通方程；（Ⅱ）将直线l：（t 为参数）代入y2=2x，化为关于t 的一元二次方程，利用根与系数的关系结合已知等式列式求得|cosα|= ，则直线l 的倾斜角可求．本题考查参数方程化普通方程，关键是直线参数方程中参数t 的几何意义的应用，是中档题．23.【答案】（Ⅰ）解：当a=1 时，f（x）=|x+1|+|x-1|= ．∵f（x）≤4，∴或-1≤x≤1或，∴1＜x≤2或-1≤x≤1或-2≤x＜-1，∴-2≤x≤2，∴不等式的解集为{x|-2≤x≤2}．（Ⅱ）证明：当x≥1时，不等式f（x）≤3x+b 成立，则x+1+|ax-1|≤3x+b，∴|ax-1|≤2x+b-1，∴-2x-b+1≤ax-1≤2x+b-1，∴，∵x≥1，∴，∴，∴a+b≥0．【解析】（Ⅰ）将a=1 代入f（x）中，然后将f（x）写出分段函数的形式，再根据f（x）≤4分别解不等式即可；（Ⅱ）根据当x≥1时，不等式f（x）≤3x+b 成立，可得|ax-1|≤2x+b-1，然后解不等式，进一步得到a+b≥0．本题考查了绝对值不等式的解法和利用综合法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。
四川省成都市石室中学2020届高三数学上学期入学考试考试题 理(含解析)
四川省成都市石室中学2020届高三数学上学期入学考试考试题理（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数满足，其中为虚数单位，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】由，得，则，故选：A.2.己知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由二次不等式的解法可得：，由指数函数的值域的求法可得：，再结合并集的运算可得：，得解.【详解】解：解不等式，解得，即，又因为，所以，即，即，故选B.【点睛】本题考查了二次不等式的解法、指数函数的值域的求法及并集的运算，属基础题.3.下列判断正确的是（）A. 命题“，”的否定是“，”B. 函数的最小值为2C. “”是“”的充要条件D. 若，则向量与夹角为钝角【答案】C【解析】【分析】由全称命题的否定为特称命题可得：命题的否定是“，”，选项A错误，由在为增函数，即，即B错误；由根式方程的求法得“”是“”的充要条件，即C正确，由向量的夹角可得向量与夹角为钝角或平角，即D错误，得解.【详解】解：对于选项A，命题“，”的否定是“，”，即A错误；对于选项B，令，则，则，，又在为增函数，即，即B错误；对于选项C，由“”可得“”，由“”可得，解得“”，即“”是“”的充要条件，即C正确，对于选项D，若，则向量与夹角钝角或平角，即D错误，故选C.【点睛】本题考查了全称命题的否定、均值不等式的应用、根式方程的求法及向量的夹角，属基础题.4.对于函数，下列结论不正确的是（）A. 在上单调递增B. 图像关于y轴对称C. 最小正周期为D. 值域为【答案】C【解析】【分析】由，求得，再利用的性质即可得解.【详解】解：因为，则函数是在上单调递增的偶函数，且值域为，周期为，即选项正确，选项错误，故选C.【点睛】本题考察了三角恒等变换及函数的性质，属基础题.5.在如图的程序框图中，若输入m=77，n=33，则输出的n的值是A. 3B. 7C. 11D. 33【答案】C【解析】这个过程是，，故所求的最大公约数是。
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四川省2020年上学期成都石室中学高三数学理开学考试试题
一、选择题（共12小题；共60分）
1.已知集合(){}(){},0,,R ,,+10,,R A x y x y x y B x y x y x y =+=∈=-=∈，则集合A B 的元素个数是
（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 2．i 为虚数单位， 512i
z i
=
+， 则的共轭复数为 （ ） A.2i - B ．2i + C.2i -- D ．2i -+
3．石室中学为了解1 000名学生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些学生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则以下4名学生中被抽到的是（ ） A ．8号学生 B ．200号学生
C ．616号学生
D ．815号学生
4．函数2
()ln 1f x x x
=-
+的零点所在的大致区间是（ ） A ．(1,2) B ．(2,)e C ．(,3)e D ．(3,)+∞
5．已知向量(1)a m =，，(32)b m =-，，则3m =是a //b 的（ ）
A ．充要条件
B ．既不充分也不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．充分不必要条件
6 ．
已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3a =2b =，60A =︒，则B 为（ ） A ．60° B ．60°或120°
C ．30°
D ．30°或150°
7．下列函数中，既是奇函数又在(0,)+∞单调递减的函数是（ ）
A ．22x x y -=-
B ．tan y x x =
C ．sin y x x =-
D ．1
2y x x
=
- 8．抛物线2:4C y x =的焦点为F ，其准线l 与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，
当
2MA MF
=AMF ∆的面积为（ ）
A ．1
B 2
C ．2
D ．229. 如图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图，P 表示估计结果， 则图中空白框内应填入（ ） A ．1000N P =
B ．41000N P =
C ．1000M P =
D ．41000
M
P = 10. 已知235log log log 1x y z ==<-，则2,3,5x y z 的大小关系为（ ） A ．235x y z << B ．325y x z <<
C ．523z x y <<
D ．532z y x <<
11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球表面积为（ ） A ．11π
B ．
143
π
C ．
283
π
D ．16π
12.已知a 为常数，函数()2
12e 1+2
x
f x ax ax a =-
-+有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，则下列结论正确的是（ ）
A ．0a < B.01a << C ．()15f x > D ．()23f x > 二、填空题（共4小题；共20分）
13.已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的离心率为2，
则该双曲线的渐近线方程为_______________ 14.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为___________钱.
15．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，()f x '是()f x 的导函数，(1)0f -=，当0x >时，
()3()0xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值集合是___________．
16.已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -，
过对角线1BD 作平面α交棱1AA 于点E ，交棱1CC 于点F ，则：①平面α分正方体所得两部分的体积相等；②四边形1BFD E 一定是平行四边形；
③平面α与平面1
DBB不可能垂直；④四边形
1
BFD E的面积的最大值为2.
其中所有正确结论的序号为_______
三、解答题（共6小题；共70分）
17. (本题满分12分)石室中学高三学生摸底考试后，从全体考生中随机抽取44名，获取他们本次考试的数学成绩(x)和物理成绩(y)，绘制成如图散点图：
根据散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，但图中有两个异常点,A B．经调查得知，A考生由于重感冒导致物理考试发挥失常，B考生因故未能参加物理考试．为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计的值：424242
111
4620,3108,350350,
i i i i
i i i
x y x y
===
===
∑∑∑()
422
1
16940,
i
i
x x
=
∑-=()
422
1
5250,
i
i
y y
=
∑-=其中,i i
x y 分别表示这42名同学的数学成绩、物理成绩，1,2,3,,42
i=，y与x的相关系数0.82
r=．（Ⅰ）若不剔除,A B两名考生的数据，用44组数据作回归分析，设此时y与x的相关系数为0r．试判断0r与r的大小关系（不必说理由）；
（Ⅱ）求y关于x的线性回归方程，并估计如果B考生参加了这次物理考试（已知B考生的数学成绩为125分），物理成绩是多少？
附：回归方程y a bx
=+中,11
2
22
11
()()
=
()
n n
i i i i
i i
n n
i i
i i
x x y y x y nx y
a y bx
x x x n
b
x
==
==
---
==-
--
∑∑
∑∑
，
18．已知三次函数32()41f x x ax x =+++(a 为常数). （1）当1a =时，求函数()f x 在2x =处的切线方程； （2）若0a <，讨论函数()f x 在()0,x ∈+∞的单调性.
19.如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，FA FC =，且60DAB DBF ∠=∠=︒． （1）求证：AC ⊥平面BDEF ；
（2）求直线AD 与平面AEF 所成角的正弦值．
20．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>3
，短轴长为2，直线l 与
椭圆有且只有一个公共点． （1）求椭圆的方程；
（2）是否存在以原点O 为圆心的圆满足：此圆与直线l 相交于P ，Q 两点（两点均不在坐标轴上），且OP ，OQ 的斜率之积为定值，若存在，求出此定值和圆的方程；若不存在，请说明理由．
21．已知函数()1
ln 1f x a x x
=+-，其中常数a ∈R ，自然常数 2.71828e ≈. （Ⅰ）当实数13
a =
时，求()f x 在区间2
,e e ⎡⎤⎣⎦上的最值； （Ⅱ）设函数()()1x g x e f x x
=+-在区间()
0,a
e -上存在极值，求证：11a a e a --+>+.
22．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=，曲线2C 的参数方程为2cos (22sin x y ϕ
ϕϕ
=⎧⎨
=-+⎩为参数）． （Ⅰ）写出2C 的极坐标方程；
（Ⅱ）过原点O 的射线与1C 的异于极点的交点为A ，(0)3
xOA π
αα∠=<<，B 为2C 上的一点，且
π
∠=，求AOB
AOB
∆面积的最大值．3。