1.3.1函数的单调性和最大小值

且x1<x2，则 1 1 x2 x1 f(x1)- f(x2)= x1 x2 x1 x2 由于x1,x2 0, 得x2-x1>0 得x1x2>0,又由x1<x2
定号
下结论 作差 变形
所以f(x1)- f(x2)>0, 即f(x1)> f(x2)
因此 f(x)=1/x 在(0，+∞)上是减函数。
类比单调增函数的研究方法定义单调减函数. y y
f(x2) f(x1) f(x1) f(x2)
x1 O x2 x 设函数y=f(x)的定义域为I,区间D I. 如果对于属于定义域I内某个区间D上 如果对于属于定义域I内某个区间D上 的任意两个自变量的值x1,x2， 的任意两个自变量的值x ,x ，
2.函数最大（小）值应该是所有函数值中 最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有 f(x)≤M（f (x)≥M）． 3.最大值和最小值统称为最值。
判断以下说法是否正确。
1、函数f ( x) x ( x R), 任意x R, 都有f ( x) 1,
2
则1为函数f ( x)的最大值 .
单调区间之间必须用“，”隔开，或者用“和” 连接，但千万不能用“∪”连接，也不能用“或” “且”连接。
指出下列函数的单调区间：
(1) y 7 x 2
y
2
(2) y 2x 4
y
4

归纳：函数 y kx b(k 0) 的单调性
2 7
o
x
o 2
x
y kx b
k>0
k<0
------函数的单调性
永 远 联 系 莫 分 华 离
罗 庚
切 莫 忘 几 何 代 数 统 一 体
隔 离 分 家 万 事 休
数 形 结 合 百 般 好
形 少 数 时 难 入 微
数 无 形 时 少 直 觉
焉 能 分 作 两 边 飞
数 与 形 本 是 相 倚 依
,
,
——
北京市8月8日一天24小时内气温随时间变化曲线图
指出下列函数的单调区间：
y
1 y x
1 , 0), (0, ) y 的单调减区间是 ( 解： _____________ 1 x y x 没有单调增区间
O
x 1 能不能说y 在定义域(, 0) (0, )上 思考1： x
是单调减函数?
1 y 的单调增区间是 (,0), (0,) x k 归纳：y (k 0)在 ,0 和 0, 上的单调性？ x
如果在函数f(x)定义域内存在x1和 x2，使对定义域内 任意x都有 f ( x1 ) f ( x) f ( x2 ) 成立，由此你能得到 什么结论？
如果函数f(x)的最大值是b，最小值是a，那么 函数f(x)的值域是[a，b]吗？ 函数f(x)在定义域中既有最大值又有最小值.
探究:函数单调性与函数的最值的关系
单调增区间
单调减区间
(,)
(,)
指出下列函数的单调区间：
(1) y x 2.
2
y
y=-x2+2
(2) f ( x) x 2 x y
2
2
f ( x) x 2 2 x
1
-2 -1 O -1 1 2
x
2
-2
o
1
2
x
归纳： 函数 y ax
bx c(a 0) 的单调性
y
y
y
1
-1 1 -1 x -1
1
1
x
1 -1 1 x
-1
-1
问：随x的增大，y的值有什么变化？
问题1
画出f(x)=x的图像，并观察其图像。 上升 1、从左至右图象上升还是下降 ____?
, )上，随着 x 的增大， f(x) 的值 2 、在区间 (________
增大 随着 ______. 5 -5 o
y
f(2)
f(1) O 1 2x
2．单调性与单调区间 如果函数y=f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，
那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，
区间D 叫做y=f(x)的单调区间： (1)这个单调区间可以是整个定义域 如y=x在定义域上是增函数,y=-x是减函数 (2) 这个单调区间也可以是定义域的真子集 如y=x2在定义域上没有单调性,但在(-∞,0]是减函数, 在 [0,+∞)是增函数. (3)有的函数没有单调性区间
f(x)=x
5
-5
问题2
2 f(x) = x 画出 的图像，并观察图像.
(-∞,0] 上，f(x)的值随着x的增大而 1、在区间 ________ 减小 ______. 2 f(x) = x (0,+∞) 上， 2、 在区间 ________ f(x) 的 值 随 着 x 的 增 大 而 5 增大 _____. -5 o 5
思 考
设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M， 则对函数定义域内任意自变量x，f(x)与M的大小 关系如何？ f(x) ≤ M
1是此函数的 例如函数f 最大值 x = -x2 +1 x∈R
ƒ(0)=1
2
1
1、对任意的 x R 都有ƒ(x)≤1.
2、存在0，使得ƒ(0)=1.
O
知识要 点
0 ( x是无理数) 思考函数单调性: y 1 ( x是有理数)
（二）典型例题 [例1]下图是定义在[－5，5]上的函数y＝f(x)的 图象,根据图象说出y＝f(x)的单调区间,以及在每 一单调区间上, y＝ f(x)是增函数还是减函数 . y
3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5x -1
函数y＝f(x)的单调区间有 -2 [－5,－2)，[－2, 1)，[1, 3)，[3, 5]， 其中y＝f(x)在[－5,－2)，[1, 3)上是减函数， 在区间[－2, 1)，[3, 5]上是增函数．
• 书写单调区间时，注意区间端点的写法。
对于某一个点而言，由于它的函数值是一个确定的 常数，无单调性可言，因此在写单调区间时，可以 包括端点，也可以不包括端点。 但对于某些不在定义域内的区间端点，书写时就必 须去掉端点。
1 思考2：函数 y 的单调区间是什么？ x
k y (k 0) 的单调区间 x k y 单调增区间 x
单调减区间
(, 0)
，
k 0
(0, )
k 0
(, 0)
，
(0, )
证明：函数f(x)=1/x 在(0，+∞)上是减函数。
证明：设x1,x2是(0，+∞)上任意两个实数，取值
f(x2)
f(x1) O
M
N
？
对区间D内
x1，x2 ，
有f(x1)<f(x2)
D x 1
当x1<x2时，
x2
x
y
图象在区间D逐渐上升 区间D内随着x的增大，y也增大
f(x2)
f(x1) O
M
N
对区间D内
x1，x2 ，
有f(x1)<f(x2)
D x 1
当x1<x2时，
x2
x
y
图象在区间D逐渐上升
区间D内随着x的增大，y也增大
-5
y
10 8 6 4
2
O -2 2 4
D
6 8 10 12
14 16
18
20
22 24
x
y
图象在区间D逐渐上升 区间D内随着x的增大，y也增大
f(x2)
f(x1) O
M
N
？
对区间D内
x1，x2 ，
有f(x1)<f(x2)
D x 1
当x1<x2时，
x2
x
y
图象在区间D逐渐上升 区间D内随着x的增大，y也增大
1 2
x1 O x2 x 设函数y=f(x)的定义域为I,区间D I.
当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 )，
当x1<x2时，都有 f (x1 )
>
f(x 2 )，
那么就说在f(x)这个区间上是单调增 那么就说在f(x)这个区间上是单调 函数，D称为f(x)的单调 增 区间. 减函数，D称为f(x)的单调 减 区间. 单调区间
f(x2)
f(x1) O
M
N
对区间D内 任意 x1，x2 ，
D x 1
当x1<x2时，都 有f(x1)<f(x2)
x2
x
定 义 那么就说 f (x)在区间D上 是单调增函数， (x)的定义域为I,区间D I. 如果对于区间D上的任意 两个自变量的值x1,x2， 当x1<x2时，都有 f(x1 ) < f(x2 )， f (x)的单调
（1）若函数y=f (x)在区间[m，n] (m<n)上单调递增，
则函数y=f (x)的最值是什么？
y
f(n)
当x=m时，f (x)有最 小值f (m)，当x=n时,f (x) 有最大值f (n).
注意： ① 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性 质，是函数的局部性质； ②必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；
判断1：函数 f (x)= x2 在 , 是单调增函数；
y
y x2
o
x
判断2：定义在R上的函数 f (x)满足 f (2)> f(1)， 则函数 f (x)在R上是增函数；
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果实数
M满足：
（1）对于任意的的x∈I，都有f(x) ≥M;
（2）存在 x0 I，使得 f(x0 ) = M， 那么我们称M是函数y=f(x)的最小值（minimun value）.