2020年河北中考数学一轮复习课件：§2.1 一元一次方程及一元二次方程
(河北)中考数学总复习：2.2《一元二次方程》ppt课件
审题确定相等关系―→设未知数 ―→列方程―→求解、验证．
题热身
1．(2014· 衡水模拟)一元二次方程(a＋1)x2－ax＋a2－1＝0 的一 个根为 0，则 a＝__1__. 2．(2014· 河北)用配方法解方程 x2＋4x＋1＝0，配方后的方程 是( A ) A．(x＋2)2＝3 B．(x－2)2＝3 C．(x－2)2＝5 D．(x＋2)2＝5 3．(2014· 承德模拟)x1，x2 是关于 x 的一元二次方程 x2－mx＋ 1 1 m－2＝0 的两个实数根，是否存在实数 m 使 ＋ ＝0 成立？则正 x1 x2 确的结论是( A ) A．m＝0 时成立 B．m＝2 时成立 C．m＝0 或 2 时成立 D．不存在
一元二次方程的根的判别式 对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)： b2－4ac＞0⇔方程有两个________的实数 根； b2－4ac＝0⇔方程有两个________的实数 根； b2－4ac＜0⇔方程________实数根．
一元二次方程的根与系数的关系
若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根 分别为x1，x2，则有x1＋x2＝________，x1x2 ＝________.
(1)由根的定义―→代入求值―→解方程，或由两根之 积等于－6―→求另一根； (2)化简―→观察方程特点―→利用配方法或公式法求 解．
一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系
【例 2】(1)如果关于 x 的一元二次方程 kx 2－ 2k＋ 1x＋ 1＝ 0 有两个不相等的实数根 ，那么 k 的取值范围是( D ) 1 1 A．k＜ B．k＜ 且 k≠ 0 2 2 1 1 1 1 C．－ ≤k＜ D．－ ≤k＜ 且 k≠ 0 2 2 2 2 (2)(2014· 德州)方程 x2＋ 2kx＋k2－ 2k＋ 1＝ 0 的两个实数根 x1，x2 满 1 ． 足 x12＋ x22＝ 4， 则 k 的值为____
河北省中考数学总复习 第一编 教材知识梳理篇 第2章 方程(组)与不等式(组)第2节 一元二次方程及
第二节一元二次方程及应用年份题号考查点考查内容分值总分201719 一元二次方程的解法综合题，在新定义的背景下用直接开平方法解一元二次方程37 26(2)一元二次方程及根的判别式利用题中已知条件列出方程，并用判别式判断根的情况4201614一元二次方程根的判别式利用已知条件判断含字母系数的一元二次方程的根的情况2 2201512一元二次方程根的判别式考一元二次方程无实数根求参数的取值X围2 2201421 解一元二次方程(1)从推导一元二次方程的求根公式的步骤中找错误，并写出正确的求根公式；(2)用配方法解一元二次方程10 102013年未考查命题规律纵观某某近五年中考，2014、2015、2016、2017年考查了一元二次方程，分值2～10分，涉及的题型有选择、填空、解答，题目难度一般，其中一元二次方程的配方法在选择和解答题中各考查了1次，一元二次方程的应用在选择、填空中各考过1次，一元二次方程根的判别式考查了3次，属基础题.某某五年中考真题及模拟一元二次方程的解法1．(2014某某中考)嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的求根公式时，对于b 2－4ac>0的情况，她是这样做的：由于a≠0，方程ax 2＋bx ＋c ＝0变形为： x 2＋b a x ＝－c a，第一步x 2＋b a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2＝－c a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2，第二步⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＝b 2－4ac 4a 2，第三步 x ＋b 2a ＝b 2－4ac 4a (b 2－4ac ＞0)，第四步 x ＝－b ＋b 2－4ac 2a.第五步(1)嘉淇的解法从第__四__步开始出现错误；事实上，当b 2－4ac>0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的求根公式为__x ＝－b ±b 2－4ac2a__．(2)用配方法解方程：x 2－2x －24＝0. 解：x 1＝6，x 2＝－4.2．(2017某某中考模拟)在解方程(x ＋2)(x －2)＝5时，甲同学说：由于5＝1×5，可令x ＋2＝1，x －2＝5，得方程的根x 1＝－1，x 2＝7；乙同学说：应把方程右边化为0，得x 2－9＝0，再分解因式，即(x ＋3)(x －3)＝0，得方程的根x 1＝－3，x 2＝3.对于甲、乙两名同学的说法，下列判断正确的是(A )A ．甲错误，乙正确B ．甲正确，乙错误C ．甲、乙都正确D ．甲、乙都错误3．(2016某某二十八中一模)现定义运算“★”，对于任意实数a ，b ，都有a★b＝a 2－3a ＋b ，如3★5＝32－3×3＋5，若x★2＝6，则实数x 的值是(B )A ．－4或－1B ．4或－1C ．4或－2D ．－4或2一元二次方程根的判别式及根与系数的关系4．(2015某某中考)若关于x 的方程x 2＋2x ＋a ＝0不存在实数根，则a 的取值X 围是(B )A ．a<1B ．a>1C ．a ≤1D ．a ≥15．(2016某某中考)a ，b ，c 为常数，且(a －c)2>a 2＋c 2，则关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0根的情况是(B )A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．无实数根D ．有一根为06．(2016某某十三中三模)已知关于x 的方程2x 2－mx －6＝0的一个根是2，则m ＝__1__，另一个根为__－32__．7．(2017某某二模)对于实数a ，b ，定义新运算“*”：a*b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab （a≥b），ab －b 2（a ＜b ），例如：4*2，因为4>2，所以4*2＝42－4×2＝8.(1)求(－5)*(－3)的值；(2)若x 1，x 2是一元二次方程x 2－5x ＋6＝0的两个根，求x 1*x 2的值． 解：(1)∵－5<－3，∴(－5)*(－3)＝(－5)×(－3)－(－3)2＝6； (2)方程x 2－5x ＋6＝0的两根为2或3； ①2*3＝2×3－9＝－3；②3*2＝32－2×3＝3.一元二次方程的应用8．(2016某某25中模拟)某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x ，则可列方程为(D )A ．48(1－x)2＝36B ．48(1＋x)2＝36C ．36(1－x)2＝48D ．36(1＋x)2＝489．(2016某某十八县重点中学一模)为落实“两免一补”政策，某市2014年投入教育经费2 500万元，预计2016年要投入教育经费3 600万元．已知2014年至2016年的教育经费投入以相同的百分率逐年增长，则2015年该市要投入的教育经费为__3__000__万元．10．(2017某某中考)某厂按用户的月需求量x(件)完成一种产品的生产，，每件的成本y(万元)是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与月需求量x(件)成反比．经市场调研发现，月需求量x 与月份n(n 为整数，1≤n ≤12)符合关系式x ＝2n 2－2kn ＋9(k ＋3)(k 为常数)，且得到了表中的数据．月份n(月) 1 2 成本y(万元/件) 11 12 需求量x(件/月)120100(1)求y 与x 满足的关系式，请说明一件产品的利润能否是12万元；(2)求k ，并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损；(3)在这一年12个月中，若第m 个月和第(m ＋1)个月的利润相差最大，求m. 解：(1)由题意，设y ＝a ＋bx ，由表中数据得⎩⎪⎨⎪⎧11＝a ＋b120，12＝a ＋b100，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝600，∴y ＝6＋600x，由题意，若12＝18－⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋600x ，则600x ＝0，∵x ＞0， ∴600x＞0， ∴不可能；(2)将n ＝1，x ＝120代入x ＝2n 2－2kn ＋9(k ＋3)，得120＝2－2k ＋9k ＋27， 解得k ＝13， ∴x ＝2n 2－26n ＋144，将n ＝2，x ＝100代入x ＝2n 2－26n ＋144也符合， ∴k ＝13；由题意，得18＝6＋600x ，解得x ＝50，∴50＝2n 2－26n ＋144，即n 2－13n ＋47＝0， ∵Δ＝(－13)2－4×1×47＜0，∴方程无实数根， ∴不存在；(3)设第m 个月的利润为W ，W ＝x(18－y)＝18x －x ⎝⎛⎭⎪⎫6＋600x＝12(x －50) ＝24(m 2－13m ＋47)，∴第(m ＋1)个月的利润为W′＝24[(m ＋1)2－13(m ＋1)＋47]＝24(m 2－11m ＋35)， 若W≥W′，W －W′＝48(6－m)，m 取最小值1时，W －W′取得最大值240；若W ＜W′，W ′－W ＝48(m －6)，由m ＋1≤12知m 取最大值11时，W ′－W 取得最大值240； ∴m ＝1或11.,中考考点清单一元二次方程的概念1．只含有__1__个未知数，未知数的最高次数是__2__，像这样的__整式__方程叫一元二次方程．其一般形式是__ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)__．【易错警示】判断一个方程是一元二次方程的条件：①是整式方程；②二次项系数不为零；③未知数的最高次数是2，且只含有一个未知数．一元二次方程的解法2.直接开 平方法 这种方法适合于左边是一个完全平方式，而右边是一个非负数的一元二次方程，即形如(x ＋m)2＝n(n≥0)的方程. 配方法配方法一般适用于解二次项系数为1，一次项系数为偶数的这类一元二次方程，配方的关键是把方程左边化为含有未知数的__完全平方__式，右边是一个非负常数．公式法求根公式为__x ＝－b ±b 2－4ac 2a(b 2－4ac≥0)__，适用于所有的一元二次方程.因式分 解法因式分解法的步骤：(1)将方程右边化为__0__；(2)将方程左边分解为一次因式的乘积；(3)令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解.【温馨提示】关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的解法： (1)当b ＝0，c ≠0时，x 2＝－c a ，考虑用直接开平方法解；(2)当c ＝0，b ≠0时，用因式分解法解； (3)当a ＝1，b 为偶数时，用配方法解简便．一元二次方程根的判别式3．根的判别式：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的根的情况可由__b 2－4ac__来判定，我们将__b 2－4ac__称为根的判别式．4．判别式与根的关系：(1)b 2－4ac>0⇔方程有__两个不相等__的实数根； (2)b 2－4ac<0⇔方程没有实数根；(3)b 2－4ac ＝0⇔方程有__两个相等__的实数根．【易错警示】(1)一元二次方程有实数根的前提是b 2－4ac≥0；(2)当a ，c 异号时，Δ>0.一元二次方程的应用5．列一元二次方程解应用题的步骤：(1)审题；(2)设未知数；(3)列方程；(4)解方程；(5)检验；(6)做结论． 6．一元二次方程应用问题常见的等量关系： (1)增长率中的等量关系：增长率＝增量÷基础量；(2)利率中的等量关系：本息和＝本金＋利息，利息＝本金×利率×时间；(3)利润中的等量关系：毛利润＝售出价－进货价，纯利润＝售出价－进货价－其他费用， 利润率＝利润÷进货价．,中考重难点突破一元二次方程的解法【例1】(2016某某十七中二月调研)解下列方程：(1)(x －2)2＝12；(2)x 2－4x ＋1＝0；(3)x 2－3x ＋1＝0；(4)x 2＝2x.【解析】(1)可以用直接开平方法解；(2)因为b ＝－4是偶数，可以用配方法解；(3)因为b ＝－3是奇数，配方法解较复杂，可用公式法；(4)直接因式分解．【答案】解：(1)直接开平方，得x －2＝±22，即x 1＝2＋22，x 2＝2－22； (2)配方，得(x －2)2＝3，直接开平方，得x －2＝±3，即x 1＝2＋3，x 2＝2－3； (3)∵a＝1，b ＝－3，c ＝1，∴Δ＝b 2－4ac ＝(－3)2－4×1×1＝5>0，∴x ＝－（－3）±52×1，即x 1＝3＋52，x 2＝3－52； (4)分解因式，1＝2，x 2＝0.1．方程(x －3)(x ＋1)＝0的解是(C )A ．x ＝3B ．x ＝－1C ．x 1＝3，x 2＝－1D ．x 1＝－3，x 2＝12．(2016某某路北一模)用配方法解一元二次方程x 2＋4x －5＝0，此方程可变形为(A )A ．(x ＋2)2＝9B ．(x －2)2＝9C ．(x ＋2)2＝1D ．(x －2)2＝13．用公式法解方程： (1)(某某中考)x 2－3x ＋2＝0； 解：x 1＝1，x 2＝2；(2)(某某中考)x 2－1＝2(x ＋1)．解：x 1＝－1，x 2＝3.一元二次方程根的判别式及根与系数的关系【例2】(2017某某中考)若关于x 的不等式x －a 2＜1的解集为x ＜1，则关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋1＝0根的情况是(A )A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定【解析】解不等式x －a 2＜1得x ＜1＋a 2，而不等式x －a 2＜1的解集为x ＜1，所以1＋a2＝1，解得a ＝0，又因为Δ＝a 2－4＝－4，所以关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋1＝0没有实数根．故选C .【答案】C4．(2016某某丰润二模)方程x 2－x ＋3＝0根的情况是(D )A ．只有一个实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．没有实数根5．(2016某某博野模拟)已知关于x 的一元二次方程(a －1)x 2－2x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则a 的取值X 围是(C )A ．a>2B ．a<2C ．a<2且a≠1D ．a<－26．(2017某某中考)已知a ，b ，c 为常数，点P(a ，c)在第二象限，则关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根的情况是(B )A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判断一元二次方程的应用【例3】(2017达州中考)某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，，设可变成本平均每年增长的百分率为x.(1)用含x的代数式表示第3年的可变成本为________万元；，求可变成本平均每年增长的百分率．【解析】(1)根据增长率问题由第1年的可变成本为2.6万元就可以表示出第二年的可变成本为2.6(1＋x)万元，则第三年的可变成本为2.6(1＋x)2万元；(2)根据养殖成本＝固定成本＋可变成本建立方程即可．【答案】(1)2.6(1＋x)2；(2)由题意，得4＋2.6(1＋x)2＝7.146.解得x1，x2＝－2.1(不合题意，舍去)．答：可变成本平均每年增长的百分率为10%.【例4】有一人患了流感，经过两轮传染后共有256人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染(A)A．17人B．16人C．15人D．10人【解析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人；患流感的人把病毒传染给别人，自己也包括在总数中，第二轮作为传染源的是(x＋1)人，每人传染x个人，则传染x(x＋1)人．两轮后得流感的总人数为：一开始的1人＋第一轮传染的x个人＋第二轮传染的x(x＋1)人，列方程：1＋x＋x(1＋x)＝256，解得x1＝15，x2，所以x＝－17不合题意，应舍去；取x＝15，故选C.【答案】C【例5】商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元．据此规律，正常销售情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2 100元？【解析】设降价x元，则每件盈利(50－x)元，数量增多2x件，再由单件利润×数量＝2 100即可．【答案】解：设每件商品降价x元，则商场日销售量增加2x件，每件商品盈利(50－x)元．由题意，得(50－x)(30＋2x)＝2 100.整理，得x2－35x＋300＝0.解得x1＝15，x2＝20.∵要尽快减少库存，∴x＝15不合题意，舍去，只取x＝20.答：每件商品降价20元时，商场日盈利可达到2 100元．【例6】(2017某某中考)如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为60 m，宽为40 m的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的甬道，设甬道宽为a m.(1)用含a的式子表示花圃的面积；(2)如果甬道所占面积是整个长方形空地面积的38，求出此时甬道的宽．【解析】(1)用含a 的式子先表示出花圃的长和宽，再利用矩形面积公式列出式子即可；(2)甬道所占面积等于大长方形空地面积减去中间小花圃的面积，再根据甬道所占面积是整个长方形空地面积的38，列出方程进行计算即可．【答案】解：(1)(60－2a)(40－2a)； (2)由题意，得60×40－(60－2a)(40－2a)＝38×60×40，解得a 1＝5，a 2＝45(舍去)． 答：此时甬道的宽为5 m .7．，2016年外贸收入达到了4亿元，若平均每年的增长率为x ，则可以列出方程为(A )A (1＋x)2＝4B ．(2.5＋x%)2＝4C (1＋x)(1＋2x)＝4D (1＋x%)2＝48．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图)，原空地一边减少了 1 m ，另一边减少了2 m ，剩余空地的面积为18 m 2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为x m ，则可列方程为(C )A ．(x ＋1)(x ＋2)＝18B ．x 2－3x ＋16＝0C ．(x －1)(x －2)＝18D ．x 2＋3x ＋16＝09．(2017原创)有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，问每轮传染中平均一个人传染__7__word个人．如果不及时控制，第三轮又将有__448__人被传染．10．为了绿化校园环境，学校向某园林公司购买了一批树苗．园林公司规定；如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，，但每棵树苗最低售价不得少于100元．该校最终向园林公司支付树苗款8 800元，那么该校共购买了多少棵树苗？解：设该校共买了x棵树苗．120×60＝7 200(元)．∵7 200＜8 800，∴购买树苗超过60棵；x[120－0.5(x－60)]＝8 800，x1＝220，x2＝80，当x＝220时，120－0.5×(220－60)＝40＜100，∴x＝220舍去．∴x＝80.答：该校共购买了80棵树苗．11 / 11。
一元二次方程单元复习课件
6.用配方法证明：
关于x的方程
（m²-12m +37）x ²+3mx+1=0，无 论m取何值，此方程都是一元二次方 程
四：根与系数关系：如果方程ax2+bx+c=0（a≠0） 的两根分别为x1、x2，则
x1
x2
c a
x1
x2
b a
1、用配方法解方程2x²+4x +1 =0，配方后得到的方程
是
销售额达到了135.2万元,设四、五月份的平均增长率为x，则
可列方程（
100(1-20%)(1+x)2=135.2）
拓展提高：
某超市1月份的营业额为200万元， 第一季度营业额为1000万元，若 平均每月增长率相同，求该增长率。
200+200(1+x)+200(1+x)2=1000
某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈
6000元
由题意得:
(10+x)(500-20x)=6000
解得: x1=5,x2=10 因为为了使顾客得到实惠,所以x=5
答:每千克应涨价5元.
（二）几何问题
方法提示：1)主要集中在几何图形的面积问题, 这类问题的 面积公式是等量关系, 如果图形不规则应割或补成规则图形, 找出各部分面积之间的关系,再运用规则图形的面积公式列出 方程;
解:(1)横条道路的面积为2a平方米,
竖条道路的面积为2b平方米.
b (2)设b=x米,则a=2x米
由题意得:
(x-2)(2x-2)=312
a
解得: x1=14,x2=-11(不合,舍去)
答:此矩形的长与宽各为28米,14米.
拓展提高：
第一部分 第二章 第1讲 第1课时 一元一次方程、二元一次方程组-2020中考数学一轮复习课件(共25张PPT)
小结与反思：列方程(组)解应用题的关键在于审题，抓 住关键词，找出已知量、未知量以及它们之间的关系， 然后设未知数，列方程(组)求解，最后还要检验答案是 否符合实际问题.
解法1：设买羊人数为x人，则羊价为(5x＋45)元． 根据题意，得5x＋45＝7x＋3. 解得x＝21，∴5x＋45＝150. 答：买羊人数为21人，羊价为150元．
ห้องสมุดไป่ตู้
解法2：设买羊人数为x人，羊价为y元，则 解得
答：买羊人数为21人，羊价为150元．
5.(2019年安徽)为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出 行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路.其中一段长
解：去分母，得3(x－3)－2(2x＋1)＝6. 去括号，得3x－9－4x－2＝6. 移项，得3x－4x＝6＋9＋2. 合并同类项，得－x＝17. 系数化为1，得x＝－17.
(2)(2019年广东广州)解方程组：
解：
②－①得，4y＝8，解得y＝2. 把y＝2代入①，得x－2＝1，解得x＝3. ∴原方程组的解为
考点2 一元一次方程的应用 例2 (2019年湖南株洲)《九章算术》是我国古代内容极为 丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有善行者行一百 步，不善行者行六十步.今不善行者先行一百步，善行者追 之，问几何步及之？”其意思为：速度快的人走100步，速 度慢的人只走60步，现速度慢的人先走100步，速度快的人 去追赶，则速度快的人要走________步才能追到速度慢的 思人路. 点拨：由“追赶”知道是追击问题，利用“追击路程＝ 速度差×追击时间”建立等量关系求出“追击时间”，然后 再利用“路程＝速度×时间”求解.注意本题中隐含的两个 速度：100步和60步.
解析：设走路快的人追上走路慢的人所用时间为t， 根据题意，得(100－60)t＝100， 解得t＝2.5.
数学中考一轮复习专题08一元二次方程课件
【例12】（3分）（202X•青海8/27）在解一元二次方程x2+bx+c=0时，小明看错了
一次项系数b，得到的解为x1=2，x2=3；小刚看错了常数项c，得到的解为x1=1，
x2=5．请你写出正确的一元二次方程
．
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解；一元二次方程的一般情势
【分析】利用根与系数的关系得到2×3=c，1+5=-b，然后求出b、c即可． 【解答】解：根据题意得2×3=c，1+5=-b， 解得b=-6，c=6， 所以正确的一元二次方程为x2-6x+6=0． 故答案为x2-6x+6=0．
则x-1=0或x-3=0，
解得x1=1，x2=3． 故选：B．
知识点3 ：一元二次方程的根的判别式
知识点梳理
1．一元二次方程根的判别式： b2－4ac 叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）根的
判别式．常用字母“ ”表示．
2. 对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）：
（1）当 =b2－4ac＞0⇔方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，即
些问题应掌握以下内容：
（1）增长率等量关系：
①增长率＝
增长量 基础量
×100%；
②设a为本来量，m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则a(1+m)n=b；当
m为平均降落率，n为降落次数，b为降落后的量时，则有a(1-m)n=b.例如：第一年产值
为a，若以后每年的增长率均为x，则第二年的产值为a(1+x)，第三年的产值为a(1+x) 2；
知数的值是一元二次方程的解，解题时应注意把m2+m当成一个整体，利用了整体的 思想．
河北省2020届中考数学一轮复习讲义2.第二节 分式方程及其应用
第二章 方程(组)与不等式(组)第二节 分式方程及其应用1. (2019益阳)解分式方程x 2x －1＋21－2x ＝3时，去分母化为一元一次方程，正确的是( ) A. x ＋2＝3B. x －2＝3C. x －2＝3(2x －1)D. x ＋2＝3(2x －1) 2. (2019百色)方程1x ＋1＝1的解是( ) A. 无解 B. x ＝－1 C. x ＝0 D. x ＝13. (2019唐山路北区一模)解分式方程2x ＋1＋3x －1＝6x 2－1，分以下四步，其中，错误的一步是( ) A. 方程两边分式的最简公分母是(x －1)(x ＋1)B. 方程两边都乘以(x －1)(x ＋1)，得整式方程2(x －1)＋3(x ＋1)＝6C. 解这个整式方程，得x ＝1D. 原方程的解为x ＝14. 分式1x的分子、分母同时加2，所得分式与原分式互为相反数，依上述情形，所列关系成立的是( ) A. 1x ＋1＋2x ＋2＝0 B. 1x －1＋2x ＋2＝0 C. 1x ＋1x ＋2＝0 D. 1x －1x ＋2＝0 5. (2019河北定心卷)“车间给吴师傅分配了900个零件的加工任务，接到任务后，吴师傅实际…，求吴师傅实际每小时加工零件的个数”．在这个题目中，若设吴师傅实际每小时加工零件x 个，可列方程为900x －1－900x＝10，则题目中用“…”表示的条件应是( ) A. 每小时比原计划多加工1个，结果提前10小时完成B. 每小时比原计划多加工1个，结果延期10小时完成C. 每小时比原计划少加工1个，结果延期10小时完成D. 每小时比原计划少加工1个，结果提前10小时完成6. 如图，在框中解分式方程的4个步骤中，根据等式基本性质的是( )基础过关第6题图A. ①①B. ①①C. ①①D. ①①7. 已知a 是实数，若分式方程3x ＋a x ＋2＝1无解，则a 的值为( ) A. 6 B. 3 C. 0 D. －38. (2019济宁)世界文化遗产“三孔”景区已经完成5G 基站布设，“孔夫子家”自此有了5G 网络，5G 网络峰值速率为4G 网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输500兆数据，5G 网络比4G 网络快45秒，求这两种网络的峰值速率．设4G 网络的峰值速率为每秒传输x 兆数据，依题意，可列方程是( )A.500x －50010x ＝45 B. 50010x －500x ＝45 C. 5000x －500x ＝45 D. 500x －5000x＝45 9. 对于非零实数a 、b ，规定a ⊗b ＝2a b －1a.若x ⊗(2x －1)＝1，则x 的值为( ) A. 1 B. 13 C. －1 D. －1310. (2018株洲)关于x 的分式方程2x ＋3x －a＝0的解为x ＝4，则常数a 的值为( ) A. a ＝1 B. a ＝2 C. a ＝4 D. a ＝1011. (2019唐山路北区二模)分式方程3x x ＋2＝1的解是x ＝________． 12. (2019天水)分式方程1x －1－2x＝0的解是_______． 13. (人教八上P155习题15.3T4改编)A ，B 两种机器人都被用来搬运化工原料，A 型机器人比B 型机器人每小时多搬运30 kg ，A 型机器人搬运900 kg 所用时间与B 型机器人搬运600 kg 所用时间相等，A 型机器人每小时搬运________kg 化工原料，B 型机器人每小时搬运________kg 化工原料．14. (2019江西)斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段A －B －C 横穿双向行驶车道，其中AB ＝BC ＝6米，在绿灯亮时，小明共用11秒通过AC ，其中通过BC 的速度是通过AB 速度的1.2倍，求小明通过AB 时的速度．设小明通过AB 时的速度是x 米/秒，根据题意列方程得：__________________．第14题图15. (2019泰州)解方程：2x －5x －2＋3＝3x －3x －2.16. (2019自贡)解方程：x x －1－2x＝1.17. (2019唐山古冶区二模)下图是学习分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程．根据以上信息，解答下列问题：(1)甲同学所列方程中的x 表示____________；乙同学所列方程中的y 表示________________；(2)两个方程中任选一个，解方程并回答老师提出的问题．1. 关于x 的分式方程5x ＝a x －2有解，则字母a 的取值范围是( ) A. a ＝5或a ＝0B. a ≠0C. a ≠5D. a ≠5且a ≠0 满分冲关15．3分式方程 一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h ，它以最大航速沿江顺流航行90 km 所用时间，与以最大航速逆流航行60 km 所用时间相等，江水的流速为多少？ 甲：9030＋x ＝6030－x 乙：90y ＋60y＝30×22. 如图，A，B，C三点在数轴上，对应的数分别是1x＋2，1，3x2x＋4，且点B到A，C的距离相等，则x ＝________．第2题图3. (2019石家庄桥西区二模)小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：？x－2＋3＝12－x.(1)她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；(2)小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是x＝2，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？参考答案第二节 分式方程及其应用基础过关1. C2. C3. D 【解析】分式方程的最简公分母为(x －1)(x ＋1)，方程两边乘以(x －1)(x ＋1)，得整式方程2(x －1)＋3(x ＋1)＝6，解得x ＝1，经检验x ＝1是增根，即分式方程无解．故选D .4. A 【解析】分式1x 的分子、分母同时加2，所得分式1＋2x ＋2，两个分式互为相反数，所以有1x ＋1＋2x ＋2＝0.5. A6. C 【解析】①根据等式的性质2，等式的两边都乘同一个不为零的整式(x －2)，结果不变；③根据等式的性质1，等式的两边都加同一个整式3－x ，结果不变．7. A 【解析】3x ＋a x ＋2＝1，方程两边同乘以(x ＋2)，得3x ＋a ＝x ＋2，移项及合并同类项，得2x ＝2－a ，∵关于x 的分式方程3x ＋a x ＋2＝1无解，∴x ＋2＝0，解得x ＝－2.∴2－a ＝－4，解得a ＝6. 8. A 【解析】设4G 网络的峰值速率为每秒传输x 兆数据，则5G 网络的峰值速率为每秒传输10x 兆数据，∵在峰值速率下传输500兆数据，5G 网络比4G 网络快45秒，∴可列方程500x －50010x＝45.故选A . 9. A 【解析】根据题中的新定义得2x 2x －1－1x＝1，去分母得2x 2－2x ＋1＝2x 2－x ，解得x ＝1，经检验x ＝1是分式方程的解．10. D 【解析】把x ＝4代入方程2x ＋3x －a ＝0，得24＋34－a＝0，解得a ＝10. 11. 1 【解析】分式方程两边同乘(x ＋2)，得3x ＝x ＋2，移项、合并同类项，得2x ＝2，系数化为1，得x ＝1.经检验，x ＝1是分式方程的解．12. x ＝2 【解析】去分母得x －2(x －1)＝0，去括号得x －2x ＋2＝0，移项、合并同类项得－x ＝－2，系数化为1得x ＝2.经检验，x ＝2是分式方程的解．13. 90，60 【解析】设B 型机器人每小时搬运x kg 化工原料，则A 型机器人每小时搬运(x ＋30)kg 化工原料，根据题意得：900x ＋30＝600x ，解得：x ＝60，经检验，x ＝60是原分式方程的解，∴x ＋30＝90.14. 6x ＋61.2x ＝11 【解析】依题意，小明通过AB 段和BC 段的时间可以分别表示为6x 秒、61.2x秒，故可列方程为：6x ＋61.2x＝11. 15. 解：去分母，得2x －5＋3x －6＝3x －3，解得x ＝4，检验：当x ＝4时，x －2＝2≠0，∴x ＝4是原分式方程的解．16. 解：去分母，得x 2－2(x －1)＝x (x －1)，整理，得x 2－2x ＋2＝x 2－x ，解得x ＝2，检验：将x ＝2代入x (x －1)得，2×(2－1)＝2≠0，∴原分式方程的解是x ＝2.17. 解：(1)江水的流速；轮船以最大航速沿江顺流航行90 km 所用时间或以最大航速逆流航行60 km 所用时间；(2)选甲的方程：9030＋x ＝6030－x， 去分母，得2700－90x ＝1800＋60x ，移项，系数化为1，得x ＝6，检验：当x ＝6时，(30＋x )(30－x )≠0，∴x ＝6是原分式方程的解，答：江水的流速为6 km/h .满分冲关1. D 【解析】方程5x ＝a x －2，去分母得：5(x －2)＝ax ，去括号得：5x －10＝ax ，移项，合并同类项得：(5－a )x ＝10，∵关于x 的分式方程5x ＝a x －2有解，∴5－a ≠0，x ≠0且x ≠2，∴a ≠5，系数化为1得：x ＝105－a ，∴105－a ≠0且105－a≠2，即a ≠5且a ≠0，综上所述，字母a 的取值范围是a ≠5且a ≠0.2.－6【解析】依题意得：1－1x＋2＝3x2x＋4－1，整理得：2－1x＋2＝3x2（x＋2），两边同时乘以2(x＋2)，得：4(x＋2)－2＝3x，去括号得：4x＋8－2＝3x，移项得：4x－3x＝－6，解得x＝－6，检验：当x＝－6时，2(x＋2)≠0，∴原分式方程的解为x＝－6.3.解：(1)分式方程：5x－2＋3＝12－x，方程两边同时乘以(x－2)得5＋3(x－2)＝－1，移项，合并同类项得3x＝0，解得x＝0.经检验，x＝0是原分式方程的解；(2)设“？”为m，方程两边同时乘以(x－2)，得m＋3(x－2)＝－1，由于x＝2是原分式方程的增根，∴将x＝2代入上面的等式，得m＋3×(2－2)＝－1，解得m＝－1，∴原分式方程中“？”代表的数是－1.。
河北中考数学总复习课件(第7课时一元二次方程)
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第7课时┃ 一元二次方程
探究四 一元二次方程根与系数的关系
命题角度： 1．已知一元二次方程的一个根求另一个根； 2．求一元二次方程的两根之和、两根之积以及与两根有关 的代数式的值．
例 7 [2014·威海] 方程 x2－(m＋6)x＋m2＝0 有两个相等的
实数根，且满足 x1＋x2＝x1·x2，则 m 的值是 A．－2 或 3 B．3 C．－2 D．－3 或 2
谢谢观赏
You made my day!
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第7课时┃ 一元二次方程
探究三 一元二次方程根的判别式
命题角度：
1．会用根的判别式判别一元二次方程根的情况； 2．用根的判别式求一元二次方程字母系数的取值范围．
例 5 (1)[2014·唐山市滦南县一模] 下列一元二次方程中
无实数根的方程是
(B )
A．x2＋2x＋1＝0
B．x2＋1＝0
C．x2＝2x－1
D．x2－4x－5＝0
(2)[2014·内江] 若关于 x的一元二次方程(k－1)x2＋2x－2
＝0 有两个不相等实数根，则 k 的取值范围是
(C )
A．k＞12 B．k≥12 C．k＞12且 k≠1 D．k≥12且 k≠1
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第7课时┃ 一元二次方程
次方程 判别式与 (2)b2－4ac＝0⇔方程有__两__个__相__等___的实数
根的判 根的关系 根；(3)b2－4ac<0⇔方程____没__有_____实数根
别式
在使用根的判别式解决问题时，如果二次项
初三数学中考专题复习 一元二次方程 课件(共22张PPT)
• 9、某商场将进货价为30元的台灯以40元售 出，平均每月能售出600个，调查表明：， 这种台灯的售价每上涨1元，其月销售量就 将减少10个，若销售利润率不得高于100% ，为了实现平均每月10000元的销售利润， 这种台灯的售价应定为多少？这时应进台 灯多少个？
• 5、 若x，y为矩形的边长，且(x＋y＋4)(x ＋y＋5)＝42， 则矩形的周长为___．
• 6、如果正整数a是一元二次方程x2－3x＋ m＝0的一 个根，－a是一元二次方程
• x2＋3x－m＝0的一个 根，则a＝____．
• 7、一元二次方程ax2+bx+c=0，若x=1是它 的一个根，则 a+b+c= ___,若a-b+c=0， 则方程必有一根为___
运动与方程
如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，
AC=6m，BC=8m，点P、Q同时由A、
B速两点出发分别沿AC，BC方向 A
向点C匀运动，它们的速度都是 P 1m/s，几秒后四边形APQB的面积
为Rt△ACB面积的1\3？
C
QB
几何与方程
1.将一块正方形的铁皮四角剪去一个边长为4cm的小正 方形,做成一个无盖的盒子.已知盒子的容积是400cm3, 求原铁皮的边长.
适应于左边能分解为两个一次因式的积右边是00的方程一一元二次方程的定义1判断下面方程是不是一元二次方程14xx2023x2y103ax?bxc04853xx13????122方程m2xm3mx40是关于x的一元二次方程则m3方程m21x2m1x2m10当m时是一元二次方程
第二章 一元二次方程 复习
把握住：一个未知数，最高次数是2，
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3.(2016河北,14,2分)a,b,c为常数,且(a-c)2>a2+c2,则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是 ( ) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.无实数根 D.有一根为0 答案 B 由(a-c)2>a2+c2,得a2-2ac+c2>a2+c2,即-2ac>0,所以-4ac>0.又因为b2≥0,所以Δ=b2-4ac>0,所以方程有 两个不相等的实数根.
思路分析 利用完全平方公式将(a-c)2展开,即可得出-4ac>0,再结合方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac,即 可得出Δ>0,由此即可得出结论.
解题关键 本题考查完全平方公式以及根的判别式,解题的关键是得到Δ=b2-4ac>0.
4.(2019河北,18,4分)如图,约定:上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数.
答案 A 只抄对了a=1,b=4,即x2+4x+c=0,把x=-1代入得c=3,因为所抄的c比原方程的c值小2,所以c值应该 为5,原方程为x2+4x+5=0,Δ=42-4×1×5=-4<0,所以原方程不存在实数根,故选A.
2.(2015河北,12,2分)若关于x的方程x2+2x+a=0不存在实数根,则a的取值范围是 ( ) A.a<1 B.a>1 C.a≤1 D.a≥1
B组 2015—2019年全国中考题组
考点一 一元一次方程及其应用
1.(2018山东济南,7,4分)关于x的方程3x-2m=1的解为正数,则m的取值范围是 ( )
A.m<- 1 B.m>- 1 C.m> 1 D.m< 1
2
2
2
2
答案 B 解方程3x-2m=1得x= 1 2m .∵方程的解为正数,∴1 2m >0,解得m>- 1 .故选B.
4.(2018内蒙古呼和浩特,13,3分)文具店销售某种笔袋,每个18元,小华去购买这种笔袋,结账时店员说:“如
果你再多买一个就可以打九折,价钱比现在便宜36元.”小华说:“那就多买一个吧,谢谢.”根据两人的对话
可知,小华结账时实际付款
元.
答案 486
解析 设小华计划买x个笔袋,则可列方程为18x-18×0.9×(x+1)=36,解得x=29.故小华结账时实际付款18×0.9 ×30=486(元).
3
3
2
2.(2017山东滨州,9,3分)某车间有27名工人,生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品,每人每天生产螺母16 个或螺栓22个.若分配x名工人生产螺栓,其他工人生产螺母,恰好使每天生产的螺栓和螺母配套,则下面所 列方程中正确的是 ( ) A.22x=16(27-x) B.16x=22(27-x) C.2×16x=22(27-x) D.2×22x=16(27-x)
示例:
即4+3=7.
则(1)用含x的式子表示m=
;
(2)当y=-2时,n的值为
.
答案 (1)3x (2)1 解析 (1)根据约定可得x+2x=m,即m=3x. (2)根据约定及(1)可得n=2x+3,y=m+n=3x+2x+3=5x+3,当y=-2时,5x+3=-2,解得x=-1.所以n=2x+3=2×(-1)+3=1.
A组 河北中考题组
1.(2019河北,15,2分)小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)时,只抄对了a=1,b=4,解出其中一个根是x=-1.他 核对时发现所抄的c比原方程的c值小2,则原方程的根的情况是( ) A.不存在实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有一个根是x=-1 D.有两个相等的实数根
当2m-1=1,即m=1时,x-2=0,解得x=2;③当2m-1=0,即m=1 时,1 -1 x-2=0,解得x=-3.综上所述,方程的解为-3或-2 2 22
或2.
解后反思 当方程含未知数的项的系数或指数含参数,且其为一元一次方程时,需分类讨论使其符合ax+b= 0(a≠0)的形式,再求出参数的值或者方程的解.
答案 D x名工人可生产螺栓22x个,(27-x)名工人可生产螺母16(27-x)个,由于螺栓数目的2倍与螺母数目 相等,因此2×22x=16(27-x).
3.(2019内蒙古呼和浩特,14,3分)如果关于x的方程mx2m-1+(m-1)x-2=0是一元一次方程,则其解为
.
答案 -3或-2或2
解析 因为关于x的方程mx2m-1+(m-1)x-2=0是一元一次方程,所以分情况讨论:①当m=0时,-x-2=0,解得x=-2;②
5.(2014河北,21,10分)嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式时,对于b2-4ac>0的 情况,她是这样做的:
(1)嘉淇的解法从第 ;
步开始出现错误;事实上,当b2-4ac>0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是
(2)用配方法解方程:x2-2x-24=0.
解析 (1)四; (2分)
x= b b2 4ac . (4分) 2a
(2)由x2-2x-24=0,
得x2-2x=24,
∴x2-2x+
2 2
2
=24+
2 2
2
,
即(x-1)2=25, (8分)
故x-1=±5,
∴x1=6,x2=-4. (10分)
5.(2016江苏常州,13,2分)若代数式x-5与2x案 -4
解析 根据题意得x-5=2x-1,解得x=-4.
考点二 一元二次方程
1.(2019山西,8,3分)一元二次方程x2-4x-1=0配方后可化为 ( ) A.(x+2)2=3 B.(x+2)2=5 C.(x-2)2=3 D.(x-2)2=5 答案 D x2-4x-1=0,(x2-4x+4)-4-1=0,(x-2)2=5,故选D.
方法总结 用配方法解一元二次方程的步骤: (1)形如x2+px+q=0型: 第一步,移项,把常数项移到右边; 第二步,配方,左右两边同时加上一次项系数一半的平方; 第三步,左边写成完全平方式; 第四步,左右两边同时开方,求出x. (2)形如ax2+bx+c=0型:方程两边同时除以二次项系数,即化成x2+px+q=0的形式,然后按照(1)中的步骤进行求 解.