2018年高考考点完全题数学(理)考点通关练习题 第八章 概率与统计 63 Word版含答案
2018年高考考点完全题数学(理)考点通关练习题 第八章 概率与统计 57 Word版含答案
考点测试排列与组合一、基础小题．将名司机和名售票员分配到四辆公共汽车上，每辆车上分别有名司机和名售票员，则可能的分配方案种数是( )．．．．答案解析(分组分配法)将名售票员平均分为组，分配到辆车上，有种，再分配司机有种，故共有方案数种．．将名实习教师分配到高一年级的个班实习，每班至少名，最多名，则不同的分配方案有( )．种．种．种．种答案解析由每班至少名，最多名，知分配名额为，∴分配方案有··＝(种)．故选.．将标号为的张卡片放入个不同的信封中．若每个信封放张，其中标号为的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )．种．种．种．种答案解析先放、的卡片有种，再将、、、的卡片平均分成两组再放置，有·种，故共有·＝(种)．．将字母，，，，，排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有( )．种．种．种．种答案解析先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有种不同的排法．再排第二列，其中第二列第一行的字母共有种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有种排法．因此共有··＝(种)不同的排列方法．．位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得分，答错得－分；选乙题答对得分，答错得－分．若位同学的总分为，则这位同学不同得分情况的种数是( )．．．．答案解析分四类：第一类，人全选乙题则有种；第二类，人选甲题人选乙题，则有·种；第三类，人选甲题人选乙题，则有··种；第四类，人选甲题，则有种，则这位同学不同得分情况种数为＋·＋··＋＝，故选.．五个人负责一个社团的周一至周五的值班工作，每人一天，则甲同学不值周一，乙同学不值周五，且甲、乙不相邻的概率是( )答案解析由题意，总的基本事件数为五个人的全排列数.设“甲不值周一，乙不值周五，且甲、乙不相邻”为事件，则事件包含的基本事件数可按甲值班日期分类计算，当甲值周二时，有种；当甲值周三时，有种；当甲值周四时，有种，当甲值周五时，有种．所以事件包含的基本事件数()＝＋＋＋＝，所以事件发生的概率为()＝＝，故选.．高三()班需要安排毕业晚会的个音乐节目、个舞蹈节目和个曲艺节目的演出顺序，要求个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是( )．．．．答案解析两个舞蹈节目不连排，可先安排个音乐节目和个曲艺节目有种排法，再将个舞蹈节目插到个空中的个中去，由分步计数原理，有·＝(种)，故选.．一个口袋内装有个不同的红球，个不同的白球，若取出一个红球记分，取出一个白球记分，从口袋中取个球，则总分不小于分的取法有( )．种．种．种．种答案解析设取个红球，个白球，于是(\\(＋≥，＋＝，))其中(\\(≤≤，∈，≤≤，∈，))于是(\\(＝，＝))或(\\(＝，＝))或。
2018年高考考点完全题数学(理)考点通关练习题第八章概率与统计66Word版含答案
考点测试66 用样本估计总体一、基础小题1．某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1,2,3,4,5，现从一批该种日用品中随机抽取200件，对其等级系数进行统计分析，得到频率f的分布表如下：则在所取的200A．40 B．20 C．30 D．60答案 B解析由所有频率之和为1，得a＝0.1，则在所取的200件日用品中，等级系数X＝1的件数为200×0.1＝20.2．对于一组数据x i(i＝1,2,3，…，n)，如果将它们改变为x i＋C(i＝1,2,3，…，n)，其中C≠0，则下列结论正确的是( )A．平均数与方差均不变B．平均数变，方差保持不变C．平均数不变，方差变D．平均数与方差均发生变化答案 B解析由平均数的定义，可知每个个体增加C，则平均数也增加C，方差不变，故选B.3．甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：A．甲 B．乙 C．丙 D．丁答案 C解析由表格中数据，可知丙平均环数最高，且方差最小，说明丙技术稳定，且成绩好，选C.4. 某工厂对一批新产品的长度(单位：mm)进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品长度的中位数为( )A．20 B．25 C．22.5 D．22.75答案 C解析产品的中位数出现在概率是0.5的位置．自左至右各小矩形的面积依次为0.1,0.2,0.4,0.15,0.15，设中位数是x，则由0.1＋0.2＋0.08·(x－20)＝0.5，得x＝22.5，选C.5. 甲、乙两名同学在7次数学测试中的成绩如茎叶图所示，其中甲同学成绩的众数是85，乙同学成绩的中位数是83，则成绩较稳定的是________．答案 甲解析 根据众数及中位数的概念易得x ＝5，y ＝3，故甲同学成绩的平均数为78＋79＋80＋85＋85＋92＋967＝85，乙同学成绩的平均数为72＋81＋81＋83＋91＋91＋967＝85，故甲同学成绩的方差为17×(49＋36＋25＋49＋121)＝40，乙同学成绩的方差为17×(169＋16＋16＋4＋36＋36＋121)＝3987>40，故成绩较稳定的是甲．6．甲、乙两人要竞争一次大型体育竞技比赛射击项目的参赛资格，如图是在测试中甲、乙各射靶10次的条形图，则参加比赛的最佳人选为________．答案 乙解析 甲的平均数x 1＝4×0.2＋5×0.1＋7×0.3＋8×0.1＋9×0.2＋10×0.1＝7.0，乙的平均数x 2＝5×0.1＋6×0.2＋7×0.4＋8×0.2＋9×0.1＝7.0，所以x 1＝x 2；甲的方差s 21＝110＝4，乙的方差s 22＝110＝1.2，所以s 21>s 22，即参加比赛的最佳人选为乙． 二、高考小题7．某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )A ．56B ．60C ．120D ．140 答案 D解析 由频率分布直方图，知这200名学生每周的自习时间不少于22.5小时的频率为1－(0.02＋0.10)×2.5＝0.7，则这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为200×0.7＝140，故选D.8．重庆市2013年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是( ) A ．19 B ．20 C ．21.5 D ．23 答案 B解析 由茎叶图，可知这组数据的中位数为20＋202＝20.9．若样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为8，则数据2x 1－1,2x 2－1，…，2x 10－1的标准差为( )A ．8B ．15C ．16D ．32 答案 C解析 设数据x 1，x 2，…，x 10的平均数为x ，标准差为s ，则2x 1－1,2x 2－1，…，2x 10－1的平均数为2x －1，方差为x 1－－x －2＋x 2－－x －2＋…＋x 10－－x －210＝x 1－x2＋x 2－x2＋…＋x 10－x210＝4s 2，因此标准差为2s ＝2×8＝16.故选C.10．为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )A ．6B ．8C ．12D ．18 答案 C解析 由题图，可知第一组和第二组的频率之和为(0.24＋0.16)×1＝0.40，故该试验共选取的志愿者有200.40＝50人．所以第三组共有50×0.36＝18人，其中有疗效的人数为18－6＝12.11．设样本数据x 1，x 2，…，x 10的均值和方差分别为1和4，若y i ＝x i ＋a (a 为非零常数，i ＝1,2，…，10)，则y 1，y 2，…，y 10的均值和方差分别为( )A ．1＋a,4B ．1＋a,4＋aC ．1,4D ．1,4＋a答案 A解析 ∵x 1，x 2，…，x 10的均值x ＝1，方差s 21＝4，且y i ＝x i ＋a (i ＝1,2，…，10)，∴y 1，y 2，…，y 10的均值y ＝110(y 1＋y 2＋…＋y 10)＝110(x 1＋x 2＋…＋x 10＋10a )＝110(x 1＋x 2＋…＋x 10)＋a ＝x ＋a ＝1＋a ，其方差s 22＝110＝110＝s 21＝4.故选A.12．在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间上的运动员人数是________．答案 4解析 由系统抽样方法，知应把35人分成7组，每组5人，每组按规则抽取1人，因为成绩在区间上的共有4组，故成绩在区间上的运动员人数是4.三、模拟小题13． 某品牌空调在元旦期间举行促销活动，右面的茎叶图表示某专卖店记录的每天销售量情况(单位：台)，则销售量的中位数是( )A ．13B ．14C ．15D ．16 答案 C解析 由茎叶图可知这些数分别为：5,8,10,14,16,16,20,23，∴中位数为14＋162＝15，故选C.14．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22 ℃”，现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数)：①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22； ②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8.则肯定进入夏季的地区有( )A．①②③ B．①③ C．②③ D．①答案 B解析由统计知识，①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22，可知①符合题意；而②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24，有可能某一天的气温低于22 ℃，所以不符合题意；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8.若某一天的气温低于22 ℃，则总体方差就大于10.8，所以满足题意．故选B.15．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(10分制)的频率分布直方图如图所示，假设得分值的中位数为m e，众数为m0，平均数为x，则( )A．m e＝m0＝x B．m e＝m0<xC．m e<m0<x D．m0<m e<x答案 D解析显然得分值的众数为5，由频率分布直方图，可得30名学生的得分值分布为：3分(2人)，4分(3人)，5分(10人)，6分(6人)，7分(3人)，8分(2人)，9分(2人)，10分(2人)，则中位数是第15,16个数(5与6)的平均数5＋62＝5.5(分)，众数为5，平均数x＝＋8＋9＋＋＋＋10×5＋6×630≈5.97(分)，所以m0<m e<x，故选D.16．某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂产量分布如图所示，现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为________；由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1020小时、980小时、1030小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为________小时．答案50 1015解析第一分厂应抽取的件数为100×50%＝50；该产品的平均使用寿命为1020×0.5＋980×0.2＋1030×0.3＝1015.17．为了了解某校高三学生的视力情况，随机抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组数据的频数和为62，设视力在4.6到4.8之间的学生人数为a，最大频率为0.32，则a的值为________．答案54解析前三组人数为100－62＝38，第三组人数为38－(1.1＋0.5)×0.1×100＝22，则a＝22＋0.32×100＝54.18．某市教育行政部门为了对某届高中毕业生学业水平进行评价，从该市高中毕业生中随机抽取1000名学生学业水平考试数学成绩作为样本进行统计．已知该样本中的每个值都是中的整数，且在上的频率分布直方图如图所示．记这1000名学生学业水平考试数学平均成绩的最小值(平均数的最小值是用区间的左端点值乘以各组的频率)为a，则a的值为________．答案67.5解析平均数的最小值是用区间的左端点值乘以各组的频率，于是a＝0.005×10×40＋0.010×10×50＋0.025×10×60＋0.035×10×70＋0.015×10×80＋0.010×10×90＝67.5.一、高考大题1．某工厂36名工人的年龄数据如下表：(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；(2)计算(1)中样本的均值x 和方差s 2；(3)36名工人中年龄在x －s 与x ＋s 之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01 %)?解 (1)依题意知所抽取的样本编号是一个首项为2，公差为4的等差数列，故其所有样本编号依次为2,6,10,14,18,22,26,30,34，对应样本的年龄数据依次为44,40,36,43,36,37,44,43,37.(2)由(1)可得其样本的均值x ＝44＋40＋36＋43＋36＋37＋44＋43＋379＝40，方差s 2＝19＝19＝1009.(3)由(2)知s ＝103，所以x －s ＝3623，x ＋s ＝4313.因为年龄在x －s 与x ＋s 之间共有23人， 所以其所占的百分比是2336≈63.89%.2．我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x (吨)，一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求直方图中a 的值；(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由； (3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x (吨)，估计x 的值，并说明理由．解 (1)由频率分布直方图，知月均用水量在 中的频率分别为0.08,0.20,0.26,0.06,0.04,0.02.由0.04＋0.08＋0.5×a ＋0.20＋0.26＋0.5×a ＋0.06＋0.04＋0.02＝1.解得a ＝0.30.(2)由(1)，100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.12＝36000.(3)因为前6组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＋0.15＝0.88>0.85，而前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＝0.73<0.85，所以 2.5≤x <3.由0.3×(x －2.5)＝0.85－0.73，解得x ＝2.9.所以，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准． 二、模拟大题3．汽车行业是碳排放量比较大的行业之一，欧盟规定，从2012年开始，对CO 2排放量超过130 g/km 的MI 型新车进行惩罚(视为排放量超标)，某检测单位对甲、乙两类MI 型品牌的新车各抽取了5辆进行CO 2排放量检测，记录如下(单位：g/km)：经测算发现，乙类品牌车CO 2排放量的平均值为x 乙＝120 g/km. (1)求甲类品牌汽车的排放量的平均值及方差；(2)若乙类品牌汽车比甲类品牌汽车CO 2的排放量稳定性好，求x 的取值范围． 解 (1)甲类品牌汽车的CO 2排放量的平均值x 甲＝80＋110＋120＋140＋1505＝120(g/km)，甲类品牌汽车的CO 2排放量的方差s 2甲＝÷5＝600.(2)由题意知乙类品牌汽车的CO 2排放量的平均值x 乙＝100＋120＋x ＋y ＋1605＝120(g/km)，得x ＋y ＝220，故y ＝220－x ，所以乙类品牌汽车的CO 2排放量的方差s 2乙＝÷5，因为乙类品牌汽车比甲类品牌汽车CO2的排放量稳定性好，所以s 2乙<s 2甲，解得90<x <130.4．为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司的快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月(30天)的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，整理如下：每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内(含35件)的部分每件4元，超出35件的部分每件7元．(1)根据题中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；(2)为了解乙公司员工B每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望；(3)根据题中数据估算两公司被抽取员工在该月所得的劳务费．解(1)甲公司员工A在这10天投递快递件数的平均数为36，众数为33.(2)设a为乙公司员工B1天的投递件数，则当a＝34时，X＝136，当a≥35时，X＝35×4＋(a－35)×7＝7a－105，由题意知X的所有可能取值为136,147,154,189,203.X的分布列为：E(X)＝136×10＋147×10＋154×5＋189×10＋203×10＝10＝165.5(元)．(3)估计甲公司被抽取员工在该月所得的劳务费为4860元，乙公司被抽取员工在该月所得的劳务费为4965元．5．一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量(单位：克)，重量分组区间为，(15,25]，(25,35]，(35,45]．由此得到样本的重量频率分布直方图(如图)．(1)求a 的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；(2)从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在内的小球个数为X ，求X 的分布列和数学期望．(以直方图中的频率作为概率)解 (1)由题意，得(0.02＋0.032＋a ＋0.018)×10＝1，解得a ＝0.03.又由题图最高矩形中点的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20克． 50个样本小球重量的平均值为x ＝0.2×10＋0.32×20＋0.3×30＋0.18×40＝24.6(克)．(2)利用样本估计总体，该盒子中小球重量在内的概率为0.2，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，15. X 的所有可能取值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫150⎝ ⎛⎭⎪⎫453＝64125， P (X ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫15⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝48125， P (X ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫152⎝ ⎛⎭⎪⎫45＝12125， P (X ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫153⎝ ⎛⎭⎪⎫450＝1125. ∴X 的分布列为：∴E (X )＝0×125＋1×125＋2×125＋3×125＝35⎝⎛⎭⎪⎫或E X＝3×15＝35.6．某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量(单位：箱)的数据中分别随机抽取100个，并按，(10,20]，(20,30]，(30,40]，(40,50]分组，得到频率分布直方图如下：假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立．(1)写出频率分布直方图(甲)中a的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量(单位：箱)的方差分别为s21，s22，试比较s21与s22的大小；(只需写出结论)(2)以日销售量落入各组的频率作为概率，估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的日销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率；(3)设X表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求X的数学期望．解(1)根据频率分布直方图的性质，得(0.020＋0.010＋a＋0.030＋0.025)×10＝1，解得a＝0.015.根据频率分布直方图，估计s21>s22.(2)设事件A：在未来的某一天里，甲种酸奶的日销售量不高于20箱；事件B：在未来的某一天里，乙种酸奶的日销售量不高于20箱；事件C ：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的日销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱．则P (A )＝0.20＋0.10＝0.3，P (B )＝0.10＋0.20＝0.3. 所以P (C )＝P (A －)P (B )＋P (A )P (B －)＝0.42. (3)由题意，可知X 的可能取值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝C 03×0.30×0.73＝0.343， P (X ＝1)＝C 13×0.31×0.72＝0.441， P (X ＝2)＝C 23×0.32×0.71＝0.189， P (X ＝3)＝C 33×0.33×0.70＝0.027.所以X 的分布列为：所以X 0.9.。
2018年高考数学理科考点过关习题第八章概率与统计58和答案
考点测试58 二项式定理一、基础小题1.⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 4的展开式中的常数项为( )A ．－24B ．－6C ．6D ．24 答案 D解析 二项展开式的通项T r ＋1＝C r4(2x )4－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝C r 424－r(－1)r ·x 4－2r ， 令4－2r ＝0，即r ＝2，故常数项为C 2422(－1)2＝24.2．若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x n 的展开式中第5项是常数项，则自然数n 的值可能为( )A ．6B ．10C ．12D ．15 答案 C解析 二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －2x n 的展开式的第5项为T 5＝C 4n (x )n －4·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 4，故n －42－4＝0，即n ＝12. 3．若多项式x 3＋x 10＝a 0＋a 1(x ＋1)＋…＋a 9(x ＋1)9＋a 10(x ＋1)10，则a 9＝( )A ．9B ．10C ．－9D ．－10 答案 D解析 x 3＋x 10＝x 3＋10，题中a 9只是10的展开式中(x ＋1)9的系数，故a 9＝C 110(－1)1＝－10.4．(1＋2x )3(1－3x )5的展开式中x 的系数是( ) A ．－4 B ．－2 C ．2 D ．4 答案 C解析 (1＋2x )3的展开式中常数项是1，含x 的项是C 23(2x )2＝12x ；(1－3x )5的展开式中常数项是1，含x 的项是C 35(－3x )3＝－10x ，故(1＋23x )3(1－3x )5的展开式中含x 项的系数为1×(－10)＋1×12＝2.5.⎝⎛⎭⎪⎫ax ＋1x (2x －1)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )A ．－20B ．－10C ．10D ．20 答案 C解析 令x ＝1，可得a ＋1＝2，所以a ＝1，所以⎝⎛⎭⎪⎫ax ＋1x (2x －1)5＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x (2x －1)5，则展开式中常数项为2C 45(－1)4＝10.6．若⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2n 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )A ．180B ．120C ．90D ．45 答案 A解析 由于展开式中只有第六项的二项式系数最大，故第六项为中间项，共有11项，所以n ＝10，T r ＋1＝C r 10⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2r ·(x )10－r ＝C r 102rx10－5r2，令10－5r2＝0，得r ＝2，故常数项是C 21022＝180.7．若(x ＋1)5＝a 5(x －1)5＋…＋a 1(x －1)＋a 0，则a 0和a 1的值分别为( ) A ．32,80 B ．32,40 C ．16,20 D ．16,10 答案 A解析 由于x ＋1＝x －1＋2，因此(x ＋1)5＝5，故展开式中(x －1)的系数为a 1＝C 4524＝80.令x ＝1，得a 0＝32，故选A.8．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12x n (n ∈N *)的展开式中，前三项的二项式系数和是56，则展开式中的常数项为( )A.45256B.47256C.49256D.51256 答案 A解析 由题意知C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝56，∴n ＝10，∴T r ＋1＝C r 10(x 2)10－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x r ＝C r 10⎝ ⎛⎭⎪⎫12rx 20－5r 2，令20－5r 2＝0，得r ＝8，∴常数项为C 810×⎝ ⎛⎭⎪⎫128＝45256，故选A. 9.⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋33x n 的展开式中，各项系数的和与二项式系数的和之比为64，则(1－x )n 的展开式中系数最小的项的系数等于________．答案 －20解析 展开式中，各项系数的和为4n ，二项式系数的和为2n ，由题知2n ＝64，所以n ＝6，(1－x )6的展开式中，第四项的系数最小，为－C 36＝－20.10．1＋3C 1n ＋9C 2n ＋…＋3n C nn ＝________.答案 4n解析 在二项展开式(1＋x )n ＝C 0n ＋C 1n x ＋…＋C n n x n 中，令x ＝3，得(1＋3)n ＝C 0n ＋C 1n 3＋C 2n 32＋…＋C n n 3n ，即1＋3C 1n ＋9C 2n ＋…＋3n C n n ＝4n.11.⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的二项展开式中的常数项为________(用数字作答)． 答案 －160解析 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6＝ 2x －1 6x 3，又∵(2x －1)6的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6(2x )6－r(－1)r ，令6－r ＝3，得r ＝3. ∴T 3＋1＝－C 36(2x )3＝－20×23·x 3＝－160x 3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的二项展开式中的常数项为－160.12．(x 2－x ＋1)10的展开式中x 3的系数为________． 答案 －210解析 (x 2－x ＋1)10＝10＝C 010(x 2)10－C 110(x 2)9(x －1)＋…－C 910(x 2)(x －1)9＋C 1010(x －1)10，所以x 3的系数为－C 910C 89＋C 1010(－C 710)＝－210.二、高考小题13．(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．60 答案 C解析 由于(x 2＋x ＋y )5＝5，其展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(x 2＋x )5－r y r(r ＝0,1,2，…，5)，因此只有当r ＝2，即T 3＝C 25(x 2＋x )3y 2中才能含有x 5y 2项．设(x 2＋x )3的展开式的通项为S i ＋1＝C i 3(x 2)3－i ·x i ＝C i 3x6－i (i ＝0,1,2,3)，令6－i ＝5，得i ＝1，则(x 2＋x )3的展开式中x 5项的系数是C 13＝3，故(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数是C 25·3＝10×3＝30.14．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x 5的展开式中含x 32的项的系数为30，则a ＝( )A. 3 B ．－ 3 C ．6 D ．－6 答案 D解析 展开式的通项为T r ＋1＝C r 5·(x )5－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a x r＝(－1)r C r 5a r·x 52－r (r＝0,1,2，…，5)．令52－r ＝32，得r ＝1，所以展开式中含x32项的系数为(－1)C 15·a ，于是－5a ＝30，解得a ＝－6.15．在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝( )A ．45B ．60C ．120D ．210 答案 C解析 在(1＋x )6的展开式中，x m 的系数为C m 6，在(1＋y )4的展开式中，y n的系数为C n 4，故f (m ，n )＝C m 6·C n 4.从而f (3,0)＝C 36＝20，f (2,1)＝C 26·C 14＝60，f (1,2)＝C 16·C 24＝36，f (0,3)＝C 34＝4，故选C.16．(2x ＋x )5的展开式中，x 3的系数是________(用数字填写答案)． 答案 10解析 T r ＋1＝C r 5(2x )5－r·(x )r ＝25－r C r 5·x5－r 2，令5－r2＝3，得r ＝4，∴T 5＝10x 3，∴x 3的系数为10.17．若⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝________.答案 －2解析 T r ＋1＝a 5－r C r 5x10－52r，令10－52r ＝5，解之得r ＝2，所以a 3C 25＝－80，a ＝－2.18．(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________.答案 3解析 解法一：∵(1＋x )4＝x 4＋C 34x 3＋C 24x 2＋C 14x ＋C 04x 0＝x 4＋4x 3＋6x 2＋4x ＋1，∴(a ＋x )(1＋x )4的奇数次幂项的系数为4a ＋4a ＋1＋6＋1＝32，∴a ＝3. 解法二：设(a ＋x )(1＋x )4＝b 0＋b 1x ＋b 2x 2＋b 3x 3＋b 4x 4＋b 5x 5. 令x ＝1，得16(a ＋1)＝b 0＋b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5，① 令x ＝－1，得0＝b 0－b 1＋b 2－b 3＋b 4－b 5，② 由①－②，得16(a ＋1)＝2(b 1＋b 3＋b 5)， 即8(a ＋1)＝32，解得a ＝3. 三、模拟小题19．(x ＋1)(x －2)6的展开式中x 4的系数为( ) A ．－100 B ．－15 C ．35 D ．220 答案 A解析 由二项式定理可得(x －2)6展开式的通项T r ＋1＝C r 6(－2)r x 6－r，∴x 3的系数为C 36(－2)3＝－160，x 4的系数为C 26(－2)2＝60，∴(x ＋1)(x －2)6的展开式中x 4的系数为－160＋60＝－100.20．⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－12x 6的展开式中，常数项是( )A ．－54 B.54 C ．－1516 D.1516答案 D解析 T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r 6x 12－3r ，令12－3r ＝0，解得r ＝4.∴常数项为⎝ ⎛⎭⎪⎫－124C 46＝1516.故选D.答案 B 解析22．若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x n 的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中1x 2的系数为________________________________________________________________________．答案 56解析 因为展开式中的第3项和第7项的二项式系数相等，即C 2n ＝C 6n ，所以n ＝8，所以展开式的通项为T k ＋1＝C k 8x 8－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x k ＝C k 8x 8－2k，令8－2k ＝－2，解得k ＝5，所以T 6＝C 58⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2，所以1x 2的系数为C 58＝56.23．已知(2x －1)10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9＋a 10x 10，则a 2＋a 3＋…＋a 9＋a 10的值为( )A ．－20B ．0C ．1D ．20 答案 D解析 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝1，再令x ＝0，得a 0＝1，所以a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝0，又易知a 1＝C 910×21×(－1)9＝－20，所以a 2＋a 3＋…＋a 9＋a 10＝20.24．1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010除以88的余数是( )A ．－1B ．1C ．－87D ．87 答案 B解析 1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C 110889＋…＋C 91088＋1.∵前10项均能被88整除，∴余数是1.25．从重量分别为1,2,3,4，…，10,11克的砝码(每种砝码各一个)中选出若干个，使其总重量恰为9克的方法总数为m ，下列各式的展开式中x 9的系数为m 的选项是( )A ．(1＋x)(1＋x 2)(1＋x 3)…(1＋x 11)B ．(1＋x)(1＋2x)(1＋3x)…(1＋11x)C ．(1＋x)(1＋2x 2)(1＋3x 3)…(1＋11x 11)D ．(1＋x)(1＋x ＋x 2)(1＋x ＋x 2＋x 3)…(1＋x ＋x 2＋…＋x 11) 答案 A解析 x 9是由x ，x 2，x 3，x 4，x 5，…，x 11中的指数和等于9的那些项的乘积构成，有多少个这样的乘积就有多少个这样的x 9，这与从重量分别为1,2,3,4，…，10,11克的砝码(每种砝码各一个)中选出若干个，使其总重量恰为9克的方法的意义一样，所以就是(1＋x)(1＋x 2)(1＋x 3)…(1＋x 11)的展开式中x 9的系数，选A .26．在⎝⎛⎭⎪⎫1＋x ＋1x 201510的展开式中，含x 2项的系数为( )A ．10B ．30C ．45D ．120 答案 C解析 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x ＋1x 201510＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1＋x ＋1x 201510＝(1＋x)10＋C 110(1＋x)91x 2015＋…＋C 1010⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 201510，所以x 2项只能在(1＋x)10的展开式中，所以含x 2的项为C 210x 2，系数为C 210＝45.故选C .27．(x ＋2y)7的展开式中，系数最大的项是( )A ．68y 7B ．112x 3y 4C ．672x 2y 5D ．1344x 2y 5 答案 C解析 设第r ＋1项系数最大，则有⎩⎨⎧C r 7·2r ≥C r －17·2r －1，C r7·2r ≥C r ＋17·2r ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧7！r ！ 7－r ！·2r ≥7！r－1 ！ 7－r ＋1 ！·2r －1，7！r ！ 7－r ！·2r≥7！r＋1 ！ 7－r －1 ！·2r ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧2r ≥18－r ，17－r ≥2r ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧r≤163，r≥133.又∵r ∈Z ，∴r ＝5，∴系数最大的项为T 6＝C 57x 2·25y 5＝672x 2y 5.故选C.28．若⎝⎛⎭⎪⎫x －3x n 展开式的各项系数的绝对值之和为1024，则展开式中x 的一次项的系数为________．答案 －15解析 T r ＋1＝C r n (x )n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x r ＝(－3)r ·C r n xn －3r2，因为展开式的各项系数绝对值之和为C 0n ＋|(－3)1C 1n |＋(－3)2C 2n ＋|(－3)3C 3n |＋…＋|(－3)n C nn |＝1024，所以(1＋3)n ＝1024，解得n ＝5，令5－3r 2＝1，解得r ＝1，所以展开式中x 的一次项的系数为(－3)1C 15＝－15.29．将⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x －43展开后，常数项是________．答案 －160解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x －43＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 6展开后的通项是C k 6(x )6－k·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x k ＝(－2)k ·C k 6(x )6－2k . 令6－2k ＝0，得k ＝3.所以常数项是C 36(－2)3＝－160.30．若二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋23x n 的展开式中的常数项是80，则该展开式中的二项式系数之和等于________．答案 32解析 对于T r ＋1＝C r n (x )n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23x r ＝C r n 2r x n －r 2－r3 ，当r ＝35n 时展开式为常数项，因此n 为5的倍数，不妨设n ＝5m ，则有r ＝3m ，则23m C 3m 5m ＝8m C 3m5m ＝80，因此m ＝1，则该展开式中的二项式系数之和等于2n ＝25＝32.本考点在近三年高考中未涉及此题型．。
2018年高考考点完全题数学(理)考点通关练习题 第八章 概率与统计 62 Word版含答案
考点测试离散型随机变量及其分布列
一、基础小题
．已知离散型随机变量的分布列为：
( )
．．．
答案
解析由分布列的性质知＝.．设某项试验的成功率是失败率的倍，用随机变量去描述次试验的成功次数，则(＝)等
于( )
．
答案
解析设失败率为，则成功率为.
∴的分布列为：
∴由＋＝，得＝，
即(＝)＝.
．设是一个离散型随机变量，其分布列为：
．．±．－．＋
答案
解析由分布列的性质知(\\(－≥，≥，,()＋－＋＝，))
∴＝－，故选.
．在个村庄有个村庄交通不方便，现从中任意选个村庄，用表示这个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于的是( )
．(＝) ．(≤) ．(＝) ．(≤)
答案
解析服从超几何分布，故(＝)＝，＝.
．一盒中有个乒乓球，其中个新的，个旧的，从盒中任取个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数是一个随机变量，则(＝)的值为( )
答案
解析用完后放回盒中，旧球为个，说明取出来的三个球中有一个是新球，所以(＝)＝＝，故选.
．已知随机变量的分布列为：(＝)＝，＝，…，则(<≤)等于( )
答案
解析(<≤)＝(＝)＋(＝)＝＋＝.
．一袋中有个白球，个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现次时停止，设停止时共取了次球，则(＝)等于( )
．．
．．
答案
解析“＝”表示第次取到红球，前次有次取到红球，次取到白球，因此(＝)＝·＝.
．随机变量的分布列如下：。
2018届高考数学(理)热点题型：概率与统计((有答案))
2018届高考数学(理)热点题型：概率与统计((有答案))D23456＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋23×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝5681. (2)X 的可能取值为2，3，4，5.P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)·P (B 2)＝59，P (X ＝3)＝P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2B 3)＝P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (B 3)＝29，P (X ＝4)＝P (A 1B 2A 3A 4)＋P (B 1A 2B 3B 4)＝P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＋P (B 1)P (A 2)P (B 3)P (B 4)＝1081， P (X ＝5)＝1－P (X ＝2)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝881. 故X 的分布列为X 2 3 4 5 P59291081881E (X )＝2×59＋3×29＋4×1081＋5×881＝22481.【类题通法】求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤 第一步：确定随机变量的所有可能值； 第二步：求每一个可能值所对应的概率； 第三步：列出离散型随机变量的分布列； 第四步：求均值和方差；第五步：反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范.【对点训练】为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元.求： ①顾客所获的奖励额为60元的概率； ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和507元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由. 解 (1)设顾客所获的奖励额为X .①依题意，得P (X ＝60)＝C 11C 13C 24＝12，即顾客所获的奖励额为60元的概率为12.②依题意，得X 的所有可能取值为20，60. P (X ＝60)＝12，P (X ＝20)＝C 23C 24＝12，即X 的分布列为X 20 60 P1212所以顾客所获的奖励额的数学期望为E (X )＝20×12＋60×12＝40(元).(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元.所以，先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50，50，50，10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理，可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，记为方案2. 以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10，10，50，50)，设顾客所获的奖励额为X 1，则X 1的分布列为X 1 20 60 100 P162316X 1的数学期望为E (X 1)＝20×16＋60×23＋100×16＝60(元)，X1的方差为D(X1)＝(20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16＝1 6003.对于方案2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获的奖励额为X2，则X2的分布列为X240 60 80P162316X2的数学期望为E(X2)＝40×16＋60×23＋80×16＝60(元)，X2的方差为D(X2)＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2×16＝4003.由于两种方案的奖励额的数学期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.热点三概率与统计的综合应用概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点.主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键.复习时要在这些图表上下工夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基础上掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法及数学均值与方差的运算.【例3】2018年6月14日至7月15日，第21届世界杯足球赛将于俄罗斯举行，某大学为世界杯组委会招收志愿者，被招收的志愿者需参加笔试和面试，把参加笔试的40名大学生的成绩分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示：(1)分别求出成绩在第3，4，5组的人数；(2)现决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6人进行面试.①已知甲和乙的成绩均在第3组，求甲或乙进入面试的概率；②若从这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，设第4组中有X名学生被考官D面试，求X的分布列和数学期望.89解 (1)由频率分布直方图知： 第3组的人数为5×0.06×40＝12. 第4组的人数为5×0.04×40＝8. 第5组的人数为5×0.02×40＝4.(2)利用分层抽样，在第3组，第4组，第5组中分别抽取3人，2人，1人. ①设“甲或乙进入第二轮面试”为事件A ，则 P (A )＝1－C 310C 312＝511，所以甲或乙进入第二轮面试的概率为511.②X 的所有可能取值为0，1，2，P (X ＝0)＝C 24C 26＝25，P (X ＝1)＝C 12C 14C 26＝815，P (X ＝2)＝C 22C 26＝115.所以X 的分布列为X 0 1 2 P25815115E (X )＝0×25＋1×815＋2×115＝1015＝23.【类题通法】本题将传统的频率分布直方图与分布列、数学期望相结合，立意新颖、构思巧妙.求解离散型随机变量的期望与频率分布直方图交汇题的“两步曲”：一是看图说话，即看懂频率分布直方图中每一个小矩形面积表示这一组的频率；二是活用公式，本题中X 服从超几何分布.【对点训练】某公司为了解用户对某产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下： A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C：“A的评价结果相互独立.根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率.解(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散.(2)记C A1表示事件：“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”；C A2表示事件：“A地区用户的满意度等级为非常满意”；C B1表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”；C B2表示事件：“B地区用户的满意度等级为满意”，则C A1与C B1独立，C A2与C B2独立，C B1与C B2互斥，C＝C B1C A1∪C B2C A2.P(C)＝P(C B1C A1∪C B2C A2)10＝P (C B 1C A 1)＋P (C B 2C A 2) ＝P (C B 1)P (C A 1)＋P (C B 2)P (C A 2).由所给数据得C A 1，C A 2，C B 1，C B 2发生的频率分别为1620，420，1020，820，即P (C A 1)＝1620，P (C A 2)＝420，P (C B 1)＝1020，P (C B 2)＝820，故P (C )＝1020×1620＋820×420＝0.48.热点四 统计与统计案例能根据给出的线性回归方程系数公式求线性回归方程，了解独立性检验的基本思想、方法，在选择或填空题中常涉及频率分布直方图、茎叶图及样本的数字特征(如平均数、方差)的考查，解答题中也有所考查.【例4】从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑10i ＝1x i ＝80，∑10i ＝1y i ＝20，∑10i ＝1x i y i ＝184，∑10i ＝1x 2i ＝720. (1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄. 附：线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^＝，a ^＝y －b ^ x ，其中x ，y 为样本平均值.解 (1)由题意知n ＝10，x ＝1n ∑n i ＝1x i ＝8010＝8， y ＝1n ∑n i ＝1y i＝2010＝2， 又l xx ＝∑ni ＝1x 2i －n x 2＝720－10×82＝80， l xy ＝∑ni ＝1x i y i －n x y ＝184－10×8×2＝24， 由此得b ^＝l xy l xx ＝2480＝0.3，a ^＝y －b ^x ＝2－0.3×8＝－0.4， 故所求线性回归方程为y ^＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 值的增加而增加(b ^＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关.(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y^＝0.3×7－0.4＝1.7(千元).【类题通法】(1)分析两个变量的线性相关性，可通过计算相关系数r来确定，r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强，r的绝对值越接近于0，表明两变量线性相关性越弱.(2)求线性回归方程的关键是正确运用b^，a^的公式进行准确的计算.【对点训练】4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动.为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查.下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位：分钟)的频率分布直方图.若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”，低于60分钟的学生称为“非读书迷”.(1)根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书迷”与性别有关？非读书迷读书迷总计男15女45总计(2)将频率视为概率.1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书迷”的人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列、期望E(X)和方差D(X).解(1)完成2×2列联表如下：非读书迷读书迷总计男401555女202545总计60 40 100K 2＝100×（40×2560×40×55×45≈8.249＞6.635，故有99%的把握认为“读书迷”与性别有关.(2)将频率视为概率.则从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率P ＝25.由题意可知X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，25，P (X ＝i )＝C i 3⎝ ⎛⎭⎪⎫25i ⎝ ⎛⎭⎪⎫353－i (i ＝0，1，2，3). X 的分布列为X 0 1 2 3 P2712554125361258125均值E (X )＝np ＝3×25＝65，方差D (X )＝np (1－p )＝3×25×⎝⎛⎭⎪⎫1－25＝1825.。
2018年高考考点完全题数学(理)考点通关练习题第八章概率与统计64Word版含答案
考点测试64 离散型随机变量的均值与方差、正态分布一、基础小题1．设随机变量X ～N (1,52)，且P (X ≤0)＝P (X ≥a －2)，则实数a 的值为( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 答案 A解析 x ＝0与x ＝a －2关于x ＝1对称，则a －2＝2，a ＝4.2．抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中，成功次数X 的期望是( )A.809 B.559 C.509 D.103答案 C解析 由题意，一次试验成功的概率为1－23×23＝59，10次试验为10次独立重复试验，则成功次数X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫10，59，所以E (X )＝509.故选C. 3．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．400 答案 B解析 种子发芽率为0.9，不发芽率为0.1，每粒种子发芽与否相互独立，故设没有发芽的种子数为ξ，则ξ～B (1000,0.1)，∴E (ξ)＝1000×0.1＝100，故需补种的期望为E (X )＝2·E (ξ)＝200.4．已知随机变量X ＋η＝8，若X ～B (10,0.6)，则E (η)，D (η)分别是( ) A ．6和2.4 B ．2和2.4 C ．2和5.6 D ．6和5.6 答案 B解析 由已知随机变量X ＋η＝8，所以有η＝8－X .因此，求得E (η)＝8－E (X )＝8－10×0.6＝2，D (η)＝(－1)2D (X )＝10×0.6×0.4＝2.4.5．从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为ξ，则E (5ξ＋1)＝( )A ．2B ．1C ．3D ．4 答案 C解析 ξ的可能取值为0,1,2.P (ξ＝0)＝A 313A 315＝2235，P (ξ＝1)＝C 12C 213A 33A 315＝1235，P (ξ＝2)＝C 22C 113A 33A 315＝135.所以，ξ的分布列为：于是E (ξ)＝0×2235＋1×35＋2×35＝5，故E (5ξ＋1)＝5E (ξ)＋1＝5×25＋1＝3.6．某人有资金10万元，准备用于投资经营甲、乙两种商品，根据统计资料：答案 甲解析 设投资经营甲、乙两种商品的获利分别为X ，Y ，则E (X )＝2×0.4＋3×0.3－1×0.3＝1.4，E (Y )＝1×0.6＋4×0.2－2×0.2＝1，从而E (X )>E (Y )，即投资经营甲种商品的平均获利较多，故此人应该选择经营甲种商品．7．随机变量ξ服从正态分布N (40，σ2)，若P (ξ<30)＝0.2，则P (30<ξ<50)＝________.答案0.6解析根据正态分布曲线的对称性，可得P(30<ξ<50)＝1－2P(ξ<30)＝0.6.8．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；如果失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果：答案4760元解析由题意知一年后获利6000元的概率为0.96，获利－25000元的概率为0.04，故一年后收益的期望是6000×0.96＋(－25000)×0.04＝4760(元)．二、高考小题9. 在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )(附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544.)A．2386 B．2718 C．3413 D．4772答案 C解析由于曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线，所以P(－1<X<1)＝0.6826，由正态分布密度曲线的对称性知P(0<X<1)＝0.3413，即图中阴影部分的面积为0.3413.由几何概型知点落入阴影部分的概率P＝0.34131＝0.3413.因此，落入阴影部分的点的个数的估计值为10000×0.3413＝3413.故选C.10．设X～N(μ1，σ21)，Y～N(μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是( )A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)D．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)答案 C解析由曲线X的对称轴为x＝μ1，曲线Y的对称轴为x＝μ2，可知μ2>μ1.∴P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1)，故A错；由图象知σ1<σ2且均为正数， ∴P (X ≤σ2)>P (X ≤σ1)，故B 错；对任意正数t ，由题中图象知P (X ≤t )≥P (Y ≤t )，故C 正确，D 错．11．已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个蓝球(m ≥3，n ≥3)，从乙盒中随机抽取i (i ＝1,2)个球放入甲盒中．(a)放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi (i ＝1,2)； (b)放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i (i ＝1,2)． 则( )A ．p 1>p 2，E (ξ1)<E (ξ2)B ．p 1<p 2，E (ξ1)>E (ξ2)C ．p 1>p 2，E (ξ1)>E (ξ2)D ．p 1<p 2，E (ξ1)<E (ξ2) 答案 A解析 取m ＝3，n ＝3，则p 1＝36×1＋36×12＝34＝912，p 2＝C 23C 26×1＋C 13C 13C 26×23＋C 23C 26×13＝15＋35×23＋15×13＝23＝812， ∴p 1>p 2. ξ1的分布列为：∴E (ξ1)＝1×2＋2×2＝2；ξ2的分布列为：∴E (ξ2)＝1×15＋2×5＋3×5＝2，∴E (ξ1)<E (ξ2)，故选A.12．已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________． 答案 0.1解析 x ＝4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.55＝5.1，则该组数据的方差s 2＝15＝0.1.13．随机变量ξ的取值为0,1,2，若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.答案 25解析 设ξ＝1时的概率为p ，则E (ξ)＝0×15＋1×p ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－p －15＝1，解得p ＝35. 故D (ξ )＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(2－1)2×15＝25.三、模拟小题14．已知随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，若P (ξ>2)＝0.15，则P (0≤ξ≤1)＝( )A ．0.85B ．0.70C ．0.35D ．0.15 答案 C解析 P (0≤ξ≤1)＝P (1≤ξ≤2)＝0.5－P (ξ>2)＝0.35.故选C.15．现有三个小球全部随机放入三个盒子中，设随机变量ξ为三个盒子中含球最多的盒子里的球数，则ξ 的数学期望E (ξ)为( )A.179 B.199 C ．2 D.73答案 A解析 由题意知ξ的所有可能取值为1,2,3，P (ξ＝1)＝A 3333＝627，P (ξ＝2)＝C 23·A 22·C 2333＝1827，P (ξ＝3)＝C 1333＝327， ∴E (ξ)＝1×627＋2×1827＋3×327＝179，故答案为A.16．某小区有1000户，各户每月的用电量近似服从正态分布N (300,102)，则用电量在320度以上的户数约为( )(参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%，P (μ－3σ<ξ<μ＋3σ)＝99.74%)A ．17B ．23C ．34D ．46 答案 B解析 P (ξ>320)＝12×＝12×(1－95.44%)＝0.0228，∴用电量在320度以上的户数约为0.0228×1000＝22.8≈23，故选B.17．某校在高三第一次模拟考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩近似服从正态分布，即X ～N (100，a 2)(a >0)，试卷满分为150分，统计结果显示数学考试成绩不及格(低于90分)的人数占总人数的110，则此次数学考试成绩在100分到110分(包含100分和110分)之间的人数约为( )A ．400B ．500C ．600D ．800 答案 A解析 P (X <90)＝P (X >110)＝110，P (90≤X ≤110)＝1－110×2＝45，P (100≤X ≤110)＝25，1000×25＝400.故选A.18．一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数(例如：若a 1＝a 3＝a 5＝1，a 2＝a 4＝0，则A ＝10101)，其中二进制数A 的各位数中，已知a 1＝1，a k (k ＝2,3,4,5)出现0的概率为13，出现1的概率为23，记X ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，现在仪器启动一次，则E (X )＝( )A.83B.113C.89D.119 答案 B解析 解法一：X 的所有可能取值为1,2,3,4,5，P (X ＝1)＝C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134⎝ ⎛⎭⎪⎫230＝181，P (X ＝2)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫133⎝ ⎛⎭⎪⎫231＝881，P (X ＝3)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827，P (X ＝4)＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫131⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝3281，P (X ＝5)＝C 04⎝ ⎛⎭⎪⎫130⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝1681，所以E (X )＝1×181＋2×881＋3×827＋4×3281＋5×1681＝113. 解法二：由题意，X 的所有可能取值为1,2,3,4,5，设Y ＝X －1，则Y 的所有可能取值为0,1,2,3,4，因此Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，23，所以E (Y )＝4×23＝83，从而E (X )＝E (Y ＋1)＝E (Y )＋1＝83＋1＝113.一、高考大题1．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；(2)“星队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望E (X )．解 (1)记事件A ：“甲第一轮猜对”，记事件B ：“乙第一轮猜对”，记事件C ：“甲第二轮猜对”，记事件D ：“乙第二轮猜对”，记事件E ：“‘星队’至少猜对3个成语”．由题意，E ＝ABCD ＋A BCD ＋A B CD ＋AB C D ＋ABC D ， 由事件的独立性与互斥性，得P (E )＝P (ABCD )＋P (A BCD )＋P (A B CD )＋P (AB C D )＋P (ABC D )＝P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A )·P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B )·P (C )P (D )＝34×23×34×23＋2×⎝ ⎛14×23×34×23＋34×13×⎭⎪⎫34×23＝23. 所以“星队”至少猜对3个成语的概率为23.(2)由题意，随机变量X 可能的取值为0,1,2,3,4,6. 由事件的独立性与互斥性，得P (X ＝0)＝14×13×14×13＝1144，P (X ＝1)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫34×13×14×13＋14×23×14×13＝10144＝572， P (X ＝2)＝34×13×34×13＋34×13×14×23＋14×23×34×13＋14×23×14×23＝25144，P (X ＝3)＝34×23×14×13＋14×13×34×23＝12144＝112， P (X ＝4)＝2×⎝⎛⎭⎪⎫34×23×34×13＋34×23×14×23＝60144＝512， P (X ＝6)＝34×23×34×23＝36144＝14.可得随机变量X 的分布列为：所以数学期望E (X )＝0×144＋1×72＋2×144＋3×12＋4×12＋6×4＝6. 2．已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X 的分布列和均值(数学期望)．解 (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A ， P (A )＝A 12A 13A 25＝310.(2)X 的可能取值为200,300,400. P (X ＝200)＝A 22A 25＝110，P (X ＝300)＝A 33＋C 12C 13A 22A 35＝310， P (X ＝400)＝1－P (X ＝200)－P (X ＝300)＝1－110－310＝610.故X 的分布列为：E (X )＝200×10＋300×10＋400×10＝350(元)．二、模拟大题3．小王在某社交网络的朋友圈中，向在线的甲、乙、丙随机发放红包，每次发放1个． (1)若小王发放5元的红包2个，求甲恰得1个的概率；(2)若小王发放3个红包，其中5元的2个，10元的1个，记乙所得红包的总钱数为X ，求X 的分布列和期望．解 (1)设“甲恰得一个红包”为事件A ，则P (A )＝C 12×13×23＝49.(2)X 的所有可能值为0,5,10,15,20.P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232×23＝827，P (X ＝5)＝C 12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827， P (X ＝10)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132×23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232×13＝627，P (X ＝15)＝C 12×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×23＝427， P (X ＝20)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127.X 的分布列：E (X )＝0×827＋5×27＋10×27＋15×27＋20×27＝3(元)．4．假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布N (800,502)的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p 0.(1)求p 0的值；(2)某客运公司用A ，B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天要以不小于p 0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？参考数据：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.6826，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.9544，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.9974.解 (1)由于随机变量X 服从正态分布N (800,502)， 故μ＝800，σ＝50，P (700<X ≤900)＝0.9544， 由正态分布的对称性，得p 0＝P (X ≤900)＝P (X ≤800)＋P (800<X ≤900)＝12＋12P (700<X ≤900)＝0.9772.(2)设A 型车、B 型车的数量分别为x ，y ，则 相应的营运成本为1600x ＋2400y .依题意，x ，y 还需满足x ＋y ≤21，y ≤x ＋7及P (X ≤36x ＋60y )≥p 0. 由(1)知，p 0＝P (X ≤900)，故P (X ≤36x ＋60y )≥p 0等价于36x ＋60y ≥900.于是问题等价于求满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N ，使目标函数z ＝1600x ＋2400y 达到最小的x ，y .作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5,12)，Q (7,14)，R (15,6)由图可知，当直线z ＝1600x ＋2400y 过点P 时在y 轴上截距z2400最小，即z 取得最小值．故应配备A 型车5辆，B 型车12辆．5．某工厂有两条相互不影响的生产线分别生产甲、乙两种产品，产品出厂前需要对产品进行性能检测．检测得分低于80的为不合格品，只能报废回收；得分不低于80的为合格品，可以出厂．现随机抽取这两种产品各60件进行检测，检测结果统计如下：(1)试分别估计甲，乙两种产品下生产线时为合格品的概率；(2)生产一件甲种产品，若是合格品可盈利100元，若是不合格品则亏损20元；生产一件乙种产品，若是合格品可盈利90元，若是不合格品则亏损15元. 在(1)的前提下：①记X 为生产1件甲种产品和1件乙种产品所获得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望；②求生产5件乙种产品所获得的利润不少于300元的概率．解 (1)甲种产品为合格品的概率约为4560＝34，乙种产品为合格品的概率约为4060＝23.(2)①随机变量X 的所有取值为190,85,70，－35，且P (X ＝190)＝34×23＝12，P (X ＝85)＝34×13＝14，P (X ＝70)＝14×23＝16，P (X＝－35)＝14×13＝112. 所以随机变量X 的分布列为：所以E (X )＝1902＋854＋706－3512＝125(元)． ②设生产的5件乙种产品中合格品有n 件，则不合格品有(5－n )件，依题意得，90n －15(5－n )≥300，解得n ≥257，取n ＝4或n ＝5， 设“生产5件乙种产品所获得的利润不少于300元”为事件A ，则P (A )＝C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫23413＋⎝ ⎛⎭⎪⎫235＝112243. 6．某商场每天(开始营业时)以每件150元的价格购入A 商品若干件(A 商品在商场的保鲜时间为10小时，该商场的营业时间也恰好为10小时)，并开始以每件300元的价格出售，若前6小时内所购进的商品没有售完，则商场对没卖出的A 商品将以每件100元的价格低价处理完毕(根据经验，4小时内完全能够把A 商品低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再购进A 商品)．该商场统计了100天A 商品在每天的前6小时内的销售量，制成如下表格(注：视频率为概率)．(其中x ＋y ＝70)6名不同的顾客购买，现从这6名顾客中随机选2人进行服务回访，则恰好一个是以300元价格购买的顾客，另一个是以100元价格购买的顾客的概率是多少？(2)若商场每天在购进5件A 商品时所获得的平均利润最大，求x 的取值范围．解 (1)设事件B 为“恰好一个是以300元价格购买的顾客，另一个是以100元价格购买的顾客”，则P (B )＝C 14C 12C 26＝815. (2)设销售A 商品获得的利润为ξ(单位：元)，依题意，视频率为概率，为追求更多的利润，则商店每天购进的A 商品的件数取值可能为4件，5件，6件．当购进A 商品4件时，E (ξ)＝150×4＝600，当购进A 商品5件时，E (ξ)＝(150×4－50)×0.3＋150×5×0.7＝690，当购进A 商品6件时，E (ξ)＝(150×4－2×50)×0.3＋(150×5－50)×x 100＋150×6×70－x 100＝780－2x ， 由题意780－2x ≤690，解得x ≥45，又知x ≤100－30＝70，所以x 的取值范围为，x ∈N *.。
2018年高考考点完全题数学理考点通关练习题 第八章 概
考点测试61 几何概型一、基础小题1．设x ∈，则sin x <12的概率为( )A.16B.14C.13D.12 答案 C解析 由sin x <12且x ∈，借助于正弦曲线可得x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π6∪⎝ ⎛⎦⎥⎤5π6，π，∴P ＝π6×2π－0＝13.2．有一杯2升的水，其中含一个细菌，用一个小杯从水中取0.1升水，则此小杯中含有这个细菌的概率是( )A ．0.01B ．0.02C ．0.05D ．0.1 答案 C解析 试验的全部结果构成的区域体积为2升，所求事件的区域体积为0.1升，故所求概率为P ＝0.12＝120＝0.05.3．某人向一个半径为6的圆形靶射击，假设他每次射击必定会中靶，且射中靶内各点是随机的，则此人射中的靶点与靶心的距离小于2的概率为( )A.113 B.19 C.14 D.12答案 B解析 由已知条件可得此人射中的靶点与靶心的距离小于2的概率为P ＝π×22π×6＝19.4．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当某人到达路口时看见的是红灯的概率是( )A.15B.25C.35D.45 答案 B解析 以时间的长短进行度量，故P ＝3075＝25.5．为了测量某阴影部分的面积，做一个边长为3的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷600个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，据此可以估计阴影部分的面积是( )A ．4B ．3C ．2D ．1 答案 B解析 由投掷的点落在阴影部分的个数与投掷的点的总数比得到阴影部分的面积与正方形的面积比为13，所以阴影部分的面积约为9×13＝3.6．如图所示，A 是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接AA ′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为()A.12B.32C.13D.14 答案 C解析 当AA ′的长度等于半径长度时，∠AOA ′＝π3，A ′点在A 点左右都可取得，故由几何概型的概率计算公式得P ＝2π32π＝13，故选C.7．向等腰直角三角形ABC (其中AC ＝BC )内任意投一点M ，则AM 小于AC 的概率为( )2284答案 D解析 以A 为圆心，AC 为半径画弧与AB 交于点D .依题意，满足条件的概率P ＝S 扇形ACDS △ABC＝18π·AC 212AC 2＝π4. 8．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形的面积大于20 cm 2的概率为( )A.13B.23C.14D.34 答案 B解析 不妨设矩形的长为x cm ，则宽为(12－x ) cm ，由x (12－x )>20，解得2<x <10，所以该矩形的面积大于20 cm 2的概率为10－212＝23.9．在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A.π12 B ．1－π12 C.π6 D ．1－π6答案 B解析 正方体的体积为：2×2×2＝8，以O 为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为：12×43πr 3＝12×43×π×13＝23π，则点P 到点O 的距离大于1的概率为：1－23π8＝1－π12. 10．一只昆虫在边长分别为6,8,10的三角形区域内随机爬行，则其到三角形任一顶点的距离都大于2的概率为( )1210624答案 A解析 记昆虫所在三角形区域为△ABC ，且AB ＝6，BC ＝8，CA ＝10，则有AB 2＋BC 2＝CA 2，AB ⊥BC ，该三角形是一个直角三角形，其面积等于12×6×8＝24.在该三角形区域内，到三角形任一顶点的距离小于2的区域的面积等于A ＋B ＋C2π×π×22＝π2×22＝2π，因此所求的概率等于24－2π24＝1－π12.11．在长度为3的线段上随机取两点，将其分成三条线段，则恰有两条线段的长度大于1的概率为( )A.12B.13C.14D.23 答案 B解析 在长度为3的线段上随机取两点，将其分成三条线段，设其长度分别为x ，y,3－x －y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，3－x －y >0，而恰有两条线段的长度大于1，则需满足⎩⎪⎨⎪⎧x >1，y >1，0<3－x －y <1或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，0<y <1，3－x －y >1或⎩⎪⎨⎪⎧y >1，0<x <1，3－x －y >1.作出可行域可知恰有两条线段的长度大于1的概率为P ＝12×1×1×312×3×3＝13.12．某天，甲要去银行办理储蓄业务，已知银行的营业时间为9：00至17：00，设甲在当天13：00至18：00之间任何时间去银行的可能性相同，那么甲去银行恰好能办理业务的概率是________．答案 45解析 设银行的营业时间为x ，甲去银行的时间为y ，以横坐标表示银行的营业时间，纵坐标表示甲去银行的时间，建立平面直角坐标系(如图)，则事件“甲去银行恰好能办理业务”表示的平面区域如图中阴影部分所示，所求概率P ＝4×85×8＝45.二、高考小题13．某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A.13B.12C.23D.34 答案 B解析 解法一：7：30的班车小明显然是坐不到的．当小明在7：50之后8：00之前到达，或者8：20之后8：30之前到达时，他等车的时间将不超过10分钟，故所求概率为10＋1040＝12.故选B. 解法二：当小明到达车站的时刻超过8：00，但又不到8：20时，等车时间将超过10分钟，7：50～8：30的其他时刻到达车站时，等车时间将不超过10分钟，故等车时间不超过10分钟的概率为1－2040＝12.14．从区间随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.4nmB.2n mC.4m nD.2m n答案 C解析 如图，数对(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )表示的点落在边长为1的正方形OABC 内(包括边界)，两数的平方和小于1的数对表示的点落在半径为1的四分之一圆(阴影部分)内，则由几何概型的概率公式可得m n ＝14π12⇒π＝4mn.故选C.15．设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( ) A.34＋12π B.14－12π C.12－1π D.12＋1π 答案 B解析 ∵|z |≤1， ∴(x －1)2＋y 2≤1，表示以M (1,0)为圆心，1为半径的圆及其内部，该圆的面积为π.易知直线y ＝x 与圆(x －1)2＋y 2＝1相交于O (0,0)，A (1,1)两点，作出如右图．∵∠OMA ＝90°，∴S 阴影＝π4－12×1×1＝π4－12，故所求的概率P ＝S 阴影S ⊙M ＝π4－12π＝14－12π.16．在区间上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≥12”的概率，p 2为事件“|x －y |≤12”的概率，p 3为事件“xy ≤12”的概率，则( )A ．p 1<p 2<p 3B ．p 2<p 3<p 1C ．p 3<p 1<p 2D ．p 3<p 2<p 1 答案 B解析 依题意知点(x ，y )形成的区域是边长为1的正方形及其内部，其面积为S ＝1.而满足x ＋y ≥12的区域如图1中的阴影部分，其面积为S 1＝1－12×12×12＝78，∴p 1＝S 1S ＝78；满足|x －y |≤12的区域如图2中的阴影部分，其面积为S 2＝1－12×12×12－12×12×12＝34，∴p 2＝S 2S ＝34；满足xy ≤12的区域如图3中的阴影部分，其面积为S 3＝12×1＋12xd x ＝12＋12ln x ⎪⎪⎪⎪112＝12＋12ln 2， ∴p 3＝S 3S ＝12＋12ln 2.∵p 1－p 3＝38－12ln 2＝3－4ln 28＝18ln e316，而e 3>16，∴p 1－p 3>0，即p 1>p 3. 而p 2－p 3＝14－12ln 2＝14ln e4<0，∴p 2<p 3，∴p 1>p 3>p 2.17．在上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交”发生的概率为________．答案 34解析 直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交的充要条件为|5k －0|1＋k 2<3，解之得－34<k<34，故所求概率为P ＝34－⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－－＝34.18. 如图，点A 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(2,4)，函数f(x)＝x 2.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．答案512解析 由题图可知阴影部分的面积S 阴影＝S 矩形ABCD －⎠⎛12x 2d x ＝1×4－x 33⎪⎪⎪21＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎫83－13＝53， 则所求事件的概率P ＝S 阴影S 矩形ABCD ＝534＝512.三、模拟小题19．若任取x ，y∈，则点P(x ，y)满足y≤x 12的概率为( )A .22 B .13 C .12 D .23答案 D解析 如图，∵阴影部分的面积S ＝⎠⎛01x 12 d x ＝23x 32 ⎪⎪⎪10＝23，∴所求概率P ＝S1×1＝23. 20．在区间上随机取两个数m 、n ，则关于x 的一元二次方程x 2－nx ＋m ＝0有实数根的概率为( )A .18B .17C .16D .15答案 A解析 ∵方程x 2－nx ＋m ＝0有实数根，∴Δ＝n －4m≥0，如图，易知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧n －4m≥0，0≤m≤1，0≤n≤1表示的平面区域与正方形的面积之比即为所求概率，即P ＝S 阴影S 正方形＝12×14×11×1＝18. 21．甲、乙两位同学约定周日上午在某电影院旁见面，并约定先到达者等10分钟后另一人还没有到就离开．如果甲是8：30到达，假设乙在8：00～9：00 之间到达，且乙在8：00～9：00之间何时到达是等可能的，则两人见面的概率是( )A .16B .14C .13D .12答案 C解析 由题意知若以8：00为起点，则乙在8：00～9：00之间到达这一事件对应的集合是Ω＝{x|0<x<60}，而满足条件的事件对应的集合是A ＝{x|20≤x≤40}，所以两人见面的概率是40－2060－0＝13.22．任意画一个正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第二个正方形，依此类推，这样一共画了4个正方形，如图所示，若向图形中随机投一点，则所投点落在第四个正方形中的概率是( )A .24 B .14 C .18 D .116答案 C解析 依题意可知第四个正方形的边长是第一个正方形边长的24倍，所以第四个正方形的面积是第一个正方形面积的18倍，由几何概型可知所投点落在第四个正方形中的概率为18，故选C . 23．设有一个等边三角形网格(无限大)，其中各个最小等边三角形的边长都是4 3 cm ，现将直径为 2 cm 的硬币投掷到此网格上，则硬币落下后与格线没有公共点的概率为________．答案 14解析 如图所示，记事件A 为“硬币落下后与格线没有公共点”，在等边三角形内作小等边三角形，使其三边与原等边三角形对应三边的距离都为 1 cm ，则小等边三角形的边长为43－23＝23(cm )，由几何概型的概率计算公式得P(A)＝34323432＝14.24．如图，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 作射线CM 交AB 于M ，则使得AM 小于AC 的概率为________．答案 34解析 当AM ＝AC 时，△ACM 为以∠A 为顶点的等腰三角形，∠ACM＝180°－45°2＝67.5°.当∠ACM<67.5°时，AM<AC ， 所以AM 小于AC 的概率P ＝∠ACM的度数∠ACB的度数＝67.5°90°＝34.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型． 二、模拟大题1．如图，一个靶子由四个同心圆组成，且半径分别为1,3,5,7.规定：击中A ，B ，C ，D 区域分别可获得5分，3分，2分，1分，脱靶(即击中最大圆之外的某点)得0分．已知乙每次射击击中的位置与圆心的距离不超过4，丙每次射击击中的位置与圆心的距离不超过5.(1)乙、丙二人各射击一次，且二人击中各自范围内每一点的可能性相等，求乙得分比丙高的概率；(2)乙、丙二人各射击一次，记U ，V 分别为乙、丙二人击中的位置到圆心的距离，且U ，V 取各自范围内的每个值的可能性相等，求乙获胜(即U<V)的概率．解 (1)设乙、丙射击一次的得分分别为Y ，Z ，则Y 的所有可能取值为5,3,2，Z 的所有可能取值为5,3,2，P(Y ＝5)＝π42π＝116， P(Y ＝3)＝32π－π42π＝816，P(Y ＝2)＝42π－32π42π＝716， P(Z ＝5)＝π52π＝125， P(Z ＝3)＝32π－π52π＝825，P(Z ＝2)＝52π－32π52π＝1625. 故所求概率P 1＝116×825＋116×1625＋816×1625＝1950.(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧0≤U≤4，0≤V≤5，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤U≤4，0≤V≤5，U<V所表示的可行域如图中阴影部分所示，根据几何概型的概率计算公式可知乙获胜的概率 P 2＝12＋4×5＝35. 2．甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1 h ，乙船停泊时间为2 h ，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．解 这是一个几何概型问题，设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x 与y ，事件A 为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x≤24,0≤y≤24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h 以上或乙比甲早到达2 h 以上，即y －x≥1或x －y ≥2.故所求事件构成集合A ＝{(x ，y)|y －x≥1或x －y≥2，x ∈，y ∈}．A 为图中阴影部分，全部结果构成集合Ω为边长是24的正方形及其内部，所求概率为P(A)＝A 的面积Ω的面积＝－2×12＋－2×12242＝10131152. 3．设f(x)和g(x)都是定义在同一区间上的两个函数，若对任意x ∈，都有|f(x)＋g(x)|≤8，则称f(x)和g(x)是“友好函数”，设f(x)＝ax ，g(x)＝bx.(1)若a ∈{1,4}，b ∈{－1,1,4}，求f(x)和g(x)是“友好函数”的概率； (2)若a ∈，b ∈，求f(x)和g(x)是“友好函数”的概率． 解 (1)设事件A 表示f(x)和g(x)是“友好函数”， 则|f(x)＋g(x)|(x ∈)所有的情况有： x －1x ，x ＋1x ，x ＋4x ，4x －1x ，4x ＋1x ，4x ＋4x ， 共6种且每种情况被取到的可能性相同． 又当a>0，b>0时， ax ＋b x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，b a 上递减，在⎝⎛⎭⎪⎫b a ，＋∞上递增； x －1x 和4x －1x在(0，＋∞)上递增， ∴对x ∈可使|f(x)＋g(x)|≤8恒成立的有x －1x ，x ＋1x ，x ＋4x ，4x －1x ，故事件A 包含的基本事件有4种， ∴P(A)＝46＝23，故所求概率是23.(2)设事件B 表示f(x)和g(x)是“友好函数”， ∵a 是从区间中任取的数，b 是从区间中任取的数， ∴点(a ，b)所在区域是长为3，宽为3的矩形区域． 要使x ∈时，|f(x)＋g(x)|≤8恒成立，需f(1)＋g(1)＝a ＋b≤8且f(2)＋g(2)＝2a ＋b2≤8，∴事件B 表示的点的区域是如图所示的阴影部分． ∴P(B)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋114×33×3＝1924，故所求概率是1924.。
【配套K12】2018年高考数学考点通关练第八章概率与统计单元质量测试理
单元质量测试(八)时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．[2016·长春模拟]从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，甲、乙至少有1人入选，而丙没入选的不同选法种数为( )A ．85B ．56C ．49D ．28 答案 C解析 (间接法)因为丙没有入选相当于从9人中选3人，共有选法C 39＝84(种)，甲、乙都没入选相当于从7人中选3人，共有选法C 37＝35(种)，所以满足条件的选法种数是84－35＝49.2．[2016·山东威海模拟]从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a ，从集合{1,3,5}中随机抽取一个数b ，则向量m ＝(a ，b )与向量n ＝(1，－1)垂直的概率为( )A.16B.13C.14D.12 答案 A解析 满足条件的向量m 共有4×3＝12(个)．由m ⊥n 得a ＝b ，所以满足m ⊥n 的m 只有(3,3)与(5,5)两个，所求概率为P ＝212＝16.3．设随机变量X ～N (0,1)，若P (X >1)＝p ，则P (－1<X <0)等于( ) A.12＋p B ．1－p C ．1－2p D.12－p 答案 D解析 P (－1<X <0)＝1－2P X 2＝12－p ，选D. 4．一组数据的平均数是4.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是( )A ．55.2,3.6B ．55.2,56.4C ．64.8,63.6D ．64.8,3.6答案 D解析 每一个数据都加上60时，平均数也加上60，而方差不变．5．国庆节放假，甲、乙、丙三人去北京旅游的概率分别是13，14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为( )A.5960B.35C.12D.160 答案 B解析 设“国庆节放假，甲、乙、丙三人去北京旅游”分别为事件A ，B ，C ，则A ，B ，C相互独立且P (A )＝13，P (B )＝14，P (C )＝15，∴至少有1人去北京旅游的概率为1－P (A BC )＝1－P (A )·P (B )·P (C )＝1－⎝⎛⎭⎪⎫1－13×⎝⎛⎭⎪⎫1－14×⎝⎛⎭⎪⎫1－15＝1－25＝35，故选B 。
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考点测试二项分布及其应用
一、基础小题．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件，“第二次出现正面”为事件，
则()等于( )
答案
解析()＝＝＝.．某一批花生种子，如果每粒发芽的概率为，那么播下粒种子恰有粒发芽的概率是
( )
答案
解析＝＝.
．设随机变量ξ～(，)，且(ξ)＝，(ξ)＝，则( )
．＝，＝．＝，＝
．＝，＝．＝，＝
答案解析∵ξ～(，)，∴(ξ)＝＝，(ξ)＝(－)＝，∴(\\(＝，＝.))
．现有人参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，
约定：每个人通过投掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为或的人去参加甲游戏，掷出点数大于的人去参加乙游戏，则这人中恰有人去参加甲游戏的概率为
( )
答案
解析由题意可知这人中，每人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为.所以这
人中恰有人去参加甲游戏的概率＝××＝.．某光电公司生产的节能灯使用寿命超过小时的为一级品，现已知某批产品中的一级品
率为，从中任意抽出件，则件中恰有件为一级品的概率为( )
．．．．
答案
解析根据次独立重复试验的概率计算公式，件产品中恰有件为一级品的概率为××
＝.．在次独立重复试验中，随机事件恰好发生次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则
事件在一次试验中发生的概率的取值范围是( )
．．(]
．(] ．
答案
解析设事件发生的概率为，则(－)≤(－)，解得≥，故选.．某种元件的使用寿命超过年的概率为，使用寿命超过年的概率为，则使用寿命超过年
的元件还能继续使用的概率为( )
．．．．
答案
解析设事件为“该元件的使用寿命超过年”，为“该元件的使用寿命超过年”，则()
＝，()＝.因为⊆，所以()＝()＝，于是()＝＝＝.．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为
，则该队员每次罚球的命中率为．
答案
解析设该队员每次罚球的命中率为(<<)，则依题意有(－)＋(－)(－)＝－＝，又<<，
∴＝.．某高校进行自主招生的面试程序如下：共设道题，每道题答对给分，答错倒扣分(每道
题都必须答，但相互不影响)，设某学生答对每道题的概率为，则该学生在面试时得分的期望
值为．
答案解析记学生面试的得分为随机变量η，则η的可能取值为－，则有
(η＝－)＝＝；
(η＝)＝××＝；。