天津理工大学大学物理：运动学

t 1s
x 3t 6t 2t dx 2 v 3 12t 6t dt
2 3
1
v1 3 12 6 9m s
1
25
圆周运动
匀速圆周运动：在任意相等的时 间内行经相等长度的圆弧；即质 点在每一时刻的速率相等。
vB
B 0
R
vA
A
l
设圆半径为R，时间t内质 点从A点到达B点。在A、B两 点处速度分别为vA和vB。由于 是匀速圆周运动，vA和vB的大 小相等，并分别与半径OA、 OB垂直。
A(t)
r v t
方向与位移的方向相同
s B(t+t)
瞬时速度（简称速度）
rA
r
rB
r d r v t 0 t dt lim
z
0 x
方向是当t0时位移r的极限方 向；即沿轨道上质点所在点的切 线，并指向质点前进的方向。7
由于位移：
r xi y j z k
2
y x 3 9
2
y x 3 9
21
2
练习： 1 一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表示式为
r ct i dt j
2 2
（其中c、d为常量），则该质点作什么运动？
2. 根据瞬时速度v的定义及其坐标表示，它的大小|v|可表示为 [
]
dr ( A) dt
dr ( B) dt
d |r| (C ) dt
AB r
y
A(t)
位移是矢量，可按三角形法 则或平行四边形法则来合成。 s B(t+t)
AB r rB rA
注意位移与路程的区别。
A B
rA
r
rB
0 x
z
A
6
速度
研究质点运动，不仅知道质点的位移，还有必要知道在多 长的时间里有这一位移，即需知道物体运动的快慢程度。为比 较两物体运动的快慢程度，需引入速度的概念。 平均速度（矢量） y
dx 2 dy 2 1 2 ( D)[( ) ( ) ] dt dt
3 一质点沿x轴作直线运动，它的运动学方程为x=3t+6t2-2t3 （SI），则质点在t=0时刻的速度v0=____________；加速度 为零时，该质点的速度v=____________。
22
1 一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表示式为
y
4
x
例 一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表示式为
r ct i dt j
2 2
（其中c、d为常量），则该质点作什么运动？
r (t ) xi y j z k
x ct
y dt
2
2
x y t c d
2
d y x c
直线方程，即该质点作直线运动。
5
位移
在时间t内质点位置变化 可用A到B的有向线段表示
两边以t相除： 0`

| v | v l t R t
27
| v | v l t R t
vB

当t趋近于0时，B点接近于A 点，因而弧长S趋近于弦长l，所 以加速度的大小为：
vA
B
l R
lim v l | v | a t 0 t t 0 R t lim
r (t 2)i (t 2) j ( SI )
2
瞬时速度
dx dy v i j i 2t j dt dt
v3 i 6 j
v3 | v3 | 1 36 37 m s
16
v v0 at
1 2 x x0 v0t at 2
v v 2a( x x0 )
A
0
v s v v v R t 0 t R R lim
2
vA
v
vB
0`
•加速度的方向可由速度增量 v的极 限方向来确定。即A点处加速度的方 向沿着半径OA并指向圆心，因此这 个加速度通常叫做向心加速度。
28
变速圆周运动
vB
B
vA
A
质点在圆周上各点处的速率 如果是随时间改变的，这种运动 就是变速圆周运动 质点在圆周上A、B两点处 的速度分别为vA和vB，除方向不 同外，速度大小也不相同。速度 的增量为
dvx 2 dvy 2 dvz 2 ( ) ( ) ( ) dt dt dt
d 2x 2 d 2 y 2 d 2z 2 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) dt dt dt
12
例
已知质点运动方程为
1 2 1 3 r (5 2t t )i (4t t ) j 2 3
直线运动 曲线运动
从运动方程中消去时间参量 t 就可以得到轨道方程。
3
例 若已知一质点的运动方程为
x 3 sin

6
t
y 3 cos

6
t
z0
t
z 0
把上式平方后再相加，消去时间参量t ，可得到轨道方程
x 9 sin
2
2

6
t
2
y 9 cos
2
2

6
x y 3
2 2
z0
x、y、z以米计，上式表示质点在 z = 0 的平面内作以圆点为中心， 半径为 3 米的圆周运动。
求质点t=2s时的加速度。
( SI )
dr 2 v (2 t )i (4 t ) j dt dv a i 2t j dt
当t=2s时，a i 4 j源自m s213
例 r (t ) 与 r (t t ) 为某质点在不同时刻的位置矢 量（矢径）。 v(t ) 与 v (t t ) 为不同时刻的速度矢 量，试在两个图中分别画出 r, r 及 v, v. A A B
24
3 一质点沿x轴作直线运动，它的运动学方程为x=3t+6t2-2t3 （SI），则质点在t=0时刻的速度v0=____________；加速度 为零时，该质点的速度v=____________。
t 0 v0 3m s dv a 12 12t dt a 0 t 1s
（A）只有（1）、（4）是对的。
（B）只有（2）、（5）是对的。 | v || （C）只有（2）是对的。 （D）只有（3）是对的。
[ B ]
dr v dt

dr 2 2 | v 2 v v x y z dt dx 2 dy 2 dz 2 ( ) ( ) ( 19 ) dt dt dt
r ct i dt j
2 2
（其中c、d为常量），则该质点作什么运动？
r (t ) xi y j z k
x ct
2
y dt 2
x y t c d
2
d y x c
直线方程，即该质点作直线运动。
v 2cti 2dt j a 2c i 2 d j
变速直线运动 匀变速直线运动
瞬时速率
y
A(t)
lim | r | s ds v | v | t 0 t dt t 0 t lim
瞬时速率就是瞬时速度的大小而不考虑方向。
s B(t+t)
rA
r
rB
0 x
平均速率与平均速度的大小一 般不相等。 B A A
9
z
加速度
有速度概念，就可用它来比较两物体运动的快慢程度； 但速度一般也在变化，且质点在轨道不同位置时，速度大小 和方向通常也不相同。为比较物体运动变化的快慢程度，需 引入加速度概念。 在时间t内，质点速度的增量为： z
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速度的增量为：
v vB v A
lim vB v A v a t 0 t t 0 t lim
按加速度定义有：
vB
B
vA
A
l R
0
容易看出OAB与O`A`B`是两个相 似的等腰三角形，按相似三角形 对应边成比例的关系得：
vA
v
vB
| v | l v R
0
r
v (t )
B
v (t )
v v ( t t )
v
r (t )
r ( t t )
r
v ( t t )
14
例 质点运动方程为
r (t 2)i (t 2) j ( SI )
2
求在t=1s到t=4s的时间间隔内平均速度的大小及t=3s时速度的 大小。 1秒末位置矢量 4秒末位置矢量
x r y cos r z cos r
k

r

0
i
j
Y
X
2
运动方程
质点的机械运动是质点的空间位置随时间而变化的过程， 质点的坐标x、y、z和矢径 r 都是时间t的函数，表示运动过 程的函数式叫做运动方程。 即 或 x=x(t) y=y(t) z=z(t)
r r (t )
轨道 运动质点在空间所经过的路径 质点的运动轨道为直线 质点的运动轨道为曲线
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1
质点运动学 位置矢量（矢径）
矢径
r (t ) xi y j z k
Z
P ( x、 y 、 z )
大小由下式决定
r | r | x 2 y 2 z 2
矢径的方向余弦 cos
速度有正有负，即有时质点向 X轴正向运动（v>0）；有时向 X轴负向运动（v<0），因是直 线运动，所以求面积即可。
3 4 4.5 t(s)