大学物理运动学ppt

绕定轴转动刚体内各点的速度和加速度 任意点都绕同一轴作圆周运动,
z ω,β
v
且 ，β 都相同
v rM
an rM 2
O
刚体
rM M θ
dv a rM dt
例 半径 r = 0.6 m 的飞轮边缘上一点 A 的运动方程为：s = 0.1t3 m，当 A 点的线速度为v = 30 m/s 时， 求
t t t d d 2 lim 2 t 0 t dt dt
β与ω同号质点作加速运动
β与ω异号质点作减速运动
④. 角量与线量的关系 质点作半径是R 圆周运动时 速度与角速度的关系

P2
r2

2
1
P1
ds Rd
s dθ v lim R R dt t 0 t
则从开始制动到静止飞轮转过的转数为： 625 (r ) N 2 (3) t 25 s 时， 0 t 25 (rad / s) v R 25 m / s
a R (m / s 2 )
an R 2 625 2 (m / s 2 )
求 汽车在 t = 1s 时的速度和加速度。
解 根据速度和加速度在自然坐标系中的表示形式，有
ds v 20 0.4t dt dv aτ 0.4 dt
2 τ 2 n 2
v (1) 19.6(m/s)
v 2 (20 0.4t ) 2 an R R
2 2
(20 0.4t ) a a a 0.4 R
o
t' : aτ an
144t ' 24t '
4
Rω2 R
t ' 0.55(s)
(12t '2 ) 2 24t '
2 4t '3 2.67(rad)
1.5.2
刚体定轴转动描述
A
A
A B B
B3
A3 Bn
1. 刚体的平动 如果刚体在运动中，连接体 内两点的直线在空间的指向总保 持平行，这样的运动叫做平动． 平动的特点: rB rA AB rA rB
2
例 椭圆规的AB杆上，A，B两点分别沿oy 槽、ox 槽运动，
求 杆上一点C的轨迹方程；若A点以匀速v0 运动B、C 两点的速度。 y 解
xc (l1 l2 )cos yc l2sin
A l 1 v0
2
xc yc l l l 1 1 2 2
在制动力矩的作用下，飞轮均匀减速，则：
0 t
t 50 s 时， 0
得：
0
t
(rad / s 2 )
(2) 飞轮在作匀变速转动，则
1 2 0 t t 2
从开始制动到静止飞轮转过的角位移为：
1 2 0 t t 1250 (rad ) 2
质点运动学两类基本问题
一 由质点的运动方程可以求得质点在任一时刻的位 矢、速度和加速度； 二 已知质点的加速度以及初始速度和初始位置, 可 求质点速度及其运动方程 .
r (t )
求导
积分
v(t )
求导
积分
a (t )
1.4.3
自然坐标系下的曲线运动
质点在作曲线运动时，加速度的方向随时间不断地变化．
加速度与角速度和角加速度的关系
r1
o
x( 极轴)
dv a R dt 2 v 2 an v R R
角速度矢量与线速度 矢量之间的关系为
v r
例 一质点作半径为0.1m 的圆周运动，已知运动学方程为
2 4t 3 (rad)
求 (1) 当t =2s 时，质点运动的an 和aτ 以及 a 的大小 (2) 当 =? 时，质点的加速度与半径成45 角？
2 得此时 A 点的切向加速度的大小： a 6 m / s
A 点的法向加速度的大小：
30 2 an 1500 m / s 2 0.6
例 一半径R = 1m 的飞轮以 1500 r/min 的转速绕定轴逆时针 转动。在制动力矩作用下，飞轮均匀减速，经时间 t = 50 s 后静止。 求 (1) 制动开始后角加速度 β ；(2) 从开始制动到静止飞轮转 过的转数 N ；(3) 制动开始后 t = 25 s 时飞轮的角速度 ， 以及此时飞轮边缘上一点的速度和加速度的大小。 2n 50 (rad / s) 解 (1) 初始时刻， n 1500 r / min 则 0 60
o
x
x Rcos Rcos2θ Rcos2t
y R sin 2ωt v x 2Rsin2ωt v y 2Rcos 2ωt
自然坐标系中：
a x 4R cos 2ωt
2
a y 4R 2sin2ωt
s 2Rωt
v 2Rω
aτ 0 an 4ω R
2
大小: an
曲率半径
v2
方向:n
指 向 曲 率 圆 中 心
ds dτ an dt dt τ
方向(△t→0):
τ τ (t t ) τ (t )
P
(t )
Q

大小(△t→0): τ τ (t )
τ n dτ τ lim dt t 0 t s 1 lim n lim n vn t 0 t t 0 s t 1 v2 ds dτ an v vn n dt dt
2 2 2
(20 0.4 1) a(1) 0.4 1.96(m/s 2 ) 200
§1.5 刚体定轴转动的描述
1.5.1 圆周运动 (1)线量描述
dr ds
自然坐标系中
r r ( s)
o•
P
ds
τ
s
n
dr
dr ds
dr ds v v dt dt
d '(t ) dt
P

d d 2 "(t ) dt dt
2
II
当 c
0 t 1 2 t t 0 0 2 2 2 0 2 ( 0 )
与质点的匀加速直 线运动公式相似
dτ lim n dt t 0 t
n
(t t ) L n (t ) O n (t t ) τ (t ) τ τ (t t )
dv d ds a ( τ) dt dt dt d 2 s ds dτ 2τ dt dt dt
讨论： (1) 在一般情况下 引入曲率圆后，整条曲线就可看成是由许多不同曲率半
质点在某位置处的合加速度为
径的圆弧所构成
(2)思考抛体运动过程中的曲率半径？ 对于圆周运动 对于平面曲线运动
2 v an an n n r
y
v
A B
s f (t )
O ds v dt


x
C
a τ , an , a
2 2 2 2 2 2 v s d v d s 1 s d s 1 d v d τ d s v v dv d d 2 2 n a τ a a n n a τ τ n τ ( τ ) n τ ( ) n (vτ )2 τ v 2 2 τ n n τ n a τ dt dt d t dtdt dt dt dt dt
o

解 (1) 由运动学方程可得
d 12t 2 dt
2
d 2 2 24t dt
an Rω 230.4(m/s )
2
aτ R 4.8(m/s 2 )
2 2
a an aτ 230.5(m/s 2 )
(2) 设 t´ 时刻，质点的加速度与半径成45 角，则
A 点的切向加速度和法向加速度的大小。
解 飞轮边缘上一点 A 的运动学方程为： s = 0.1t3，可得 A 点 ds 在任意时刻的线速度大小： 2
v
dt
0.3 t
同时可得 A 点在任意时刻的切向加速度和法向加速度大小：
dv a 0.6 t dt
v2 an r
当 A 点线速度为 30 m/s 时，即0.3t2 = 30，得：t = 10 s
v


v
a
S S t
a
v
v
a
自然坐标系：质点作曲线运动，将质点运动的轨迹曲线作为一 维坐标的轴线——自然坐标。
o
s
v
A
v
瞬时速度
ds v τ vτ dt
ds v dt
(速度在切线方 向上的投影)
加速度：
a
an

A

n

o
s
a
v
n
ds v τ vτ dt
z
B
B2 A2
M
B B 1
rB rA
A
vA vB
An
a A aB
x
A1
O
刚体的平动可归结 为质点运动
y
2. 刚体绕定轴的转动
刚体内各点都绕同一直线(转轴)作圆周运动 转轴固定不动 — 定轴转动 描述刚体绕定轴转动的角量 角坐标 角速度 角加速度
_____
刚体转动
z
I
(t ) (运动学方程)
质点作半径是R 圆周运动时的加速度为
r
O
r dr
dv d 2s a 2 dt dt
v2 an n = n R
v2
(2)角量描述
①. 极坐标、角位置与角位移 r r (t ) 极 径

P2
r2

(t ) 角坐标
对圆周运动：r
（运动学方程)
2
1
P1
r1
c
o
x( 极轴)
(t )（运动学方程) 角位移 t （逆时针 为正）
②. 角速度（描述质点转动快慢的物理量）
(t Δt ) (t ) Δ d lim lim t 0 t 0 Δt Δt dt
③. 角加速度（描述质点转动角速度变化快慢的物理量）
ds 2 2 2 v vτ τ A B τ dt
例 以速度v0 平抛一小球，不计空气阻力。 求 t 时刻小球的切向加速度量值a、法向加速度量值an和轨道的 曲率半径ρ. y
解：由图可知
a g sin g
g gt v0 g t
2 2 2
vy v
dv d ds d 2 s ds dτ a ( τ) 2 τ dt dt dt dt dt dt
d 2 s dv 大小: 2 dt dt
方向:
切向加速度(反映速度大小的变化）
d2s aτ 2 τ dt

法向加速度(反映速度方向的变化）
ds dτ v an n dt dt
例 已知质点的运动方程为
x A cos t , y A sin t , z Bt
求 在自然坐标系中任意时刻的速度
解 设自然坐标的正方向与质点运动方向相同
ds v x v y v z dt
2 2 2
来自百度文库
A 2 cos 2 t A 2 sin 2 t B 2 dt
2 0
v0

g 2t v g t
2 2
an
a
g
o vx gv0 an g cos g 2 v v0 g 2t 2
v an
2 2 2 vx vy
x
an
2 ( v0 g 2t 2 )3/2 gv0
例 一汽车在半径R=200m 的圆弧形公路上行驶，其运动学方 程为s =20t 0.2 t 2 (SI) .
a a an
2 2
2 390625 4 625 2 m / s 2


例 半径R 的大环上套以小环,直杆AB 穿入小环，并绕大环上的 A 轴以规律 ＝ t 逆时针转动， y B 求 以大环为参考系，分别用直角坐标法和自然坐标 法求出小环的运动学方程、速度和加速度。 A 解 直角坐标系中：