数值分析课件ch1
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数值分析全册完整课件
0
解： 将 ex2 作Taylor展开后再积分
1 eБайду номын сангаас x2 dx
1
(1
x2
x4
x6
x8
... ) dx
0
0
2 ! 3! 4!
1 1 1 1 1 1 1 1 ... 3 2! 5 3! 7 4! 9
S4
R4
取 1 e
x
2
dx
0
S4
,
则
R4
1 1 4! 9
1 1 5! 11
...
值班军官对连长: 根据营长的命令，明晚8点哈雷彗星将 在操场上空出现。如果下雨的话，就让士兵穿着野战服列 队前往礼堂，这一罕见的现象将在那里出现。
连长对排长: 根据营长的命令，明晚8点，非凡的哈雷彗 星将身穿野战服在礼堂中出现。如果操场上下雨，营长将 下达另一个命令，这种命令每隔76年才会出现一次。
1.由实际问题应用有关知识和数学理论建立模型， -----应用数学任务
2.由数学模型提出求解的数值计算方法直到编程出结果， -----计算数学任务
计算方法是计算数学的一个主要部分，研究的即是后半 部分，将理论与计算相结合。
特点:
面向计算机，提供切实可行的算法； 有可靠的理论分析，能达到精度要求，保证近
计算方法
数值分析全册完整课件
教材和参考书
教材：
数值分析，电子科技大学应用数学学院，钟尔杰， 黄廷祝主编，高等教育出版社
参考书：
数值方法（MATLAB版）（第三版），John H. Mathews,Kurtis D. Fink 著，电子工业出版社；
数值分析（第四版），李庆扬，王能超，易大义编，清华 大学出版社；
解： 将 ex2 作Taylor展开后再积分
1 eБайду номын сангаас x2 dx
1
(1
x2
x4
x6
x8
... ) dx
0
0
2 ! 3! 4!
1 1 1 1 1 1 1 1 ... 3 2! 5 3! 7 4! 9
S4
R4
取 1 e
x
2
dx
0
S4
,
则
R4
1 1 4! 9
1 1 5! 11
...
值班军官对连长: 根据营长的命令，明晚8点哈雷彗星将 在操场上空出现。如果下雨的话，就让士兵穿着野战服列 队前往礼堂，这一罕见的现象将在那里出现。
连长对排长: 根据营长的命令，明晚8点，非凡的哈雷彗 星将身穿野战服在礼堂中出现。如果操场上下雨，营长将 下达另一个命令，这种命令每隔76年才会出现一次。
1.由实际问题应用有关知识和数学理论建立模型， -----应用数学任务
2.由数学模型提出求解的数值计算方法直到编程出结果， -----计算数学任务
计算方法是计算数学的一个主要部分，研究的即是后半 部分，将理论与计算相结合。
特点:
面向计算机，提供切实可行的算法； 有可靠的理论分析，能达到精度要求，保证近
计算方法
数值分析全册完整课件
教材和参考书
教材：
数值分析，电子科技大学应用数学学院，钟尔杰， 黄廷祝主编，高等教育出版社
参考书：
数值方法（MATLAB版）（第三版），John H. Mathews,Kurtis D. Fink 著，电子工业出版社；
数值分析（第四版），李庆扬，王能超，易大义编，清华 大学出版社；
数值分析CH1_赖志柱_201908-精选文档
数值分析
Numerical Analysis
• 徐利治、王仁宏、周蕴时，函数逼近的理论与方 法，上海：上海科学技术出版社，1983 • 胡祖炽、林源渠，数值分析，北京：高等教育出 版社，1988 • 曹志浩、张玉德、李瑞遐，矩阵计算与方程求根， 第二版，北京：高等教育出版社，1984 • 冯康等编，数值计算方法，国防工业出版社， 1978 • 张池平、施云慧，计算方法，北京：科学出版社， 2019 3
• 数值分析的主要内容包括插值与数据逼近、数值微分与 数值积分、线性方程组的数值求解、非线性方程与方程 组求解、特征值计算、常微分方程数值解等。 • 数值分析也是以数学问题为研究对象，但它不像纯数学 那样只研究数学本身的理论，而是把理论与计算紧密结 合，着重研究数学问题的数值方法及其理论。 • 数值分析是一门内容丰富、研究方法深刻、有自身理论 体系的课程。 • 数值分析既有纯数学高度抽象性与严密科学性的特点， 又有应用数学的广泛性与实际试验的高度技术性的特点， 是一门与计算机使用密切结合的实用性很强的数学课程。
14
数值分析
Numerical Analysis
• 计算科学(Scientific Computing)，又称科学计算 (Computational Science)，是一个与数学模型构 建、定量分析方法以及利用计算机来分析和解决 科学问题相关的研究领域，它使用数学、统计与 计算器的技术，借助计算机高速计算的能力，来 解决现代科学、工程、经济或人文中的复杂问题。 • 狭义的科学计算是针对某些特定的数学问题，设 计有效的计算方法来求解，因此即为数值分析、 数值计算、计算方法。
4
数值分析
Numerical Analysis
• 杨刚、武燕、王宇翔，数值分析全析精解，西安： 西北工业大学出版社，2019.6 • 李庆扬，数值分析复习考试指导，北京：高等教 育出版社，2000 • 封建湖、车刚明，计算方法典型题分析解集，西 安：西北工业大学出版社，2019 • 封建湖、聂玉峰、王振海，数值分析导教导学导 考，西安：西北工业大学出版社，2019 • 杨蕤，数值分析全程导学及习题全解，北京：中 国时代经济出版社，2019
河海大学研究生数值分析课件
插值节点。其他点 x [a, b]称为插值点。 [a, b称为 ] 插值区间。
若 P(x) 是次数不超过n的多项式，即
P( x) a0 a1 x an x n
则称 P(x)为插值多项式。相应的方法称为多项式插值。 若 P(x) 是分段多项式，则称分段多项式插值。 常用的有拉格朗日插值、牛顿插值、埃尔米特插 值、埃特金插值、三次样条插值等。
定义2 称
f ( x1 ) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ] x1 x0
为 f (x)关于点
x0 , x1 的一阶均差；称
f [ x0 , x2 ] f [ x0 , x1 ] f [ x0 , x1 , x2 ] x2 x1
为 f (x)的二阶均差；一般的，称
f ( f ( x ,, x )) | ( ) | ( xk ) xk k 1
1 n n
例3 测量得某场地长 l 的值为 110 0.2 ，宽d m 的值为 80 0.1m ，试求面积 s = ld 的绝对误差限与 相对误差限。 （见黑板）
1.3 误差定性分析与避免误差危害
1 ( n1)
若 x 具有n位有效数字，则相对误差限
r
x 10 (a1 a2 10 an 10
) , a1 0
1 ( n 1) 10 2a1 1 ( n 1) 10 ，则 反之，若 x 的相对误差限 r 2a1
至少具有n位有效数字。 （证明见黑板）
其中数值计算方法是数值分析研究的对象。
主要包括：
（1）函数的数值逼近（包括插值法）；
（2）数值微分和数值积分；
（3）非线性方程（组）数值解； （4）数值线性代数（如线性方程组数值解、矩阵 特征值特征向量的计算）； （5）（偏）微分方程数值解。
若 P(x) 是次数不超过n的多项式，即
P( x) a0 a1 x an x n
则称 P(x)为插值多项式。相应的方法称为多项式插值。 若 P(x) 是分段多项式，则称分段多项式插值。 常用的有拉格朗日插值、牛顿插值、埃尔米特插 值、埃特金插值、三次样条插值等。
定义2 称
f ( x1 ) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ] x1 x0
为 f (x)关于点
x0 , x1 的一阶均差；称
f [ x0 , x2 ] f [ x0 , x1 ] f [ x0 , x1 , x2 ] x2 x1
为 f (x)的二阶均差；一般的，称
f ( f ( x ,, x )) | ( ) | ( xk ) xk k 1
1 n n
例3 测量得某场地长 l 的值为 110 0.2 ，宽d m 的值为 80 0.1m ，试求面积 s = ld 的绝对误差限与 相对误差限。 （见黑板）
1.3 误差定性分析与避免误差危害
1 ( n1)
若 x 具有n位有效数字，则相对误差限
r
x 10 (a1 a2 10 an 10
) , a1 0
1 ( n 1) 10 2a1 1 ( n 1) 10 ，则 反之，若 x 的相对误差限 r 2a1
至少具有n位有效数字。 （证明见黑板）
其中数值计算方法是数值分析研究的对象。
主要包括：
（1）函数的数值逼近（包括插值法）；
（2）数值微分和数值积分；
（3）非线性方程（组）数值解； （4）数值线性代数（如线性方程组数值解、矩阵 特征值特征向量的计算）； （5）（偏）微分方程数值解。
研究生数值分析课件ch
详细描述
数值分析是数学的一个重要分支，主要研究如何利用数值方法求解数学问题和近似计算 实际问题的数值解。它为科学研究、工程技术和实际应用等领域提供了重要的数学工具。 数值分析的重要性在于它能够将许多抽象的数学概念和理论转化为具体的数值计算方法，
使得我们能够更加方便地解决各种复杂的实际问题。
数值分析的应用领域
在金融领域，数值分析也被 广泛应用于风险评估、投资 组合优化、期权定价等方面 。通过数值分析的方法，我 们可以更加准确地评估投资 风险和收益，从而做出更加 明智的决策。
数值分析的发展历程
总结词
数值分析的发展历程可以追溯到上世纪初，随着计算 机技术的不断发展，数值分析的理论和方法也在不断 更新和完善。
05
数值积分与微分
牛顿-莱布尼兹公式与复化求积法
牛顿-莱布尼兹公式
该公式是微积分中的一个基本定理，用于计算定积分。 通过将积分区间分成若干小区间，并在每个小区间上应 用微积分基本定理，再利用定积分的线性性质进行求和 ，最后取极限得到定积分的值。
复化求积法
当被积函数是复杂函数或者积分区间是复杂形状时，直 接应用牛顿-莱布尼兹公式可能会遇到困难。此时，可以 采用复化求积法，即将积分区间分成若干个小区间，然 后在每个小区间上应用牛顿-莱布尼兹公式，最后将所有 的结果相加得到定积分的近似值。
改进欧拉法
为了提高欧拉方法的精度，可以对欧拉方法进行改进。一种常见的改进方法是使用二阶 欧拉方法，它考虑了更多的函数值，从而提高了逼近的精度。
龙格-库塔方法
龙格-库塔方法是一种高阶数值方法，用于求解常微分方程。它基于泰勒级数的思想，通过迭代的方式逐步逼近方程的精确解 。与欧拉方法相比，龙格-库塔方法具有更高的精度和更好的稳定性。
数值分析是数学的一个重要分支，主要研究如何利用数值方法求解数学问题和近似计算 实际问题的数值解。它为科学研究、工程技术和实际应用等领域提供了重要的数学工具。 数值分析的重要性在于它能够将许多抽象的数学概念和理论转化为具体的数值计算方法，
使得我们能够更加方便地解决各种复杂的实际问题。
数值分析的应用领域
在金融领域，数值分析也被 广泛应用于风险评估、投资 组合优化、期权定价等方面 。通过数值分析的方法，我 们可以更加准确地评估投资 风险和收益，从而做出更加 明智的决策。
数值分析的发展历程
总结词
数值分析的发展历程可以追溯到上世纪初，随着计算 机技术的不断发展，数值分析的理论和方法也在不断 更新和完善。
05
数值积分与微分
牛顿-莱布尼兹公式与复化求积法
牛顿-莱布尼兹公式
该公式是微积分中的一个基本定理，用于计算定积分。 通过将积分区间分成若干小区间，并在每个小区间上应 用微积分基本定理，再利用定积分的线性性质进行求和 ，最后取极限得到定积分的值。
复化求积法
当被积函数是复杂函数或者积分区间是复杂形状时，直 接应用牛顿-莱布尼兹公式可能会遇到困难。此时，可以 采用复化求积法，即将积分区间分成若干个小区间，然 后在每个小区间上应用牛顿-莱布尼兹公式，最后将所有 的结果相加得到定积分的近似值。
改进欧拉法
为了提高欧拉方法的精度，可以对欧拉方法进行改进。一种常见的改进方法是使用二阶 欧拉方法，它考虑了更多的函数值，从而提高了逼近的精度。
龙格-库塔方法
龙格-库塔方法是一种高阶数值方法，用于求解常微分方程。它基于泰勒级数的思想，通过迭代的方式逐步逼近方程的精确解 。与欧拉方法相比，龙格-库塔方法具有更高的精度和更好的稳定性。
《数值分析教程》课件
总结词
一种适用于大规模计算的数值方法
详细描述
谱方法适用于大规模计算，通过将问题分解为较小的子问 题并利用多线程或分布式计算等技术进行并行计算，可以 有效地处理大规模的计算任务。
感谢您的观看
THANKS
具有简单、稳定和可靠的优点。
05
数值积分与微分
牛顿-莱布尼兹公式
要点一
总结词
牛顿-莱布尼兹公式是数值积分中的基本公式，用于计算定 积分。
要点二
详细描述
牛顿-莱布尼兹公式基于定积分的定义，通过选取一系列小 区间上的近似值，将定积分转化为一系列小矩形面积之和 ，从而实现了数值积分。
复化求积公式
总结词
算机实现各种算法，为各个领域的科学研究和技术开发提供了强有力的支持。
数值分析的应用领域
总结词
数值分析的应用领域非常广泛，包括科学计算、工程 、经济、金融、生物医学等。
详细描述
数值分析的应用领域非常广泛，几乎涵盖了所有的科学 和工程领域。在科学计算方面，数值分析用于模拟和预 测各种自然现象，如气候变化、生态系统和地球科学等 。在工程领域，数值分析用于解决各种复杂的工程问题 ，如航空航天、机械、土木和电子工程等。在经济和金 融领域，数值分析用于进行统计分析、预测和优化等。 在生物医学领域，数值分析用于图像处理、疾病诊断和 治疗等。总之，数值分析已经成为各个领域中不可或缺 的重要工具。
03
线性方程组的数值解法
高斯消去法
总结词
高斯消去法是一种直接求解线性方程组的方法，通过一系列 行变换将系数矩阵变为上三角矩阵，然后求解上三角方程组 得到解。
详细描述
高斯消去法的基本思想是将系数矩阵通过行变换化为上三角 矩阵，然后通过回带求解得到方程组的解。该方法具有较高 的稳定性和精度，适用于中小规模线性方程组的求解。
一种适用于大规模计算的数值方法
详细描述
谱方法适用于大规模计算，通过将问题分解为较小的子问 题并利用多线程或分布式计算等技术进行并行计算，可以 有效地处理大规模的计算任务。
感谢您的观看
THANKS
具有简单、稳定和可靠的优点。
05
数值积分与微分
牛顿-莱布尼兹公式
要点一
总结词
牛顿-莱布尼兹公式是数值积分中的基本公式，用于计算定 积分。
要点二
详细描述
牛顿-莱布尼兹公式基于定积分的定义，通过选取一系列小 区间上的近似值，将定积分转化为一系列小矩形面积之和 ，从而实现了数值积分。
复化求积公式
总结词
算机实现各种算法，为各个领域的科学研究和技术开发提供了强有力的支持。
数值分析的应用领域
总结词
数值分析的应用领域非常广泛，包括科学计算、工程 、经济、金融、生物医学等。
详细描述
数值分析的应用领域非常广泛，几乎涵盖了所有的科学 和工程领域。在科学计算方面，数值分析用于模拟和预 测各种自然现象，如气候变化、生态系统和地球科学等 。在工程领域，数值分析用于解决各种复杂的工程问题 ，如航空航天、机械、土木和电子工程等。在经济和金 融领域，数值分析用于进行统计分析、预测和优化等。 在生物医学领域，数值分析用于图像处理、疾病诊断和 治疗等。总之，数值分析已经成为各个领域中不可或缺 的重要工具。
03
线性方程组的数值解法
高斯消去法
总结词
高斯消去法是一种直接求解线性方程组的方法，通过一系列 行变换将系数矩阵变为上三角矩阵，然后求解上三角方程组 得到解。
详细描述
高斯消去法的基本思想是将系数矩阵通过行变换化为上三角 矩阵，然后通过回带求解得到方程组的解。该方法具有较高 的稳定性和精度，适用于中小规模线性方程组的求解。
数值分析第一章
n L2 n Ln / cos 2n
Ln n si n
ˆ (4L L ) / 3 L 2n 2n n
n L error 192 3.1414524 1.4e-004 384 3.1415576 3.5e-005 3.1415926 4.6e-010
通信卫星信号覆盖率
设地球为球体, R为地球半径,H为 卫星高度,覆盖面为球冠面积
(4)尽量减少计算工作量(乘、除法次数)
例 计算 P(x) = 1+2x+3x2+4x3 + 5x4 的值 秦九韶算法 P(x)=1+x(2+x(3+x(4+5x)))
应用: 2进制数转换为10进制数算法
(1 1 1 0 1 1 1 0)2 = 27+26 +25 +0 +23 +22 +2 +0 =((((((1· 2+1)2+1)2+0)2+1)2+1)2+1)2+0 =238
x
dx n x n1e x dx) 1 nI n1
0
19/25
e (x e
1
x 1 0
1
递推公式: In = 1 – nIn-1 (I0 = 1- e-1)
–1 ≈0.63212055882856 I = 1 – e 初值： 0
S0=1-exp(-1);S(1)=1-S0; for n=2:20 |e(S0)|=|S0 –I0|<0.5· 10-14 S(n)=1-n*S(n-1) end error
n=20时，S20= -30.19239488558378 实际计算: Sn=1-nSn-1,S0=0.63212055882856
数值分析引论 易大义Ch1.1-4
r
( e r ( x )) ( 0 , 且是 e r ( x )的高阶无穷小 ) * 1 e r ( x ) e 0 ( x )
计算机的存储 截断存储（按要求） 0 . 33 0 . 33 ， 0 .66 0 .66 例 6 6 3 3
1 2 4
1 2
10 ，
4
但
因为
5位有效数字，即n=5
2
1位有效数字，即n =1
11
x x 0 . 000033 0 . 000033 10
1 2
10
11
，
最多有5位 有效数字
最少有1位 有效数字
2 有效数字与相对误差之间的关系
m （ 定理 1 设 x 的近似数是 x 0 . a 1 a n） 10 ( a 1 0 )，
?
y9 0 . 019 , 5 y6 0 . 028 , 5 y3 0 . 058 , 5
原因 —— 误差的传播与积累
§3
误差的基本概念
3.1 绝对误差与相对误差
1 绝对误差(P3 定义1) 设某量的准确值为 x, x*是 x 的近似值 ,
称 e ( x ) x x 为 x 的 绝对误差(简称误差) .
1 0
n 失之毫厘,差之千里！ x
x5 1 dx
dx 的近似值。
<
1 1 改用： y n 1 y . 5n 5 n
y8 1 45 y5 1 30 y2 1 15
选初值： (1 ) y 9 y 10 y 9 0 .017 ; ( 2 ) y 10 0 y 9 0 .020
( e r ( x )) ( 0 , 且是 e r ( x )的高阶无穷小 ) * 1 e r ( x ) e 0 ( x )
计算机的存储 截断存储（按要求） 0 . 33 0 . 33 ， 0 .66 0 .66 例 6 6 3 3
1 2 4
1 2
10 ，
4
但
因为
5位有效数字，即n=5
2
1位有效数字，即n =1
11
x x 0 . 000033 0 . 000033 10
1 2
10
11
，
最多有5位 有效数字
最少有1位 有效数字
2 有效数字与相对误差之间的关系
m （ 定理 1 设 x 的近似数是 x 0 . a 1 a n） 10 ( a 1 0 )，
?
y9 0 . 019 , 5 y6 0 . 028 , 5 y3 0 . 058 , 5
原因 —— 误差的传播与积累
§3
误差的基本概念
3.1 绝对误差与相对误差
1 绝对误差(P3 定义1) 设某量的准确值为 x, x*是 x 的近似值 ,
称 e ( x ) x x 为 x 的 绝对误差(简称误差) .
1 0
n 失之毫厘,差之千里！ x
x5 1 dx
dx 的近似值。
<
1 1 改用： y n 1 y . 5n 5 n
y8 1 45 y5 1 30 y2 1 15
选初值： (1 ) y 9 y 10 y 9 0 .017 ; ( 2 ) y 10 0 y 9 0 .020
《数值分析》PPT课件
它的近似解.
8
实际问题 数学模型 数值计算方法
上机计算求出结果
近似解与精确解之间的误差称为截断误差或方法误差.
9
例如，用泰勒(Taylor)多项式
Pn (x)
f (0)
f (0) x 1!
f (0) x2 2!
f (n) (0) xn n!
近似代替函数 f (，x) 则数值方法的截断误差是
4
数值分析的特点： 一、面向计算机，能根据计算机的特点提供切实可行的 有效算法. 二、有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求， 对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行
分析. 三、要有好的计算复杂性，时间复杂性好是指节省时
间，空间复杂性好是指节省存储量，这也是建立算法要研 究的问题，它5 关系到算法能否在计算机上实现.
界，即
13
e * x * x *,
则 叫* 做近似值的误差限， 它总是正数.
例如，用毫米刻度的米尺测量一长度 ，x读出和该长度 接近的刻度 ，x * x *是 x的近似值， 它的误差限是 0.5m，m 于是
x * x 0.5mm. 如读出的长度为 765m，m 则有 765 x . 0.5 虽然从这个14 不等式不能知道准确的 是x多少，但可知
19
当准确值 位x数比较多时，常常按四舍五入的原则得 到 x的前几位近似值 ，x * 例如
x π 3.14159265
取3位 取5位
x3* 3.14, 3* 0.002, x5* 3.1416, 5* 0.000008,
它们的误差都不超过末位数字的半个单位，即
π 3.14 1 102 , 2
定义设1 为准确x 值，
x *为 x的一个近似值， 称
8
实际问题 数学模型 数值计算方法
上机计算求出结果
近似解与精确解之间的误差称为截断误差或方法误差.
9
例如，用泰勒(Taylor)多项式
Pn (x)
f (0)
f (0) x 1!
f (0) x2 2!
f (n) (0) xn n!
近似代替函数 f (，x) 则数值方法的截断误差是
4
数值分析的特点： 一、面向计算机，能根据计算机的特点提供切实可行的 有效算法. 二、有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求， 对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行
分析. 三、要有好的计算复杂性，时间复杂性好是指节省时
间，空间复杂性好是指节省存储量，这也是建立算法要研 究的问题，它5 关系到算法能否在计算机上实现.
界，即
13
e * x * x *,
则 叫* 做近似值的误差限， 它总是正数.
例如，用毫米刻度的米尺测量一长度 ，x读出和该长度 接近的刻度 ，x * x *是 x的近似值， 它的误差限是 0.5m，m 于是
x * x 0.5mm. 如读出的长度为 765m，m 则有 765 x . 0.5 虽然从这个14 不等式不能知道准确的 是x多少，但可知
19
当准确值 位x数比较多时，常常按四舍五入的原则得 到 x的前几位近似值 ，x * 例如
x π 3.14159265
取3位 取5位
x3* 3.14, 3* 0.002, x5* 3.1416, 5* 0.000008,
它们的误差都不超过末位数字的半个单位，即
π 3.14 1 102 , 2
定义设1 为准确x 值，
x *为 x的一个近似值， 称
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11
上一页Βιβλιοθήκη 下一页（3） 十六进制数( β = 16) ， 十六个数字为 0， 2， 1， …， 9，A，B，C，D，E，F. 例如： (5C 4)16 = 5 × 162 + C × 161 + 4 × 160
= 5 × 16 2 + 12 × 161 + 4
= (1476)10 .
八进制也是一种常用的进制
0
∫
(1 − x 2 +
∫
12 ! 2 3 ! −x
−
+
− L ) dx
取 ∫0
1
e − x dx ≈ S 4 ,
2
S4
R4
/* Remainder */
1 1 1 1 × 由留下部分 称为截断误差 /* Truncation Error */ − × + L 称为截断误差 4! 9 5! 11 /* included terms */ 1 1 这里 R 4 < × 引起.005 <0 由截去部分 4! 9 /* excluded terms */ 1 1 1 S4 = 1 − + − ≈ 1 − 0 .333 + 0 .1 − 0 .024 = 0 .743 引起 3 10 42 | 舍入误差 /* Roundoff Error */ | < 0 .0005 × 2 = 0 .001
等，都是规格化的二进制浮点数. 都是规格化的二进制浮点数
14 上一页 下一页
2.3 计算机中数的浮点表示
例如： x = 3.1416 = 0.31416 × 101 例如：
计算机中参与运算的数也是用浮点表示的， 但由于计 计算机中参与运算的数也是用浮点表示的， 算机位数的限制， 算机位数的限制，数的浮点表示尾数部分位数则是固 定的， 也称为计算机的字长. 定的，例如 t 位，t 也称为计算机的字长 阶码 c 的大 小 也 有 确 定 的 范 围 ： m ≤ c ≤ M ， 一 般 m = −M ， 或 m = − M + 1. 具体计算机限制的浮点数称为机器数， 受具体计算机限制的浮点数称为机器数，它们构 成 该 机 器 的 数 系 ， 并 由 ( β , t , M , m) 所 确 定 ， 记 为 F ( β , t , m, M )
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4
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输入复杂问题或运算
x, a ,
x
ln x ,
v v Ax = b , ......
∫
a
b
f ( x ) dx ,
d f ( x ), dx
数值 分析
近似解
计算机
+ − × ÷
5
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1.2 主要内容
函数的插值与逼近； 函数的插值与逼近； 数值积分与数值微分； 数值积分与数值微分； 线性代数方程组的解法； 线性代数方程组的解法； 矩阵的特征值问题的计算； 矩阵的特征值问题的计算； 非线性方程的数值解法； 非线性方程的数值解法； 常微分方程数值解法. 常微分方程数值解法
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实际问题→ 数学模型→ 数值方法→ 计算结果 上一页
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例 :近似计算
∫
1 0
e
−x2
dx ≈ 0.743
解法之一：将 e 作Taylor展开后再积分 展开后再积分 大家一起猜？ 大家一起猜？ 1 1 x4 x6 x8
−x2
∫
0
e − x dx =
2
4! 1 / e 1 < 1 × 1e− 1dx1 +<1 1 1 − L = 1− + × × 0 3 2! 5 3! 7 4! 9
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ε* x 的相对误差上限 /* relative accuracy */ 定义为 ε = * |x |
* r
相对误差 /* relative error */
e* * er = x
e e r* * 的定义可见， 实际上被偷换 偷换成了 注：从 的定义可见， 实际上被偷换成了 x ，而后才考 察其上限。那么这样的偷换是否合法 合法？ 察其上限。那么这样的偷换是否合法？ e* e* x 与 x * 是否反映了同一数量级的误差？ 严格的说法是， 是否反映了同一数量级的误差？ 同一数量级的误差 严格的说法是，
这里： 为正整数. 这里：0 ≤ ak < β 为正整数
10
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（1）十进制数( β = 10) 例如：(364)10 = (3 × 102 + 6 × 101 + 4 × 100 ) . 3 2 1 (5188.51)10 = 5 × 10 + 1× 10 + 8 × 10
+8 × 100 + 5 × 10−1 + 1× 10−2.
第一章 引论
1
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计算不仅仅只是作为验证理论模型的正确性 的手段，大量的事实表明它已成为重大科学发现 的一种重要手段。……所有这一切都充分说明, 科学计算与实验、理论三足鼎立，相辅相成， 成为当今科学活动的三大方法。 石钟慈： 《第三种科学方法----计算机时代的科学计算》 （2000）
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ε r*
*
关于此问题的详细讨论可见教材第7 关于此问题的详细讨论可见教材第7页。
1
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有效数字 /* significant digits */
* m 用科学计数法，记 x = ±0 .a1a 2 L a n × 10 （其中 a1 ≠ 0 ）。若 用科学计数法， ）。若 | x − x * |≤ 0 .5 × 10m − n（即 a n 的截取按四舍五入规则），则称 的截取按四舍五入规则）， ），则称 x * 为有 位有效数字，精确到 10 m − n 。 为有n 位有效数字， π 例： = 3 .1415926535 897932 L L ; π * = 3 .1415
则 R4 =
计算 ∫0 e -x
18
1
2
dx 的总体误差 < 0 .005 + 0 .001 = 0 .006
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3.2
误差与有效数字 /* Error and Significant Digits */
绝对误差 /* absolute error */ e* = x* − x 其中 为精确值，x*为x的近似值。 其中x为精确值 为精确值， 的近似值。 的近似值
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（3）解线性代数方程组： ）解线性代数方程组：
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 a x + a x + L + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 L an1 x1 + an 2 x2 + L + ann xn = bn 1 sin x （4）求积分： ∫ ）求积分： dx 0 x
§1 数值计算方法及其主要内容
1.1 数值计算方法
1. 数学的一个分支、数学与其它应用学科的桥梁； 数学的一个分支、数学与其它应用学科的桥梁； 2. 其它学科发展迫切需要进行数值计算与仿真 其它学科发展迫切需要进行数值计算与仿真; 科学计算已成为平行于理论分析和科学实验的第三 科学计算已成为平行于理论分析和科学实验的第三 已成为平行于理论分析 种科学研究手段。 种科学研究手段。 3．计算机软、硬件的发展为数值方法的实现提供 ．计算机软、 环境，也促进它的快速发展。 环境，也促进它的快速发展。
0.50618 × 10 −2 , 0.27612 × 10 −1 ,
0.2764608 × 10
3
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β 进制下，规格化的浮点数可以表示成 进制下，
x = ±0.a1a2 L as × β c
其中： 其中： 1 ≤ a 1 < β
0 ≤ ai < β
i = 2 , 3 ,L s , s ≥ 1
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2.2 数的浮点表示
固定小数点位置的表示方法，称为数的定点表示 固定小数点位置的表示方法，称为数的定点表示. 允许小数点位置浮动的表示方法称为数的浮点表示 允许小数点位置浮动的表示方法称为数的浮点表示. 例如： 例如：0. 0050618， 0. 027612， 276.4608 ， ， 分别表示成
π 有几位有效数字？请证明你的结论。 问： * 有几位有效数字？请证明你的结论。
证明：Q π* = 0 .31415 × 10 1 , 证明：
and |π * − π| < 0 .5 × 10 − 3 = 0 .5 × 10 1 − 4 ∴ π * 有 4 位有效数字，精确到小数点后第 3 位。 位有效数字，
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有效数字与相对误差的关系 有效数字 ⇒ 相对误差限 有效数字，则其相对误差限 相对误差限为 已知 x* 有 n 位有效数字，则其相对误差限为
0 .5 × 10 m − n 10 − n ε* εr * = = = m x* 0 .a 1 a 2 L a n × 10 2 × 0 .a 1 L ≤ 1 × 10 − n + 1 2a1
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举例： ） 举例： 1）求 9 x 2 = sin x 的正实根； 的正实根； （ （2）求一阶微分方程初值问题： ）求一阶微分方程初值问题：
dy = f ( x , y), y(0) = 1 dx
的解，其中： 的解，其中： f ( x , y ) = sin x + 9 x 2
| e * | 的上限记为 ε * ，称为绝对误差限 /* accuracy */， 称为绝对误差限 ， 1 * * − x2 例如： 工程上常记为 x = x ± ε ，例如： e dx = 0 .743 ± 0 .006 ∫