《数值分析》课件
3.
e a
b
a e (b) b e (a)
, b2
b0
设a,b 分别是准确值x,y 的近似值，则
4.
er
(a
b)
e (a)
a
e (b)
b
5.
er
(a
b)
e (a)
a
e (b)
b
6. e r (ab) e r (a) e r (b)
7.
er
a b
er
(a)
er
(b)
例4
ε(p)
设有三个近似数
p ≈ 6.6332
≈0.02585
a=2.31,b=1.93,c=2.24
它们都有三位有效数字，试计算p=a+bc，e ( p)和e r ( p) 并问：p的计算结果能有几位有效数字？
2位
例5
设f (x, y) cos y , x 1.30 0.005, y 0.871 0.0005. x
➢截断误差
求解数学模型所用的数值计算方法，如果是一种 近似的方法，只能得到模型的近似解，由此产生 的误差称为截断误差或方法误差。
➢舍入误差
由于计算机的字长有限，参加运算的数据及其 运算结果在计算机中存放会产生误差。这种误 差叫舍入误差或计算误差。
例如 在 16 位微机上计算，单精度实数存放仅有 7 位有效数字。在其上运算，会有 1 3 0.333 333 3, (1.000 002)2 1.000 004 0, 后者的准确结果是 4 1012。
分析 x x *
= f '( )(x x *)
x* 与 x 非常接近时，可认为 f '( ) f '(x*) ，则有：
|e(y)| | f '(x*)|·|e(x)|
(1)
e ( y) f ' (x*) e (x)
(2)
即：x*产生的误差经过 f 作用后被放大/缩小了| f '(x*)|
注: 1、同一个准确值的不同近似值，有效数字 越多，其绝对误差和相对误差都越小.
2、准确值的有效数字可看做有无限多位.
例 3.1415926535897932 ; * 3.1416
问： * 有几位有效数字？请证明你的结论。
证明：
0.31416 101 and 0.5104 0.51015 有 5 位有效数字 ， 精确到小数点后第 4 位。
经过四舍五入而得到的近似值，
问： e(a)，e(b)，e r(a)，er(b) 各是多少？
解： e (a) 0.005 , e (b) 0.000 05 e r(a) e (a) 0.005 0.23%,
a 2.18
e r(b) e (b) 0.00005 0.0024%
b 2.1200
例:近似计算 1 ex2 dx = 0.747… … 0
解法之01一e大：x2 d家将x 一1e/1起x0e12作(1猜13T？axy212l!or01展215xe4!开x312后!dx3!x6再71积x4!分481!119
)
dx
取
1
e
x
2
dx
0
S4
,
S4
R4 ( Remainder )
倍。故称| f '(x*)|为放大因子 ( amplification factor ) 或
绝对条件数 ( absolute condition number ).
| er ( y) |
e( y) f (x*)
f (x) f (x*) x * x x * x x * f (x*) x *
e x x 其中 x 为精确值，x* 为 x 的近似值。|e|的上界
记为e , 称为绝对误差限 (accuracy),工程上常记为
x = x* ± e .
例如： 1 ex2 dx 0.743 0.006 0
注:理论上讲,e 是唯一确定的, 可能取正, 也可能取负.
e > 0 不唯一，当然 e 越小越具有参考价值。
x * f (x*) f (x*)
er (x)
| er (x) |
e(x) x*
相对误差条件数
( relative condition number)
f 的条件数在某一点是小\大，则称 f 在该点是好条件的 ( well-conditioned ) \坏条件的 ( ill-conditioned )。
s0
s1
sn
n
p(x) ai xi i0
算法二（秦九韶法）
Tn an Tk xTk1 ak , (k n 1, n 2, ,1, 0) p(x) T0
秦九韶法原理
p(x) an xn an1xn1 a2 x2 a1x a0 =(an xn1 an1xn2 a2 x1 a1)x a0
= (an xn2 an1xn3 a2 x0 )x a1 x a0
❖定义算法的计算复杂性 是指在达到给定精度时, 该算法所需的计算量和所占的内存空间. 前者叫时 间复杂性，后者叫空间复杂性.
例子 计算下面多项式的值。输入数据为ai和x， 输出数据为 p(x) 的值。
n
p(x) ai xi i0
算法一
s0 a0
sk
ak xk
, (k
1, 2,
, n)
p(x)
数值分析
理学院
刘秀娟
第1章 绪论
§1.1 数值分析的研究对象
提问：数值分析是做什么用的？
数值分析是近代数学的一个重要分支，它是研究 各种数学问题的数值解法，包括方法的构造和求 解过程的理论分析。
在电子计算机成为数值计算的主要工具之后，则 要求研究适合于计算机使用的数值计算方法，为 了更好地说明数值分析的研究对象，我们考察用 计算机解决科学计算问题时经历的几个过程：
➢有效数字 ( significant digits)
❖四舍五入带来的绝对误差限
凡是由准确值 x 经四舍五入而得到近似值 x*，其绝对误差 限等于该近似值末位的半个单位。
❖定义 有效数字
设 x* 是数 x 的近似值，如果 x* 的绝对误差限是它的某一 位的半个单位，并且从该位到它的第一位非零数字共有 n 位，则称用 x* 近似 x 时，具有 n 位有效数字。
实际长度 x 和 y 在什么范围内？
解： e (a) e (b) 0.5mm , e r(a) e (a) 0.5 0.16%,
a 312
e r(b) e (b) 0.5 2.08%,
b 24
311.5mm x 312.5mm, 23.5mm y 24.5mm
例2 设 a=-2.18 ， b=2.1200 是分别由准确值x和y
1、采用“构造性”方法； 2、采用“离散化”方法； 3、采用“递推化”方法； 4、采用“近似代替”方法等等。
• 研究内容
线性方程组的数值解 矩阵特征值与特征向量计算 非线性方程的数值解 数值逼近 数值积分 常微、偏微的数值解
• 研究方法
理论分析 算法分析 误差分析 收敛性分析 收敛速度
例如
y 5x 6 sin x8, 0 x 106
是实际问题的解，而若数学模型的解是
y 5x 6, 0 x 106, 由此产生的误差叫作模型误差。
➢观测误差
数学模型中包含某些变量，如时间、长度、电压 等，它们一般是通过观测来获得。由于观测得到 的数据与实际数据之间有误差，这种误差叫观测 误差。
—— 观测误差 ( Measurement Error )
➢ 求近似解 —— 方法误差 (截断误差 ( Truncation Error ) )
➢ 机器字长有限 —— 舍入误差 ( Roundoff Error )
➢模型误差
处理实际问题时，要建立数学模型，通常模型只 是近似的。由此产生的数学模型解与实际问题的 解 之间的误差叫模型误差。
如果有f ' (a) f '' (a) f (k1) (a)， f (k ) (a) 0, 则有
e( y) f (k ) (a) [e(a)]k
(3)
k!
f (k) (a)
e (y)
[e (a)]k
(4)
k!
问题二：对于n 元函数 u f (x1, x2 ,, xn ), ai是xi的近似值 ， 用a将i 代对替uxi产，生什么影响？
提问：绝对误差限的大小能否完全地 表示近似值的好坏？
例如：有两个量
x 10 1 , y 1000 5
思考
问：谁的近似程度要好一些？
❖定义 近似值 x* 的相对误差 (relative error)
er
e x
x x x
.
由于精确值 x 未知, 实际上总把
e x
作为x*的
相对误差，并且仍记为er , 即
§1.2 误差知识与算法知识
1.2.1 误差的来源与分类
在工程技术的计算中，估计计算结 果的精确度是十分重要的工作，而影响 精确度的是各种各样的误差。误差的来 源是复杂的，但主要有以下四种：
➢ 从实际问题中抽象出数学模型
—— 模型误差 ( Modeling Error )
➢ 通过测量得到模型中参数的值
➢有效数字的确定方法
用科学计数法，记
x* 0.a1a2 an 10m （其中 a1 0 ）, 若| x x* | 0.510mn (即 an 的截取按四舍五入规则)，
则 x* 至少有n 位有效数字，且精确到10mn.
有效数字的位数 n = 近似数科学记数法的幂指 数－绝对误差限科学记数法的幂指数.
注：1、由准确值经过四舍五入得到的近似值，从它的末位 数字到第一位非零数字都是有效数字。 2、0.2300有4位有效数字，而0.23只有2位有效数字。 12300有5位有效数字，如果写成0.123105，则表示只有 3位有效数字。 数字末尾的0不可随意省去！
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数值分析全册完整课件
0
解： 将 ex2 作Taylor展开后再积分
1 eБайду номын сангаас x2 dx
1
(1
x2
x4
x6
x8
... ) dx
0
0
2 ! 3! 4!
1 1 1 1 1 1 1 1 ... 3 2! 5 3! 7 4! 9
S4
R4
取 1 e
x
2
dx
0
S4
,
则
R4
1 1 4! 9
1 1 5! 11
...
值班军官对连长: 根据营长的命令，明晚8点哈雷彗星将 在操场上空出现。如果下雨的话，就让士兵穿着野战服列 队前往礼堂，这一罕见的现象将在那里出现。
连长对排长: 根据营长的命令，明晚8点，非凡的哈雷彗 星将身穿野战服在礼堂中出现。如果操场上下雨，营长将 下达另一个命令，这种命令每隔76年才会出现一次。
1.由实际问题应用有关知识和数学理论建立模型， -----应用数学任务
2.由数学模型提出求解的数值计算方法直到编程出结果， -----计算数学任务
计算方法是计算数学的一个主要部分，研究的即是后半 部分，将理论与计算相结合。
特点:
面向计算机，提供切实可行的算法； 有可靠的理论分析，能达到精度要求，保证近
计算方法
数值分析全册完整课件
教材和参考书
教材：
数值分析，电子科技大学应用数学学院，钟尔杰， 黄廷祝主编，高等教育出版社
参考书：
数值方法（MATLAB版）（第三版），John H. Mathews,Kurtis D. Fink 著，电子工业出版社；
数值分析（第四版），李庆扬，王能超，易大义编，清华 大学出版社；
解： 将 ex2 作Taylor展开后再积分
1 eБайду номын сангаас x2 dx
1
(1
x2
x4
x6
x8
... ) dx
0
0
2 ! 3! 4!
1 1 1 1 1 1 1 1 ... 3 2! 5 3! 7 4! 9
S4
R4
取 1 e
x
2
dx
0
S4
,
则
R4
1 1 4! 9
1 1 5! 11
...
值班军官对连长: 根据营长的命令，明晚8点哈雷彗星将 在操场上空出现。如果下雨的话，就让士兵穿着野战服列 队前往礼堂，这一罕见的现象将在那里出现。
连长对排长: 根据营长的命令，明晚8点，非凡的哈雷彗 星将身穿野战服在礼堂中出现。如果操场上下雨，营长将 下达另一个命令，这种命令每隔76年才会出现一次。
1.由实际问题应用有关知识和数学理论建立模型， -----应用数学任务
2.由数学模型提出求解的数值计算方法直到编程出结果， -----计算数学任务
计算方法是计算数学的一个主要部分，研究的即是后半 部分，将理论与计算相结合。
特点:
面向计算机，提供切实可行的算法； 有可靠的理论分析，能达到精度要求，保证近
计算方法
数值分析全册完整课件
教材和参考书
教材：
数值分析，电子科技大学应用数学学院，钟尔杰， 黄廷祝主编，高等教育出版社
参考书：
数值方法（MATLAB版）（第三版），John H. Mathews,Kurtis D. Fink 著，电子工业出版社；
数值分析（第四版），李庆扬，王能超，易大义编，清华 大学出版社；
数值分析课程课件 直接三角分解方法
u22
u11
u2n
l n1 l n2
1
unn
即
a11 a12 a 21 a22
a1n
a2n
u11 l21u11
u12 l21u12 u22
u1n
l21u1n
u2n
a n1 a n2
ann
ln1u 11
由（5.3.1）- （5.3.4）求得L和U后，解方程组Ax=b 化为求解LUx=b，若记Ux=y，则有Ly=b。于是可分两部解 方程组LUx=b，只要逐次向前代入的方法即可求得y。第
二步求解Ux=y，只要逐次用向后回代的方法即可求得x。 设 x=（x1 ，x2， ···xn) T, y=（y1, y2, ···yn) T,
n
i1
lniuin
unn
第四章方程组的直接解法
由A的第1行和第1列可计算出U的第1行和L的第1列，即
u1 j a1 j , j 1, 2, , n,
（5.3.1）
lk1
ak1 u11
,k
2, 3,
, n.
（5.3.2）
如果U的第1至k-1列和L的第1至k-1列已经算出，则由
解 设 A=LU，即
l11 a11 1, l21 a21 2, l31 a31 0
u12
a12 l11
2, u13
a13 l11
1,
l22 a22 l21u12 3, l32 a32 l31u12 1
数值分析学习课件
对任意 u ≠ 0 ∈ R n +1 ，必有 Φ u ≠ 0 。 则 u T B u = u T Φ T Φ u =|| Φ u || 2 > 0 2 若不然， 若不然，则 存在唯一解 ⇒ B为正定阵，则非奇异，所以法方程组存在唯一解。 为正定阵，则非奇异，所以法方程组存在唯一 n +1 存在一个 u ≠ 0 ∈ R 使得 Φ u = 0 … 即
则 (ϕ i , ϕ j ) =
∫
1 0
x i x j dx =
1 i + j+1
Hilbert阵！ 阵
若能取函数族Φ={ ϕ0(x), ϕ1(x), … , ϕn(x), … }， ， 两两（ 使得任意一对ϕi(x)和ϕj(x)两两（带权）正交， 和 两两 带权）正交， 改进： 改进： 对角阵！ 就化为对角阵 则 B 就化为对角阵！ (ϕ k , y ) 这时直接可算出a 这时直接可算出 k = (ϕ k , ϕ k ) 正交多项式的构造： 正交多项式的构造： 多项式的构造 取为k 多项式，为简单起见， 将正交函数族中的ϕk 取为 阶多项式，为简单起见，可取 ϕk 的首项系数为 1 。
①
总体上尽可能小 尽可能小。 这时没必要取 P(xi) = yi , 而要使 P(xi) − yi 总体上尽可能小。 常见做法： 常见做法：
m
不可导， 不可导，求解困难
太复杂
使 max | P ( x i ) − y i | 最小 /* minimax problem */ 1≤ i ≤ m 使 ∑ | P ( x i ) − y i | 最小 使 ∑ | P ( x ) − y | 最小 /* Least-Squares method */ 定义 最佳平方逼近：即连续型 逼近，在 || f ||2 = 最佳平方逼近：即连续型L-S逼近 平方逼近 逼近，
数值分析课件
辛普森方法
一种基于矩形法思想的数值积分方法 ，适用于计算定积分。
自适应辛普森方法
一种基于辛普森方法和梯形法的自适 应数值积分方法，能够根据函数性质 自动选择合适的积分策略。
常微分方程的数值求解
01
欧拉方法
一种基于常微分方程初值 问题的数值求解方法，通 过逐步逼近的方式求解近 似解。
02
龙格-库塔方法
定积分是函数在区间上积分和的极限；不定积分是函数在 某个区间上的原函数。
02
应用领域
积分广泛应用于物理、工程、经济等领域，如求曲线下面 积、求解变速直线运动位移等。
03
数值计算方法
使用数值积分方法（如梯形法、辛普森法等）来近似计算 定积分和不定积分的值。这些方法将积分区间划分为若干 个小段，并使用已知的函数值和导数值来近似计算每个小 段的积分值，最后求和得到积分的近似值。
一种基于常微分方程初值 问题的数值求解方法，通 过构造龙格-库塔曲线来 逼近解。
03
阿达姆斯-图灵 方法
一种基于常微分方程初值 问题的数值求解方法，通 过构造阿达姆斯-图灵曲 线来逼近解。
04
自适应步长控制 方法
一种基于欧拉方法和龙格 -库塔方法的自适应步长 控制方法，能够根据误差 自动调整步长。
偏微分方程的数值求解
高斯消元法的步骤
1. 将方程组按照行进行排列，并将每个方程中的未知数 按照列排列。
2. 对于每个方程，选取一个未知数作为主元，并将其余 的未知数用主元表示。
3. 将主元所在的行与其他行进行交换，使得主元位于对 角线上。
4. 将主元所在的列中位于主元下方的元素消为0，从而得 到一个阶梯形矩阵。
线性方程组的解法
数值分析是一种工具，它可以帮助我 们更好地理解和解决实际问题，同时 也可以帮助我们更好地理解和应用数 学理论。
数值分析学习课件
§2.正交多项式
性质3. n次多项式 P (x)有n个互异实根，且全部(a, b)内。 n 性质4.设 P (x)的n个实根为x1 , x2 ,..., xn P + 1 (x) 的n+1 ，n n 个实根为 x1 , x2 ,..., xn1 ，则有
a x1 x1 x 2 x2 ...
{ j(x) = e kj x , ki kj } 对应指数多项式 /* exponential
polynomial */
§1.函数逼近的基本概念
定义 权函数：
①
离散型 /*discrete type */
根据一系列离散点 ( xi , yi ) (i 1, ... , n) 拟合时，在每一误
Pk(x)
kl kl
由 P0 1, P1 x 有递推 (k 1) Pk 1 (2k 1) xP kPk 1 k
k
0
1
2 3
P0 ( x) 1 P ( x) x 1
P2 ( x ) =
4
1 P3 ( x ) = (5 x3 - 3x) 2 1 P4 ( x ) = (35 x 4 - 30 x 2 + 3) 8
第三章
函数逼近
/* Approximation Theory */
第一讲
§1.函数逼近的基本概念
§2.正交多项式
§1.函数逼近的基本概念
已知 x1 … xm ; y1 … ym, 求一个简单易算的近 m 似函数 P(x) f(x) 使得 | P ( xi ) yi |2 最小。
i 1
已知 [a, b]上定义的 f(x)，求一个简单易算的 b 近似函数 P(x) 使得 a [ P( x) f ( x)]2 dx 最小。
数值分析课件
n=20 需要运算 多少次？
➢ 存贮量 ➢ 逻辑结构
n=100?
§2 误差来源与误差分析的重要性
一、误差的来源与分类
➢ 从实际问题中抽象出数学模型—— 模型误差
例:质量为m的物体，在重力作用下,自由下落， 其下落距离s 与时间t 的关系是：
m
d 2s dt2
mg
其中 g 为重力加速度。
➢ 通过测量得到模型中参数的值—— 观测误差
S2 计算 D a11a22 a21a12
S3 如果 D 0
则输出原方程无解或有无穷多组解的信息;
否则 D 0
x1
a22b1 a12b2 D
S4 输出计算的结果
x1, x2
x2
a11b2 a21b1 D
开始
输入
a11, a12 , a21, a22 , b1 , b2
D=a11a22-a12a21
（1）如果 D 0，则令计算机计算
x1 b1a22 b2a12 D , x2 b2a11 b1a21 D
输出计算的结果x1，x2。
（2）如果D= 0，则或是无解，或有无穷多组解。
令 D a11a22 a21a12
通过求解过程，可以总结出算法步骤如下：
S1 输入 a11, a12, a21, a22,b1,b2
➢ 求近似解 —— 方法误差 (截断误差）
例如，当函数 f 用 xTaylor多项式
Pn x
f
0
f 0
x 1!
f 0 x2
2!
f (n) 0 xn
n!
近似代替时，数值方法的截断误差是
（ 在 与x0之间）。
Rn x
f
x Pn x
数值分析课件 第一章 绪论
1 e 0 1 x n e 0 d I n x 1 e 0 1 x n e 1 d x e 1 1 ( ) I n n n 1 1
公式一：I n 1 e [ x n e x 1 0 n 0 1 x n 1 e x d x ] 1 n I n 1
I01 e 01exdx11 e0.63212 记为0I5 0* 6 此公式精确成
初始的小扰动 |E 0|0.51 0 8迅速积累，误差呈递增趋势。 造成这种情况的是不稳定的算法 /* unstable algorithm */ 我们有责任改变。
公式二： I n 1 n I n 1 I n 1 n 1 ( 1 I n )
方法：先估计一个IN ,再反推要求的In ( n << N )。 注 意在e此理(N 公论1 式上1)与等公价IN 式。一N 1 1
)
0 .0 6 6 8 7 0 2 2 0
I
12
1 (1 13
I
13
)
0 .0 7 1 7 7 9 2 1 4
I
11
1 (1 12
I
12
)
0 .0 7 7 3 5 1 7 3 2
I
10
1 11
(1
I
11
)
0 .0 8 3 8 7 7 1 1 5
I
1
1 2
(1
I
2
)
0 .3 6 7 8 7 9 4 4
0
2! 3! 4!
11/1e111 e1 x 2d1x11 1 3 2! 50 3! 7 4! 9
取 01ex2dxS4 ,
S4
R4 /* Remainder */
则 R 44 1 !1 9 由 留5 1 !下1 部1 分1 称为截断误差 /* Truncation Error */
数值分析-第一章ppt课件
数及其图形作出判断. 整理版课件
6
由分部积分法可得:
Ine101xndex
n=1,2,4,6, 8,10,15
e 1 x n ex|1 0 e 1 0 1 nn 1 x ex dx
1 nn 1 I (n 1 ,2 , ).
如果取 I0 = 1–e–1 = 0.63212056 (八位有效数字).
x1,2b
b24ac 2a
直接进行计算则得: x1=109, x2=0. 其中的x2=0明பைடு நூலகம்失真, 这也是由于舍入误差造成的.
整理版课件
8
§1 误差的来源
实际 问题
建立数 学模型
确定计 算方法
编程 上机
由抽象简 化产生的 模型误差 及参数的 观测误差
由计算方 法本身产 生的截断 误差或称 方法误差
er(x* )e(x x* )x xx*
同样, 由于精确值 x 经常是未知的, 所以, 需要另
外的近似表达形式. 我们注意如下公式的推导,
当
|
e ( x*) x*
|
较小时,
有
e(x* )e(x* )e(x*x )* (x)
x x*
xx*
[x*[ee((xx**))2]x] *1[e(exx(**x*)]2)
整理版课件
18
乘法相关的误差公式： 设 f (x1, x2)= x1 x2 . e ( x 1 x 2 ) x 2 e ( x 1 ) x 1 e ( x 2 ) e r ( x 1 x 2 ) e r ( x 1 ) e r ( x 2 ) |e ( x 1 x 2 ) | |e ( x 1 ) | |e ( x 2 ) | |e r ( x 1 x 2 ) | |e r ( x 1 ) | |e r ( x 2 ) |
数值分析全册完整课件
似算法的收敛性和数值稳定性； 要有好的计算复杂性，节省时间及存储量； 有数值实验，证明算法有效。
算法基本结构：顺序，分支，循环
算法描述：程序或流程图
常采用的处理方法：
构造性方法 离散化方法 递推化方法 迭代法 近似替代方法 以直代曲法 化整为零的处理方法 外推法
数学基础：
微积分的若干定理： 罗尔定理和微分中值定理； 介值定理及推论； 泰勒公式（一元、二元）； 积分中值定理；
设y=f(x)为一元函数，自变量准确值x*，对应函数准确 值y*=f(x*)，x误差为e(x)，误差限为ε(x)，函数近似值 误差e(y)，误差限为ε(y)。则（可由Taylor公式推得）
( y) | f '(x) | (x)
r
(
y)
|
xf |f
'(x) (x) |
|
r
(
x)
对于多元函数 z f (x1, x2 ,, xn )
定义1.1 设x*为某一数据的准确值，x为x*的一个近 似值，称e(x)=x-x*(近似值－准确值)为近似值x的绝对 误差，简称误差。
e(x) 可正可负，当e(x) >0时近似值偏大，叫强近似值；当e(x) <0时近似值偏小，叫弱近似值。
由于x*通常无法确定，只能估计其绝对误差值 不超过某整数ε(x)，即
设准确值
z* f (x1*, x2*,, xn* )
由多元函数Taylor公式，可得误差估计：
n
(z)
k 1
f xk
(xk )
相对误差限为：
r (z)
n k 1
xk
f xk
r (xk )
z
2. 算术运算的误差估计：
算法基本结构：顺序，分支，循环
算法描述：程序或流程图
常采用的处理方法：
构造性方法 离散化方法 递推化方法 迭代法 近似替代方法 以直代曲法 化整为零的处理方法 外推法
数学基础：
微积分的若干定理： 罗尔定理和微分中值定理； 介值定理及推论； 泰勒公式（一元、二元）； 积分中值定理；
设y=f(x)为一元函数，自变量准确值x*，对应函数准确 值y*=f(x*)，x误差为e(x)，误差限为ε(x)，函数近似值 误差e(y)，误差限为ε(y)。则（可由Taylor公式推得）
( y) | f '(x) | (x)
r
(
y)
|
xf |f
'(x) (x) |
|
r
(
x)
对于多元函数 z f (x1, x2 ,, xn )
定义1.1 设x*为某一数据的准确值，x为x*的一个近 似值，称e(x)=x-x*(近似值－准确值)为近似值x的绝对 误差，简称误差。
e(x) 可正可负，当e(x) >0时近似值偏大，叫强近似值；当e(x) <0时近似值偏小，叫弱近似值。
由于x*通常无法确定，只能估计其绝对误差值 不超过某整数ε(x)，即
设准确值
z* f (x1*, x2*,, xn* )
由多元函数Taylor公式，可得误差估计：
n
(z)
k 1
f xk
(xk )
相对误差限为：
r (z)
n k 1
xk
f xk
r (xk )
z
2. 算术运算的误差估计：
《数值分析教程》课件
总结词
一种适用于大规模计算的数值方法
详细描述
谱方法适用于大规模计算，通过将问题分解为较小的子问 题并利用多线程或分布式计算等技术进行并行计算，可以 有效地处理大规模的计算任务。
感谢您的观看
THANKS
具有简单、稳定和可靠的优点。
05
数值积分与微分
牛顿-莱布尼兹公式
要点一
总结词
牛顿-莱布尼兹公式是数值积分中的基本公式，用于计算定 积分。
要点二
详细描述
牛顿-莱布尼兹公式基于定积分的定义，通过选取一系列小 区间上的近似值，将定积分转化为一系列小矩形面积之和 ，从而实现了数值积分。
复化求积公式
总结词
算机实现各种算法，为各个领域的科学研究和技术开发提供了强有力的支持。
数值分析的应用领域
总结词
数值分析的应用领域非常广泛，包括科学计算、工程 、经济、金融、生物医学等。
详细描述
数值分析的应用领域非常广泛，几乎涵盖了所有的科学 和工程领域。在科学计算方面，数值分析用于模拟和预 测各种自然现象，如气候变化、生态系统和地球科学等 。在工程领域，数值分析用于解决各种复杂的工程问题 ，如航空航天、机械、土木和电子工程等。在经济和金 融领域，数值分析用于进行统计分析、预测和优化等。 在生物医学领域，数值分析用于图像处理、疾病诊断和 治疗等。总之，数值分析已经成为各个领域中不可或缺 的重要工具。
03
线性方程组的数值解法
高斯消去法
总结词
高斯消去法是一种直接求解线性方程组的方法，通过一系列 行变换将系数矩阵变为上三角矩阵，然后求解上三角方程组 得到解。
详细描述
高斯消去法的基本思想是将系数矩阵通过行变换化为上三角 矩阵，然后通过回带求解得到方程组的解。该方法具有较高 的稳定性和精度，适用于中小规模线性方程组的求解。
一种适用于大规模计算的数值方法
详细描述
谱方法适用于大规模计算，通过将问题分解为较小的子问 题并利用多线程或分布式计算等技术进行并行计算，可以 有效地处理大规模的计算任务。
感谢您的观看
THANKS
具有简单、稳定和可靠的优点。
05
数值积分与微分
牛顿-莱布尼兹公式
要点一
总结词
牛顿-莱布尼兹公式是数值积分中的基本公式，用于计算定 积分。
要点二
详细描述
牛顿-莱布尼兹公式基于定积分的定义，通过选取一系列小 区间上的近似值，将定积分转化为一系列小矩形面积之和 ，从而实现了数值积分。
复化求积公式
总结词
算机实现各种算法，为各个领域的科学研究和技术开发提供了强有力的支持。
数值分析的应用领域
总结词
数值分析的应用领域非常广泛，包括科学计算、工程 、经济、金融、生物医学等。
详细描述
数值分析的应用领域非常广泛，几乎涵盖了所有的科学 和工程领域。在科学计算方面，数值分析用于模拟和预 测各种自然现象，如气候变化、生态系统和地球科学等 。在工程领域，数值分析用于解决各种复杂的工程问题 ，如航空航天、机械、土木和电子工程等。在经济和金 融领域，数值分析用于进行统计分析、预测和优化等。 在生物医学领域，数值分析用于图像处理、疾病诊断和 治疗等。总之，数值分析已经成为各个领域中不可或缺 的重要工具。
03
线性方程组的数值解法
高斯消去法
总结词
高斯消去法是一种直接求解线性方程组的方法，通过一系列 行变换将系数矩阵变为上三角矩阵，然后求解上三角方程组 得到解。
详细描述
高斯消去法的基本思想是将系数矩阵通过行变换化为上三角 矩阵，然后通过回带求解得到方程组的解。该方法具有较高 的稳定性和精度，适用于中小规模线性方程组的求解。