高考数学课时训练6-1
高中数学选择性必修一 高考训练 练习习题 课时作业(十六)
课时作业(十六) 两条直线的交点坐标 两点间的距离公式[练基础]1．直线3 x －y ＝0与x ＋y ＝0的位置关系是( )A ．相交但不垂直B ．平行C ．重合D ．垂直2．已知三角形的三个顶点A (2，4)，B (3，－6)，C (5，2)，则过A 点的中线长为( )A ．10B ．210C ．112D ．3103．已知直线l 1：2x －y －2＝0与直线l 2：3x ＋y －8＝0的交点为A ，则点A 与点B (2，3)间的距离为( )A ．13B ．22C ．2D ．14．若三条直线2x ＋ky ＋8＝0，x －y －1＝0和2x －y ＝0交于一点，则k 的值为( )A ．－2B ．－12C ．3D ．125．已知点M (0，－1)，点N 在直线x －y ＋1＝0上，若直线MN 垂直于直线x ＋2y －3＝0，则N 点的坐标是( )A ．(2，3)B ．(－2，－1)C ．(－4，－3)D ．(0，1)6．过两条直线l 1：x ＋y －2＝0与l 2：3x －y －4＝0的交点，且斜率为－2的直线l 的方程为________．7．已知点A (－25 ，3)，在y 轴上有一点B ，且|AB |＝35 ，则点B 的坐标为________．8．设直线l 1：3x ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋3y ＋2＝0相交于一点A .(1)求点A 的坐标；(2)求经过点A ，且垂直于直线l 1的直线l 的方程．[提能力]9．已知x ，y ∈R ，S ＝（x ＋1）2＋y 2 ＋ （x －1）2＋y 2 ，则S 的最小值是( )A ．0B ．2C ．4D ．210．(多选)已知平面上三条直线l 1：x －2y ＋1＝0，l 2：x －1＝0，l 3：x ＋ky ＝0不能构成三角形，则实数k 的值可以为( )A ．－2B ．－1C ．0D ．111．已知两直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和a 2x ＋b 2y ＋1＝0的交点为P (2，3)，则过两点Q (a 1，b1)，P(a2，b2)(a1≠a2)的直线方程为________．12．直线l过定点P(0，1)，且与直线l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0分别交于A，B两点，若线段AB的中点为P，求直线l的方程．[培优生]13．直线l1：x－my－2＝0与直线l2：mx＋y＋2＝0交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则|OQ|的最大值是()A．2 B．22C．23D．4。
2015年高考数学一轮复习课时训练第6节 空间直角坐标系
第6节空间直角坐标系课时训练练题感提知能【选题明细表】A组一、选择题1.点(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是( C )(A)y轴上 (B)xOy平面上(C)xOz平面上(D)x轴上解析:因为点(2,0,3)的纵坐标为0,横坐标、竖坐标都不为0,所以点(2,0,3)在x轴、z轴所确定的平面上.故选C.2.点B是点A(1,2,3)在坐标平面yOz内的射影,则B点的坐标是( B )(A)(1,2,0) (B)(0,2,3) (C)(1,0,3) (D)(1,0,0)解析:点在yOz平面的横坐标为0,其他坐标与A点相同,所以B点坐标为(0,2,3).故选B.3.已知空间一点A(-3,1,4),则点A关于原点对称的点的坐标为( C )(A)(1,-3,-4) (B)(-4,1,-3)(C)(3,-1,-4) (D)(4,-1,3)解析:关于原点对称的点的坐标的特点是横、纵、竖坐标全部变为原来的相反数.故选C.4.正方体不在同一表面上的两个顶点为A(-1,2,-1),B(3,-2,3),则正方体的体积为( C )(A)8 (B)27 (C)64 (D)128解析:由于A、B是正方体不在同一个平面上的两个顶点,所以A、B必为正方体一体对角线的两顶点,由于|AB|==4,故正方体的边长为4,体积为43=64.故选C.5.以棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1的棱AB、AD、AA1所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则正方形AA1B1B的对角线交点的坐标为( B )(A)(B)(C)(D)解析:连接AB1和A1B交于点O.据题意知AB1与A1B的交点即为AB1的中点.由题意得A(0,0,0),B1(1,0,1),∴AB1的中点坐标为,故选B.二、填空题6.在空间直角坐标系中,点M(2,1,-3)关于坐标原点的对称点为M′,则M′在平面xOz上的射影M″的坐标是.解析:点M(2,1,-3)关于原点的对称点为M′(-2,-1,3),点M′在平面xOz上的射影M″的坐标是(-2,0,3).答案:(-2,0,3)7.已知点A(1,-2,1)关于平面xOy的对称点为A1,则|AA1|= .解析:易知A1(1,-2,-1),所以|AA1|==2.答案:28.已知点A(1,2,3),B(2,-1,4),点P在y轴上,且|PA|=|PB|,则点P的坐标为.解析:设P(0,b,0),因为|PA|=|PB|,所以=,解得b=-.答案:（0,-,0）9.在空间直角坐标系中,点M(-2,4,-3),且MN⊥xOz面,垂足为N,则N点关于原点的对称点的坐标是.解析:因为点M(-2,4,-3),且MN⊥xOz面,垂足为N,所以N(-2,0,-3),所以N点关于原点的对称点的坐标是(2,0,3).答案:(2,0,3)三、解答题10. 如图所示,在长方体OABC O1A1B1C1中,|OA|=2,|AB|=3,|AA1|=2,E是BC的中点,作OD⊥AC于点D,求线段B1E的长度及顶点O1到点D的距离.解:以O为坐标原点,以OA,OC,OO1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则O(0,0,0),O1(0,0,2),B1(2,3,2),E(1,3,0),∴|B=.设D(x,y,0),在Rt△AOC中,|OA|=2,|OC|=3,|AC|=,∴|OD|2=（）2=,∴|O 1D|===.11. 在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中,F是BD的中点,G在CD上,且|CG|=|CD|,E 为C1G的中点,求EF的长.解:如图所示,建立空间直角坐标系,由题意得F,C1(0,1,1),G,所以E,所以|EF|===.即EF的长为.B组12.已知空间直角坐标系Oxyz中有一点A(-1,-1,2),点B是平面xOy内的直线x+y=1上的动点,则A、B两点的最短距离是( B )(A) (B) (C)3 (D)解析:法一因为点B在平面xOy内的直线x+y=1上,故可设点B为(x,-x+1,0),所以|AB|===,所以当x=,即B时,|AB|取得最小值.故选B.法二设点A在平面xOy内的射影为A′(-1,-1,0),则A′、B的最短距离等于平面直角坐标系中A″(-1,-1)到直线x+y=1的距离d,则d=.又|A′A|=2,则|AB|min==.故选B.13.如图所示,正四面体A BCD的棱长为1,E、F分别是棱AB、CD的中点.(1)建立适当的空间直角坐标系,写出顶点A,B,C,D的坐标;(2)求EF的长.解:(1)设底面正三角形BCD的中心为O,连接AO,DO,延长DO交BC于点M,则AO⊥平面BCD,M是BC的中点,且DM⊥BC,过O作ON∥BC,交CD于点N,则ON⊥DM.以O为坐标原点,OM,ON,OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.则|OD|=|DM|=×=,|OM|=|DM|=,|OA|===,所以A（0,0,）,B（,-,0）,C（,,0）,D（-,0,0）.(2)由(1)及中点坐标公式得E（,-,）,F（-,,0）,∴|EF|==.。
2015年高考数学一轮复习课时训练第6节 圆锥曲线的综合问题
第6节圆锥曲线的综合问题课时训练练题感提知能【选题明细表】A组一、选择题1.椭圆+=1(a>b>0)的左顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,D是它短轴上的一个端点,若3=+2,则该椭圆的离心率为( D ) (A)(B)(C)(D)解析:设D(0,b),则=(-c,-b),=(-a,-b),=(c,-b),由3=+2得-3c=-a+2c,即a=5c,∴e==.故选D.2.(2012年高考福建卷)已知双曲线-=1的右焦点与抛物线y2=12x 的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( A ) (A) (B)4(C)3 (D)5解析:抛物线y2=12x的焦点是(3,0),∴c=3,b2=c2-a2=5.∴双曲线的渐近线方程为y=±x,焦点(3,0)到y=±x的距离d==.故选A.3.(2013湛江市高考测试)设F1,F2是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,若直线x=ma(m>1)上存在一点P,使△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则m的取值范围是( A )(A)1<m<2 (B)m>2(C)1<m<(D)m>解析:依题意得,∠F1F2P=120°,焦点F2到直线x=ma的距离为ma-c,|PF2|=2c,2c²cos 60°=ma-c=c,即m==2e<2.又m>1,因此1<m<2,故选A.4.椭圆ax2+by2=1与直线y=1-x交于A、B两点,过原点与线段AB中点直线的斜率为,则的值为( A )(A)(B) (C) (D)解析:设交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),中点为M(x0,y0),将y=1-x代入ax2+by2=1得(a+b)x2-2bx+b-1=0,故x1+x2=,x0=,=2-=,y0=,∴y∴k===.故选A.5.(2013佛山质检)已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆+=1(a>b>0)的焦点与顶点,若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形,则椭圆的离心率为( D )(A)(B)(C)(D)解析:因为双曲线的渐近线与椭圆的交点构成正方形,所以双曲线的渐近线方程是y=±x,该双曲线是等轴双曲线,设双曲线的实半轴、半焦距分别为a1,c1,椭圆的长半轴、半焦距分别为a2,c2,则a1,a1=c2,c1=a2,所以椭圆的离心率e2===,故选D.c1=6.(2013河北省衡水中学高三模拟)点P在双曲线-=1(a>0,b>0)上,F1、F2是双曲线的两个焦点,∠F1PF2=90°,且△F1PF2的三条边长成等差数列,则此双曲线的离心率是( D )(A) (B) (C)2 (D)5解析:不妨设点P在双曲线的右支上,F1为左焦点,设|PF1|=r1,|PF2|=r2,则r1-r2=2a,2r1=r2+2c,解得r1=2c-2a,r2=2c-4a,代入+=4c2可得c2+5a2-6ac=0,两边同除以a2得e2-6e+5=0,解得e=1或e=5.又e>1,所以e=5.故选D.二、填空题7.(2013惠州三调)已知双曲线-=1的一个焦点与抛物线y2=4x 的焦点重合,且双曲线的离心率等于,则该双曲线的方程为.解析:抛物线y2=4x的焦点为(,0),∴c2=a2+b2=10,∴e==,∴a=3,b=1,-y2=1.答案:-y2=18.(2013东莞模拟)已知抛物线C的方程为x2=y,过点A(0,-1)和点B(t,3)的直线与抛物线C没有公共点,则实数t的取值范围是.解析:当t=0时,直线AB与抛物线C有公共点,当t≠0,则过点A(0,-1)和点B(t,3)的直线方程为=,即4x-ty-t=0,由得2tx2-4x+t=0,Δ=16-4³2t2<0,解得t<-或t>.答案:(-∞,-)∪(,+∞)9.过双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一个焦点作圆x2+y2=a2的两条切线,切点分别为A、B.若∠AOB=120°(O是坐标原点),则双曲线C的离心率为.解析:如图,由题知OA⊥AF,OB⊥BF且∠AOB=120°,∴∠AOF=60°.又OA=a,OF=c,∴==cos 60°=,∴=2.答案:210.(2013安徽蚌埠二模)点A是抛物线C1:y2=2px(p>0)与双曲线C2:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的交点,若点A到抛物线C1的准线的距离为p,则双曲线C2的离心率等于.解析:设A(x0,y0),∵A在抛物线上,=p,∴x,∴x由=2px 0得y0=p或y0=-p.∴双曲线渐近线的斜率==2.∴e===.答案:三、解答题11.已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为,且椭圆经过圆C:x2+y2-4x+2y=0的圆心C.(1)求椭圆的方程;(2)设直线l过椭圆的焦点且与圆C相切,求直线l的方程. 解:(1)圆C方程可化为(x-2)2+(y+)2=6,圆心C(2,-),半径r=设椭圆的方程为+=1(a>b>0),则∴∴所求椭圆的方程是+=1.(2)由(1)得椭圆的左右焦点分别是F1(-2,0),F2(2,0),=<r=,|FF2在圆C内,则过F2没有圆C的切线,故直线l过F1(-2,0),设l的方程为y=k(x+2),即kx-y+2k=0,圆心C(2,-)到直线l的距离为d=,由d=,得=,化简得5k2+4k-2=0,解得k=或k=-,故直线l的方程为x-5y+2=0或x+y+2=0.12.(2013湛江市测试)已知抛物线C:y2=4x,F是抛物线的焦点,设A(x1,y1),B(x2,y2)是C上异于原点O的两个不重合点,OA⊥OB,且AB 与x轴交于点T.(1)求x1x2的值;(2)求T的坐标;(3)当点A到C上运动时,动点R满足:+=,求点R的轨迹方程. 解:(1)由OA⊥OB得²=-1⇔x1x2+y1y2=0,=4x2,得16x1x2=(y1y2)2,且=4x代入上式得(y1y2)2+16y1y2=0.∵y1y2≠0,∴y1y2=-16,∴x1x2=16.(2)设点T(t,0),当x1≠x2时,A,B,T三点共线,有=.即(y2-y1)t=y2x1-y1x2=y2²-y1²=-4(y1-y2).∵y1≠y2,∴t=4.当x1=x2时,∵OA⊥OB,此时△AOB为等腰三角形,x1=x2=t,直线OA的方程式为y=x,联立解得t=x1=4,所以T的坐标是(4,0).(3)设R(x,y),由F(1,0),+=,得(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(x-1,y),即=4x2⇒(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2),又=4x当x1≠x2时,y²=4.AB的中点M（,）,点T(4,0)都在直线AB上,∴k AB=k TM,即=,代入上式得y²=4,化简得y2=4x-28.当x1=x2,点R(7,0)符合上式,综上可知点R的轨迹方程是y2=4x-28.13.(2013黄冈一模)已知中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆Ω的方程为+=1(a>b>0),它的离心率为,一个焦点是(-1,0),过直线x=4上一点引椭圆Ω的两条切线,切点分别是A、B.(1)求椭圆Ω的方程;(2)若椭圆Ω:+=1(a>b>0)在点(x 0,y0)处的切线方程是:+=1.求证:直线AB恒过定点C,并求出定点C的坐标;(3)求证:+为定值 (点C为直线AB恒过的定点).解:(1)椭圆Ω的焦点是(-1,0),故c=1,又=,所以a=2,b==,所以所求的椭圆Ω方程为+=1.(2)设切点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),直线l上一点M的坐标(4,t), 则切线AM、BM的方程分别为+=1,+=1.又两切线均过点M,所以x1+y1=1,x2+y2=1,即点A,B的坐标都适合方程x+y=1,故直线AB的方程是x+y=1,显然直线x+y=1恒过点(1,0),故直线AB恒过定点C(1,0).(3)将直线AB的方程x=-y+1,代入椭圆方程,得3(-y+1)2+4y2-12=0,即(+4)y2-2ty-9=0,∴y1+y2=,y1y2=,不妨设y1>0,y2<0,|AC|===y1,同理|BC|=-y2,∴+=²(-)=²=-²=-²=²=,即+为定值.B组14.(2013福建泉州质检)如图所示,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,且,AB=2AD.设∠DAB=θ,θ∈(0,),以A、B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1,以C、D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2,则( B )(A)随着角度θ的增大,e1增大,e1e2为定值(B)随着角度θ的增大,e1减小,e1e2为定值(C)随着角度θ的增大,e1增大,e1e2也增大(D)随着角度θ的增大,e1减小,e1e2也减小解析:设AD=1,则AB=2,DC=2-2cos θ,在△ABD中,由余弦定理得BD=,e 1==,θ∈(0,),所以随着角度θ的增大,e1减小;又e2===,∴e1e2==1,故选B.15.过双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线,切点为T,延长FT交双曲线右支于点P,若T为线段FP的中点,则该双曲线的渐近线方程为( B )(A)x±y=0 (B)2x±y=0(C)4x±y=0 (D)x±2y=0解析:如图所示,设双曲线的另一个焦点为F',连结OT、PF'.∵FT为圆的切线,∴FT⊥OT,且|OT|=a,又∵T、O分别为FP、FF'的中点,∴OT∥PF'且|OT|=|PF'|,∴|PF'|=2a,且PF'⊥PF.又|PF|-|PF'|=2a,∴|PF|=4a.在Rt△PFF'中,|PF|2+|PF'|2=|FF'|2,即16a2+4a2=4c2,∴=5.∴=-1=4,∴=2,即渐近线方程为y=±2x,即2x±y=0.故选B.16.(2013珠海市学业质检)如图,F1,F2是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1的直线l与C的左、右两支分别交于A,B两点,若|AB|∶|BF2|∶|AF2|=3∶4∶5,则双曲线的离心率为.解析:设|AB|=3k,则|BF2|=4k,|AF2|=5k,所以∠F1BF2=90°.由双曲线定义得|BF1|-|BF2|=2a=|AF2|-|AF1|,即3k+|AF1|-4k=5k-|AF1|=2a,解得|AF1|=3k,k=a,所以|BF1|=6a,|BF2|=4a,由勾股定理可得(6a)2+(4a)2=(2c)2,化简得a=c,故离心率e==.答案:。
【2022高考数学一轮复习(步步高)】目录
第一章集合、常用逻辑用语、不等式§1.1集合§1.2 充分条件与必要条件§1.3 全称量词与存在量词§1.4 不等关系与不等式§1.5 一元二次不等式及其解法§1.6 基本不等式强化训练1不等式中的综合问题第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ§2.1 函数的概念及其表示第1课时函数的概念及其表示第2课时函数的定义域与值域§2.2 函数的基本性质第1课时单调性与最大(小)值第2课时奇偶性、对称性与周期性第3课时函数性质的综合问题§2.3 幂函数与二次函数§2.4 指数与指数函数§2.5 对数与对数函数§2.6 函数的图象§2.7 函数与方程强化训练2函数与方程中的综合问题§2.8 函数模型及其应用第三章导数及其应用§3.1 导数的概念及运算§3.2 导数与函数的单调性§3.3 导数与函数的极值、最值强化训练3导数中的综合问题高考专题突破一高考中的导数综合问题第1课时利用导数研究恒(能)成立问题第2课时利用导函数研究函数的零点第3课时利用导数证明不等式第四章三角函数、解三角形§4.1任意角和弧度制、三角函数的概念§4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式§4.3 简单的三角恒等变换第1课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式第2课时简单的三角恒等变换§4.4 三角函数的图象与性质§4.5 函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及应用强化训练4三角函数中的综合问题§4.6 解三角形高考专题突破二高考中的解三角形问题第五章平面向量、复数§5.1 平面向量的概念及线性运算§5.2 平面向量基本定理及坐标表示§5.3 平面向量的数量积强化训练5平面向量中的综合问题§5.4 复数第六章数列§6.1 数列的概念与简单表示法§6.2 等差数列及其前n项和§6.3 等比数列及其前n项和强化训练6数列中的综合问题高考专题突破三高考中的数列问题第七章立体几何与空间向量§7.1空间几何体及其表面积、体积强化训练7空间几何体中的综合问题§7.2 空间点、直线、平面之间的位置关系§7.3 直线、平面平行的判定与性质§7.4 直线、平面垂直的判定与性质强化训练8空间位置关系中的综合问题§7.5 空间向量及其应用高考专题突破四高考中的立体几何问题第八章解析几何§8.1直线的方程§8.2 两条直线的位置关系§8.3 圆的方程§8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系强化训练9直线与圆中的综合问题§8.5 椭圆第1课时椭圆及其性质第2课时直线与椭圆§8.6 双曲线§8.7 抛物线强化训练10圆锥曲线中的综合问题高考专题突破五高考中的圆锥曲线问题第1课时范围与最值问题第2课时定点与定值问题第3课时证明与探索性问题第九章统计与统计案例§9.1 随机抽样、用样本估计总体§9.2 变量间的相关关系、统计案例强化训练11统计中的综合问题第十章计数原理、概率、随机变量及其分布§10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理§10.2 排列、组合§10.3 二项式定理§10.4 随机事件的概率与古典概型§10.5 离散型随机变量的分布列、均值与方差§10.6 二项分布与正态分布高考专题突破六高考中的概率与统计问题。
2015年高考数学一轮复习课时训练大题冲关集训(六)
大题冲关集训(六)1.(2013潍坊一模)为了解社会对学校办学质量的满意程度,某学校决定用分层抽样的方法从高中三个年级的家长委员会中共抽取6人进行问卷调查,已知高一、高二、高三的家长委员会分别有54人、18人、36人.(1)求从三个年级的家长委员会中分别应抽的家长人数;(2)若从抽得的6人中随机抽取2人进行调查结果的对比,求这2人中至少有一人是高三学生家长的概率.解:(1)家长委员会人员总数为54+18+36=108,样本容量与总体中的个体数的比为=,故从三个年级的家长委员会中分别抽取的人数为3,1,2.(2)设A1,A2,A3为从高一抽得的3个家长,B1为从高二抽得的1个家长,C1,C2为从高三抽得的2个家长.则抽取的全部结果有:(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,C1),(A1,C2),(A2,A3),(A2,B1),(A2,C1),(A2,C2),(A3,B1),(A3,C1),(A3,C2),(B1,C1), (B1,C2),(C1,C2),共15种.令X=“至少有一人是高三学生家长”,结果有(A1,C1),(A1,C2),(A2,C1), (A2,C2),(A3,C1),(A3,C2),(B1,C1),(B1,C2),(C1,C2),共9种.∴这2人中至少有1人是高三学生家长的概率是P(X)==.2.(2013年高考北京卷)如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天.(1)求此人到达当日空气质量优良的概率;(2)求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率;(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)解:(1)在3月1日至3月13日这13天中,1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天的空气质量优良,所以此人到达当日空气质量优良的概率是.(2)根据题意,事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日,或5日,或7日,或8日”,所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为.(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.3.(2013惠州一调)某产品按行业生产标准分成8个等级,等级系数ξ依次为1,2,…,8,产品的等级系数越大表明产品的质量越好.现从该厂生产的产品中随机抽取30件,相应的等级系数组成一个样本,数据如下:3 5 3 3 8 5 5 6 3 46 3 47 5 3 48 5 38 3 4 3 4 4 7 5 6 7该行业规定产品的等级系数ξ≥7的为一等品,等级系数5≤ξ<7的为二等品,等级系数3≤ξ<5的为三等品,ξ<3为不合格品.(1)试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率;(2)从样本的一等品中随机抽取2件,求所抽得的2件产品等级系数都是8的概率.解:(1)由样本数据知,30件产品中,一等品有6件,二等品有9件,三等品有15件.故样本中一等品的频率为=0.2,故估计该厂生产的产品的一等品率为0.2,二等品的频率为=0.3,故估计该厂生产的产品的二等品率为0.3, 三等品的频率为=0.5,故估计该厂生产的产品的三等品率为0.5.(2)样本中一等品有6件,其中等级系数为7的有3件,等级系数为8的有3件,记等级系数为7的3件产品分别为C1,C2,C3,等级系数为8的3件产品分别为P1,P2,P3,则从样本的一等品中随机抽取2件的所有可能为(C1,C2),(C1,C3),(C1,P1),(C1,P2),(C1,P3),(C2,C3),(C2,P1),(C2,P2),(C2,P3),(C3,P1),(C3,P2),(C3,P3),(P1,P2),(P1,P3),(P2,P3),共15种, 记从“一等品中随机抽取2件,2件等级系数都是8”为事件A,则A 包含的基本事件有(P1,P2),(P1,P3),(P2,P3),共3种.故所求的概率P(A)==.4.(2013天津一模)2013年春节,有超过20万名广西、四川等省籍的外来务工人员选择驾驶摩托车沿321国道返乡过年,为保证他们的安全,交管部门在321国道沿线设立了多个驾乘人员休息站,交警小李在某休息站连续5天对进站休息的驾驶人员每隔50辆摩托车,就进行省籍询问一次,询问结果如图所示.(1)交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是什么抽样方法?(2)用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽样,若广西籍的有5名,则四川籍的应抽取几名?(3)在上述抽出的驾驶人员中任取2名,求至少有一名驾驶人员是广西籍的概率.解:(1)系统抽样.(2)5天中抽取的广西籍人员有5+20+25+20+30=100人,四川籍人员有15+10+5×3=40人,两者比例为5∶2,所以广西籍抽5人,则四川籍应抽2人.(3)用a1,a2,a3,a4,a5表示被抽取的广西籍驾驶人员,b1,b2表示被抽取的四川籍驾驶人员,则所有基本事件为:{a1,a2},{a1,a3},{a1,a4}, {a1,a5},{a1,b1},{a1,b2},{a2,a3},{a2,a4},{a2,a5},{a2,b1},{a2,b2}, {a3,a4},{a3,a5},{a3,b1},{a3,b2},{a4,a5},{a4,b1},{a4,b2},{a5,b1}, {a5,b2},{b1,b2},共21个.其中至少有1名驾驶人员是广西籍的基本事件为20个.∴至少有1名驾驶人员是广西籍的概率为P=.5.(2013西北工大五月)某中学在校就餐的高一年级学生有440名,高二年级学生有460名,高三年级学生有500名;为了解学校食堂的服务质量情况,用分层抽样的方法从中抽取70名学生进行抽样调查,把学生对食堂的“服务满意度”与“价格满意度”都分为五个等级:1级(很不满意);2级(不满意);3级(一般);4级(满意);5级(很满意),其统计结果如下表(服务满意度为x,价格满意度为y).(1)求高二年级共抽取学生人数;(2)求“服务满意度”为3时的5个“价格满意度”对应人数的方差;(3)为提高食堂服务质量,现对样本进行研究,从x<3且2≤y<4的学生中随机抽取两人征求意见,求至少有一人的“服务满意度”为1的概率.解:(1)共有1400名学生,高二年级抽取的人数为×70=23.(2)“服务满意度为3”时的5个数据的平均数为=6,所以方差s2==4.4.(3)符合条件的所有学生共7人,其中“服务满意度为2”的4人记为a,b,c,d,“服务满意度为1”的3人记为x,y,z.在这7人中抽取2人有如下情况:(a,b),(a,c),(a,d),(a,x),(a,y), (a,z),(b,c),(b,d),(b,x),(b,y),(b,z),(c,d),(c,x),(c,y), (c,z),(d,x),(d,y),(d,z),(x,y),(x,z),(y,z)共21种情况.其中至少有一人的“服务满意度为1”的情况有15种.所以至少有一人的“服务满意度为1”的概率为P==.6.(2013沈阳二模)为了研究“教学方式”对教学质量的影响,某高中数学老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学(勤奋程度和自觉性都一样).以下茎叶图为甲、乙两班(每班均为20人)学生的数学期末考试成绩.(1)现从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学,求成绩为87分的同学至少有一名被抽中的概率;(2)学校规定:成绩不低于75分的为优秀.请填写下面的2×2列联表,并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”.下面临界值表仅供参考:(参考公式:K2=)解:(1)记成绩为87分的同学为A,B,其他不低于80分的同学为C、D、E,“从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学”的一切可能结果组成的基本事件有:(A,B)(A,C)(A,D)(A,E)(B,C)(B,D)(B,E)(C,D)(C,E)(D,E)共10个, “抽到至少有一个87分的同学”所组成的基本事件有7个,所以P=.(2)K2==6.4>5.024.∴我们有97.5%的把握认为成绩优秀与教学方式有关.7.(2013广东揭阳市二模)某校为“市高中数学竞赛”进行选拔性测试,规定:成绩大于或等于90分的有参赛资格,90分以下(不包括90分)的则被淘汰.现有100人参加测试,测试成绩的频率分布直方图如图.(1)求获得参赛资格的人数;(2)根据频率分布直方图,估算这100名学生测试的平均成绩;(3)现在成绩[110,130)、[130,150] (单位:分)的同学中采用分层抽样随机抽取5人,按成绩从低到高编号为A1,A2,A3,A4,A5,从这5人中任选2人,求至少有1人的成绩在[130,150]的概率.解:(1)由频率分布直方图得,获得参赛资格的人数为:100×(0.0050+0.0045+0.0030)×20=25人.(2)由频率分布直方图可估算这100名学生的平均成绩为(40×0.0065+60×0.0140+80×0.0170+100×0.0050+120×0.0045+ 140×0.0030)×20=78.4分.(3)成绩在[110,130)的人数为100×0.0045×20=9人,成绩在[130,150]的人数为100×0.0030×20=6人,所以应从成绩在[130,150]中抽取×5=2人,从成绩在[110,130)中抽取×5=3人,故A4,A5∈[130,150],A1,A2,A3∈[110,130).从A1,A2,A3,A4,A5中任取两人,共有(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,A5), (A2,A3),(A2,A4),(A2,A5),(A3,A4),(A3,A5),(A4,A5)10种不同的情况, 其中含有A4,A5的共有7种,所以至少有1人的成绩在[130,150]的概率为.。
高中数学选择性必修一 高考训练 练习习题 课时作业(十)
课时作业(十) 用空间向量研究夹角问题[练基础]1．已知两平面的法向量分别为m ＝(0，1，0)，n ＝(0，1，1)，则两平面夹角为( )A ．45°B ．135°C ．45°或135°D ．90°2．设直线l 与平面α相交，且l 的方向向量为a ，α的法向量为n ，若〈a ，n 〉＝2π3，则l 与α所成的角为( )A ．2π3B ．π3C ．π6D ．5π63.如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点E 是上底面A 1B 1C 1D 1的中心，则异面直线AE 与BD 1所成角的余弦值为( )A ．24 B ．23 C ．104 D ．634．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为( ) A ．23 B ．33 C ．23 D ．635．(多选)若直线a 的方向向量为a ，平面α，β的法向量分别为n ，m ，则下列命题为真命题的是( )A ．若a ⊥n ，则直线a ∥平面αB ．若a ∥n ，则直线a ⊥平面αC ．若cos 〈a ，n 〉＝12 ，则直线a 与平面α所成角的大小为π6D ．若cos 〈m ，n 〉＝12 ，则平面α，β的夹角为π3 6.如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 是C 1C 的中点，O 是底面ABCD 的中心，P 是A 1B 1上的任意点，则直线BM 与OP 夹角的大小为________．7．已知二面角α l β为锐角，平面α的法向量为n 1＝(3 ，0，－1)，平面β的法向量为n 2＝(－32 ，1，12)，则cos 〈n 1，n 2〉＝________，二面角α l β的大小为________． 8．如图，三棱锥P ABC 中，底面△ABC 为直角三角形，AB ＝BC ＝2，D 为AC 的中点，PD ＝DB ，PD ⊥DB ，PB ⊥CD .(1)求证：PD ⊥平面BCD ；(2)求P A 与平面PBC 所成角的正弦值．[提能力]9．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝2，AA 1＝1，O 是AC 的中点，点P 在线段A 1C 1上，若直线OP 与平面ACD 1所成的角为θ，则cos θ的取值范围是( )A ．[23 ，33 ] B ．[23 ，63 ] C ．[34 ，33 ] D ．[33 ，73] 10．(多选)如图，在四棱锥P ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AD ∥BC ，点E 为P A 的中点，AB ＝BC ＝1，AD ＝2，P A ＝2 ，则( )A ．BE → ·CP → ＝3B ．异面直线BE 与CD 所成角的余弦值为33C ．点B 到平面PCD 的距离为12D ．BC 与平面PCD 所成的角为π611.如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱BB 1，C 1D 1的中点，则异面直线EF 与BD 1所成角的余弦值为________；直线AE 与平面AB 1C 所成角的正弦值为________．12．如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧面ACC 1A 1为矩形，且侧面ACC 1A 1⊥侧面ABB 1A 1，AB ＝AC ＝2，AA 1＝B 1C ＝22 .(1)证明：A 1B 1⊥平面AB 1C ；(2)若点D 为棱B 1C 1的中点，求平面AB 1C 与平面AA 1D 所成的锐二面角的余弦值．[培优生]13．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝3 ，将△ABD 沿BD 所在的直线进行翻折，得到空间四边形A 1BCD .给出下面三个结论：①在翻折过程中，存在某个位置，使得A 1C ⊥BD ；②在翻折过程中，三棱锥A 1BCD 的体积不大于14； ③在翻折过程中，存在某个位置，使得异面直线A 1D 与BC 所成角为45°.其中所有正确结论的序号是________．。
高考数学(理)一轮复习课时训练第2章函数的概念与基本初等函数Ⅰ7
【课时训练】第7节 幂函数与二次函数一、选择题 1．(2018湖南长沙模拟)已知函数f (x )＝x12，则()A ．∃x 0∈R ，使得f (x )<0B ．∀x >0, f (x )>0C ．∃x 1，x 2∈[0，＋∞)，使得 f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0D ．∀x 1∈[0，＋∞)，∃x 2∈[0，＋∞)，使得f (x 1)>f (x 2) 【答案】B【解析】由题得，f (x )＝x ，函数的定义域为[0，＋∞)，函数的值域为[0，＋∞)，并且函数是单调递增函数，所以A 不成立，根据单调性可知C 也不成立，而D 中，当x 1＝0时，不存在x 2∈[0，＋∞)，使得f (x 1)>f (x 2)，所以D 不成立．故选B.2．(2018黑龙江哈尔滨六中月考)已知α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，12，1，2，则使f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减的α的值的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】由f (x )＝x α在(0，＋∞)上单调递减，可知αf (x )＝x α为奇函数，所以α只能取－1.3．(2018福建六校联考)若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2的图象不过原点，则m 的取值是( )A ．－1≤m ≤2B ．m ＝1或m ＝2C ．m ＝2D ．m ＝1 【答案】B【解析】由幂函数性质可知m2－3m＋3＝1，∴m＝1或m，∴m2－m－2≤0，即－1≤m≤2.∴m＝1或m＝2.4．(2018天津河东区模拟)若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax－5)的图象关于直线x＝0对称，则f(x)的最大值是()A．－4 B．4C．4或－4 D．不存在【答案】B【解析】由题意知，函数f(x)是偶函数，则y＝x2＋ax－5是偶函数，故af(x)＝(1－x2)(x2－5)＝－x4＋6x2－5＝－(x2－3)2x2＝3时，f(x)取最大值为4.5．(2018广东惠州一模)已知函数f(x)＝x2－m是定义在区间[－3－m，m2－m]上的奇函数，则下列成立的是()A．f(m)<f(0) B．f(m)＝f(0)C．f(m)>f(0) D．f(m)与f(0)大小不确定【答案】A【解析】因为函数f(x)是奇函数，所以－3－m＋m2－m＝0，解得m＝3或mm＝3时，函数f(x)＝x－1，定义域不是[－6,6]，不合题意；当m＝－1时，函数f(x)＝x3在定义域[－2,2]上单调递增，又m<0，所以f(m)<f(0)．6．(2018湖南岳阳一模)已知函数f(x)＝x2＋2|x|，若f(－a)＋f(a)≤2f(2)，则实数a的取值范围是()A．[－2,2]B．(－2,2]C．[－4,2]D．[－4,4]【答案】A【解析】由题意知f(2)＝8，则f(－a)＋f(a)＝2a2＋4|a|≤16，解得－2≤a≤2.7．(2018云南大理一模)设函数f(x)＝x2－23x＋60，g(x)＝f(x)＋|f(x)|，则g(1)＋g(2)＋…＋g(20)＝()A．56 B．112C．0 D．38【答案】B【解析】由二次函数图象的性质可知，当3≤x≤20时，f(x)＋|f(x)|＝0，∴g(1)＋g(2)＋…＋g(20)＝g(1)＋g(2)＝f(1)＋|f(1)|＋f(2)＋|f(2)|＝112.8．(2018河南南阳第一中学联考)已知函数f(x)＝(m2－m－1)x4m9－m5－1是幂函数，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]a，b∈R，且a＋b>0，ab<0，则f(a)＋f(b)的值() A．恒大于0 B．恒小于0C．等于0 D．无法判断【答案】A【解析】∵函数f(x)＝(m2－m－1)x4m9－m5－1是幂函数，∴m2－m－1＝1，解得m＝2或mf(x)在第一象限是增函数，当m＝2时，指数为4×29－25－1＝2 015>0，满足题意，当m＝－1时，指数为4×(－1)9－(－1)5－1＝－4<0，不满足题意．∴幂函数f(x)＝x2 015，它是定义在R上的奇函数，且是增函数．又∵a，b∈R，且a＋b>0，∴a>－b，∴f(a)>f(－b)＝－f(b)，∴f(a)＋f(b)>0.故选A.二、填空题9．(2018河南百校联盟质检)若关于x的不等式x2－4x≥m对任意x∈(0,1]恒成立，则m的取值范围为________．【答案】(－∞，－3]【解析】因为函数f(x)＝x2－4x在(0,1]上为减函数，所以当x＝1时，f(x)m i n＝1－4＝－3，所以m≤－3.10．(2018四川遂宁零诊)已知点P 1(x 1,2 018)和P 2(x 2，2 018)在二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋9的图象上，则f (x 1＋x 2)的值为________．【答案】9【解析】依题意得x 1＋x 2＝－ba ，则f (x 1＋x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a 2＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＋9＝9. 11．(2019福建泉州质检)．若二次函数f (x )＝ax 2－x ＋b 的最小值为0，则a ＋4b 的取值范围为________．【答案】[2，＋∞)【解析】由已知可得，a >0，且判别式Δ＝1－4ab ＝0，即ab ＝14，∴a ＋4b ≥24ab ＝2，即a ＋4b 的取值范围为[2，＋∞)．12．(2018江苏兴化三校联考)已知函数f (x )＝x |x －2|在[0，a ]上的值域为[0,1]，则实数a 的取值范围是________．【答案】[1,1＋2]【解析】函数f (x )＝x |x －2|＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x >2，2x －x 2，x ≤2，则易知f (x )在(－∞，1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，且过点(0,0)，(2,0)．因为由2x －x 2＝1(x ≤2)解得x ＝1，由x 2－2x ＝1(x >2)解得x ＝1＋2，且f (x )在[0，a ]上的值域为[0,1]，所以1≤a ≤1＋ 2.三、解答题13．(2018杭州模拟)已知函数h (x )＝(m 2－5m ＋1)x m ＋1为幂函数，且为奇函数．(1)求m 的值；(2)求函数g (x )＝h (x )＋1－2h (x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12的值域．【解】(1)∵函数h (x )＝(m 2－5m ＋1)x m ＋1为幂函数，∴m 2－5m ＋1＝1，解得mh (x )为奇函数，∴m ＝0.(2)由(1)可知g (x )＝x ＋1－2x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，令1－2x ＝t ，则x＝－12t 2＋12，t ∈[0,1]，∴f (t )＝－12t 2＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，故g (x )＝h (x )＋1－2h (x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.14．(2018四川成都二诊)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R )．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0，求F (2)＋F (－2)的值； (2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围．【解】(1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0， 且－b2a ＝－1，解得a ＝1，b ＝2. ∴f (x )＝(x ＋1)2.∴F (x )＝⎩⎨⎧(x ＋1)2，x >0，－(x ＋1)2，x <0.∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2－(－2＋1)2＝8.(2)由题意可知， f (x )＝x 2＋bx ，则原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0,1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x －x 在(0,1]上恒成立．又1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2， 所以－2≤b ≤b 的取值范围是[－2,0]．。
高考数学复习课时训练：一元二次不等式的解法
【课时训练】第32节 一元二次不等式的解法一、选择题1．(2018济南一中检测)若一元二次不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，13,则a ＋b 的值是( )A ．10B ．－10C ．14D ．－14【答案】D【解析】因为一元二次不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，13,所以－12,13是一元二次方程ax 2＋bx＋2＝0的两个根,则⎩⎪⎨⎪⎧14a －12b ＋2＝0，19a ＋13b ＋2＝0，解得a ＝－12,b ＝－2,则a ＋b ＝－14.2．(2018山西太原模拟)若关于x 的不等式x 2－4x －2－a ＞0在区间(1,4)内有解,则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞,－2)B ．(－2,＋∞)C ．(－6,＋∞)D ．(－∞,－6)【答案】A【解析】不等式x 2－4x －2－a ＞0在区间(1,4)内有解,所以a ＜x 2－4x －2在区间(1,4)内有解,又函数y ＝x 2－4x －2在(1,2)上单调递减,在(2,4)上单调递增,当x ＝1时,y ＝－5当x ＝4时,y ＝－2,－5<－2,所以a ＜－2,故选A.3．(2018内蒙古呼和浩特模拟)若不等式x 2－2ax ＋a ＞0对一切实数x ∈R 恒成立,则关于t 的不等式at 2＋2t －3＜1的解集为( )A ．(－3,1)B ．(－∞,－3)∪(1,＋∞)C ．∅D ．(0,1) 【答案】B【解析】x 2－2ax ＋a ＞0对一切实数x ∈R 恒成立,所以Δ＝4a 2－4a ＜0,所以0＜a ＜1,所以函数y ＝a x是减函数,由at 2＋2t －3＜1可得t 2＋2t －3＞0,解得t ＜－3或t ＞1,故选B.4．(2018福建闽侯模拟)已知关于x 的不等式x 2－4x≥m 对任意x ∈(0,1]恒成立,则有( ) A ．m≤－3 B ．m≥－3 C ．－3≤m＜0D ．m≥－4【答案】A【解析】∵x 2－4x≥m 对任意x ∈(0,1]恒成立,令f(x)＝x 2－4x,x ∈(0,1],f(x)图象的对称轴为直线x ＝2,∴f(x)在(0,1]上单调递减,∴当x ＝1时f(x)取到最小值为－3,∴实数m 应满足m≤－3,故选A.5．(2018长春质检)若关于x 的不等式ax －b ＞0的解集是(－∞,－2),则关于x 的不等式ax 2＋bxx －1＞0的解集为( )A ．(－2,0)∪(1,＋∞)B ．(－∞,0)∪(1,2)C ．(－∞,－2)∪(0,1)D ．(－∞,1)∪(2,＋∞) 【答案】B【解析】关于x 的不等式ax －b ＞0的解集是(－∞,－2),故a ＜0,x ＜b a ,∴b a ＝－2,b ＝－2a,∴ax 2＋bxx －1＝ax 2－2ax x －1＞0,由于a ＜0,∴x 2－2xx －1＜0,解得x ＜0或1＜x ＜2,故选B.6．(2019郑州质量预测)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x≥0，x 2－2x ，x ＜0.若关于x 的不等式[f(x)]2＋af(x)－b 2＜0恰有1个整数解,则实数a 的最大值是( )A ．2B ．3C ．5D ．8【答案】D【解析】做出函数f(x)的图象如图中实线部分所示,由[f(x)]2＋af(x)－b 2＜0得－a －a 2＋4b 22＜f(x)＜－a ＋a 2＋4b22.若b≠0,则f(x)＝0满足不等式,即不等式有2个整数解,不满足题意,所以b ＝0,所以－a ＜f(x)＜0,且整数解x 只能是3,当2＜x ＜4时,－8＜f(x)＜0,所以－8≤－a ＜－3,即a 的最大值为8.故选D.7．(2018河南南阳模拟)已知函数f(x)＝x 2＋ax ＋b(a,b ∈R)的值域为[0,＋∞),若关于x 的不等式f(x)＜c 的解集为(m,m ＋6),则实数c 的值为( )A ．6B ．7C ．9D ．10【答案】C【解析】由题意知f(x)＝x 2＋ax ＋b ＝0只有一个根,即Δ＝a 2－4b ＝0,则b ＝a24.不等式f(x)＜c 的解集为(m,m ＋6),即x 2＋ax ＋a 24＜c 的解集为(m,m ＋6),则方程x 2＋ax ＋a 24－c ＝0的两个根为m,m ＋6.∴两根之差|m ＋6－m|＝a 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24－c ＝6,解得c ＝9,故选C. 8．(2018安徽五校联考)在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0的解集中至多包含2个整数,则a 的取值范围是( )A ．(－3,5)B ．(－2,4)C ．[－3,5]D ．[－2,4]【答案】D【解析】关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0可化为(x －1)(x －a)＜0.当a ＝1时,不等式的解集为∅；当a ＞1时,不等式的解集为1＜x ＜a ；当a ＜1时,不等式的解集为a ＜x ＜1.要使得解集中至多包含2个整数,则a≤4且a≥－2,所以实数a 的取值范围是[－2,4],故选D.二、填空题9．(2018全国名校大联考联考)不等式x 2－2ax －3a 2＜0(a ＞0)的解集为________． 【答案】{x|－a ＜x ＜3a}【解析】∵x 2－2ax －3a 2＜0⇔(x －3a)·(x＋a)＜0,a ＞0,∴－a ＜3a,则不等式的解集为{x|－a ＜x ＜3a}．10．(2018河南豫北豫南名校联考)不等式x 2－3|x|＋2＞0的解集是________． 【答案】(－∞,－2)∪(－1,1)∪(2,＋∞)【解析】由题意可知原不等式可转化为|x|2－3|x|＋2＞0,解得|x|＜1或|x|＞2,所以不等式的解集为(－∞,－2)∪(－1,1)∪(2,＋∞)．11．(2018湖北武汉武昌调研)已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x≥2，－1，x ＜2，则不等式x 2·f(x)＋x －2≤0的解集是________．【答案】{x|x ＜2}【解析】当x≥2时,原不等式可化为x 2＋x －2≤0,解得－2≤x≤1,此时x 不存在；当x ＜2时,原不等式可化为－x 2＋x －2≤0,解得x ∈R,此时x ＜2.综上可得原不等式的解集为{x|x ＜2}．12．(2018吉林辽源五校期末联考)若函数f(x)＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－1和2,则不等式af(－2x)＞0的解集是________．【答案】⎝⎛⎭⎪⎫－1，12 【解析】∵f(x)＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－1,2,∴－1,2是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根,由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2＝－a ，－1×2＝b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，∴f(x)＝x 2－x －2.不等式af(－2x)＞0,即－(4x 2＋2x －2)＞0,则2x 2＋x －1＜0,解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12.三、解答题13．(2018辽宁大连五校联考)已知函数f(x)＝ax 2－(a ＋1)x ＋1(a≠0)． (1)若f(x)≤2在R 上恒成立,求实数a 的取值范围； (2)解关于x 的不等式f(x)＜0.【解】(1)由f(x)≤2在R 上恒成立,可得ax 2－(a ＋1)x －1≤0在R 上恒成立,∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，(a ＋1)2＋4a≤0，解得－3－22≤a≤－3＋2 2. ∴实数a 的取值范围为[－3－22,－3＋22]． (2)由不等式f(x)＝ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0得(ax －1)(x －1)＜0. ①当0＜a ＜1时,不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＜0,解得1＜x ＜1a ；②当a ＝1时,不等式等价于(x －1)2＜0,无解；③当a ＞1时,不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ·(x－1)＜0,解得1a ＜x ＜1；④当a ＜0时,不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ·(x－1)＞0,解得x ＜1a 或x ＞1；综上,当0＜a ＜1时,f(x)＜0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1a ；当a ＝1时,f(x)＜0的解集为∅；当a ＞1时,f(x)＜0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，1；当a ＜0时,f(x)＜0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1a ∪(1,＋∞)．。
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A 组 考点基础演练
一、选择题
1．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是( ) A.1a <1
b
B ．a 2>b 2 C.a c 2＋1>b c 2＋1
D ．a |c |>b |c |
解析：∵c 2＋1≥1，∴根据不等式的性质知a c 2＋1>b
c 2＋1成立．
答案：C
2．已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M <N B ．M >N C ．M ＝N
D ．不确定
解析：由题意得M －N ＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝(a 1－1)·(a 2－1)>0，故M >N . 答案：B
3．(2015年合肥模拟)已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a 且ac ＜0，则下列选项中不一定能成立的是( )
A.c a ＜b a
B.b －a c ＞0
C.b 2c <a 2c
D.a －c ac
＜0 解析：∵c <b <a 且ac <0，∴c <0，a >0，∴c a <b a ，b －a
c >0，a －c ac <0，
但b 2
与a 2
的关系不确定，故b 2c <a 2
c
不一定成立．
答案：C
4．(2013年高考天津卷)设a ，b ∈R, 则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：由不等式的性质知(a －b )·a 2<0成立，则a <b 成立；而当a ＝0，a <b 成立时，(a －b )·a 2<0不成立，所以(a －b )·a 2<0是a <b 的充分不必要条件．
答案：A
5．(2015年长春模拟)已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( )
A ．c ≥b ＞a
B ．a ＞c ≥b
C ．c ＞b ＞a
D ．a ＞c ＞b
解析：c －b ＝4－4a ＋a 2＝(2－a )2≥0，
∴c ≥b .将题中两式作差得2b ＝2＋2a 2，即b ＝1＋a 2. ∵1＋a 2－a ＝⎝⎛⎭⎫a －122＋3
4＞0，∴1＋a 2＞a ， ∴b ＝1＋a 2＞a .∴c ≥b ＞a . 答案：A 二、填空题
6．若60<x <84,28<y <33，则x －y 的取值范围是________，x
y 的取值范围是________．
解析：∵－33<－y <－28，∴27<x －y <56，∵133<1y <128，∴2011<x
y <3.
答案：(27,56) ⎝⎛⎭⎫
2011，3
7．用一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，要求菜园的面积不小于216 m 2，靠墙的一边长为x m ，其中的不等关系可用不等式(组)表示为________．
解析：矩形的另一边长为12(30－x )＝15－1
2x ，矩形面积为x ⎝⎛⎭⎫15－12x 且0<x <18，则不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧
x ⎝⎛⎭⎫15－12x ≥216，
0<x <18.
答案：⎩⎪⎨⎪⎧
x ⎝⎛⎭⎫15－12x ≥216，
0<x <18
8．已知a ＋b >0，则a b 2＋b a 2与1a ＋1
b
的大小关系是________．
解析：a b 2＋b a 2－⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a 2＝(a －b )⎝⎛⎭⎫1b 2－1a 2＝(a ＋b )(a －b )2a 2b 2.
∵a ＋b >0，(a －b )2
≥0，∴(a ＋b )(a －b )2a 2b 2
≥0，∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b
. 答案：a b 2＋b a 2≥1a ＋1
b
三、解答题
9．比较下列各组中两个代数式的大小： (1)3x 2－x ＋1与2x 2＋x －1；
(2)当a >0，b >0且a ≠b 时，a a b b 与a b b a .
解析：(1)∵3x 2－x ＋1－2x 2－x ＋1＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1>0，∴3x 2－x ＋1>2x 2＋x －1. (2)a a b b a b b a ＝a a －b b b －a ＝a a －b ⎝⎛⎭⎫1b a －b ＝⎝⎛⎭⎫a b a －b .当a >b ，即a －b >0，a b >1时，⎝⎛⎭⎫a b a －b >1，∴a a b b >a b b a . 当a <b ，即a －b <0,0<a b <1时，⎝⎛⎭⎫a b a －b >1，∴a a b b >a b b a .∴当a >0，b >0且a ≠b 时，a a b b >a b b a . 10．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，试判断谁先到教室？
解析：设从寝室到教室的路程为s ，甲、乙两人的步行速率为v 1，跑步速率为v 2，且v 1<v 2.
甲所用的时间t 甲＝s 2v 1＋s 2v 2＝s (v 1＋v 2)2v 1v 2，乙所用的时间t 乙＝2s v 1＋v 2
，
∴t 甲t 乙
＝s (v 1＋v 2)2v 1v 2×v 1＋v 22s ＝(v 1＋v 2)24v 1v 2＝v 21＋v 2
2＋2v 1v 24v 1v 2>4v 1v 24v 1v 2＝1.
∵t 甲>0，t 乙>0，∴t 甲>t 乙，即乙先到教室．
B 组 高考题型专练
1．(2014年高考四川卷)若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A.a d >b
c B.a
d <b
c C.a c >b d
D.a c <b d
解析：∵a >b >0，c <d <0， ∴－c >－d >0，∴－ac >－bd ， 即ac <bd .又∵dc >0，∴ac dc <bd
dc ，
即a d <b
c ，故选B. 答案：B
2．设a ，b ∈R ，定义运算“∧”和“∨”如下：
a ∧
b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，a ≤b ，b ，a >b ，a ∨b ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
b ，a ≤b ，a ，a >b .
若正数a ，b ，c ，d 满足ab ≥4，c ＋d ≤4，则( ) A ．a ∧b ≥2，c ∧d ≤2 B ．a ∧b ≥2，c ∨d ≥2 C ．a ∨b ≥2，c ∧d ≤2
D ．a ∨b ≥2，c ∨d ≥2
解析：根据题意知，a ∧b 表示a ，b 中较小的，a ∨b 表示a ，b 中较大的．因为⎝⎛
⎭
⎫a ＋b 22
≥ab ≥4，所以a ＋b ≥4.又因为a ，b 为正数，所以a ，b 中至少有一个大于或等于2，所以
a ∨
b ≥2.因为
c ＋
d ≤4，c ，d 为正数，所以c ，d 中至少有一个小于或等于2，所以c ∧d ≤2.
答案：C
3．设a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则( ) A ．ac >bc B.1a <1b C ．a 2>b 2
D ．a 3>b 3
解析：当c <0时，ac >bc 不成立，故A 不正确，当a ＝1，b ＝－3时，B 、C 均不正确，故选D.
答案：D
4．(2013年高考陕西卷)设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，y 有( ) A ．[－x ]＝－[x ] B ．[2x ]＝2[x ] C ．[x ＋y ]≤[x ]＋[y ]
D ．[x －y ]≤[x ]－[y ]
解析：结合特殊值利用排除法求解． 对于A ，取x ＝1.5，
则[－x ]＝[－1.5]＝－2，－[x ]＝－[1.5]＝－1， 显然[－x ]≠－[x ]；
对于B ，取x ＝1.5，则[2x ]＝[3]＝3， 2[x ]＝2[1.5]＝2， 显然[2x ]≠2[x ]；
对于C ，取x ＝y ＝1.6，则[x ＋y ]＝[3.2]＝3， [x ]＋[y ]＝[1.6]＋[1.6]＝2， 显然[x ＋y ]＞[x ]＋[y ]． 排除A ，B ，C ，选D.
答案：D。