快速傅里叶变换计算衍射光强的分布(设计)本科学位论文

快速傅里叶变换计算衍射光强的分布目录快速傅里叶变换计算衍射的光强分布 (4)0.引言 (4)1. 空域连续函数的离散及延拓 (5)2. 离散傅里叶变换与傅里叶变换的关系 (5)3.快速傅里叶变换计算衍射光强 (11)3．1单缝衍射 (13)3．2 圆孔衍射 (14)4. 光强分布曲线 (15)4.1单缝衍射的光强分布曲线 (15)4.2圆孔衍射的光强分布 (17)5.结论 (20)参考文献 (21)附录 (21)1.用MATLAB软件模拟单缝衍射和光强分布曲线的程序 (21)2.用MATLAB软件模拟圆孔衍射和光强分布曲线的程序 (22)致谢 (24)河西学院本科生毕业论文（设计）题目审批表...................... 错误！未定义书签。

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河西学院本科生毕业论文诚信声明本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。

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本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。

作者签名：二O 一三年五月二十六日（打印）河西学院本科生毕业论文开题报告快速傅里叶变换计算衍射的光强分布摘要：本文利用快速傅里叶变换计算了光的单缝和圆孔衍射的光强分布，根据计算结果利用MATLAB软件仿真模拟了单缝和圆孔衍射现象.分析表明，衍射图样取决于缝宽或孔径的大小，它反映了障碍物和光波之间限制和扩展的辩证关系，限制范围越小，扩张现象愈显著；在哪个方向上限制，就在该方向上扩展. 且在处理实际问题时应合理选择两种算法S—FFT，D—FFT．关键词：离散傅立叶；快速傅里叶变换；衍射光强的分布；快速卷积算法Abstract: By using fast Fourier transform, this paper calculates the light intensity distribution of the single-slit and circular aperture diffraction. And, according to the calculation results simulates the single slit and circular aperture diffraction phenomenon by using MATLAB software. The simulation analysis showed that the diffraction pattern depends on the size of slit or the width of aperture. It reflects the dialectical relationship of restrictions and extensions between obstacles and light. And the smaller limit rang, the more remarkable expansion phenomenon; it extends in the direction which is the direction of restrictions, and in dealing with practical problems, it should be a reasonable choice to use two kinds of algorithms, S-FFT and D-FFT.Keywords:discrete Fourier transform; fast Fourier transform; the light intensity distribution of diffraction; fast convolution algorithm0.引言1965年,由库利—图基(Cooley—Tukey)提出的PFT技术彻底改变了这种状况，计算机的普及应用为这种快速计算方法的推广创造了良好的条件因此、利用FFT技术计算衍射的方法逐渐被广泛采用．然而，必须指出．由于快速傅里叶变换只是离散博里叶变换的一种快速算法，对离散傅里叶变换理论进行研究后很快就能发现，只有当被变换的函数是在频域有限区域存在的“带限函数”时、连续函数的傅里叶变换才能由离散傅里叶变换表述．否则，由于频谱的混叠效应，离散傅里叶变换只是连续函数傅里叶变换的一种近似．不幸的是，衍射计算问题中所遇到的函数基本上都不是带限函数、因此利用快速博里叶变换对衍射所作的计算也是一种近似．只有了解离散傅里叶变换与傅里叶变换的关系，通过合适的离散、较好地将频谱混叠的影响控制在允许的误差范围才能使用这种计算方法得到较好的结果．为了能够正确使用FPT 计算衍射p 在具体阐述计算方法之前，有必要对二维空间函数的取样、延拓及离散傅里叶变换与傅里叶变换的关系进行研究．1. 空域连续函数的离散及延拓函数作二维离散傅里叶变换时，要求是被变换函数是二维空间的周期离散函数．由于实际需要作博里叶变换的函数通常是在空域无限大平面上均有定义的连续函数，于是，必须将函数截断在有限的区域进行取样及延拓通常的取样方法是、先将函数的主要部分通过坐标变换放在第一象限、并沿平行于坐标轴的方向将函数截断在一个y L L x ⨯的矩形区域内；然后．取样周期为x x x N L T =，y y y N L T =，从坐标原点开始将函数离散为y L L x ⨯从个点的二维离散分布值、图l(a)、(b)描述了上述过程(图中用黑点标注出取样点落在函数定义区域上的位置，用小圆圈表示取样为零的位置)．图l(c)是二维周期延拓结果．图1.空域连续函数的离散及延拓]3[2. 离散傅里叶变换与傅里叶变换的关系很明显，函数经截断及离散处理后无论在空域还是在频域均会引入误差．现以z 方向的博里叶变换为例进行研究，以后再将结果推广到二维空间．图2示出于某一给定的y ，函数沿s 方向进行离散傅里叶变换的过程．图中，左边为一列空域的原函数图像，右边一列图像是它们的频谱的模，符号“⇔”表示它们为傅里叶变换对．例如，图2(a1)为空域的原函数)(y x g ,，图2(a2)为它的频谱()y f G x ,的模()y f G x ,对未经截断函数的取样，等于用图2(b1)的梳状函数()x xT δ乘以图2(a1)的原函数，数学表达式为)(),()(),(),(∑∞-∞=-==n x T nT x y x g x y x g y x gTx X δδ （1）由于梳状函数),(y x δ为周期x T 的δ函数，可以表为博里叶级数：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-=∑∑∞-∞=∞-∞=x Tjk A nT t x x n k n x T xπδδ2exp )()( （2） 其中,,1-=j ()x xT T T xk T dx x T jkx T A x x x12exp 12=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰-πδ 于是,)()(∑∞-∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=k x xT x T jk T y x g y x g x π2exp 1,, （3） 被信号)(y x g ,调制的结果(见图2(c1))．上式表明，取样信号已经不是原信号，而是无穷多个截波信号∑∞-∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛k x xx Tjk T π2exp 1 （4） 现在，通过博里叶变换来考察信号经取样后的频谱与原信号频谱的关系对上式作博里叶变换得())(()dx x f j y x g y f G x T x T x x π2exp ,,-=⎰+∞∞-)(()dx x f j x T jk T y x g x k x xππ2exp 2exp 1,-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑⎰∞-∞=∞+∞- )(dx t T k f j y x g T x x k x⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑⎰∞-∞=∞∞-π2exp ,1 ∑∞-∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=k x x xy T k f G T ,1 （5） 结果表眼在取样信号频谱()y f G x T x ,中除了包含原信号频谱()y f G x ,外，还包含了无穷多个被延拓的频谱、延拓的周期为x 1(见图2(c2))．并且、由于原函数的频谱宽度大于延拓的周期x 1，相邻的频谱曲线产生了混叠．根据傅里叶变换中频域的卷积定律，图2(c2)也可以通过原函数的频谱函 数()y f G x ,(图2(a2))与梳状函数的频谱函数()x x f T ∆(2(b2))的卷积求出:()()()x x x x T f T y f G y f G x ∆*=,, （6）为强调这个关系，图2(c2)的纵坐标由这个卷积表达式标注由此可见、连续函数经过周期为x T 的无穷δ序列取样离散后，其频谱与原函 数频谱相比有两点区别：（1）频谱发生了周期为x 1的周期延拓如果原函数的频谱宽度大于x T 1时,则产生频谱混叠，引入失真．(2)离散信号频谱()y f G x T x ,的幅度是原函数频谱()y f G x ,的x 1倍.然而．上面对连续函数被无穷δ序列取样离散的后的频谱研究只是一个理论结果、因为实际上不可能作取样点为无限多的数值计算．并是，由于离散傅里叶变换事实上讨论的是在空域及频域均是周期离散函数的傅里叶变换问题．还要将离散函数截断及延拓才能满足要求因此，将空域非周期的离散函数(图2(c1))先通过下述矩形宙函数图2(d1))截断:()⎩⎨⎧-<<-=,022,1x x x T T L x T r x (7) 得到具有从x N 个点的的离散分布(图2(e1)):()()()()x r x y x g y x g Lx Tx T xr δ,,= (8)然后，再将截断后的部分进行周期为x L 的延拓，形成图2(g1)的周期离散序列:()() ,2,1,0,,,±±=+=k y kL x g y x g x Txrk Txrk (6)按照傅里叶变换理论，空域中矩形窗函数图今2(d1)与离散序列图2(c1)的乘积的频谱函数、可表为矩形函数的频谱函数()x Lx f R (图2(d2))与图2(c1)的频谱函数图2(c2)的卷积：()()()[]()x Lx x x x x Txr f R f T y f G y f G *∆*=,, (9)对应的频谱函数曲线示于图2(e2).由图可见由于矩形宙函数的频谱()x Lx f R 具有较大的起伏变化的伤瓣，卷积运算的结果佼图2(c2)的频谱曲线形状产生了失真(为说明问既图中略有夸大)．将图2(c2)与图2(a2)比较不难发现,现在得到的是带有畸变的原函数频谱的周期延拓曲线，延拓周期为x 1．离散傅里叶变换是对空域及领域均为周期离散函数的变换，因此, 图2(e2)的曲线还将被周期为x 1的梳状函数(图2(f1))取样．其结果是一个周期为x N 的频域的离散函数〔图2(g2)).在频域进行上面频谱函数与梳状函数的乘积取样时，就对应着它们在空域原函数的卷积运算．图2(e1)与图2(f1)的函数在空域卷积运算的结果成为一周期为x N 的空域离散函数图2(g1))．空域及领域离散函数均以x N 为周期，我们只要分别知道一个周期内的离散值或样本点使可以了解离散函数全貌．离散傅里叶变换或其快速算法FFT ，便是完成从空域到频域、以及从频域到空域的这x N 个样本点的汁算方法．至此，我们已经知道，离散傅里叶变换是博里叶变换的一种近似计算只要能 够将衍射的计算表为卷积的形式，并了解离散傅里叶变换与博里叶变换间的定量关系，采取合适的措施抑制晌曳便能对衍射问题求解．将菲涅耳衍射积分的卷积形式:()()()()()[]020200002exp ,exp ,dy dx y y x x djk y x U d j jkd y x U ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+-=⎰⎰∞∞-∞∞-λ （10） 中的二次项展开后得:()()()()()()00002200022202exp 2exp ,2exp exp ,dy dx y y x x d j y x d jk y x U y x djk d j jkd y x U ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⨯⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰∞∞-∞∞-λπλ （11）设()000,y x U 为物平面光波复振幅；根据第（10）式，经距离d 的衍射到达观测平面的光波复振幅()y x U ,可由下形式的菲涅耳衍射积分表出:()()()()()()000220000222exp 2exp ,2exp exp ,dy dx y y x x d j y x d jk y x U y x d jk d j jkd y x U ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰∞∞-λπλ （12）式中1-=j ，λ为光波波长，π2=k .若利用快速傅里叶变换FFT 进行计算-----式．物平面取样宽度为0L ∆，取样数为N N ⨯,取样间距为N L x 000∆=∆=∆，（12）式可写为:()()()()()()()()()dyp dx p y n x m d jky n x m U FFT y q x p d jkd j jkd y q x p U λλλ∆∆⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆+∆∆∆⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆+∆=∆∆,2020000222exp ,2exp exp ,)12,,12,2,,,(-+--=N N N n m q p (13)式中，y x ∆=∆是离散傅里叶变换后对应的空域取样间距．为确定这个数值，根据前面对离散傅里叶变换的讨论，（13）式的计算结果将是取值范围01x ∆的N N ⨯点的离教值．即:01L Nx d L ∆=∆=∆λ 或者，L dnL ∆=∆λ (14)因此L dN L y x ∆=∆=∆=∆λ (15) 对（10）式两边作博里叶变换并利用空域卷积定律得:(){}()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=220002exp exp ,,y x d jk d j jkd f y x U F y x U F λ （16） 令y x f f ,是频域坐标可以定义菲涅耳衍射传递函数为:()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=222exp exp ,y x d jk dj jkd F f f H y x F λ （17） 3.快速傅里叶变换计算衍射光强光是一种电磁波，按jwt e 的规律随时间传播，电光源发粗的是一组球面波，设光源位于坐标原点处，以速度v 在电容率为ε的介质中传播，当光到达半径为r 的求面时，光的场强E 是t r ,的函数，可以表示为:()()()()[]kr wt j r E r t jw r E t r E -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=exp exp ,υ （18）其中λπυ2==w k 称为波数，()t r E , 为光矢量.点光源从原点出发的球面波，能量密度为:221E w ε= （19）以v 表示单位时间内光矢量所在空间的体积，则单位时间内通过整个球面的能量为:V E W 221 ε= （20）而()0E k r E υ'= （21）式中0E 是与光源振动有关的常数，k '是与介质有关的常数，则()()[]kr wt j E rk t r E -'=exp ,0 （22）为简便，只考虑某时刻的振动，含时间的项jwt e 可省去。