_七级数学下册第12章乘法公式与因式分解12.2完全平方公式作业设计无答案新版青岛版0814343
青岛版七年级下册数学-完全平方公式素养提升练习(含解析)
第12章 乘法公式与因式分解12.2 完全平方公式基础过关全练知识点 完全平方公式1.运用完全平方公式计算89.82的最佳选择是( )A.(89+0.8)2B.(80+9.8)2C.(90-0.2)2D.(100-10.2)22.下列各式中计算正确的是( )A.(5a+3b)2=25a2+9b2B.(7x-2y)2=49x2-14xy+4y2C.(4y-3)2=16y2-24y+9m+12n2=19m2+16mn+14n23.(2023江西中考)化简:(a+1)2-a2= .4.【新独家原创】若4a2+(m+2)ab+16b2是一个完全平方式,那么m= .5.计算:(1)(4x+3n)2.(2)(-3x+y)2. (3).6.【教材变式·P116T2】(2023湖南邵阳中考)先化简,再求值:(a-.3b)(a+3b)+(a-3b)2.其中a=-3,b=13能力提升全练7.(2023内蒙古赤峰中考,7,★☆☆)已知2a2-a-3=0,则(2a+3)(2a-3)+(2a-1)2的值是( )A.6B.-5C.-3D.48.【新考法】(2022河北邢台信都期中,9,★★☆)将四个如图1所示的小正方形按图2所示的方式放置在一个边长为a的大正方形中,大正方形的中间恰好空出两条互相垂直,且宽都为b的长方形,根据图2中阴影部分的面积可以验证的公式为( )A.(a+b)(a-b)=a2-b2 B.(a+b)2=a2+2ab+b2C.(a-b)2=a2-2ab+b2 D.(a-b)2=(a+b)2-4ab9.(2023广东汕头潮南一模,7,★★☆)若a+2b=7,ab=6,则(a-2b)2的值是( )A.3B.2C.1D.010.(2023四川凉山州中考,14,★☆☆)已知y2-my+1是完全平方式,则m的值是 .11.(2023山东济南期中,15,★★☆)如图所示,正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为a、b,如果a+b=17,ab=60,那么图中阴影部分的面积是 .12.(2023陕西师大附中期中,18,)有两个正方形A,B,现将B放在A的内部得到图①,将A,B并列放置后构造新的正方形得到图②.若图①和图②中阴影部分的面积分别为1和12,则正方形A,B的面积之和为 .13.【跨学科·美术】(2022浙江温州瓯海期中改编,17,)某中学开展“筑梦冰雪,相约冬奥”的学科活动,设计几何图形作品表达对冬奥会的祝福.小冬以长方形ABCD的四条边为边向外作四个正方形,设计出“中”字图案,如图所示.若四个正方形的周长之和为48,面积之和为52,则长方形ABCD的面积为 .14.(2023内蒙古包头中考,17,★☆☆)先化简,再求值:(a+2b)2+(a+2b)(a-.2b).其中a=-1,b=1415.(2022山东济南十二中月考,20,★★☆)已知x+y=7,xy=-8,求:(1)x2+y2的值;(2)(x-y)2的值.素养探究全练16.【推理能力】发现:两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数,且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和.如(2+1)2+(2-1)2=10,10为偶数.请把10的一半表示为两个正整数的平方和,并验证发现中的结论.17.【推理能力】(2023山东淄博张店期中)几何图形是一种重要的数学语言,它直观形象,能帮助我们理解代数中的数量关系,而运用代数思想也能巧妙解决几何图形问题.(1)【观察】图①是一个长为4a,宽为b的长方形,沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形,然后用四个小长方形拼成一个“回形”正方形(如图②).请你写出(a+b)2,(a-b)2,ab之间的等量关系: .(2)【应用】若m+n=7,m-n=5,求mn的值.(3)【拓展】如图③,四边形ABCD、四边形NGDH和四边形MEDQ 都是正方形,四边形EFGD和四边形PQDH都是长方形,若AE=5,CG=10,长方形EFGD的面积是150,设DE=m,DG=n.(i)填空:mn= ,m-n= .(ii)求图③中阴影部分的面积.答案全解全析基础过关全练1.C 89.82=(90-0.2)2=902-2×90×0.2+0.22,对90与0.2进行平方运算、乘法运算与加减运算比其他选项更简便.2.C (5a+3b)2=25a 2+30ab+9b 2,(7x-2y)2=49x 2-28xy+4y 2,(4y-3)2=16y 2-24y+9,m +12n 2=19m2+13mn +14n 2.故选C.3.2a+1解析 原式=a 2+2a+1-a 2=2a+1,故答案为2a+1.4.14或-18解析 4a 2+(m+2)ab+16b 2=(2a)2+(m+2)ab+(4b)2,因为4a 2+(m+2)ab+16b 2是一个完全平方式,所以m+2=±2×2×4=±16,所以m=14或-18.5.解析 (1)(4x+3n)2=(4x)2+2×4x·3n+(3n)2=16x 2+24nx+9n 2.(2)(-3x+y)2=(-3x)2+2×(-3x)·y+y 2=9x 2-6xy+y 2.(3)=(3y)2+2×3y×-+-=9y2−2y +19.6.解析 (a-3b)(a+3b)+(a-3b)2=a 2-(3b)2+(a 2-6ab+9b 2)=a 2-9b 2+a 2-6ab+9b 2=2a 2-6ab,当a=-3,b=13时,原式=2×(-3)2-6×(-3)×13=2×9−6×(−3)×13=18+6=24.能力提升全练7.D 原式=(2a)2-32+(2a)2-4a+1=2×(2a)2-4a-32+1=8a 2-4a-9+1=8a 2-4a-8=4(2a 2-a)-8.∵2a 2-a-3=0,∴2a 2-a=3,∴原式=4×3-8=4.故选D.8.C 根据题图2可得(a-b)2=a 2-2ab+b 2,故选C.9.C (a-2b)2=a 2+4b 2-4ab=a 2+4b 2+4ab-8ab=(a+2b)2-8ab,∵a+2b=7,ab=6,∴原式=72-8×6=49-48=1.故选C.10.±2解析 ∵y 2-my+1是完全平方式,y 2-2y+1=(y-1)2,y 2-(-2)y+1=(y+1)2,∴-m=-2或-m=2,∴m=±2.11.54.5解析 根据题意得S 阴影=a 2+b 2-12a2−12b(a+b)=a 2+b 2-12a2−12ab−12b 2=12(a 2+b 2-ab)=12[(a+b)2-3ab],当a+b=17,ab=60时,S 阴影=12×(289-180)=54.5.12.13解析 设正方形A 的边长为a,正方形B 的边长为b,由题图①得a 2-b 2-2b(a-b)=1,即a 2+b 2-2ab=1,由题图②得(a+b)2-a 2-b 2=12,即2ab=12,所以a 2+b 2=13.故正方形A,B 的面积之和为13.13.5解析 设AB=a,BC=b,由四个正方形的周长之和为48,面积之和为52,可得4a×2+4b×2=48,2a 2+2b 2=52,故a+b=6,a 2+b 2=26,所以(a+b)2=a 2+2ab+b 2=36,所以2ab=36-26=10,所以ab=5.故长方形ABCD 的面积为5.14.解析 原式=a 2+4b 2+4ab+a 2-4b 2=2a 2+4ab,当a=-1,b=14时,原式=2×(-1)2+4×(-1)×14=2-1=1.15.解析 (1)x 2+y 2=(x+y)2-2xy =72-2×(-8)=65.(2)(x-y)2=(x+y)2-4xy=72-4×(-8)=81.素养探究全练16.解析 10的一半为5,5=1+4=12+22.验证结论如下:设两个已知正整数分别为m,n.因为(m+n)2+(m-n)2=m2+2mn+n2+m2-2mn+n2=2m2+2n2=2(m2+n2),所以(m+n)2+(m-n)2为偶数,且该偶数的一半可以表示为m2+n2,故两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数,且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和.17.解析 (1)由题图②知,大正方形的面积为(a+b)2,中间小正方形的面积为(b-a)2,大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个长、宽分别为b,a的长方形的面积和,∴(a+b)2-(a-b)2=4ab.故答案为(a+b)2-(a-b)2=4ab.(2)已知(a+b)2-(a-b)2=4ab,故由m+n=7,m-n=5可得72-52=4mn,∴mn=6.(3)(i)设正方形ABCD的边长为x,∴DE=x-5,DG=x-10,∴(x-5)(x-10)=150,由题意知m=x-5,n=x-10,∴m-n=5,mn=150,故答案为150;5.(ii)S阴影=(m+n)2=(m-n)2+4mn=52+4×150=625,∴题图③中阴影部分的面积为625.。
12.2因式分解的方法(运用完全平方公式因式分解)(课件)-七年级数学上册(沪教版2024)
2
即( x －3 y ) ＝0.∴ x －3 y ＝0.∴ x ＝3 y .∴ ＝3.
16. 将下列各式进行因式分解.
(1)简便计算： 8002－1 600×798＋7982；
【解】原式＝8002－2×800×798＋7982＝(800－798)2
＝4.
(2) b2－4 a2－1＋4 a ；
【解】原式＝ b2－(4 a2－4 a ＋1)＝ b2－(2 a －1)2
的大小关系为( B
)
A. M ＞ N
B. M ≥ N
C. M ≤ N
D. 不能确定
4. [2023太原期末]已知一个圆的面积为9π a2＋6π ab ＋π b2( a ＞0， b
＞0)，则该圆的半径是(
A )
A. 3 a ＋ b
B. 9 a ＋ b
C. 3 ab
D. 3π a ＋π b
5. 将多项式4 x2＋1加上一项，使它能化成( a ＋ b )2的形式，
= 8 + 2 .
2
2 −
2
− 10 2 − + 25.
解： 2 − 2 − 10 2 − + 25
= 2 − 2 − 2 • 2 − • 5 + 52
= 2 − − 5 2 .
分层练习-基础
1.下列可以用完全平方公式因式分解的是(
C )
A. 4 a2－4 a －1
课堂练习
课堂练习12.2 3
1. 口答 下列整式能用完全平方公式因式分解吗？为什么？
1
2 + 4 + 16;
解：不能.
3
9 2 − 24 + 16;
解：能.
七年级数学下册第12章乘法公式与因式分解回顾与总结教学设计
七年级数学下册第12章乘法公式与因式分解回顾与总结教学设计一. 教材分析本节课的主要内容是乘法公式与因式分解的回顾与总结。
教材通过讲解乘法公式和因式分解的性质，帮助学生理解和掌握这两个重要的数学概念。
在回顾和总结的过程中，学生将能够更好地理解乘法公式和因式分解的应用，提高解决问题的能力。
二. 学情分析学生在七年级上学期已经学习了乘法公式和因式分解的基本概念和应用。
他们对这些概念有初步的理解和掌握，但可能对一些细节和深层次的性质还不够清晰。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的已有知识基础，通过复习和引导，帮助学生深化对乘法公式和因式分解的理解。
三. 教学目标1.理解乘法公式的性质和应用。
2.掌握因式分解的方法和技巧。
3.能够运用乘法公式和因式分解解决实际问题。
四. 教学重难点1.乘法公式的性质和应用。
2.因式分解的方法和技巧。
五. 教学方法1.讲解法：通过讲解乘法公式和因式分解的概念和性质，帮助学生理解和掌握。
2.案例分析法：通过分析具体的例子，让学生理解乘法公式和因式分解的应用。
3.互动教学法：通过提问、讨论等方式，激发学生的思考，提高学生的参与度。
六. 教学准备1.教材和教学参考书。
2.课件和教学素材。
3.练习题和测试题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引发学生对乘法公式和因式分解的思考。
例如，讲解一个数的平方与这个数的关系，让学生思考如何用数学公式来表示这个关系。
2.呈现（15分钟）讲解乘法公式的性质和应用，以及因式分解的方法和技巧。
通过清晰的讲解和生动的例子，让学生理解和掌握这些概念。
3.操练（10分钟）让学生通过练习题来巩固所学的知识。
可以选择一些具有代表性的题目，让学生独立完成，然后进行讲解和解析。
4.巩固（5分钟）通过一些巩固题目的练习，帮助学生加深对乘法公式和因式分解的理解。
可以让学生分组讨论，共同解决问题。
5.拓展（5分钟）讲解一些乘法公式和因式分解的拓展知识，提高学生的思维能力。
《2.2.2完全平方公式》作业设计方案-初中数学湘教版12七年级下册
《完全平方公式》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本节课的作业设计旨在使学生掌握完全平方公式的形式，能够运用完全平方公式进行计算，并能对一些简单的问题进行初步的应用。
通过本节作业，加强学生对完全平方公式的理解和记忆，提升他们的数学思维能力及实际操作能力。
二、作业内容完全平方公式的运用与计算是本节课的作业重点，主要包括以下几个部分：1. 熟练掌握完全平方公式的形式：理解完全平方公式的含义和表达方式，能准确书写公式并记住各项的系数和符号。
2. 完全平方公式的运用：对具体的数进行平方，通过实践应用巩固和拓展公式理解，并能发现完全平方与数字关系的规律。
3. 解题过程演练：结合课后习题及日常习题进行演练，从简到难、从单一到复杂，让学生在解决实际问题中进一步理解与掌握。
4. 针对容易出错点或容易忽视点：分析总结容易出现的错误及注意事项，并加强训练。
三、作业要求为确保学生能充分掌握和运用完全平方公式，作业要求如下：1. 必须按照课本中的完全平方公式格式准确书写公式。
2. 在应用完全平方公式时，需要仔细核对数字的顺序和符号。
3. 完成课后习题时，应注重解题思路的梳理和解题步骤的清晰表达。
4. 鼓励学生在解题过程中使用多种方法，以培养其灵活的思维方式和解决问题的能力。
5. 要求学生将易错点及注意事项进行总结，并在下次上课时进行分享和讨论。
四、作业评价评价学生作业时，需注意以下几点：1. 对学生的完成度进行评价，是否完成了所有的题目和练习。
2. 对学生的准确性进行评价，如是否正确应用了完全平方公式。
3. 对学生的解题思路进行评价，如解题过程是否清晰、解题方法是否灵活等。
4. 对学生的笔记与总结进行评价，是否在课后认真复习与整理，形成完整的知识体系。
五、作业反馈教师应在下一节课对本次作业的完成情况进行详细反馈。
根据学生普遍存在的问题进行集中讲解与讨论；针对学生正确的解法和独特思路进行表扬和肯定；针对个人存在的具体问题及时指出并提供针对性的解决方案与指导建议。
七年级数学下册第12章乘法公式与因式分解12.3用提公因式法进行因式分解作业设计(无答案)青岛版(
2018-2019学年七年级数学下册第12章乘法公式与因式分解12.3 用提公因式法进行因式分解作业设计（无答案）（新版）青岛版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年七年级数学下册第12章乘法公式与因式分解12.3 用提公因式法进行因式分解作业设计（无答案）（新版）青岛版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018-2019学年七年级数学下册第12章乘法公式与因式分解12.3 用提公因式法进行因式分解作业设计（无答案）（新版）青岛版的全部内容。
12.3 用提公因式法进行因式分解一、填空题1。
因式分解是把一个______化为______的形式．2。
ax 、ay 、－ax 的公因式是______;6mn 2、－2m 2n 3、4mn 的公因式是______． 3.因式分解a 3－a 2b ＝______．二、选择题4.下列各式变形中,是因式分解的是（ )A.a 2－2ab ＋b 2－1＝（a －b ）2－1 Ｂ。
221222(1)x x x x +=+C ．（x ＋2)（x －2)＝x 2－4D 。
x 4－1＝(x 2＋1）（x ＋1）（x －1）5。
将多项式－6x 3y 2 ＋3x 2y 2－12x 2y 3分解因式时，应提取的公因式是（）A.－3xy B 。
－3x 2y C.－3x 2y 2 D 。
－3x 3y 3二、解答题1.分解因式(1)a 2b –2ab 2+ab(2）2(a-b ）-4(b-a ）（3）a 2b （a －b )＋3ab （a －b )（4）y 2（2x ＋1)＋y （2x ＋1)2【巩固提升】一、选择题(共10分)1.多项式a2x2+ay—a3xy2的公因式是( )A。
七年级数学下册《完全平方公式与平方差公式》教案、教学设计
（二）教学设想
1.创设情境，导入新课
-通过生活中的实例，如土地面积的测量、房屋面积的估算等，引出完全平方公式与平方差公式的概念。
-通过实际问题的解决，激发学生的学习兴趣，为新课的学习做好铺垫。
2.自主探究，合作交流
-引导学生回顾整式乘法和因式分解的知识，为新课的学习搭建知识框架。
-设计有针对性的课后作业，巩固学生对完全平方公式与平方差公式的掌握。
-采用多元化的评价方式，关注学生的个体差异，鼓励学生发挥潜能。
7.教学反思
-教学结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略。
-注重教学方法的创新，提高课堂教学的趣味性和实效性。
四、教学内容与过程
（一）导入新课，500字
1.总结完全平方公式和平方差公式的推导过程。
2.举例说明这两个公式在实际问题中的应用。
3.分析这两个公式在解题过程中的优势和局限性。
讨论结束后，各小组汇报讨论成果，其他小组进行补充和评价。我在这个过程中，适时给予指导和引导，帮助学生深入理解公式。
（四）课堂练习，500字
在课堂练习阶段，我会设计不同难度的题目，让学生运用完全平方公式和平方差公式进行解题。练习题包括以下类型：
在本章节的学习中，学生需要在已有知识的基础上，进一步探究完全平方公式与平方差公式的规律，并将其应用于解决实际问题。此时，学生可能面临以下挑战：
1.对完全平方公式与平方差公用公式解题时，可能会出现符号错误、计算失误等问题，需要教师耐心指导，帮助学生提高运算准确性和解题技巧。
-选择两道课后习题，运用完全平方公式与平方差公式进行因式分解，并解释每一步的推导过程。
湘教版七年级数学下册2.2乘法公式2.2.2完全平方公式(1)教学设计
湘教版七年级数学下册2.2乘法公式2.2.2完全平方公式（1）教学设计一. 教材分析湘教版七年级数学下册2.2节主要介绍完全平方公式。
完全平方公式是初中学段数学的重要内容，也是学生进一步学习代数知识的基础。
本节内容通过具体的例子引导学生发现并归纳完全平方公式的规律，让学生掌握如何运用完全平方公式进行运算和解决实际问题。
二. 学情分析七年级的学生已经掌握了整式的乘法，对代数概念有一定的理解。
但学生在运用公式时，容易忽视公式的适用范围和条件。
因此，在教学过程中，需要关注学生对完全平方公式的理解程度，引导学生掌握公式的运用方法。
三. 教学目标1.让学生理解完全平方公式的含义，掌握公式的结构特征。
2.培养学生运用完全平方公式进行整式运算的能力。
3.提高学生解决实际问题的能力，培养学生的数学思维。
四. 教学重难点1.完全平方公式的理解和记忆。
2.完全平方公式的灵活运用。
五. 教学方法1.采用情境教学法，通过生活中的实际问题引入完全平方公式。
2.运用归纳法，引导学生发现并总结完全平方公式的规律。
3.采用小组合作学习，让学生在探讨中加深对完全平方公式的理解。
4.运用练习法，巩固学生对完全平方公式的运用能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT，包括完全平方公式的引入、讲解和练习。
2.准备一些实际问题，用于引导学生运用完全平方公式解决实际问题。
3.准备一些练习题，用于巩固学生对完全平方公式的掌握。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入完全平方公式，例如：一个正方形的边长为a，求它的面积。
引导学生思考如何用数学公式表示这个问题，引出完全平方公式的概念。
2.呈现（10分钟）讲解完全平方公式的定义和结构特征，用PPT展示完全平方公式的推导过程，让学生理解完全平方公式的含义。
3.操练（10分钟）让学生运用完全平方公式进行一些简单的整式运算，例如：计算（a+b）2、（a-b）2等。
引导学生掌握完全平方公式的运用方法。
2021-2022学年最新青岛版七年级数学下册第12章乘法公式与因式分解专题攻克试题(无超纲)
七年级数学下册第12章乘法公式与因式分解专题攻克考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列各式因式分解正确的是（ ）A ．()2211x x +=+B ．()()311x x x x x -=+-C ．()()21343x x x x ++=++D ．()22121x x x x ++=++2、分解因式2a 2（x －y ）＋2b 2（y －x ）的结果是（ ）A ．（2a 2＋2b 2） （x －y ）B ．（2a 2－2b 2） （x －y ）C ．2（a 2－b 2） （x －y ）D ．2（a －b ）（a ＋b ）（x －y ） 3、化简()()2332m n m m n +-+结果正确的是（ ）A ．226m n +B ．2212m n +C ．22612m n mn +-D ．2266m mn n ++ 4、下列由左至右的变形中，属于因式分解的是（ ）A ．x 2－4x ＋3＝x （x －4）＋3B ．x 2－4＋3x ＝（x ＋2）（x －2）＋3xC ．x 2－4＝（x ＋2）（x －2）D ．（x ＋2）（x －2）＝x 2－45、把代数式x 2﹣4x +4分解因式，下列结果中正确的是（ ）A ．（x ﹣2）2B ．（x +2）2C ．x （x ﹣4）+4D ．（x ﹣2）（x +2）6、下列因式分解正确的是（ ）A ．2ab 2﹣4ab ＝2a （b 2﹣2b ）B ．a 2＋b 2＝（a ＋b ）（a ﹣b ）C ．x 2＋2xy ﹣4y 2＝（x ﹣y ）2D ．﹣my 2＋4my ﹣4m ＝﹣m （2﹣y ）27、224﹣1可以被60和70之间某两个数整除，这两个数是（ ）A ．64，63B ．61，65C ．61，67D ．63，658、下列分解因式正确的是（ ）A ．()2244x x x x -+=-+B ．()2x xy x x x y ++=+C ．()()()2x x y y x y x y ---=-D ．()()24422x x x x -+=+-9、若()3b a +（ ）229b a =-，则括号内应填的代数式是（ ）A ．3a b --B ．3a b +C ．3b a -+D ．3b a - 10、已知22()()2022a b c b a c +=+=，且a b ，则abc 的值为（ ）A ．2022B ．-2022C ．4044D ．-4044 第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图1，将一个长为2a ，宽为2b 的长方形沿图中虚线剪开分成四个完全相同的小长方形，然后将这四个完全相同的小长方形拼成一个正方形（如图2），设图2中的大正方形面积为1S ，小正方形面积为2S ，则12S S -的结果是________（用含a ，b 的式子表示）．2、分解因式：224abc a b +=_______．3、计算：2222202120202021202020214040-++⨯＝_____． 4、若a ，b 都是有理数，且满足a 2+b 2+5＝4a ﹣2b ，则（a +b ）2021＝_____．5、已知，实数a 满足(1)1a a +=，则2120211a a ++=+_______． 三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、若一个正整数a 可以表示为a ＝（b ＋1）（b -2），其中b 为大于2的正整数，则称a 为“十字数”，b 为a 的“十字点”．例如28＝（6＋1）×（6-2）＝7×4．(1)“十字点”为7的“十字数”为 ；130的“十字点”为 ；(2)若b 是a 的“十字点”，且a 能被（b -1）整除，其中b 为大于2的正整数，求a ．2、阅读下列材料：一般地，没有公因式的多项式，当项数为四项或四项以上时，经常把这些项分成若干组，然后各组运用提取公因式法或公式法分别进行分解，之后各组之间再运用提取公因式法或公式法进行分解，这种因式分解的方法叫做分组分解法．如：因式分解：am +bm +an +bn＝（am +bm ）+（an +bn ）＝m （a +b ）+n （a +b ）＝（a +b ）（m +n ）．(1)利用分组分解法分解因式：①3m ﹣3y +am ﹣ay ；②a 2x +a 2y +b 2x +b 2y ．(2)因式分解：a 2+2ab +b 2﹣1＝ （直接写出结果）．3、先化简，再求值：()()25121x x x +-+-（），其中15x =-． 4、分解因式：2x 3﹣8x 2+8x ．5、计算：2(3)(6)x x x ----参考答案-一、单选题1、B【解析】【分析】根据因式分解的定义（把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个因式分解）及完全平方公式依次进行判断即可得．【详解】解：A 、不能进行因式分解，错误；B 、选项正确，是因式分解；C 、选项是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意；D 、()22211x x x ++=+，选项因式分解错误；故选：B ．【点睛】题目主要考查因式分解的定义及方法，深刻理解因式分解的定义是解题关键．2、D【解析】【分析】根据提公因式法和平方差公式分解因式．【详解】解：2a 2（x －y ）＋2b 2（y －x ）=2a 2（x －y ）-2b 2（x －y ）=（2a 2－2b 2）（x －y ）=2（a 2－b 2）（x －y ）=2（a －b ）（a ＋b ）（x －y ）．故选：D ．【点睛】此题考查了分解因式，正确掌握因式分解的方法：提公因式法和公式法（平方差公式、完全平方公式及十字相乘法）是解题的关键．3、A【解析】【分析】根据完全平方公式及单项式乘多项式运算法则计算即可．【详解】()()22222233296366m n m m n m mn n m mn m n +-+=++--=+故选：A【点睛】本题考查整式的乘法运算，熟记完全平方公式及单项式乘多项式运算法则时解题额关键．4、C【解析】【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．【详解】解：A、不属于因式分解，故本选项不符合题意；B、不属于因式分解，故本选项不符合题意；C、属于因式分解，故本选项符合题意；D、不属于因式分解，故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．5、A【解析】【分析】首末两项能写成两个数的平方的形式，中间项是这两个数的积的2倍，所以能用完全平方公式分解因式．【详解】解：代数式x2-4x+4=（x-2）2．故选：A．【点睛】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握运算法则和完全平方公式的结构特点是解题的关键．6、D【解析】【分析】将各式计算得到结果，即可作出判断．【详解】解：A. 2ab 2﹣4ab ＝2ab （b ﹣2），分解不完整，故错误；B ．a 2＋b 2不能分解因式，而（a ＋b ）（a ﹣b ）＝a2−b2，故错误；C ．x 2＋2xy ﹣4y 2不能分解因式，而（x −y ）2＝x 2−2xy ＋y 2，故错误；D ．﹣my 2＋4my ﹣4m ＝﹣m （2﹣y ）2，故正确．故选：D ．【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．7、D【解析】【分析】利用平方差因式分解即可求解．【详解】解：241212126621(21)(21)(21)(21)(21)-=+-=++-，∵66216521=63+=-，，∴224﹣1可以被60和70之间某两个数整除，这两个数是63，65，故选：D ．【点睛】本题考查了平方差公式，解题关键是熟练运用平方差公式进行计算．8、C【解析】【分析】根据因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解即可，注意分解要彻底．【详解】解：A 、244x x x x ，故A 选项错误； B 、21x xy x x x y ，故B 选项错误；C 、()()()2x x y y x y x y ---=-，故C 选项正确；D 、2244(2)x x x -+=-，故D 选项错误；故选：C ．【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，注意因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．9、D【解析】【分析】9b 2-a 2 可以看作（3b ）2-a 2，利用平方差公式，可得出答案．【详解】解：∵（3b +a ）（3b -a ）=9b 2-a 2，即（3b +a ）（3b -a ）=（3b ）2-a 2，∴括号内应填的代数式是3b-a．故选：D．【点睛】本题考查平方差公式的特征，熟记平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，是解决此题的关键．10、B【解析】【分析】将a2（b+c）=b2（a+c），a≠b，变形后可得ab+ca+bc=0，进而可得结果．【详解】解：a2（b+c）=b2（a+c），a2b+a2c=b2a+b2c，a2b+a2c-（b2a+b2c）=0，a2b+a2c-b2a-b2c=0，ab（a-b）+c（a2-b2）=0，ab（a-b）+c（a+b）（a-b）=0，（a-b）（ab+ca+bc）=0，∵a≠b，∴ab+ca+bc=0，∵b2（a+c）=b（ab+bc）=b（-ac）=-abc=2022，∴abc=-2022．故选：B【点睛】本题考查了单项式乘多项式以及因式分解，解决本题的关键是掌握平方差公式以及提公因式法因式分解．二、填空题1、4ab【解析】【分析】组合后多出来的面积就是中间小正方形的面积，用大正方形减小正方形的得到原来长方形面积．【详解】∵1S 为图2大正方形的面积；2S 为小正方形面积，∴12S S -为图1长方形面积∴12S S -=2a ×2b =4ab故答案为：4ab【点睛】本题考查列代数式在求正方形面积中的应用，找到两者之差是图1长方形面积是关键．2、2ab （c ＋2a ）【解析】【分析】提公因式2ab ，进行因式分解即可．【详解】解：224abc a b +=2ab （c ＋2a ）故答案为：2ab （c ＋2a ）【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，掌握因式分解的方法是解题的关键．3、14041【解析】【分析】把分子利用平方差公式分解，分母利用完全平方公式分解，约分计算即可得到结果．【详解】 解：原式＝2(20212020)(20212020)(20212020)+⨯-+ ＝120212020+ ＝14041． 故答案为：14041． 【点睛】本题考查了用因式分解进行计算，解题关键是熟练运用公式法进行因式分解．4、1【解析】【分析】首先利用完全平方公式得出a ，b 的值，进而得出答案．【详解】解：∵a 2+b 2+5＝4a ﹣2b ，∴2244210a a b b -++++= ，∴（a ﹣2）2+（b +1）2＝0，∴a ＝2，b ＝﹣1，∴（a +b ）2021＝（2﹣1）2021＝1．故答案为：1【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握()2222a ab b a b ++=+ ，()2222a ab b a b -+=-是解题的关键．5、2022【解析】【分析】由(1)1a a +=得21a a =-，对2120211a a +++化简，将2a 用1a -多次等量替换，计算求解即可． 【详解】解：∵(1)1a a +=∴21a a =-2120211a a +++ 1120211a a =-+++ ()()11120211a a a -⨯++=++2220211a a -=++ ()2120211a a --=++ 120211a a +=++ 2022=故答案为：2022．【点睛】本题考查了平方差，代数式求值．解题的关键在于2a的等量替换．三、解答题1、 (1)40，12(2)4【解析】【分析】（1）根据定义解答即可；（2）根据b是a的十字点，写出a的表达式，因为a能被（b-1）整除，所以对表达式进行变形，得到（b-1）能整除2，求出b的值，进而得到a的值．(1)十字点为7的十字数a＝（7+1）（7﹣2）＝8×5＝40，∵130＝（12+1）（12﹣2）＝13×10，∴130的十字点为12．故答案为：40，12；(2)∵b是a的十字点，∴a＝（b+1）（b﹣2）（b＞2且为正整数），∴a＝（b﹣1+2）（b﹣1﹣1）＝（b﹣1）2+（b﹣1）﹣2，∵a能被（b﹣1）整除，∴（b﹣1）能整除2，∴b﹣1＝1或b﹣1＝2，∵b＞2，∴b＝3，∴a＝（3+1）（3﹣2）＝4．【点睛】本题考查了因式分解的应用，有一定的技巧性，解题的关键是看懂定义，根据题中的条件进行变形．2、(1)①（m−y）（3＋a）；②（x＋y）（a2＋b2）(2)（a＋b＋1）（a＋b−1）【解析】【分析】（1）①直接将前两项和后两项组合，提取公因式，进而分解因式即可；②直接将前两项和后两项组合，提取公因式，进而分解因式即可；（2）将前三项利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式得出答案．(1)解：①原式＝（3m−3y）＋（am−ay）＝3（m−y）＋a（m−y）＝（m−y）（3＋a）；②原式＝（a2x＋a2y）＋（b2x＋b2y）＝a2（x＋y）＋b2（x＋y）＝（x＋y）（a2＋b2）；(2)a2＋2ab＋b2−1＝（a＋b）2−1＝（a ＋b ＋1）（a ＋b −1）．故答案为：（a ＋b ＋1）（a ＋b −1）．【点睛】此题主要考查了分组分解法以及提取公因式法、公式法分解因式，正确分组再运用公式法分解因式是解题关键．3、5x 2-4，195-【解析】【分析】利用多项式乘多项式以及乘法公式对原式进行化简，再代入x 的值求原式的值．【详解】解：()()25121x x x +-+-（） =x 2+5x -x -5+4x 2-4x +1=5x 2-4， 当15x =-时，原式=5×2119455⎛⎫--=- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是掌握乘法公式的运用．4、2x （x ﹣2）2【解析】【分析】先提取公因式2x ，在根据完全平方公式进行分解即可求得答案．【详解】原式22(44)x x x =-+22(2)x x =-，故答案为：22(2)x x -．【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，注意分解因式的步骤，注意分解要彻底．5、9【解析】【分析】首先根据完全平方公式及单项式乘以多项式法则运算，再根据去括号法则去括号，最后合并同类项，即可求得【详解】解：2(3)(6)x x x ---2269(6)x x x x =-+--22696x x x x =-+-+9=【点睛】本题考查了完全平方公式，单项式乘以多项式法则，注意去括号时符号的变化。