2020届高考数学(文)一轮复习讲练测专题3.1变化率与导数、导数的计算(练) 含答案

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2020届高考数学(文)总复习：第二章第十节变化率与导数、导数的计算

课时规范练A组基础对点练1．曲线y＝x e x－1在点(1,1)处切线的斜率等于()A．2e B．eC．2 D．1解析：∵y′＝x′·e x－1＋x·(e x－1)′＝(1＋x)e x－1，∴曲线y＝x e x－1在点(1,1)处的切线斜率为y′|x＝1＝2.故选C.答案：C2．函数f(x)＝e x sin x的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为()A.3π4 B.π3C.π4 D.π6解析：因为f′(x)＝e x sin x＋e x cos x，所以f′(0)＝1，即曲线y＝f(x)在点(0，f(0)处的切线的斜率为1.所以在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为π4，故选C.答案：C3．(2019·云南师大附中考试)曲线y＝a x在x＝0处的切线方程是x ln 2＋y－1＝0，则a＝()A.12B．2C．ln 2 D．ln 1 2解析：由题知，y′＝a x ln a，y′|x＝0＝ln a，又切点为(0,1)，故切线方程为x lna－y＋1＝0，∴a＝12，故选A.答案：A4．(2019·重庆巴蜀中学模拟)已知曲线y＝2xx－1在点P(2,4)处的切线与直线l平行且距离为25，则直线l的方程为() A．2x＋y＋2＝0B．2x＋y＋2＝0或2x＋y－18＝0C．2x－y－18＝0D．2x－y＋2＝0或2x－y－18＝0解析：y ′＝2(x －1)－2x (x －1)2＝－2(x －1)2，y ′|x ＝2＝－2(2－1)2＝－2，因此k l ＝－2，设直线l 方程为y ＝－2x ＋b ，即2x ＋y －b ＝0，由题意得|2×2＋4－b |5＝25，解得b ＝18或b ＝－2，所以直线l 的方程为2x ＋y －18＝0或2x ＋y ＋2＝0.故选B.答案：B5．(2019·潍坊模拟)如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析：由题意知直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，由图可得f (3)＝1.又点(3,1)在直线l 上，∴3k ＋2＝1，∴k ＝－13，∴f ′(3)＝k ＝－13.∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，则g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0，故选B. 答案：B6．函数g (x )＝ln x 图象上一点P 到直线y ＝x 的最短距离为________．解析：设与直线y ＝x 平行且与曲线g (x )＝ln x 相切的直线的切点坐标为(x 0，ln x 0)，因为g ′(x )＝(ln x )′＝1x ，则1＝1x 0，∴x 0＝1，则切点坐标为(1,0)，∴最短距离为(1,0)到直线y ＝x 的距离，即为|1－0|1＋1＝22，故答案为22. 答案：227．已知曲线f (x )＝x ＋a x ＋b (x ≠0)在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝2x ＋5，求a －b 的值．解析：∵f ′(x )＝1－a x 2，∴f ′(1)＝1－a ，又f (1)＝1＋a ＋b ，∴曲线在(1，f (1))处的切线方程为y －(1＋a ＋b )＝(1－a )(x －1)，即y ＝(1－a )x ＋2a ＋b ，根据题意有⎩⎨⎧ 1－a ＝2，2a ＋b ＝5，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝7，∴a －b ＝－1－7＝－8.B 组能力提升练8．设函数f (x )＝x sin x ＋cos x 的图象在点(t ，f (t ))处切线的斜率为g (t )，则函数y ＝g (t )的图象一部分可以是( )解析：由f (x )＝x sin x ＋cos x 可得f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x . 即y ＝g (t )＝t cos t ，是奇函数，排除选项B ，D ；当t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，y ＝g (t )＞0，排除选项C.故选A. 答案：A9．(2019·广州第一次调研)已知直线y ＝kx －2与曲线y ＝x ln x 相切，则实数k 的值为( )A ．ln 2B ．1C ．1－ln 2D ．1＋ln 2解析：由y ＝x ln x 得y ′＝ln x ＋1，设切点为(x 0，y 0)，则k ＝ln x 0＋1，∵切点(x 0，y 0)既在曲线y ＝x ln x 上又在直线y ＝kx －2上，∴⎩⎨⎧y 0＝kx 0－2，y 0＝x 0ln x 0，∴kx 0－2＝x 0ln x 0，∴k ＝ln x 0＋2x 0，∴ln x 0＋2x 0＝ln x 0＋1，∴x 0＝2，∴k ＝ln 2＋1，故选D.答案：D10．已知各项均为正数的等比数列{a n }，a 3·a 5＝2，若f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x－a 7)，则f ′(0)＝( )A ．8 2B ．－8 2C ．128D ．－128 解析：令f (x )＝x ·g (x )，其中g (x )＝(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 7)，则f ′(x )＝g (x )＋x ·g ′(x )，因为{a n }是等比数列，所以f ′(0)＝g (0)＝－a 1·a 2·a 3·…·a 7＝－a 74，又因为a 3·a 5＝a 24＝2及{a n }各项均为正数，所以a 4＝2，故f ′(0)＝－8 2.故选B.答案：B11．设函数y ＝f (x )图象上任意一点(x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(3x 20－6x 0)(x －x 0)，且f (3)＝0，则不等式x －1f (x )≥0的解集为__________．解析：∵函数y ＝f (x )图象上任意一点(x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(3x 20－6x 0)(x －x 0)，∴f ′(x 0)＝3x 20－6x 0，∴f ′(x )＝3x 2－6x ，设f (x )＝x 3－3x 2＋c ，又f (3)＝0，∴33－3×32＋c ＝0，解得c ＝0，∴f (x )＝x 3－3x 2，∴x －1f (x )≥0可化为x －1x 3－3x 2≥0，解得0<x ≤1或x <0或x >3. 答案：(－∞，0)∪(0,1]∪(3，＋∞)12．已知f (x )＝(a －2)x ＋4x x ＋1(x ＞0)，若曲线f (x )上存在不同两点A ，B ，使得曲线f (x )在点A ，B 处的切线垂直，求实数a 的取值范围．解析：由f (x )＝(a －2)x ＋4x x ＋1，得f ′(x )＝a －2＋4(x ＋1)2.∵x ＞0，∴a －2＜f ′(x )＜a ＋2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则曲线f (x )在点A ，B 处的切线的斜率分别为k 1＝f ′(x 1)，k 2＝f ′(x 2)，则a －2＜k 1＜a ＋2，a －2＜k 2＜a ＋2且k 1k 2＝－1，可得⎩⎨⎧ a －2＜0，a ＋2＞0，(a －2)(a ＋2)＜－1，解得－3＜a ＜ 3.故实数a 的取值范围是(－3，3)．13．设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，求f ′(1)的值．解析：令t ＝e x ，故x ＝ln t ，∴f (t )＝ln t ＋t ，即f (x )＝ln x ＋x ，∴f ′(x )＝1x ＋1，∴f ′(1)＝2.。

2025高考数学一轮复习-3.1-变化率与导数、导数的计算【课件】

2．某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是 h(t)＝10－4.9t2 ＋8t(距离单位：米，时间单位：秒)，则他在 0.5 秒时的瞬时速度为_____3_._1_______米/秒．
【解析】 ∵h′(t)＝－9.8t＋8，∴他在 0.5 秒时的瞬时速度为 h′(0.5)＝3.1 米/秒．
易错易混 5．(多选)下列求导运算正确的是( BC ) A.x＋1x′＝1＋x12 B．(log2x)′＝xl1n2 C．(3x)′＝3x·ln3 D．(x2cosx)′＝－2xsinx
【解析】
因为
x＋1x
′＝1－
1 x2
，所以选项A不正确；因为(log2x)′＝
1 xln2
，所以选项B
正确；因为(3x)′＝3xln3，所以选项C正确；因为(x2cosx)′＝2xcosx－x2sinx，所以选项D不正
(2)函数 y＝f(x)的导数 f ′(x)反映了函数 f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f ′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
『基础过关』
思考辨析
1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x0)是函数 y＝f(x)在 x＝x0 附近的平均变化率．( × ) (2)f ′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．( × ) (3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × ) (4)函数 f(x)＝sin(－x)的导数是 f ′(x)＝cosx.( × )
3
2．分别求下列函数的导数 (1)y＝x2sinx； (2)y＝lnx＋1x； (3)y＝coesx x； (4)y＝ln(2x－5)； (5)y＝xsin2x＋2πcos2x＋2π.

高考数学一轮复习定时检测 3.1变化率与导数、导数的计算(带详细解析) 理新人教A版

高考数学一轮复习定时检测 3.1变化率与导数、导数的计算（带详细解析）理新人教A 版第三编导数及其应用§3.1 变化率与导数、导数的计算一、选择题(每小题7分，共42分)1．(2010·佛山模拟)一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－32t2＋2t ，那么速度为零的时刻是 ( ) A ．0秒 B ．1秒末C ．2秒末D ．1秒末和2秒末解析 ∵s ＝13t 3－32t 2＋2t ，∴v ＝s ′(t )＝t 2－3t ＋2，令v ＝0，得t 1＝1，t 2＝2. 答案 D2．(2009·临沂模拟)若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为 ( )A ．1 B. 2 C.22 D. 3解析过点P 作y ＝x －2的平行直线，且与曲线y ＝x 2－ln x 相切，设P (x 0，x 20－ln x 0)，则k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0－1x 0，∴2x 0－1x 0＝1，∴x 0＝1或x 0＝－12(舍去)．∴P (1,1)，∴d ＝|1－1－2|1＋1＝ 2.答案 B3．(2009·潮州一模)若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( )A ．4x －y －3＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0解析 y ′＝4x 3＝4，得x ＝1，即切点为(1,1)，所以过该点的切线方程为y －1＝4(x －1)，整理得4x －y －3＝0. 答案 A4．(2010·聊城模拟)曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.94e 2 B ．2e 2 C ．e 2 D.e 22解析 ∵点(2，e 2)在曲线上，∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝e x |x ＝2＝e 2，∴切线的方程为y －e 2＝e 2(x －2)．即e 2x －y －e 2＝0.与两坐标轴的交点坐标为(0，－e 2)，(1,0)，∴S △＝12×1×e 2＝e 22.答案 D5．(2009·全国Ⅰ理，9)已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－2解析设直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )的切点为(x 0，y 0)，则y 0＝1＋x 0，y 0＝ln(x 0＋a )，又y ′＝1x ＋a，∴y ′| x ＝x 0＝1x 0＋a＝1，即x 0＋a ＝1.又y 0＝ln(x 0＋a )，∴y 0＝0，∴x 0＝－1，∴a ＝2. 答案 B6．(2009·安徽文，9)设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12，则导数f ′(1)的取值范围是 ( ) A ．[－2,2] B ．[2，3] C ．[3，2] D ．[2，2]解析由已知f ′(x )＝sin θ·x 2＋3cos θ·x ，∴f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3，又θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12.∴π3≤θ＋π3≤3π4，∴22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3≤1，∴2≤f ′(1)≤2.答案 D二、填空题(每小题6分，共18分)7.（2010·厦门调研）如图所示，函数f(x)的图象是折线段 ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f （f （0））= ；0 f (1＋Δx )－f (1)Δx＝________.(用数字作答)解析由A (0,4)，B (2,0)可得线段AB 所在直线的方程为f (x )＝－2x ＋4 (0≤x ≤2)．同理BC所在直线的方程为f (x )＝x －2 (2<x ≤6)．所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4 (0≤x ≤2)，x －2 (2<x ≤6)，所以f (0)＝4，f (4)＝2..2)1()1()1(lim-='=∆-∆+→∆f xf x f x答案 2 －28．(2009·福建理，14)若曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．解析 ∵f ′(x )＝5ax 4＋1x，x ∈(0，＋∞)，∴由题知5ax 4＋1x＝0在(0，＋∞)上有解．即a ＝－15x5在(0，＋∞)上有解． ∵x ∈(0，＋∞)，∴－15x5∈(－∞，0)．∴a ∈(－∞，0)．答案 (－∞，0)9．(2009·江苏，9)在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线斜率为2，则点P 的坐标为________．解析设P (x 0，y 0)(x 0<0)，由题意知：y ′|x ＝x 0＝3x 20－10＝2，∴x 20＝4.∴x 0＝－2，∴y 0＝15.∴P 点的坐标为(－2,15)．答案 (－2,15) 三、解答题(共40分)10．(13分)(2009·衡阳模拟)求曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 过原点的切线方程．解 f ′(x )＝3x 2－6x ＋2.设切线的斜率为k . (1)当切点是原点时k ＝f ′(0)＝2，所以所求曲线的切线方程为y ＝2x .(2)当切点不是原点时，设切点是(x 0，y 0)，则有y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，k ＝f ′(x 0)＝3x 20－6x 0＋2，① 又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，② 由①②得x 0＝32，k ＝y 0x 0＝－14.∴所求曲线的切线方程为y ＝－14x .11．(13分)(2010·绍兴月考)设t ≠0，点P (t,0)是函数f (x )＝x 3＋ax 与g (x )＝bx 2＋c 的图象的一个公共点，两函数的图象在点P 处有相同的切线．试用t 表示a ，b ，c . 解因为函数f (x )，g (x )的图象都过点(t,0)，所以f (t )＝0，即t 3＋at ＝0.因为t ≠0，所以a ＝－t 2. g (t )＝0，即bt 2＋c ＝0，所以c ＝ab .又因为f (x )，g (x )在点(t,0)处有相同的切线，所以f ′(t )＝g ′(t )．而f ′(x )＝3x 2＋a ，g ′(x )＝2bx ，所以3t 2＋a ＝2bt .将a ＝－t 2代入上式得b ＝t .因此c ＝ab ＝－t 3.故a ＝－t 2，b ＝t ，c ＝－t 3.12．(14分)(2010·厦门模拟)设有抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，通过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限． (1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标．解 (1)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，则y 1＝kx 1.①y 1＝－x 21＋92x 1－4.②①代入②得x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k －92x 1＋4＝0.∵P 为切点，∴Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k －922－16＝0，得k ＝172或k ＝12.当k ＝172时，x 1＝－2，y 1＝－17.当k ＝12时，x 1＝2，y 1＝1.∵P 在第一象限，∴所求的斜率k ＝12.(2)过P 点作切线的垂线，其方程为y ＝－2x ＋5.③将③代入抛物线方程得x 2－132x ＋9＝0.设Q 点的坐标为(x 2，y 2)，则2x 2＝9，∴x 2＝92，y 2＝－4.∴Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫92，－4.。

2020高考数学(文)总复习训练(3)变化率与导数、导数的计算含解析

课时跟踪练(十三)A 组基础巩固1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( )A ．2(x 2－a 2)B ．2(x 2＋a 2)C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)解析：f ′(x )＝(x －a )2＋(x ＋2a )·(2x －2a )＝(x －a )·(x －a ＋2x ＋4a )＝3(x 2－a 2)．答案：C2．f (x )＝x (2 018＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 019，则x 0等于( )A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e解析：f ′(x )＝2 018＋ln x ＋x ×1x＝2 019＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 019，得2 019＋ln x 0＝2 019，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.答案：B3．(2019·江西重点中学盟校第一次联考)函数y ＝x 3的图象在原点处的切线方程为( )A ．y ＝xB ．x ＝0C ．y ＝0D ．不存在解析：函数y ＝x 3的导数为y ′＝3x 2，则在原点处的切线斜率为0，所以在原点处的切线方程为y －0＝0(x －0)，即y ＝0.答案：C4.(2019·济南一中调研)已知函数f (x )在R 上可导，其部分图象如图所示，设f （4）－f （2）4－2＝a ，则下列不等式正确的是( )A ．a <f ′(2)<f ′(4)B ．f ′(2)<a <f ′(4)C ．f ′(4)<f ′(2)<aD ．f ′(2)<f ′(4)<a解析：由图象可知，函数的增长越来越快，故函数的斜率越来越大，所以(2，f (2))，(4，f (4))两点连线的斜率f （4）－f （2）4－2的大小，在点(2，f (2))处的切线斜率f ′(2)与点(4，f (4))的切线斜率f ′(4)之间，所以f ′(2)<a <f ′(4)．答案：B5．(2019·南阳一模)函数f (x )＝x －g (x )的图象在点x ＝2处的切线方程是y ＝－x －1，则g (2)＋g ′(2)＝( )A ．7B ．4C ．0D ．－4解析：因为f (x )＝x －g (x )，所以f ′(x )＝1－g ′(x )，又由题意知f (2)＝－3，f ′(2)＝－1，所以g (2)＋g ′(2)＝2－f (2)＋1－f ′(2)＝7.答案：A6．曲线y ＝sin x x 在x ＝π2处的切线方程为( ) A ．y ＝0B ．y ＝2πC ．y ＝－4π2x ＋4πD ．y ＝4π2x解析：因为y ′＝x cos x －sin x x 2，所以y ′|x ＝π2＝－4π2，当x ＝π2时，y ＝2π，所以切线方程为y －2π＝－4π2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2，即y ＝－4π2x ＋4π.答案：C7．(2019·日照质检)已知e 为自然对数的底数，曲线y ＝a e x ＋x 在点(1，a e ＋1)处的切线与直线2e x －y －1＝0平行，则实数a ＝( )A.e －1eB.2e －1eC.e －12eD.2e －12e解析：因为y ′＝a e x ＋1，所以切线的斜率为y ′|x ＝1＝a e ＋1，又切线与直线2e x －y －1＝0平行，所以a e ＋1＝2e ，解得a ＝2e －1e. 答案：B8．(2019·重庆诊断)已知函数f (x )＝2e x ＋1＋sin x ，其导函数为f ′(x )，则f (2 019)＋f (－2 019)＋f ′(2 019)－f ′(－2 019)的值为( )A ．0B ．2C ．2 017D ．－2 017解析：因为f (x )＝2e x ＋1＋sin x ，所以f ′(x )＝－2e x（e x ＋1）2＋cos x ， f (x )＋f (－x )＝2e x ＋1＋sin x ＋2e －x ＋1＋sin(－x )＝2， f ′(x )－f ′(－x )＝－2e x（e x ＋1）2＋cos x ＋2e －x（e －x ＋1）2－cos(－x )＝0，所以f (2 019)＋f (－2 019)＋f ′(2 019)－f ′(－2 019)＝2.答案：B9．已知曲线f (x )＝2x 2＋1在点M (x 0，f (x 0))处的瞬时变化率为－8，则点M 的坐标为________．解析：因为f(x)＝2x2＋1，所以f′(x)＝4x，令4x0＝－8，则x0＝－2，所以f(－2)＝9，所以点M的坐标是(－2，9)．答案：(－2，9)10．(2017·天津卷)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________．解析：因为f′(x)＝a－1x，所以f′(1)＝a－1.又因为f(1)＝a，所以切线l的斜率为a－1，且过点(1，a)，所以切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1)．令x＝0，得y＝1，故l在y轴上的截距为1.答案：111．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)＝________．解析：因为f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，所以f′(x)＝2x＋3f′(2)＋1x，所以f′(2)＝4＋3f′(2)＋12＝3f′(2)＋92.所以f′(2)＝－9 4.答案：－9 412．(2019·珠海一中等六校联考)已知函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线方程为y＝2x－1，则曲线g(x)＝x2＋f(x)在点(2，g(2))处的切线方程为________．解析：由题意，知f(2)＝2×2－1＝3，所以g(2)＝4＋3＝7，因为g′(x)＝2x＋f′(x)，f′(2)＝2，所以g′(2)＝2×2＋2＝6，所以曲线g(x)＝x2＋f(x)在点(2，g(2))处的切线方程为y－7＝6(x－2)，即6x －y －5＝0.答案：6x －y －5＝0B 组素养提升13．(2019·南阳模拟)已知各项均为正数的等比数列{a n }，a 3·a 5＝2，若f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 7)，则f ′(0)＝( )A ．8 2B ．－8 2C ．128D ．－128解析：令f (x )＝x ·g (x )，其中g (x )＝(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 7)，则f ′(x )＝g (x )＋x ·g ′(x )，因为{a n }是等比数列，所以f ′(0)＝g (0)＝－a 1·a 2·a 3·…·a 7＝－a 74，又因为a 3·a 5＝a 24＝2及{a n }各项均为正数，所以a 4＝2，故f ′(0)＝－8 2.答案：B14．(2019·广州第一次调研)已知直线y ＝kx －2与曲线y ＝x ln x 相切，则实数k 的值为( )A ．ln 2B ．1C ．1－ln 2D ．1＋ln 2解析：由y ＝x ln x 得y ′＝ln x ＋1，设切点为(x 0，y 0)，则k ＝ln x 0＋1，因为切点(x 0，y 0)既在曲线y ＝x ln x 上又在直线y ＝kx －2上，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0－2，y 0＝x 0ln x 0，所以kx 0－2＝x 0ln x 0，所以k ＝ln x 0＋2x 0. 则ln x 0＋2x 0＝ln x 0＋1，所以x 0＝2，所以k ＝ln 2＋1. 答案：D15．(2019·西安一模)定义1：若函数f (x )在区间D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在区间D 上也可导，则称函数f (x )在区间D 上存在二阶导数，记作f ″(x )＝[f ′(x )]′.定义2：若函数f (x )在区间D 上的二阶导数恒为正，即f ″(x )>0恒成立，则称函数f (x )在区间D 上为凹函数．已知函数f (x )＝x 3－32x 2＋1在区间D 上为凹函数，则x 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝x 3－32x 2＋1，所以f ′(x )＝3x 2－3x ，f ″(x )＝6x －3，令f ″(x )>0，解得x >12，故x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 16．(2016·全国卷Ⅲ)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的切线方程是________．解析：设x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝e x －1＋x .因为f (x )为偶函数，所以f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝e x －1＋x .因为当x ＞0时，f ′(x )＝e x －1＋1，所以f ′(1)＝e 1－1＋1＝1＋1＝2.所以曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.答案：2x －y ＝0。

2020版高考数学一轮复习第三章第一节变化率与导数、导数的计算课件文

▶提醒对解析式中含有导数值的函数,即解析式类似f(x)=f '(x0)g(x)+h
(x)(x0为常数)的函数,解决这类问题的关键是明确f '(x0)是常数,其导数值为0.因此先求导数f '(x),令x=x0,即可得到f '(x0)的值,进而得到函数解析式,求得所求导数值.
1-1 f(x)=x(2 018+ln x),若f '(x0)=2 019,则x0等于 ( B )
命题方向三求参数的值
典例4 (2019河北唐山质检)已知直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,3),则b的值为 ( A.3 B.-3 C.5 ) D.-5
答案 A
解析由题意知,3=k+1,∴k=2,又(x +ax+b)'|x=1=(3x +a)|x=1=3+a,∴3+a=2, ∴a=-1,∴3=1-1+b,即b=3.
1 1 (2)由题图可知曲线y=f(x)在x=3处切线的斜率等于- ,∴f '(3)=- . 3 3
函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为①
y x
.
f ( x2 ) f ( x1 ) x2 x1
,若Δx=x2-x1,Δy=
f(x2)-f(x1),则平均变化率可表示为②
2.函数y=f(x)在x=x0处的导数
(1)定义
y f ( x0 x) f ( x0 ) lim = lim 称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率为函数y x0 x x0 x y lim = |x x0 ,即f '(x0)= lim =f(x)在x=x0处的导数,记作f '(x0)或y' x0 x x0 f ( x0 x) f ( x0 ) x .

2020高考数学大一轮复习第三章导数及其应用1第1讲变化率与导数导数的计算练习理含解析

第1讲变化率与导数、导数的计算[基础题组练]1．已知函数f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝( ) A ．－3π2B ．－1π2C ．－3πD ．－1π解析：选C.因为f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x (－sin x )，所以f (π)＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1π＋2π·(－1)＝－3π.2．(2019·福州模拟)曲线f (x )＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为( )A ．2 B.32 C.12D.14解析：选D.f ′(x )＝1＋1x，则f ′(1)＝2，故曲线f (x )＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1，此切线与两坐标轴的交点坐标分别为(0，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，则切线与坐标轴围成的三角形的面积为12×1×12＝14，故选D.3．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1D. 12解析：选A.因为y ′＝x 2－3x ，令y ′＝12，解得x ＝3，即切点的横坐标为3.4．如图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图象，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象可能是( )解析：选D.由y ＝f ′(x )的图象知y ＝f ′(x )在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y ＝f (x )的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故排除A 、C.又由图象知y ＝f ′(x )与y ＝g ′(x )的图象在x ＝x 0处相交，说明y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象在x ＝x 0处的切线的斜率相同，故排除B.5．函数g (x )＝x 3＋52x 2＋3ln x ＋b (b ∈R )在x ＝1处的切线过点(0，－5)，则b 的值为( )A.72B.52C.32D.12解析：选B.当x ＝1时，g (1)＝1＋52＋b ＝72＋b ，又g ′(x )＝3x 2＋5x ＋3x，所以切线斜率k ＝g ′(1)＝3＋5＋3＝11，从而切线方程为y ＝11x －5，由于点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，72＋b 在切线上，所以72＋b ＝11－5，解得b ＝52.故选B.6．已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2.若f ′(2 018)＝6，则f ′(－2 018)＝________．解析：因为f ′(x )＝4ax 3－b sin x ＋7，所以f ′(－x )＝4a (－x )3－b sin(－x )＋7 ＝－4ax 3＋b sin x ＋7. 所以f ′(x )＋f ′(－x )＝14. 又f ′(2 018)＝6，所以f ′(－2 018)＝14－6＝8. 答案：87．(2019·广州市调研测试)若过点A (a ，0)作曲线C ：y ＝xe x的切线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是________．解析：设切点坐标为(x 0，x 0ex 0)，y ′＝(x ＋1)e x，y ′|x ＝x 0＝(x 0＋1)ex 0，所以切线方程为y －x 0ex 0＝(x 0＋1)ex 0(x －x 0)，将点A (a ，0)代入可得－x 0ex 0＝(x 0＋1)ex 0(a －x 0)，化简，得x 20－ax 0－a ＝0，过点A (a ，0)作曲线C 的切线有且仅有两条，即方程x 20－ax 0－a ＝0有两个不同的解，则有Δ＝a 2＋4a ＞0，解得a ＞0或a ＜－4，故实数a 的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．答案：(－∞，－4)∪(0，＋∞)8．(2019·南昌第一次模拟)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x )，且f (lnx )＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝________．解析：因为f (ln x )＝x ＋ln x ，所以f (x )＝x ＋e x，所以f ′(x )＝1＋e x ，所以f ′(1)＝1＋e 1＝1＋e. 答案：1＋e9．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围．解：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝b ＝0，f ′（0）＝－a （a ＋2）＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)>0，即4a 2＋4a ＋1>0，所以a ≠－12.所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞. 10．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； (3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上．因为f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1.所以f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13.所以切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32. (2)设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，所以直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16，又因为直线l 过点(0，0)，所以0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8，所以x 0＝－2，所以y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k ＝3×(－2)2＋1＝13.所以直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． (3)因为切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，所以切线的斜率k ＝4. 设切点的坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，所以x 0＝±1. 所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝－14或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18，即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18. 即y ＝4x －18或y ＝4x －14.[综合题组练]1．(应用型)在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．215解析：选 C.因为f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]＋[(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)＋[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)·…·(0－a 8)＋0＝a 1a 2·…·a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8，所以f ′(0)＝84＝212.故选C.2．(应用型)(2019·成都第二次诊断检测)若曲线y ＝f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ B ．[－12，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．[0，＋∞)解析：选D.f ′(x )＝1x ＋2ax ＝2ax 2＋1x(x >0)，根据题意有f ′(x )≥0(x >0)恒成立，所以2ax 2＋1≥0(x >0)恒成立，即2a ≥－1x2(x >0)恒成立，所以a ≥0，故实数a 的取值范围为[0，＋∞)．故选D.3．(创新型)(2019·黑龙江伊春质检)曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋8＝0的最短距离是________．解析：设M (x 0，ln(2x 0－1))为曲线上的任意一点，则曲线在M 点处的切线与直线2x －y ＋8＝0平行时，M 点到直线的距离即为曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋8＝0的最短距离．因为y ′＝22x －1，所以22x 0－1＝2，解得x 0＝1，所以M (1，0)．记点M 到直线2x －y ＋8＝0的距离为d ，则d ＝|2＋8|4＋1＝2 5.答案：2 54．设有抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限．(1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标．解：(1)由题意得，y ′＝－2x ＋92.设点P 的坐标为(x 1，y 1)，则y 1＝kx 1，①y 1＝－x 21＋92x 1－4，②－2x 1＋92＝k ，③联立①②③得，x 1＝2，x 2＝－2(舍去)．所以k ＝12.(2)过P 点作切线的垂线，其方程为y ＝－2x ＋5.④ 将④代入抛物线方程得，x 2－132x ＋9＝0.设Q 点的坐标为(x 2，y 2)，则2x 2＝9，所以x 2＝92，y 2＝－4.所以Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫92，－4. 5．(2019·福州质检)设函数f (x )＝ax －bx，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x2，知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋3x20(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0，2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.。

2020年高考数学一轮复习考点13变化率与导数导数的运算必刷题理含解析

考点13 变化率与导数、导数的运算1、已知函数y ＝f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程x －2y ＋1＝0，则f (1)＋2f ′(1)的值是( ) A.12 B ．1 C ．32 D ．2【答案】D【解析】∵函数y ＝f (x )的图象在点(1, f (1))处的切线方程是x －2y ＋1＝0，∴f (1)＝1,f ′(1)＝12.∴f (1)＋2f ′(1)＝2.故选D.2、曲线y ＝sin x ＋e x在点(0,1)处的切线方程是( ) A ．x －3y ＋3＝0 B ．x －2y ＋2＝0 C ．2x －y ＋1＝0 D ．3x －y ＋1＝0【答案】C【解析】y ′＝cos x ＋e x，故切线斜率为k ＝2，切线方程为y ＝2x ＋1，即2x －y ＋1＝0. 3、.已知奇函数y=f (x )在区间(-∞,0]上的解析式为f (x )=x 2+x ,则曲线y=f (x )在横坐标为1的点处的切线方程是( ) A.x+y+1=0 B.x+y-1=0 C.3x-y-1=0 D.3x-y+1=0【答案】B【解析】由函数y=f (x )为奇函数,可得f (x )在[0,+∞)内的解析式为f (x )=-x 2+x ,故切点为(1,0).因为f'(x )=-2x+1, 所以f'(1)=-1, 故切线方程为y=-(x-1), 即x+y-1=0.4、已知函数f (x )＝sin x －cos x ，且f ′(x )＝12f (x )，则tan 2x 的值是( )A ．－23B ．－43C ．43D ．34【答案】D【解析】因为f ′(x )＝cos x ＋sin x ＝12sin x －12cos x ，所以tan x ＝－3，所以tan 2x＝2tan x 1－tan 2x ＝－61－9＝34.故选D. 5、过函数f (x )＝13x 3－x 2图像上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π4B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πD ．⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4 【答案】B【解析】设切线的倾斜角为α.由题意得k ＝f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，即k ＝tan α≥－1，解得0≤α<π2或3π4≤α<π，即切线倾斜角的范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.故选B.6、已知a 为实数,函数f (x )=x 3+ax 2+(a-3)x 的导函数为f'(x ),且f'(x )是偶函数,则曲线y=f (x )在原点处的切线方程为( )A.y=3x+1B.y=-3xC.y=-3x+1D.y=3x-3【答案】B【解析】因为f (x )=x 3+ax 2+(a-3)x ,所以f'(x )=3x 2+2ax+(a-3). 又f'(x )为偶函数,所以a=0,所以f (x )=x 3-3x ,f'(x )=3x 2-3.所以f'(0)=-3. 故所求的切线方程为y=-3x.7、已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( ) A ．－e B ．－1 C ．1 D ．e【答案】B【解析】由题可得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x，则f ′(1)＝2f ′(1)＋1，解得f ′(1)＝－1，所以选B.8、已知f ′(x )是f (x )＝sin x ＋a cos x 的导函数，且f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝24，则实数a 的值为( )A.23 B ．12 C ．34 D ．1【答案】B【解析】由题意可得f ′(x )＝cos x －a sin x ，则由f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝24可得22－22a ＝24，解得a ＝12.故选B.9、已知函数f (x )=x ln x ,若直线l 过点(0,-1),并且与曲线y=f (x )相切,则直线l 的方程为( ) A.x+y-1=0 B.x-y-1=0 C.x+y+1=0 D. x-y+1=0【答案】B【解析】设直线l 的方程为y=kx-1,直线l 与f (x )的图像相切于点(x 0,y 0), 则解得∴直线l 的方程为y=x-1,即x-y-1=0.10、已知曲线f (x )＝e 2x－2e x＋ax －1存在两条斜率为3的切线，则实数a 的取值范围是( ) A ．(3，＋∞) B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3，72 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，72 D ．(0,3)【答案】B【解析】由题得f ′(x )＝2e 2x－2e x ＋a ，则方程2e 2x －2e x＋a ＝3有两个不同的正解，令t ＝e x (t >0)，且g (t )＝2t 2－2t ＋a －3，则由图像可知，有g (0)>0且Δ>0，即a －3>0且4－8(a －3)>0，解得3<a <72.故选B.11、已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)的对称中心为M (x 0，y 0)，记函数f (x )的导函数为f ′(x )，f ′(x )的导函数为f ″(x )，则有f ″(x 0)＝0.若函数f (x )＝x 3－3x 2，则f ⎝⎛⎭⎪⎫12 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 017＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4 0322 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4 0332 017＝( )A ．－8 066B ．－4 033C ．8 066D ．4 033【答案】A【解析】由f (x )＝x 3－3x 2得f ′(x )＝3x 2－6x ，f ″(x )＝6x －6，又f ″(x 0)＝0，所以x 0＝1且f (1)＝－2，即函数f (x )的对称中心为(1，－2)，即f (x )＋f (2－x )＝－4.令S ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫12 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 017＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4 0322 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4 0332 017，则S ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4 0332 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4 0322 017＋…＋f ⎝⎛⎭⎪⎫32 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 017，所以2S ＝4 033×(－4)＝－16 132，S ＝－8 066.12、已知函数f (x )＝ln x ＋tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2的导函数为f ′(x )，若使得f ′(x 0)＝f (x 0)成立的x 0满足x 0<1，则α的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，π4B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2C.⎝⎛⎭⎪⎫π6，π4D ．⎝⎛⎭⎪⎫0，π3【答案】B【解析】∵f ′(x )＝1x ，∴f ′(x 0)＝1x 0，由f ′(x 0)＝f (x 0)，得1x 0＝ln x 0＋tan α，∴tanα＝1x 0－ln x 0.又0<x 0<1，∴1x 0－ln x 0>1，即tan α>1，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.故选B.13、已知函数f (x )=e x ln x ,f'(x )为f (x )的导函数,则f'(1)的值为 . 【答案】e【解析】∵f (x )=e x ln x ,∴f'(x )=e x ln x+.∴f'(1)=eln 1+=e .14、已知直线y ＝－x ＋1是函数f (x )＝－1a·e x图象的切线，则实数a ＝________.【答案】e 2【解析】设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝－1a ·e x 0＝－1，∴e x 0＝a ，又－1a·e x 0＝－x 0＋1，∴x 0＝2，∴a ＝e 2.15、已知函数f (x )=x++b (x ≠0)在点(1,f (1))处的切线方程为y=2x+5,则a-b= . 【答案】-8 【解析】∵f'(x )=1-=,∴f'(1)=1-a=2,∴a=-1,f (1)=1+a+b=b , ∴在点(1,f (1))处的切线方程为y-b=2(x-1), ∴b-2=5,b=7,∴a-b=-8.16、已知f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝________. 【答案】－3π【解析】f ′(x )＝－sin x ·x －cos x x 2，当x ＝π2时，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－2π，又f (π)＝－1π，所以f (π)＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－3π. 17、函数f (x )=x e x 的图像在点(1,f (1))处的切线方程是 . 【答案】y=2e x-e【解析】∵f (x )=x e x ,∴f (1)=e,f'(x )=e x +x e x ,∴f'(1)=2e,∴f (x )的图像在点(1,f (1))处的切线方程为y-e =2e(x-1),即y=2e x-e .18、已知a 为常数，若曲线y ＝ax 2＋3x －ln x 上存在与直线x ＋y －1＝0垂直的切线，则实数a 的取值范围是________．【答案】⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞【解析】由题意知曲线的切线斜率为1，所以y ′＝2ax ＋3－1x＝1有正根，即2ax 2＋2x －1＝0有正根．当a ≥0时，显然满足题意；当a ＜0时，需满足Δ≥0，解得－12≤a ＜0.综上，a ≥－12.19、若函数f (x )= x 2-ax+ln x 存在垂直于y 轴的切线,则实数a 的取值范围是 . 【答案】[2,+∞)【解析】∵f (x )= x 2-ax+ln x ,∴f'(x )=x-a+.∵f (x )的图像存在垂直于y 轴的切线, ∴f'(x )存在零点, ∴x+-a=0有解, ∴a=x+≥2(x>0).20、直线y=(ax+1)e x在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a= . 【答案】-3【解析】设f (x )=(ax+1)e x ,∵f'(x )=a·e x +(ax+1)e x =(ax+a+1)e x ,∴f(x)=(ax+1)e x在点(0,1)处的切线斜率k=f'(0)=a+1=-2,∴a=-3.21、已知函数f(x)＝x3－x.(1)求曲线y＝f(x)在点M(1,0)处的切线方程；(2)如果过点(1，b)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数b的取值范围．【答案】(1) 2x－y－2＝0 (2) (－1,0)【解析】(1)f′(x)＝3x2－1，∴f′(1)＝2.故切线方程为y－0＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.(2)设切点为(x0，x30－x0)，则切线方程为y－(x30－x0)＝f′(x0)(x－x0)．又切线过点(1，b)，所以(3x20－1)(1－x0)＋x30－x0＝b，即2x30－3x20＋b＋1＝0.由题意，上述关于x0的方程有三个不同的实数解．记g(x)＝2x3－3x2＋b＋1，则g(x)有三个不同的零点，而g′(x)＝6x(x－1)，令g′(x)＝0得x＝0或x＝1，则结合图像可知g(0)g(1)<0即可，可得b∈(－1,0)．。

2020版高考数学一轮复习第三章第一节变化率与导数、导数的计算精练文

第一节变化率与导数、导数的计算A 组基础题组1.已知曲线y=x 24-3ln x 的一条切线的斜率为12,则切点的横坐标为( )A.3B.2C.1D.12答案 A 由题意知y'=x 2-3x =12(x>0),解得x=3,即切点的横坐标为3.2.已知函数f(x)的图象如图, f '(x)是f(x)的导函数,则下列数值排序正确的是( )A.0<f '(2)<f '(3)<f(3)-f(2)B.0<f '(3)<f '(2)<f(3)-f(2)C.0<f '(3)<f(3)-f(2)<f '(2)D.0<f(3)-f(2)<f '(2)<f '(3) 答案 C f(3)-f(2)可写为x (3)-x (2)3-2,表示过点(2, f(2)),(3, f(3))连线的斜率, f '(2), f '(3)分别表示曲线f(x)在点(2, f(2)),(3, f(3))处切线的斜率,设过点(2, f(2)),(3, f(3))的直线为m,曲线在点(2, f(2)),(3, f(3))处的切线分别为l,n,画出它们的图象,如图:由图可知0<k n <k m <k l ,故0<f '(3)<f(3)-f(2)<f '(2),故选C.3.设点P 是曲线y=x 3-√3x+23上的任意一点,则曲线在点P 处切线的倾斜角α的取值范围为( )A.[0,π2)∪[5π6,π) B.[2π3,π)C.[0,π2)∪[2π3,π)D.(π2,5π6]答案 C 因为y'=3x 2-√3≥-√3,故切线的斜率k≥-√3,所以切线的倾斜角α的取值范围是[0,π2)∪[2π3,π).4.已知f 1(x)=sin x+cos x, f n+1(x)是 f n (x)的导函数,即f 2(x)=f '1(x), f 3(x)=f '2(x),……, f n+1(x)= f 'n (x),n∈N *,则f 2 018(x)=( ) A.-sin x-cos x B.sin x-cos x C.-sin x+cos xD.sin x+cos x答案 C f 2(x)=f '1(x)=cos x-sin x; f 3(x)=f '2(x)=-sin x-cos x; f 4(x)=f '3(x)=-cos x+sin x;f 5(x)=f '4(x)=sin x+cos x,……,则f n (x)的周期为4, 即f n (x)=f n+4(x). 因为2 018=504×4+2,所以f 2 018(x)=f 2(x)=-sin x+cos x,故选C.5.(2018课标全国Ⅲ,14,5分)曲线y=(ax+1)e x在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a= . 答案 -3解析本题考查导数的综合应用.设f(x)=(ax+1)e x,则f '(x)=(ax+a+1)e x,所以曲线在点(0,1)处的切线的斜率k=f '(0)=a+1=-2,解得a=-3. 6.(2019湖北宜昌联考)已知f '(x)是函数f(x)的导数f(x)=f '(1)·2x+x 2,则f'(2)= . 答案41-2ln2解析易知f '(x)=f '(1)·2xln 2+2x,所以f '(1)=f '(1)·2ln 2+2,解得f '(1)=21-2ln2,所以f '(x)=21-2ln2·2xln 2+2x,所以f '(2)=21-2ln2×22ln 2+2×2=41-2ln2.7.若曲线f(x)=xsin x+1在x=π2处的切线与直线ax+2y+1=0相互垂直,则实数a= .答案 2解析因为f '(x)=sin x+xcos,所以f '(π2)=sin π2+π2·cos π2=1.又直线ax+2y+1=0的斜率为-x2,所以1×(-x 2)=-1,解得a=2.8.(2019湖南长沙模拟)已知函数f(x)=x 3+x-16. (1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线方程;(2)直线l 为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l 的方程及切点坐标; (3)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-14x+3垂直,求切点坐标与切线方程.解析 (1)可知点(2,-6)在曲线y=f(x)上. 因为f '(x)=(x 3+x-16)'=3x 2+1,所以f(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为f '(2)=13, 所以切线的方程为y+6=13(x-2), 即y=13x-32.(2)设切点坐标为(x 0,y 0),则直线l 的斜率为f '(x 0)=3x 02+1, 所以直线l 的方程为y=(3x 02+1)(x-x 0)+x 03+x 0-16,因为直线l 过原点,所以0=(3x 02+1)(0-x 0)+x 03+x 0-16,整理得,x 03=-8,所以x 0=-2, 所以y 0=(-2)3+(-2)-16=-26, f '(x 0)=3×(-2)2+1=13.所以直线l 的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26). (3)因为切线与直线y=-14x+3垂直, 所以切线的斜率k=4. 设切点的坐标为(x 0,y 0),则f '(x 0)=3x 02+1=4,所以x 0=±1. 所以{x 0=1,x 0=-14或{x 0=-1,x 0=-18,即切点坐标为(1,-14)或(-1,-18), 切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18, 即y=4x-18或y=4x-14.9.已知函数f(x)=x 3+(1-a)x 2-a(a+2)x+b(a,b∈R).(1)若函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率为-3,求a,b 的值; (2)若曲线y=f(x)存在两条垂直于y 轴的切线,求a 的取值范围. 解析 f '(x)=3x 2+2(1-a)x-a(a+2). (1)由题意得{x (0)=x =0,x '(0)=-x (x +2)=-3,解得{x =0,x =-3或x =1.(2)因为曲线y=f(x)存在两条垂直于y 轴的切线,所以关于x 的方程f '(x)=3x 2+2(1-a)x-a(a+2)=0有两个不相等的实数根, 所以Δ=4(1-a)2+12a(a+2)>0, 即4a 2+4a+1>0,所以a≠-12.所以a 的取值范围是(-∞,-12)∪(-12,+∞).B 组提升题组1.已知f(x)=acos x,g(x)=x 2+bx+1,若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在交点(0,m)处有公切线,则a+b=( ) A.-1 B.0C.1D.2答案 C 依题意得, f '(x)=-asin x,g'(x)=2x+b, f '(0)=g'(0),∴-asin 0=2×0+b,故b=0,∵m=f(0)=g(0),∴m=a=1,因此a+b=1,故选C.2.已知f(x)为偶函数,当x≤0时, f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是.答案y=2x解析当x>0时,-x<0,∴f(-x)=e x-1+x,∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),∴f(x)=e x-1+x(x>0),∴f '(x)=e x-1+1(x>0), ∴f '(1)=2,故曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是y-2=f '(1)·(x-1),即y=2x.3.已知函数f(x)=ax3+3x2-6ax-11,g(x)=3x2+6x+12和直线m:y=kx+9,且f '(-1)=0.(1)求a的值;(2)是否存在k,使直线m既是曲线y=f(x)的切线,又是曲线y=g(x)的切线?如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由.解析(1)由已知得f '(x)=3ax2+6x-6a,因为f '(-1)=0,所以3a-6-6a=0,所以a=-2.(2)存在.理由如下:由已知得,直线m恒过定点(0,9),若直线m是曲线y=g(x)的切线,则设切点为(x0,3x02+6x0+12).因为g'(x0)=6x0+6,所以切线方程为y-(3x02+6x0+12)=(6x0+6)(x-x0),将(0,9)代入切线方程,解得x0=±1.当x0=-1时,切线方程为y=9;当x0=1时,切线方程为y=12x+9.由(1)知f(x)=-2x3+3x2+12x-11,①由f '(x)=0得-6x2+6x+12=0,解得x=-1或x=2.在x=-1处,y=f(x)的切线方程为y=-18,在x=2处,y=f(x)的切线方程为y=9,所以y=f(x)与y=g(x)的公切线是y=9.②由f '(x)=12得-6x2+6x+12=12,解得x=0或x=1.在x=0处,y=f(x)的切线方程为y=12x-11,在x=1处,y=f(x)的切线方程为y=12x-10,所以y=f(x)与y=g(x)的公切线不是y=12x+9.综上所述,y=f(x)与y=g(x)的公切线是y=9,此时k=0.。

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专题3.1 变化率与导数、导数的计算1．（黑龙江省哈尔滨市第六中学2018-2019学年期中）设()ln f x x =，若0()3f x '=，则0x =（）A ．3eB ．3C ．13D ．ln 3 【答案】C【解析】()'1ln ()f x x f x x=⇒=,()03f x '=001133x x ⇒=⇒=，故本题选C. 2．（湖南省湘潭市2018-2019年度期末）设函数()31f x ax =+，若()'13f =，则a 的值为()A ．0B ．1C ．2D ．4【答案】B 【解析】函数()31f x ax =+，()2'3f x ax ∴=， ()'13f =，33a ∴=，即1a =，故选B 。

3．（福建省宁德市一中2018-2019学年期中）函数()()22sin f x ex x =+的导数是（） A ．()'4cos f x ex x =+ B ．()'4cos f x ex x =- C ．()2'8cos f x e x x =+D ．()2'8cos f x e x x =-【答案】C【解析】根据题意，()()2222sin 4sin f x ex x e x x =+=+，其导数()()()222'4'sin '8cos f x e xx e x x =+=+，故选C 。

4．（甘肃省武威第一中学2018-2019学年月考）函数()ln f x x x =在点1x =处的切线斜率为（）A ．-1B ．0C ．1D ．2【答案】C【解析】函数()ln f x x x =，求导得()ln 1f x x ='+.所以()11f '=，即函数()ln f x x x =在点1x =处的切线斜率为1，故选C 。

5．（江西省临川第一中学2018-2019学年月考）直线1y kx =+与曲线3y x ax b =++相切于点()13A ，，则k 的值等于( )A ．2B ．1-C ．1D ．2-【答案】A【解析】因为直线1y kx =+与曲线3y x ax b =++相切于点(1,3)A ，所以直线1y kx =+经过点(1,3)A ，312k k ∴=+⇒=，故本题选A 。

6．（贵州省铜仁市第一中学2018-2019学年期中）曲线ln y x =在点A 处的切线与直线10x y -+=平行，则点A 的坐标为（）A ．1e （，）B ．10（，）C ．1(,1)e- D ．2(,2)e【答案】B【解析】设A 点的坐标为00(,ln )x x ，0011ln x x y x y k y xx ==⇒='⇒='=，由题意可知，切线与直线10x y -+=平行，所以00111x x =⇒=，所以点A 的坐标为(1,0)，故本题选B 。

7．（云南省师范大学附属中学2019届高三模拟）设()f x 是(,0)(0,)-∞+∞上的偶函数，当0x >时，2()f x x x =-，则()f x 在(1,(1))f --处的切线方程为（）A ．01=--y xB ．10x y +-=C ．10x y -+=D ．10x y ++=【答案】D【解析】由()f x 是(,0)(0,)-∞+∞上的偶函数得，当0x <时，22()()()()f x f x x x x x =-=---=+，则'()21f x x =+，'(1)1f -=-，(1)0f -=，故()f x 在(1,(1))f --处的切线方程为0(1)y x -=-+，即10x y ++=，故选D 。

8．（内蒙古集宁一中2018-2019学年期中）函数()sin f x x x =的图像在点33,22f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线的倾斜角为（）A ．6πB ．4πC ．34π D ．56π 【答案】C【解析】()sin cos f x x x x '=+，3333()sin cos 12222f ππππ'=+=- 由导数的几何意义可知，切线的斜率1k =-，设切线的倾斜角为α，即tan 1α=-，所以34πα=，故选C 。

9．（黑龙江省大庆市铁人中学2018-2019学年期末）如图，()y f x =是可导函数，直线:2l y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线，令()()g x xf x =，'()g x 是()g x 的导函数，则'(3)g =（）．A ．－1B ．0C ．2D ．4【答案】B【解析】将点()3,1代入直线2y kx =+的方程得321k +=，得13k =-，所以，()133f k '==-，由于点()3,1在函数()y f x =的图象上，则()31f =，对函数()()g x xf x =求导得()()()g x f x xf x ''=+，()()()133331303g f f ⎛⎫''∴=+=+⨯-= ⎪⎝⎭，故选B 。

10．（福建省莆田市莆田第八中学2018-2019学年期末）已知函数()f x 的导函数为()f x '且满足()()21ln f x x f x '=⋅+，则1f e ⎛⎫'= ⎪⎝⎭（）A ．12e- B ．2e - C ．1-D ．e【答案】B【解析】由题意得：()()121f x f x''=+令1x =得：()()1211f f ''=+，解得：()11f '=-()12f x x '∴=-+12f e e ⎛⎫'∴=- ⎪⎝⎭，本题选B 。

11.（湖北省华中师范大学第一附属中学2018-2019学年期中）设0()sin f x x =，10()()f x f x '=，21()()f x f x '=，…，1()()n n f x f x +'=，n N ∈，则2019()f x =( )A ．sin x -B ．sin xC ．cos x -D ．1cos cos 4B C ⋅=【答案】C【解析】()1cos f x x =，()2sin f x x =-，()3cos f x x =-，()4sin f x x =，因此()()433cos t f x f x x +==-，故()()()2019450433cos f x f x f x x ⨯+===-，故选C 。

12．（江西省赣州市2018-2019学年期末）设函数()f x 在R 上可导，()()2121f x x f x '=-+，则()22f a a -+与()1f 的大小关系是（）A ．()()221f a a f -+>B ．()()221f a a f -++C ．()()221f a a f -+< D ．不确定【答案】A【解析】由题意，()()212f x f x ''=-，则()()1212f f ''=-，可得()12f '=，则()2221f x x x =-+，由二次函数性质可知，函数()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，因为2217121242a a a ⎛⎫-+=-+>> ⎪⎝⎭，所以()()221f a a f -+>，故答案为A 。

13．（2019年湖南省娄底市高三模拟）已知函数34(x)sin 1xf x x e =+++，其导函数为'()f x ，则(2020)'(2020)(2020)'(2020)f f f f ++---的值为（）A ．4040B ．4C ．2D ．0【答案】B【解析】函数34(x)sin 1x f x x e =++⇒+()()44411x x x e f x f x e e +-=+=++， ()()224'3cos 1xxe f x x x e=-+++，()()''0f x f x --=，(2020)'(2020)(2020)'(2020)=4f f f f ++---，故答案选B 。

14．（河南省郑州市第一中学2018-2019学年模拟）曲线1x y xe -=在点(1,1)处切线的斜率为（）A ．eB ．2eC ．1D ．2【答案】D【解析】因为1x y xe-=，所以1100+12x x e y exe k e --∴=+⨯=='，故选D 。

15．（河南省豫西名校2018-2019学年第一次联考）已知函数()f x 在0x 处的导数为()0f x '，则()()000limx f x m x f x x∆→-∆-∆等于（）A ．()0mf x 'B ．()0-mf x 'C ．()01-f x m' D ．()01f x m' 【答案】B 【解析】()y f x =在0x x =处的导数为()0f x '，所以()()000limx f x m x f x x ∆→-∆-∆()()()0000lim'm x f x m x f x m mf x m x-∆→-∆-=-=--∆，故选B.16．（河南省新乡市2019届高三模拟）若曲线nx x y e =在点11,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线的斜率为4e ，则n =（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】()12n x n xxnx e x e y e -'-=由题导函数为，114x n y e e=-∴=='， 5.n ∴= 故选D 。

17．（广东省佛山市2019届教学质量检测）若曲线xy e =在0x =处的切线，也是ln y x b=+的切线，则b =（）A ．1-B ．1C ．2D ．e【答案】C【解析】函数xy e =的导数为y '＝e x ，曲线xy e =在x ＝0处的切线斜率为k ＝0e =1，则曲线xy e =在x ＝0处的切线方程为y ﹣1＝x ；函数ln y x b =+的导数为y '＝1x ，设切点为（m ，n ），则1m＝1，解得m ＝1，n ＝2，即有2＝ln1+b ，解得b ＝2．故选C 。

18．（安徽省六安市毛坦厂中学2019届联考）曲线()ln f x a x =在点()(),P e f e 处的切线经过点()1,1--，则a 的值为（）A ．1B ．2C ．eD ．2e【答案】C【解析】因为()ln f x a x =，所以()´af x x=，故()´afe e =，又()f e a =，所以曲线()ln f x a x =在点()(),P e f e 处的切线方程为()y aa x e e-=-，又该切线过点()1,1--，所以1a a a e--=--，解得a e =，故选C 。