备战高考技巧大全之高中数学黄金解题模板：专题32 不等式的证明技巧答案解析
高考数学中常规的不等式证明思路及技巧
高考数学中常规的不等式证明思路及技巧数学是高考中必不可少的一门科目，而数学中的不等式证明题目更是高考难点之一。
不等式证明题目考察的是学生的推理能力、逻辑思维能力和精准计算能力。
本文将介绍常见的不等式证明思路及技巧，以帮助高中生更好地应对高考数学中的不等式证明题目。
一、利用已知条件推出结论在不等式证明题目中，往往会给出一些已知条件，利用这些条件我们可以推出某个结论，从而间接证明不等式的正确性。
在做题时，我们应该把题目中的已知条件先作出标注，理清思路后再进行推导。
例如：给定实数 $x$，$y$，$z$，满足 $x^2+y^2+z^2=1$，求证：$x+y+z\leq \sqrt{3}$。
解析：首先，我们可以根据均值不等式得出 $x+y+z\leq\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}$。
接下来，根据题目中的条件$x^2+y^2+z^2=1$，我们可以将被开方量化简为 $\sqrt{3}$，从而得到 $x+y+z\leq \sqrt{3}$。
因此，我们成功地证明了该不等式的正确性。
二、借助已知不等式证明目标不等式借助已知不等式间接证明目标不等式的正确性是不等式证明中最常用的方法之一。
这种方法需要对不等式理解深入，需要对不等式的性质有全面认知。
可以通过加、减、乘、除等运算方式进行变形，或者通过引理证明的方式来证明目标不等式的正确性。
例如：已知 $ab+bc+ca=1$，证明$\dfrac{a}{1+b^2}+\dfrac{b}{1+c^2}+\dfrac{c}{1+a^2}\geq\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$。
解析：首先，我们可以通过柯西不等式将原不等式中的多项式化成分数进行求解。
具体而言，我们有：$$\begin{aligned}&\dfrac{a}{1+b^2}+\dfrac{b}{1+c^2}+\dfrac{c}{1+a^2}\\ &\geq\dfrac{(a+b+c)^2}{a+ab^2+b+b^2c+c+c^2a+a^2}\\ &\geq\dfrac{3}{\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+1}\\ &\geq\dfrac{3}{\sqrt[4]{\dfrac{abc}{abc}}+1}\\ &=\dfrac{3}{2}\end{aligned}$$由此，我们可以通过制定合适的策略，借助已知不等式成功证明了目标不等式的正确性。
不等式的证明技巧
不等式的证明技巧不等式是数学中常见的一种重要的数学关系。
证明一个不等式一般有以下几种常用的技巧：1.分析前提条件：首先，我们需要对不等式中的前提条件进行仔细的分析，了解这些条件约束下的数学性质。
在证明过程中，有时可以通过对前提条件的适当利用来简化证明过程，或者削弱不等式的限制，使得问题更容易处理。
2.求导和函数分析：对于一些关于函数的不等式，我们可以通过函数的导数来进行分析。
在求导的过程中，我们可以得到函数的最大值、最小值以及增减性质等重要的信息。
根据这些信息，我们可以判断函数的取值范围和不等式的成立条件。
3.数学归纳法：对于一些具有递推性质的不等式，可以使用数学归纳法进行证明。
首先，我们可以验证当n=1时不等式的成立，然后假设对于一些n成立，即不等式成立，再通过证明当n+1时也成立来得出结论。
4.分割法：对于一些含有多个变量的不等式，我们可以通过分割法将问题转化为多个单变量的不等式进行分析。
通过分析这些单变量的不等式，可以帮助我们更好地理解原始不等式的性质和结论。
5.套用已知不等式：在证明过程中，我们可以尝试将一些已知的不等式进行变形运用。
通过套用已知的不等式，可以简化证明过程，加快解题速度。
尤其是一些经典的不等式如均值不等式、柯西-施瓦茨不等式等，它们已经被广泛研究和应用，具有较强的普适性。
6.代入与化简：有时我们可以通过代入一些特殊的数值或者特定的变量取值，使得不等式变得更简单。
这样可以进一步分析不等式的性质，加深对问题本质的理解，从而得出证明结论。
7.反证法：给定一个不等式，我们假设其不成立，然后通过一系列逻辑推导和推理来推导出矛盾的结论。
这时我们可以得出原不等式的成立。
总之，证明不等式需要深入理解数学性质和灵活的数学思维。
结合前述的证明技巧，可以帮助我们更好地解决不等式问题。
最重要的是，需要积极锻炼数学证明的能力，通过练习和实践才能够提高。
【技巧题型】不等式题目的七种证明方法
【技巧题型】不等式题目的七种证明方法高考的题目中，有80%都是中低档难度，也就是说，要想脱颖而出成为佼佼者，压轴题是无论如何都要攻克的难关！压轴题目一般是开放型的题目，每年都是会变化。
但大概率题目是函数、数列、圆锥曲线、不等式等知识的综合问题。
今天，我就来总结一下不等式的证明方法。
1比较法所谓比较法，就是通过两个实数a与b的差或商的符号（范围）确定a与b大小关系的方法，即通过来确定a,b大小关系的方法。
前者为作差法，后者为作商法。
但要注意作差法适用范围较广；作商法再用时注意符号问题，如果同为正的话是没有问题的，同为负的话记得改变不等式的符号。
2分析法和综合这两个方法我们一般会一起使用。
分析法是从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题。
如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。
综合法是从已知或证明过的不等式出发，根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式。
我们来看一个例题，已知如果要用综合法或者分析法的话，对于过程上需要写明，即证，所以要证，也就是说，即等价于……一些转化的语句来过渡我们的题目。
当然这两个方法我们经常一起用，因为分析完条件，分析结论，两个一起分析做题速度更快一些呢。
3反证法从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的。
这个方法其实是按照集合的补集理论来的，正难则反，但是要注意用反证法证明不等式时，必须将命题结论的反面的各种情形都要考虑到，不能少的。
反证法证明一个命题的思路及步骤：1）假定命题的结论不成立；2）进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾;3）由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的; 4）肯定原来命题的结论是正确的。
4放缩法在证明过程中,利用不等式的传递性,作适当的放大或缩小,证明有更好的不等式来代替原不等式。
高考利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧
利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧不等式的证明问题是高中数学的一个难点，证明不等式的方法技巧性强，并且各类不等式的证明没有通性解法。
一、简单作差（商）法方法：．要证明对任意∈x [b a ,]都有)()(x g x f ≤，可设)()()(x g x f x h -=，只要利用导数说明)(x h 在[b a ,]上的最大值为0即可．利用导数证明不等式要考虑构造新的函数，利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明问题 例1、证明下列不等式：①1+≥x e x ②1ln -≤x x ③xx 1-1ln ≥ ④1x 1)-2(x ln +≥x )1(≥x ⑤)2,0(,2sin ππ∈>x x x例2已知函数.ln 21)(2x x x f +=求证：在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数332)(x x g =的图象的下方；二、换元后作差构造函数证明【例3】（山东卷）证明：对任意的正整数n ，不等式3211)11ln(nn n ->+ 都成立.提示：令则,1nt =构造0)1ln()(32>+-+=t t t x f例4已知：)0(∞+∈x ，求证xx x x 11ln 11<+<+；（换元：设x x t 1+=）三、利用max min )()(x g x f ≥证明不等式 例1、已知函数.22)(),,(,ln )1(1)(ex e x g R b a x a b x ax x f +-=∈+-+-= （1）若函数2)(=x x f 在处取得极小值0，求b a ,的值；（2）在（1）的条件下，求证：对任意的],[,221e e x x ∈，总有)()(21x g x f >.例2：证明：对一切),0(+∞∈x ，都有exe x x 21ln ->成立.含有两个变量的不等式常有两种题型，即根据两个变量是否能分离将题型分为可分离变量式和不可分离变量式，对于这两种采用不同的方法，请注意区别。
高中数学知识点精讲精析 不等式的证明
4 不等式的证明1. 比较法证明不等式是最基本的方法也是最常用的方法。
比较法的两种形式： （1）比差法：步骤是：①作差；②分解因式或配方；③判断差式符号； （2）比商法：要证a>b 且b>0，只须证>ba1。
说明：①作差比较法证明不等式时，通常是进行通分、因式分解或配方，利用各因式的符号或非负数的性质进行判断；②证幂、乘积的不等式时常用比商法，证对数不等式时常用比差法。
运用比商法时必须确定两式的符号；2. 综合法：利用某些已经证明过的不等式（如均值不等式，常用不等式，函数单调性）作为基础，再运用不等式的性质推导出所要证的不等式的方法。
3. 分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。
这种证明方法叫做分析法。
要注意书写的格式, 综合法是分析法的逆过程4．对较复杂的不等式先用分析法探求证明途径，再用综合法,或比较法加以证明。
5. 要掌握证明不等式的常用方法，此外还要记住一些常用不等式的形式特点,运用条件,等号、不等号成立的条件等。
1.反证法：正难则反. 否定结论，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论正确。
2.放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小,利用不等式的传递性证 明不等式. 常用的放缩手法有：①添加或舍去一些项，如：a a >+12；n n n >+)1(； ②将分子或分母放大（或缩小）③利用基本不等式，绝对值不等式,a 2≥0等; ④若a>b>0,m>0,则b b ma a m+<+. 3.换元法：换元的目的是减少不等式中的变量，或者化繁为简.常用的换元有三角换元和代数换元.换元法必须注意新变元的取值范围.4.构造法：通过构造函数、方程或几何图形,利用相关知识来证明不等式；5.数学归纳法法:证明与正整数有关的不等式6.利用函数的单调性.利用单调函数中自变量大小与函数值之间的联系.要特别重视这种方法,因为高考中常把不等式综合在函数、数列或其它数学问题之中。
怎样解答不等式证明问题
本题若从正面入手，需讨论三种情况：（1）a2+a<2
成立，b2+b<2 不成立；（2）a2+a<2 不成立，b2+b<2 成立；
（3）a2+a<2 不成立，b2+b<2 不成立，解题的过程较为复
杂.而采用反证法求解，只需从问题的反面着手，重点
讨论一种情况：a2+a<2 与 b2+b<2 同时成立，再利用基
本不等式便可证明结论.
三、判别式法
判别式法常用于解答一元二次方程问题.对于一
元二次不等式问题，我们可根据题意构造一元二次方
程，根据方程有解得出判别式△≥0，这样便建立新的
不等式，从而证明结论.
例 3. 已 知 a + b + c = 1，a2 + b2 + c2 = 1，且 a > b > c，
证明：-
实数根.
因为 a > b > c，因此这个方程的不等实根均大于 c，
令 f (x) = x2 -(1 - c)x + c2 - c，
ìΔ > 0，
那么
íïï1
ïï î
f
2
c
>
c，解得
(c) > 0，
-
1 3
<
c
<
0.
我们根据已知条件构造出关于 x 的一元二次方
程，将 a、b 看作方程的两根，再根据根的取值范围，讨
角函数式，借助三角函数的有界性证明结论.在换元的
过程中，要注意确保定义域的等价性，并用 θ 的范围
来限制不等式的取值.
例 1.若 a2 + b2 ≤4，证明：|3a2 - 8ab - 3b2| ≤20.
高考数学压轴百日冲刺快速提分秘籍 不等式的证明技巧.doc
高考数学压轴百日冲刺快速提分秘籍不等式的证明技巧【高考地位】证明数列不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的证明技巧。
这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地选择不等式的证明技巧. 在高考中常常以解答题出现，其试题难度属中高档题.【方法点评】方法一比较法使用情景：一般不等式证明解题模板：第一步通过两个实数a与b的差或商的符号（范围）确定a与b大小关系；第二步得出结论.考点：不等式的证明.方法二分析法使用情景：一般不等式证明解题模板：第一步从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件；第二步把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题；第三步如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立.考点：绝对值不等式的证明.方法三综合法使用情景：一般不等式证明解题模板：第一步从已知或证明过的不等式出发，逐步推出其必要条件；第二步根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式；第三步得出结论.考点：基本不等式证明不等式方法四放缩法使用情景：一般不等式证明解题模板：第一步根据已知找出其通项公式an=f(n)；第二步然后运用恰当的放缩法对通项进行放缩；第三步利用数列求和公式即可得出结论.考点：不等式的证明.方法五数学归纳法使用情景：对于含有n(n∈N)的不等式类型解题模板：第一步验证当n取第一个值时不等式成立；第二步当n取第一个值时不等式成立，如果使不等式在n=k(n∈N)时成立的假设下，还能证明不等式在n=k+1也成立；第三步这个不等式对n取第一个值以后的自然数都能成立得出结论.考点：数列与函数的综合；数列与不等式的综合.方法六换元法使用情景：对于一般的不等式证明解题模板：第一步恰当的换元，适当的引入参数；第二步利用已知求出新元的取值范围；第三步根据现有的不等式放缩法得出结论.。
高考数学中不等式的证明方法和技巧有哪些
高考数学中不等式的证明方法和技巧有哪些在高考数学中，不等式的证明是一个重要的考点，也是很多同学感到头疼的问题。
不等式的证明方法多种多样，需要我们灵活运用数学知识和思维方法。
下面，我们就来详细探讨一下高考数学中不等式的证明的一些常见方法和技巧。
一、比较法比较法是证明不等式最基本的方法之一，分为作差比较法和作商比较法。
作差比较法的基本步骤是：将两个式子作差，然后对差进行变形，判断差的正负性。
如果差大于零，则被减数大于减数；如果差小于零，则被减数小于减数。
例如，要证明 a ＞ b ，我们可以计算 a b ，然后通过因式分解、配方等方法将其变形为易于判断正负的形式。
作商比较法适用于两个正数比较大小。
将两个正数作商，然后与 1比较大小。
如果商大于 1，则被除数大于除数；如果商小于 1，则被除数小于除数。
比如，要证明 a ＞ b （a、b 均为正数），计算 a/b ，若 a/b ＞ 1 ，则 a ＞ b 。
二、综合法综合法是从已知条件出发，利用已知的定理、公式、性质等，经过逐步的逻辑推理，最后推导出所要证明的不等式。
例如，已知 a ＞ 0 ，b ＞ 0 ，且 a ＋ b ＝ 1 ，要证明 a^2 ＋b^2 ≥1/2 。
因为 a ＋ b ＝ 1 ，所以（a ＋ b)＾2 ＝ 1 ，即 a^2 ＋ 2ab ＋ b^2 ＝1 。
又因为2ab ≤ a^2 ＋ b^2 ，所以 a^2 ＋ b^2 ＋2ab ≤ 2(a^2 ＋ b^2) ，即1 ≤ 2(a^2 ＋ b^2) ，从而得出 a^2 ＋b^2 ≥ 1/2 。
三、分析法分析法是从要证明的不等式出发，逐步寻求使不等式成立的充分条件，直到所需条件为已知条件或明显成立的事实。
比如，要证明√a ＋√b ＜√（a ＋ b) （a ＞ 0 ，b ＞ 0 ）。
先将不等式移项得到√a ＋√b √（a ＋ b) ＜ 0 ，然后对其进行分析，逐步转化为易于证明的形式。
分析法的书写格式通常是“要证……，只需证……”。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【高考地位】证明数列不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的证明技巧。
这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地选择不等式的证明技巧. 在高考中常常以解答题出现，其试题难度属中高档题. 【方法点评】方法一 比较法使用情景：一般不等式证明解题模板：第一步 通过两个实数a 与b 的差或商的符号（范围）确定a 与b 大小关系； 第二步 得出结论.例1设实数,a b 满足a b ≠，求证：4422()a b ab a b +>+． 【答案】详见解析. 【解析】试题分析：作差，分解因式，配方，判断符号.试题解析：作差得442233()()()a b ab a b a a b b b a +-+=-+-33222()()()()a b a b a b a ab b =--=-++2223()[()]24b a b a b =-++．因为a b ≠，所以,a b 不同时为0，故223()024b a b ++>，2()0a b ->，所以2223()[()]024b a b a b -++>，即有4422()a b ab a b +>+．考点：不等式的证明.【点评】两个多项式的大小比较常用的两种方法是作差法和作商法. 【变式演练1】设0>>b a ，求证：a b b a b a b a >. 【答案】详见解析.考点：不等式的证明.使用情景：一般不等式证明解题模板：第一步 从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件； 第二步 把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题； 第三步 如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立. 例3设,,,3,a b c R ab bc ca +∈++≥证明：555322322322()()()9a b c a b c b c a c a b ++++++++≥。
【答案】原命题等价于333222()()9a b c a b c ++++≥，利用分析法。
【解析】【点评】运用分析法时，需积累一些解题经验，总结一些常规思路，这样可以克服无目的的乱碰，从而加强针对性，较快地探明解题途. 【变式演练2】已知：c a < c b <，求证：cabc b a 12<++. 【答案】应用分析法 【解析】试题分析：要使原不等式成立，只要：2221c ab c b a <⎪⎭⎫⎝⎛++只要22222422222a c abc b c c abc a b ++<++， 只要2222422a c b c c a b +<++， 只要222222()()0c a c b c a -+-<， 只要2222()()0a c c b --<， 由已知此不等式成立。
考点：绝对值不等式的证明.使用情景：一般不等式证明解题模板：第一步 从已知或证明过的不等式出发，逐步推出其必要条件； 第二步 根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式； 第三步 得出结论.例4 已知,a b R +∈，1a b +=，求证：221125()()2a b a b +++≥ 【答案】详见解析.【点评】其证明过程最关键的一步是连续利用两次基本不等式放缩得到所证的结果，但要特别注意的是两次不等式的放缩能否均取得到等号，需进行验证. 【变式演练3】已知,,,+∈a b c R 且1++=a b c ．证明： （Ⅰ）22213++≥a b c ； （Ⅱ）2221++≥a b c b c a．【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析 【解析】试题分析：（Ⅰ）可根据均值不等式：3a b c++≥进行证明，也可多次利用基本不等式222a b ab +≥进行证明，即222,a b ab +≥ 222,b c bc +≥ 222,c a ac +≥222222222,a b c ab bc ac ∴++≥++222222333222a b c a b c ab bc ac ∴++≥+++++22213a b c ∴++≥（Ⅱ）可多次利用基本不等式222a b ab +≥进行证明，即因为2222,2,2,a b c b a c b a c b c a+≥+≥+≥所以222222,a b c b c a a b c b c a+++++≥++即222,a b c a b c b c a ++≥++ 2221a b c b c a++≥ 试题解析：．解：（Ⅰ）222,a b ab +≥ 222,b c bc +≥ 222,c a ac +≥222222222,∴++≥++a b c ab bc ac222222333222∴++≥+++++a b c a b c ab bc ac 2()1=++=a b c22213∴++≥a b c ．（Ⅱ）因为2222,2,2,a b c b a c b a c b c a +≥+≥+≥所以222222,a b c b c a a b c b c a+++++≥++即222,a b c a b c b c a ++≥++ 2221a b c b c a++≥ 考点：基本不等式证明不等式方法四 放缩法使用情景：一般不等式证明解题模板：第一步 根据已知找出其通项公式()n a f n =； 第二步 然后运用恰当的放缩法对通项进行放缩； 第三步 利用数列求和公式即可得出结论.例5 设.)1(3221+++⋅+⋅=n n S n 求证.2)1(2)1(2+<<+n S n n n【答案】详见解析.【点评】①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式2b a ab +≤，若放成1)1(+<+k k k 则得2)1(2)3)(1()1(21+>++=+<∑=n n n k S nk n ，就放过“度”了！②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里na a n a a a a a a nnnnn n22111111++≤++≤≤++ ，其中3,2=n 等的各式及其变式公式均可供选用。
例6 求证：)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N n nn nn∈+-<++++ .【答案】见解析.【变式演练4】求证：35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n .【答案】见解析.考点：放缩法；不等式的证明.【变式演练5】设a 、b 、c 是三角形的边长，求证3a b cb c a c a b a b c++≥+-+-+-.【答案】见解析.考点：放缩法；不等式的证明.【变式演练6】已知,,a b c 均为正数，证明：2222111a b c a b c ⎛⎫+++++ ⎪⎝⎭≥．【答案】证明见解析. 【解析】试题分析：不等式是对称式，特别是本题中不等式成立的条件是a b c ==143=，因此我们可以用基本不等式，注意对称式的应用，如222a b ab +≥，对应的有222b c bc +≥，222c a ca +≥，这样可得222a b c ab bc ca ++≥++①，同样方法可得222111111a b c ab bc ca ++≥++，因此有2111333()a b c ab bc ca++≥++②，①②相加，再应用基本不等式就可证明本题不等式了. 因为a ，b ，c 均为正数，由均值不等式得a 2＋b 2≥2ab ， b 2＋c 2≥2bc ， c 2＋a 2≥2ac ． 所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ．同理222111111a b c ab bc ca++≥++，故a 2＋b 2＋c 2＋2111()a b c ++≥ab ＋bc ＋ac ＋333ab bc ca++． 所以原不等式成立． 考点：不等式的证明.方法五 数学归纳法使用情景：对于含有)(N n n ∈的不等式类型解题模板：第一步 验证当n 取第一个值时不等式成立；第二步 当n 取第一个值时不等式成立，如果使不等式在)(N n k n ∈=时成立的假设下，还能证明不等式在1+=k n 时也成立；第三步 这个不等式对n 取第一个值以后的自然数都能成立得出结论. 例7 若),,3,2,1(0n i x i =>，观察下列不等式：4)11)((2121≥++x x x x ，9)111)((321321≥++++x x x x x x ，…，请你猜测)111)((2121nn x x x x x x ++++++ 将满足的不等式，并用数学归纳法加以证明。
【答案】（x 1+x 2+…+x n ）（）≥n 2（n≥2），证明见解析【解析】试题分析：根据不等式：（x 1+x 2）（）≥4，（x 1+x 2+x 3）（）≥9，…，可以猜测（x 1+x 2+…+x n ）（）≥n 2（n≥2），再用数学归纳法证明．显然，当1+=k n 时，结论成立。
由01,02知对于大于2的整数n ，22121)111)((n x x x x x x nn ≥++++++ 成立。
（12分）考点：用数学归纳法证明不等式.【点评】应用数学归纳法最关键的一步是当假设使不等式在)(N n k n ∈=时成立的假设下，如何证明不等式在1+=k n 时也成立. 考点：放缩法；不等式的证明. 【变式演练7】已知函数11()()(0)2f x x x x=+>，1()n n a f a +=，对于任意的*n N ∈，都有1n n a a +<.（1）求1a 的取值范围 （2）若132a =，证明：1112n n a +<+（*,2n N n ∈≥） （3）在（2）的条件下，证明：122311nn a a a n a a a ++++-<+【答案】（1）11a >；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【解析】（3）由111()()2n n n n a f a a a +==+，解得1n n a a +=+，变形得11n n a a +=+，又10n n a a +<<，所以11n n a a +-<，()g x=()g x 在(1,)+∞上递增，再通过放缩得11n n a a +-<，再依此为依据，进行累加即可得到原式是成立的. 试题解析：（1）由题得111()()2n n n na f a a a +==+ 1n n a a +<111()02n n n na a a a +∴-=-<恒成立 210n n a a -∴< 0n a > 1n a ∴>故：11a >②假设当(2)n k k =≥时，结论成立。