2011徐汇区高三一模数学(文理)有答案-理科答案
数学_2011年上海市某校高考数学模拟试卷(文科)_(含答案)
2011年上海市某校高考数学模拟试卷（文科）一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）1. 已知集合I ={0, 1, 2, 3, 4}，A ={0, 2, 3}，B ={1, 3, 4}，则∁I A ∩B =________．2. 设复数z 1=1−i ，z 2=−4−3i ，则z 1⋅z 2在复平面内对应的点位于第________象限．3. 函数y =lg3x−13−x的定义域为________．4. 一个四面体的所有棱长都是√2，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为________．5. 二项式(x +12x )8展开式中的常数项是________．6. 函数y =sin2x +√3cos2x ，x ∈[0, π]的单调递增区间是________．7. 阅读如图的程序框图，若输入m =4，n =6，则输出的a 等于________．8. 过点A(2, −3)且方向向量d →=(−1,2)的直线方程为________．9. 计算：limn →∞(1n 2+1+2n 2+1+⋯+n n 2+1)=________．10. 已知二次函数f(x)=ax 2+2x +c(x ∈R)的值域为[0, +∞)，则f(1)的最小值为________． 11. 设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a 、b ∈P ，都有a +b 、a −b 、ab 、ab ∈P （除数b ≠0）则称P 是一个数域，例如有理数集Q 是数域，有下列命题：①数域必含有0，1两个数； ②整数集是数域；③若有理数集Q ⊆M ，则数集M 必为数域； ④数域必为无限集．其中正确的命题的序号是________．（把你认为正确的命题的序号都填上）12.如图，若正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD 1与AD 所成角的大小是________（结果用反三角函数值表示）．13. 若矩阵A =[cos60∘−sin60∘sin60∘cos60∘]，B =[−12−√32√32−12]，则AB =________．14. 已知从装有n +1个球（其中n 个白球，1个黑球）的口袋中取出m 个球(0<m <n, n, m ∈N)，共有C n+1m 种取法．在这C n+1m种取法中，可以分成两类：一类是取出的m 个球全部为白球，另一类是取出一个黑球和(m −1)个白球，共有C 10C n m +C 11C n m−1种取法，即有等式C n m +C n m−1=C n+1m 成立．试根据上述思想，化简下列式子：C n m+C k 1C n m−1+C k 2C n m−2+...+C k k C n m−k =________．(1≤k <m ≤n, k, m, n ∈N)二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分） 15. “x(x −5)<0成立”是“|x −1|<4成立”的（ ）A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件16. 一组数据4，5，12，7，11，9，8，则下面叙述正确的是( )A 它们的中位数是7，总体均值是8B 它们的中位数是7，总体方差是52C 它们的中位数是8，总体方差是528D 它们的中位数是8，总体方差是52717. 已知函数f(x)＝sin(πx −π2)−1，则下列命题正确的是（ ）A f(x)是周期为1的奇函数B f(x)是周期为2的偶函数C f(x)是周期为1的非奇非偶函数D f(x)是周期为2的非奇非偶函数18. 在直角坐标系xoy 中，已知△ABC 的顶点A(−1, 0)和C(1, 0)，顶点B 在椭圆x 24+y 23=1上，则sinA+sinC sinB的值是（ ）A √32 B √3 C4 D 2三、解答题（共5小题，满分78分）19. 某工厂制造甲、乙两种家电产品，其中每件甲种家电需要在电器方面加工6小时，装配加工1小时，每件甲种家电的利润为200元；每件乙种家电需要在外壳配件方面加工5小时，在电器方面加工2小时，装配加工1小时，每件乙种家电的利润为100元．已知该工厂可用于外壳配件方面加工的能力为每天15小时，可用于电器方面加工的能力为每天24小时，可用于装配加工的能力为每天5小时．问该工厂每天制造两种家电各几件，可使获取的利润最大（设每天制造的家电件数为整数）． 20. 关于x 的不等式|x +a 21x|<0的解集为(−1, b)． （1）求实数a 、b 的值；（2）若z 1=a +bi ，z 2=cosα+isinα，且z 1z 2为纯虚数，求cos(2α−π3)的值． 21. 已知数列{a n }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 3a 6=55，a 2+a 7=16 （1）求数列{a n }的通项公式；（2）数列{a n}和数列{b n}满足等式a n=b12+b222+b323+⋯+b n2n(n∈N∗)，求数列{b n}的前n项和S n．22. 已知曲线C:x24+y2b2=1(b>0)．（1）曲线C经过点(√3，12)，求b的值；（2）动点(x, y)在曲线C，求x2+2y的最大值；（3）由曲线C的方程能否确定一个函数关系式y=f(x)？如能，写出解析式；如不能，再加什么条件就可使x、y间建立函数关系，并写出解析式．23. 已知函数f(x)=x+ax 的定义域为(0, +∞)，且f(2)=2+√22．设点P是函数图象上的任意一点，过点P分别作直线y=x和y轴的垂线，垂足分别为M、N．（1）求a的值．（2）问：|PM|⋅|PN|是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．（3）设O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值．2011年上海市某校高考数学模拟试卷（文科）答案1. {1, 4}2. 二3. (13，3)4. 3π5. 3586. [0,π12]∪[7π12,π]7. 128. 2x+y−1=09. 1210. 411. ①④12. arctan√513. [−100−1] 14. C n+km15. A 16. D 17. B 18. D19.解：设该工厂每天制造甲、乙两种家电分别为x 件、y 件，则W =2x +y （百元）满足{6x +2y ≤24x +y ≤55y ≤15xy 为非负整数可行域如右图：O(0, 0)、A(0, 3)、 B(2, 3)、C(72,32)、D(4, 0)可行域内还有如下一些整点E(3, 2)等 故当{x =3y =2或{x =4y =0时W max =8（百元） 工厂每天制造甲3件，乙2件或仅制造甲4件． 20. 解：（1）原不等式等价于(x +a)x −2<0， 即x 2+ax −2<0 由题意得，{−1+b =−a−1×b =−2解得a =−1，b =2．（2）z 1=−1+2i ，z 1z 2=(−cosα−2sinα)+i(2cosα−sinα) 若z 1z 2为纯虚数，则{cosα+2sinα=02cosα−sinα≠0，解得tanα=−12cos(2α−π3)=12cos2α+√32sin2α=12×1−tan 2α1+tan 2α+√32×2tanα1+tan 2α=3−4√310． 21. 解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，则依题意可知d >0由a 2+a 7=16， 得2a 1+7d =16①由a 3a 6=55，得(a 1+2d)(a 1+5d)=55② 由①②联立方程求得得d =2，a 1=1或d =−2，a 1=207（排除）∴ a n =1+(n −1)⋅2=2n −1 （2）令c n =b n 2n，则有a n =c 1+c 2+...+c na n+1=c 1+c 2+...+c n+1 两式相减得a n+1−a n =c n+1，由（1）得a 1=1，a n+1−a n =2 ∴ c n+1=2，即c n =2(n ≥2)， 即当n ≥2时，b n =2n+1，又当n =1时，b 1=2a 1=2∴ b n ={2,(n =1)2n+1，(n ≥2)于是S n =b 1+b 2+b 3+...+b n =2+23+24+...2n+1=2n+2−6，n ≥2， S n ={2n =12n+2−6n ≥2．22. 解：(1)√324+14b 2=1(b >0)∴ b =1；（2）根据x 24+y 2b 2=1(b >0)得x 2=4(1−y 2b 2)，∴ x 2+2y =4(1−y 2b 2)+2y =−4b 2(y −b 24)2+b 24+4(−b ≤y ≤b)，当b 24≥b 时，即b ≥4时(x 2+2y)max =2b +4，当b 24≤b 时，即0≤b ≤4时(x 2+2y)max =b 24+4，∴ (x 2+2y)max ={2b +4,b ≥4b 24+4，0≤b <4；（3）不能，如再加条件xy <0就可使x 、y 之间建立函数关系，解析式y ={−√1−x 2b2x >0√1−x 2b 2，x <0（不唯一，也可其它答案）．23. 解：（1）∵ f(2)=2+a 2=2+√22，∴ a =√2．（2）设点P 的坐标为(x 0, y 0)，则有y 0=x 0+√2x 0，x 0>0，由点到直线的距离公式可知，|PM|=00√2=1x 0，|PN|=x 0，∴ 有|PM|⋅|PN|=1，即|PM|⋅|PN|为定值，这个值为1． （3）由题意可设M(t, t)，可知N(0, y 0)． ∵ PM 与直线y =x 垂直，∴ k PM ⋅1=−1，即y 0−t x 0−t =−1．解得t =12(x 0+y 0)．又y 0=x 0+√2x 0，∴ t =x 0+√22x 0．∴ S△OPM=12x02+√22，S△OPN=12x02+√22．∴ S四边形OMPN =S△OPM+S△OPN=12(x02+1x02)+√2≥1+√2．当且仅当x0=1时，等号成立．此时四边形OMPN的面积有最小值：1+√2．。
2011年新课标高考数学试题及答案(理科)
2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)复数212i i+-的共轭复数是（A ）35i -（B ）35i （C ）i - （D ）i（2）下列函数中，既是偶函数哦、又在（0，）单调递增的函数是（A ）2y x = (B) 1y x =+ （C ）21y x =-+ (D) 2x y -= （3）执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是 （A ）120 （B ）720 （C ）1440 （D ）5040（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 （A ）13 （B ）12（C ）23（D ）34（5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ= （A ）45-（B ）35- （C ）35（D ）45（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示， 则相应的俯视图可以为（7）设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于 A,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（A （B （C ）2 （D ）3（8）512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）40（9）由曲线y =2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（A ）103（B ）4 （C ）163（D ）6（10）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题12:10,3P a b πθ⎡⎫+>⇔∈⎪⎢⎣⎭ 22:1,3P a b πθπ⎛⎤+>⇔∈ ⎥⎝⎦3:10,3P a b πθ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭ 4:1,3P a b πθπ⎛⎤->⇔∈ ⎥⎝⎦其中的真命题是（A ）14,P P （B ）13,P P （C ）23,P P （D ）24,P P （11）设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（A ）()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 （B ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减（C ）()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 （D ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增(12)函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有焦点的横坐标之和等于（A ）2 (B) 4 (C) 6 (D)8第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2011年上海高考数学答案(理科)
个人总结今年是我进入大学的第四年。
两年来，在各级领导和同学们的关心、帮助下，通过自身不断努力，各方面均取得一定的进步。
现总结如下：思想政治学习方面。
始终保持与党中央高度一致，认真学习江泽民总书记“三个代表”重要思想和“七一”讲话精神，积极参加学院及班上组织的思想政治学习活动，不断提高自身的政治素质。
坚决拥护独立自主原则及“一国两制”的方针，反对任何形式的霸权主义和分裂主义。
政治上要求进步，积极向党组织靠拢。
不满足于党校内入党积极分子培训所获得的党的基本知识，在工作、学习和生活中增强自身的党性原则，按照新党章规定的党员标准来要求自己，虚心向身边的党员学习，并结合国内国际政治生活的大事，定期作好思想汇报。
工作作风方面。
在学生会的工作中，我始终以广大同学的共同利益为最基本的出发点，这一点正是符合了“三个代表”中的最基本也是最重要的一条：要代表最广大人民的根本利益。
所以，处处从同学们的需要出发，为同学们服好务。
两年来，自己也严格遵守学校制定的各项工作制度，积极参加学校组织的各项活动，虚心向有经验的同学请教工作上的问题，学习他们的先进经验和知识。
敢于吃苦、善于钻研，能按规定的时间与程序办事，较好地完成领导交办的工作。
同时积极主动配合其他部门工作的开展，不断提高工作效能。
知识学习方面。
学习刻苦，态度认真，只是在学习方法和能力上有些欠缺，在今后的学习中需要改进。
作为**世纪的接班人，新世纪在悄悄降临之际也给我们带来了新的要求，经济日新月异，科技翻天覆地，所以更多、更快、更广的吸收新知识即成了放在我们面前必须解决的一个问题，我通过这两年的大学学习，对于专业方向、节奏、程度、难易度等等，也有所了解，投入了不少时间再学习上，每次考试也发挥的可以。
在大学的后两年中，对学习任务有了更高的要求，在这样的关键时刻，我会加倍努力学习，把更好的成绩带进大四。
所以，如果说这是对我的压力，到不如说是对我的考验，我一定会全力以赴。
总之，过去的两年，是不断学习、不断充实的两年，是积极探索、逐步成熟的两年。
2011年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标)(后附答案解析)
2011年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）复数的共轭复数是（ ）A．B．C．﹣i D．i2．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（ ）A．y=2x3B．y=|x|+1C．y=﹣x2+4D．y=2﹣|x|3．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（ ）A．120B．720C．1440D．50404．（5分）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（ ）A．B．C．D．5．（5分）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2θ=（ ）A．﹣B．﹣C．D．6．（5分）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（ ）A．B．C．D．7．（5分）设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C 交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（ ）A．B．C．2D．38．（5分）的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ ）A．﹣40B．﹣20C．20D．409．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（ ）A．B．4C．D．610．（5分）已知与均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题P1：|+|＞1⇔θ∈[0，）；P2：|+|＞1⇔θ∈（，π]；P3：|﹣|＞1⇔θ∈[0，）；P4：|﹣|＞1⇔θ∈（，π]；其中的真命题是（ ）A．P1，P4B．P1，P3C．P2，P3D．P2，P4 11．（5分）设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）的最小正周期为π，且f（﹣x）=f（x），则（ ）A．f（x）在单调递减B．f（x）在（，）单调递减C．f（x）在（0，）单调递增D．f（x）在（，）单调递增12．（5分）函数y=的图象与函数y=2sinπx，（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（ ）A．8B．6C．4D．2二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为 ．14．（5分）在平面直角坐标系xOy，椭圆C的中心为原点，焦点F1F2在x轴上，离心率为．过F l的直线交于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为 ．15．（5分）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6，BC=2，则棱锥O﹣ABCD的体积为 ．16．（5分）在△ABC中，B=60°，AC=，则AB+2BC的最大值为 ．三、解答题（共8小题，满分70分）17．（12分）等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{}的前n项和．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：PA⊥BD；（Ⅱ）若PD=AD，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．19．（12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]频数82042228B配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]频数412423210（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为y=从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，﹣1），B点在直线y=﹣3上，M点满足∥，=•，M点的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值．21．（12分）已知函数f（x）=+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3=0．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）如果当x＞0，且x≠1时，f（x）＞+，求k的取值范围．22．（10分）如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2﹣14x+mn=0的两个根．（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；（Ⅱ）若∠A=90°，且m=4，n=6，求C，B，D，E所在圆的半径．23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）M 是C1上的动点，P点满足=2，P点的轨迹为曲线C2（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．24．设函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．2011年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）复数的共轭复数是（ ）A．B．C．﹣i D．i【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，复数化简为a+bi（a，b∈R）的形式，然后求出共轭复数，即可．【解答】解：复数===i，它的共轭复数为：﹣i．故选：C．【点评】本题是基础题，考查复数代数形式的混合运算，共轭复数的概念，常考题型．2．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（ ）A．y=2x3B．y=|x|+1C．y=﹣x2+4D．y=2﹣|x|【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】由函数的奇偶性和单调性的定义和性质，对选项一一加以判断，即可得到既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数．【解答】解：对于A．y=2x3，由f（﹣x）=﹣2x3=﹣f（x），为奇函数，故排除A ；对于B．y=|x|+1，由f（﹣x）=|﹣x|+1=f（x），为偶函数，当x＞0时，y=x+1，是增函数，故B正确；对于C．y=﹣x2+4，有f（﹣x）=f（x），是偶函数，但x＞0时为减函数，故排除C；对于D．y=2﹣|x|，有f（﹣x）=f（x），是偶函数，当x＞0时，y=2﹣x，为减函数，故排除D．故选：B．【点评】本题考查函数的性质和运用，考查函数的奇偶性和单调性及运用，注意定义的运用，以及函数的定义域，属于基础题和易错题．3．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（ ）A．120B．720C．1440D．5040【考点】EF：程序框图．【专题】5K：算法和程序框图．【分析】执行程序框图，写出每次循环p，k的值，当k＜N不成立时输出p的值即可．【解答】解：执行程序框图，有N=6，k=1，p=1P=1，k＜N成立，有k=2P=2，k＜N成立，有k=3P=6，k＜N成立，有k=4P=24，k＜N成立，有k=5P=120，k＜N成立，有k=6P=720，k＜N不成立，输出p的值为720．故选：B．【点评】本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题．4．（5分）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（ ）A．B．C．D．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组有3种结果，根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3=9种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组，由于共有三个小组，则有3种结果，根据古典概型概率公式得到P=，故选：A．【点评】本题考查古典概型概率公式，是一个基础题，题目使用列举法来得到试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，出现这种问题一定是一个必得分题目．5．（5分）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2θ=（ ）A．﹣B．﹣C．D．【考点】GS：二倍角的三角函数；I5：直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．【专题】11：计算题．【分析】根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，由已知直线的斜率得到tanθ的值，然后根据同角三角函数间的基本关系求出cosθ的平方，然后根据二倍角的余弦函数公式把所求的式子化简后，把cosθ的平方代入即可求出值．【解答】解：根据题意可知：tanθ=2，所以cos2θ===，则cos2θ=2cos2θ﹣1=2×﹣1=﹣．故选：B．【点评】此题考查学生掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系，灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．6．（5分）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（ ）A．B．C．D．【考点】L7：简单空间图形的三视图．【专题】13：作图题．【分析】由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，根据组合体的结构特征，得到组合体的侧视图．【解答】解：由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，∴侧视图是一个中间有分界线的三角形，故选：D．【点评】本题考查简单空间图形的三视图，考查由三视图看出原几何图形，再得到余下的三视图，本题是一个基础题．7．（5分）设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C 交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（ ）A．B．C．2D．3【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题．【分析】不妨设双曲线C：，焦点F（﹣c，0），由题设知，，由此能够推导出C的离心率．【解答】解：不妨设双曲线C：，焦点F（﹣c，0），对称轴y=0，由题设知，，∴，b2=2a2，c2﹣a2=2a2，c2=3a2，∴e=．故选：B．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．8．（5分）的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ ）A．﹣40B．﹣20C．20D．40【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】给x赋值1求出各项系数和，列出方程求出a；将问题转化为二项式的系数和；利用二项展开式的通项公式求出通项，求出特定项的系数．【解答】解：令二项式中的x为1得到展开式的各项系数和为1+a∴1+a=2∴a=1∴==∴展开式中常数项为的的系数和∵展开式的通项为T r+1=（﹣1）r25﹣r C5r x5﹣2r令5﹣2r=1得r=2；令5﹣2r=﹣1得r=3展开式中常数项为8C52﹣4C53=40故选：D．【点评】本题考查求系数和问题常用赋值法、考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．9．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（ ）A．B．4C．D．6【考点】69：定积分的应用．【专题】11：计算题．【分析】利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y=，直线y=x﹣2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解．【解答】解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：S=．故选C．【点评】本题考查曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题．10．（5分）已知与均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题P1：|+|＞1⇔θ∈[0，）；P2：|+|＞1⇔θ∈（，π]；P3：|﹣|＞1⇔θ∈[0，）；P4：|﹣|＞1⇔θ∈（，π]；其中的真命题是（ ）A．P1，P4B．P1，P3C．P2，P3D．P2，P4【考点】91：向量的概念与向量的模；9B：向量加减混合运算；9E：向量数乘和线性运算．【分析】利用向量长度与向量数量积之间的关系进行转化求解是解决本题的关键，要列出关于夹角的不等式，通过求解不等式得出向量夹角的范围．【解答】解：由，得出2﹣2cosθ＞1，即cosθ＜，又θ∈[0，π]，故可以得出θ∈（，π]，故P3错误，P4正确．由|+|＞1，得出2+2cosθ＞1，即cosθ＞﹣，又θ∈[0，π]，故可以得出θ∈[0，），故P2错误，P1正确．故选：A．【点评】本题考查三角不等式的求解，考查向量长度不等式的等价转化，考查向量数量积与向量长度之间的联系问题，弄清向量夹角与向量数量积的依赖关系，考查学生分析问题解决问题的思路与方法，考查学生解题的转化与化归能力．11．（5分）设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）的最小正周期为π，且f（﹣x）=f（x），则（ ）A．f（x）在单调递减B．f（x）在（，）单调递减C．f（x）在（0，）单调递增D．f（x）在（，）单调递增【考点】H5：正弦函数的单调性；HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】利用辅助角公式将函数表达式进行化简，根据周期与ω的关系确定出ω的值，根据函数的偶函数性质确定出φ的值，再对各个选项进行考查筛选．【解答】解：由于f（x）=sin（ωx+ϕ）+cos（ωx+ϕ）=，由于该函数的最小正周期为T=，得出ω=2，又根据f（﹣x）=f（x），得φ+=+kπ（k∈Z），以及|φ|＜，得出φ=．因此，f（x）=cos2x，若x∈，则2x∈（0，π），从而f（x）在单调递减，若x∈（，），则2x∈（，），该区间不为余弦函数的单调区间，故B，C，D都错，A正确．故选：A．【点评】本题考查三角函数解析式的确定问题，考查辅助角公式的运用，考查三角恒等变换公式的逆用等问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的整体思想和余弦曲线的认识和把握．属于三角中的基本题型．12．（5分）函数y=的图象与函数y=2sinπx，（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（ ）A．8B．6C．4D．2【考点】57：函数与方程的综合运用．【专题】51：函数的性质及应用；54：等差数列与等比数列．【分析】函数y1=与y2=2sinπx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象，利用数形结合思想能求出结果．【解答】解：函数y1=，y2=2sinπx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象，如图，当1＜x≤4时，y1＜0而函数y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在（1，）和（，）上是减函数；在（，）和（，4）上是增函数．∴函数y1在（1，4）上函数值为负数，且与y2的图象有四个交点E、F、G、H相应地，y1在（﹣2，1）上函数值为正数，且与y2的图象有四个交点A、B、C、D且：x A+x H=x B+x G=x C+x F=x D+x E=2，故所求的横坐标之和为8．故选：A．【点评】本题考查两个函数的图象的交点的横坐标之和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为 ﹣6 ．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题．【分析】在坐标系中画出约束条件的可行域，得到的图形是一个平行四边形，把目标函数z=x+2y变化为y=﹣x+，当直线沿着y轴向上移动时，z的值随着增大，当直线过A点时，z取到最小值，求出两条直线的交点坐标，代入目标函数得到最小值．【解答】解：在坐标系中画出约束条件的可行域，得到的图形是一个平行四边形，目标函数z=x+2y，变化为y=﹣x+，当直线沿着y轴向上移动时，z的值随着增大，当直线过A点时，z取到最小值，由y=x﹣9与2x+y=3的交点得到A（4，﹣5）∴z=4+2（﹣5）=﹣6故答案为：﹣6．【点评】本题考查线性规划问题，考查根据不等式组画出可行域，在可行域中，找出满足条件的点，把点的坐标代入，求出最值．14．（5分）在平面直角坐标系xOy，椭圆C的中心为原点，焦点F1F2在x轴上，离心率为．过F l的直线交于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为 +=1 ．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】根据题意，△ABF2的周长为16，即BF2+AF2+BF1+AF1=16，结合椭圆的定义，有4a=16，即可得a的值；又由椭圆的离心率，可得c的值，进而可得b 的值；由椭圆的焦点在x轴上，可得椭圆的方程．【解答】解：根据题意，△ABF2的周长为16，即BF2+AF2+BF1+AF1=16；根据椭圆的性质，有4a=16，即a=4；椭圆的离心率为，即=，则a=c，将a=c，代入可得，c=2，则b2=a2﹣c2=8；则椭圆的方程为+=1；故答案为：+=1．【点评】本题考查椭圆的性质，此类题型一般与焦点三角形联系，难度一般不大；注意结合椭圆的基本几何性质解题即可．15．（5分）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6，BC=2，则棱锥O﹣ABCD的体积为 8 ．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】由题意求出矩形的对角线的长，结合球的半径，球心到矩形的距离，满足勾股定理，求出棱锥的高，即可求出棱锥的体积．【解答】解：矩形的对角线的长为：，所以球心到矩形的距离为：=2，所以棱锥O﹣ABCD的体积为：=8．故答案为：8【点评】本题是基础题，考查球内几何体的体积的计算，考查计算能力，空间想象能力，常考题型．16．（5分）在△ABC中，B=60°，AC=，则AB+2BC的最大值为 2 ．【考点】HR：余弦定理．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】设AB=c AC=b BC=a利用余弦定理和已知条件求得a和c的关系，设c+2a=m代入，利用判别大于等于0求得m的范围，则m的最大值可得．【解答】解：设AB=c AC=b BC=a由余弦定理cosB=所以a2+c2﹣ac=b2=3设c+2a=m代入上式得7a2﹣5am+m2﹣3=0△=84﹣3m2≥0 故m≤2当m=2时，此时a=，c=符合题意因此最大值为2另解：因为B=60°，A+B+C=180°，所以A+C=120°，由正弦定理，有====2，所以AB=2sinC，BC=2sinA．所以AB+2BC=2sinC+4sinA=2sin（120°﹣A）+4sinA=2（sin120°cosA﹣cos120°sinA）+4sinA=cosA+5sinA=2sin（A+φ），（其中sinφ=，cosφ=）所以AB+2BC的最大值为2．故答案为：2【点评】本题主要考查了余弦定理的应用．涉及了解三角形和函数思想的运用． 三、解答题（共8小题，满分70分）17．（12分）等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{}的前n项和．【考点】88：等比数列的通项公式；8E：数列的求和．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）设出等比数列的公比q，由a32=9a2a6，利用等比数列的通项公式化简后得到关于q的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意q 的值，然后再根据等比数列的通项公式化简2a1+3a2=1，把求出的q的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比q写出数列的通项公式即可；（Ⅱ）把（Ⅰ）求出数列{a n}的通项公式代入设bn=log3a1+log3a2+…+log3a n，利用对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式化简后，即可得到b n的通项公式，求出倒数即为的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列{}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，由a32=9a2a6得a32=9a42，所以q2=．由条件可知各项均为正数，故q=．由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1，所以a1=．故数列{a n}的通项式为a n=．（Ⅱ）b n=++…+=﹣（1+2+…+n）=﹣，故=﹣=﹣2（﹣）则++…+=﹣2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=﹣，所以数列{}的前n项和为﹣．【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，掌握对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式，会进行数列的求和运算，是一道中档题． 18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：PA⊥BD；（Ⅱ）若PD=AD，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【考点】LW：直线与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；14：证明题；15：综合题；31：数形结合；35：转化思想．【分析】（Ⅰ）因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=，利用勾股定理证明BD⊥AD，根据PD⊥底面ABCD，易证BD⊥PD，根据线面垂直的判定定理和性质定理，可证PA⊥BD；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，写出点A，B，C，P的坐标，求出向量，和平面PAB的法向量，平面PBC的法向量，求出这两个向量的夹角的余弦值即可．【解答】（Ⅰ）证明：因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=，从而BD2+AD2=AB2，故BD⊥AD又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，则A（1，0，0），B（0，，0），C（﹣1，，0），P（0，0，1）．=（﹣1，，0），=（0，，﹣1），=（﹣1，0，0），设平面PAB的法向量为=（x，y，z），则即，因此可取=（，1，）设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则，即：可取=（0，1，），cos＜＞==故二面角A﹣PB﹣C的余弦值为：．【点评】此题是个中档题．考查线面垂直的性质定理和判定定理，以及应用空间向量求空间角问题，查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题能力．19．（12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]频数82042228B配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]频数412423210（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为y=从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）【考点】B2：简单随机抽样；BB：众数、中位数、平均数；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】11：计算题；15：综合题．【分析】（I）根据所给的样本容量和两种配方的优质的频数，两个求比值，得到用两种配方的产品的优质品率的估计值．（II）根据题意得到变量对应的数字，结合变量对应的事件和第一问的结果写出变量对应的概率，写出分布列和这组数据的期望值．【解答】解：（Ⅰ）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的频率为∴用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3．由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为∴用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42；（Ⅱ）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间[90，94），[94，102），[102，110]的频率分别为0.04，0.54，0.42，∴P（X=﹣2）=0.04，P（X=2）=0.54，P（X=4）=0.42，即X的分布列为X﹣224P0.040.540.42∴X的数学期望值EX=﹣2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68【点评】本题考查随机抽样和样本估计总体的实际应用，考查频数，频率和样本容量之间的关系，考查离散型随机变量的分布列和期望，本题是一个综合问题20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，﹣1），B点在直线y=﹣3上，M点满足∥，=•，M点的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题；15：综合题；33：函数思想；36：整体思想．【分析】（Ⅰ）设M（x，y），由已知得B（x，﹣3），A（0，﹣1）并代入∥，=•，即可求得M点的轨迹C的方程；（Ⅱ）设P（x0，y0）为C上的点，求导，写出C在P点处的切线方程，利用点到直线的距离公式即可求得O点到l距离，然后利用基本不等式求出其最小值．【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y），由已知得B（x，﹣3），A（0，﹣1）．所=（﹣x，﹣1﹣y），=（0，﹣3﹣y），=（x，﹣2）．再由题意可知（）•=0，即（﹣x，﹣4﹣2y）•（x，﹣2）=0．所以曲线C的方程式为y=﹣2．（Ⅱ）设P（x0，y0）为曲线C：y=﹣2上一点，因为y′=x，所以l的斜率为x0，因此直线l的方程为y﹣y0=x0（x﹣x0），即x0x﹣2y+2y0﹣x02=0．则o点到l的距离d=．又y0=﹣2，所以d==≥2，所以x02=0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2．【点评】此题是个中档题．考查向量与解析几何的交汇点命题及代入法求轨迹方程，以及导数的几何意义和点到直线的距离公式，综合性强，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．21．（12分）已知函数f（x）=+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3=0．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）如果当x＞0，且x≠1时，f（x）＞+，求k的取值范围．【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】15：综合题；16：压轴题；32：分类讨论；35：转化思想．【分析】（I）求出函数的导数；利用切线方程求出切线的斜率及切点；利用函数在切点处的导数值为曲线切线的斜率及切点也在曲线上，列出方程组，求出a，b值．（II）将不等式变形，构造新函数，求出新函数的导数，对参数k分类讨论，判断出导函数的符号，得到函数的单调性，求出函数的最值，求出参数k的范围．【解答】解：由题意f（1）=1，即切点坐标是（1，1）（Ⅰ）由于直线x+2y﹣3=0的斜率为，且过点（1，1），故即解得a=1，b=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以）．考虑函数（x＞0），则．（i）设k≤0，由知，当x≠1时，h′（x）＜0．而h（1）=0，故当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，可得；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，可得h（x）＞0从而当x＞0，且x≠1时，f（x）﹣（+）＞0，即f（x）＞+．（ii）设0＜k＜1．由于当x∈（1，）时，（k﹣1）（x2+1）+2x＞0，故h′（x ）＞0，而h（1）=0，故当x∈（1，）时，h（x）＞0，可得h（x）＜0，与题设矛盾．（iii）设k≥1．此时h′（x）＞0，而h（1）=0，故当x∈（1，+∞）时，h（x）＞0，可得h（x）＜0，与题设矛盾．综合得，k的取值范围为（﹣∞，0]．【点评】本题考查导数的几何意义：函数在切点处的导数值是切线的斜率、考查构造函数，通过导数研究函数的单调性，求出函数的最值、考查了分类讨论的数学思想方法．22．（10分）如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2﹣14x+mn=0的两个根．（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；（Ⅱ）若∠A=90°，且m=4，n=6，求C，B，D，E所在圆的半径．【考点】N7：圆周角定理；NC：与圆有关的比例线段．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（I）做出辅助线，根据所给的AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2﹣14x+mn=0的两个根，得到比例式，根据比例式得到三角形相似，根据相似三角形的对应角相等，得到结论．（II）根据所给的条件做出方程的两个根，即得到两条线段的长度，取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH ，根据四点共圆得到半径的大小．【解答】解：（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，AD×AB=mn=AE×AC，即又∠DAE=∠CAB，从而△ADE∽△ACB因此∠ADE=∠ACB∴C，B，D，E四点共圆．（Ⅱ）m=4，n=6时，方程x2﹣14x+mn=0的两根为x1=2，x2=12．故AD=2，AB=12．取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H 点，连接DH．∵C，B，D，E四点共圆，∴C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH．由于∠A=90°，故GH∥AB，HF∥AC．HF=AG=5，DF=（12﹣2）=5．故C，B，D，E四点所在圆的半径为5【点评】本题考查圆周角定理，考查与圆有关的比例线段，考查一元二次方程的解，考查四点共圆的判断和性质，本题是一个几何证明的综合题．23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）M 是C1上的动点，P点满足=2，P点的轨迹为曲线C2（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．【考点】J3：轨迹方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】（I）先设出点P的坐标，然后根据点P满足的条件代入曲线C1的方程即可求出曲线C2的方程；（II）根据（I）将求出曲线C1的极坐标方程，分别求出射线θ=与C1的交点A 的极径为ρ1，以及射线θ=与C2的交点B的极径为ρ2，最后根据|AB|=|ρ2﹣ρ1|求出所求．【解答】解：（I）设P（x，y），则由条件知M（，）．由于M点在C1上，所以即从而C2的参数方程为（α为参数）（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ=8sinθ．射线θ=与C1的交点A的极径为ρ1=4sin，射线θ=与C2的交点B的极径为ρ2=8sin．所以|AB|=|ρ2﹣ρ1|=．【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及轨迹方程的求解和线段的度量，属于中档题．24．设函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】11：计算题；16：压轴题；32：分类讨论．【分析】（Ⅰ）当a=1时，f（x）≥3x+2可化为|x﹣1|≥2．直接求出不等式f（x）≥3x+2的解集即可．。
2011届上海市徐汇区高考一模数学理科答案
2011届上海市徐汇区高考一模数学 理科试卷参考答案及评分标准（2011.1）一． 填空题：1．0x = 2．(1,2)- 3．24. 725 5 6．(0,4)(4,8⋃ 7．2()24f x x =-+ 8．11129．(1,4) 10． 0a ≤ 11．1- 12．28313．1,1b a <>-或1,1b a >< 14． 2 二．选择题： 15．D 16．A 17．C 18．B 三．解答题:19．解：（1）由sin cos sin cos 3sin cos C B B C A B +=得()sin 3sin cos B C A B += ……2分因为A 、B 、C 是ABC ∆的三内角，所以()s i n s i n0B C A +=≠， ……5分 因此 1cos 3B =……6分 （2）1cos 23BA BC BA BC B ac ⋅=⋅== ，即6ac = ……8分由余弦定理得2222c o s b a c a B =+-，所以2212a c +=， ……10分解方程组22612ac a c =⎧⎨+=⎩，得a c == ……12分 20．解：（1）当2a =时，22()1111f x x x x x =+=++-++ ……………. 2分1≥ ……………. 4分当且仅当211x x +=+，即1x =时取等号，∴min ()1f x = ……………. 6分 （2）当01a <<时，任取120x x ≤<121212()()()1(1)(1)af x f x x x x x ⎡⎤-=--⎢⎥++⎣⎦……………. 8分∵01a <<，12(1)(1)1x x ++>，∴1210(1)(1)ax x ->++ ……………. 10分∵12x x <，∴12()()f x f x <, 即()f x 在[)0,+∞上为增函数 ……………. 12分 21．解： （1）当0k =时，(,4)A =-∞； ………………2分当0k >且2k ≠时，24k k+> ………………4分 4(,4)(,)A k k∴=-∞++∞ ；……………………5分当2k =时，(,4)(4,)A =-∞+∞ ；（不单独分析2k =时的情况不扣分）当0k <时，4(,4)A k k=+.……………….7分 （2） 由（1）知：当0k ≥时， A 中整数的个数为无限个；………………..9分当0k <时，A 中整数的个数为有限个， ……………11分因为44k k+≤-，当且仅当2k =-时取等号，……………12分所以当2k =-时，A 中整数的个数最少。
2011年高考数学理科试卷全国1卷含答案新课标卷卷
2011年一般高等学校招生全国统一考试理科数学 第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)复数212ii+-的共轭复数是 （A ）35i - （B ）35i （C ）i - （D ）i （2）下列函数中，既是偶函数哦、又在（0，）单调递增的函数是（A ）2y x = (B) 1y x =+ （C ）21y x =-+ (D) 2x y -= （3）执行右面的程序框图，假如输入的N 是6，那么输出的p 是（A ）120 （B ）720 （C ）1440 （D ）5040（4）有3个爱好小组，甲、乙两位同学各自参与其中一个小组，每位同学参与各个小组的可能性一样，则这两位同学参与同一个爱好小组的概率为（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34（5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=（A ）45- （B ）35- （C ）35（D ）45（6）在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示， 则相应的俯视图可以为（7）设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于 A,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为 （A（B （C ）2 （D ）3（8）512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的绽开式中各项系数的与为2，则该绽开式中常数项为（A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）40（9）由曲线y =2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（A ）103 （B ）4 （C ）163（D ）6（10）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题 其中的真命题是（A ）14,P P （B ）13,P P （C ）23,P P （D ）24,P P （11）设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（A ）()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 （B ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减（C ）()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增（D ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增(12)函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像全部焦点的横坐标之与等于（A ）2 (B) 4 (C) 6 (D)8第Ⅱ卷本卷包括必考题与选考题两局部。
2011年上海理科解答
2011年上海高考数学试卷（理）解答一、填空题（每小题4分，满分56分） 1、函数1()2f x x =-的反函数为1()f x -= 【答案】：12x+ 【解】：111222y x x x y y =⇒-=⇒=+-；12y x =+1()2f x x⇒=+。
【评注】：2、若全集U R =，集合{1}{|0}A x x x x =≥≤，则U C A = 【答案】：{}01(0,1)x x <<= 【解】：【评注】：3、设m 是常数，若点(0,5)F 是双曲线2219y x m -=的一个焦点，则___m = 【答案】：16【解】：29516m m +=⇒= 【评注】：4、不等式13x x+≤的解为 【答案】：102x x <≥或【解】：11312113300002x x x x x x x x x x x ++---≤⇒-≥⇒≥⇒≥⇒<≥或。
【评注】：5、在极坐标系中，直线(2cos sin )2ρθθ+=与直线cos 1ρθ=的夹角大小为 （结果用反三角函数值表示）【答案】：1arctan arcsin 2== 【解法一】：【解法二】：【评注】：6、在相距2千米的A 、B 两点处测量目标点C ，若75,60CAB CBA ∠=∠=，则A 、B 两点之间的距离为 千米。
【答案】【解】： 【评注】：7、若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为【答案】 【解】： 【评注】： 8、函数sin()cos()26y x x ππ=+-的最大值为【答案】：24【解法一】：展开后利用辅助角公式化为一角一函数，然后求最值。
利用诱导公式、两角差的余弦公式、二倍角公式、辅助角公式sin()cos()26y x x ππ=+-cos (cos cos sin sin )66x x x ππ=+1cos (cos sin )22x x x =+21sin cos 2x x x =+1cos 211sin 2222x x +=+⋅11(sin 22)22x x =+1sin(2)23x π=++12≤=。
2011学年第二学期高三数学区期末统测试卷理科答案
即 AB 2 OM 成立 ②当切线 l 的斜率不存在时， A( 2, 2), B ( 2, 2)或A( 2, 2), B ( 2, 2) 此时 AB 2 2, OM
2 ，即 AB 2 OM 成立-------------------10 分
（3）由条件可知：两条渐近线分别为 l1 : 2 x y 0; l2 : 2 x y 0 -------------------11 分 设双曲线 C 上的点 P ( x0 , y0 ) ，
因为平面 CDE 平面 CD1O ，所以 m n 0 ，得 2 -------------------14 分
5 17 16 5 17 x 8 1 5 17 x 21．解： （1） x 2 2 x 2 --------2 分 2 2 0 x 2 0 x 2 4 x 1 2 x 3 -------------4 分 2 x 4
若 b1 b2 b3 bn0 ，则 a b1 a b2 a b3 a bn0 即对数列 bn 中的任意一项 bi (1 i n0 )
a bi b1 (n0 i )d bn0 1i bn -------------------6 分
12． 9 15．A
13．
81 2
17．C
14． 0, a b 18．D
2
2
16．B
19．解： （1）由正弦定理
c a sin C a 2a 2 5 -------------------4 分 ,得 c sin C sin A sin A
（2）由余弦定理，得 cos A
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2010学年第一学期徐汇区高三年级数学学科
学 习 能 力 诊 断 卷 理科试卷参考答案及评分标准（2011.1）
一． 填空题：
1．0x = 2．(1,2)- 3 4. 725 5 6．(0,4)
(4,8⋃ 7．2
()24
f x x =-+ 8．11
12
9．(1,4) 10． 0a ≤ 11．1- 12．2
8
3
13．1,1b a <>-或1,1b a >< 14． 2 二．选择题： 15．D 16．A 17．C 18．B 三．解答题:
19．解：（1）由sin cos sin cos 3sin cos C B B C A B +=
得()sin 3sin cos B C A B += ……2分
因为A 、B 、C 是ABC ∆的三内角，所以()s i n s i n
0B C A +=≠， ……5分 因此 1
cos 3
B =
……6分 （2）1
cos 23
BA BC BA BC B ac ⋅=⋅==，即6ac = ……8分
由余弦定理得2222c o s b a c a B =+-
，所以22
12a c +=， ……10分
解方程组22
6
12ac a c =⎧⎨+=⎩
，得a c == ……12分 20．解：（1）当2a =时，22
()1111
f x x x x x =+
=++-++ ……………. 2分
1≥ ……………. 4分
当且仅当2
11
x x +=
+，即1x =时取等号，∴min ()1f x = ……………. 6分 （2）当01a <<时，任取120x x ≤<
121212()()()1(1)(1)a
f x f x x x x x ⎡⎤-=--⎢⎥++⎣⎦
……………. 8分
∵01a <<，12(1)(1)1x x ++>，∴1210(1)(1)
a
x x -
>++ ……………. 10分
∵12x x <，∴12()()f x f x <, 即()f x 在[)0,+∞上为增函数 ……………. 12分
21．解： （1）当0k =时，(,4)A =-∞； ………………2分 当0k >且2k ≠时，
2
4k k
+
>………………4分 4
(,4)(,)A k k
∴=-∞++∞；……………………5分
当2k =时，(,4)(4,)A =-∞+∞；
（不单独分析2k =时的情况不扣分） 当0k <时，4
(,4)A k k
=+
.……………….7分 （2） 由（1）知：当0k ≥时， A 中整数的个数为无限个；………………..9分
当0k <时，A 中整数的个数为有限个， ……………11分
因为4
4k k
+≤-，当且仅当2k =-时取等号，……………12分
所以当2k =-时，A 中整数的个数最少。
…………….14分
22．解：（1）211111,2(1)2n S a a a =+=+⇒=……………. 2分
22111
2,2(1)2(1)n n n
n n n n S a a S a a ---≥+=++=+，两式相减，得22112n n n n n a a a a a --=-+-
10,1n n n a a a ->∴-=……………. 4分
{}n a ⇒为等差数列，首项为2，公差为1*1()n a n n N ∴=+∈……………. 5分
（2）
{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列，*2()n n b n N ∴=∈……………. 7分
n 为偶数时，13124()()n n n T a a a b b b -=++
++++
+……………. 8分
211()4(14)22
14
n
n n a a -+⋅
-=
+-224(21)43n n n +=+-……………. 10分 n 为奇数时，1n n n
T T c -=+ ……………. 11分 21
(1)2(1)4(21)(1)43n n n n --+-=
+-++ 214314
2433n n n +++=
+⋅-……………. 12分 （3）2n k =∴为偶数,
n T 224(21)43n n n +=+-，2
244
n n P n =+ 设4474
2323
n n n n d A B T P n =-=-=
⋅--……………. 13分
22247n n n d d ++-=-，……………. 15分
46810121422011,2011d d d d d d d ∴<<<<<<<
<且
2011,2011(n n n d T P n ∴≠-≠即为偶数）……………. 17分 ∴乙同学的观点正确。
……………. 18分
23． （1）因为MN 是垂直于x 轴的一条垂轴弦，所以(,)N m n - 则00:()
MP y n
l y n x m x m
--=
-- ……………. 2分 令0,y =则00
0E my nx x y n
-=
-……………. 4分
同理可得：00
0F my nx x y n
+=
+，……………. 6分
（2）由（1）可知：2222
0022
0E F m y n x x x y n -⋅=-……………. 8分
,M P 在椭圆C ：22221x y a b
+=上，222222
0022(1),(1)x m n b y b a a ∴=-=-，
则222
2
2
20222
02220222
222200222(1)(1)()()(1)(1)E F x m m b b x b m x a a x x a x b m
m x b b a a a
----⋅===----（定值） E F x x ∴⋅是与MN 和点P 位置无关的定值 …………. 12分
（3）第一层次：
①点P 是圆C ：2
2
2
x y R +=上不与坐标轴重合的任意一点，MN 是垂直于x 轴的垂轴弦，直线
MP NP 、分别交x 轴于点(,0)E E x 和点(,0)F F x ，则2E F x x R ⋅=。
……………. 16分
证明如下：由（1）知： 2222
0022
0E F m y n x x x y n
-⋅=-
,M P 在圆C ：222x y R +=上，22222200,n R m y R x ∴=-=-，
则222222222
2000
222222
00()()()()()()
E F m R x R m x R m x x x R R x R m m x ----⋅===----
E F x x ∴⋅是与MN 和点P 位置无关的定值
②点P 是双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>上不与顶点重合的任意一点，MN 是垂直于x 轴的垂
轴弦，直线MP NP 、分别交x 轴于点(,0)E E x 和点(,0)F F x ，则2E F x x a ⋅=。
……………. 16分
证明如下：由（1）知： 2222
0022
0E F m y n x x x y n -⋅=-
,M P 在双曲线C ：22221x y a b
-=上，22
22220
022(1),(1)x m n b y b a a ∴=-=-，
则22
2
2
220222
02220222
222200222(1)(1)()()(1)(1)E F x m m b b x b x m a a x x a x b m
x m b b a a a
----⋅===---- E F x x ∴⋅是与MN 和点P 位置无关的定值
第二层次：
点P 是抛物线C ：22(0)y px p =>上不与顶点重合的任意一点，MN 是垂直于x 轴的垂轴弦，直线MP NP 、分别交x 轴于点(,0)E E x 和点(,0)F F x ，则0E F x x +=。
…………. 18分
证明如下：由（1）知： 220022
02()
E F my n x x x y n
-+=-， ,M P 在抛物线C ：22(0)y px p =>上，22002,2y px n pm ∴==
则2200002222
002()2(22)
0E F my n x m px pmx x x y n y n --+===-- E F x x ∴+是与MN 和点P 位置无关的定值。