3刚体力学

根据质点系的动量定理：
二. 线量与角量的关系
dv dw dr a r w br wv dt dt dt an a b r b r sin b R
v wr sin wR
v w r
J
L Jw dw
dt
- Jw 1

对于质点：
dL M dt
P mv
角动量定理
பைடு நூலகம்
Mdt Jw
t1
2
2. 角动量守恒定律 若 M 0 Jw 恒量 a) 若J 是常数，角速度守恒。 b) 若J 变， J 2w2 J1w1 仍成立 c) 适用范围:惯性系，宏观、微观，低速、高速都适用。 例：系统由两个刚体组成， 设初时刻，Lo= 0
mgxC
xdm xgdm gm
m
O

C dm
X
重力对整个棒的合力矩与全部重力集中作用在 质心所产生的力矩一样。
1 mg dmg 1 Lcos M mgL cos xc 2 2 3g cos d wdw M mgL cos / 2 3g cos 2L b 2L mL2 / 3 J w 3 g cos
dv d x a 2 角加速度 dt dt
2
刚体定轴转动 角位移 d 角速度 w
运动定律 动量 动量定理
t2
F ma
p mv
t2 Mdt Jw2 - Jw1 t1 Fdt mv2 - mv1 t1 动量守恒定律 F 0 时 角动量守恒定律 M 0 时
dw dw d w dw 3g cos b dt d dt 2L d
2 2 J 1 mL2 3
3g sin w L
C mg
§3—4 刚体的角动量和角动量守恒定律
前已得到：刚体定轴转动 1. 角动量定理： 定轴转动定律：M Jb
微分形式 积分形式
t2
Mdt dL
z
w b

x
0
R r
w v wv sin900 w 2 R 2 v 2 dv d ( Rw ) an w R a bR
dt dt
y
R
w
m1
m i
三. 刚体的定轴转动 特征: 轴上各点静止，其它各质元作圆周运动。
各质元的 w 相同 v 不同 各质元的 b 相同 a 不同
m 4m R 2 L 1 9 m m R 2 m 5 ( ) L 3
无空洞圆柱的转动惯量：
R/3
R
1 9 2 ) R mR2 J 1 ( m 4m 2 10
R/2
四个被挖圆柱的转动惯量：
例4. 一根质量为 M ，长为l 的均匀细棒，可绕通过棒中心的垂直 轴 Z ，在 xy 平面内转动。开始时静止，今有质量为 m 的小球以 速度 v 0垂直轴的方向碰撞棒的端点，假设碰撞是弹性的，试求 w 碰撞后小球的弹回速度 和棒的角速度 w 解：角动量守恒和机械能守恒
2 '2 i i 2 ' i i i
ri r i r i r d - 2r d
2 '2 i 2 ' i
i i
m r
i
' i i
m
m i ri'
i
i
质心C相对于C本身的位置矢量
m
2
m rc , rc 0
mi ri'2 J C
i
J JC md
JC Jmin
令：J
z
（力臂） 定轴
m r
i
i
i
i
2 （刚体对 i i
z 轴的转动惯量）
Lz J zw
与牛顿第二定律比较：
dLz dw 刚体定轴 Jz Jzb M 外z 转动定律 dt dt M ~ F J ~ m b ~ a 定轴下，可不
J反映刚体转动的惯性 写角标 Z
四. 转动惯量的计算
1 2 1 2 1 2 v0 m mv0 mv Jw v 2 2 2
b d w dw d dt d dt bd wdw

o
2L
3g sin 1 w 2 2L 2
3g sin w L
d wdw
o
§3—3 刚体转动的功和能
1. 刚体的转动动能
对于质点：
1 2 1 1 2 2 2 Ek mv E ki mi v i mi w Ri 2 2 2 1 2 1 2 w mi Ri Jw 2 Ek Eki 2 2
z ω ,b Fi //
vi
刚体为特殊质点系，质点系角动量定理: θ
Fi
i
ri
Δ mi
定轴情况，只有沿Z轴方向的力矩才 可使刚体转动：
dL M 外 （相对O点） dt
M 外z Fi ri sin i
i
力臂
刚体 O
ri
质点只能在垂直转轴的平面内圆周运动：
Lz Liz mi vi ri ( mi ri2 ) w
L 角动量 角动量定理
转动惯量 J r dm 力矩 M r F 转动定律 M Jb
dt dw d 2 b 2 dt dt 2
Jw

mi vi 恒量
J w
i
i
恒量
质点一维运动 力的功 A F dr
刚体定轴转动 力矩的功 A Md 转动动能 Ek Jw 2 转动动能定理
第3章 刚体的定轴转动 §3—1 刚体的平动和转动
刚体：形状和大小都不改变，特殊的质点系（理想模型） 刚体内任意两质点之间的距离保持不变。 1.平动：刚体上任意两点间的连线在运动过程中，保持原方向不变。 每个点的运动完全相同：用一个点的运动表示整个刚体的运动。 2.转动 刚体各质点都绕某一轴作圆周运动。 转轴固定：定轴转动。 平动和转动，可以描述刚体中所有质元（质点）的运动。o′
动能定理
1 2 动能 Ek mv 2
1
2
1 1 2 2 A mv2 - mv1 2 2
例3. 求圆柱体的转动惯量。圆柱体的质量为m，半径为R，4个圆 柱形空洞的半径均为R/3，从中心轴到各个空洞中心的距离均为R/2。 解： 空洞被挖出部分的质量为：m
1 1 2 A Jw 2 - Jw12 2 2
1

w2
w1
1 1 2 2 Jwdw Jw 2 - Jw1 定轴转动的动能定理 2 2
dt
3. 刚体的机械能守恒定律 m i hi 一个质元的势能： Ei mi gh i i 整个刚体的势能： EP mi ghi Mg M i 它的全部质量都集中 刚体的重力势能 在质心时所具有的势能
均匀球壳： 质量面密度：
mR 3 sin dd 4 0 0 2 2 mR 3
均匀球体：
2 2
J C r sin dm r sin
2 2
2 2
m 4 3 R 3
4 3 R 3 2 r sin dddr

m
2 mR 2 5
JC m
1 R 2 1 2 11 ( ) m( R) ] mR2 J 2 4[ m 2 3 2 45 59 结果： J J 1 - J 2 mR2 90
v
y r mv0 r mv Jw l l mv0 - mv Jw M - 3m 2 2 v v0 w
质心： c r
m r m r m m
i i i i i i i
i
·
o′
·
Δ Δ
质量连续分布：r
c
rdm
m
c
· o
zc
xdm , 分量形式： x
c
m
ydm , y
m
zdm
m
o
密度均匀刚体的质 心在几何对称中心。 质心上可能既无质 量，又未受力。
d ( P i ) d ( m i v i ) d 2 ( mi r i ) 2 mi r i dP d i i i i F外 ＝ m 2( ) 2 dt dt dt dt dt m 2 d rc m 2 mac（质心运动定理） w dt §3—2 刚体的定轴转动 一. 角量 标量描述: 角位置 rad d 角位移 (一般逆时针为正) b d -1 w 角速度 w l i m rad .s t 0 t dt w dw d 2 2 rad . s - 2 角加速度 b lim t 0 t dt dt 2 d b w d / dt, b dw / dt 2 矢量描述: d dt
m1g -T m1a 1 T2 - m2 g m2a
T1R -T2R Jb a a Rb b 1 m1 - m2 g R 2 M m1 m2
例2.一根长为L、质量为m 的均匀细直棒，其一端有一固定的光 滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置， 求它由此下摆角时的角加速度和角速度。 解：dM xgdm x 合力矩：M
任意t 时刻，Lt=0
系统无转动： 1 L2 0 L 系统有转动： 1 L2 0 L
即： 1w1 -J2w2 若 J1 J2 J
则：| w1
|| w 2 |
L1 -L2
刚体定轴转动与质点一维运动的对比
质点一维运动
位移 速度 加速度 质量 力
dx v dt
F
x