大学物理 刚体力学基础 物体的弹性
第1 章
本章内容
1.1 刚体运动学
1.2 刚体定轴转动的转动定律
1.3 刚体定轴转动的转动动能动能定理
1.4 刚体定轴转动的角动量角动量守恒定律1.5 刚体的进动
1.6 物体的弹性
t =2s 时，刚体边缘任意质点的切向加速度和法向加速度
4
4
2
n 14.414.42230.4m/s
a t ==´=2
τ 2.4 2.42 4.8m/s
a t ==´=(2)任意时刻，刚体边缘任意质点的加速度
t =2s 时，刚体边缘任意质点的加速度
τn a a a n t =+r r r 42.414.4(SI)
t t n t =+r r 42.4214.42a n
t =´+´r r r 4.8230.4(SI)
n t =+r r
l
x
O
m x d x
x
d x
R d r O
r
m
l
m
z q
·C
mg
r ·
0z M =r
定轴转动刚体，若则1.4.2 刚体的角动量守恒定律
d 0
z L =r z L =r
常矢量
*刚体的转动惯量一定，则刚体转动的角速度一定；
应用即
刚体的角动量守恒定律
刚体的角动量守恒定律 z J w =常量
如：固体星球以匀角速度自转。
*变形体绕某轴转动时，若其上各质点圆周运动的角速度相同，则变形体相对该轴的转动惯量随时间变化，即 ()z J t w =常量
()
z z J J t =转动惯量增大时，角速度减小；反之亦然。
定轴转动刚体相对给定轴所受的合外力矩等于零时，刚体相对该轴的角动量的大小和方向都保持不变。
例如：花样滑冰，跳水，芭蕾舞等。
r
r
j c
g
m r
g
m r
j
c
r r
V
+
V D
-V
D
p
-«V
¯。
大学物理第4章 物体的弹性
正应力分为张应力（ 0）与压应 力（ 0）两种。正应力的单位是Pa(帕 斯卡)。
4.1.2 线应变
当物体受到外力时，其长度会发生 改变。设一根直棒在不受外力作用时为 长度l0，两端受到拉力时会伸长，受到压 力时会缩短，其长度的增量用l表示， 伸长时l为正，缩短时l为负。
如果该物体各部分的长度变化是均 匀的，则 Δl 称为线应变。用表示
（a ）
（b ）
（c ）
图4-6 平面弯曲现象
4.2 切应力与切应变
4.2.1
切应力
当物体两端同时受到反向平行的拉 力F作用时会发生形变，如图4-7所示。 发生错位的这些平面称为剪切面， 平行于这个平面的外力称为剪切力。 任一剪切面两边材料之间存在相互 作用并且大小相等的切向内力。
把通过某个截面的切向内力与该截面 的面积之比称为切应力，用 表示。即：
F S
当内力在上下底面上分布不均匀时，可 以在截面上取微小的面元，其面积为dS，设 这个面元上的切向内力为dF，则该面元上的 切应力为：
F dF lim dS S 0 S
上式中：S为图4-7中长方体上面或下底 的面积。
4.2.2
切应变
弹性体在平行于某个截面的一对方 向相反的平行力作用下，其内部与该截 面平行的平面发生错位，使原来与这些 截面正交的线段变得不再正交，这样的 形变称为切应变。
骨作为一种弹性材料，在正比极限 范围内，它的正应力和正应变成正比关 系，如图4-3所示。 图中3条曲线分别表示湿润而致密的 成人桡骨、腓骨和肱骨的正应力与线应 变的关系。 在应变小于0.5%的条件下，这3种 四肢骨的应力—应变曲线皆为直线，成 正比关系。
图4-3 湿润的成人四肢骨应力—应变曲线
什么是力学中的刚体和弹性体？
什么是力学中的刚体和弹性体？在力学的广阔领域中，刚体和弹性体是两个极为重要的概念。
它们在我们理解物体的运动和变形行为方面发挥着关键作用。
首先，让我们来认识一下刚体。
刚体是指在受到外力作用时，其形状和大小始终保持不变的物体。
这意味着，无论施加多大的力，刚体内部任意两点之间的距离都不会发生改变。
想象一个坚固的金属块，当我们对它施加推力、拉力或者扭转力时，它不会像面团一样被压扁、拉长或者扭曲。
例如，在汽车制造中，车架通常被视为刚体。
在正常的行驶条件下，车架的形状和尺寸基本保持恒定，为车辆的其他部件提供了稳定的支撑结构。
刚体的运动可以用简单的几何和运动学原理来描述。
比如平移和转动。
平移就是刚体沿着直线或者曲线的移动，就像一辆直线行驶的汽车。
而转动则是刚体围绕某一固定轴的旋转，比如车轮的转动。
然而，在现实世界中，真正完全符合刚体定义的物体是非常罕见的。
大多数物体在受到外力时都会发生一定程度的变形，这就引出了弹性体的概念。
弹性体是指在受到外力作用时，会发生变形，但当外力去除后，能够恢复到原来形状和尺寸的物体。
一个常见的例子是弹簧。
当我们拉伸或压缩弹簧时，它会变长或变短，但一旦我们松开手，弹簧就会恢复到原来的长度。
弹性体的变形程度与所施加的外力大小成正比。
这种关系可以用胡克定律来描述，即在弹性限度内，弹簧的伸长量或压缩量与作用在弹簧上的力成正比。
弹性体的变形不仅仅局限于拉伸和压缩，还包括弯曲、扭转等多种形式。
比如一根细长的钢梁，在承受重物时会发生弯曲变形；而一个机械轴在传递扭矩时会发生扭转变形。
与刚体不同，弹性体的力学分析要复杂得多。
我们需要考虑物体的材料特性，如弹性模量、泊松比等，来准确描述其变形行为。
在工程应用中，理解刚体和弹性体的区别至关重要。
例如，在设计机械结构时，如果将某些部件视为刚体进行简化分析，可以大大减少计算量，但这种简化必须在合理的范围内，否则可能导致设计失误。
而对于那些容易发生显著变形的部件，如弹簧、橡胶垫圈等，则必须作为弹性体来进行详细的力学分析，以确保其性能和可靠性。
力学中的弹性力分析
力学中的弹性力分析弹性力是指物体在外力作用下发生弹性变形时回复原状的力量。
在力学中，弹性力是一种重要的研究对象，对于理解物体的弹性行为和设计弹性结构有着重要的意义。
一、弹性力的基本概念弹性力是物体在受到外力作用下发生形变时，由于弹性势能的存在而产生的力量。
当外力停止作用时，物体会恢复到原来的形状，这种恢复的力就是弹性力。
弹性力的大小与物体的弹性系数、形变量以及外力大小有关。
二、胡克定律根据胡克定律，弹性力与物体的形变量呈正比，弹性力的方向与物体发生形变的方向相反。
胡克定律可以用下式表示：F = -kx其中F表示弹性力，k表示弹性系数，x表示物体的形变量。
负号表示弹性力与形变方向相反。
三、弹簧的弹性力分析弹簧是最常见的用来研究弹性力的物体之一。
当弹簧受到外力作用时，形变量x与外力F之间满足胡克定律的关系。
弹簧的弹性系数k 可以通过实验测量得到。
在弹簧的等长状态下，弹簧没有受到外力作用，弹性力为零。
四、杨氏模量杨氏模量是描述物体材料的弹性性质的物理量。
它表示单位面积受力时，在弹性变形范围内的应变与应力之间的比值。
杨氏模量可以用下式表示：E = (F/A)/(Δl/l0)其中E表示杨氏模量，A表示受力物体的横截面积，F表示受力物体上的外力，Δl表示物体发生的形变量，l0表示物体的原始长度。
五、应用领域弹性力的研究对于很多领域都具有重要意义。
在结构工程中，设计弹性结构需要掌握弹性力的原理和计算方法。
在材料科学中，了解材料的弹性性质对于合理选择材料、优化材料性能有着重要的作用。
在机械工程中，掌握弹性力的分析方法可以用于弹性元件的设计和计算。
在物理学的实验研究中，弹性力的研究有助于理解物体的弹性行为，并推导出相应的物理规律。
总结：力学中的弹性力分析是研究物体在外力作用下发生弹性变形时，回复原状的力量。
胡克定律描述了弹性力与形变量的关系，弹簧是常见的弹性力研究对象。
杨氏模量是描述物体材料弹性性质的重要参数。
弹性力的研究在结构工程、材料科学、机械工程等领域有着广泛的应用。
大学物理刚体力学
大学物理刚体力学标题：大学物理中的刚体力学在物理学的研究中，大学物理是引领我们探索自然界规律的重要途径。
而在大学物理中，刚体力学是一个相对独特的领域，它专注于研究物体在受到外力作用时的质点运动规律。
本文将探讨大学物理中的刚体力学。
一、刚体概念及特性刚体是指物体内部各质点之间没有相对位移，形状和体积不发生变化的理想化物体。
在刚体力学中，我们通常将刚体视为一个整体，研究其宏观运动规律。
刚体具有以下特性：1、内部质点无相对位移。
2、刚体不发生形变，形状和体积保持不变。
3、刚体在运动过程中，内部任意两质点间的距离保持不变。
二、刚体力学的基础知识1、刚体的运动形式刚体的运动形式包括平动、转动和振动。
平动是指刚体沿直线作均匀速度的运动；转动是指刚体绕某轴线作角速度变化的运动；振动是指刚体在平衡位置附近作往复运动的周期性运动。
2、刚体的动力学基础动力学是研究物体运动状态变化的原因和规律的科学。
在刚体力学中，动力学的基本方程包括牛顿第二定律、动量定理和动能定理等。
这些方程为我们提供了分析刚体运动状态变化的基本工具。
三、刚体的转动惯量转动惯量是描述刚体转动惯性大小的物理量。
它与刚体的质量、形状和大小有关。
在物理学中，转动惯量是研究刚体转动规律的重要参数。
通过计算转动惯量，我们可以了解刚体在受到外力矩作用时角速度变化的规律。
四、刚体的角动量角动量是描述物体绕某轴线旋转的物理量，与物体的质量、速度和半径有关。
在刚体力学中，角动量是一个非常重要的概念。
它可以帮助我们理解刚体在受到外力矩作用时的角速度变化规律。
同时，角动量守恒定律也是刚体力学中的一个重要定律。
在已知刚体的质量、转动惯量和角动量的基础上，我们可以建立刚体的动力学方程。
动力学方程可以帮助我们分析刚体在受到外力作用时的运动状态变化规律。
对于复杂的动力学问题，我们通常需要借助数学软件进行数值模拟和分析。
六、总结在大学物理中，刚体力学是一个相对独立且具有重要应用价值的领域。
刚体的力学性质
刚体的力学性质力学是物理学中的一个重要分支，研究物体的运动和力的作用。
刚体力学是力学的一个方面，主要研究刚体在受力作用下的力学性质。
在本文中，我们将探讨刚体的力学性质，包括刚体的定义、运动、平衡、转动、惯性等。
1. 刚体的定义刚体是指其形状和尺寸在外力作用下不会发生变化的物体。
在研究刚体的力学性质时，我们将其简化为理想的物体，即质点的集合，不考虑物体的内部结构。
2. 刚体的运动刚体的运动可以分为平动和转动两种。
平动是指整个刚体沿直线运动，转动是指刚体围绕某个轴进行旋转。
a. 平动：刚体的平动可以分为匀速直线运动和变速直线运动。
刚体的平动是由外力作用引起的，根据牛顿第二定律可以推导出刚体的运动方程。
b. 转动：刚体的转动可以分为绕固定轴的转动和绕自身质心的转动。
刚体的转动是由外力或自重力矩作用引起的，根据牛顿第二定律和角动量定理可以推导出刚体的转动方程。
3. 刚体的平衡刚体的平衡是指刚体在受力作用下不发生平动和转动的状态。
根据力矩平衡条件和合力平衡条件可以推导出刚体平衡的条件。
a. 力矩平衡条件：对于刚体平衡，外力矩和内力矩必须相等。
通过求和刚体上各点的力矩，可以得到刚体平衡的条件。
b. 合力平衡条件：对于刚体平衡，合力必须为零。
通过求和刚体上各点的力，可以得到刚体平衡的条件。
4. 刚体的转动惯量转动惯量是刚体转动惯性的量度，表示刚体转动时其对转动的惯性大小。
刚体的转动惯量与刚体的质量分布以及转动轴的位置有关。
a. 质点的转动惯量：质点的转动惯量等于质点质量乘以距离轴的平方。
b. 刚体的转动惯量：刚体的转动惯量可以通过对质点的转动惯量进行求和得到。
不同形状的刚体，其转动惯量的表达式不同。
5. 刚体的转动惯量定理转动惯量定理表明，在转动惯量不变的情况下，刚体的转动惯量与角加速度成正比。
即转动惯量大的刚体转动相同角度所需要的力矩较大。
6. 刚体的稳定性刚体的稳定性是指刚体保持平衡时的能力。
刚体平衡时，若微小扰动引起的恢复力矩大于微小扰动引起的力矩，刚体即具有稳定性。
理解大学物理中的弹性体实验原理
理解大学物理中的弹性体实验原理弹性体实验是大学物理实验中的一个重要实验内容，通过该实验可以深入理解和探究弹性体的性质和原理。
本文将对大学物理中的弹性体实验原理进行解析，帮助读者更好地理解这一实验。
弹性体实验原理主要包括弹性体的定义、弹性体的力学性质、弹性体的应变与应力关系等内容。
下面将对这些内容进行详细展开。
一、弹性体的定义弹性体是指在受力后可以发生形变，但当去除外力后，又能恢复原状的物质。
弹性体具有较大的弹性变形能力，其形变与其外力变化量成正比。
二、弹性体的力学性质弹性体的力学性质包括弹性模量、弹性极限和弹性常数等。
其中，弹性模量是衡量弹性体抵抗形变的能力的物理量，常用的有Young模量、剪切模量和体积模量等。
弹性极限是指弹性体可承受的最大应力，超过该极限即会发生塑性变形。
弹性常数指的是描述弹性体材料特性的常数，一般包括弹性模量和泊松比。
三、弹性体的应变与应力关系弹性体的应变与应力关系可用胡克定律来描述。
根据胡克定律，弹性体内部的应力与应变成正比。
即应力等于弹性模量乘以应变。
应变分为线性应变和剪切应变两种，线性应变是指物体在受力作用下的延伸或压缩所产生的应变，剪切应变是指物体在受到剪切力作用下所产生的应变。
四、弹性体实验中的实验项目大学物理中关于弹性体实验的项目有很多，如弹性体的拉伸实验、弹性体的压缩实验、弹性体的扭转实验等。
这些实验项目都通过施加外力并测量相应的变化量来验证弹性体的力学性质和弹性模量等参数。
弹性体实验中的一种常见实验项目是拉伸实验。
在拉伸实验中，将弹性体样品固定在实验装置上，施加拉力并测量样品的变形量和受力情况。
通过分析变形量和受力数据，可以得到材料的弹性模量等力学性质。
另一种常见的弹性体实验是压缩实验。
在压缩实验中，将弹性体样品放置在实验装置中，施加压力并测量样品的形变量和压力情况。
通过对形变量和压力数据的分析，可以了解和验证弹性体的力学性质和弹性模量等参数。
五、实验注意事项在进行弹性体实验时，需要注意以下几点：1. 选择合适的弹性体样品，确保其具有较好的弹性性质。
弹性力学中的物体变形与弹性势能研究
弹性力学中的物体变形与弹性势能研究弹性力学是物理学中的一个重要分支，研究物体在受力作用下的变形与恢复过程。
而弹性势能则是描述物体在变形过程中存储的能量。
本文将就弹性力学中的物体变形与弹性势能进行探讨。
弹性力学研究物体在受力作用下的变形行为，从微观角度来看，物体的变形是由分子和原子之间的相对位移引起的。
当外力作用于物体上时，物体内部各个位置的分子之间将受到不同程度的拉伸或压缩力，从而导致物体发生变形。
物体变形的程度与外力的大小有关，同时也与物体自身的性质有关。
根据物体材料的不同，分为刚体、弹性体和塑性体。
刚体是指在受力作用下不发生形变的物体，这是一种理想状态。
而弹性体则是指在一定范围内，物体受力后可以恢复到原来形状的物质，如弹簧和橡胶等。
塑性体则是指物体受力后不会恢复原样，会永久变形的物质。
在弹性力学中，物体的变形可以分为三种基本形式，即拉伸变形、压缩变形和剪切变形。
拉伸变形是指物体在受到拉力作用后发生的变形，如拉伸弹簧的长度变化。
压缩变形则是指物体在受到压力作用后发生的变形，如压缩弹簧的长度变化。
剪切变形是指物体由于受到剪切力作用而发生的形变，如剪切板的扭曲变形。
这三种变形形式在弹性力学中起着重要的作用，它们共同构成了物体全面的变形过程。
物体在受力变形过程中，存储了一定的弹性势能。
弹性势能是指物体由于变形而具有的能量，也可以理解为变形时的能量转换。
在弹性力学中，弹性势能可通过应变和应力之间的关系来计算。
应变是物体相对于受力作用前的初始形状发生的相对变化，应力则是物体内部分子间的相对运动引起的力。
根据胡克定律，应变与应力成正比。
而弹性势能则可以表示为物体内部弹性力对位移所做的功。
由于弹性力受力作用后会随着物体恢复到初始形状而消失，所以弹性势能只存在于物体变形的过程中。
弹簧是研究弹性势能的一个经典例子，它的劲度系数代表了弹簧的刚度，在一定外力作用下，弹簧的变形与弹性势能的大小有关。
在实际应用中，弹性力学在很多领域都得到了广泛的应用。
第6章刚体力学基础物体的弹性
第6章 刚体力学基础 物体的弹性质点（particle ）是一个忽略了物体形状和大小的理想模型．它遵循质点力学的规律即牛顿运动规律．然而，一个实际物体是有一定形状和大小的，而且在力的作用下会发生形变．如果撤去作用力，能恢复原状态的物体称为弹性体，否则称为塑性体．如果在力的作用下，产生的形变极其微小，从而可以被忽略不计，这样的物体称为刚体（rigid body ）．刚体可以看成是由彼此间距离不变的大量质点组成的有一定形状和大小的物体．如果实际物体在受到力的作用时其形变很小，则可以把它近似看成刚体．因此，刚体也是一个理想模型．本章主要研究刚体作定轴转动所遵循的力学规律．首先导出刚体定轴转动定律，然后讨论力矩对空间的累积作用即刚体定轴转动动能定理，以及力矩对时间的累积作用即角动量定理和角动量守恒定律，最后将简单介绍物体的弹性．6.1 刚体的转动6.1.1 刚体的平动和转动刚体的运动可以分为平动（translation ）和转动，它们是刚体的两种最简单也是最基本的运动形式．刚体的任何复杂运动都可以看作是这两种运动的合成．1．平动如图6-1所示，刚体在运动过程中，组成刚体的所有质点都沿平行路径运动，即连接刚体上任意两点的连线，在运动过程中始终保持平行，这种运动称为平动．如活塞的运动、电梯的升降等．刚体在作平动时，组成刚体的各质点的运动是完全相同的．因此，我们可以用刚体上的一个质点（质元）的运动来替代整个刚体的运动，这就是刚体作平动时，可用质点力学来处理的原因．2. 刚体的定轴转动如果刚体上各个质点都绕同一直线作圆周运动，这种运动称为刚体的转动（rotation ），这条直线称为转轴（rotation axis ）．如果转轴在刚体的运动过程中相对于参照系是静止的，则称为定轴转动（fixed-axis rotation ）．例如旋转式的门窗、钟表指针的运动，离心机的转动等都属于定轴转动．如图6-2所示，溜冰运动员在原地绕自身轴的旋转也可近似看作是定轴转动．不难发现，上述运动的共同特征是转动体上各点均绕固定轴作半径不同的圆周运动． 6.1.2 描述刚体定轴转动的物理量刚体绕固定轴转动时，刚体上所有各质量元都在各自的平面内绕轴作半径不同的圆周运动．这些质元的线量（线速度、线加速度等）各不相同．然而，它们的角速度（angular velocity ）、角加速度（angular acceleration ）等角量却是相同的．因此，类似于圆周运动，我们采用角量图6-2芭蕾舞演员的定轴转动图6-1 刚体的平动同济内部使用来描述刚体的定轴转动．如图6-3所示，在刚体上任选一点P ，P 点离转轴距离为r ．过P 点作垂直于转轴的平面，该平面称为转动平面．P 点在此平面内作圆周运动．以转动平面与转轴的交点O 为原点，在转动平面内建立相对于参考系静止的坐标轴Ox ，这样就可以用角量即角位置（angular position ），角位移（angular displacement ），角速度和角加速度来描述刚体的定轴转动．1. 角位移P 点对O 点的位置矢量（位矢）r 与Ox 轴方向的夹角θ称为角位置．在刚体的转动过程中，θ随时间发生变化，是时间的函数)(t θ．刚体在t ∆时间内转过的角度θ∆称为角位移．一般规定沿逆时针方向的角位移为正，沿顺时针方向的角位移为负．角位移的国际单位是rad （弧度）．2. 角速度我们将角位移对时间的变化率定义为角速度，以ω表示．数学表达式为 tθt θt d d lim0=∆∆=→∆ω 6-1 角速度是矢量，其方向由右手螺旋法则确定．使四指沿着刚体转动的方向弯曲，拇指所指的方向就是角速度矢量的方向，如图6-4所示．在国际单位制中，角速度的单位为1s rad −⋅．3. 角加速度 角加速度是描述角速度对时间变化率的物理量，以β表示．数学表达式为220t d d d d lim t t t θωωβ==∆∆=→∆ 6-2角加速度也是矢量，当ω变大时β与ω同方向，当ω变小时β与ω反方向．在国际单位制中，角加速度单位为2s rad −⋅． 在刚体定轴转动中，角速度、角加速度的方向只有沿转轴的两个方向，所以计算中常作标量处理．6.1.3 角量与线量的关系由图6-5可知，线速度与角速度的关系为 ωθθR tR t R t s t t ==∆∆=∆∆=→∆→∆d d lim lim00v 6-3 线速度方向为P 点的切线方向．当P 点作变速圆周运动时，该点的加速度a 可分解为切向加速度t a 和法向加速度n a ，它们的大小分别为 βωωR tR t R t a ====d d d )(d d d t v 6-4 2222n ωωR RR R a ===v 6-5P 点加速度a 的大小为图6-3 刚体的定轴转动图6-5 角量与线量的关系图6-4 角速度的方向同济内部使用422222n 2t d d ωβ+=+ =+=R R t a a a v v 6-6 方向为tnarctana a =ϕ 6-7例题 6.1 卷扬机转筒的直径为cm 40，在制动的s 1.0内，转筒的运动方程为t t 42+−=θ（SI ）．试求（1）转筒边缘上一点P 的速度． （2）P 点的切向加速度及法向加速度．解 由题意，转筒在制动过程中的角速度和角加速度分别为1s rad 42d d −⋅+−==t tθω 2s rad 2d d −⋅−==tωβ 1s =t 时，1s rad 2.042−⋅=+−=t ω，所以（1）转筒边缘上一点P 的速度为11s m 04.0s rad 0.22m400.−−⋅=⋅×==ωr v （2）P 点的切向加速度及法向加速度分别为 22-t s m 04.0)s rad 2(2m40.0−⋅−=⋅−×==βr a 221-2n s m 80.0)s rad .02(2m04.0(−⋅=⋅×==ωr a 6.2 刚体定轴转动定律 转动惯量用角量描述刚体的定轴转动时，角位置和角速度是描述定轴转动的状态量，而角加速度则是描述定轴转动的状态改变量．那么，刚体运动状态改变的根本原因是什么？其遵循怎样的动力学规律呢？ 6.2.1力矩在外力作用下，一个具有固定轴的静止刚体（比如门或窗），可能发生转动也可能不发生转动．刚体是否转动以及转动的快慢，不仅与外力的大小有关，而且还与力的作用点位置和方向有关．力的大小、方向和作用点位置这三个因素组成了力矩（moment of force ）这一物理量，它是改变刚体转动状态的原因．如图6-6所示，设刚体所受外力F 在转动平面内，作用点为P 点．原点O 到力的作用线的垂直距离为d ，称为力F 对转轴的力臂（moment arm of force ）．力的大小与力臂的乘积，称为力对转轴的力矩，以M 表示，有ϕsin Fr Fd M == 6-8 式中r 为原点O 到力F 作用点P 的位矢大小，ϕ为矢径r 与力F 之间的夹角．图6-6 刚体所受的力矩同济内部使用如果外力不在转动平面内，则必须将外力分解成两个分力．一个是与转轴平行的分力，另一个是在转动平面内的分力．只有在转动平面内的分力才会影响刚体的转动状态．力矩是一个矢量．根据矢量的矢积定义，力矩M 为矢径r 与力F 的矢积，即 F r M ×= 6-9力矩的方向由右手螺旋法则确定：右手的四指由位矢r 的方向（经小于180°的角度）转到力F 的方向，拇指的指向就是力矩M 的方向，即M 的方向垂直于r 与F 组成的平面．力矩的大小则由式6-8给出．在定轴转动中，力矩的方向M 总是沿转轴的方向．因此，在定轴转动中，力矩可作为标量来处理．当有几个力同时作用在刚体上时，这几个力的合力矩就等于这几个力的力矩的代数和．在国际单位制中，力矩的单位为m N ⋅． 6.2.2 刚体定轴转动定律如图6-7所示，在刚体上任取一质元i m ∆，该质元到转轴的距离为i r ．质元所受到的合外力在转动平面内的分力为i F ，质元受到刚体内其它所有质元的合内力在转动平面内的分力为i f ．根据牛顿第二定律，沿运动切向分量的方程为βθϕi i i i i i r m f F ∆=+sin sin上式方程两边分别乘以i r ，可得βθϕ2sin sin i i i i i i i i r m r f r F =+式中，i i i r F ϕsin 是质元所受到的合外力i F 对转轴的力矩．而i i i r f θsin 则为质元所受的合内力i f 对转轴的力矩．由于质元所受的法向分量i i F ϕcos 和i i f θcos 的作用线均通过转轴，对转轴的力矩为零，故不作考虑．对于构成刚体的每一质元，均可列出上述方程，将所有方程相加，可得∑∑∑=+iiii iiii ii i rm r f r F βθϕ2sin sin 6-10式中∑ii i i r F ϕsin 是作用于刚体所有质元上的外力对转轴力矩的代数和，即刚体所受的合外力矩，用M 表示．∑ii i i r f θsin 是整个刚体所受的内力对转轴力矩的代数和．因内力总是成对出现，且等值反向，所以每一对内力矩的代数和均为零，即0sin =∑ii i i r f θ．而上述等式右边的∑ii i r m 2是由刚体本身性质决定的物理量，称为刚体对定轴的转动惯量（moment ofinertia ），以J 表示∑=ii i r m J 26-11于是，式6-10可写成βJ M = 6-12上式表明，对某定轴刚体所受的合外力矩等于刚体对该定轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积．这就是刚体定轴转动定律（law of fixed-axis rotation ）．写成矢量形式为βM J = 6-13刚体定轴转动定律表述了力矩对刚体定轴转动的瞬时作用规律．式中力矩M 、转动惯量J 和角加速度β三个物理量都是同一时刻对应的同一个转轴．图6-7 刚体定轴转动定律同济内部使用6.2.3 转动惯量转动惯量是量度刚体转动惯性大小的物理量．由转动定律βJ M =可以看出，当刚体所受的合外力矩一定时，转动惯量J 愈大，则其角加速度β就愈小；反之J 愈小，β就愈大．对于质量连续分布的刚体，式6-10可写成∫∫==VmV r m r J d d 22ρ 6-14式中ρ为物体的质量密度．在国际单位制中，转动惯量的单位为kg ·m 2．在实际工程上，对规则形状刚体的转动惯量常从手册或表中直接查出．表1-1列出了几种常见刚体对特定转轴的转动惯量．表1-1 几种常见刚体的转动惯量例题6-2 有一质量为m ，长为l 的均匀细杆，如图6-8所示．试求对下列转轴的转动惯量． （1）转轴通过杆的质心并与杆垂直． （2）转轴通过杆的一端并与杆垂直．解 （1）如图6-8(a)所示，以杆中心为坐标原点O ，距离原点x 处，取长为x d 的质元m d ，其质量为x x lmm d d d λ==，其中λ为单位长度的质量，称为质量线密度．该质元对通过杆的质心并与杆垂直的转轴的转动惯量为x x x lmx m x J d d d d 222λ=== 图6-8 例题6-2用图(a)(b)内部整个杆对转轴的转动惯量为23222121121d d ml l x x J J l l ====∫∫−λλ （2）如图6-8(b)所示，同理可得整个细杆对通过杆的一端的转动惯量为23023131d ml l x x J l ===∫λλ例题6-3 如图6-9(a)所示，一质量为m 的物体与绕在定滑轮上的轻绳相连，轻绳与定滑轮之间无相对滑动．设定滑轮的质量为0m ，半径为r ，可视为均质圆盘．试求物体m 由静止开始下落的过程中， （1）绳子的张力． （2）物体的加速度．（3）物体下落的速度与时间的关系． 解 用隔离体法对每一物体进行受力分析，如图6-9(b)所示．滑轮顺时针方向转动，故力矩方向垂直页面向里，设此方向为正．根据牛顿第二定律和定轴转动定律，立出方程． 对物体m ： ma T mg =− 对滑轮0m : βr m Tr 2021=由于绳与滑轮之间无相对滑动，滑轮边缘上一点的切向加速度与物体的加速度相等，因此有βr a =联立上述方程组，得绳子的张力和物体的加速度分别为gm m m a gm m mm T 0222+=+=考虑到物体m 作匀加速直线运动，满足at =v ，故得物体下落的速度与时间的关系为gt Mm m+=22v由上述例题的解题过程可知，正确的受力分析是解题的关键．如果系统由刚体和质点共同组成，那么在列方程时，不但要同时应用牛顿运动定律和刚体定轴转动定律，而且还要考虑角量和线量的关系．6.3 刚体定轴转动的动能定理和功能原理6.3.1 刚体的转动动能和势能设刚体作定轴转动，在距离转轴为i r 处取一质元i m ∆．如某一时刻刚体角速度的大小为ω，则质元在该时刻的线速度大小为ωi i r =v ，按动能的定义，质元的动能为222k 2121ωi i i i r m m E i∆=∆=v (a) (b) 受力分析图6-9 例题6-3用图同济内部使用刚体的总动能为其所有质元的动能之和，即22k k )(21ωi i iir m E E i∑∑∆== 其中，2i i ir m ∑∆为刚体的转动惯量J ，所以上式可写为2k 21ωJ E =6-15 上式又称刚体的转动动能．类似分析，刚体重力势能应为刚体所有质元的重力势能之和．取任一质元i m ∆，其相对势能零点的高度为i z ，则刚体重力势能p E 为i i igz m E ∑∆=p刚体质心C 相对势能零点的高度C z 为∑∑∆∆=iiiii Cmz m z且刚体总质量∑∆=ii m m ，所以刚体的重力势能为C mgz E =p 6-16 即刚体的重力势能相当于刚体的质量m 集中在质心C 处的质点的重力势能． 6.3.2 刚体定轴转动的动能定理刚体转动动能的改变与外力矩做功有关，其关系可由转动定律导出．设在外力矩的作用下，刚体绕定轴转动的角速度由1ω变为2ω．在此过程中，相应于刚体转过了微小角位移θd ．此合外力矩所作的元功为ωωθωβd d d d d d d J tJθJ θM W ==== 当刚体从1t 时刻的1θ变化到2t 时刻的2θ时，合外力矩对刚体做的功为21222121d d 2121ωωωωθωωθθJ J J M W −===∫∫ 6-17 上式称为刚体定轴转动的动能定理．表明合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量，反映了力矩对空间的累积效应．6.3.3 刚体定轴转动的功能原理和机械能守恒定律如果刚体在定轴转动的过程中除受外力矩外，还受到摩擦力矩和重力矩作用，则按式6-17，有21222121d )(21ωωθθθJ J M M M W −=++=∫非保内保内外 上式中，外M 是指合外力矩．保内M 是指具有保守力性质的内力矩．所谓保守力是指这样一种力，它对物体所做的功与物体运动的路径无关，只与物体的起点和终点的位置有关，如重力、弹性力、静电场力等均属于保守力．非保守力则是指它对物体所做的功与物体运动的路径有关，如摩擦力、爆炸力等属于非保守力．显然，式中非保内M 是指具有非保守力性质的内力矩．若将地球和刚体视为一个系统，重力矩对刚体做功可用重力势能增量的负值来表示，因同济内部使用此上式可写为)21()21(d )(12122221C C mgz J mgz J M M W +−+=+=∫ωωθθθ非保内外 6-18式6-18称为重力场中刚体定轴转动的功能原理．如果外力矩和非保守内力矩不做功或做功之和为零，那么系统的机械能守恒．即 C mgz J +221ω=常量 6-196.4 刚体的角动量定理和角动量守恒定律在合外力矩作用下，刚体绕定轴转动的转动定律βJ M =描述了合外力矩对刚体作用的瞬时效应，现在我们进一步讨论外力矩在一段时间内的累积效应对刚体定轴转动的影响． 6.4.1 刚体对定轴的角动量如图6-10所示，设某一瞬时刚体绕轴转动的角速度为ω．在离轴i r 处取质元i m ∆，该质元在自身转动平面内绕轴作圆周运动．如此时质元的线速度为i v ，则质元对转轴的角动量（angular momentum ）i L 可定义为ωr p r L 2i i i i i i i i r m m ∆=∆×=×=v 6-20 式中i p 称为质元的动量（momentum ）．它是描述物体运动状态的一个物理量，大小为物体质量与速度的乘积，方向沿速度方向．由此可理解，角动量是描述物体转动运动状态的一个物理量．式6-20表示的是刚体上某一质元的角动量，又称质点的角动量．刚体绕定轴的总角动量L 应等于刚体上所有质元对该轴角动量的总和，即 ωL L∆==∑∑ii i i i r m 2 6-21其中∑∆ii i r m 2为刚体的转动惯量J ，因此，刚体对定轴的角动量可写为ωL J = 6-22 上式表明，刚体对定轴的角动量L 等于刚体对该轴的转动惯量J 与角速度ω的乘积，方向和角速度一致，沿转轴的方向，其大小为J ωL = 6-23在国际单位制中，角动量的单位为12s m kg −⋅⋅． 6.4.2 刚体的角动量定理根据刚体角动量的表达式，刚体定轴转动定律可写成 tLt J t JM d d d )(d d d ===ωω 6-24 上式表示，刚体所受的合外力矩等于刚体角动量对时间的变化率．将上式改写为 L t M d d = 6-25 式中t M d 称为合外力矩对刚体的冲量矩（moment of impulse ），它反映了合外力矩对时间的累积效应．若刚体绕定轴转动过程中，合外力矩的作用时间从t 1到t 2，则将式6-25两边积分，得1221d L L t M t t −∫＝ 6-26图6-10 刚体对定轴的角动同济内部使用上式表明，在一段时间内作用在刚体上的合外力的冲量矩等于刚体在该段时间内的角动量的增量，这一结论称为刚体对该定轴的角动量定理（theorem of moment of impulse ）．在国际单位制中，冲量矩的单位为s m N ⋅⋅． 6.4.3 刚体的角动量守恒定律由角动量定理，如果刚体所受的合外力矩0=M ，则有=L 常量 6-26 即刚体的角动量保持不变．这一结论称为刚体对定轴的角动量守恒定律（law of conservation of angular momentum ）．刚体作定轴转动时，若转动惯量J 保持不变，则当刚体所受合外力矩等于零时，刚体将以恒定的角速度ω 绕定轴作匀速转动．如图6-11所示，轮船、飞机、火箭上用作导航定向的回转仪（gyroscope ）就是利用这一原理制成的．若物体上各质元相对于转轴的距离可发生变化，即物体的转动惯量是可变的．在物体所受合外力矩0=M 的情况下，物体绕定轴转动的角动量守恒，按式6-26，=ωJ 常量，ω与J 成反比关系．例如，一人站在能绕竖直轴转动的转台上，两手各握一个哑铃，如图6-12所示．开始时，他的两臂平举张开，在其他人推动下使他连同转台一起以一定的角速度转动．当他收拢双臂时，人和转台的转速将加快．这是因为在人收拢双臂的过程中，整个转动系统的转动惯量J 在变小．由于转动系统没有受到外力矩作用，因此系统的角动量守恒，ωJ 保持不变．当J 变小时，ω 随之增大．类似的例子有很多，如花样滑冰运动员、芭蕾舞演员以及跳水运动员等所做的许多令人叹为观止的优美旋转动作，都是角动量守恒定律的应用实例．例题6-4 一半径为R ，质量为0m 的均匀圆盘可绕垂直轴Oz 转动，角速度为0ω，如图6-13所示．设初始时刻质量为m 的人处于圆盘的中心O 处，求当此人走到圆盘的边缘时，圆盘相对地面的角速度ω．解 对圆盘和人组成的系统，其所受的合外力矩为零，因此系统角动量守恒．按题意，初始时刻系统角动量为020021ωR m L =当此人走到圆盘的边缘时，系统的角动量为ωω22021mR R m L +=因为0L L =，由上述关系可得图6-11 回旋仪图6-12 角动量守恒定律演示 图6-13 例题6-4用图同济内部使用0002ωωmm m +=6.4.4 陀螺的运动一个绕自身对称轴高速旋转的陀螺（top ），轴下端与地面的接触点O 为一定点，如图6-14(a)所示．当陀螺不转动时，由于作用于质心的重力对O 点的重力矩不为零，所以陀螺会因此而倾倒．但当它绕自身对称轴高速旋转时，尽管同样受到重力矩作用却不会倾倒，而是在绕自身对称轴旋转的同时，其对称轴还将绕通过固定点O 的铅直轴Oz 作回转运动．我们把刚体高速自转的同时，其自身对称轴还将绕竖直轴作回旋运动的现象称为旋进（precession ）或称为进动．现在我们用角动量定理来解释陀螺的旋进运动．在图6-14(b)中，设陀螺的质量为m ，对自身轴的转动惯量为J ，若陀螺自旋角速度为ω，则其绕自身轴的自旋角动量L 为ωL J =式中L 的方向沿陀螺自身的对称轴．以陀螺与地面的接触点O 为参考点，陀螺所受重力矩M 为g r M m C ×=其中C r 为陀螺质心位矢．M 的方向指向页面里，与陀螺的自旋角动量L 垂直．因此，重力矩不能改变L 的大小，而只能改变其方向．根据角动量定理，当重力矩作用于陀螺t d 时间后，陀螺自旋角动量L 的增量为t d d M L =L d 的方向与M 方向相同，即自旋角动量L 的方向将水平地转向L L d +方向，并不沿竖直方向向下倾斜．于是，自旋角动量L 在水平面内将连续偏转而形成绕竖直轴的旋进运动，即表现为沿一个圆锥面的转动．由图6-13(b)可以看出，陀螺自旋轴在t d 时间内转过的角度即旋进角为θϕsin d d L L =式中，θ为陀螺的自身轴与圆锥轴线之间的夹角．相应的旋进角速度Ω的大小为θϕsin d d L Mt Ω==6-27 上式说明，旋进角速度与外力矩M 成正比，而与自旋角动量L 成反比，亦即与自旋角速度ω成反比．回转效应有着广泛的应用．例如炮弹在飞行时，受到的空气阻力对其质心的力矩会使炮弹发生翻转．为了防止这种情况的发生，常在炮膛内壁刻有螺旋线（亦称来复线），使炮弹在射出时绕自己的对称轴高速旋转．这样，在空气阻力矩的作用下炮弹在前进中将绕自身的行进方向旋进而不至于翻转，如图6-15所示．(a) (b)图6-14 陀螺的选进图6-15 炮弹的旋进同济内部使用在微观领域，旋进的概念也经常用到．例如，原子中的电子同时参与自旋运动和绕核的运动，都具有角动量．当其处在外磁场中，电子受磁力矩的作用以外磁场方向为轴线作旋进．正是电子的这种旋进运动，导致了物质的抗磁性．地球本身就是一个很大的回转仪，因为地球有自转，又受到太阳及其他星体的引力，因而地球在运动中要旋进．6.5 物体的弹性前面我们研究了刚体的运动规律．然而，实际上真正的刚体是不存在的．任何一个物体在外力作用下，其形状和大小都会发生变化，即产生一定的形变（deformation ）．在物体的弹性限度内，如果撤去外力，物体能恢复原状，这种形变称为弹性形变（elastic deformation ），这样的物体称为弹性体．如果外力过大，物体的形变超出了弹性限度，物体便不能恢复原状，这种形变称为塑性形变（plastic deformation ），这样的物体称为塑性体．研究物体在外力作用下所产生的形变，在工程、生物和医学上都具有重要意义．6.5.1 应变 应力 弹性模量1．正应变和正应力如图6-16所示，设一原长为0l 、截面积为S 的匀质杆，当两端受到拉力F 作用时，杆伸长了l ∆．将杆的伸长量与原长度的比值称为应变（tensile strain ），用ε表示，即00l l l l l ∆=−=ε 6-28 ε是一个没有单位的纯数．当物体受到拉力（压力）时，其内部任一横截面处也会产生拉力（压力），所受拉力（压力）应该均匀分布在横截面上．将单位横截面上所受到的内力称为正应力（张应力）（tensile stress ），用σ表示，即S F =σ 6-29 在国际单位中，正应力的单位为2m N −⋅或Pa （帕斯卡）．根据胡克定律，材料在弹性形变范围内，正应力与正应变成正比．将正应力与正应变的比值称为弹性模量（elastic modulus ）（也称杨氏模量），用Y 表示，即因ε为纯数，所以弹性模量的单位与正应力相同，也为Pa ．杨氏模量只与材料的性质有关，而与外力及物体的形状无关．它反映了材料抵抗线性形变的能力，其量值越大，材料越不容易变形．2．切应变和切应力如图6-17所示，有一立方形物体，底面固定于台面上．现在其上表面施加一个与表面相切的作用力F ，由于物体处于平衡状态，可知在物体的下表面同时出现一个与表面相切，大小相等且方向相反的切向力F ′．设上下两表面的垂直距离为d ，两表面的相对位移为x ∆，则受到上述两个大小相等，方向相反的平行力（剪切力）作用所引起剪切形变的程度，可用切应变（shear strain ）来描述．用γ表示，即图6-16 物体的正应力 图6-17 物体的切应力济内部使用发生剪切形变时，物体中任意一个平行于底面的截面S 将物体分成上下两部分．两部分间具有与外力大小相等的切向内力的作用，使得它们之间也产生相对位移，我们把剪切力F 与截面S 之比称为切应力（shear stress ），用τ表示，即与正应变类似，当物体发生剪切形变时，在一定的弹性限度内，切应力与切应变成正比，我们将切应力与切应变的比值称为切变模量（shear modulus ），用G 表示，即实验表明，大多数金属材料的切变模量约为其杨氏模量的31～21．3. 体应变和体应力如图6-18所示，物体各部分在各个方向上受到同等压强时其体积发生变化而形状不变，我们把体积变化量V ∆与原体积0V 之比称为体应变（volume strain ），用θ表示，即当固体放在静止的液体或气体中时，固体将受到流体静压强的作用．静压强总是垂直于固体表面，且在固体内任一平面都有垂直于该平面的压强作用．这种压强也是一种应力，因此体应力（volume stress ）也可用压强p 表示．实验表明，当物体发生体应变时，在一定的弹性限度内，压强p 与体应变θ成正比，我们将压强与体应变的比值称为体变模量（bulk modulus ），用K 表示，即综上所述，应变是指物体在压力作用下的相对形变，也称为胁变．应力则反映了物体发生形变时其内部的受力情况，表示作用在单位面积上的内力，应力也称为胁强．表1-2给出了一些常见材料的弹性模量． 表1-2 几种常见材料的弹性模量 材料 杨氏模量Y （MPa ） 切变模量G （MPa ） 体变模量K （MPa ） 钢 20080 158 玻璃 7030 36 木材10 10 — 骨 16（拉伸）9（压缩）10 — 图6-18 物体的体应内用。
动力学研究中的刚体与弹性体模型
动力学研究中的刚体与弹性体模型动力学是研究物体运动规律的学科，而刚体和弹性体是动力学研究中常用的模型。
刚体和弹性体模型在不同领域的应用广泛，从机械工程到物理学，都离不开对这两种模型的研究。
刚体是指在受力作用下形状和大小不发生改变的物体。
刚体模型假设物体的质点之间没有相对位移，只有整体的平动和转动。
这种模型适用于研究刚性物体的运动，如机械结构中的杆件和桥梁等。
刚体模型的研究可以通过牛顿定律和动量守恒定律来描述物体的运动。
弹性体是指在受力作用下会发生形变，但在去除外力后能够恢复原状的物体。
弹性体模型假设物体在受力作用下会发生弹性形变，当外力消失时，物体能够恢复到原来的形状。
这种模型适用于研究弹性材料的性质，如橡胶、弹簧等。
弹性体模型的研究可以通过胡克定律和应变能守恒定律来描述物体的形变和恢复过程。
刚体和弹性体模型在动力学研究中有着不同的应用。
在机械工程中，刚体模型被广泛应用于机械结构的设计和分析。
通过对刚体的运动学和动力学分析，可以确定机械结构的受力情况和运动规律，从而优化设计和提高性能。
例如，在汽车工程中，对刚体模型的研究可以帮助设计车身结构，提高车辆的稳定性和安全性。
而在物理学中，弹性体模型被用于研究物质的力学性质和能量转换。
通过对弹性体的形变和恢复过程进行分析，可以推导出物质的弹性模量和应力分布等重要参数。
这对于材料科学和工程学的发展具有重要意义。
例如，在建筑工程中，对弹性体模型的研究可以帮助设计和分析建筑结构的变形和承载能力，确保建筑物的安全性和稳定性。
除了在工程领域，刚体和弹性体模型在生物学、地球物理学等领域也有着广泛的应用。
在生物学中，刚体模型被用于研究生物体的运动和力学特性，例如动物的骨骼结构和肌肉运动。
而弹性体模型则被用于研究生物体的柔软组织和弹性特性，例如皮肤和血管等。
在地球物理学中，刚体模型被用于研究地壳的运动和地震活动，而弹性体模型则被用于研究地震波传播和地震波反射等现象。
总之，刚体和弹性体模型在动力学研究中扮演着重要角色。
刚体力学基础 弹性体简介
dr
F
F
A Md
1
2
o
r
x
A M i d
1
2
dA Md P M dt dt
第15页 共38页
4.3.3 刚体定轴转动的动能定理
动能定理
dA dEk
2 1
A
1 1 2 2 Md J2 J1 2 2
第25页 共38页
4.5 刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律
4.5.1 角动量 冲量矩 角动量定理
d dJ dL 由转动定律 M J J dt dt dt 角动量 L J
Mdt dL
Mdt 称为dt 时间内刚体所受合外力矩的冲量矩.
角动量定理
t2
t1
M dt L2 L1 J 22 J11
刚体在t1t2 时间内所受合外力矩的冲量矩等于该段 时间内刚体角动量的增量.
3 0
R
π R 1 2 mR 2 2
4
第9页 共38页
垂直于杆的轴通过杆的中心
1 2 J ml 12
垂直于杆的轴通过杆的端点
1 2 J ml 3
垂直于杆的轴通过杆的1/4处
7 J ml 2 48
匀 质 直 杆 对 垂 直 于 杆 的 转 轴 的 转 动 惯 量
第10页 共38页
1 2 1 2 mgh Th mv mv0 2 2 1 2 1 2 TR J J0
2 2
M
h R
v R
m
T
1 v0 0 0 0 J MR 2 2
mgh 解得： v 2 M 2m