高三一轮复习——空间向量与立体几何(含解析)

空间向量
1. 如图，正四棱柱1111ABCD A BC D -中，124AA AB ==，点
E 在1CC 上且EC E C 31=．
（Ⅰ）证明：1AC ⊥平面BED ； （Ⅱ）求二面角1A DE B --的大小．
以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，
建立如图所示直角坐标系D xyz -．依题设，1(220)(020)(021)(204)B C E A ，，，，，，，，，，，．
(021)(220)DE DB ==
，，，，，，
1
1(224)(204)AC DA =--= ，，，，，． （Ⅰ）证明 因为10AC DB = ，10AC DE =
， 故1AC BD ⊥，1AC DE ⊥． 又DB DE D = ， 所以1
AC ⊥平面DBE ． （Ⅱ）解 设向量()x y z =，，n 是平面1DA E 的法向量，则
DE ⊥ n ，1DA ⊥ n ．
故20y z +=，240x z +=．
令1y =，则2z =-，4x =，(412)=-，
，n ． 1
AC
，n 等于二面角1A DE B --的平面角，
42
14
=
∙=
C A n ． 所以二面角1A DE B --
的大小为
A
B C
D E A 1
B 1
C 1
D 1
2.如图,四棱锥P ABCD
-中,PA ABCD ⊥底面,2,4,3
BC CD AC ACB ACD π
===∠=∠=,F 为PC 的中
点,AF PB ⊥.
(1)求PA 的长; (2)求二面角B AF D --的正弦值.
【答案】
3.已知点H 在正方体ABCD A B C D ''''-的对角线'B D '上，∠HDA =0
60． （Ⅰ）求DH 与CC '所成角的大小；
（Ⅱ）求DH 与平面AA D D ''所成角的大小．
解：以D 为原点，DA 为单位长建立空间直角坐标系D xyz -．
设(1)(0)H m m m >，，
则(100)DA = ，，，(001)CC '=
，，．连结BD ，B D ''． 设(1)(0)DH m m m =>
，，，由已知60DH DA <>= ，
， 由cos DA DH DA DH DA
DH =<>
，
可得2m
2
m =
，
所以1DH ⎫=⎪⎪⎝
⎭
．
（Ⅰ）因为0011cos 2DH CC ++⨯'<>== ，，
所以45DH CC '<>=
，．即DH 与CC '所成的角为45 ．
（Ⅱ）平面AA D D ''的一个法向量是(010)DC =
，，．
因为01101cos 2DH DC +⨯<>== ，， 所以60DH DC <>= ，．
可得DH 与平面AA D D ''所成的角为30
．
4.如图,在四面体BCD A -中,⊥AD 平面BCD ,22,2,==⊥BD AD CD BC .M 是
AD 的中点,P 是BM 的中点,点Q 在线段AC 上,且QC AQ 3=.
(1)证明://PQ 平面BCD ;(2)若二面角D BM C --的大小为0
60,求BDC ∠的大
小.
【答案】解:证明(Ⅰ)方法一:如图6,取MD 的中点F ,且M 是AD 中点,所以
3AF FD =.因为P 是BM 中点,所以//PF BD ;又因为(Ⅰ)3AQ QC =且3AF FD =,所以//QF BD ,所以面//PQF 面BDC ,且PQ ⊂面BDC ,所以
//PQ 面BDC ;
A
B
D
P
Q
M
方法二:如图7所示,取BD 中点O ,且P 是BM 中点,所以1
//
2PO MD ;取CD 的三等分点H ,使3DH CH =,且3AQ QC =,所以11
////42
QH AD MD ,所以
////P O Q H P Q O
H ∴,且OH BCD ⊂,所以//PQ 面BDC ; (Ⅱ)如图8所示,由已知得到面ADB ⊥面BDC ,过C 作CG BD ⊥于G ,所以
CG BMD ⊥,过G 作GH BM ⊥于H ,连接CH ,所以CHG ∠就是C BM D --的二面角;
由已知得到3BM ==,设BDC α∠=,所以
cos ,sin ,sin ,,CD CG CB
CD CG BC BD CD BD
αααααα===⇒===,
在RT BCG ∆中
,2sin BG
BCG BG BC
ααα∠=∴=
∴=,所以在RT BHG ∆中
213
3HG α
=∴=,所以在RT CHG ∆中
tan tan 603
CG CHG HG ∠===
=
tan (0,90)6060BDC ααα∴=∈∴=∴∠= ;
5. 如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长 为1的菱形，4
ABC π
∠=
, OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为
OA 的中点，N 为BC 的中点
（Ⅰ）证明：直线MN OCD
平面‖；
（Ⅱ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小； （Ⅲ）求点B 到平面OCD 的距离。

作AP CD ⊥于点P ,如图,分别以AB ,AP ,AO 所在直线为 ,,x y z 轴建立坐标系
(0,0,0),(1,0,0),((0,0,2),(0,0,1),(1A B
P D O M N ,
(1)证明
2
(1,,1),(0,,2),(,,2)
44222
M N O P O D =
--=-=-
-
设平面OCD 的法向量为(,,)n x y z =,则0,0n OP n OD ==
即 202022
y z x y z -=⎨⎪-+-=⎪⎩
取z =
解得n =
(1,1)044
MN n =--= ∵
MN OCD ∴平面‖
(2)解 设AB 与MD 所成的角为θ,(1,0,0),(1)22
AB MD ==-
- ∵ 1c o s ,2
3AB MD AB MD π
θθ===⋅ ∴∴
, AB 与MD 所成角的大小为3π. (3)解 设点B 到平面OCD 的距离为d ，
则d 为OB
在向量n =上的投影的绝对值,
由 (1,0,2)OB =-
, 得23
OB n d n ⋅==
.所以点B 到平面OCD 的距离为
2
3。