苏教版选修2-1高中数学2.3.1《双曲线的标准方程》word课后知能检测
2019-2020学年苏教版数学选修2-1新素养同步讲义：2.3 2.3.1 双曲线的标准方程 W
姓名，年级：时间：2．3 双曲线2．3.1 双曲线的标准方程1。
理解双曲线的定义，了解双曲线的标准方程及其推导过程．2。
掌握双曲线的标准方程的两种形式．3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．1．平面内到两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数）的点的轨迹叫做双曲线,两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．与椭圆一样，双曲线的标准方程也有两种形式：当焦点在x轴上时，方程为错误!－错误!＝1(a>0，b〉0)；当焦点在y轴上时，方程为错误!－错误!＝1(a>0，b>0)．2．双曲线标准方程中a、b、c的关系是:c2＝a2＋b2．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1）在双曲线标准方程中,a，b,c之间的关系同椭圆中a，b，c之间的关系相同．（) (2）点A(1，0），B（－1，0），若AC－BC＝2，则点C的轨迹是双曲线．( )(3)在双曲线标准方程错误!－错误!＝1中,a〉0，b〉0且a≠b.（）答案:（1)×(2）×（3）×2．已知双曲线x216－错误!＝1，则双曲线的焦点坐标为（）A．(－错误!,0)，(错误!,0) B．（－5,0），(5，0)C．（0，－5），（0,5）D．（0，－错误!)，(0，错误!)答案：B3．双曲线的两焦点坐标是F1（3，0），F2（－3，0），2b＝4,则双曲线的标准方程是________．答案：错误!－错误!＝14．设双曲线错误!－错误!＝1的右支上一点P到左焦点F1的距离是15,则P到右焦点F2的距离是________．答案:7求双曲线的标准方程求适合下列条件的双曲线的标准方程．（1)焦点在y轴上，且过点（3，－4错误!)，错误!;(2)经过两点（27，3），(－7，－6错误!)．【解】（1）设所求双曲线的标准方程为错误!－错误!＝1(a>0，b>0）．因为点(3,－4错误!），错误!在双曲线上,所以这两个点的坐标满足所设方程，由此得错误!，令m＝错误!，n＝错误!，则方程组可化为错误!解方程组得错误!所以a2＝16，b2＝9。
高二数学 教案 2.3.1 双曲线的标准方程_苏教版_选修2-1
3.焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为 ，焦点坐标为 ； 焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为 ，焦点坐标为 ； 其中,,a b c 的关系为 。
二、例题例 1.已知双曲线的两个焦点分别为12(0,5),(0,5)F F ，双曲线上一点P 到12,F F 的距离的差的绝对值等于8，求双曲线的标准方程。
例2.求适合下列条件的双曲线的标准方程：⑴一个焦点为(3,0)F ，经过点(4,1)P -；⑵过点M ⎛⎫ ⎪⎝⎭和(4,3)N -。
例3.已知,A B 两地相距800m ，一炮弹在某处爆炸，在A 处听到爆炸声的时间比在B 处迟2s ，设声速为340m/s 。
⑴爆炸点在什么曲线上？⑵求这条曲线的方程。
三、巩固练习1.已知双曲线2288kx ky -=的一个焦点为(0,3)，则k 的值为 。
2.已知方程22121y x k k +=--表示双曲线，求k 的取值范围。
四、小结五、课后反思六、课后作业1.双曲线221916y x -=的焦点坐标为 ； 双曲线2242y x -=的焦点坐标为 。
2. 以椭圆221169y x +=的顶点为焦点，且过椭圆焦点的双曲线方程是 。
3.若双曲线2228x y -=右支上一点P 到其一焦点的距离为10，则点P 到另一个焦点的距离为 。
4.已知双曲线2216436y x -=的焦点为12,F F ，点P 在双曲线上，且12PF PF ⊥，则12F PF ∆的面积为 。
5.求适合下列条件的双曲线的标准方程。
⑴焦距为(5,2)-，且焦点在x 轴上；⑵与双曲线221164y x -=有相同的焦点，且经过点2)。
6.已知22113y x k k -=---，当k 为何值时，①方程表示双曲线；②表示焦点在x 轴上的双曲线；③表示焦点在y 轴上的双曲线。
7.已知12,F F 是双曲线22169144x y -=的两个焦点，点P 在双曲线上，且1232PF PF ⋅=，求12F PF ∠。
数学知识点苏教版选修2-1高中数学2.3.1《双曲线的标准方程》word教案-总结
点的轨迹方程．如果把这里的数字6改为12，其他条件不变，Biblioteka 出现什么情况？四、课堂练习
1．双曲线 的焦点坐标为．
2．求与椭圆 有相同焦点，并且经过点 的双曲线的标 准方
程．
教学心得
类比椭圆：设参量 的意义：第一、便于写出双曲线的标 准方程；第二、 的关系有明显的几何意义．
类比：写出焦点在 轴上，中心在原点的双曲线的标准方程 ．
三、例题讲解
例1已知双曲线 两个焦点分别为 ， ，双曲线上一点 到 ，
距离差的绝对值等于 ，求双曲线的标准方程．
分析 由双曲线的标准方程的定义及给出的条件，容易求出 ．
加工润色
一、复习提问
1．椭圆的定义是什么？
平面内与两定点 ， 的距离的和等于常数（大于 ）的点的轨迹叫做椭圆．
教师要强调条件： （1）平面内；（2）到两定点 ， 的距离的和等于常数；（3）常数 ．
2．椭圆的标准方程是什么？
焦点在x轴上的椭圆标准方程为 ；
焦点在 y轴上的椭圆标准方程为 ．
3．双曲线的定义是什么？
平面内与两定点 、 的距离的差的绝对值是常数（小于 ）的点的 轨迹叫做双曲线．这两个定点 、 叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距．
二、双曲线的标准方程的推导方程
提问 已知椭圆的图形，是怎么样建立直角坐标系的？
类比求椭圆标准方程的方法由学生来建立直角坐标系．
无理方程的化简过程仍是教学的难点，让学生实际掌握无 理方 程的两次移项、平方整理的数学活动过程．
双曲线的标准方程
课题
第1课时
计划上课日期：
教学目标
知识与技能
1．了解双曲线的标准方程的推导 过程，能根据已知条件求双曲线的标准方程．
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-1 2.3.1 双曲线的标准方程》
普通高中课程标准试验教科书 《数学》选修2-1 苏教版3836P P江苏省扬州中学 张慧玲y[教学设计]一、教材分析：1教材地位本节课是苏教版选修2-1 第2章第三节第一课时它是在学生学习了直线、圆和椭圆的基础上进一步研究学习的，也为后面的抛物线及其标准方程做铺垫2教材作用（重要模型，数形结合）圆锥曲线是一个重要的几何模型，有许多几何性质，这些性质在日常生活、生产和科学技术中有着广泛的应用同时，圆锥曲线也是体现数形结合思想的重要素材本节教材仍是继续训练学生用坐标法解决方程与曲线有关问题的重要内容，对它的教学将帮助学生进一步熟悉和掌握求曲线方程的一般方法双曲线的定义和标准方程是本节的基本知识，所以必须掌握而掌握好双曲线标准方程的推导过程又是理解和记忆标准方程的关键应用双曲线的有关知识解决数学问题和实际应用问题是培养学生基本技能和基本能力的必要环节坐标法是中学数学学习中必须掌握的一个重要方法，它充分体现了化归思想、数形结合思想，是用以解决实际问题的一个重要的数学工具双曲线和其方程分属于几何和代数这两个分立的体系，但是通过直角坐标系人们又将它们很好地结合在一起二、学情分析：1知识方面：学生已经学习椭圆，基本掌握了求曲线方程的一般方法，能对含有两个根式的方程进行化简，对数形结合、类比推理的思想方法有一定的体会2能力方面：学生在椭圆学习的基础上类比得出双曲线的定义及标准方程的推导、有一定的学习基础和分析问题、解决问题的能力，且有一定的群体性小组交流能力与协同讨论学习能力三、目标分析1知识与技能目标（1）理解双曲线的定义；（2）能根据已知条件求双曲线的标准方程；（3）进一步感受曲线方程的概念，了解建立曲线方程的基本方法2过程与方法目标（1）提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力；（2）培养学生利用数形结合这一思想方法研究问题；（3）培养学生的类比推理能力、观察能力、归纳能力、探索发现能力3情感、态度与价值观目标（1）亲身经历双曲线及其标准方程的获得过程，感受数学美的熏陶；显示距离度量值动画点A 建系MF 2圆F 1A（2）通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨；（3）发展学生用类比的方法探究事物运动规律，进一步认清事物运动的本质激发学生学习数学的兴趣、提高学生的审美情趣、培养学生勇于探索，敢于创新的精神四、教学重点、难点与疑点分析1重点：双曲线的定义及其标准方程解决方法：通过学生动手实验、几何画板演示再通过讨论归纳得出双曲线的定义；对于双曲线的方程，可类比椭圆方程的推导得出方程并加以比较，加深认识2难点：双曲线定义的得出和标准方程的推导解决方法：通过动手实验、几何画板、探究讨论、类比归纳、达标检测3疑点：双曲线定义中“距离的差的绝对值为常数”的“绝对值”的理解解决方法：分析各种情况，说明定义中的常数要大于0 而小于21F F ，否则就是两条射线或没有轨迹，若没有“绝对值”就表示双曲线的一支五、教法学法分析1教法：（1）在教学目标的指导下，采用”信息环境下情境性问题解决”教学模式实施教学这种方法是以问题为中心，以学生主动探索数学知识和强化创新意识为主要特征的探究型教学方式在探索过程经历”提出问题———分析问题———建构数学———提炼总结———深化反思”五个不同的教学环节在整个教学过程中，教师利用问题引路，学生独立思考和分组讨论，从而自己解决问题（2）通过课件和动画展示数学知识的发生、发展过程;帮助学生理解抽象的数学概念;借助信息技术实现数学思维的“再现”2学法：在教师的组织，点拨，引导作用下，通过学生积极思考，大胆想象，总结规律，自己不能解决的问题通过小组讨论解决，充分发挥他们的主体作用，让学生置身于提出问题、思考问题、解决问题的动态过程中六、教学过程问题情境，寻求引领方法问题1 已知A 是圆1F 上一动点,圆内任取不同于圆心的一点2F ，连接与2AF 的垂直平分线交于点M ，随着A 点在圆1F 上运动，点M 么[设计思路]显示距离度量值动画点A 建系MF 2圆F 1A椭圆；并演示几何画板模拟过程、验证结果类比研究，感受双曲线形成问题2 将2F 点移到圆外，连接1AF 并延长与2AF 的垂直平分线交于点M ，问点M 轨迹是什么？ [设计思路]演示几何画板模拟过程，组织学生讨论，点M 具有什么样的性质？【设计意图】在2F 点从圆内移到圆外过程中，培养学生观察、类比、归纳问题的能力由以上实验及讨论，引导学生概括双曲线的定义剖析特征，提炼双曲线定义[设计思路]学生合作类比椭圆给出双曲线定义，研究为什么是绝对值，及常数的范围双曲线的定义：平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝对值为常数（小于21F F ）的动点的集合叫双曲线 即a MF MF 221=- 小于21F F注意：双曲线定义中平面内的动点到两定点的距离之差的绝对值是一个常数，范围是：)0(21F F ，6.3.2双曲线的定义深化探究：（通过后面的例1整理归纳总结）（1）平面内与两定点的距离的差等于常数)0(2>a a （小于21F F ）的点的轨迹是什么？ （2）平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数)0(2>a a （等于21F F ）的点的轨迹是什么？ （3）平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数)0(2>a a （大于21F F ）的点的轨迹是什么？ （4）平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数)0(2=a a 的点的是轨迹什么？ 通过几何画板演示实验及讨论，引导学生归总结：平面内动点M 与两定点21,F F 的距离c F F 221=的差的绝对值等于常数a 2,（1）当c a 220<<时，轨迹是双曲线；（其中当a MF MF 221=-时，M 点轨迹是双曲线中靠近2F 的一支；y当a MF MF 212=-时，M 点轨迹是双曲线中靠近1F 的一支）；（2）当c a 22=时，轨迹是两条射线,是以1F 和2F 为端点向外的两条射线; （3）当c a 22>时，轨迹不存在；（4）当0=a ，轨迹是线段21F F 的垂直平分线【设计意图】在变化的过程中发现双曲线定义中要点，准确理解椭圆的定义建立起用联系与发展的观点看问题；为下一节深入研究方程系数的几何意义埋下伏笔类比椭圆，推导标准方程[设计思路]通过方程研究曲线，推导方程分为：建系、设点、列式、化简从推到过程、标准方程的形式处处与椭圆类比6.4.1双曲线的标准方程推导方法回忆椭圆的标准方程的推导步骤，来推导双曲线的标准方程．推导标准方程的过程就是求曲线方程的过程，可根据求动点轨迹方程的步骤，求出双曲线的标准方程 过程如下：①建系②设点③列式④化简。
2.3.1双曲线的标准方程 教案(苏教版选修2-1)
2.3 双曲线2．3.1双曲线的标准方程●三维目标1．知识与技能(1)理解双曲线的定义和标准方程的推导过程．(2)熟记双曲线的定义和标准方程与焦点位置的对应关系．(3)会在简单的题设条件下求双曲线的标准方程．2．过程与方法(1)在实验与类比的教学过程中，培养学生合理猜测的能力．(2)在标准方程的推导过程中，提高学生的运算和化简能力．(3)在求标准方程的过程中，体会待定系数法的应用．3．情感、态度与价值观(1)在整个的教学过程中，体验数与形的辨证统一关系．(2)在双曲线的定义剖析中，感受量变产生质变的唯物主义世界观．(3)在双曲线标准方程的推导过程中，培养学生耐心细致执着的个性品质．●重点难点重点：双曲线的标准方程的推导及应用．难点：双曲线的标准方程的推导．(教师用书独具)●教学建议本节课主要内容是双曲线的标准方程．学生在前面已经学习了椭圆的标准方程，掌握了圆锥曲线的标准方程的推导过程，标准方程的形式与分类标准，因此本节课宜采用类比教学的方法，引导学生自己动手，合作、交流、探究、对比、纠错、升华，得出双曲线的标准方程．并且在此基础上，学会利用双曲线的标准方程，以及利用待定系数法求具体双曲线的标准方程．●教学流程回顾椭圆和双曲线的定义，口答椭圆标准方程的推导过程及两种标准形式，引导学生利用类比思维推导双曲线的标准方程．⇒分组推导双曲线的标准方程，具体步骤是：小组讨论明确过程，分工探究每个细节，代表发言宣读结论，讨论纠错完善结果．⇒系统分析两类双曲线的标准方程，体会二者的区分办法及共性，并且与椭圆进行比较，从标准方程及基本量a，b，c的关系找出二者的联系与区别．⇒通过例1及变式训练，使学生掌握双曲线标准方程的求法，待定形式应根据焦点的位置区分，应注意定义及方程的应用．⇒通过例2及变式训练，使学生掌握双曲线标准方程的应用，根据双曲线标准方程完成基本量a，b，c 的互求，注意双曲线定义与方程的综合应用，求解焦点三角形问题．⇒通过例3及变式训练，使学生掌握与双曲线有关的轨迹问题的求法，会用双曲线定义判断曲线是否为双曲线，并用待定系数法求动点轨迹方程．⇒通过易错易误辨析，体会双曲线定义的严谨性，以及双曲线图形的特殊性，严防思维的漏洞．对于双曲线上一点，要分清所在哪一支．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固基本知识，形成基本能力.我海军“马鞍山”舰和“千岛湖”舰组成第四批护航编队远赴亚丁湾，在索马里海域执行护航任务．某日“马鞍山”舰哨兵监听到附近海域有快艇的马达声，与“马鞍山”航相距1 600 m的“千岛湖”舰，3 s后也监听到了该马达声(声速为340 m/s)．1．“千岛湖”舰比“马鞍山”舰距离快艇远多少米？【提示】远340×3＝1 020米．2．若把“马鞍山舰”和“千岛湖舰”看成两个定点A、B，快艇看成动点M，M满足什么条件？【提示】MB－MA＝1 020.【问题导思2】在平面直角坐标系中A (－3,0)，B (3,0)，C (0，－3)，D (0，3)． 1．若动点M 满足|MA －MB |＝4，则M 的轨迹方程是什么？ 【提示】 x 24－y 25＝1.2．若动点M 满足|MC －MD |＝4，则点M 的轨迹方程呢？ 【提示】 y 24－x 25＝1.根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)以椭圆x 28＋y 25＝1的焦点为顶点，顶点为焦点；(2)与双曲线x 216－y 24＝1有相同的焦点，且经过点(32，2)；(3)过点P (3，154)，Q (－163，5)且焦点在坐标轴上．【思路探究】 (1)由椭圆方程得出双曲线的a ，b ，c ，从而求出双曲线方程；(2)由双曲线定义求2a ，也可设出方程代入求系数；(3)统一设为x 2m ＋y 2n＝1(mn <0)，求m ，n .【自主解答】 (1)依题意，双曲线的焦点在x 轴上且a ＝3，c ＝22， ∴b 2＝c 2－a 2＝5.∴双曲线的标准方程为x 23－y 25＝1.(2)法一 ∵c 2＝16＋4＝20，∴c ＝25， ∴F (±25，0)，∴2a ＝ |(32－25)2＋4－(32＋25)2＋4|＝43，∴a 2＝12， ∴b 2＝c 2－a 2＝8，∴双曲线方程为x 212－y 28＝1.法二 设所求双曲线方程为x 216－λ－y 24＋λ＝1(－4<λ<16)．∵双曲线过点(32，2)，∴1816－λ－44＋λ＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)． ∴所求双曲线方程为x 212－y 28＝1.(3)设双曲线方程为x 2m ＋y 2n＝1(mn <0)．∵P 、Q 两点在双曲线上，∴⎩⎨⎧9m ＋22516n＝1，2569m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－16，n ＝9.∴所求双曲线方程为y 29－x 216＝1.1．待定系数法求双曲线标准方程的步骤：(1)定位置：根据条件确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上，还是两种都有可能． (2)设方程：根据焦点位置，设出标准方程，焦点不定时，亦可设为mx 2＋ny 2＝1(m ·n <0)． (3)寻关系：根据已知条件列出关于a ，b ，c (m ，n )的方程组． (4)得方程：解方程组，将a ，b ，c (m ，n )代入所设方程即为所求．2．若求双曲线的标准方程，焦点所在坐标轴不定时，可设为Ax 2＋By 2＝1(AB ＜0)，以避免分类讨论．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A (－5,6)； (2)焦点在x 轴上，经过点M (3,2)和N (17,12)．【解】 (1)由已知得焦点在y 轴上，设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则c＝6.因为点A (－5,6)在双曲线上，所以点A 到两焦点的距离的差的绝对值是常数2a ，即2a ＝|(－5－0)2＋(6＋6)2－(－5－0)2＋(6－6)2|＝|13－5|＝8，得a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝62－42＝20.因此，所求双曲线的标准方程是y 216－x 220＝1.(2)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由已知条件，得⎩⎨⎧9a 2－4b 2＝1172a 2－122b 2＝1，解得⎩⎨⎧1a 2＝11b 2＝2.即双曲线的标准方程为x 2－y 212＝1.已知F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点，(1)若双曲线上一点P 到焦点F 1的距离为10，求点P 到焦点F 2的距离； (2)若P 是双曲线左支上的点，且PF 1·PF 2＝32.试求△F 1PF 2的面积．【思路探究】 结合双曲线的定义列出|PF 1－PF 2|＝2a ，则(1)易解；(2)需利用上述关系式，结合余弦定理求解．【自主解答】 由双曲线的标准方程x 29－y 216＝1，可知a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.(1)由双曲线的定义，得|PF 2－PF 1|＝2a ＝6，则|PF 2－10|＝6，解得PF 2＝4或PF 2＝16.(2)易知PF 2－PF 1＝6，两边平方得PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2＝36，∴PF 21＋PF 22＝36＋2PF 1·PF 2＝36＋2×32＝100.在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝100－1002PF 1·PF 2＝0，∴∠F 1PF 2＝90°，∴S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2＝12×32＝16.双曲线的定义及标准方程常用于：(1)涉及双曲线上一点与两焦点的距离问题，依据|PF 1－PF 2|＝2a 求解，其中a 可由双曲线方程得到．注意不能忽略绝对值，而认为该点只能在双曲线的一支上．此外，要对所求结果进行验证(负数舍去；值不小于c －a )．(2)双曲线的焦点三角形问题，除注意定义的应用外，还需掌握解三角形的知识，把握整体思想的应用．双曲线x 216－y 29＝1上有一点P ，F 1、F 2是双曲线的焦点，且∠F 1PF 2＝π3，则△PF 1F 2面积为________．【解析】 ∵⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1－PF 2|＝8PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2·cos π3＝100 ∴PF 1·PF 2＝36，∴S ＝12PF 1·PF 2·sin π3＝9 3.【答案】 9 3在△ABC 中，已知|AB |＝42，且三内角A 、B 、C 满足sin B －sin A ＝12sin C ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程，并指明表示什么曲线． 【思路探究】 利用正弦定理角化边→利用定义判断C 点的轨迹→求出对应a 、b 、c →写出轨迹方程→剔除不满足条件的点【自主解答】 如图所示，以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，则点A (－22，0)，点B (22，0)．由正弦定理得sin A ＝a ′2R，sin B ＝b ′2R ，sin C ＝c ′2R.∵sin B －sin A ＝12sin C ，∴b ′－a ′＝c ′2.从而有CA －CB ＝12AB ＝22<AB .由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支． ∵a ＝2，c ＝22，∴b 2＝c 2－a 2＝6. 所以顶点C 的轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2)．故C 点的轨迹为双曲线的右支且除去点(2，0)．1．利用双曲线的定义判定动点轨迹时，一定要注意题目中的条件是否满足定义，若不完全满足，轨迹不是完整的双曲线，求方程时应加以限制．2．用定义法求轨迹方程的一般步骤是：①根据已知条件及曲线定义确定曲线的位置及形状(定形，定位)； ②根据已知条件确定参数a ，b 的值(定参)； ③写出标准方程并下结论(定论)．已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．【解】 如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于点A 和B ，根据两圆外切的条件，得MC 1－AC 1＝MA ，MC 2－BC 2＝MB ， ∵MA ＝MB ，∴MC 1－AC 1＝MC 2－BC 2， 即MC 2－MC 1＝2.这表明动点M 与两定点C 2、C 1的距离的差是常数2，根据双曲线的定义，动点M 的集合为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)．这里a ＝1，c ＝3，则b 2＝8，设点M 的坐标为(x ，y )，其轨迹方程为：x 2－y 28＝1(x ≤1)．错用双曲线的定义致误已知P 是双曲线x 264－y 236＝1上一点，F 1，F 2是双曲线的左、右焦点，且PF 1＝17，求PF 2的值．【错解】 由双曲线的定义可知，|PF 1－PF 2|＝2a ＝16，因为PF 1＝17，所以PF 2＝1或PF 2＝33.【错因分析】 出错的原因是忽略了双曲线中的一个隐含条件．双曲线上的点到任一焦点的距离都大于等于c －a ，从而两解中要舍掉一个．【防范措施】 在求解双曲线上的点到焦点的距离时，一定要注意隐含的条件，实际上就是定义中的点需要满足的条件．【正解】 在双曲线中，由x 264－y 236＝1可得a ＝8，b ＝6，c ＝10，由双曲线的图形可得，点P 到右焦点F 2的距离d ≥c －a ＝2.因为|PF 1－PF 2|＝2a ＝16，PF 1＝17，所以PF 2＝33(PF 2＝1舍去)．。
苏教版最新的高二数学苏教版选修2-1课时跟踪训练：(十) 双曲线的标准方程 Word版含解析
课时跟踪训练(十) 双曲线的标准方程1．双曲线x 225－y 224＝1上的点P 到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为________．2．已知点F 1，F 2分别是双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，I 是△PF 1F 2的内心，且S △IPF 2＝S △IPF 1－λS △IF 1F 2，则λ＝________. 3．若方程x 2k －3＋y 2k ＋3＝1(k ∈R )表示双曲线，则k 的范围是________． 4．已知椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则实数a ＝________. 5．已知双曲线的两个焦点为F 1(－10，0)，F 2＝(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且满足1MF u u u u r ·2MF u u u u r ＝0，|1MF u u u u r |·|2MF u u u u r |＝2，则该双曲线的方程是__________． 6．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)以椭圆x 225＋y 29＝1的长轴端点为焦点，且经过点P (5，94)； (2)过点P 1(3，－4 2)，P 2(94，5)．7．设F 1，F 2为双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝120°.求△F 1PF 2的面积．8．如图，在△ABC 中，已知|AB |＝4 2，且三内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C ＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．答 案1．解析：设双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，不妨设PF 1＝11，根据双曲线的定义知|PF 1－PF 2|＝2a ＝10，∴PF 2＝1或PF 2＝21，而F 1F 2＝14，∴当PF 2＝1时，1＋11<14(舍去)，∴PF 2＝21.答案：212．解析：设△PF 1F 2内切圆的半径为r ，则由S △IPF 2＝S △IPF 1－λS △IF1F 2⇒12×PF 2×r ＝12×PF 1×r －12λ×F 1F 2×r ⇒PF 1－PF 2＝λF 1F 2，根据双曲线的标准方程知2a ＝λ·2c ，∴λ＝a c ＝45. 答案：453．解析：依题意可知：(k －3)(k ＋3)<0，求得－3<k <3.答案：－3<k <34．解析：由双曲线x 2a －y 22＝1可知a >0，且焦点在x 轴上，根据题意知4－a 2＝a ＋2，即a 2＋a －2＝0，解得a ＝1或a ＝－2(舍去)．故实数a ＝1.答案：15．解析：∵1MF u u u u r ·2MF u u u u r ＝0，∴1MF u u u u r ⊥2MF u u u u r .∴|1MF u u u u r |2＋|2MF u u u u r |2＝40.∴(|1MF u u u u r |－|2MF u u u u r |)2＝|1MF u u u u r |2－2|1MF u u u u r |·|2MF u u u u r |＋|2MF u u u u r |2＝40－2×2＝36.∴||1MF u u u u r |－|2MF u u u u r ||＝6＝2a ，a ＝3.又c ＝10，∴b 2＝c 2－a 2＝1，∴双曲线方程为x 29－y 2＝1. 答案：x 29－y 2＝1 6．解：(1)因为椭圆x 225＋y 29＝1的长轴端点为A 1(－5,0)，A 2(5,0)，所以所求双曲线的焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)．由双曲线的定义知，|PF 1－PF 2|＝⎪⎪⎪⎪(5＋5)2＋(94－0)2－ (5－5)2＋(94－0)2＝⎪⎪⎪⎪ (414)2－ (94)2＝8，即2a ＝8，则a ＝4. 又c ＝5，所以b 2＝c 2－a 2＝9.故所求双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1. (2)设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，分别将点P 1(3，－4 2)，P 2(94，5)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧ 9A ＋32B ＝1，8116A ＋25B ＝1，解得⎩⎨⎧ A ＝－19，B ＝116，故所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1. 7．解：由已知得a ＝2，b ＝1；c ＝a 2＋b 2＝5，由余弦定理得：F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos 120° 即(2 5)2＝(PF 1－PF 2)2＋3PF 1·PF 2∵|PF 1－PF 2|＝4.∴PF 1·PF 2＝43. ∴S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2·sin 120°＝12×43×32＝33. 8．解：以AB 边所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图所示)．则A (－2 2，0)，B (2 2，0)．设边BC 、AC 、AB 的长分别为a 、b 、c ，由正弦定理得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R，sin C ＝c 2R(R 为△ABC 外接圆的半径)． ∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ，∴2a ＋c ＝2b ，即b －a ＝c 2. 从而有|CA |－|CB |＝12|AB |＝2 2<|AB |. 由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支(除去与x 轴的交点)．∵a ＝2，c ＝2 2，∴b 2＝6.∴顶点C 的轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2)．。
2019-2020学年选修2-1苏教版：第2章圆锥曲线与方程2.3.1Word版含答案
2019-2020学年苏教版数学精品资料§2.3双曲线2.3.1双曲线的标准方程学习目标 1.掌握双曲线标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．知识点双曲线的标准方程思考双曲线标准方程中的a，b，c的关系如何？与椭圆标准方程中的a，b，c的关系有何不同？答案双曲线标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－a2，即c2＝a2＋b2，其中c>a，c>b，a与b的大小关系不确定；而在椭圆中b2＝a2－c2，即a2＝b2＋c2，其中a>b>0，a>c，c与b大小不确定．梳理(1)两种形式的标准方程焦点所在的坐标轴x轴y轴标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形焦点坐标F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c的关系式a2＋b2＝c2(2)焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上．(3)当双曲线的焦点位置不确定时，可设其标准方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．(4)标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，注意这里的b2＝c2－a2与椭圆中的b2＝a2－c2相区别．1．方程x2m－y2n＝1(m·n＞0)表示焦点在x轴上的双曲线．(×)2．在双曲线标准方程x2a2－y2b2＝1中，a＞0，b＞0且a≠b.(×)3．在双曲线标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)中，焦距为2c，则a2＝b2＋c2.(×)类型一求双曲线的标准方程例1求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)与椭圆y225＋x216＝1有公共焦点，且过点(－2，10)；(2)双曲线上两点P1，P2的坐标分别为(3，－42)，94，5.考点双曲线的标准方程的求法题点待定系数法求双曲线的标准方程解(1)方法一椭圆y225＋x216＝1的焦点为F1(0，－3)，F2(0,3)，设双曲线的方程为y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)，则有10a2－4b2＝1，a2＋b2＝9，解得a2＝5，b2＝4.故所求双曲线的方程为y25－x24＝1.方法二由椭圆方程y225＋x216＝1知焦点在y轴上，设所求双曲线方程为y225－λ－x2λ－16＝1(16<λ<25)．∵双曲线过点(－2，10)，∴1025－λ－4λ－16＝1，解得λ＝20或λ＝7(舍去)，故所求双曲线的方程为y25－x24＝1.(2)设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，则9m＋32n＝1，8116m＋25n＝1，解得n＝116，m＝－19，∴双曲线的标准方程为y216－x29＝1.反思与感悟待定系数法求方程的步骤(1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴．(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式：①若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)；②与双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)共焦点的双曲线的标准方程可设为x2a2－k－y2b2＋k＝1(－b2<k<a2)．(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值．(4)结论：写出双曲线的标准方程．跟踪训练1(1)求以椭圆x216＋y29＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A(4，－5)的双曲线的标准方程；(2)已知双曲线过P3，154，Q－163，5两点，求双曲线的标准方程．考点双曲线的标准方程的求法题点待定系数法求双曲线的标准方程解(1)由题意，知双曲线的两焦点为F1(0，－3)，F2(0,3)．设双曲线方程为y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)，将点A(4，－5)代入双曲线方程，得25a2－16b2＝1.又a2＋b2＝9，解得a2＝5，b2＝4，所以双曲线的标准方程为y25－x24＝1.(2)若焦点在x轴上，设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，所以9a2－22516b2＝1，2569a2－25b2＝1，解得a2＝－16，b2＝－9(舍去)．若焦点在y轴上，设双曲线的方程为y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)，将P，Q两点坐标代入可得22516a2－9b2＝1，25a2－2569b2＝1，解得a2＝9，b2＝16，所以双曲线的标准方程为y29－x216＝1.综上，双曲线的标准方程为y29－x216＝1.类型二曲线方程的讨论例2若方程x25－m＋y2m2－2m－3＝1表示焦点在y轴上的双曲线，求实数m的取值范围．解由方程x25－m＋y2m2－2m－3＝1表示焦点在y轴上的双曲线，得5－m＜0，m2－2m－3＞0，解得m＞5.所以实数m的取值范围是(5，＋∞)．反思与感悟给出方程x2m＋y2n＝1(mn≠0)，当mn＜0时，方程表示双曲线，当m＞0，n＜0时，表示焦点在x轴上的双曲线；当m＜0，n＞0时，表示焦点在y轴上的双曲线．跟踪训练2(1)“3＜m＜5”是“方程x2m－5＋y2m2－m－6＝1表示双曲线”的_________条件．答案充分不必要解析(m－5)(m2－m－6)＝(m－5)(m－3)(m＋2)．①方程x2m－5＋y2m2－m－6＝1表示双曲线?(m－5)(m2－m－6)＜0，即(m－5)(m－3)(m＋2)＜0 ?3＜m＜5或m＜－2?3＜m＜5，∴3＜m＜5不是“x2m－5＋y2m2－m－6＝1表示双曲线”的必要条件．②3＜m＜5?(m－5)(m－3)(m＋2)＜0，即(m－5)(m2－m－6)＜0?x2m－5＋y2m2－m－6＝1表示双曲线．∴3＜m＜5是x2m－5＋y2m2－m－6＝1的充分条件．(2)讨论x 225－k ＋y29－k ＝1表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征．解由于k ≠9，k ≠25，则k 的取值范围为k ＜9,9＜k ＜25，k ＞25，分别进行讨论．①当k ＜9时，25－k ＞0,9－k ＞0，所给方程表示椭圆，此时a 2＝25－k ，b 2＝9－k ，c 2＝a2－b 2＝16，这些椭圆有共同的焦点(－4,0)，(4,0)．②当9＜k ＜25时，25－k ＞0,9－k ＜0，所给方程表示双曲线，此时a 2＝25－k ，b 2＝k －9，c 2＝a 2＋b 2＝16，这些双曲线也有共同的焦点(－4,0)，(4,0)．③当k ＞25时，所给方程没有轨迹．类型三双曲线的定义及标准方程的应用例3已知双曲线x 29－y216＝1的左，右焦点分别是F 1，F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．解由x 29－y216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5. 由定义和余弦定理得PF 1－PF 2＝±6，F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos60°，所以102＝(PF 1－PF 2)2＋PF 1·PF 2，所以PF 1·PF 2＝64，所以12F PF S＝12PF 1·PF 2·sin ∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3. 引申探究本例中若∠F 1PF 2＝90°，其他条件不变，求△F 1PF 2的面积．解由双曲线方程知a ＝3，b ＝4，c ＝5，由双曲线的定义得|PF 1－PF 2|＝2a ＝6，所以PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2＝36，①在Rt △F 1PF 2中，由勾股定理得PF 21＋PF 22＝F 1F 22＝(2c)2＝100，②将②代入①得PF 1·PF 2＝32，所以12F PF S＝12PF 1·PF 2＝16. 反思与感悟求双曲线x 2a 2－y2b2＝1中焦点三角形面积的方法(1)方法一：①根据双曲线的定义求出|PF 1－PF 2|＝2a ；②利用余弦定理表示出PF 1，PF 2，F 1F 2之间满足的关系式；③通过配方，利用整体思想求出PF 1·PF 2的值；④利用公式12PF F S ＝12PF 1·PF 2sin ∠F 1PF 2求得面积．(2)方法二：利用公式S △PF 1F 2＝12F 1F 2×|y P |(y P 为P 点的纵坐标)求得面积．同理可求得双曲线y 2a 2－x2b2＝1中焦点三角形的面积．特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件|PF 1－PF 2|＝2a的变形使用，特别是与PF 21＋PF 22，PF 1·PF 2间的关系．跟踪训练3如图所示，已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y2b2＝1的左，右焦点，点M 为双曲线上一点，并且∠F 1MF 2＝θ，求△MF 1F 2的面积．解在△MF 1F 2中，由余弦定理，得F 1F 22＝MF 21＋MF 22－2MF 1·MF 2·cos θ.①∵F 1F 22＝4c 2，MF 21＋MF 22＝(MF 1－MF 2)2＋2MF 1·MF 2＝4a 2＋2MF 1·MF 2，∴①式化为4c 2＝4a 2＋2MF 1·MF 2(1－cos θ)，∴MF 1·MF 2＝2b21－cos θ，∴12MF F S＝12MF 1·MF 2·sin θ＝b 2sin θ1－cos θ＝b 2·2sin θ2·cosθ21－1－2sin 2θ2＝b2tanθ2.1．若方程x 21＋k －y 21－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是________．答案(－1,1)解析依题意得(1＋k)(1－k)>0，即(k ＋1)(k －1)<0，解得－1<k<1.2．双曲线x 2k 2＋8－y28－k 2＝1的焦距为________．答案8解析依题意得焦距为2k 2＋8＋8－k 2＝8.3．已知圆C ：x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0，以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则所得双曲线的标准方程为________．答案x 24－y212＝1 解析令x ＝0，得y 2－4y ＋8＝0，方程无解，即该圆与y 轴无交点．令y ＝0，得x 2－6x ＋8＝0，解得x ＝2或x ＝4，则符合条件的双曲线中a ＝2，c ＝4，∴b 2＝c 2－a 2＝16－4＝12，且焦点在x 轴上，∴双曲线的方程为x 24－y212＝1. 4．已知双曲线2x 2－y 2＝k(k ≠0)的焦距为6，则k 的值为________．答案±6解析由题意知，k ≠0.当k>0时，方程化为x 2k 2－y2k ＝1，∴c 2＝k 2＋k ＝3k 2，∴2×3k2＝6，解得k ＝6. 当k<0时，方程化为y 2－k －x2－k2＝1，∴c 2＝－32k ，∴2×－3k 2＝6，解得k ＝－6.综上，k ＝－6或k ＝6.5．已知双曲线x 29－y 216＝1上一点M 的横坐标为5，则点M 到左焦点的距离是________．答案343解析由于双曲线x 29－y216＝1的右焦点为F(5,0)，设M(x M ，y M )，将x M ＝5代入双曲线方程可得|y M |＝163，即为点M 到右焦点的距离，由双曲线的定义知M 到左焦点的距离为163＋2×3＝343. 求双曲线标准方程的步骤：(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式．(2)定量：是指确定a 2，b 2的数值，常由条件列方程组求解．特别提醒：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1的形式，为简单起见，常标明条件mn<0.与双曲线x 2a 2－y2b2＝1有相同焦点的双曲线方程可设为x 2a 2＋k －y 2b2－k ＝1(－a 2＜k ＜b 2)．已知双曲线的渐近线方程为y ＝±nmx ，可设双曲线方程为x 2m 2－y2n2＝λ(λ≠0)．一、填空题1．满足条件：a ＝2，且一个焦点为(4,0)的双曲线的标准方程为________________．答案x 24－y212＝1 解析由一个焦点(4,0)知双曲线焦点在x 轴上，且c ＝4，由c 2＝a 2＋b 2，a ＝2，可得b 2＝12，故双曲线的标准方程为x 24－y212＝1. 2．椭圆x 24＋y 2a ＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a ＝________.答案 1解析由题意知焦点在x 轴上，因此4－a ＝a ＋2，所以a ＝1.经检验，a ＝1满足题意．故a ＝1.3．双曲线的焦点是(0，±6)，且过点A(－2，－5)，则双曲线的标准方程是________．答案y 220－x216＝1 解析由题意知，双曲线的焦点在y 轴上，且c ＝6.设F 1(0，－6)，F 2(0,6)分别为双曲线的焦点，AF 1＝－22＋－5＋62＝5，AF 2＝－22＋－5－62＝55，根据双曲线的定义，2a ＝|AF 1－AF 2|＝45，所以a ＝25，b 2＝c 2－a 2＝16，故所求双曲线的标准方程为y 220－x216＝1. 4．若双曲线的两个焦点坐标分别是F 1(0，－5)，F 2(0,5)，双曲线上任意一点P 满足到两个焦点的距离之差的绝对值是6，则双曲线的标准方程是________．答案y 29－x216＝1解析由题意得，焦点位于y轴上，且c＝5,2a＝6，所以a＝3，b2＝c2－a2＝16，因此所求双曲线的标准方程是y29－x216＝1.5．已知双曲线x24－y2m＝1的一个焦点坐标为(3,0)，则m＝________.答案 5解析因为c＝4＋m＝3，所以解得m＝5.6．已知方程x29－k＋y2k－3＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则k的取值范围是________．答案(9，＋∞)解析由题意得9－k<0，k－3>0，解得k>9.7．设椭圆x26＋y22＝1和双曲线x23－y2＝1的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2＝________.答案1 3解析设PF1＝d1，PF2＝d2，则d1＋d2＝26，①|d1－d2|＝23，②①2＋②2，得d21＋d22＝18.①2－②2，得2d1d2＝6.而c＝2，∴cos∠F1PF2＝d21＋d22－4c22d1d2＝18－166＝13.8．与双曲线x24－y22＝1有相同焦点且过点P(2,1)的双曲线方程为________________．答案x23－y23＝1解析∵双曲线x 24－y22＝1的焦点在x轴上，∴设所求双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)．又∵两曲线有相同的焦点，∴a2＋b2＝c2＝4＋2＝6.①又点P(2,1)在双曲线x2a2－y2b2＝1上，∴4a2－1b2＝1.②由①②得，a2＝b2＝3，故所求双曲线方程为x23－y23＝1.9．已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其左，右焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则PF 1＋PF 2的值为________．答案2 3解析设P 在双曲线的右支上，PF 1＝2＋x ，PF 2＝x(x>0)，因为PF 1⊥PF 2，所以(x ＋2)2＋x 2＝(2c)2＝8，所以x ＝3－1，x ＋2＝3＋1，所以PF 2＋PF 1＝3－1＋3＋1＝2 3. 10．焦点在x 轴上的双曲线经过点P(42，－3)，且Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为______________．答案x 216－y29＝1 解析设焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c>0)，则由QF 1⊥QF 2，得kQF 1·kQF 2＝－1，∴5c ·5－c ＝－1，∴c ＝5. 设双曲线方程为x 2a 2－y2b2＝1(a>0，b>0)，∵双曲线过点(42，－3)，∴32a 2－9b2＝1，又∵c 2＝a 2＋b 2＝25，∴a 2＝16，b 2＝9. ∴双曲线的标准方程为x 216－y29＝1. 11．已知双曲线x 24－y 25＝1上一点P 到F (3,0)的距离为6，O 为坐标原点，若OQ →＝12(OP →＋OF →)，则|OQ →|的值为________．答案1或5解析由题意得Q 为PF 的中点，设左焦点为F ′，其坐标为(－3,0)，∴OQ ＝12PF ′.若P 在双曲线的左支上，则OQ ＝12PF ′＝12(PF －2a)＝12×(6－2×2)＝1；若P 在双曲线的右支上，则OQ ＝12PF ′＝12(PF ＋2a)＝12(6＋2×2)＝5.综上，|OQ →|＝1或5.二、解答题12．设F 1，F 2是双曲线x 24a －y 2a ＝1(a>0)的两个焦点，若点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，|PF 1→|·|PF 2→|＝2，求双曲线的方程．解∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1→⊥PF 2→，∴|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝|F 1F 2→|2＝20a.①又||PF 1→|－|PF 2→||＝4 a.②①－②2，得2|PF 1→|·|PF 2→|＝4a.∵|PF 1→|·|PF 2→|＝2，∴a ＝1.∴双曲线的方程为x 24－y 2＝1. 13．已知双曲线x 216－y 24＝1的左，右焦点为F 1，F 2. (1)若点M 在双曲线上，且MF 1→·MF 2→＝0，求M 点到x 轴的距离；(2)若双曲线C 与已知双曲线有相同焦点，且过点(32，2)，求双曲线C 的方程．解(1)如图所示，不妨设M 在双曲线的右支上，M 点到x 轴的距离为h ，MF 1→·MF 2→＝0，则MF 1⊥MF 2，设MF 1＝m ，MF 2＝n ，由双曲线定义知，m －n ＝2a ＝8，①又m 2＋n 2＝(2c)2＝80，②由①②得m ·n ＝8，∴S △MF 1F 2＝12mn ＝4＝12F 1F 2·h ，∴h ＝255. (2)设所求双曲线C 的方程为x 216－λ－y 24＋λ＝1(－4<λ<16)，由于双曲线C 过点(32，2)，∴1816－λ－44＋λ＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．∴所求双曲线C的方程为x212－y28＝1.三、探究与拓展14．双曲线x2m－y2m－5＝1的一个焦点到中心的距离为3，则m的值为________．答案7或－2解析(1)当焦点在x轴上时，有m>5，则c2＝m＋m－5＝9，∴m＝7；(2)当焦点在y轴上时，有m<0，则c2＝－m＋5－m＝9，∴m＝－2.综上，m＝7或m＝－2.15．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M在双曲线上，F1，F2为左，右焦点，且MF1＋MF2＝63，试判断△MF1F2的形状．解(1)椭圆方程可化为x29＋y24＝1，焦点在x轴上，且c＝9－4＝5，故设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1，则有9a2－4b2＝1，a2＋b2＝5，解得a2＝3，b2＝2.所以双曲线的标准方程为x23－y22＝1.(2)不妨设M点在右支上，则有MF1－MF2＝23，又MF1＋MF2＝63，故解得MF1＝43，MF2＝23，又F1F2＝25，所以在△MF1F2中，MF1边最长，cos∠MF2F1＝MF22＋F1F22－MF212MF2·F1F2<0，又因为∠MF2F1∈(0°，180°)，所以∠MF2F1为钝角，故△MF1F2为钝角三角形．。
苏教版高二数学选修2-1讲义(含答案)：第1部分 第2章 2.3 2.3.1 双曲线的标准方程
_2.3双_曲_线2．3.1 双曲线的标准方程[对应学生用书P25]在平面直角坐标系中A (－3,0)，B (3,0)，C (0，－3)，D (0，3)．问题1：若动点M 满足|MA －MB |＝4，设M 的坐标为(x ，y )，则x ，y 满足什么关系？ 提示：x 24－y 25＝1.问题2：若动点M 满足|MC －MD |＝4，设M 的坐标为(x ，y )，则x ，y 满足什么关系？ 提示：y 24－x 25＝1.双曲线的标准方程 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 标准方程 x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0) 焦点坐标 (±c,0)(0，±c )a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 21．双曲线的标准方程与椭圆不同，左边是含x ，y 项的平方差，右边是1. 2．在双曲线中，a >0且b >0，但a 与b 的大小关系不确定． 3．在双曲线中a 、b 、c 满足c 2＝a 2＋b 2，与椭圆不同．[对应学生用书P26]用待定系数法求双曲线方程[例1] 已知双曲线过点P (－2，－3)，Q ⎝⎛⎭⎫153，2两点，求双曲线的标准方程．[思路点拨] 解答本题可分情况设出双曲线的标准方程，再构造关于a 、b 、c 的方程组求解，从而得出双曲线的标准方程．也可以设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)的形式，将两点代入，简化运算过程．[精解详析] 法一：当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，∵P (－2，－3)，Q ⎝⎛⎭⎫153，2两点在双曲线上． ∴⎩⎪⎨⎪⎧(－2)2a 2－(－3)2b 2＝1，⎝⎛⎭⎫1532a 2－(2)2b 2＝1，解得⎩⎨⎧1a 2＝1，1b 2＝13，即a 2＝1，b 2＝3，∴所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1. 当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线方程为 y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)， ∵P (－2，－3)，Q ⎝⎛⎭⎫153，2两点在双曲线上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧(－3)2a 2－(－2)2b 2＝1，(2)2a 2－⎝⎛⎭⎫1532b 2＝1.解得⎩⎨⎧1a 2＝－13，1b 2＝－1，(不符合题意，舍去)．综上：所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1. 法二：设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)， 因为双曲线过两点P (－2，－3)，Q ⎝⎛⎭⎫153，2， 得⎩⎪⎨⎪⎧m (－2)2＋n (－3)2＝1，m ⎝⎛⎭⎫1532＋n (2)2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝－13，所以所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.[一点通] 用待定系数法求双曲线方程的一般步骤为：1．根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)已知双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且过点(15，4)，求双曲线的方程；(2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．解：(1)椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，故可设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1.由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝9，42a 2－(15)2b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5.故双曲线的方程为y 24－x 25＝1.(2)∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5,2)，∴25λ－46－λ＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求双曲线方程是x 25－y 2＝1.2．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a ＝4，c ＝5，焦点在y 轴上；(2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A (－5,6)． 解：(1)由题设知，a ＝4，c ＝5，由c 2＝a 2＋b 2，得b 2＝c 2－a 2＝52－42＝9.因为双曲线的焦点在y 轴上，所以所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.(2)由已知得c ＝6，且焦点在y 轴上．因为点A (－5,6)在双曲线上，所以点A 与两焦点的距离的差的绝对值是常数2a ，即2a ＝|(－5－0)2＋(6＋6)2－(－5－0)2＋(6－6)2|＝|13－5|＝8，则a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝62－42＝20.因此，所求双曲线的标准方程是y 216－x 220＝1.曲线方程的讨论[例2] 若方程x 25－m ＋y 2m 2－2m －3＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，求实数m 的取值范围．[思路点拨] 由双曲线的焦点在y 轴上，得关于m 的不等式组，进而解不等式组求m 的范围．[精解详析] 由方程x 25－m ＋y 2m 2－2m －3＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，得⎩⎪⎨⎪⎧5－m <0，m 2－2m －3>0.解得m >5. 所以实数m 的取值范围是(5，＋∞)．[一点通] 给出方程x 2m ＋y 2n ＝1(mn ≠0)，当mn <0时，方程表示双曲线，当⎩⎨⎧m >0，n <0时，表示焦点在x 轴上的双曲线；当⎩⎨⎧m <0，n >0时，表示焦点在y 轴上的双曲线．3．k ＞9是方程x 29－k ＋y 2k －4＝1表示双曲线的____________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．解析：x 29－k ＋y 2k －4＝1表示双曲线的充要条件是(9－k )·(k －4)＜0，即k ＞9或k ＜4.因为k ＞9是k ＞9或k ＜4的充分不必要条件．即k ＞9是方程x 29－k ＋y 2k －4＝1表示双曲线的充分不必要条件．答案：充分不必要4．若方程x 22－m ＋y 2|m |－3＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围是________；若该方程表示双曲线，则m 的取值范围是________．解析：①若表示焦点在x 轴上的双曲线，则⎩⎪⎨⎪⎧2－m >0|m |－3<0⇒－3<m <2.②若该方程表示双曲线，则 (2－m )(|m |－3)<0. 解得－3<m <2或m >3.答案：(－3,2) (－3,2)∪(3，＋∞)双曲线的定义及其标准方程的应用[例3] 已知F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点，P 是双曲线左支上的点，且PF 1·PF 2＝32，试求△F 1PF 2的面积．[思路点拨] 本题是有关双曲线的焦点三角形问题，解答本题的关键是求得∠F 1PF 2的大小．由余弦定理，根据已知条件，结合双曲线的定义即可求得结果．[精解详析] 双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1，可知a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.由双曲线的定义，得|PF 2－PF 1|＝2a ＝6，将此式两边平方，得PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2＝36， ∴PF 21＋PF 22＝36＋2PF 1·PF 2＝36＋2×32＝100.在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝100－1002PF 1·PF 2＝0，∴∠F 1PF 2＝90°，∴S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2＝12×32＝16.[一点通] 在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要考虑定义|PF 1－PF 2|＝2a ，其次要利用余弦定理(或勾股定理)建立关于PF 1、PF 2、F 1F 2的方程，解方程组可求得PF 1、PF 2或PF 1·PF 2，再解决相关问题．5．已知双曲线x 216－y 225＝1的左焦点为F ，点P 为双曲线右支上一点，且PF 与圆x 2＋y 2＝16相切于点N ，M 为线段PF 的中点，O 为坐标原点，则MN －MO ＝________.解析：如图，设F ′是双曲线的右焦点，连接PF ′，因为M ，O 分别是FP ，FF ′的中点，所以MO ＝12PF ′，又FN ＝OF 2－ON 2＝5，由双曲线的定义知PF －PF ′＝8，故MN －MO ＝－12PF ′＋MF －FN ＝12(PF－PF ′)－FN ＝12×8－5＝－1.答案：－16．如图所示，已知定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆F 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0，动圆M 与定圆F 1，F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．解：圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42， ∴F 1(－5,0)，半径r 1＝1；F 2(5,0)，半径r 2＝4. 设动圆M 的半径为R ，则MF 1＝R ＋1，MF 2＝R ＋4， ∴MF 2－MF 1＝3＜F 1F 2＝10.∴动圆圆心M 的轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线左支， 且a ＝32，c ＝5.∴b 2＝25－94＝914.∴动圆圆心M 的轨迹方程为4x 29－4y 291＝1(x ≤－32)．1．用定义法求双曲线的标准方程时，要注意是一支还是两支．2．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a ，b ，c 的方程组．[对应课时跟踪训练(十)]1．双曲线x 225－y 224＝1上的点P 到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为________．解析：设双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，不妨设PF 1＝11，根据双曲线的定义知|PF 1－PF 2|＝2a ＝10，∴PF 2＝1或PF 2＝21，而F 1F 2＝14，∴当PF 2＝1时，1＋11<14(舍去)，∴PF 2＝21.答案：212．已知点F 1，F 2分别是双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，I 是△PF 1F 2的内心，且S △IPF2＝S △IPF 1－λS △IF 1F 2，则λ＝________.解析：设△PF 1F 2内切圆的半径为r ，则由S △IPF 2＝S △IPF 1－λS △IF 1F2⇒12×PF 2×r ＝12×PF 1×r －12λ×F 1F 2×r ⇒PF 1－PF 2＝λF 1F 2，根据双曲线的标准方程知2a ＝λ·2c ，∴λ＝a c ＝45.答案：453．若方程x 2k －3＋y 2k ＋3＝1(k ∈R )表示双曲线，则k 的范围是________．解析：依题意可知：(k －3)(k ＋3)<0，求得－3<k <3. 答案：－3<k <34．已知椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则实数a ＝________.解析：由双曲线x 2a －y 22＝1可知a >0，且焦点在x 轴上，根据题意知4－a 2＝a ＋2，即a 2＋a －2＝0，解得a ＝1或a ＝－2(舍去)．故实数a ＝1.答案：15．已知双曲线的两个焦点为F 1(－10，0)，F 2＝(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且满足1MF u u u u r ·2MF u u u u r ＝0，|1MF u u u u r |·|2MF u u u u r |＝2，则该双曲线的方程是________． 解析：∵1MF u u u u r ·2MF u u u u r ＝0，∴1MF u u u u r ⊥2MF u u u u r. ∴|1MF u u u u r |2＋|2MF u u u u r|2＝40. ∴(|1MF u u u u r |－|2MF u u u u r |)2 ＝|1MF u u u u r |2－2|1MF u u u u r |·|2MF u u u u r |＋|2MF u u u u r|2＝40－2×2＝36.∴||1MF u u u u r |－|2MF u u u u r||＝6＝2a ，a ＝3.又c ＝10，∴b 2＝c 2－a 2＝1， ∴双曲线方程为x 29－y 2＝1.答案：x 29－y 2＝16．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)以椭圆x 225＋y 29＝1的长轴端点为焦点，且经过点P (5，94)；(2)过点P 1(3，－4 2)，P 2(94，5)．解：(1)因为椭圆x 225＋y 29＝1的长轴端点为A 1(－5,0)，A 2(5,0)，所以所求双曲线的焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)．由双曲线的定义知，|PF 1－PF 2| ＝| (5＋5)2＋(94－0)2－(5－5)2＋(94－0)2|＝|(414)2－ (94)2|＝8，即2a ＝8，则a ＝4.又c ＝5，所以b 2＝c 2－a 2＝9. 故所求双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1.(2)设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，分别将点P 1(3，－4 2)，P 2(94，5)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧9A ＋32B ＝1，8116A ＋25B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝－19，B ＝116，故所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.7．设F 1，F 2为双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝120°.求△F 1PF 2的面积．解：由已知得a ＝2，b ＝1；c ＝ a 2＋b 2＝5，由余弦定理得：F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos 120° 即(2 5)2＝(PF 1－PF 2)2＋3PF 1·PF 2∵|PF 1－PF 2|＝4.∴PF 1·PF 2＝43.∴S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2·sin 120°＝12×43×32＝33. 8. 如图，在△ABC 中，已知|AB |＝4 2，且三内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C ＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．解： 以AB 边所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图所示)．则A (－2 2，0)，B (2 2，0)．设边BC 、AC 、AB 的长分别为a 、b 、c ，由正弦定理得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R，sin C ＝c2R(R 为△ABC 外接圆的半径)．∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ，∴2a ＋c ＝2b ，即b －a ＝c2.从而有|CA |－|CB |＝12|AB |＝2 2<|AB |.由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支(除去与x 轴的交点)．∵a ＝2，c ＝2 2，∴b 2＝6.∴顶点C 的轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2)．。
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【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.3.1 双曲线
的标准方程课后知能检测 苏教版选修2-1
一、填空题
1．(2013·南京高二检测)双曲线x 25－y 2
4＝1的焦点坐标是________．
【解析】 ∵c 2
＝5＋4＝9，∴c ＝3，∴F (±3,0)． 【答案】 (±3,0)
2．若方程x 2
＋ky 2＝2表示焦点在x 轴上的双曲线，则实数k 的取值范围是________． 【解析】 由题意知k <0. 【答案】 (－∞，0)
3．椭圆x 24＋y 2a ＝1与双曲线x 2a －y 2
2
＝1有相同的焦点，则a 的值是________．
【解析】 ∵a >0，∴焦点在x 轴上， ∴4－a ＝a ＋2，∴a ＝1. 【答案】 1
4．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 2
12＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到
此双曲线的右焦点的距离为________．
【解析】 ∵x M ＝3，∴32
4－y 2
M
12＝1，
∴y M ＝±15.
又∵右焦点为F 2(4,0)，
∴MF 2＝ 3－4 2
＋ ±15－0 2
＝4. 【答案】 4
5．(2013·福州高二检测)双曲线5x 2
＋ky 2
＝5的一个焦点是(6，0)，那么实数k 的值为________．
【解析】 双曲线方程化为标准形式为x 2
－y 2
－
5k
＝1，由焦点是(6，0)，可得k <0，且
1－5k
＝(6)2
，解得k ＝－1.
【答案】 －1
6．(2012·辽宁高考)已知双曲线x 2
－y 2
＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________．
【解析】 设P 在双曲线的右支上，|PF 1|＝2＋x ，|PF 2|＝x (x >0)，因为PF 1⊥PF 2， 所以(x ＋2)2
＋x 2
＝(2c )2
＝8，所以x ＝3－1，x ＋2＝3＋1，所以|PF 2|＋|PF 1|＝2 3. 【答案】 2 3
7．(2013·潍坊高二检测)已知方程ax 2
＋by 2
＝ab 和ax ＋by ＋c ＝0(其中ab ≠0，a ≠b ，
c >0)，它们所表示的曲线可能是________．
【解析】 方程ax 2
＋by 2
＝ab 可化为x 2b ＋y 2
a
＝1，若a >0，b >0，则直线ax ＋by ＋c ＝0在
两轴上截距均为负值，无此图形；若a >0，b <0，则②符合；若a <0，b >0，无此图形．
【答案】 ②
8．已知F 是双曲线x 24－y 2
12＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则PF ＋PA
的最小值为________．
【解析】 如图，F (－4,0)，设F ′为双曲线右焦点，则F ′(4，0)，点A (1,4)在双曲线两支之间，由双曲线定义，PF －PF ′＝2a ＝4，而PF ＋PA ＝4＋PF ′＋PA ≥4＋AF ′＝4＋5＝9.当且仅当A 、P 、F ′三点共线时取等号．
【答案】 9 二、解答题
9．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)过点P 1(3，－42)，P 2(9
4
，5)；
(2)与椭圆x 227＋y 2
36＝1有相同的焦点，且与该椭圆在第一象限的交点A 的纵坐标为4.
【解】 (1)设双曲线的方程为Ax 2＋By 2
＝1(AB <0)，分别将点P 1(3，－42)，P 2(94
，5)
代入，
得⎩⎪⎨⎪⎧
9A ＋32B ＝181
16
A ＋25
B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧
A ＝－1
9
B ＝1
16
，
故所求双曲线的标准方程为
y 2
16
－x 2
9
＝1. (2)由椭圆的方程为标准方程，得焦点坐标为F 1(0，－3)，F 2(0,3)． 由题意点A 在椭圆x 2
27＋y 236＝1上，因为y A ＝4，则x 2A
27＋16
36＝1，
解得x A ＝15(x A ＝－15舍去)，故点A 的坐标为(15，4)．
由题意知，双曲线的焦点坐标为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，点A (15，4)在双曲线上，则由双曲线定义可得
2a ＝|AF 1－AF 2|＝| 15－0 2＋ 4＋3 2
－
15－0 2
＋ 4－3 2
|＝4， 所以a ＝2，b 2
＝c 2
－a 2
＝5.
故所求双曲线的标准方程为y 24－x 2
5
＝1.
10．在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别是(－5,0)，(5,0)，直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是4
9
，求点M 的轨迹．
【解】 设M (x ，y )，则k AM ＝
y
x ＋5(x ≠－5)，k BM ＝y x －5(x ≠5)，由题意知k AM ·k BM ＝4
9
，即y x ＋5·y
x －5＝49(x ≠±5)，化简，整理得x 2
25－y
2
100
9
＝1(x ≠±5)． 因此，点M 的轨迹是焦点在x 轴上的双曲线(A ，B 两点除外)．
11．在面积为1的△PMN 中，tan ∠PMN ＝1
2，tan ∠MNP ＝2，建立适当的平面直角坐标系，
求以M 、N 为焦点且过点P 的双曲线方程．
【解】 以MN 所在直线为x 轴，MN 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系， 设P (x 0，y 0)、M (－c,0)、N (c,0)(y 0>0，c >0)如图所示．
则⎩⎪⎨⎪⎧ y 0
x 0＋c ＝1
2
，y
0c －x 0
＝2，12·2c ·y 0
＝1，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＝
3510
，y 0
＝255，
c ＝52.
设双曲线方程为x 2a 2－y 2
54
－a
2
＝1，
将点P (3510，25
5)代入，
可得a 2
＝14(a 2＝94舍去)．
∴所求双曲线方程为4x 2
－y 2
＝1.。