全国高中青年数学教师优秀课 空间向量的应用——距离的计算 精品
全国青年教师高中数学教师同课异构课件及教学设计《空间向量的应用—距离》教学设计.毛.俊.刚
《空间向量的应用—距离》教学设计一、教学内容解析本节课是参照新课标高中数学人教B版数学选修2-1第三章空间量与立体几何3.2.5距离一节．它是空间向量及其运算之后，将其方法在立体几何中的应用，属于概念性知识和程序性知识．本课虽篇幅不长，但从学生的角度讲仍占有较高的地位，是对以往所学知识的梳理、归纳和提升，使学生从另一个视角认识空间向量的应用．通过观察，思考，动手操作可使其深刻理解数学源于生活，应用于生活，进而产生浓厚的数学学习兴趣，体会综合几何法和向量方法各自的优势，在学习的过程中深刻体会类比思想、化归思想等数学思想方法，让学生初步形成数学抽象，逻辑推理，数学建模，直观想象，数学运算等学科核心素养．这部分知识的学习，不仅对学生核心素养的形成起到巨大的促进作用，更让学生深刻体会程序化思想，以及寻找一些问题的通性通法。
教学重点：四种距离的概念，点到平面距离的求法．二、教学目标设置课程目标：在必修课程学习的基础上，本主题将学习空间向量，并运用空间向量研究立体几何图形中图形的位置关系和度量关系。
单元目标：本单元的学习，可以帮助学生在学习平面向量的基础上，利用类比的方法理解空间向量的概念、运算、基本定理和应用，体会平面向量和空间向量的共性和差异；运用向量的方法研究空间基本图形的位置关系和度量关系，体会向量方法和综合几何法的共性和差异；运用向量方法解决简单的数学问题和实际问题，感悟向量是研究几何问题的有效工具。
课堂目标：通过本小节的教学，是学生达到以下要求：（1）理解图形F1与图形F2的距离的概念；（2）掌握四种距离的概念，会解决一些简单的距离问题．（3）学生能够独立用向量方法解决四类距离问题（4）学生能够利用数学抽象的方法发现生活中的距离问题；利用类比的方法总结并推广向量基本定理；利用化归的方法由点到平面的距离的向量解法推广到求直线与它平行平面、两平行平面的距离．三、学生学情分析教学主体——学生是普通高中二年级学生，已经掌握了立体几何初步以及空间向量与立体几何的基本内容．学生已经具有一定的观察、类比、化归、直观想象和逻辑推理的能力，具有初步的抽象思维和科学探究能力．学生在学习生活中可能已经遇到过求图形距离的相关事例，但对于空间向量求距离仍是比较陌生的．通过教师引导可以将学生已学过的空间向量知识应用到求解几何图形的距离上来，这是学生在老师的帮助下搭建图形距离与空间向量体系的桥梁。
高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.6 距离的计算
思考交流
1.如何用向量法求与平面平行的直线到平面的距离？
• 2将.如问何求题平转行化平面为间求的点距离到？平面的距离。因为当直
线与平面平行，两个平面平行时，直线上的点或 其中一个平面上的点到另一个平面的距离均相等，
所以只要在直线（或平面）上取一个定点， 则该点到平面的距离即为所求距离。
例2.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a,求直线 BD 到平面
设n＝(x，y，z)是平面AMN的法向量，
从而
n n
MN 2x 2y 0， 解得
AM 2x 4z 0，
x 2z， y 2z.
取z＝1，得n＝(2，－2，1)，由于 AB＝(0，4，0)，
所以
AB在n上的投影为
n
AB＝ n
8 ＝－8 . 4 41 3
学习目标
【学习目标】
1.理解点到平面的距离的概念,会用向量法求 点到平面的距离.
2.了解直线到平面的距离,平面到平面的距离 的概念,并会用向量法将这两种距离转化为点到平 面的距离计算.
温故夯基 问题1：如何求平面的法向量？
（1）若在空间图形中容易找出一个平面的垂线，则该垂线的方向向量即为该平面的法向量。 （2）若平面的垂线不易找出，则采用待定系数法求平面的法向量。步骤如下： 第一步：建立空间直角坐标系，设法向量 n=(x,y,z)； 第二步：找出平面内的两个不共线的向量 a 和 b； 第三步：利用 n.a=0,n.b=0 建立方程组； 第四步：解方程组，由于方程组的解不确定，所以取其中的一组解，就求出了此平面的一个 法向量。|�Βιβλιοθήκη ���� |Aβn
A'
P
其中 n0 是平面 的单位法向量
高中数学同步教学课件 空间距离的计算
例3 在直三棱柱中，AA1＝AB＝BC＝3，AC ＝2，D是AC的中点. (1)求证：B1C∥平面A1BD；
连接AB1交A1B于点E，连接DE.
DE∥B1C，
DE⊂平面A1BD，⇒B1C∥平面 A1BD.
B1C⊄平面A1BD
(2)求直线B1C到平面A1BD的距离.
因为B1C∥平面A1BD，所以B1C到平面A1BD的距 离就等于点B1到平面A1BD的距离. 如图，以D为坐标原点，DC，DB所在直线为x轴， y轴建立空间直角坐标系， 则 B1(0,2 2，3)，B(0,2 2，0)，A1(－1,0,3)， —DB→1 ＝(0,2 2，3)，D→B＝(0,2 2，0)，—DA→1 ＝(－1,0,3).
如图，分别以AB，AD，AP所在的直线为x，y，z
轴建立空间直角坐标系，
则P(0,0,1)，B(3,0,0)，D(0,4,0)， ∴P→B＝(3,0，－1)，B→D＝(－3,4,0). 方法一 取 a＝P→B＝(3,0，－1)，设〈a，B→D〉＝φ，
→→ ∴cos φ＝|BB→DD|·|PP→BB|＝－95010，
∴sin φ＝135010，
∴点 P 到 BD 的距离 d＝|P→B|·sin φ＝153.
方法二 设在平面PBD内与直线BD垂直的向量n＝
(x，y，z)， 则由 n⊥B→D，得－3x＋4y＝0. 由 n 与B→D，P→B共面可知，存在实数 m，t，使得 n＝mB→D＋tP→B，
即(x，y，z)＝(－3m＋3t,4m，－t)，
因为AB＝1，
BC＝2，AA′＝3，
所以A′(0,0,3)，C(1,2,0)，B(1,0,0)， 所以直线 A′C 的方向向量—A′—→C ＝(1,2，－3). 方法一 因为B→C＝(0,2,0)， 所以 cos〈B→C，—A′—→C 〉＝ 714，sin〈B→C，—A′—→C 〉＝ 735，
高中数学备课教案空间向量的计算与应用
高中数学备课教案空间向量的计算与应用高中数学备课教案空间向量的计算与应用一、引言空间向量是三维空间中的一个重要概念，它能够描述物体在空间中的位置和方向。
在数学和物理学中都有着广泛的应用。
本教案将介绍空间向量的计算方法以及其在几何和力学中的应用。
二、空间向量的定义与表示1. 空间向量的定义空间向量是指在三维空间中具有大小和方向的箭头，它由箭头的起点和终点确定。
数学上通常用有序三元组表示一个空间向量。
2. 空间向量的表示空间向量可以表示为AB→，其中A为起点，B为终点。
或通过坐标表示为AB→ = (x, y, z)，其中x、y、z分别为向量在x轴、y轴和z 轴上的分向量。
三、空间向量的计算1. 空间向量的加法空间向量的加法满足平行四边形法则。
即如果有向量AB→和向量AC→，则向量AD→可以表示为AD→ = AB→ + AC→。
2. 空间向量的减法空间向量的减法可以理解为加上另一个向量的相反数。
例如，向量AB→减去向量AC→，即为向量AB→加上向量(-AC→)。
3. 空间向量的数量积空间向量的数量积又称为点积，表示为AB→·AC→。
其计算公式为AB→·AC→ = |AB→||AC→|cosθ，其中θ为向量AB→和AC→之间的夹角。
四、空间向量的应用1. 几何应用在几何学中，空间向量可以用来解决线段的垂直判定、平行四边形的面积计算、三点共线性判定等问题。
通过空间向量的计算与应用，可以简化几何问题的求解过程。
2. 力学应用在力学中，空间向量可以用来描述物体的位移、速度和加速度等物理量。
空间向量的加法和减法可以解决多个力的合成与分解问题，通过数量积可以计算力的功、力的夹角等。
3. 应用举例空间向量的计算与应用可以应用于飞行器的路径规划、建筑结构的受力分析、电磁场的描述等方面。
五、教学活动建议1. 概念讲解与演示通过多媒体展示，向学生介绍空间向量的定义与表示，并通过示意图演示空间向量的加法、减法和数量积的计算过程。
向量法求空间距离说课数学说课教学课件
目 录
• 引言 • 向量法基础知识 • 空间距离的定义与计算 • 向量法求空间距离的原理 • 向量法求空间距离的教学设计 • 向量法求空间距离的实践与应用
01 引言
主题介绍
主题名称
向量法求空间距离
主题内容
本主题将介绍如何使用向量法来求解空间中两点之间的距离。通过向量法，我 们可以将三维空间中的距离问题转化为向量模长的计算问题，从而简化计算过 程。
利用向量的模长计算两点之间的距离。
04 向量法求空间距离的原理
向量法的基本原理
01
向量法是一种基于向量运算的数 学方法，通过向量的加、减、数 乘和向量的模长等运算来解决问 题。
02
向量法的基本原理是利用向量的 模长来表示空间距离，通过向量 的点乘和叉乘来计算空间角度和 方向。
向量法在求空间距离中的应用
空间距离的几何意义
空间距离表示点与点之间的最短 路径，即两点之间直线段长度。
空间距离具有度量性质，可以用 于测量和计算物体之间的距离。
空间距离具有对称性，即两点之 间的距离是相互的，一个点到另 一个点的距离等于另一个点到这
个点的距离。
空间距离的计算方法
通过勾股定理计算两点之间的距离。
利用三维坐标系中的坐标值计算两点 之间的距离。
步骤二
02 根据向量的坐标表示，计算向
量。
步骤三
03 利用向量的模长公式计算距离
。
步骤四
04 根据需要，进行相关的向量运
算（如点乘、叉乘）以得出最 终结果。
实例
05 求点A(1,2,3)和点B(4,5,6)之间量AB的坐标表示，
然后利用模长公式计算AB的长 度，即空间距离。
全国青年教师高中数学教师同课异构课件及教学设计毛.俊.刚-空间向量的应用——距离
吉林省实验中学---毛.俊.刚
1.距离的概念
一个图形内的任一点与另一个图形内的任一点的距
离中的最小值，叫做图形与图形的距离．
A
B
点到点的距离
计算任何图形之间的距离都可以转化为求两点之间的距离．
计算两点之间的距离和线段的长度是几何度量最基本的课题．
综合几何法 勾股定理
向量方法
Ａ
P
n
d
O
例2 已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，求
点B1到平面A1BD的距离．
5.求距离问题的程序：
S1：确定法向量 S2：选择参考向量 S3：确定参考向量到法向量的投影向量 S4：求投影向量的长度
| AP n | d n
P
d
| AP n |距离
和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线． 公垂线夹在平行平面之间的部分，叫做两个平面的公垂线段．
两平行平面的公垂线段的长度 ，叫做两平行平面的距离．
| AP n | d n
A1
B1
D A B
C
平行向量基本定理：向量a(a ≠0)与b共线，当且仅
当有唯一的实数λ，使
b = λa ．
平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个
不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且 只有一对实数λ1、λ2，使 a= λ1e1+λ2e2． 其中，不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向 量的一组基底． 那么对空间任一向量 p，存在一个唯一的有序实数组 x，y，z，使 p=xa+yb+zc．
空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，
高中数学第二章空间向量与立体几何2.6距离的计算课件北师大版选修2_1
由中点坐标公式得 Q
.
设点 M 到 FQ 的距离为 d, 则 d= |������������ |2 ������������· ������������ |������������|
维
脉
络
一
二
三
思考辨析
一、 点到直线的距离 1.因为直线和直线外一点确定一个平面,所以空间点到直线的距 离问题就是空间中某一平面内的点到直线的距离问题. 2.设l是过点P平行于向量s的直线,A是直线l外一定点.如图,作 AA'⊥l,垂足为A',则点A到直线l的距离d等于线段AA'的长度,
而向量������������在 s 上的投影的大小| ������������· s0|等于线段 PA'的长度,所以根据
2 2 勾股定理有点 A 到直线 l 的距离 d= | ������������| -| ������������·������0 | .
一
二
三
思考辨析
3.空间一点A到直线l的距离的算法框图:
4.平行直线间的距离通常转化为求点到直线的距离. 温馨提示求点A到直线l的距离d,要过该点A引直线l的垂线段AA', 再在直线l上取垂足A'以外的任一点P和直线l的方向向量s,构造出 Rt△PA'A,计算 |������������|和|������������· s0| ,利用勾股定理,求出点A到直线l的距 离d.
一
二
三
思考辨析
【做一做2】 在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AA1的 中点,则点A1到平面MBD的距离为 ( )
A. a
答案:D
6 3
B. a
3 6
C. a
高中数学第四届全国高中青年数学教师优秀课观摩大赛《空间向量的夹角和距离公式》教案.doc
9．6空间向量的夹角和距离公式三维目标：知识与技能： ⒈使学生知道如何建立空间直角坐标系，掌握向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并会用这些公式 解决有关问题；⒉使学生经历对从生活中如何抽象出数学模型的过程，从而提高分析问题、解决问题的能力.过程与方法： 通过采用启发探究、讲练结合、分组讨论等教学方法使学生在积极活跃的思维过程中，从“懂”到“会”到“悟”.情感、态度和价值观：⒈通过自主探究与合作交流的教学环节的设置，激发学生的学习热情和求知欲，充分体现学生的主体地位；⒉通过数形结合的思想和方法的应用，让学生感受和体会数学的魅力，培养学生“做数学”的习惯和热情.教学重点：夹角公式、距离公式． 教学难点：数学模型的建立．关键： 将生活中的问题转化为数学问题，建立恰当的空间直角坐标系，正确写出空间向量的坐标.教具准备：多媒体投影，实物投影仪. 教学过程： (一)创设情境,新课导入2008年5月16日，南昌可以说是万人空巷,大家都把自己的爱国热情聚集在圣火的传递上，让我们值得骄傲的是火炬传递中的一站就是我们的南昌大学，其中途经我市雄伟而壮观的生米大桥,为记录传递过程，我校派了小记者在船上进行全景拍摄,出现了这么一个问题. 引例:在离江面高30米的大桥上，火炬手由东向西以2 m/s 的速度前进，小船以1 m/s 的速度由南向北匀速行驶，现在火炬手在桥上1D 点以东30米的1C 点处，小船在水平D 点以南方向30米的A 处（其中1D D ⊥水面） 求（1）6s 后火炬手与小船的距离？（2）此时的视线与开始时的视线所成角的余弦值?C 1（不考虑火炬手与小船本身的大小）. 今天我们从另一个角度来分析这个问题. 分析:建立数学模型问题（1）转化为:如何求空间中两点间的距离?问题（2）转化为：如何求空间中两条直线所成角的余弦值？1、空间两点间的距离公式111222(,,)(,,),A x y z B x y z 已知：，则()212121,,AB x x y y z z =---u u u r222212121()()()AB AB AB x x y y z z =⋅=-+-+-u u u r u u u r u u u r222,212121()()()A B d x x y y z z =-+-+-2、夹角公式设()()111222,,,,,a x y z b x y z ==r r，则,a OA b OB ==r u u u r r u u u rcos ,a b a b a b⋅<>=r rr r r r 121212222222111222x y zx y z =++++(二)例题示范，形成技能例1: 在离江面高30米的大桥上，火炬手由东向西以2 m/s 的速度前进，小船以1 m/s 的速度由南向北匀速行驶，现在火炬手在桥上1D 点以东30米的1C 点处，小船在水平D 点以南方向30米的A 处（其中1D D ⊥水面） 求（1）6s 后火炬手与小船的距离？（2）此时的视线与开始时的视线所成角的余弦值?（不考虑火炬手与小船本身的大小）. 解：建立如图空间直角坐标系， 则 ()()130,0,0,0,30,30A CxyzO111(,,)A x y z222(,,)B x y z ar a rbr()()0,18,30,24,0,0M N ；（1）()()222241830MN =+-+-u u u u r302m =（2）()()124,18,30,30,30,30MN AC =--=-u u u u r u u u u r.111cos ,MN AC MN AC MN AC ⋅〈〉=⋅u u u u r u u u u ru u u u r u u u u r u u u u r u u u u r()22224301830303026.5302303030⨯-+-⨯+-⨯==-⨯-++ 此题所求的是空间两条直线所成角的余弦值，而不是两个空间向量夹角的余弦值，两者有什么区别？我们又如何转化为本题的结论？ (三)学生互动 巩固提高变式训练:实际上,我们刚刚就是在一个正方体中讨论两点间的距离, 两条直线所成的角,而在正方体中还有许多的点与线,例2：（1）若G 为MN 的中点，求GB 两点间的距离.（2）若1111114A B B E D F ==，求1BE 与1DF 所成的角的余弦值． (1)解：设G 点的坐标为(,,)G x y z ，则()12DG DM DN =+u u u r u u u u r u u u r()()10,18,3024,0,02=+⎡⎤⎣⎦ ()12,9,15=.∴()()12,9,15,30,30,0G B ,2221821153110.GB ∴=++=(2)解:如图，()14530,30,0,30,,302B E ⎛⎫ ⎪⎝⎭()1150,0,0,0,,302D F ⎛⎫⎪⎝⎭.1115150,,30,0,,3022BE DF ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u u r .111111cos ,BE DF BE DF BE DF ⋅〈〉=⋅u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u ur 1515303015.17⎛⎫-⨯+⨯ ⎪== 请在上面例题的基础上,各编一个关于求夹角和距离的题目.拓展提高:我们知道平面上到两点距离相等的点的轨迹是一条直线,那么猜想空间上到两点距离相等的点的轨迹是一个平面,我们能不能把它表示出来呢?例3:求到M ，N 两点距离相等的点),,(z y x P 的坐标x 、y 、z 满足的条件． 解: 点),,(z y x P 到M ，N 两点距离相等,则 PM PN ==化简,得435540x y z --+=即到到M ，N 两点距离相等的点的坐标点(,,)x y z 满足的条件是 435540x y z --+= (四)概括提炼，总结升华求空间两点间的距离 求空间两条直线的夹角(五)布置作业，探究延续 1．课本P 42习题9.6 ⒎ ⒏ ⒐MNP2．请同学们各编写一道关于求夹角和距离的题目,并解答. 3．思考题：引例:何时小船与火炬手之间的距离最短? (六)板书设计：。
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2.6 距离的计算
二、概念形成
问题1：如图，设 l 是过点 P 平行于向量 s 的直线，A 是直线外一定点. 请同学们四人一组，尝试用向量的运算求解点 A 到直 线 l 的距离 d .
PA1 PA s0
d PA PA s0
2 2
A1
二、概念形成
问题2：点到平面的距离 （1）如图，设 是过点 P 垂直于向量 n 的平面，A 是平面 外一定点，请各小组用向量的运算探究点 A 到平面 的距离 d . A
d PA n0
α
P
三、概念深化
问题3：向量法求பைடு நூலகம்离问题的主要要素有哪些？
在直线 l 上任取一点P
确定方向向量 s
找点 P 求PA
在平面 上任取一点P
找s / n
PA s0
A
d
找法向量 n
n α P A'
三、概念深化 问题4：观察下列图形，比较用几何法与向量 法的区别
A
D1 N A1
M
C1
B1
M
B D
D A B
C
C
A 平面BCM MN 平面ACD1 D 平面MNE
A
A
n π P A'
n π P A'
四、概念应用
例1.如图，四棱锥 ABCD A1B1C1D1的底面 ABCD A1O 底面ABCD, 是正方形，O 是底面中心， . AB AA 1 2
z
D1 N A1 B1
D1
C1
A1 B1
N
C1
M D A B C
A x
M D B C y
作业
必做：1.课本第50页习题1,2,3 2.自己探究两条异面直线之间的距离 选做：查阅资料，尝试发现空间向量在物理 领域的应用。
D1
C1
(1)求点 A 到直线 AB1 的距离；
A1
B1
(2)求点 D 到平面 OCB1 的距离； D
A O B
C
四、概念应用
N 例2.正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为1，M ， 分别是 BB1，B1C1 的中点. （1）求直线 MN 到平面 ACD1 的距离. （2）若 G 是 A1B1的中点，求平面 GMN 与平面 ACD1 间的距离.