高考数学二轮复习 二 向量作业 理
高三数学第二轮专题复习系列：(5)平面向量
高考数学第二轮专题复习系列(5)平面向量一、本章知识结构：二、高考要求1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。
2、掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律。
3、掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件。
4、了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。
5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。
6、掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。
7、掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。
8、通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。
三、热点分析对本章内容的考查主要分以下三类：1.以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质.此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题.2.以解答题考查圆锥曲线中的典型问题.此类题综合性比较强，难度大，以解析几何中的常规题为主.3.向量在空间中的应用（在B类教材中）.在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质.在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针.本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本.因此，掌握双基、精通课本是本章关键.分析近几年来的高考试题，有关平面向量部分突出考查了向量的基本运算。
对于和解析几何相关的线段的定比分点和平移等交叉内容，作为学习解析几何的基本工具，在相关内容中会进行考查。
本章的另一部分是解斜三角形，它是考查的重点。
总而言之，平面向量这一章的学习应立足基础，强化运算，重视应用。
考查的重点是基础知识和基本技能。
四、复习建议由于本章知识分向量与解斜三角形两部分，所以应用本章知识解决的问题也分为两类：一类是根据向量的概念、定理、法则、公式对向量进行运算，并能运用向量知识解决平面几何中的一些计算和证明问题；另一类是运用正、余弦定理正确地解斜三角形，并能应用解斜三角形知识解决测量不可到达的两点间的距离问题。
2023届高考二轮总复习试题(适用于老高考旧教材) 数学(理)复数、平面向量(含解析)
2.复数、平面向量考向1 复数的概念、运算及几何意义1.(2022·河南开封一模)设(1+i 4n+3)z=i,n ∈Z ,则在复平面内,复数z 对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.(2022·全国甲·理1)若z=-1+√3i,则zz -1=( )A.-1+√3iB.-1-√3iC.-13+√33iD.-13−√33i3.(2022·全国乙·理2)已知z=1-2i,且z+a z +b=0,其中a ,b 为实数,则( ) A.a=1,b=-2 B.a=-1,b=2 C.a=1,b=2 D.a=-1,b=-24.(2022·山东潍坊一模)已知复数z 满足z+3=4z +5i,则在复平面内复数z 对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 5.(2022·新高考Ⅰ·2)若i(1-z )=1,则z+z =( ) A.-2B.-1C.1D.2考向2 平面向量的概念及线性运算6. (2022·河南名校联盟一模)如图,在△ABC 中,点M 是AB 上的点且满足AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,P 是CM 上的点,且MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =15MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.12a +14b B.35a +15b C.14a +12bD.310a +35b7.(2022·河南名校联盟一模)下列关于平面向量的说法正确的是( ) A.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,则点A ,B ,C ,D 必在同一直线上 B.若a ∥b 且b ∥c ,则a ∥cC.若G 为△ABC 的外心,则GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 D.若O 为△ABC 的垂心,则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 8.(2022·新高考Ⅰ·3)在△ABC 中,点D 在边AB 上,BD=2DA.记CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ,则CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.3m -2nB.-2m +3nC.3m +2nD.2m +3n9.(2022·河南许昌质检)正方形ABCD 中,P ,Q 分别是边BC ,CD 的中点,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +y BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x=( ) A.1113B.65C.56D.3210.(2022·河南名校联盟一模)如图,在同一个平面内,向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α,且tan α=7,向量OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为45°,且|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2.若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗ (m ∈R ,n ∈R ),则n-m= . 考向3 平面向量的数量积11.(2022·新高考Ⅱ·4)已知向量a =(3,4),b =(1,0),c =a +t b ,若<a ,c >=<b ,c >,则实数t=( ) A.-6 B.-5C.5D.612. (2022·新高考八省第二次T8联考)如图,在同一平面内沿平行四边形ABCD 两边AB ,AD 向外分别作正方形ABEF ,正方形ADMN ,其中AB=2,AD=1,∠BAD=π4,则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FN ⃗⃗⃗⃗⃗=( )A.-2√2B.2√2C.0D.-1 13.(2022·山东威海期末)已知向量a ,b 满足|a |=|b |=2,且a -b 在a 上的投影为2+√3,则<a ,b >=( )A.π6 B.π3C.2π3D.5π614.(2022·山东潍坊期末)已知正方形ABCD 的边长为2,MN 是它的内切圆的一条弦,点P 为正方形四条边上的动点,当弦MN 的长度最大时,PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是( ) A.[0,1]B.[0,√2]C.[1,2]D.[-1,1]15.(2022·山东济宁一模)等边三角形ABC 的外接圆的半径为2,点P 是该圆上的动点,则PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( ) A.4 B.7C.8D.111 3,且|a|=1,|b|=3,则(2a+b)·b=.16.(2022·全国甲·理13)设向量a,b的夹角的余弦值为2.复数、平面向量1.B 解析: ∵i 4n+3=i 4n ·i 3=-i, ∴(1+i 4n+3)z=(1-i)z=i, ∴z=i1-i =i (1+i )(1-i )(1+i )=-12+12i,∴复数z 在复平面内对应的点为-12,12位于第二象限. 故选B . 2.C 解析: zz -1=√3i(-1+√3i )(-1-√3i )-1=√3i(-1)2+(√3)2-1=-13+√33i,故选C .3.A 解析: ∵z=1-2i, ∴z =1+2i,∴z+a z +b=1-2i +a (1+2i)+b=a+b+1+(2a-2)i =0, ∴{a +b +1=0,2a -2=0, 解得{a =1,b =-2.故选A .4.A 解析: 设z=x+y i,x ,y ∈R ,则z =x-y i,由z+3=4z +5i 得(x+y i)+3=4(x-y i)+5i,即(x+3)+y i =4x+(5-4y )i,于是得{x +3=4x ,y =5-4y ,解得x=y=1,则有z=1+i 对应的点为(1,1),所以在复平面内复数z 对应的点在第一象限. 故选A .5.D 解析: ∵i(1-z )=1, ∴z=i -1i=1+i, ∴z =1-i . ∴z+z =2. 故选D .6.B 解析: AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +15MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +15(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=45AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +15AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =45×34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +15AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =35a +15b .7.D 解析: 若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,则直线AB 与CD 平行或重合,∴点A ,B ,C ,D 不一定在同一直线上,A 错;当b =0时,满足a ∥b 且b ∥c ,不能得出a ∥c ,B 错; 当G 为△ABC 的重心,则GA⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,C 错; 若O 为△ABC 的垂心,则OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0,∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,同理OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴D 正确,故选D . 8.B解析: 如图.∵BD=2DA ,∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ . 又CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ,所以CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2m +3n . 故选B .9.C 解析: ∵P ,Q 分别是正方形边BC ,CD 的中点,∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +A D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +y BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =x (AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )+y -12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =x-12y AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(x+y )AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴{x -12y =1,x +y =12,∴{x =56,y =-13,故选C . 10.12解析: 由题意在题图中以O 为原点,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向为x 轴非负半轴,过O 与OA 垂直向上为y 轴正方向建立平面直角坐标系(图略),则A (1,0),∵向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α, tan α=7,∴cos α=√210,sin α=7√210, 又|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2,∴C15,75,cos(α+45°)=-35,sin(α+45°)=45,∴B -35,45, ∵OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴15,75=m (1,0)+n -35,45,∴{m -35n =15,45n =75,解得{m =54,n =74,∴n-m=12. 11.C 解析: 由题意得c =(3+t ,4),cos <a ,c >=cos <b ,c >,故9+3t+16|c |×5=3+t|c |×1,解得t=5.故选C .12.C 解析: AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FN ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +A A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0+|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ||FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos π4+|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos 3π4+0=√2−√2=0.选C . 13.D 解析: (a -b )·a =|a -b ||a |cos <a -b ,a >=(2+√3)·2, 即a 2-a ·b =4+2√3,a ·b =-2√3.所以|a ||b |cos <a ,b >=-2√3,cos <a ,b >=-√32,<a ,b >=5π6.14.A 解析: 由题当弦MN 长度最大时,即MN 为直径,设弦MN 的中点为O ,由题意,PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−14MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-1=|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2|-1,由1≤|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤√2,得PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是[0,1]. 15.C解析: 如图所示,建立平面直角坐标系,设△ABC 的边长为a ,则asinA =2R=4(R 为△ABC 外接圆半径),所以a=2√3,A (0,3),B (-√3,0),C (√3,0),△ABC 的外接圆的方程为x 2+(y-1)2=4,设P 点坐标为(2cos θ,1+2sin θ),θ∈R ,PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ (PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=4+2√3cos θ+2sin θ=4+4cos θ-π6≤8,当cos θ-π6=1时,等号成立.故选C .。
高考数学(理)二轮复习(课件+跟踪训练)：第一部分 专题二 三角函数、解三角形、平面向量(7份)专题
专题跟踪训练(八)一、选择题1．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝80，b ＝100，A ＝30°，则此三角形( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是直角三角形，也可能是锐角三角形[解析] 依题意得a sin A ＝b sin B ，sin B ＝b sin A a ＝100sin 30°80＝58<32，因此0°<B <60°或120°<B <150°.若0°<B <60°，则C ＝180°－(B ＋30°)>90°，此时△ABC 是钝角三角形；若120°<B <150°，此时△ABC 仍是钝角三角形．因此，此三角形一定是钝角三角形，故选C.[答案] C2．(2015·贵州贵阳期末)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是( )A ．－235 B.235 C.45D ．－45[解析] sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin α＝435⇒sin π3cos α＋cos π3sin α＋sin α＝435⇒32sin α＋32cos α＝435⇒32sin α＋12cos α＝45，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝sin αcos 7π6＋cos αsin 7π6＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin α＋12cos α＝－45，故选D.[答案] D3．如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，则AB 的长为()A.615 B ．5 C.562D ．5 6[解析] 在△ADC 中，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22·AD ·DC ＝25＋9－492×5×3＝－12，所以∠ADC ＝120°，则∠ADB ＝60°.在△ABD 中，由正弦定理可得AB ＝AD sin ∠ADB sin B ＝5×3222＝562，故选C. [答案] C4．(2015·江西南昌一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c ＝1，B ＝45°，cos A ＝35，则b 等于( )A.53 B.107 C.57D.5214[解析] 因为cos A ＝35，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45，所以sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45cos 45°＋35sin 45°＝7210.由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得b ＝17210×sin 45°＝57，故选C.[答案] C5．(2015·贵阳七校联盟)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4的值为( )A ．－7210 B.7210 C ．－210D.210[解析] 由三角函数的定义得tan θ＝2，cos θ＝±55，所以tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－43，cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35，所以sin 2θ＝cos 2θtan 2θ＝45，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝22(sin 2θ＋cos 2θ)＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫45－35＝210，故选D.[答案] D6．(2015·河南郑州质量预测)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝3sin 2A ，且c ＝7，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A.334B.736C.213D.334或736[解析] sin(B ＋A )＝sin B cos A ＋cos B sin A ，sin(B －A )＝sin B cos A －cosB sin A ，sin 2A ＝2sin A cos A ，sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝3sin 2A ，即2sin B cos A ＝6sin A cos A ．当cos A ＝0时，A ＝π2，B ＝π6，又c ＝7，得b ＝213.由三角形面积公式知S ＝12bc ＝736；当cos A ≠0时，由2sin B cos A ＝6sin A cos A 可得sin B ＝3sin A ，根据正弦定理可知b ＝3a ，再由余弦定理可知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋9a 2－76a 2＝cos π3＝12，可得a ＝1，b ＝3，所以此时三角形的面积为S ＝12ab sin C ＝334.综上可得三角形的面积为736或334，所以选D.[答案] D 二、填空题7．(2014·温州十校联考)已知锐角α满足cos 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α等于________． [解析] 由cos 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α得，cos 2α－sin 2α＝22cos α＋22sin α，而α为锐角，∴cos α＋sin α≠0，∴cos α－sin α＝22，两边平方得，1－sin 2α＝12，∴sin 2α＝12.[答案] 128．(2015·广东卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.[解析] 由sin B ＝12得B ＝π6或5π6，因为C ＝π6，所以B ≠5π6，所以B ＝π6，于是A ＝2π3.由正弦定理，得3sin 2π3＝b12，所以b ＝1. [答案] 19．(2015·贵阳质检)在△ABC 中，a ，b ，c 为∠A ，∠B ，∠C 的对边，若cos 2B ＋cos B ＋cos(A －C )＝1，b ＝7，则a 2＋c 2的最小值为____________．[解析] ∵cos 2B ＋cos B ＋cos(A －C )＝1，∴－cos(A ＋C )＋cos(A －C )＝1－cos 2B,2sin A sin C ＝2sin 2B ，由正弦定理得ac ＝b 2，即7＝ac ≤12(a 2＋c 2)(当且仅当a ＝c 时等号成立)，∴a 2＋c 2的最小值为14.[答案] 14 三、解答题10．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且a ＝3，b ＝3，cos B ＝13.(1)求c 的值； (2)求cos(B －C )的值．[解] (1)因为b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，且a ＝3，b ＝3，cos B ＝13，所以9＝9＋c 2－2×3c ×13， 解得c ＝2或0(舍去)，故c ＝2. (2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝223，由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429，因为a ＝b >c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝79，于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋223×429＝2327. 11．(2015·山西太原一模)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ； (2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求A 的值． [解] (1)∵c ＝2，C ＝π3，∴由余弦定理得4＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab ， ∵△ABC 的面积等于3， ∴12ab sin C ＝3，∴ab ＝4，联立⎩⎨⎧a 2＋b 2－ab ＝4ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2)∵sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ， ∴sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ， ∴sin B cos A ＝2sin A cos A ， ①当cos A ＝0时，A ＝π2；②当cos A ≠0时，sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，联立⎩⎨⎧a 2＋b 2－ab ＝4b ＝2a，解得a ＝233，b ＝433，∴b 2＝a 2＋c 2，∴B ＝π2.∵C ＝π3，∴A ＝π6.综上所述，A ＝π2或A ＝π6.12．(2015·辽宁五校期末)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －7π6.(1)求函数f (x )的最大值，并写出f (x )取最大值时x 的取值集合； (2)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝32，b ＋c ＝2.求实数a 的取值范围．[解] (1)f (x )＝2cos 2x －sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －7π6＝(1＋cos 2x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x cos 7π6－cos 2x sin 7π6＝1＋32sin 2x ＋12cos 2x ＝1＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. ∴函数f (x )的最大值为2.当且仅当sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝1，即2x ＋π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋π6，k ∈Z 时取到．∴函数取最大值时x 的取值集合为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π＋π6，k ∈Z .(2)由题意，f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＋1＝32，化简得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12. ∵A ∈(0，π)，∴2A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6，∴2A ＋π6＝5π6，∴A ＝π3.在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝(b ＋c )2－3bc .由b ＋c ＝2，知bc ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b ＋c 22＝1，即a 2≥1，当且仅当b ＝c ＝1时取等号． 又由b ＋c >a 得a <2，∴a 的取值范围是[1,2)．。
高考数学二轮复习 第一部分 送分专题 第6讲 排列、组合、二项式定理练习 理-人教版高三全册数学试题
第6讲 排列、组合、二项式定理一、选择题1．设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为( ) A ．－15x 4B ．15x 4C ．－20i x 4D ．20i x 4解析：(x ＋i)6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6x 6－r i r(r ＝0,1,2，…，6)，令r ＝2，得含x 4的项为C 26x 4i 2＝－15x 4，故选A. 答案：A2．用0,1，…，9这十个数字可以组成有重复数字的三位数的个数为( ) A ．243 B ．252 C ．261D ．279解析：0,1,2，…，9共能组成9×10×10＝900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648(个)，所以有重复数字的三位数有900－648＝252(个)． 答案：B3．甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则有多少种坐法( ) A ．10 B ．16 C ．20D ．24解析：一排共有8个座位，现有两人就坐，故有6个空座．因为要求每人左右均有空座，所以在6个空座的中间5个空中插入2个座位让两人就坐，即有A 25＝20种坐法． 答案：C4．二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫9x －133x 9的展开式中x 的系数等于( ) A ．84 B ．24 C ．6D ．－24解析：根据二项式定理可知，T r ＋1＝C r 9⎝ ⎛⎭⎪⎫－13r 99－＝令9－43r ＝1，得r ＝6，所以x 的系数为C 69⎝ ⎛⎭⎪⎫－136×93＝84，故选A.5．小明试图将一箱中的24瓶啤酒全部取出，每次小明在取出啤酒时只能取出3瓶或4瓶啤酒，那么小明取出啤酒的方式共有( )A．18种B．27种C．37种D．212种解析：由题可知，取出酒瓶的方式有3类，第一类：取6次，每次取出4瓶，只有1种方式；第二类：取8次，每次取出3瓶，只有1种方式；第三类：取7次，3次4瓶和4次3瓶，取法为C37，为35种．共计37种取法．故选C.答案：C6．已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝( )A．－4 B．－3C．－2 D．－1解析：(1＋x)5中含有x与x2的项为T2＝C15x＝5x，T3＝C25x2＝10x2，所以x2的系数为10＋5a ＝5，所以a＝－1，故选D.答案：D7．在二项式(1－2x)n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为( )A．－960 B．960C．1 120 D．1 680解析：根据题意，奇数项的二项式系数之和也应为128，所以在(1－2x)n的展开式中，二项式系数之和为256，即2n＝256，n＝8，则(1－2x)8的展开式的中间项为第5项，且T5＝C48(－2)4x4＝1 120x4，即展开式的中间项的系数为1 120，故选C.答案：C8．若x4(x＋3)8＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a12(x＋2)12，则log2(a1＋a3＋a5＋…＋a11)等于( )A．27B．28C．7 D．8解析：取x＝－1得(－1)4(－1＋3)8＝a0＋a1＋a2＋…＋a11＋a12，①取x＝－3得(－3)4(－3＋3)8＝a0－a1＋a2－…－a11＋a12，②①与②两式左、右两边分别相减得28＝2(a1＋a3＋a5＋…＋a11)，所以a1＋a3＋a5＋…＋a11＝27，所以log2(a1＋a3＋a5＋…＋a11)＝7.9．从8名网络歌手中选派4名同时去4个地区演出(每地1人)，其中甲和乙只能同去或同不去，甲和丙不同去，则不同的选派方案共有( ) A ．240种 B ．360种 C ．480种D ．600种解析：分两步，第一步，先选4名网络歌手，又分两类，第一类，甲去，则乙一定去，丙一定不去，有C 25＝10种不同选法，第二类，甲不去，则乙一定不去，丙可能去也可能不去，有C 46＝15种不同选法，所以不同的选法有10＋15＝25(种)．第二步，4名网络歌手同时去4个地区演出，有A 44＝24种方案．由分步乘法计数原理知不同的选派方案共有25×24＝600(种)． 答案：D10．若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9·(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为( ) A ．1或－3 B ．－1或3 C ．1D ．－3解析：令x ＝0，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2＋m )9，令x ＝－2，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9＝m 9，所以(2＋m )9m 9＝39，即m 2＋2m ＝3，解得m ＝1或－3.答案：A11．某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有( ) A ．80种 B ．90种 C ．120种D ．150种解析：有两类情况：①其中一所学校3名教师，另两所学校各一名教师的分法有C 35A 33＝60种；②其中一所学校1名教师，另两所学校各两名教师的分法有C 15×C 242×A 33＝90种．所以共有60＋90＝150种．故选D. 答案：D12．两对夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为( ) A ．48 B ．36 C ．24D ．12解析：分三步：①先分派两位爸爸，必须一首一尾，有A 22＝2种排法；②两个小孩一定要排在一起，将其看成一个元素，考虑其顺序有A 22＝2种排法；③将两个小孩与两位妈妈进行全排列，有A 33＝6种排法．则共有2×2×6＝24种排法．故选C. 答案：C 二、填空题13．若⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a x 4展开式的常数项为54，且a >0，则a ＝__________. 解析：依题意，二项式⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a x 4的展开式的通项T r ＋1＝C r 4·(x )4－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x r ＝C r 4·a r ·x 2－r .令2－r ＝0得r ＝2.因此，二项式⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a x 4的展开式中的常数项是T 3＝C 24·a 2＝6a 2＝54，a 2＝9.又a >0，因此a ＝3.答案：314．若直线x ＋ay －1＝0与2x －y ＋5＝0垂直，则二项式⎝⎛⎭⎪⎫ax 2－1x 5的展开式中x 4的系数为__________．解析：由两条直线垂直，得1×2＋a ×(－1)＝0，得a ＝2，所以二项式为⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 5，其通项T r ＋1＝C r 5(2x 2)5－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r 25－r C r 5x 10－3r，令10－3r ＝4，解得r ＝2，所以二项式的展开式中x 4的系数为23C 25＝80. 答案：8015．现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有__________种．(用数字作答)解析：第一类，把甲、乙看作一个复合元素，另外3人分成两组，再分配到3个小组中，有C 23A 33＝18种；第二类，先把另外的3人分配到3个小组，再把甲、乙分配到其中2个小组，有A 33A 23＝36种，根据分类加法计数原理可得，共有36＋18＝54种． 答案：5416．从1,3,5,7,9中任取2个数，从0,2,4,6中任取2个数组成没有重复数字的四位数，若将所有个位是5的四位数从小到大排成一列，则第100个数是__________． 解析：①形如“1××5”，中间所缺的两数只能从0,2,4,6中选取，有A 24＝12个． ②形如“2××5”，中间所缺的两数是奇偶各一个，有C 14C 13A 22＝24个．③形如“3××5”，同①有A24＝12个．④形如“4××5”，同②，也有C14C13A22＝24个，⑤形如“6××5”，也有C14C13A22＝24个，以上5类小于7 000的数共有96个．故第97个数是7 025，第98个数是7 045，第99个数是7 065，第100个数是7 205. 答案：7 205。
高考数学二轮复习专题提能二三角与向量的创新考法与学科素养能力训练理
专题提能二 三角与向量的创新考法与学科素养一、选择题1．定义：|a ×b |＝|a||b|sin θ，其中θ为向量a 与b 的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b ＝－6，则|a ×b|等于( )A ．－8B ．8C ．－8或8D ．6解析：由|a |＝2，|b |＝5，a·b ＝－6，可得2×5 cos θ＝－6⇒cos θ＝－35.又θ∈[0，π]，所以sin θ＝45.从而|a ×b |＝2×5×45＝8.答案：B2．已知外接圆半径为R 的△ABC 的周长为(2＋3)R ，则sin A ＋sin B ＋sin C ＝( ) A ．1＋32B ．1＋34C.12＋32D.12＋ 3 解析：由正弦定理知a ＋b ＋c ＝2R (sin A ＋sin B ＋sin C )＝(2＋3)R ，所以sin A ＋sin B ＋sin C ＝1＋32，故选A. 答案：A3．设a ，b 为非零向量，|b|＝2|a|，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4和y 1，y 2，y 3，y 4均由2个a 和2个b 排列而成．若x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4所有可能取值中的最小值为4|a |2，则a 与b 的夹角为( )A.2π3 B.π3C.π6D ．0解析：设S ＝x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4，若S 的表达式中有0个a·b ，则S ＝2a2＋2b 2，记为S 1，若S 的表达式中有2个a·b ，则S ＝a 2＋b 2＋2a·b ，记为S 2，若S 的表达式中有4个a·b ，则S ＝4a·b ，记为S 3.又|b |＝2|a |，所以S 1－S 3＝2a 2＋2b 2－4a·b ＝2(a －b )2＞0，S 1－S 2＝a 2＋b 2－2a·b ＝(a －b )2＞0，S 2－S 3＝(a －b )2＞0，所以S 3＜S 2＜S 1，故S min ＝S 3＝4a·b ，设a ，b 的夹角为θ，则S min ＝4a·b ＝8|a |2cos θ＝4|a |2，即cos θ＝12，又θ∈[0，π]，所以θ＝π3. 答案：B4．已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90˚，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋PB →|的最小值为( )A ．5B ．4C ．3D ．6解析：建立平面直角坐标系如图所示，则A (2,0)，设P (0，y )，C (0，b )，则B (1，b )，则PA →＋3PB →＝(2，－y )＋3(1，b －y )＝(5,3b －4y )．所以|PA →＋3PB →|＝25＋b －4y2(0≤y ≤b )．当y ＝34b 时，|PA →＋3PB →|min ＝5.答案：A 二、填空题5．(2018·石家庄质检)非零向量m ，n 的夹角为π3，且满足|n |＝λ|m |(λ＞0)，向量组x 1，x 2，x 3由一个m 和两个n 排列而成，向量组y 1，y 2，y 3由两个m 和一个n 排列而成，若x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3所有可能值中的最小值为4m 2，则λ＝________.解析：由题意，x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3的运算结果有以下两种可能：①m 2＋m·n ＋n 2＝m 2＋λ|m||m|cos π3＋λ2m 2＝(λ2＋λ2＋1)m 2；②m·n ＋m·n ＋m·n ＝3λ|m |·|m |cos π3＝3λ2m 2.又λ2＋λ2＋1－3λ2＝λ2－λ＋1＝(λ－12)2＋34＞0，所以3λ2m 2＝4m 2，即3λ2＝4，解得λ＝83.答案：836．定义平面向量的一种运算a⊙b ＝|a ＋b|×|a －b|×sin〈a ，b 〉，其中〈a ，b 〉是a 与b 的夹角，给出下列命题：①若〈a ，b 〉＝90˚，则a ⊙b ＝a 2＋b 2；②若|a|＝|b|，则(a ＋b )⊙(a －b )＝4a·b ；③若|a|＝|b|，则a⊙b ≤2|a|2；④若a ＝(1,2)，b ＝(－2,2)，则(a ＋b )⊙b ＝10.其中真命题的序号是________．解析：①中，因为〈a ，b 〉＝90˚，则a ⊙b ＝|a ＋b|×|a －b|＝a 2＋b 2，所以①成立；②中，因为|a|＝|b|，所以〈(a ＋b )，(a －b )〉＝90˚，所以(a ＋b )⊙(a －b )＝|2a|×|2b|＝4|a||b|，所以②不成立；③中，因为|a|＝|b|，所以a⊙b ＝|a ＋b|×|a －b|sin 〈a ，b 〉≤|a ＋b |×|a －b |≤|a ＋b |2＋|a －b |22＝2|a |2，所以③成立；④中，因为a ＝(1,2)，b ＝(－2,2)，所以a ＋b ＝(－1,4)，sin 〈(a ＋b )，b 〉＝33434，所以(a ＋ b )⊙b ＝35×5×33434＝453434，所以④不成立．故真命题的序号是①③.答案：①③7．设非零向量a ，b 的夹角为θ，记f (a ，b )＝a cos θ－b sin θ.若e 1，e 2均为单位向量，且e 1·e 2＝32，则向量f (e 1，e 2)与f (e 2，－e 1)的夹角为________． 解析：由e 1·e 1＝32，可得cos 〈e 1，e 2〉＝e 1·e 2|e 1||e 2|＝32， 故〈e 1，e 2〉＝π6，〈e 2，－e 1〉＝π－〈e 2，e 1〉＝5π6.f (e 1，e 2)＝e 1cos π6－e 2sin π6＝32e 1－12e 2，f (e 2，－e 1)＝e 2cos5π6－(－e 1)sin 5π6＝12e 1－32e 2.f (e 1，e 2)·f (e 2，－e 1)＝(32e 1－12e 2)· ⎝ ⎛⎭⎪⎫12e 1－32e 2＝32－e 1·e 2＝0， 所以f (e 1，e 2)⊥f (e 2，－e 1)．故向量f (e 1，e 2)与f (e 2，－e 1)的夹角为π2.答案：π28．对任意两个非零的平面向量α和β，定义α。
高考高考数学二轮复习第二部分第一讲高考常考客观题微专题2平面向量、复数学案理
微专题2 平面向量、复数命 题 者 说考题 统 计考 情 点 击2018·全国卷Ⅰ·T 1·复数的运算 2018·全国卷Ⅰ·T 6·平面向量的线性运算 2018·全国卷Ⅱ·T 1·复数的运算 2018·全国卷Ⅱ·T 4·平面向量的数量积运算2018·全国卷Ⅲ·T 2·复数的运算2018·全国卷Ⅲ·T 13·平面向量的坐标运算高考对本部分内容的考查主要有以下几方面：①平面向量的运算。
包括向量的线性运算及几何意义，坐标运算，利用数量积运算解决模、夹角、垂直的问题，常与函数、不等式、三角函数、解析几何等知识进行简单的结合；②复数的运算。
包括复数的概念、几何意义及四则运算。
以上考点难度不高，属送分题，只要掌握基础知识就能得满分。
考向一 平面向量微考向1：平面向量的线性运算【例1】 (1)(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( )A.34AB →－14AC →B.14AB →－34AC →C.34AB →＋14AC → D.14AB →＋34AC → (2)(2018·重庆调研)已知Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，AC ＝5，I 是△ABC 的内心，P是△IBC 内部(不含边界)的动点，若AP →＝λAB →＋μAC →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2 C.⎝⎛⎭⎪⎫712，1D ．(2,3)解析 (1)解法一：如图所示，EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →)＝34AB→－14AC →，故选A 。
高考数学二轮复习客观题满分限时练2理
限时练2(时间:45分钟,满分:80分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2022北京,1)已知全集U={x|3<x<3},集合A={x|2<x≤1},则∁U A=()A.(2,1]B.(3,2)∪[1,3)C.[2,1)D.(3,2]∪(1,3)2.(2023全国甲,理2)若复数(a+i)(1a i)=2,则a=()A.1B.0C.1D.23.(2023全国甲,理6)某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰,50%的同学爱好滑雪,70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学,若该同学爱好滑雪,则该同学也爱好滑冰的概率为()A.0.8B.0.6C.0.5D.0.44.(2023四川泸州三模)执行下图所示的程序框图,若输入N的值为8,则输出S的值为()A. B. C.0 D.5.(2023江西南昌二模)已知函数f(x)=2sin x,命题p:∃x1,x2∈(0,π),使得f(x1)+f(x2)=2,命题q:∀x1,x2∈(),当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),则下列命题中为真命题的是()A.p∨qB.p∧qC.p∧( q)D.( p)∧( q)6.(2023河南郑州三模)若向量a,b满足|a|=|b|=|a+b|,则向量b与向量ab的夹角为()A.30°B.60°C.120°D.150°7.(2023安徽黄山二模)先后掷两次骰子,落在水平桌面后,记正面朝上的点数分别为x,y,设事件A=“x+y为奇数”,事件B=“x,y满足x+y<6”,则概率P(B|A)=()A. B. C. D.8.(2023山东泰安一模)若的二项展开式中x6的系数是16,则实数a的值是()A.2B.1C.1D.29.(2023河南郑州一模)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知角C=,b sin(+A)a sin(+B)=c,则角B=()A. B. C. D.10.在直三棱柱ABCA1B1C1中,已知AB⊥BC,AB=BC=2,CC1=2,则异面直线AC1与A1B1所成的角为()A.30°B.45°C.60°D.90°11.(2023河北张家口一模)已知实数a,b,c满足log a2=e,b=,ln c=,则()A.log c a>log a bB.a c1>b a1C.log a c<log b cD.c a>b c12.已知F1,F2分别为双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点P在第二象限内,且满足|F1P|=a,()·=0,线段F1P与双曲线C交于点Q,若|F1P|=3|F1Q|,则C的离心率为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2023宁夏银川一中一模改编)已知函数f(x)=对任意x1,x2∈R,且x1≠x2,都有>0成立,则a的取值范围是.14.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且2sin A sin C=1+2cos A cos C,a+c=3sin B,则b的最小值为.15.(2022浙江,17)设点P在单位圆的内接正八边形A1A2…A8的边A1A2上,则+…+的取值范围是.16.(2023河北邯郸二模)已知O为坐标原点,椭圆C:=1(a>b>0)的右焦点为F,上顶点为B,线段BF的中垂线交C于M,N两点,交y轴于点P,=2,△BMN的周长为16,则椭圆的标准方程为.限时练21.D解析∵U={x|3<x<3},∴∁U A=(3,2]∪(1,3),故选D.2.C解析由(a+i)(1a i)=2,可得a+i a2i+a=2,即2a+(1a2)i=2,所以解得a=1.故选C.3.A解析从该校的学生中任取一名学生,记A表示事件:“取到的学生爱好滑冰”,B表示事件:“取到的学生爱好滑雪”.由题设知P(A)=0.6,P(B)=0.5,P(A∪B)=0.7.由P(A∪B)=P(A)+P(B)P(AB),得P(AB)=P(A)+P(B)P(A∪B)=0.6+0.50.7=0.4.所求的概率为P(A|B)==0.8.4.C解析程序运行可得S=sin+sin+sin+sin+sin+sin+sin+sin+1++01+0=0.故选C.5.A解析命题p:当0<x<π时,0<sin x≤1,所以1<2sin x≤2,即1<f(x)≤2,则∀x1,x2∈(0,π),f(x1)+f(x2)>2,故命题p为假命题;命题q:当<x<时,由复合函数的单调性得f(x)=2sin x在()上是增函数,所以当<x1<x2<时,f(x1)<f(x2),故命题q为真命题.则命题p∨q为真,故A正确;命题p∧q为假,故B错误;命题p∧( q)为假,故C错误;命题( p)∧( q)为假,故D错误.故选A. 6.D解析由题意|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=|a|2=|b|2,所以2a·b=|a|2,所以|ab|=|a|.b(ab)=|b||ab|cos<b,ab>=|a|2cos<b,ab>,又b(ab)=b·ab2=|a|2|a|2=|a|2,所以|a|2cos<b,ab>=|a|2,cos<b,ab>=,又0°≤<b,ab>≤180°,所以<b,ab>=150°.故选D.7.B解析用(x,y)表示先后掷两次骰子分别得到的点数,基本事件的个数为6×6=36.记事件C=“x+y为奇数,且x+y<6”,所以事件A包含的基本事件的个数为3×3×2=18,事件C包含的基本事件个数为(1,2),(1,4),(2,3),(2,1),(4,1),(3,2),共6个,根据古典概率公式知,P(A)=,P(C)=P(AB)=,P(B|A)=故选B.8.D解析(x)8的二项展开式的通项公式为T r+1=x8r·()r=(a)r x82r,0≤r≤8,r∈N*.令82r=6,得到r=1.由x6的系数是16,得到(a)1=16,解得a=2.故选D.9.C解析由题意及正弦定理,得sin B·sin(+A)sin A sin(+B)=sin C,整理得(sin B cos A sin A cos B)=,即sin(BA)=1.因为A,B∈(0,),所以BA∈(),所以BA=又B+A=,所以B=故选C.10.C解析由题画图(图略),连接AC1,BC1,又AB∥A1B1,则∠BAC1为异面直线AC1与A1B1所成的角或其补角.∵AB⊥BC,且三棱柱为直三棱柱,∴AB⊥CC1,BC∩CC1=C,∴AB⊥平面BCC1B1,∴AB⊥BC1,又AB=BC=2,CC1=2,∴BC1==2,∴tan∠BAC1=,∴∠BAC1=60°.故选C.11.D解析由log a2=e,得a e=2,∴a=又b=,函数y=2x在R上是增函数,∴a<b<20=1.由ln c=>0,得c>1,∴c>1>b>a>0,∴y=log c x在(0,+∞)上是增函数,y=log a x在(0,+∞)上是减函数,故log c a<log c1=0,log a b>log a1=0,∴log c a<log a b,A错;由c1>0,得a c1<1.∵a1<0,∴b a1>1,故a c1<b a1,B错;∵log a c=,log b c=,且log c a<log c b<0,,即log a c>log b c,C错;∵c a>c0=1,b c<b0=1,故c a>b c,D对.故选D.12.C解析取线段F1P的中点E,连接F2E,因为()=0,所以F2E⊥F1P,所以△F1F2P是等腰三角形,且|F2P|=|F1F2|=2c,在Rt△F1EF2中,cos∠F2F1E=,连接F2Q,又|F1Q|=,点Q在双曲线C上,由|F2Q||F1Q|=2a,则|F2Q|=,在△F1QF2中,cos∠F2F1Q=,整理得12c2=17a2,所以离心率e=故选C.13.(1,2]解析因为对任意x1≠x2,都有>0成立,所以f(x)在定义域内是增函数,所以解得1<a≤2,即a的取值范围是(1,2].14解析因为2sin A sin C=1+2cos A cos C,整理可得cos(A+C)=因为A+B+C=π,所以cos B=又因为0<B<π,所以B=由余弦定理可得b2=a2+c2ac=(a+c)23ac,又因为a+c=3sin B=,所以b2=3ac3()2=,当且仅当a=c=时等号成立,所以b的最小值为15.[12+2,16]解析如图,以圆心为原点,A3A7所在直线为x轴,A1A5所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则A1(0,1),A2(),A3(1,0),A4(,),A5(0,1),A6(,),A7(1,0),A8().设P(x,y),则+…+=8(x2+y2)+8.因为cos22.5°≤|OP|≤1,所以x2+y2≤1,故所求取值范围为[12+2,16].16=1解析设椭圆的半焦距为c.如图,由=2,得点P在线段BO上,且|BP|=b,|PO|=b.连接PF,由点P在线段BF的中垂线上,得|BP|=|PF|.在Rt△POF中,由勾股定理得|OP|2+|OF|2=|PF|2,所以(b)2+c2=(b)2,整理得b2=3c2,所以a2c2=3c2,即a2=4c2,所以a=2c.在Rt△BOF中,cos∠BFO=,所以∠BFO=设直线MN交x轴于点F',交BF于点H,在Rt△HFF'中,有|FF'|==a=2c,所以F'为椭圆C的左焦点.又|MB|=|MF|,|NB|=|NF|,所以△BMN的周长等于△FMN的周长.又△FMN的周长为4a,所以4a=16,解得a=4,所以c=2,b2=a2c2=12.故答案为=1.。
2023届高考数学二轮复习大题专讲专练：向量法解决中点、中线问题与已知图形解三角形
第7讲 向量法解决中点、中线问题向量法:在ABC 中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知点D 是BC 边的中点,则通常会利用向量()12AD AB AC =+,平方后解决中线相关的问题,即2AD =(22211()||44AB AC AB AC +=++2cos )AB AC A【例1】在△ABC 中，角A ,B,C 的对边分别为,,a b c .已知点D 是BC 边的中点,若,2,3A c AD π===求a .【解析】点D 是BC 边的中点,()12AD AB AC ∴=+, ()221||2cos 4AB AC AB AC A =++.将,,3AB AB c AC AC b A π=====代入上式,整理得22480b b +-=. 解得6b =(8b =-舍去).由余弦定理得2222cos 28a b c bc A =+-=a ∴=【例2】已知ABC 的三个角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,点D 为BC 边的中点,21,3AD A π==,求ABC 面积的最大值. 【解析】()22222222 ,1.42()22 1,,3242cos 32D BC AD AB AC AD AB AC AB AB AC ACAD A c bc b b c bc bc bcππ∴=+=+=+⋅+==∴=++=+--解点为边的中点又即4bc ,当且仅当b c =时,等号成立.11sin 4222ABC S bc A ∴=⨯⨯=当且仅当b c =时,取等号. ABC ∴.【例3】ABC 的角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知3C π=,点D 为AB 边的中点,且2c =,求CD 的最大值.【解析】22222 ,211||2444CA CBCD CA CB abCD CD a b +=⎛⎫+∴===++ ⎪⎝⎭解22222222 4,4242),112243.444223(2). c a b ab a b ab ab ab a b ab ab CD a b CD a b CD =+-=∴+=+∴==++=++==∴==∴又（取等号时取等号时第8讲 已知图形解三角形这一类题目求解的核心在于找到三角形,判定是否满足“知三求三”.所谓“知三求三”就是已知三角形中的三个量来求解其他三个量,如果不满足上述条件,就需要找图形中的边角关系,来列方程求解,“知三求三”的情况如下.1.AAS /ASA :已知两角,A B 与一边a ,由A B C π++=及sin sin sin a b cA B C==,可先求出角C 及b ,再求出c .2.SAS :已知两边,b c 及其夹角A ,由2222cos a b c bc A =+-,先求出a ,再求出角,B C .3.SSS :已知三边,,a b c ,由余弦定理可求出角,,A B C .4.ASS :已知两边,a b 及其中一边的对角A ,由正弦定理sin sin a bA B=可求出另一边b 的对角B ,由()C A B π=-+,可求出角C ,再由sin sin a c A C =可求出c .通过sin sin a bA B=求角B 时,可能有一解或两解或无解的情况.在ABC 中,已知,a b 和角A 时,解的情况如下表所示.注意:上表中A 为锐角时,sin a b A <,无解;A 为钝角或直角时,,a b a b =<均无解.求值【例1】如下图所示,在ABC 中,点P 在边BC 上,,2,43C AP AC PC π==⋅=.(1)求APB ∠.(2)若ABC ,求sin PAB ∠. 【解析】(1)在APC 中,设AC x =,44,AC PC PC x⋅==,又,23C AP π==,由余弦定理得2222AP AC PC =+-。
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衡水万卷作业（二）向量考试时间：45分钟姓名：__________班级：__________考号：__________一、选择题（本大题共12小题。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.平行四边形ABCD 中，AB u u u r =（1，0），AC u u u r =（2，2），则AD BD ⋅u u u r u u u r等于A ．4B ．-4C ．2D ．-2 2.在△ABC 中，已知∠ACB=90°，CA=3，CB=4，点E 是边AB 的中点，则•=（ ）A ． 2B ．C ．D ． ﹣3.已知点A,B,C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ⊥.若点P 的坐标为（2,0），则PA PB PC ++u u u r u u u r u u u r的最大值为（ ）A.6B.7C.8D.94.（2015新课标1高考真题）设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =u u u r u u u r，则（ ）（A ）1433AD AB AC =-+u u u r u u ur u u u r (B)1433AD AB AC =-u u u r u u u r u u u r（C ）4133AD AB AC =+u u u u u r u u u r u u u r (D)4133AD AB AC =-u u u u u u u ru u u r u u u r5.已知ABC ∆的重心为G ，角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，若2330aGA bGB cGC ++=uu r uu u r uuu r，则sin :sin :sin A B C =3232:1 D. 3:2326.设向量,a b r r满足||15,11a b a b +=-=u u r r r r a b ⋅=r r （ ）A.1B.2C.3D.57.已知直线0(0)x y k k +-=>与圆224x y +=交于不同的两点,,A B O 是坐标点，且有33OA OB +≥u u u r u u u r u ur ，那么k 的取值范围是（ ）A ．)2,⎡+∞⎣B ．2,22⎡⎣C ．)3,+∞ D ．3,228.已知非零向量AB u u u r 与AC u u u r 满足0,AB ACBC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r且1,2AB AC AB AC ⋅=u u u r u u u ru u u r u u u r 则ABC ∆的形状是（ ） A. 三边均不相等的三角形 B . 直角三角形 C. 等腰（非等边）三角形 D . 等边三角形9.在平面直角坐标系xOy 中，已知向量,,1,0,a b a b a b ==⋅=r r r r r r 点Q 满2()OQ a b =+u u u r r r。
曲线{|cos sin ,02}C P OP a b θθθπ==+≤<u u u r r r，区域{|0||,}P r PQ R r R Ω=<≤≤<u u u r 。
若C ⋂Ω为两段分离的曲线，则( )A ．13r R <<<B ．13r R <<≤C ．13r R ≤<<D ．13r R <<< 10.已知点()()()30,0,0,,,.ABC C A b B a a ∆若,为直角三角形则必有A.3b a = B.31b a a=+ C.()3310b ab a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ D.3310b a b a a-+--= 11.已知四面体ABCD 中，AB.AC.AD 两两互相垂直，给出下列两个命题：①AB CD AC BD AD BC ⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r;②2222||||||||AB AC AD AB AC AD ++=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .A. ①真，②真B.①真，②假C. ①假，②假D.①假，②真12.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，(2D ，若1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的 面积，则（ ）（A ）123S S S == （B ）12S S =且 31S S ≠ （C ）13S S =且 32S S ≠ （D ）23S S =且 13S S ≠ 二、填空题（本大题共6小题）13.在Rt△ABC 中，AB=AC=3，M ，N 是斜边BC 上的两个三等分点，则AM AN u u u u r u u u rg 的值为 ．14.已知 (1,1),,a OA a b OB a b =-=-=+r u u u r r r u u u r r r，若∆ OAB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则 ∆OAB 的面积是_______15.在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AD BE =u u u r u u u r, 则AB 的长为 .16.设,,a b c 为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，向量(3,1),(cos ,sin )A A ==m n ，若⊥m n ，且cos cos sin ,a Bb Ac C +=则角B = .17.设向量)12,,2,1,0)(6cos 6sin ,6(cos Λ=+=k k k k a k πππ，则1110()k k k a a +=⋅∑u u r u u u r 的值为18.在正方体ABCD-A 1B 1C 1 D 1中,下面给出四个命题:①(1A A u u u r +11A D u u u u u r +11A B u u u u r )2=3(11A B u u u u r )2;②1AC u u u r ·(11A B u u u u r -1AA u u u r )=0;③1AD u u u u r 与1A B u u u r的夹角为60°； ④此正方体体积为|1AB AA AD ⋅⋅u u u r u u u u r u u u r|.则错误命题的序号是 (填出所有错误命题的序号).三、解答题（本大题共2小题）19.ABC ∆内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且345.OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r(1)求数量积,,OA OB OB OC OC OA ⋅⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r；(2)求ABC ∆的面积.20.如图，ABC ∆中，D 为BC 的中点，G 为AD 的中点，过点G 任作一直线MN 分别交AB ，AC 于,M N 两点，若,,AM xAB AN y AC ==u u u u r u u u r u u u r u u u r 试问：11x y+是否为定值？A BCDG M N衡水万卷作业（二）答案解析一、选择题1.A2.【考点】： 平面向量数量积的运算．【专题】： 平面向量及应用．【分析】： 根据已知条件便可得到，，，带入进行数量积的运算即可得到答案． 【解析】： 解：如图， E 是AB 中点； ∴，；∴=．故选：B ．【点评】： 考查向量加法的平行四边形法则，向量减法的几何意义，以及数量积的运算． 3.【答案】B.试题分析：由题意得，AC 为圆的直径，故可设),(n m A ，),(n m C --，),(y x B ，∴(6,)PA PB PC x y ++=-u u u r u u u r u u u r，而491237)6(22≤-=+-x y x ，∴PA PB PC ++u u u r u u u r u u u r的最大值为7，故选B.考点：1.圆的性质；2.平面向量数量积. 4.【答案】A【解析】试题分析：由题知11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =1433AB AC -+u u ur u u u r ，故选A.考点：平面向量运算5.【答案】D 解析：设a ，b ，c 为角A ，B ，C 所对的边，由正弦定理2330aGA bGB cGC ++=uu r uu u r uuu r，由△ABC 的重心为G ，得2sinA GA uu r +3sinB GB uu u r =﹣3sinC GC uuu r =﹣3sinC （﹣GA uu r ﹣GB uu u r）， 整理得：（2sinA ﹣3sinC ）GA uu r +（3sinB ﹣3sinC ）GB uu u r =0， ∵GA uu r ，GB uu u r不共线，∴2sinA﹣3sinC=0，3sinB ﹣3sinC=0，即sinA=32sinC ，sinB=3sinC ， 则sinA ：sinB ：sinC=32：3：1=3:23:2，故选：D ．【思路点拨】已知等式利用正弦定理化简，整理后根据两向量不共线，表示出sinA 与sinB ，求出sinA ，sinB ，sinC 之比即可．6.A 解析：因为||15,11a b a b +=-=u u r r r r，所以222215,a b a a b b +=+⋅+=r r r r r r 222211,a b a a b b -=-⋅+=r r r r r r 两式相减得:4a b ⋅=r r 4，所以a b ⋅=r r1，故选A.【思路点拨】将向量的模平方，转化为向量数量积运算，再相减得结论. 7. B解析：设AB 的中点为D ，则OD AB ⊥3322333OA OB AB OD AB AB OD +≥∴≥∴≤u u u v u u u v u u u v u u u v u u uv u u u v u u u v Q ，22144OD AB +=u u u v u u u v ，21OD ≥u u u v ，直线0(0)x y k k +-=>与圆224x y +=交于不同的两点A ，B 2224414102222k OD OD k k ⎛-⎫∴<∴>≥∴>≥>∴≤< ⎪⎝⎭u u u v u u u v Q ，所以答案为B.【思路点拨】根据向量及向量模的运算可找到正确结果. 8.D9.A ，解析：设(1,0),(0,1)a b ==r r则(cos ,sin )OP θθ=u u u r ，(2,2)OQ =u u u r 所以曲线C 是单位元，区域Ω为圆环（如右图）∵||2OQ =u u u r，∴13r R <<<。