2017苏教版高一数学正切函数.doc
2017_2018学年高中数学第一章三角函数1.7.1正切函数的定义1.7.2正切函数的图像与性质课
π π π 解析：由 x＋4≠kπ＋2，k∈Z，得 x≠kπ＋4，k∈Z. 答案：D
4． 已知函数 π A.4
π f(x)＝tan2x＋3， 则函数
f(x)的最小正周期为(
)
π B.2
C．π
D．2π
π π π 解析：法一函数 y＝tan(ωx＋φ)的周期 T＝|ω|，可得 T＝|2|＝2. π 法二 由诱导公式可得 tan2x＋3 π π π ＝tan2x＋3＋π＝tan2x＋2＋3， π π 所以 f x＋2 ＝f(x)，所以周期为 T＝2. 答案：B
2．下列说法正确的是( ) A．y＝tanx 是增函数 B．y＝tanx 在第一象限是增函数 C．y＝tanx 在某一区间上是减函数 π π D．y＝tanx 在区间kπ－2，kπ＋2(k∈Z)上是增函数
解析：由正切函数的图象可知 D 正确． 答案：D
π 3．函数 y＝tanx＋4的定义域是( ) π π A. xx≠－4 B. xx≠4 π π C. x x≠kπ－4，k∈Z D. x x≠kπ＋4，k∈Z
y＝tanx
π x|x≠kπ＋ ，x∈R，(k∈Z) 2
R π 奇函数 π π kπ－ ，kπ＋ (k∈Z) 2 2 无
|自我尝试| 1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正切函数在整个定义域内是增函数．( × ) (2)存在某个区间，使正切函数为减函数．( × ) (3)正切函数图像相邻两个对称中心的距离为周期 π.( √ )
跟踪训练 2 调区间．
本例(1)函数变为
高中数学 1.4.3《正切函数的图像和性质》课件 苏教版必修4
3 2
2
3
x
2
2
整理课件
特征
1.有无穷多支曲线组成，由直线 xk,kZ隔开
2.在每个分支里是单调递增的
2
3.有渐近线 4.中心对称点 (k,0),kZ；关于原点对称（奇函数）
2 整理课件
单调性
在每个分支里是单调递增的
增区间：2 k
,
k
2
kZ
整理课件
例6
• （1）定义域
y
tan
x
2 3
练习：P51 3
整理课件
例6
• （2）周期性
y
tan
x
2 3
练习：P51 4
整理课件
例6
y
tan
x
2 3
• （3）单调区间
整理课件
P53 A9（1）
1 ta n x 0
• 解不等式
方法（1）在
2
, 2
内找到相应的范围
（2）在两边加上 k
整理课件
小结
(1)定义域：
{x| xk,kZ}
2
(2)周 期 T
( 3 )f(x ) t a n x ,x R 为奇函数
(4) 单调性：增区间：
2k
,
k
2
整理课件
kZ
作业
• A 小结 • B P53 A6 A7 A8 (1)
整理课件
ytanx T
整理课件
奇偶性
f(x ) sin x ,x R为奇函数 f(x ) c o sx ,x R为偶函数
f(x ) ta n x ,x R
任意xR f( x )ta n ( x )tanxf(x) f(x ) ta n x ,x R 为奇函数
2017-2018学年高一数学教学案：第一章 §7 第1课时 正切函数的定义 正切函数的图像与性质
第1课时 正切函数的定义 正切函数的图像与性质[核心必知]1．正切函数(1)定义：如果角α满足：α∈R ，α≠π2＋k π(k ∈Z )，那么，角α的终边与单位圆交于点P (a ，b )，唯一确定比值b a .根据函数的定义，比值b a是角α的函数，我们把它叫作角α的正切函数，记作y ＝tan_α，其中α∈R ，α≠π2＋k π，k ∈Z .(2)与正弦、余弦函数的关系：sin xcos x＝tan_x ．(3)三角函数：正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，它们统称为三角函数．(4)正切值在各象限内的符号如图． 2．正切线单位圆与x 轴正半轴交于点A ，过点A 作x 轴的垂线AT ，与角α的终边或其反向延长线交于点T .则称线段AT 为角α的正切线．当角α的终边在y 轴上时，角α的正切线不存在．3续表[问题思考]1．你能描述正切曲线的特征吗？提示：正切曲线是被互相平行的直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )所隔开的无穷多支曲线组成的，是间断的，它没有对称轴，只有对称中心．2．正切曲线在整个定义域上都是增加的吗？提示：不是．正切函数定义域是{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }，正切曲线在每一个开区间(k π－π2，k π＋π2)(k ∈Z )上是增加的，它是周期函数，但在整个定义域上不是增加的．3．函数y ＝|tan x |的周期是π2吗？提示：不是．y ＝|tan x |的周期仍为π.讲一讲1．已知tan α＝2，利用三角函数的定义求sin α和cos α. [尝试解答] 在α的终边上取一点P (a ，2a )且a ≠0， 则有x ＝a ，y ＝2a ，r ＝a 2＋4a 2＝5|a |. ∵tan α＝2>0，∴α在第一象限或第三象限． 当α在第一象限时，a >0，则r ＝5a . ∴sin α＝y r＝2a 5a＝255，cos α＝x r ＝a 5a ＝55. 当α在第三象限时，a <0，则r ＝－5a . ∴sin α＝y r ＝2a －5a ＝－255，cos α＝x r ＝a －5a ＝－55.1．若P (x ，y )是角α终边上任一点，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x(x ≠0)，其中r ＝x 2＋y 2.2．当角α的终边上的点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况及解题的需要对参数进行分类讨论．练一练1．角α的终边经过点P (－b ，4)且cos α＝－35，求tan α的值．解：由已知可知点P 在第二象限，∴b ＞0. ∵cos α＝－35，∴－b b 2＋16＝－35，解得b ＝3，tan α＝－43.讲一讲2．画出函数y ＝|tan x |的图像，并根据图像写出使y ≤1的x 的集合． [尝试解答] ∵y ＝|tan x |＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ， k π≤x ＜k π＋π2，（k ∈Z ），－tan x ， k π－π2＜x ＜k π，（k ∈Z ），画出其图像，如图所示实线部分．由图像可知x 的集合为{x |k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z }．1．三点两线画图法“三点”是指⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，－1，(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1；“两线”是指x ＝－π2和x ＝π2.在三点、两线确定的情况下，类似于五点法作图，可大致画出正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的简图，然后向右、向左扩展即可得到正切曲线．2．如果由y ＝f (x )的图像得到y ＝f (|x |)及y ＝|f (x )|的图像，可利用图像中的对称变换法完成；即只需作出y ＝f (x )(x ≥0)的图像，令其关于y 轴对称便可以得到y ＝f (|x |)(x ≤0)的图像；同理只要作出y ＝f (x )的图像，令图像“上不动下翻上”便可得到y ＝|f (x )|的图像．3．利用函数的图像可直观地研究函数的性质，如判断奇偶性、周期性、解三角不等式等． 练一练2．[多维思考] 根据讲2中函数y ＝|tan x |的图像，讨论该函数的性质． 解：(1)定义域：{x |x ∈R ，x ≠π2＋k π，k ∈Z }．(2)值域：[0，＋∞)．(3)周期性：是周期函数，最小正周期为π. (4)奇偶性：图像关于y 轴对称，函数是偶函数． (5)单调性：在每一个区间(－π2＋k π，k π](k ∈Z )上是减少的，在每一个区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π，π2＋k π(k ∈Z )上是增加的．(6)对称性：对称轴x ＝k π2，k ∈Z .讲一讲3．(1)求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的单调区间．(2)比较tan 21π4与tan 17π5的大小．[尝试解答] (1)∵y ＝tan x ，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上是增加的，∴－π2＋k π＜12x －π4＜π2＋k π，k ∈Z .∴2k π－π2＜x ＜2k π＋3π2，k ∈Z ，即函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的单调递增区间是⎝ ⎛－π2＋2k π，⎭⎪⎫3π2＋2k π(k ∈Z )． (2)tan 21π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋5π＝tan π4， tan 17π5＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋2π5＝tan 2π5.又∵函数y ＝tan x 在(0，π2)内单调递增，而0<π4<2π5<π2，∴tan π4<tan 2π5，即tan 21π4<tan 17π5.1．正切函数在每一个单调区间内都是增加的，在整个定义域内不是增加的，另外正切函数不存在减区间．2．对于函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数)的单调区间问题，可先由诱导公式把x 的系数化为正值，再利用“整体代换”思想，求得x 的范围即可．3．比较两个正切函数值的大小，要先利用正切函数的周期性将正切值化为区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内两角的正切值，再利用正切函数的单调性比较大小．练一练3．函数f (x )＝tan(2x －π3)的单调递增区间为________．解析：由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z )，得k ×π2－π12＜x ＜k ×π2＋512π(k ∈Z )，所以函数的单调递增区间为(k π2－π12，k π2＋5π12)(k ∈Z )． 答案：(k π2－π12，k π2＋5π12)(k ∈Z )求函数y ＝11－tan x 的定义域．[错解] 由1－tan x ≠0得tan x ≠1， 解得x ≠k π＋π4，k ∈Z ，∴函数的定义域为{x |x ≠k π＋π4，k ∈Z }．[错因] 求函数的定义域不仅考虑使函数式有意义，还得考虑正切函数本身固有的x ≠k π＋π2，k ∈Z 这一条 件．上面的解法只考虑了1－tan x ≠0，而没有考虑x ≠k π＋π2，k ∈Z ，因而是错误的．[正解] 由⎩⎪⎨⎪⎧1－tan x ≠0，x ≠k π＋π2，k ∈Z ， 得x ≠k π＋π4且x ≠k π＋π2，k ∈Z .∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π4且x ≠k π＋π2，k ∈Z .1．函数y ＝tan(x ＋π)是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数 解析：选A ∵y ＝tan(x ＋π)＝tan x . ∴此函数是奇函数．2．函数y ＝tan(x ＋π4)的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－π4B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π－π4，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈Z解析：选 D 由x ＋π4≠k π＋π2，k ∈Z 得，x ≠k π＋π4，k ∈Z ，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈Z .3．已知角α的终边上一点P (－2，1)，则tan α＝( ) A.12 B ．2 C ．－2 D ．－12解析：选D tan α＝y x ＝1－2＝－12. 4．函数y ＝tan x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4的值域是________．解析：∵函数y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上为增加的， ∴0≤tan x ≤1. 答案：[0，1]5．比较大小：tan 2________tan 9. 解析：∵tan 9＝tan(－2π＋9)， 而π2＜2＜－2π＋9＜π，且y ＝tan x 在(π2，π)内是增加的．∴tan 2＜tan(－2π＋9)， 即tan 2＜tan 9. 答案： ＜6．利用正切函数的图像作出y ＝tan x ＋|tan x |的图像，并判断此函数的周期性． 解：∵当x ∈(k π－π2，k π]时，y ＝tan x ≤0，当x ∈(k π，k π＋π2)时，y ＝tan x ＞0，∴y ＝tan x ＋|tan x |＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ∈（k π－π2，k π]，k ∈Z ，2tan x ，x ∈（k π，k π＋π2），∈Z .图像如图所示．由y ＝tan x ＋|tan x |的图像可知，它是周期函数，周期为π.一、选择题1．已知θ是第二象限角，则( ) A ．tan θ2＞0 B ．tan θ2＜0C ．tan θ2≤0D ．tan θ2的符号不确定解析：选A ∵θ是第二象限角， ∴θ2是第一或第三象限角， ∴tan θ2＞0.2．函数y ＝2tan(2x －π4)的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π－π4，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π2＋3π8，k ∈Z1C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π＋3π4，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π2＋π8，k ∈Z 解析：选B 由2x －π4≠k π＋π2，k ∈Z ，解得x ≠k π2＋3π8，k ∈Z . 3．函数y ＝tan(sin x )的值域是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22C ．[－tan 1，tan 1]D ．[－1，1] 解析：选C ∵－1≤sin x ≤1， ∴－π2<－1≤sin x ≤1<π2.∵y ＝tan x 在(－π2，π2)上是增加的．∴y ∈[－tan 1，tan 1]． 4．函数f (x )＝sin x|cos x |在区间[－π，π]内的大致图像是下列图中的( )解析：选C f (x )＝sin x|cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ，cos x >0－tan x ，cos x <0 ＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ，－π2<x <π2，－tan x ，－π≤x <－π2或π2<x ≤π.二、填空题5．若tan x ≥－3，则x 的取值范围是________． 解析：1作出y ＝tan x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2的图像，如图所示． 令y ＝－3，得x ＝－π3，∴在(－π2，π2)中满足不等式tan x ≥－3的x 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π3，π2. 由正切函数周期性，可知：原不等式的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π2(k ∈Z )．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π2(k ∈Z )6．函数y ＝lg(tan x )的单调增区间是________． 解析：函数y ＝lg(tan x )有意义，则tan x >0， ∴函数的增区间为(k π，k π＋π2)(k ∈Z )．答案：⎝⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π2(k ∈Z ) 7．函数y ＝sin x 与y ＝tan x 的图像在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上交点个数是________．解析：在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，tan x >sin x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0时，tan x <sin x ，所以y ＝sin x 与y＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上只有一个交点(0，0)．答案：18．已知函数y ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－12x ，则函数的对称中心是________． 解析：y ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－12x ＝－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6.∵y ＝tan x 的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2，0， ∴令12x －π6＝k π2，得x ＝k π＋π3，k ∈Z .∴y ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－12x 的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π3，0，k ∈Z .答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π3，0(k ∈Z ) 三、解答题9．已知f (x )＝a sin x ＋b tan x ＋1，f (－2π5)＝7， 求f (2 012π5)． 解：设g (x )＝a sin x ＋b tan x ，因为sin x 与tan x 都是奇函数，所以g (－x )＝－g (x )，即g (－x )＋g (x )＝0，故f (－x )＋f (x )＝g (－x )＋1＋g (x )＋1＝2，又易得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 012π5＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫402π＋2π5＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π5，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π5＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π5＝2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π5＝7， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 012π5＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π5＝－5. 10．已知函数f (x )＝x 2＋2x tan θ－1，x ∈[－1， 3 ]，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2. (1)当θ＝－π6时，求函数f (x )的最大值与最小值； (2)求θ的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－1， 3 ]上是单调函数．解：(1)当θ＝－π6时， f (x )＝x 2－233x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －332－43，x ∈[－1， 3 ]． ∴当x ＝33时，f (x )的最小值为－43； 当x ＝－1时，f (x )的最大值为233. (2)函数f (x )＝(x ＋tan θ)2－1－tan 2θ的图像的对称轴为x ＝－tan θ.∵y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数，∴－tan θ≤－1或－tan θ≥3， 即tan θ≥1或tan θ≤－ 3. 又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2， ∴θ的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，－π3∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 .。
苏教版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第7章三角函数 7.3.2 第2课时 正切函数的图象与性质
π
x= 2 -φ,分别令
π
,0
2
k=1,2 知②③正确,④显然正确.
(k∈Z)对称,令
π
x+φ= 得
2
规律方法 正切型函数y=Atan(ωx+φ)的周期性、奇偶性、对称性
π
(1)一般地,函数 y=Atan(ωx+φ)的最小正周期为 T= ,常常利用此公式来求周期.
4
4
解析 因为 f(x)=tan
函数 y=tan
函数
的减区间为
π
- 4
π
-
4
=-tan
的增区间.由
π
- 4
,所以求函数 f(x)=tan
π
π
π
kπ-2<x-4<kπ+2,k∈Z,得
3π
π
π
f(x)=tan(4-x)的减区间为(kπ-4,kπ+ 4 ),k∈Z.
π
-
4
的减区间,即求
3π
π
kπ-4<x<kπ+ 4 ,k∈Z,即
2
2
答案 D
解析 由正切函数的图象可知D正确.
2.函数 y=
1
的定义域为(
tan-1
A.
π
π
π + ,π +
4
2
B. ≠
,k∈Z
π
π- 4 ,∈Z
C.
π
π
π + 4 ,π + 2
D.
π
π
π + 4 ,π + 2
,k∈Z
,k∈Z
苏教版高一数学正切函数的图象和性质2.doc
正切函数的图象和性质（一）教材分析：学习正切函数的图象和性质，主要包括：定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等，以及具体的应用。
（二）素质教育目标： 1. 知识目标：（1）用单位圆中的正切线作正切函数的图象； （2）用正切函数图象解决函数有关的性质； 2. 能力目标：（1）理解并掌握作正切函数图象的方法；（2）理解用函数图象解决有关性质问题的方法； 3. 德育目标：培养研究探索问题的能力； （三）教学三点解析：1. 教学重点：用单位圆中的正切线作正切函数图象；2. 教学难点：性质的研究；3. 教学疑点：正切函数在每个单调区间是增函数，并非整个定义域内的增函数； （四）教学过程设计 1．设置情境前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质，但常见的三角函数还有正切函数，今天我们来探讨一下正切函数的图象，以及它具有哪些性质。
2．探索研究由研究正、余弦函数的图象和性质的方法引出正切函数的图象和性质。
下面我们也将利用单位圆中的正切线来绘制tan y x =图象． （1）用正切线作正切函数图象○1分析一下正切函数tan y x =是否为周期函数？ s i n ()s i n()t a n ()t a n ()c o s ()c o sx x f x x x f x x x ππππ+-+=+====+- ∴tan y x = 是周期函数，π是它的一个周期．我们还可以证明，π是它的最小正周期．类似正弦曲线的作法，我们先作正切函数在一个周期上的图象，下面我们利用正切线画出函数tan y x =，,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭的图象．作法如下：①作直角坐标系，并在直角坐标系轴左侧作单位圆．②把单位圆右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线． ③描点。
（横坐标是一个周期的8等分点，纵坐标是相应的正切线）． ④连线．图1根据正切函数的周期性，我们可以把上述图象向左、右扩展，得到正切函数tan y x = ，(,,)2x R x k k Z ππ∈≠+∈的图象，并把它叫做正切曲线（如图1）．图2（2）正切函数的性质请同学们结合正切函数图象研究正切函数的性质：定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性． ①定义域：|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭②值域：R③周期性：正切函数是周期函数，周期是π．④奇偶性：tan()tan x x -=-，∴正切函数是奇函数，正切曲线关于原点O 对称． ⑤单调性：由正切曲线图象可知：正切函数在开区间(,),22k k k Z ππππ-++∈内都是增函数．强调：a.不能说正切函数在整个定义域内是增函数 b.正切函数在每个单调区间内都是增函数c. 每个单调区间都包括两个象限：四、一或二、三 3．例题分析【例1】求函数tan()4y x π=+的定义域．分析：我们已经知道了tan y z =的定义域，那么tan()4y x π=+与tan y z =有什么关系呢？令4z x π=+，我们把tan()4y x π=+说成由tan y z =和4z x π=+复合而成。
苏教版高中数学必修第一册7.3.2 第3课时 正切函数的图象与性质【授课课件】
值域 周期 奇偶性 单调性
对称性
R π 奇函数 在开区间kkππ－－π2，kπ＋π2(k∈Z)上都是增函数 无对称轴，对称中心为k2π，0(k∈Z)
1
2
3
4
第3课时 正切函数的图象与性质 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
正切函数在定义域内是单调函数吗？ [提示] 不是．
1
2
3
4
第3课时 正切函数的图象与性质 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正切函数在定义域上是增函数．
()
(2)正切函数的对称轴方程为 x＝kπ＋π2，k∈Z．
()
(3)正切函数的对称中心为(kπ，0)，k∈Z．
2．(变条件)将本例(2)中的函数改为“y＝lg tan x”，结果又如 何？
[解] 因为函数 y＝lg x 在(0，＋∞)上为增函数， 所以函数 y＝lg tan x 的增区间就是函数 y＝tan x(tan x>0)的增区 间，即kπ，π2＋kπ，k∈Z．
1
2
3
4
第3课时 正切函数的图象与性质 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
握正切函数的性质．(重点)
培养直观想象素养．
2．能利用正切函数的图象及性质 2．通过正切函数的性质的应用，提 解决有关问题．(难点、易错点) 升逻辑推理素养．
1
2
3
4
第3课时 正切函数的图象与性质 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
高中数学 1[1].3.2正切函数的图象和性质课件 苏教版必修4
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精选ppt
x|x2k,kZ
全体实x数R
3
2
taxn()taxn) (
正切函数是周期函
数，T=
例1 求函数 ytanx( ) 的定义域。
4
例2 不通过求值，比较下列各组中两个正切函 数值的大小：
(1)tan1670 与tan1730;
精选ppt
(2)tan(1)
13 与tan( )
第一章 三角函数
1.3.2 正切函数的图象与性质
精选ppt
三角函数线：
• α在第一象限时：
• 正弦线: sinα=MP>0 • 余弦线: cosα=0M>0 • 正切线：tanα=AT>0
α在第二象限时：
正弦线: sinα=M’P’>0 余弦线: cosα=0M’<0 正切线：tanα=AT’ <0
3tan2([x4)] 24
f (x )
周期T2
2
(2)变y题 3ta1 nx();
24
解 :f(x)3ta1nx()
3tan1(x24)
3tan12([x24)]
2
4
f(x2)
周T 期 2
周期T ||
精选ppt
（1）正切函数的图象 （2）正切函数的性质：
➢➢定值义域域：：全x|体x实2数Rk,kZ
精选ppt
作法如下： ➢作直角坐标系，并
在直角坐标系y轴左 侧作单位圆。
➢到找 横坐这标一（段把分x成轴8上等份2）
➢把单位圆右半圆中
作出正切线。
➢找交叉点。 ➢连线。
Y
O
X
精选ppt
精选ppt
3
7.3.2三角函数的正切函数的性质与图象(课件)高一数学(苏教版必修第一册)
的定义域为
x
x
k
2
6
,k
Z
.故选:D．
讲授新课
知识点二 正切函数的值域问题
【例
2】函数
y
2
tan
2
x
3
tan
x
1
，
x
π 4
,
π 4
的值域为______．
【答案】
6,
1 8
【解析】因为
x
4
,
4
，所以
tan
x 1,1
，
y
2
tan
2
x
3
tan
x
1
2
tan
x
3 4
2
1 8
，
则当
tan
的定义域为
x
|
x
k
2
,k
Z
.故选：A.
讲授新课
【变式
1-2】函数
f
x
2 tan
2
x
6
的定义域是（
）
A． x
x
6
B．
x
x
12
C． x
x
6
,k
Z
D．
x
x
k
2
6
,k
Z
【答案】D
【解析】由正切函数的定义域，令
2x
6
k
2
，k Z
，即 x
k
2
6
k
Z ，
所以函数
f
x
2 tan
2
x
6
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
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§6 正切函数（2课时） 洋浦实验中学 吴永和
一、 教学目标：
1、 知识与技能
（1）了解任意角的正切函数概念；（2）理解正切函数中的自变量取值范围；（3）掌握正切线的画法；（4）能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像；（5）熟练根据正切函数的图像推导出正切函数的性质；（6）能熟练掌握正切函数的图像与性质；（7）掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。
2、 过程与方法
类比正、余弦函数的概念，引入正切函数的概念；在此基础上，比较三个三角函数之间的关系；让学生通过类比，联系正弦函数图像的作法，通过单位圆中的有向线段得到正切函数的图像；能学以致用，结合图像分析得到正切函数的诱导公式和正切函数的性质。
3、 情感态度与价值观
使同学们对正切函数的概念有一定的体会；会用联系的观点看问题，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。
二、教学重、难点
重点: 正切函数的概念、诱导公式、图像与性质 难点: 熟练运用诱导公式和性质分析问题、解决问题 三、学法与教学用具
我们已经知道正、余弦函数的概念是通过在单位圆中，以函数定义的形式给出来的，从而把锐角的正、余弦函数推广到任意角的情况；现在我们就应该与正、余弦函数的概念作比较，得出正切函数的概念；同样地，可以仿照正、余弦函数的诱导公式推出正切函数的诱导公式；通过单位圆中的正切线画出正切函数的图像，并从图像观察总结出正切函数的性质。
教学用具:投影机、三角板
第一课时 正切函数的定义、图像及性质 一、教学思路
【创设情境，揭示课题】
常见的三角函数还有正切函数，在前两次课中，我们学习了任意角的正、余弦函数，并借助于它们的图像研究了它们的性质。
今天我们类比正弦、余弦函数的学习方法，在直角坐标系内学习任意角的正切函数，请同学们先自主学习课本P40。
【探究新知】
1． 正切函数的定义
在直角坐标系中，如果角α满足：α∈R ，α≠
2
π
＋k π(k∈Z)，那么，角α的终边与单位圆交于点P （a ，b ），唯一确定比值a b .根据函数定义，比值a
b
是角α的函数，我们把它叫
作角α的正切函数，记作y ＝tan α，其中α∈R ，α≠2π
＋k π，k∈Z.
比较正、余弦和正切的定义，不难看出：tan α＝ααcos sin (α∈R ，α≠2
π
＋k π，k∈Z).
由此可知，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，我们统称为
三角函数。
下面，我们给出正切函数值的一种几何表示.
如右图，单位圆与x 轴正半轴的交点为A （1 ,0），任意角α
的终边与单位圆交于点P ，过点A （1 ,0）作x 轴的垂线，与角 的终边或终边的延长线相交于T 点。
从图中可以看出：
当角α位于第一和第三象限时，T 点位于x 轴的上方；
当角α位于第二和第四象限时，T 点位于x 轴的下方。
分析可以得知，不论角α的终边在第几象限，都可以构造两
个相似三角形，使得角α的正切值与有向线段AT 的值相等。
因此，我们称有向线段AT 为角α的正切线。
2．正切函数的图象 （1）首先考虑定义域：()z k k x ∈+
≠2
π
π
（2）为了研究方便，再考虑一下它的周期： ()()()⎪⎭
⎫
⎝⎛
∈+≠∈=--=++=
+z k k x R x x x x x x x ,2,tan cos sin cos sin tan πππππ且
∴⎪⎭
⎫
⎝
⎛∈+
≠∈=z k k x R x x y ,2,tan π
π且的周期为π=T （最小正周期） （3）因此我们可选择⎪⎫
⎛-,ππ的区间作出它的图象。
根据正切函数的周期性，把上述图像向左、右扩展，得到正切函数R x x y ∈=tan ，
且x +≠
π
2
从上图可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线x ＝2
π
＋k π(k∈Z)隔开的无穷多支曲线组成的，这些直线叫作正切曲线各支的渐近线。
3．正切函数y ＝tanx 的性质 引导学生观察，共同获得：
（1）定义域：⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ
， （2）值域：R
观察：当x 从小于()z k k ∈+
2
π
π，2
π
+π−→−k x 时，∞−→−x tan
当x 从大于
()z k k ∈+ππ
2
，ππ
k x +−→
−2
时，-∞−→−x tan 。
（3）周期性：π=T
（4）奇偶性：()x x tan tan -=-奇函数。
（5）单调性：在开区间z k k k ∈⎪⎭
⎫
⎝⎛++-
ππππ2,2内，函数单调递增。
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有那些？ （2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？ 三、课后反思
第二课时 正切函数的诱导公式及例题讲评 一、教学思路
【创设情境，揭示课题】
同学们已经知道，在正、余弦函数中，我们是先学诱导公式，再学图像与性质的。
在学正切函数时，我们为什么要先学图像与性质，再学诱导公式呢？
【探究新知】
我们可以归纳出以下公式：π－α， tan(2π＋α)＝tan α tan(－α)＝－tan α tan(2π－α)＝－tan α tan(π－α)＝－tan α
tan(π＋α)＝tan α
【巩固深化，发展思维】 1． 例题讲评 例1．若tan α＝3
2
，借助三角函数定义求角α的正弦函数值和余弦函数值。
解：∵tan α＝
3
2
＞0，∴α是第一象限或第三象限的角 （1）如果α是第一象限的角，则由tan α＝3
2
可知，角α终边上必有一点P （3，2）.
所以x ＝3，y ＝2. ∵r＝|OP|＝13 ∴sin α＝
r y ＝13132， cos α＝r x ＝13133. (2) 如果α是第三象限角，同理可得：sin α＝
r y ＝－13132， cos α＝r x ＝－13
133. 例2．化简：
()()()()()
πααπαπαπαπ---+-+-tan 3tan tan 3tan 2tan
解：原式＝
()()[]()()[]απαπαπαπα+----+-tan tan tan tan tan ＝()()()
αααααtan tan tan tan tan ---＝－αtan 1.
2．学生课堂练习
教材P45的练习1、2、3、4
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有那些？ （2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？ 三、布置作业：P45习题A 组1—11 四、课后反思。