高一数学幂函数及函数奇偶性
高中数学题：简单的幂函数与函数的奇偶性
高中数学题：简单的幂函数与函数的奇偶性一、幂函数的定义例1、已知函数是幂函数，求m的值。
分析：由幂函数的定义可知，只有形如的函数才是幂函数，故本题前的系数且，由此可解。
解：令及，可解得：m=2。
例2、当时，幂函数是减函数，则实数m的值为。
解答：依题意，。
又因为函数在时为减函数，故，故m=-1应舍去，从而m=2。
二、判断函数的奇偶性一般地，判断函数的奇偶性首先应确认函数的定义域关于原点对称，然后再根据f（x）和f（-x）的关系进行判断，若相等，则为偶函数；若相反，则为奇函数。
也可以根据图像的对称性来判断：若图像关于原点对称，则为奇函数；若图像关于y轴对称，则为偶函数。
例3、判断函数的奇偶性。
解答：因为函数的定义域是{x|x≠1}，关于原点不对称，所以该函数为非奇非偶函数。
若将此函数先化简得到f（x）= - x，则极易得到该函数是奇函数这样一个错误的结论；另外，本题最后的结论是该函数是非奇非偶函数，不可以说成“不具有奇偶性”。
例4、判断函数的奇偶性。
解答：分段函数的奇偶性的判断是一个难点，要注意分段进行判断，并要注意是将f（-x）和哪个区间上的f（x）进行比较。
三、复合函数的奇偶性复合函数y=f[g（x）]的奇偶性可以这样判断：当内外函数均为奇函数时，复合函数是奇函数；当内外函数中有一个是偶函数，而另一个函数无论是奇函数或偶函数，复合函数均为偶函数。
例5、判断函数的奇偶性。
解答：设，则g（x）是偶函数；又因为可视为的复合函数，故为偶函数。
四、利用函数的奇偶性解题例6、已知函数是奇函数，当x>0时，；求当x<0时的解析式。
解答：例7、试探究是否存在实数，使得函数是奇函数？若存在，求出实数，并证明函数是奇函数；若不存在，请说明理由。
解答：函数的定义域是（-1，1），若函数是奇函数，必有f（0）=0，解得，易证这是一个奇函数。
若奇函数在x=0时有意义，则必有f（0）=0。
五、幂函数的图像例8、函数的图像是（）解答：由是偶函数，排除B、C；又当0<x<1时，>x，故选D。
幂函数的性质
幂函数的性质幂函数是数学中常见的一种函数形式，由x的幂次和常数项构成。
幂函数的一般形式可以表示为f(x) = ax^n + b，其中a、n和b为常数，且n为正整数。
幂函数具有独特的性质，包括定义域、值域、奇偶性、单调性以及图像特点等，下面将详细探讨幂函数的各种性质。
一、定义域幂函数的定义域取决于幂指数n的奇偶性：当n为奇数时，幂函数的定义域为实数集；当n为偶数时，幂函数的定义域取决于系数a的正负性：- 若a>0，则幂函数的定义域为非负实数集，即x ≥ 0；- 若a<0，则幂函数的定义域为空集，即不存在实数使幂函数的结果为负数。
二、值域幂函数的值域也与幂指数n的奇偶性和系数a的正负性相关：当n为奇数时，幂函数的值域为全体实数；当n为偶数时，幂函数的值域取决于系数a的正负性：- 若a>0，则幂函数的值域为非负实数集，即f(x) ≥ 0；- 若a<0，则幂函数的值域在实数轴上存在最大值，即存在一个唯一的实数C使得f(x) ≤ C。
三、奇偶性幂函数的奇偶性由幂指数n来决定：当n为偶数时，幂函数为偶函数，即f(x) = f(-x)，图像关于y轴对称；当n为奇数时，幂函数为奇函数，即f(x) = -f(-x)，图像关于原点对称。
四、单调性幂函数的单调性与幂指数n的奇偶性和系数a的正负性相关：当n为正整数且n为奇数时，幂函数在整个定义域上单调递增或单调递减；当n为正整数且n为偶数时，幂函数在定义域上存在极值点，若系数a>0，则为单调递增，若系数a<0，则为单调递减。
五、图像特点幂函数的图像具有一些特点：当n为正整数时：- 当n为奇数时，幂函数的图像经过点(0, 0)且从第三象限经过第一象限，右上倾斜；- 当n为偶数时，幂函数的图像经过点(0, 0)，右侧在y轴上方且上升（a>0）或下降（a<0）。
综上所述，幂函数的性质主要包括定义域、值域、奇偶性、单调性以及图像特点。
幂函数为偶函数
幂函数为偶函数
幂函数为偶函数的情况是其指数a为偶数。
这是因为，对于任何实数x，都有x^a = (-x)^a，即函数值相同。
因此，当指数a为偶数时，幂函数是偶函数。
需要注意的是，如果指数a为奇数，则幂函数是奇函数，因为对于任何实数x，都有x^a = -(-x)^a，即函数值相反。
另外，当指数a为分数时，幂函数的奇偶性取决于分子和分母的奇偶性。
如果分子是偶数，则幂函数是偶函数；如果分子是奇数且分母是奇数，则幂函数是奇函数；如果分母是偶数，则幂函数的定义域不关于原点对称，因此没有奇偶性。
总之，幂函数的奇偶性取决于其指数的奇偶性。
指数是偶数时，幂函数是偶函数；指数是奇数时，幂函数是奇函数。
高一函数的奇偶性知识要点、例题讲解(数学)
函数的奇偶性（一）一、课题引入幂函数(1) f (x )=x 3(x ∈R )，(2) f (x )=x 2(x ∈R )的图像特点、单调区间，并列下表 函数 f (x )=x 3f (x )=x 2定义域 (－∞，+∞)关于原点对称(－∞，+∞)关于原点对称函数值 f (－x )=－f (x )f (－x )= f (x )对称性 图像关于原点对称 图像关于y 轴对称 单调性在原点两侧单调性相同在原点两侧单调性相反图 像前者曰“奇函数”、后者曰“偶函数”． 二、知识讲解1．奇函数和偶函数的概念设函数y =f (x )的定义域为D ，且D 关于原点对称．(1) 如果对于函数f (x )的定义域D 内任意一个x ，都有f (－x )=－f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数．(2) 如果对于函数f (x )的定义域D 内任意一个x ，都有f (－x )=－f (x )，那么函数f (x )就叫做偶函数．定义还可以表达为：(1) 如果对于函数f (x )的定义域D 内任意一个x ，都有f (x )+f (－x )=0，那么函数f (x )就叫做奇函数．(2) 如果对于函数f (x )的定义域D 内任意一个x ，都有f (x )－f (－x )=0，那么函数f (x )就叫做偶函数．第二种表述形式能比较方便地判断函数的奇偶性，如判断函数()x xy -+=1lg2的奇偶性．这种形式能使学生从方程的角度看待函数的奇偶性，例如，若函数是奇函数，且定义域为D ；则方程f (x )+f (－x )=0的解集为D ；另一方面，若方程f (x )+f (－x )=0的解集D 关于原点对称，则函数y =f (x )在D 上是奇函数．对偶函数也可以得出类似的结论．2．奇函数和偶函数的图像特征(1) 奇函数的图像关于原点对称，反过来，图像关于原点对称的函数，必是奇函数． (2) 偶函数的图像关于y 轴对称，反过来，图像关于y 轴对称函数，必是偶函数．3．判断函数的奇偶性 对于函数f (x )先求其定义域D ；并判别D 是否关于原点对称，然后再验证f (－x )=±f (x ) (或f (x )±f (x )=0，或()()1±=-x f x f 等)是否成立，最后作出正确结论．4．判断函数的奇偶性也可以用下列性质 在公共定义域内，(1) 两个奇函数的和为奇函数；两个奇函数的积为偶函数． (2) 两个偶函数的和为偶函数；两个偶函数的积为偶函数． (3) 一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数． (4) 函数f (x )与()x f 1同奇或同偶． 以上结论，可在讲完出上一例：判断下列函数是否具有奇偶性：(1) f (x )=x 3；(2) f (x )=2x 4+3x 2；(3) ()313-+=xx x f ；(4) f (x )=x +1后，结合函数运算引出．直观引入后，可让学生在课后加以证明，这对学生加深对奇偶性的理解和用这一结论解题都是有帮助的．5．函数的奇偶性与单调性相结合，有以下两个结论： (1) 奇函数在原点两侧的对称区间上有相同的单调性． (2) 偶函数在原点两侧的对称区间上有相反的单调性． 三、例题分析1．判断函数的奇偶性易犯的错误 (1) 因忽视定义域的特征致错 例1．①()()11--=x x x x f ；②f (x )=x 2+(x +1)0错解：①()()x x x x x f =--=11，∴ f (x )是奇函数 ②∵ f (－x )=(－x )2+(－x +1)0=x 2+(x +1)0=f (x ) ∴ f (x )是偶函数．分析：一个函数是奇函数或偶函数的必要条件是定义域关于原点对称． 正解：①定义域(－∞，1)∪(1，+∞)关于原点不对称，f (x )是非奇非偶函数．②定义域(－∞，－1)∪(－1，+∞)，∴ f (x )非奇非偶函数． (2) 因缺乏变形意识或方法致错． 例2．判断()21151+-=x x f 的奇偶性． 错解：∵ 5x－1≠0，∴ x ≠0．f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，+∞)，关于原点对称．∵ ()2151521151+-=+-=-xx x x f ， ∴ f (－x )≠f (x )，f (－x )≠－f (x )， ∴ f (x )是非奇非偶函数．分析：因演变过程不到位导致错误，所以要注意进行恒等变形．正解：()()1521521151-+=+-=xx x x f ，定义域为(－∞，0)∪(0，+∞)关于原点对称． ()()()()()x f x f xx x x x x -=-+-=-+=-+=--152155125115215 ∴ f (x )是奇函数．(3) 因忽视f (x )=0致错． 例3．判断函数()2244x x x f -+-=的奇偶性．错解：由⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-040422x x 得x =±2，∴ f (x )的定义域为{－2，2}，关于原点对称．()()()()x f x x x x x f =-+-=--+--=-22224444，∴ f (x )为偶函数正解：f (x )的定义域为{－2，2}，此时，f (x )≡0，∴ f (x )既是奇函数又是偶函数． 点评：函数f (x )=0 (x ≠0)是f (x )既是奇函数又是偶函数的一个必要条件，任何一个关于原点对称的区间都可以作为解析式为f (x )=0 (x ≠0)函数的定义域．注意：分段函数奇偶性的判定应注意两点：(1) 分段函数是一个函数，而不是几个函数； (2) 确定分段函数的奇偶性，要注意分类讨论． 2．函数的奇偶性的应用例4．已知f (x )是奇函数，且当x >0时，f (x )=x |x －2|，求f (x )<0时，f (x )的表达式． 答：当x <0时，f (x )=x |x +2|．例5．已知f (x )=x 5+ax 3+bx －8，且f (－2)=10，则f (2)=_________ 解：令g (x )=f (x )+8=x 5+ax 3+bx ，则g (x )是奇函数∴ g (－2)+g (2)=0，即f (－2)+8+f (2)+8=0，∴ f (2)=－f (－2)－16=－26．例6．已知 f (x )、g (x )的定义域均为R ，f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，且()()112+-=+x x x g x f ，求f (x )的解析式． 答：()124++=x x xx f ．例7．已知函数y =f (x )是奇函数，在(0，+∞)上是减函数，且f (x )<0，判断()()x f x F 1=在区间(－∞，0)上是增函数还是减函数？并证明你的结论．答：F (x )在(－∞，0)是增函数．例8．定义在(－1，1)上的奇函数f (x )是减函数，且f (1－a )+f (1－a 2)<0，求实数a 的取值范围．答：a ∈(0，1)．点评：例8、9两题是函数的奇偶性与单调性的综合题．例9．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，x >0时，f (x )=－x 2+2x －3．(1) 求f (x )的解析式； (2) 画出y =f (x )的图像； (3) 求出f (x )的单调区间．解：(1) ()()()⎪⎩⎪⎨⎧∞-∈++=∞+∈-+-=0320003222，，，，，x x x x x x x x f(2) 画图略．(3) 单调减区间为(]1-∞-，，[)∞+，1；单调增区间为[)01，-，(]10，． 点评：本题是函数奇偶性、单调性、图像特征，画图等有关概念、性质、方法的综合运用的一道函数综合题．此题主要是考查学生综合、灵活运用所学知识解题的能力． 四、习 题1．已知f (x )是奇函数，且在x =0处有定义，你能确定f (0)的值吗？ 2．已知f (x )是偶函数，且在x =0处有定义，你能确定f (0)的值吗？3．函数()[)()⎩⎨⎧∞-∈-∞+∈=0101，，，，x x x f 是奇函数吗？答 案1．f (0)=0 2．f (0)不定3．否五、引伸和提高定义域关于原点对称的任意一个函数f (x )都可以表示成一个偶函数与一个奇函数之和．即f (x )=21(F (x )+G (x ))其中F (x )= f (x )+f (－x )，G (x )=f (x )－f (－x ) (1) 利用这一结论可以很简捷地解决一些问题； (2) 在教学中，可根据学生的基础情况，适时引入．(3) 可以让学生自己证明，增强学生对抽象问题证明的能力，加深学生对奇、偶函数与一般函数关系的理解，使学生对构造法增加一次感性认识． 六、思 考 题1．设，f (x )=kx +x6－4，(k ∈R )当x =2+3时，f (x )=0，求⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-231f 的值． 答：32024231-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-f ．2．已知函数y =f (x )满足f (x +y )+f (x －y )=2f (x ) f (y ) (x ∈R ，y ∈R )，且f (0)≠0，那么f (x )是__________函数(填奇、偶)．答：偶函数函数的奇偶性（二）一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么函数)(x f 就叫做偶函数。
高中数学 幂函数
幂函数•冥函数的定义：一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数。
幂函数的解析式：y=xα幂函数的图像：•幂函数图像的性质：所有幂函数在(0，+∞)上都有定义．①α＞0，图像都过定点（0，0）和（1，1）；在区间（0，+∞）上单调递增；②α＜0，图像都过定点（1，1）；在区间（0，+∞）上单调递减;③当O<a<l时，曲线上凸，当a>l时，曲线下凸．④当a=l时，图象为过点(0，0)和(1，1)的直线．⑤当a=0时，表示过点(1，1)且平行于x轴的直线(除去点(0，1)) 。
幂函数图象的其他性质：(1)图象的对称性：把幂函数的幂指数a（只讨论a是有理数的情况）表示成既约分数的形式（整数看作是分母1的分数），则不论a>0还是a<0，幂函数的图象的对称性用口诀记为：“子奇母偶孤单单；母奇子偶分两边；分子分母均为奇，原点对称莫忘记”，(2)图象的形状：①若a>0，则幂函数的图象为抛物线形，当a>l时，图象在[0，+∞）上是向下凸的（称为凸函数）；当O<a<l时，图象在[o，+∞）上是向上凸的（称为凹函数）．②若a<0，则幂函数y=x“的图象是双曲线形，图象与x轴、y轴无限接近，在(0，+∞)上图象都是向下凸的。
幂函数的单调性和奇偶性：对于幂函数（a∈R)．(1)单调性当a>0时，函数在第一象限内是增函数；当a<0时，函数在第一象限内是减函数．(2)奇偶性①当a为整数时，若a为偶数，则是偶函数；若a为奇数，则是奇函数。
②当n为分数，即（p，q互素，p，q∈Z）时，若分母q为奇数，则分子p为奇数时，为奇函数；分子p为偶数时，为偶函数，若分母q为偶数，则为非奇非偶函数．。
高一幂函数
高一幂函数一、幂函数的概念及基本性质幂函数是指形式为y=x^a（a是常数且不等于0）的函数。
其中，x 是自变量，a是指数，y是因变量。
1.幂函数的定义域：幂函数的定义域为实数集R。
2.幂函数的增减性：当a>0时，随着x的增大，幂函数也增大；当a<0时，随着x的增大，幂函数减小。
3.幂函数的奇偶性：当a为奇数时，幂函数是奇函数；当a为偶数时，幂函数是偶函数。
4.幂函数的图像：当a>1时，幂函数呈现指数增长的图像；当0<a<1时，幂函数图像逐渐下降；当a<0时，幂函数图像在x轴正半轴上下震荡。
二、幂函数的图像特点1.幂函数的图像关于y轴对称，除了x=0处，幂函数的图像只能在第一象限和第三象限中存在。
2.幂函数的图像在x轴上的唯一零点是x=0，当a>0时，y=0是幂函数的水平渐近线；当a<0时，幂函数没有水平渐近线。
3.幂函数的图像的特点还包括：在定义域内，随着a的增大，幂函数的曲线变得越来越陡峭，斜率越大，也越接近于坐标轴。
三、幂函数的应用实例幂函数在实际生活中有许多应用，如下所示：1.货币贬值：幂函数可以用来描述货币贬值的情况。
假设初始时某国家的货币价值为100，每年贬值5%，则可以用幂函数y=100(1-0.05)^x来表示货币价值随时间的变化，其中x表示年份，y表示货币价值。
2.物种数量变化：幂函数可以用来描述物种数量随时间的变化。
假设某种细菌在细菌培养皿中繁殖，每小时繁殖数量为原来的3倍，可以用幂函数y=2^x来表示细菌数量随时间的变化，其中x表示时间（小时），y表示细菌的数量。
3.电子产品价格变化：幂函数可以用来描述电子产品价格随时间的变化。
以手机为例，假设某款手机初始价格为3000元，每年价格下降20%，则可以用幂函数y=3000(1-0.2)^x来表示手机价格随时间的变化，其中x表示年份，y表示手机价格。
四、幂函数与其他函数的关系1.幂函数与线性函数的关系：幂函数和线性函数是两种不同的函数形式。
数学高考知识点幂函数
数学高考知识点幂函数数学高考知识点：幂函数幂函数是高考数学中非常重要的一个知识点，它是指形如y=x^a的函数，其中a是一个实数。
在高考中，幂函数常常会与其他函数进行比较或者求解方程等相关问题，因此熟练掌握幂函数的性质和应用是非常重要的。
一、幂函数的性质1. 幂函数的定义域：幂函数y=x^a的定义域是所有使得x^a有意义的实数x。
2. 幂函数的奇偶性：当指数a为偶数时，幂函数具有关于y轴的对称性，即f(-x) = f(x)。
当指数a为奇数时，幂函数关于原点对称，即f(-x) = -f(x)。
3. 幂函数的单调性：当指数a大于0时，幂函数在定义域上是递增的；当指数a小于0时，幂函数在定义域上是递减的。
4. 幂函数的图像：幂函数的图像呈现出如下特点：当a>1时，幂函数在∞处增加，0处取到最小值；当0<a<1时，幂函数在∞处减小，0处取到最大值；当a<0时，幂函数在定义域上是奇函数，图像关于原点对称。
二、幂函数的应用1. 幂函数与对数函数的关系：幂函数和对数函数是互为反函数的，即y=x^a和y=loga(x)是一对反函数。
这一性质在解决指数方程和对数方程时非常有用。
2. 幂函数的极限：对于幂函数y=x^a，当x趋近于正无穷时，幂函数趋近于正无穷；当x趋近于负无穷时，幂函数趋近于零。
这一性质在求解极限时常常会被用到。
3. 幂函数的应用：幂函数在物理学、生物学、经济学等领域具有广泛的应用。
例如，在物理学中，速度和加速度的计算常常涉及到幂函数的运算。
三、幂函数在高考中的常见题型解析1. 求解方程：高考经常出现要求解幂函数方程的题目，在解这类问题时，我们可以利用幂函数和对数函数互为反函数的特性，将幂函数方程转化为对数方程进行求解。
2. 判断性质：高考中会出现判断幂函数性质的题目，例如给出一个函数的图像，要求判断该函数的奇偶性、单调性等。
在解这类问题时，我们需要运用幂函数的性质和图像特点进行分析。
新教材高中数学第二章函数4函数的奇偶性与简单的幂函数 函数的奇偶性课件北师大版必修第一册
[注意] ①由于这里的－x＜0，因此应将－x 代入 f(x)＝－12x2－1；② 由于这里的－x＞0，因此应将－x 代入 f(x)＝12x2＋1．
[归纳提升] 判断函数奇偶性的方法 (1)定义法：
(2)图象法：即若函数的图象关于原点对称,则函数为奇函数；若函数 图象关于y轴对称,则函数为偶函数．此法多用在解选择题、填空题中．
必备知识•探新知 关键能力•攻重难 课堂检测•固双基
必备知识•探新知
基础知识
知识点 函数的奇偶性
奇偶性
偶函数
奇函数
条件 一般地,设函数f(x)的定义域是A,如果对任意的x∈A,有－x∈A
结论 图象特点
f(－x)＝__________ 关于_______f(_x对) 称
y轴
f(－x)＝____________ 关于_____－__f(_x对) 称 原点
(3)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝－12(－x)2－1＝－(12x2＋1)＝－f(x)；
①
当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝21(－x)2＋1＝12x2＋1＝－(－12x2－1)＝－
f(x)．
②
综上可知，函数f(x)＝12－x221＋x2－1(x1＞(x＜0) 0)是奇函数．
∴f(x)＝1x是奇函数． (2)函数 f(x)＝－3x2＋1 的定义域为 R，关于原点对称，且 f(－x)＝－ 3(－x)2＋1＝－3x2＋1＝f(x)， ∴f(x)＝－3x2＋1 是偶函数．
(3)显然函数f(x)的定义域关于原点对称． 当x＞0时,－x＜0,f(－x)＝x2－x＝－(x－x2)＝－f(x), 当x＜0时,－x＞0,f(－x)＝－x－x2＝－(x2＋x)＝－f(x), ∴f(－x)＝－f(x),∴函数f(x)为奇函数． (4)函数f(x)的定义域为(－∞,1)∪(1,＋∞),不关于原点对称,故函数f(x) 不具有奇偶性．
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