第16课时 反比例函数
初三数学讲义第16讲：反比例函数的图像与性质_教案
【解析】D
在△ABP中，由三角形的三边关系定理得：|AP﹣BP|＜AB，延长AB交x轴于P′，当点P与点P′重合时，PA﹣PB=AB，即此时线段AP与线段BP之差达到最大；把A（ ，y1），B（2，y2）代入反比例函数y= 得：y1=2，y2= ，即可得A（ ，2），B（2， ）；设直线AB的解析式是y=kx+b，把A、B的坐标代入求出直线AB的解析式为y=﹣x+ ，所以当y=0时，x= ，即P（ ，0），故答案选D.
A．（ ，0）B．（ ，0）C．（ ，0）D．（ ，0）
4.如图，四边形ABCD是平行四边形，顶点A、B的坐标分别是A（1，0），B（0，﹣2），顶点C、D在双曲线 上，边AD与 轴相交于点E， =10，则k的值是（ ）
（A） 16 （B） 9 （C） 8 （D） 12
5.双曲线y1、y2在第一象限的图象如图， ，过y1上的任意一点A，作x轴的平行线交y2于B，交y轴于C，若S△AOB=1，则y2的解析式是
6.如图，双曲线y= 交矩形OABC的边分别于点D、E，若BD=2AD，且四边形ODBE的面积为8，则k=
答案与解析
1.【答案】D.
【解析】先根据反比例函数与正比例函数的性质求出B点坐标，由函数图象即可得出结论：
∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，∴A、B两点关于原点对称.
∵A（2，1），∴B（－2，－1）.
∵知反比例函数 的图像经过P（－1，2），
∴k=-1×2=-2＜0.
∴函数的图象位于第二，四象限．
故选D．
【总结与反思】本题较为简单，使用反比例函数的图像分布规律即可得出答案.
类型二反比例函数的增减性
沪科版数学九年级上册21.5《反比例函数》教学设计
沪科版数学九年级上册21.5《反比例函数》教学设计一. 教材分析沪科版数学九年级上册21.5《反比例函数》是本册教材中的一个重要内容，它主要包括反比例函数的定义、性质和图象。
本节课的内容对于学生来说是比较抽象的，需要学生具备一定的函数概念和几何知识。
通过本节课的学习，使学生掌握反比例函数的基本概念、性质和图象，培养学生运用函数知识解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了函数的基本概念和一次函数、二次函数的知识，对于函数的图象和性质有一定的了解。
但是，对于反比例函数这一抽象的概念，学生可能难以理解。
因此，在教学过程中，需要关注学生的认知基础，引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，自主探索反比例函数的性质和图象，提高学生解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：理解反比例函数的定义，掌握反比例函数的性质和图象，学会用反比例函数解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生自主学习的能力和合作意识。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的创新精神和实践能力。
四. 教学重难点1.反比例函数的定义和性质。
2.反比例函数图象的特点。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入反比例函数，激发学生的学习兴趣。
2.自主学习法：引导学生自主探索反比例函数的性质和图象，培养学生的自主学习能力。
3.合作学习法：学生进行小组讨论，培养学生的合作意识和团队精神。
4.实践教学法：让学生运用反比例函数解决实际问题，提高学生的实践能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作反比例函数的课件，包括反比例函数的定义、性质、图象等内容。
2.教学素材：准备一些实际问题，让学生运用反比例函数解决。
3.教学设备：投影仪、计算机、黑板等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例引入反比例函数的概念，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）讲解反比例函数的定义，引导学生通过观察、操作、思考等活动，探索反比例函数的性质和图象。
反比例函数的图像和性质(2)精品课件
04
05
思路
1. 审题
2. 设定变量
3. 建立反比例函 4. 求解面积 数关…
根据题目所给条件，设定 合适的变量，建立反比例 函数关系式，进而求解面 积。
明确题目中的已知条件和 未知量，确定求解目标。
根据题目中的条件，选择 合适的变量表示面积。
根据题目中的条件，建立 反比例函数关系式。
利用反比例函数的性质， 求解面积。
速度、时间、距离关系建模
1. 明确速度、时间、距离 之间的关系：速度=距离/
时间。
3. 建立反比例函数模型： 根据速度、时间、距离之 间的关系，建立反比例函
数模型。
01
02
03
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思路：根据速度、时间、 距离之间的关系，建立反
比例函数模型。
2. 设定变量：选择合适的 变量表示速度、时间或距
离。
特殊值比较法
在函数的定义域内取特殊值进行比较，从而 判断函数的单调性。
奇偶性判断方法
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定义判断法
根据奇函数和偶函数的定 义，判断反比例函数是否 满足奇函数或偶函数的性 质。
图像观察法
通过观察反比例函数的图 像是否关于原点对称或关 于y轴对称，判断函数的 奇偶性。
代数运算判断法
通过代数运算将反比例函 数化为标准形式，从而判 断其奇偶性。
一般地，如果两个变量$x$、$y$ 之间的关系可以表示成$y=k/x (k 为常数，k≠0)$的形式，那么称 $y$是$x$的反比例函数。
表达式
反比例函数的表达式为 $y = frac{k}{x}$，其中 $k$ 是常数且 $k neq 0$。
自变量取值范围
01
第5章 第16课时 反比例函数
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(2)将x＝0代入y＝x＋1，得y＝1， 则点A的坐标为(0,1)， ∵点B的坐标为(1,2)， ∴△AOB的面积是1×2 1＝12.
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9．(10分)[2019·菏泽]如图16-6，在▱ABCD中，顶点A的坐标是(0,2)，AD∥x轴，
BC交y轴于点E，顶点C的纵坐标是－4，▱ABCD的面积是24，反比例函数y＝
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13．(10分)[2019·成都]如图16-8，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝12x＋5和y
＝－2x的图象相交于点A，反比例函数y＝kx的图象经过点A.
(1)求反比例函数的表函数
y＝kx的图象的另一个交点为B，连接OB，求△ABO的面积．
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11．(9分)[2019·鄂州]在同一平面直角坐标系中，函数y＝－x＋k与y＝
k x
(k为常数，
且k≠0)的图象大致是( C )
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12．(9分)[2019·扬州]若反比例函数y＝－2x的图象上有两个不同的点关于y轴的对称 点都在一次函数y＝－x＋m的图象上，则m的取值范围是( C ) A．m>2 2 B．m<－2 2 C．m>2 2或m<－2 2 D．－2 2<m<2 2
图16-3
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解：(1)把点A(3,2)代入反比例函数y＝mx ，可得 m＝3×2＝6， ∴反比例函数解析式为y＝6x. ∵OB＝4， ∴B(0，－4)，
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3k＋b＝2， 把点A(3,2)，B(0，－4)代入一次函数解析式y＝kx＋b，可得b＝－4，
湘教版九年级数学 1.2 反比例函数的图象与性质(学习、上课课件)
知3－讲
已知函数 y＝kx (k ≠ 0).
感悟新知
知3－讲
特别提醒
◆在利用反比例函数y＝kx(k ≠ 0)中k的几何性质确定k的值 时，不仅要注意矩形面积的大小，还要注意函数图象 的位置.
感悟新知
k 值与矩形面积的关系 k 值与三角形面积的关系知3－讲
图形
条件
过图象上任意一点 P 分别作PM ⊥ x 轴于
2-2. [ 中考·天门] 在反比 例函数 y= 4－x k的图象上有两
点 A( x1，y1)， B( x2， y2)，当 x1 ＜0 ＜ x2 时，有 y1 ＜ y2，则 k 的取值范围是( C )
A. k ＜ 0
B. k ＞ 0
C. k ＜ 4
D. k ＞ 4
感悟新知
知识点 3 反比例函数 y＝kx (k ≠ 0)中k的几何性质
过图象上任意一点 E 作 M，EF ⊥ y 轴于 F，连接 OE
PN ⊥ y 轴于 N
结论
S 矩形 OMPN=|k|
S
△
OEF=
|k| 2
感悟新知
知3－讲
矩形 OMPN 的面积S=PM·PN=|yP|·|xP|= |xPyP|.所以 S=|k|.同理，S △ OEF= |k2|.
感悟新知
知3－练
示意图(如图1.2-1).
知1－讲
感悟新知
活学巧记 点越多，越精确， 平滑曲线把点过， 两个分支不能少， 对称关系很奇妙.
知1－讲
感悟新知
知1－练
例1 [母题 教材 P7 探究]在同一平面直角坐标系中画出反
比例函数y＝8x和y＝－8x的图象.
解题秘方：紧扣画图象的“一列、二描、三连” 的步骤作图.
反比例函数的应用ppt课件
清
单
解 t（h）与行驶速度 v（km/h）的图象为双曲线的一段，若这
读 段公路行驶速度不得超过80 km/h，则该汽车通过这段公路
最少需要 _____ h.
6.2 反比例函数的图象与性质
［解题思路］
考
点
清
设双曲线的解析式为t= ，∴k=1×4=40，即 t=
C． y1＜y2＜y3
D． y1＜y3＜y2
6.2 反比例函数的图象与性质
［解析］
易
错
∵k=-6＜0，∴ 图象位于第二、四象限，在每一象限内
易
混 ，y 随 x 的增大而增大，∵x ＞x ＞0，∴y ＜y ＜0，∵x
1
3
3
1
2
分
析 ＜0，∴y2＞0，∴y3＜y1＜y2.
［答案］ A
［易错］ B
［错因］ 忽略了点（x1，y1），（x3，y3）与（x2，y2
成的一元二次方程
即 k1 和 k2 的符号
的根的判别式 Δ
6.2 反比例函数的图象与性质
考
点
清
单
解
读
k1k2＞0 ⟹ 两图象有两
交点 个交点
情况
k1k2＜0 ⟹ 两图象没有
交点
启示
Δ＞0⟹ 两图象有两个交点
Δ=0⟹ 两图象有一个交点
Δ＜0⟹ 两图象没有交点
两 图 象 有 交 点 时 ， 两 将 =k2x+b 转化为一元二
6.2 反比例函数的图象与性质
重
解题通法
难
解决此类问题需要读懂题目，准确分析出各个量之间的
题
型
突 关系，将需要求的量根据等量关系表示出来.
新人教版高中数学必修第一册反比例函数对勾函数ppt课件及课时作业
因为 0<x1<x2≤ a， 所以x1－x2<0,0<x1x2<a， 所以x1ax2>1， 所以 1－x1ax2<0， 所以f(x1)－f(x2)>0， 即f(x1)>f(x2). 所以 f(x)在(0， a]上单调递减.
任取 x1，x2∈( a，＋∞)，且 x1<x2，
则 f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)1－x1ax2. 因为x1－x2<0，x1x2>a， 所以x1ax2<1，所以 1－x1ax2>0， 所以f(x1)－f(x2)<0，所以f(x1)<f(x2). 所以 f(x)在( a，＋∞)上单调递增. 同理，f(x)在(－∞，－ a)上单调递增，在(－ a，0)上单调递减. 其图象如图所示.
反思感悟
研究反比例函数的几个方面 (1)函数的定义域和值域可以由图象直接得到. (2)由图象或者单调性的定义可以判断函数的单调性，但一定要注 意两个单调递增(减)区间的连接方法. (3)由图象或者奇偶性的定义可以判断函数的奇偶性. (4)函数图象关于(0,0)中心对称.
跟踪训练1 作出y＝2x (－2≤x<1且x≠0)的图象，并指出其值域和单调区间.
当 0<a≤4 时，0< a≤2，函数 f(x)在[2，＋∞)上单调递增， f(x)min＝f(2)＝a2； 当 a>4 时， a>2，函数 f(x)在[2， a)上单调递减， 在( a，＋∞)上单调递增，
f(x)min＝f( a)＝2 a－2. 设f(x)的最小值为g(a)， ∴g(a)＝2a，0<a≤4，
∵f(x)在[1,3]上单调递增，∴f(x)的最小值为f(1)＝2.
第三单元-数学-江苏科技版
图 11－2
·江苏科技版
[解析] 跳蚤运动的规律：(0,0)，跳蚤运动了 0 秒；(1,1)， 质点运动了 2＝1×2 秒，接着向下运动；(2,2)，质点运动了 6＝2×3 秒， 接着向左运动； (3,3)， 跳蚤运动了 12＝3×4 秒， 接着向下运动；(4,4)，质点运动了 20＝4×5 秒，接着向左 运动；(5,5)跳蚤运动了 30＝5×6 秒，接着向下运动 5 秒到 了(5,0)，故选择 B.
·江苏科技版
3．一次函数的性质： 函数 常数 取值 k>0 k<0 k>0 b>0 y＝kx k>0 b<0 ＋b (k≠0) k<0 b>0 k<0 b<0 大致图象 经过的象限 函数性质
y＝kx (k≠0)
一、三 ________________ y 随 x 增大而增大
二、四 ________________ y 随 x 增大而减小
·江苏科技版
考点5 用坐标表示地理位置
确定位置的方法主要有两种： ①横纵交错法， 由交 点的惟一性确定点的位置；②方位角与距离．
·江苏科技建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定 x 轴、y 轴的正方向． (2)根据具体问题确定适当的比例尺， 在坐标轴上标出单 位长度． (3)在坐标平面内画出这些点， 写出各点的坐标和各地点 的名称．
·江苏科技版
2．对称点的坐标的特征 (x，－y) 点 P(x，y)关于 x 轴对称的点 P1 的坐标为__________， (－x，y) 关于 y 轴对称的点 P2 的坐标为__________，关于原点对称 (－x，－y) 的坐标为____________ . 以上规律可归纳为：谁对称谁不变，另一个变号，关 于原点对称，横变纵也变．
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一、选择题
1．[2012·常德]对于函数y＝6
x，下列说法错误的是()
A．它的图象分布在第一、三象限
B．它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形
C．当x＞0时，y的值随x的增大而增大
D．当x＜0时，y的值随x的增大而减小
2．[2013·安顺]若y＝(a＋1)xa2－2是反比例函数，则a的取值为() A．1B．－1
C．±1 D．任意实数
3．[2013·兰州]已知A(－1，y1)，B(2，y2)两点在双曲线y＝3＋2m
x上，且y1＞y2，
则m的取值范围是() A．m＞0 B．m＜0
C．m＞－3
2D．m＜－
3
2
4．[2013·台州]在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度ρ(单位：kg/m3)与体积
V(单位：m3)满足函数关系式ρ＝k
V(k为常数，k≠0)，其图象如图16－1所示，
则k的值为()
图16－1 A．9 B．－9
C．4 D．－4
5．[2013·南充]如图16－2，函数y1＝k1
x与y2＝k2x的图象相交于点A(1，2)和点B，
当y1＜y2时，自变量x的取值范围是()
图16－2
A．x＞1 B．－1＜x＜0
C．－1＜x＜0或x＞1 D．x＜－1或0＜x＜1
二、填空题
6．[2013·枣庄]若正比例函数y＝－2x的图象与反比例函数y＝k
x的图象的一个交
点坐标为(－1，2)，则另一个交点的坐标为________．
7．[2013·陕西]如果一个正比例函数的图象与反比例函数y＝6
x的图象交于A(x1，
y1)，B(x2，y2)两点，那么(x2－x1)(y2－y1)的值为________．
8．[2011·滨州]若点A(m，－2)在反比例函数y＝4
x的图象上，则当函数值y≥－2
时，自变量x的取值范围是__________________．三、解答题
9．[2013·天津]已知反比例函数y＝k
x(k为常数，k≠0)的图象经过点A(2，3)．
(1)求这个函数的解析式；
(2)判断点B (－1，6)，C (3，2)是否在这个函数的图象上，并说明理由； (3)当－3＜x ＜－1时，求y 的取值范围．
10．[2013·自贡]如图16－3，在函数y ＝8
x (x ＞0)的图象上有点P 1，P 2，P 3，…，P n ，P n ＋1，点P 1的横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点P 1，P 2，P 3，…，P n ，P n ＋1分别作x 轴、y 轴的垂线段，构成若干个矩形，如图16－3所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S 1，S 2，
S 3，…，S n ，则S 1＝________，S n ＝________(用含n 的代数式表示)．
11．[2013·雅安]如图16－4，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象与反比例函数y ＝m
x (m ≠0)的图象交于A ，B 两点，与x 轴交于C 点，点A 的坐标为(n ，6)，点C 的坐标为(－2，0)，且tan ∠ACO ＝2. (1)求该反比例函数和一次函数的解析式； (2)求点B 的坐标；
(3)在x 轴上求点E ，使△ACE 为直角三角形．(直接写出点E 的坐标
)
图16－3
图16－4
参考答案1．C 2.A 3.D 4.A 5.C
6．(1，－2)7.248.x≤－2或x＞0
9．(1)y＝6 x
(2)点B不在这个函数的图象上，点C在这个函数的图象上
(3)－3＜x＜－1时，－6＜y＜－2
10．4
8
n（n＋1）
11．(1)y＝6
x，y＝2x＋4
(2)B(－3，－2)(3)E1(1，0)，E2(13，0)．
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