2018年高考理科数学通用版专题复习专题检测：(十八) 概率与统计、随机变量及其分布列 含解析
2018年高考数学(理)—— 统计与概率
5.概率的基本性质及常见概率的计算 (1)随机事件的概率:0≤P(A)≤1;必然事件的概率是1;不可能事件 的概率是0. (2)若事件A,B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B). (3)若事件A,B对立,则P(A∪B)=P(A)+P(B)=1. (4)两种常见的概率模型 ①古典概型的特点:有限性,等可能性;
卷 设问特点 别
核心知识
考点精题
-7-
1.统计图表 (1)在频率分布直方图中:①各小矩形的面积表示相应各组的频率, 频率 各小矩形的高= 组距 ;②各小矩形面积之和等于1. (2)茎叶图:当数据是两位数时,用中间的数字表示十位数,两边的 数字表示个位数;当数据是三位数,前两位相对比较集中时,常以前 两位为茎,第三位(个位)为叶(其余类推).
3.变量间的相关关系 (1)如果散点图中的点从整体上看大致分布在一条直线的附近,那 么我们说变量x和y具有线性相关关系. (2)线性回归方程:若变量x与y具有线性相关关系,有n个样本数据
(xi,yi)(i=1,2,…,n),则回归方程为������ = b x+������,其中������ = ������ − ������ ������.
核心知识
考点精题
-3-
卷 设问特点 别 求平均数、方差, 全 求正态分布的概 国 率,求二项分布 Ⅰ 的 E( X) 2014 全 求线性回归方 国 程,并分析变化 , Ⅱ 求预报值 年份
涉及知识点
题目类型
解题思想 方法
频率分布直方图、样本的数据 分析、抽 平均数、 方差、 正 特征、正态 象,转换 态分布、二项分 分布、二项 思想 布、数学期望 分布 平均值、 回归方程 回归分析 分析、处 理数据
核心知识
2018届高考理科数学二轮复习《概率与统计》检测试卷及答案解析
课时跟踪检测（二十）概率与统计1．(2017·广州二测)某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表：价格x (元/kg)1015202530日需求量y (kg)1110865(1)求y 关于x 的线性回归方程；(2)利用(1)中的回归方程，当价格x ＝40元/kg 时，日需求量y 的预测值为多少？参考公式：线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝错误!，a ^＝y －b ^x .2．(2018届高三·广西五校联考)下图是某市11月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择11月1日至11月12日中的某一天到达该市，并停留3天．(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；(2)设X 是此人停留期间空气重度污染的天数，求X 的分布列与数学期望．随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N (μ，σ2)．(1)假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P (X ≥1)及X 的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．①试说明上述监控生产过程方法的合理性；②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9．9510.129.969.9610.019.929.9810.0410．269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得x ＝116错误!i ＝9.97，s ＝错误!＝错误!≈0.212，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i ＝1,2， (16)用样本平均数x 作为μ的估计值μ^，用样本标准差s 作为σ的估计值σ^，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．性别有关，现从该市高三理科生中随机抽取50名学生进行调查，得到如下2×2列联表：(单位：人)报考“经济类”不报考“经济类”总计男62430女14620总计203050(1)据此样本，判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为理科生报考“经济类”专业与性别有关？(2)若以样本中各事件的频率作为概率估计全市总体考生的报考情况，现从该市的全体考生(人数众多)中随机抽取3人，设3人中报考“经济类”专业的人数为随机变量X，求随机变量X的概率分布列及数学期望．附：P(K2≥k0)0.10.050.010.001k0 2.706 3.841 6.63510.828K2＝n(ad－bc)2，其中n＝a＋b＋c＋d.(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)天的日营业额y (单位：万元)与该地当日最低气温x (单位：℃)的数据，如下表：x 258911y1.210.80.80.7(1)求y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(2)判断y 与x 之间是正相关还是负相关，若该地1月份某天的最低气温为6℃，用所求回归方程预测该店当日的营业额；(3)设该地1月份的日最低气温X ～N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x ，σ2近似为样本方差s 2，求P (3.8＜X ≤13.4)．附：①回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^＝错误!，a ^＝y －b ^x .②10≈3.2， 3.2≈1.8.若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.6827，P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.9545.定出台“延迟退休年龄政策”．为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研．人社部从网上年龄在15～65岁的人群中随机调查100人，调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：年龄[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65]支持“延迟退155152817休”的人数(1)由以上统计数据填2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；45岁以下45岁以上总计支持不支持总计(2)若以45岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动．现从这8人中随机抽2人．①抽到1人是45岁以下时，求抽到的另一人是45岁以上的概率．②记抽到45岁以上的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．参考数据：P(K2≥k0)0.1000.0500.0100.001k0 2.706 3.841 6.63510.828K2＝n(ad－bc)2，其中n＝a＋b＋c＋d.(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)课时跟踪检测（二十）概率与统计1．(2017·广州二测)某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表：价格x (元/kg)1015202530日需求量y (kg)1110865(1)求y 关于x 的线性回归方程；(2)利用(1)中的回归方程，当价格x ＝40元/kg 时，日需求量y 的预测值为多少？参考公式：线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝错误!，a ^＝y －b ^x .解：(1)由所给数据计算得x ＝15×(10＋15＋20＋25＋30)＝20，y ＝15×(11＋10＋8＋6＋5)＝8，错误!(x i －x )2＝(－10)2＋(－5)2＋02＋52＋102＝250，错误!(x i －x )(y i －y )＝(－10)×3＋(－5)×2＋0×0＋5×(－2)＋10×(－3)＝－80.b ^＝错误!＝－80250＝－0.32.a ^＝y －b ^x＝8＋0.32×20＝14.4.所求线性回归方程为y ^＝－0.32x ＋14.4.(2)由(1)知当x ＝40时，y ^＝－0.32×40＋14.4＝1.6.故当价格x ＝40(元/kg)时，日需求量y 的预测值为1.6kg.2．(2018届高三·广西五校联考)下图是某市11月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择11月1日至11月12日中的某一天到达该市，并停留3天．(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；(2)设X 是此人停留期间空气重度污染的天数，求X 的分布列与数学期望．解：设A i 表示事件“此人于11月i 日到达该市”(i ＝1，2，…，12)．依题意知，P (A i )＝112，且A i ∩A j ＝∅(i ≠j )．(1)设B 为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B ＝A 1∪A 2∪A 3∪A 7∪A 12，所以P (B )＝P (A 1∪A 2∪A 3∪A 7∪A 12)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＋P (A 7)＋P (A 12)＝512.即此人到达当日空气重度污染的概率为512.(2)由题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2,3，P (X ＝0)＝P (A 4∪A 8∪A 9)＝P (A 4)＋P (A 8)＋P (A 9)＝312＝14，P (X ＝2)＝P (A 2∪A 11)＝P (A 2)＋P (A 11)＝212＝16，P (X ＝3)＝P (A 1∪A 12)＝P (A 1)＋P (A 12)＝212＝16，P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝2)－P (X ＝3)＝1－14－16－16＝512，或P (X ＝1)＝P (A 3∪A 5∪A 6∪A 7∪A 10)＝P (A 3)＋P (A 5)＋P (A 6)＋P (A 7)＋P (A 10)＝512所以X 的分布列为：X 0123P145121616故X 的数学期望E (X )＝0×14＋1×512＋2×16＋3×16＝54.3．(2017·全国卷Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N (μ，σ2)．之外的零件数，求P (X ≥1)及X 的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．①试说明上述监控生产过程方法的合理性；②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9．9510.129.969.9610.019.929.9810.0410．269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得x ＝116错误!i ＝9.97，s ＝错误!＝错误!≈0.212，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i ＝1,2， (16)用样本平均数x 作为μ的估计值μ^，用样本标准差s 作为σ的估计值σ^，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．附：若随机变量Z 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－3σ<Z <μ＋3σ)＝0.9974.0.997416≈0.9592，0.008≈0.09.解：(1)抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.0026，故X ～B (16,0.0026)．因此P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－0.997416≈0.0408.X 的数学期望为EX ＝16×0.0026＝0.0416.(2)①如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．②由x ＝9.97，s ≈0.212，得μ的估计值为u ^＝9.97，σ的估计值为σ^＝0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为115(16×9.97－9.22)＝10.02，因此μ的估计值为10.02.错误!2i ＝16×0.2122＋16×9.972≈1591.134，剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为115(1591.134－9.222－2因此σ的估计值为0.008≈0.09.4．(2017·沈阳模拟)为了探究某市高中理科生在高考志愿中报考“经济类”专业是否与性别有关，现从该市高三理科生中随机抽取50名学生进行调查，得到如下2×2列联表：(单位：人)报考“经济类”不报考“经济类”总计男62430女14620总计203050(1)据此样本，判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为理科生报考“经济类”专业与性别有关？(2)若以样本中各事件的频率作为概率估计全市总体考生的报考情况，现从该市的全体考生(人数众多)中随机抽取3人，设3人中报考“经济类”专业的人数为随机变量X ，求随机变量X 的概率分布列及数学期望．附：P (K 2≥k 0)0.10.050.010.001k 02.7063.8416.63510.828K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .解：(1)由表中数据得，K 2的观测值k ＝50×(6×6－24×14)230×20×20×30＝50×300230×20×20×30＝12.5>10.828，∴能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为理科生报考“经济类”专业与性别有关．(2)估计该市的全体考生中任一人报考“经济类”专业的概率为P ＝2050＝25，X 的可能取值为0,1,2,3，由题意，得X ～P (X ＝k )＝C －k(k ＝0,1,2,3)，∴P (X ＝0)＝27125，P (X ＝2)＝C 23×35＝36125，P (X ＝3)＝8125，故随机变量X 分布列为：X 0123P2712554125361258125∴随机变量X 的数学期望E (X )＝3×25＝65.5．(2017·昆明模拟)某火锅店为了了解气温对营业额的影响，随机记录了该店1月份其中5天的日营业额y (单位：万元)与该地当日最低气温x (单位：℃)的数据，如下表：x 258911y1.210.80.80.7(1)求y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(2)判断y 与x 之间是正相关还是负相关，若该地1月份某天的最低气温为6℃，用所求回归方程预测该店当日的营业额；(3)设该地1月份的日最低气温X ～N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x ，σ2近似为样本方差s 2，求P (3.8＜X ≤13.4)．附：①回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^＝错误!，a ^＝y －b ^x .②10≈3.2， 3.2≈1.8.若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.6827，P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.9545.解：(1)x ＝15×(2＋5＋8＋9＋11)＝7，y ＝15×(1.2＋1＋0.8＋0.8＋0.7)＝0.9.错误!2i ＝4＋25＋64＋81＋121＝295，错误!i y i ＝2.4＋5＋6.4＋7.2＋7.7＝28.7，∴b ^＝错误!＝28.7－5×7×0.9295－5×72＝－2.850＝－0.056，a ^＝y －b ^x＝0.9－(－0.056)×7＝1.292.∴线性回归方程为y ^＝－0.056x ＋1.292.(2)∵b ^＝－0.056＜0，∴y 与x 之间是负相关．当x ＝6时，y ^＝－0.056×6＋1.292＝0.956.∴该店当日的营业额约为9560元．(3)样本方差s 2＝15×(25＋4＋1＋4＋16)＝10，∴最低气温X ～N (7,3.22)，∴P (3.8＜X ≤10.2)＝0.6827，P (0.6＜X ≤13.4)＝0.9545，∴P (10.2＜X ≤13.4)＝12×(0.9545－0.6827)＝0.1359.∴P (3.8＜X ≤13.4)＝P (3.8＜X ≤10.2)＋P (10.2＜X ≤13.4)＝0.6827＋0.1359＝0.8186.6．(2018届高三·张掖摸底)中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”．为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研．人社部从网上年龄在15～65岁的人群中随机调查100人，调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：年龄[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65]支持“延迟退休”的人数155152817(1)由以上统计数据填2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；45岁以下45岁以上总计支持不支持(2)若以45岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动．现从这8人中随机抽2人．①抽到1人是45岁以下时，求抽到的另一人是45岁以上的概率．②记抽到45岁以上的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．参考数据：P(K2≥k0)0.1000.0500.0100.001k0 2.706 3.841 6.63510.828K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.解：(1)由频率分布直方图知45岁以下与45岁以上各50人，故填充2×2列联表如下：45岁以下45岁以上总计支持354580不支持15520总计5050100因为K2的观测值k＝100×(35×5－45×15)250×50×80×20＝6.25＞3.841，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异．(2)①抽到1人是45岁以下的概率为68＝3 4，抽到1人是45岁以下且另一人是45岁以上的概率为C16C12C28＝37，故所求概率P＝3734＝47.②从不支持“延迟退休”的人中抽取8人，则45岁以下的应抽6人，45岁以上的应抽2人．所以X的可能取值为0,1,2.P(X＝0)＝C26C28＝15 28，P(X＝1)＝C16C12C28＝1228＝37，P(X＝2)＝C2C28＝1 28 .故随机变量X的分布列为：X012P152837128所以E(X)＝1×37＋2×128＝12.。
2018年高考数学理科考点过关习题第八章概率与统计58和答案
考点测试58 二项式定理一、基础小题1.⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 4的展开式中的常数项为( )A ．－24B ．－6C ．6D ．24 答案 D解析 二项展开式的通项T r ＋1＝C r4(2x )4－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝C r 424－r(－1)r ·x 4－2r ， 令4－2r ＝0，即r ＝2，故常数项为C 2422(－1)2＝24.2．若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x n 的展开式中第5项是常数项，则自然数n 的值可能为( )A ．6B ．10C ．12D ．15 答案 C解析 二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －2x n 的展开式的第5项为T 5＝C 4n (x )n －4·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 4，故n －42－4＝0，即n ＝12. 3．若多项式x 3＋x 10＝a 0＋a 1(x ＋1)＋…＋a 9(x ＋1)9＋a 10(x ＋1)10，则a 9＝( )A ．9B ．10C ．－9D ．－10 答案 D解析 x 3＋x 10＝x 3＋10，题中a 9只是10的展开式中(x ＋1)9的系数，故a 9＝C 110(－1)1＝－10.4．(1＋2x )3(1－3x )5的展开式中x 的系数是( ) A ．－4 B ．－2 C ．2 D ．4 答案 C解析 (1＋2x )3的展开式中常数项是1，含x 的项是C 23(2x )2＝12x ；(1－3x )5的展开式中常数项是1，含x 的项是C 35(－3x )3＝－10x ，故(1＋23x )3(1－3x )5的展开式中含x 项的系数为1×(－10)＋1×12＝2.5.⎝⎛⎭⎪⎫ax ＋1x (2x －1)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )A ．－20B ．－10C ．10D ．20 答案 C解析 令x ＝1，可得a ＋1＝2，所以a ＝1，所以⎝⎛⎭⎪⎫ax ＋1x (2x －1)5＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x (2x －1)5，则展开式中常数项为2C 45(－1)4＝10.6．若⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2n 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )A ．180B ．120C ．90D ．45 答案 A解析 由于展开式中只有第六项的二项式系数最大，故第六项为中间项，共有11项，所以n ＝10，T r ＋1＝C r 10⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2r ·(x )10－r ＝C r 102rx10－5r2，令10－5r2＝0，得r ＝2，故常数项是C 21022＝180.7．若(x ＋1)5＝a 5(x －1)5＋…＋a 1(x －1)＋a 0，则a 0和a 1的值分别为( ) A ．32,80 B ．32,40 C ．16,20 D ．16,10 答案 A解析 由于x ＋1＝x －1＋2，因此(x ＋1)5＝5，故展开式中(x －1)的系数为a 1＝C 4524＝80.令x ＝1，得a 0＝32，故选A.8．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12x n (n ∈N *)的展开式中，前三项的二项式系数和是56，则展开式中的常数项为( )A.45256B.47256C.49256D.51256 答案 A解析 由题意知C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝56，∴n ＝10，∴T r ＋1＝C r 10(x 2)10－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x r ＝C r 10⎝ ⎛⎭⎪⎫12rx 20－5r 2，令20－5r 2＝0，得r ＝8，∴常数项为C 810×⎝ ⎛⎭⎪⎫128＝45256，故选A. 9.⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋33x n 的展开式中，各项系数的和与二项式系数的和之比为64，则(1－x )n 的展开式中系数最小的项的系数等于________．答案 －20解析 展开式中，各项系数的和为4n ，二项式系数的和为2n ，由题知2n ＝64，所以n ＝6，(1－x )6的展开式中，第四项的系数最小，为－C 36＝－20.10．1＋3C 1n ＋9C 2n ＋…＋3n C nn ＝________.答案 4n解析 在二项展开式(1＋x )n ＝C 0n ＋C 1n x ＋…＋C n n x n 中，令x ＝3，得(1＋3)n ＝C 0n ＋C 1n 3＋C 2n 32＋…＋C n n 3n ，即1＋3C 1n ＋9C 2n ＋…＋3n C n n ＝4n.11.⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的二项展开式中的常数项为________(用数字作答)． 答案 －160解析 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6＝ 2x －1 6x 3，又∵(2x －1)6的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6(2x )6－r(－1)r ，令6－r ＝3，得r ＝3. ∴T 3＋1＝－C 36(2x )3＝－20×23·x 3＝－160x 3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的二项展开式中的常数项为－160.12．(x 2－x ＋1)10的展开式中x 3的系数为________． 答案 －210解析 (x 2－x ＋1)10＝10＝C 010(x 2)10－C 110(x 2)9(x －1)＋…－C 910(x 2)(x －1)9＋C 1010(x －1)10，所以x 3的系数为－C 910C 89＋C 1010(－C 710)＝－210.二、高考小题13．(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．60 答案 C解析 由于(x 2＋x ＋y )5＝5，其展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(x 2＋x )5－r y r(r ＝0,1,2，…，5)，因此只有当r ＝2，即T 3＝C 25(x 2＋x )3y 2中才能含有x 5y 2项．设(x 2＋x )3的展开式的通项为S i ＋1＝C i 3(x 2)3－i ·x i ＝C i 3x6－i (i ＝0,1,2,3)，令6－i ＝5，得i ＝1，则(x 2＋x )3的展开式中x 5项的系数是C 13＝3，故(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数是C 25·3＝10×3＝30.14．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x 5的展开式中含x 32的项的系数为30，则a ＝( )A. 3 B ．－ 3 C ．6 D ．－6 答案 D解析 展开式的通项为T r ＋1＝C r 5·(x )5－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a x r＝(－1)r C r 5a r·x 52－r (r＝0,1,2，…，5)．令52－r ＝32，得r ＝1，所以展开式中含x32项的系数为(－1)C 15·a ，于是－5a ＝30，解得a ＝－6.15．在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝( )A ．45B ．60C ．120D ．210 答案 C解析 在(1＋x )6的展开式中，x m 的系数为C m 6，在(1＋y )4的展开式中，y n的系数为C n 4，故f (m ，n )＝C m 6·C n 4.从而f (3,0)＝C 36＝20，f (2,1)＝C 26·C 14＝60，f (1,2)＝C 16·C 24＝36，f (0,3)＝C 34＝4，故选C.16．(2x ＋x )5的展开式中，x 3的系数是________(用数字填写答案)． 答案 10解析 T r ＋1＝C r 5(2x )5－r·(x )r ＝25－r C r 5·x5－r 2，令5－r2＝3，得r ＝4，∴T 5＝10x 3，∴x 3的系数为10.17．若⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝________.答案 －2解析 T r ＋1＝a 5－r C r 5x10－52r，令10－52r ＝5，解之得r ＝2，所以a 3C 25＝－80，a ＝－2.18．(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________.答案 3解析 解法一：∵(1＋x )4＝x 4＋C 34x 3＋C 24x 2＋C 14x ＋C 04x 0＝x 4＋4x 3＋6x 2＋4x ＋1，∴(a ＋x )(1＋x )4的奇数次幂项的系数为4a ＋4a ＋1＋6＋1＝32，∴a ＝3. 解法二：设(a ＋x )(1＋x )4＝b 0＋b 1x ＋b 2x 2＋b 3x 3＋b 4x 4＋b 5x 5. 令x ＝1，得16(a ＋1)＝b 0＋b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5，① 令x ＝－1，得0＝b 0－b 1＋b 2－b 3＋b 4－b 5，② 由①－②，得16(a ＋1)＝2(b 1＋b 3＋b 5)， 即8(a ＋1)＝32，解得a ＝3. 三、模拟小题19．(x ＋1)(x －2)6的展开式中x 4的系数为( ) A ．－100 B ．－15 C ．35 D ．220 答案 A解析 由二项式定理可得(x －2)6展开式的通项T r ＋1＝C r 6(－2)r x 6－r，∴x 3的系数为C 36(－2)3＝－160，x 4的系数为C 26(－2)2＝60，∴(x ＋1)(x －2)6的展开式中x 4的系数为－160＋60＝－100.20．⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－12x 6的展开式中，常数项是( )A ．－54 B.54 C ．－1516 D.1516答案 D解析 T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r 6x 12－3r ，令12－3r ＝0，解得r ＝4.∴常数项为⎝ ⎛⎭⎪⎫－124C 46＝1516.故选D.答案 B 解析22．若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x n 的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中1x 2的系数为________________________________________________________________________．答案 56解析 因为展开式中的第3项和第7项的二项式系数相等，即C 2n ＝C 6n ，所以n ＝8，所以展开式的通项为T k ＋1＝C k 8x 8－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x k ＝C k 8x 8－2k，令8－2k ＝－2，解得k ＝5，所以T 6＝C 58⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2，所以1x 2的系数为C 58＝56.23．已知(2x －1)10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9＋a 10x 10，则a 2＋a 3＋…＋a 9＋a 10的值为( )A ．－20B ．0C ．1D ．20 答案 D解析 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝1，再令x ＝0，得a 0＝1，所以a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝0，又易知a 1＝C 910×21×(－1)9＝－20，所以a 2＋a 3＋…＋a 9＋a 10＝20.24．1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010除以88的余数是( )A ．－1B ．1C ．－87D ．87 答案 B解析 1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C 110889＋…＋C 91088＋1.∵前10项均能被88整除，∴余数是1.25．从重量分别为1,2,3,4，…，10,11克的砝码(每种砝码各一个)中选出若干个，使其总重量恰为9克的方法总数为m ，下列各式的展开式中x 9的系数为m 的选项是( )A ．(1＋x)(1＋x 2)(1＋x 3)…(1＋x 11)B ．(1＋x)(1＋2x)(1＋3x)…(1＋11x)C ．(1＋x)(1＋2x 2)(1＋3x 3)…(1＋11x 11)D ．(1＋x)(1＋x ＋x 2)(1＋x ＋x 2＋x 3)…(1＋x ＋x 2＋…＋x 11) 答案 A解析 x 9是由x ，x 2，x 3，x 4，x 5，…，x 11中的指数和等于9的那些项的乘积构成，有多少个这样的乘积就有多少个这样的x 9，这与从重量分别为1,2,3,4，…，10,11克的砝码(每种砝码各一个)中选出若干个，使其总重量恰为9克的方法的意义一样，所以就是(1＋x)(1＋x 2)(1＋x 3)…(1＋x 11)的展开式中x 9的系数，选A .26．在⎝⎛⎭⎪⎫1＋x ＋1x 201510的展开式中，含x 2项的系数为( )A ．10B ．30C ．45D ．120 答案 C解析 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x ＋1x 201510＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1＋x ＋1x 201510＝(1＋x)10＋C 110(1＋x)91x 2015＋…＋C 1010⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 201510，所以x 2项只能在(1＋x)10的展开式中，所以含x 2的项为C 210x 2，系数为C 210＝45.故选C .27．(x ＋2y)7的展开式中，系数最大的项是( )A ．68y 7B ．112x 3y 4C ．672x 2y 5D ．1344x 2y 5 答案 C解析 设第r ＋1项系数最大，则有⎩⎨⎧C r 7·2r ≥C r －17·2r －1，C r7·2r ≥C r ＋17·2r ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧7！r ！ 7－r ！·2r ≥7！r－1 ！ 7－r ＋1 ！·2r －1，7！r ！ 7－r ！·2r≥7！r＋1 ！ 7－r －1 ！·2r ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧2r ≥18－r ，17－r ≥2r ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧r≤163，r≥133.又∵r ∈Z ，∴r ＝5，∴系数最大的项为T 6＝C 57x 2·25y 5＝672x 2y 5.故选C.28．若⎝⎛⎭⎪⎫x －3x n 展开式的各项系数的绝对值之和为1024，则展开式中x 的一次项的系数为________．答案 －15解析 T r ＋1＝C r n (x )n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x r ＝(－3)r ·C r n xn －3r2，因为展开式的各项系数绝对值之和为C 0n ＋|(－3)1C 1n |＋(－3)2C 2n ＋|(－3)3C 3n |＋…＋|(－3)n C nn |＝1024，所以(1＋3)n ＝1024，解得n ＝5，令5－3r 2＝1，解得r ＝1，所以展开式中x 的一次项的系数为(－3)1C 15＝－15.29．将⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x －43展开后，常数项是________．答案 －160解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x －43＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 6展开后的通项是C k 6(x )6－k·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x k ＝(－2)k ·C k 6(x )6－2k . 令6－2k ＝0，得k ＝3.所以常数项是C 36(－2)3＝－160.30．若二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋23x n 的展开式中的常数项是80，则该展开式中的二项式系数之和等于________．答案 32解析 对于T r ＋1＝C r n (x )n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23x r ＝C r n 2r x n －r 2－r3 ，当r ＝35n 时展开式为常数项，因此n 为5的倍数，不妨设n ＝5m ，则有r ＝3m ，则23m C 3m 5m ＝8m C 3m5m ＝80，因此m ＝1，则该展开式中的二项式系数之和等于2n ＝25＝32.本考点在近三年高考中未涉及此题型．。
(完整版)2018年高考统计与概率专题
2018年高考统计与概率专题（全国卷1文）2．为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田.这n 块地的亩产量（单位:kg ）分别为x 1，x 2，…，x n ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 A ．x 1，x 2,…,x n 的平均数 B ．x 1，x 2，…，x n 的标准差 C ．x 1，x 2，…,x n 的最大值D ．x 1，x 2，…，x n 的中位数【答案】B【解析】刻画评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差,故选B（全国卷1理）2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图。
正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14B ．π8C ．12D ．π4【考点】:几何概型【思路】：几何概型的面积问题，=P 基本事件所包含的面积总面积.【解析】：()21212=82r S P S r ππ==，故而选B 。
(全国卷2理）6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ )A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种（全国卷2文）6。
如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A.90πB 。
63πC 。
42π D.36π【答案】B【解析】由题意,该几何体是由高为6的圆柱截取一半后的图形加上高为4的圆柱,故其体积为2213634632V πππ=⋅⋅⋅+⋅⋅=，故选B 。
（天津卷)文（3）有5支彩笔（除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫。
从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为(A）45(B)35(C）25（D）15（全国卷2文）11.从分别写有1，2，3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为A.110B.15C。
高三数学-2018年高考数学全国统一考试概率统计分类解析 精品
2018年普通高等学校招生全国统一考试数学分类解析—概率统计一．选择题：1. (安徽理)（10）．设两个正态分布2111()(0)N μσσ>，和2222()(0)N μσσ>，的密度函数图像如图所示。
则有（ A ） A ．1212,μμσσ<<B ．1212,μμσσ<>C ．1212,μμσσ><D ．1212,μμσσ>>2.（福建理）(5)某一批花生种子，如果每1粒发牙的概率为45,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是 （B ）A.16625 B.96625 C.192625D.2566253. （福建文）(5)某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是 （C ）A.12125 B.16125 C.48125 D.961254. （广东理）（3）．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表1．已知在全校 学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（ C ） A ．24 B ．18 C ．16 D ．125.（湖南理） 4.设随机变量ζ服从正态分布N (2,9) ,若P (ζ＞c+1)=P (ζ＜c －)1,则c =(B)A.1B.2C.3D.46. （江西文）（11）．电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为 （C ）A ．1180 B ．1288 C ．1360D ．14807. （辽宁理文）（7）.4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( C ) A.13 B.12 C.23 D.348.（山东理）（7）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为（B ） （A ）511（B ）681 （C ）3061（D ）40819.（山东理） (8)右图是根据《山东统计年整2018》中的资料作成的1997年至2018年我省城镇居民百户家庭人口数的茎叶图.图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户家庭人口数的百位数字和十位数字，右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字，从图中可以得到1997年至2018年我省城镇居民百户家庭人口数的平均数为（B ）（A ）318.6 （B ）318.6 (C)318.6 (D)301.6 10.（山东文）9．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为（ B ）AB C ．3D ．8510.（陕西文）（3）．某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为（ C ） A ．30 B ．25 C ．20 D ．15 11.（重庆理）(5)已知随机变量ζ服从正态分布N (3,a 2),则P (3)ζ<＝（D ）(A)15(B)14(C)13(D)1212. （重庆文）(5)某交高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查.这种抽样方法是（D ）(A)简单随机抽样法(B)抽签法7420136203851192(C)随机数表法 (D)分层抽样法13．（重庆文）(9)从编号为1,2,…,10的10个大小相同的球中任取4个，则所取4个球的最大号码是6的概率为 （B ）(A)184(B)121(C)25(D)35二．填空题：1.（广东文） （11）.为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查 了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为[)45,55，[)[)[)55,65,65,75,75,85， [)85,95由此得到频率分布直方图如图，则这20名工人中一天生产该产品数量在[)55,75的人数是 13 .2.（海南宁夏理文）（16）．从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm ），结果如下：甲品种：271 273 280 285 285 287 292 294 295 301 318 318 318 318 310 314 319 323 325 325 328 331 334 337 352乙品种：284 292 295 318 318 318 312 313 315 315 316 318 318 320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 356 由以上数据设计了如下茎叶图根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论： ① ；3 127 7 5 5 0 28 4 5 4 2 29 2 5 8 7 3 3 1 30 4 6 79 4 0 31 2 3 5 5 6 8 8 8 5 5 3 32 0 2 2 4 7 9 7 4 1 33 1 3 6 734 3 2 35 6甲乙② ．以下任填两个：（1）．乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度（或：乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度）． （2）．甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散．（或：乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中（稳定）．甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大）． （3）．甲品种棉花的纤维长度的中位数为318mm ，乙品种棉花的纤维长度的中位数为318mm ． （4）．乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近）．甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值（352）外，也大致对称，其分布较均匀．3. （湖北文）11.一个公司共有1 000名员工，下设一些部门，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为50的样本，已知某部门有200名员工，那么从该部门抽取的工人数是 10 . 4．（湖北文）14.明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一准时响的概率是 0.98 .5. （湖南理）15.对有n (n ≥4)个元素的总体｛1,2,3,…,n ｝进行抽样，先将总体分成两个子总体｛1,2,…，m ｝和｛m +1、m +2,…，n ｝(m 是给定的正整数，且2≤m ≤n -2),再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本，用P i j 表示元素i 和f 同时出现在样本中的概率，则P 1m =4()m n m -;所有P if (1≤i ＜j ≤)n 的和等于 6 .6. （湖南文）（12）从某地区15000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如下表所示：则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多____60____人。
2018届高考数学(理)热点题型：概率与统计((有答案))
2018届高考数学(理)热点题型：概率与统计((有答案))D23456＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋23×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝5681. (2)X 的可能取值为2，3，4，5.P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)·P (B 2)＝59，P (X ＝3)＝P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2B 3)＝P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (B 3)＝29，P (X ＝4)＝P (A 1B 2A 3A 4)＋P (B 1A 2B 3B 4)＝P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＋P (B 1)P (A 2)P (B 3)P (B 4)＝1081， P (X ＝5)＝1－P (X ＝2)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝881. 故X 的分布列为X 2 3 4 5 P59291081881E (X )＝2×59＋3×29＋4×1081＋5×881＝22481.【类题通法】求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤 第一步：确定随机变量的所有可能值； 第二步：求每一个可能值所对应的概率； 第三步：列出离散型随机变量的分布列； 第四步：求均值和方差；第五步：反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范.【对点训练】为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元.求： ①顾客所获的奖励额为60元的概率； ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和507元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由. 解 (1)设顾客所获的奖励额为X .①依题意，得P (X ＝60)＝C 11C 13C 24＝12，即顾客所获的奖励额为60元的概率为12.②依题意，得X 的所有可能取值为20，60. P (X ＝60)＝12，P (X ＝20)＝C 23C 24＝12，即X 的分布列为X 20 60 P1212所以顾客所获的奖励额的数学期望为E (X )＝20×12＋60×12＝40(元).(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元.所以，先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50，50，50，10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理，可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，记为方案2. 以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10，10，50，50)，设顾客所获的奖励额为X 1，则X 1的分布列为X 1 20 60 100 P162316X 1的数学期望为E (X 1)＝20×16＋60×23＋100×16＝60(元)，X1的方差为D(X1)＝(20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16＝1 6003.对于方案2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获的奖励额为X2，则X2的分布列为X240 60 80P162316X2的数学期望为E(X2)＝40×16＋60×23＋80×16＝60(元)，X2的方差为D(X2)＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2×16＝4003.由于两种方案的奖励额的数学期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.热点三概率与统计的综合应用概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点.主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键.复习时要在这些图表上下工夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基础上掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法及数学均值与方差的运算.【例3】2018年6月14日至7月15日，第21届世界杯足球赛将于俄罗斯举行，某大学为世界杯组委会招收志愿者，被招收的志愿者需参加笔试和面试，把参加笔试的40名大学生的成绩分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示：(1)分别求出成绩在第3，4，5组的人数；(2)现决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6人进行面试.①已知甲和乙的成绩均在第3组，求甲或乙进入面试的概率；②若从这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，设第4组中有X名学生被考官D面试，求X的分布列和数学期望.89解 (1)由频率分布直方图知： 第3组的人数为5×0.06×40＝12. 第4组的人数为5×0.04×40＝8. 第5组的人数为5×0.02×40＝4.(2)利用分层抽样，在第3组，第4组，第5组中分别抽取3人，2人，1人. ①设“甲或乙进入第二轮面试”为事件A ，则 P (A )＝1－C 310C 312＝511，所以甲或乙进入第二轮面试的概率为511.②X 的所有可能取值为0，1，2，P (X ＝0)＝C 24C 26＝25，P (X ＝1)＝C 12C 14C 26＝815，P (X ＝2)＝C 22C 26＝115.所以X 的分布列为X 0 1 2 P25815115E (X )＝0×25＋1×815＋2×115＝1015＝23.【类题通法】本题将传统的频率分布直方图与分布列、数学期望相结合，立意新颖、构思巧妙.求解离散型随机变量的期望与频率分布直方图交汇题的“两步曲”：一是看图说话，即看懂频率分布直方图中每一个小矩形面积表示这一组的频率；二是活用公式，本题中X 服从超几何分布.【对点训练】某公司为了解用户对某产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下： A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C：“A的评价结果相互独立.根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率.解(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散.(2)记C A1表示事件：“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”；C A2表示事件：“A地区用户的满意度等级为非常满意”；C B1表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”；C B2表示事件：“B地区用户的满意度等级为满意”，则C A1与C B1独立，C A2与C B2独立，C B1与C B2互斥，C＝C B1C A1∪C B2C A2.P(C)＝P(C B1C A1∪C B2C A2)10＝P (C B 1C A 1)＋P (C B 2C A 2) ＝P (C B 1)P (C A 1)＋P (C B 2)P (C A 2).由所给数据得C A 1，C A 2，C B 1，C B 2发生的频率分别为1620，420，1020，820，即P (C A 1)＝1620，P (C A 2)＝420，P (C B 1)＝1020，P (C B 2)＝820，故P (C )＝1020×1620＋820×420＝0.48.热点四 统计与统计案例能根据给出的线性回归方程系数公式求线性回归方程，了解独立性检验的基本思想、方法，在选择或填空题中常涉及频率分布直方图、茎叶图及样本的数字特征(如平均数、方差)的考查，解答题中也有所考查.【例4】从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑10i ＝1x i ＝80，∑10i ＝1y i ＝20，∑10i ＝1x i y i ＝184，∑10i ＝1x 2i ＝720. (1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄. 附：线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^＝，a ^＝y －b ^ x ，其中x ，y 为样本平均值.解 (1)由题意知n ＝10，x ＝1n ∑n i ＝1x i ＝8010＝8， y ＝1n ∑n i ＝1y i＝2010＝2， 又l xx ＝∑ni ＝1x 2i －n x 2＝720－10×82＝80， l xy ＝∑ni ＝1x i y i －n x y ＝184－10×8×2＝24， 由此得b ^＝l xy l xx ＝2480＝0.3，a ^＝y －b ^x ＝2－0.3×8＝－0.4， 故所求线性回归方程为y ^＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 值的增加而增加(b ^＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关.(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y^＝0.3×7－0.4＝1.7(千元).【类题通法】(1)分析两个变量的线性相关性，可通过计算相关系数r来确定，r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强，r的绝对值越接近于0，表明两变量线性相关性越弱.(2)求线性回归方程的关键是正确运用b^，a^的公式进行准确的计算.【对点训练】4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动.为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查.下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位：分钟)的频率分布直方图.若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”，低于60分钟的学生称为“非读书迷”.(1)根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书迷”与性别有关？非读书迷读书迷总计男15女45总计(2)将频率视为概率.1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书迷”的人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列、期望E(X)和方差D(X).解(1)完成2×2列联表如下：非读书迷读书迷总计男401555女202545总计60 40 100K 2＝100×（40×2560×40×55×45≈8.249＞6.635，故有99%的把握认为“读书迷”与性别有关.(2)将频率视为概率.则从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率P ＝25.由题意可知X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，25，P (X ＝i )＝C i 3⎝ ⎛⎭⎪⎫25i ⎝ ⎛⎭⎪⎫353－i (i ＝0，1，2，3). X 的分布列为X 0 1 2 3 P2712554125361258125均值E (X )＝np ＝3×25＝65，方差D (X )＝np (1－p )＝3×25×⎝⎛⎭⎪⎫1－25＝1825.。
2018届全国百套高考数学模拟试题分类汇编-183概率与统计解答题+精品推荐
A 1A 2A 3N2018届全国百套高考数学模拟试题分类汇编18概率与统计三、解答题1、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路,每个旅游团任选其中一条.(1)求3个旅游团选择3条不同的线路的概率 (2)求恰有2条线路没有被选择的概率. (3)求选择甲线路旅游团数的期望.解:(1)3个旅游团选择3条不同线路的概率为:P 1=834334=A(2)恰有两条线路没有被选择的概率为:P 2=16943222324=⋅⋅A C C (3)设选择甲线路旅游团数为ξ,则ξ=0,1,2,3P (ξ=0)=6427433= P (ξ=1)=6427433213=⋅C P (ξ=2)= 64943313=⋅C P (ξ=3)= 6414333=C ∴ξ的分布列为:∴期望E ξ=0×6427+1×6427+2×649+3×641=4332214、(安徽省皖南八校2018届高三第一次联考)如图,在某城市中,M,N两地之间有整齐的方格形道路网,1A 、2A 、3A 、4A 是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处,今在道路网M、N处的甲、乙两人分别要到M,N处,他们分别随机地选择一条沿街的最短路径,同时以每10分钟一格的速度分别向N,M处行走,直到到达N,M为止。
(1)求甲经过2A 的概率;(2)求甲、乙两人相遇经2A 点的概率;(3)求甲、乙两人相遇的概率;解:(1)甲经过2A 到达N,可分为两步:第一步:甲从M经过2A 的方法数:13C 种;第二步:甲从2A 到N的方法数:13C 种;所以:甲经过2A 的方法数为213)(C ;所以:甲经过2A 的概率209)(36213==C C P (2)由(1)知:甲经过2A 的方法数为:213)(C ;乙经过2A 的方法数也为:213)(C ;所以甲、乙两人相遇经2A 点的方法数为: 413)(C =81;甲、乙两人相遇经2A 点的概率40081)(3636413==C C C P(3)甲、乙两人沿最短路径行走,只可能在1A 、2A 、3A 、4A 处相遇,他们在)4,3,2,1(=i A i 相遇的走法有413)(-i C 种方法;所以:433423413403)()()()(C C C C +++=164甲、乙两人相遇的概率10041400164==P 5、(江西省五校2018届高三开学联考)下表为某班英语及数学成绩的分布.学生共有50人,成绩分1~5五个档次.例如表中所示英语成绩为4分、数学成绩为2分的学生为5人.将全班学生的姓名卡片混在一起,任取一枚,该卡片同学的英语成绩为x ,数学成绩为y 。
2018年高考试题分类汇编(统计与概率)
2018年高考试题分类汇编（统计与概率）考点1 简单计数1．（2018·浙江卷）从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共可以组成____个没有重复数字的四位数.(用数字作答)2.（2018·全国卷Ⅰ理科）从2位女生，4位男生中选3位参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有种.（用数字填写答案）考点2 随机事件的概率考法1古典概型1. （2018·全国卷Ⅱ文科）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的两人都是女同学的概率为A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.32.（2018·全国卷Ⅱ理科）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示成两个素数的和”.例如30723=+.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A．112B．114C．115D．1183．（2018·江苏卷）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为．4.（2018·上海卷）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是_ __.（结果用最简分数表示）5.（2018·天津卷文科）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用,,,,,,A B C D E F G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．（1）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（2）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．考法2 几何概型1.（2018·全国卷Ⅰ文理）下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB ,AC .ABC ∆的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色区域记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为1p ，2p ，3p ，则A.12p p =B. 13p p =C. 23p p =D. 123p p p =+考法3 互斥事件与相互独立事件 1.（2018·全国卷Ⅲ文科）某群中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为A ．0.3B ．0.4C ． 0.6D ．0.72.（2018·全国卷Ⅲ理科）某群中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成 员的支付方式互相独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，(4)p X =<(6)p X =，则p =A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.3考点3 统计初步考法1 抽样方法1.（2018·全国卷Ⅲ文科）某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的平价有较大的差异.为了解客户的平价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最适合的抽样方法为 . 考法2 统计图表1．（2018·江苏卷）已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为 ．2.（2018·全国卷Ⅰ文理）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解高该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：4% 6% 30% 60% 养殖收入 其他收入 第三产业收入 种植收入 建设前经济收入构成比例5% 28% 30% 37% 养殖收入 其他收入 第三产业收入 种植收入 建设后经济收入构成比例 8 9 9 9 0 1 1则下面结论中不正确的是A.新农村建成后，种植收入减少B.新农村建成后，其他收入增加一倍以上C.新农村建成后，养植收入增加一倍D.新农村建成后，养植收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半考点4 统计与概率考法1 分布列、期望、方差1.（2018·天津卷理科）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16. 现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（1）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；（2）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.2.（2018·全国卷Ⅰ理科）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格产品，则更换为合格产品.检验时，先从这箱产品种任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为(01)<<，且各件产品是否为不合格产品互相独立.p p（Ⅰ）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为()p.f p的最大值f p,求()0（Ⅱ）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（Ⅰ）中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格产品支付25元的赔偿费用.（1）若不对该产箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；（2）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？3.（2018·北京卷文科）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；（Ⅲ）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）4.（2018·北京卷理科）好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．假设所有电影是否获得好评相互独立．（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“1k ξ=”表示第k 类电影得到人们喜欢，“0k ξ=”表示第k 类电影没有得到人们喜欢（1,2,3,4,5,6k =）．写出方差1D ξ，2D ξ，3D ξ，4D ξ，5D ξ，6D ξ的大小关系．考法2 线性回归分析1.（2018·全国卷Ⅱ文理）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图，为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型.根据2000年至2016的数据（时间变量t 的值依次为1,2,,17 ）建立模型① 30.413.5y t =-+；根据2010年至2016的数据（时间变量t 的值依次为1,2,,7 ）建立模型② 9917.5y t =+.（Ⅰ）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （Ⅱ）你认为哪个模型的预测值更可靠？并说明理由.考法3 用样本估计总体1.（2018·全国卷Ⅰ文科）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：3m ）和使用节水龙头50天的日用水量数据，得到频率分布表如下：（Ⅰ）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量频率分布直方图： （Ⅱ）估计该家庭使用了节水龙头后，日用水量小于3（Ⅲ）估计该家庭使用了节水龙头后，一年 能节省多少水？（一年按365天计算，同一 组中的数据以这组数据所在区间的中点的值 作代表.） 2000 2001 2002 20032004 2005 2006 2008 2007 2009 2010 2012 2014 2013 2015考法4 独立性检验1.（2018·全国卷Ⅲ文理）某工厂为了提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20名工人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min ）绘制了如下茎叶图：（Ⅰ）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由.（Ⅱ）求40名工人完成生产任务所需的时间的中位数m ， 并将完成生产任务所（Ⅲ）根据（Ⅱ）中列联表，能否有99％把握认为两种生产方式的效率有差异？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++第一种生产方式 第二种生产方式 8 8 7 6 5 5 6 8 9 0 1 2 2 3 4 5 6 6 8 1 4 4 5 09 9 7 6 2 9 8 7 7 6 5 4 3 3 2 2 1 1 0 0。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
专题检测（十八）概率与统计、随机变量及其分布列
A卷——夯基保分专练
一、选择题
1．已知某一随机变量ξ的分布列如下表所示，若E(ξ)＝6.3，则a的值为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：选A 根据随机变量ξ的分布列可知b＋0.1＋0.4＝1，所以b＝0.5.又E(ξ)＝0.5×a＋7×0.1＋9×0.4＝6.3，所以a＝4.
2．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )
A．0.648 B．0.432
C．0.36 D．0.312
解析：选A 3次投篮投中2次的概率为P(k＝2)＝C23×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率为P(k＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为P(k＝2)＋P(k＝3)＝C23×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.
3．(2017·武汉调研)小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A＝“4个人去的景点不相同”，事件B＝“小赵独自去一个景
点”，则P(A|B)＝( )
A.29
B.13
C.49
D.59
解析：选A 小赵独自去一个景点共有4×3×3×3＝108种可能性，4个
人去的景点不同的可能性有A 44＝4×3×2×1＝24种，∴P(A|B)＝24108＝29
. 4．(2017·惠州三调)齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中各随机选一匹进行一场比赛，则田忌获胜的概率为( )
A.13
B.14
C.15
D.16
解析：选A 设田忌的上、中、下三个等次的马分别为A ，B ，C ，齐王的上、中、下三个等次的马分别为a ，b ，c ，从双方的马匹中各随机选一匹进行一场比赛的所有可能结果有Aa ，Ab ，Ac ，Ba ，Bb ，Bc ，Ca ，Cb ，Cc ，共9种，
田忌获胜有Ab ，Ac ，Bc ，共3种，所以田忌获胜的概率为13
. 5．(2017·西安八校联考)在平面区域{(x ，y)|0≤x ≤2，0≤y ≤4}内随机投入一点P ，则点P 的坐标(x ，y)满足y ≤x 2的概率为( )。