2013届高考一轮数学复习理科课件(人教版)专题研究 平面向量的综合应用
第五章 专题研究
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
→ → ∴AP＝λAD，∵λ>0， ∴点 P 的轨迹为射线 AD(不包括端点 A)， ∴点 P 的轨迹经过△ABC 的内心．
【答案】 D
第五章
专题研究
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
(3)(2012· 潍坊市)已知 A，B，C 是坐标平面内不共线 → 1 → 的三点， 是坐标原点， O 动点 P 满足OP＝3[(1－λ)OA＋(1 → → －λ)OB＋(1＋2λ)OC](λ∈R)，则点 P 的轨迹一定经过△ ABC 的( ) B．垂心 D．重心
A．内心 C．外心
第五章
专题研究
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
→ ＝1(OA＋OB＋OC)，P 为 → → → 【解析】 令 λ＝0，则OP 3 重心，故选 D.
【答案】 D
第五章
专题研究
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
探究 2
利用三角形中与向量相关的常见结论来命
制考题， 突出了向量在研究平面几何问题中的工具性． 常 见的结论有： 在△ABC 中，→ ＋BC＋CA＝0； D 为 BC AB → → 若 → ＝1(AB＋AC)；若 G 是△ABC 的重心， 边的中点，则AD 2 → → → → → → 则GA＋GB＋GC＝0； O 是△ABC 的内心， aOA＋bOB 若 则 → → ＋cOC＝0 等．
第五章 专题研究
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
→ → → 【解析】 由|OA|＝|OB|＝|OC|知 O 到 A、B、C 三点 的距离相等，即为外心． → → → → → 由NA＋NB＋NC＝0， D 为 BC 中点， 设 则有NA＋2ND ＝0. 则 N 为中线靠近中点的三等分点，即为重心．
4 【答案】 5
第五章 专题研究
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
→ → → (2)O 为△ABC 所在平面内一点， 且|OA|2＋|BC|2＝|OB → → → → → |2＋|CA|2＝|OC|2＋|AB|2，求证：AB⊥OC.
【证明】 → → → 设OA＝a，OB＝b，OC＝c，
→ → → 可得BC＝c－b，CA＝a－c，AB＝b－a. → → → → → → 由已知|OA|2＋|BC|2＝|OB|2＋|CA|2＝|OC|2＋|AB|2， 得 a2＋(c－b)2＝b2＋(a－c)2＝c2＋(b－a)2.
方法二
→ → 由OA· ＝0 知△AOB 为直角三角形，以 OB
OA，OB 所在直线分别为 x，y 轴建立平面直角坐标系， → → → → → 则可知OA＝(1,0)，OB＝(0， 3)，又由OC＝mOA＋nOB， 3n 3 m → 可知OC＝(m， 3n)，故由 tan30° m ＝ 3 ，可知 n ＝3. ＝
高三数学（新课标版· 理）
题型二
向量在三角函数中的应用
→ → 例 3 已知 O 为坐标原点， 向量OA＝(sinα， OB＝(cosα， 1)， → → → 0)，OC＝(－sinα，2)，点 P 满足AB＝BP. π π → → (1) 记函数 f(α)＝PB· ，α∈(－8，2)，讨论函数 f(α)的单 CA 调性，并求其值域； → → (2)若 O，P，C 三点共线，求|OA＋OB|的值．
高三数学（新课标版· 理）
探究 1 用向量法解决几何问题时，先用向量表示相 应的点、线段、夹角等几何元素，常通过平面向量基本定 理、加、减法运算，向量坐标法进行转化，然后通过向量 运算研究关系．
第五章
专题研究
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
→ → → → 思考题 1 已知|OA|＝1，|OB|＝ 3，OA· ＝0，点 C OB → → → 在∠AOB 内，且∠AOC＝30° .设OC＝mOA＋nOB(m，n∈ m R)，则 ＝________. n
第五章 专题研究
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
探究 3
这类试题的难度一般不大，但解题时要细
心，要正确利用向量的相关知识，特别是向量中的共线、 垂直关系.
第五章
专题研究
【解析】 方法一 如图所示，
第五章
专题研究
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
→ OB → → → ∵OA· ＝0，∴OB⊥OA. → → → 不妨设|OC|＝2， C 作CD⊥OA于 D，→ ⊥OB于 E， 过 CE → 则四边形 ODCE 是矩形， → → → → → OC＝OD＋DC＝OD＋OE. → ∵|OC|＝2，∠COD＝30° ， → → ∴|DC|＝1，|OD|＝ 3.
第五章 专题研究
高考调研
π π 单调递减区间为(－ ， ]， 8 8 π 2 因为 sin(2α＋4)∈(－ 2 ，1]， 故函数 f(α)的值域为[－ 2，1)．
高三数学（新课标版· 理）
→ (2)OP＝(2cosα－sinα， －1)，→ ＝(－sinα， 由 O， OC 2)， P，C 三点共线可得(－1)×(－sinα)＝2×(2cosα－sinα)， 4 2sinαcosα 2tanα 24 得 tanα＝3，sin2α＝ 2 2 ＝ 2 ＝ 25. sin α＋cos α 1＋tan α 74 → → 2 |OA＋OB|＝ sinα＋cosα ＋1＝ 2＋sin2α＝ 5 .
第五章
专题研究
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
→ → 【解】 (1)AB＝(cosα－sinα，－1)，设OP＝(x，y)， → 则BP＝(x－cosα，y)． → → 由AB＝BP得 x＝2cosα－sinα，y＝－1， → 故OP＝(2cosα－sinα，－1)． → → PB＝(sinα－cosα，1)，CA＝(2sinα，－1)，
第五章
专题研究
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
即 a2＋c2＋b2－2c· 2＋a2＋c2－2a· b＝b c ＝c2＋b2＋a2－2a· b. 整理得 c· b＝a· c＝b· a. → → ∴AB· ＝(b－a)· OC c＝b· c－a· c＝0. → → ∴AB⊥OC.
第五章
专题研究
高考调研
【答案】 3
第五章
专题研究
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
例 2 (1)(2009· 海南、 宁夏)已知点 O， P 在△ABC N， → → → → → → 所在平面内，且|OA|＝|OB|＝|OC |，NA＋NB＋NC ＝0， → PB → PC → PA → → → PA· ＝PB· ＝PC· ，则点 O，N，P 依次是△ABC 的 ( ) A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心 C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心
→ → AB AC → → (2)若OP＝OA＋λ( ＋ )(λ>0)．则点 P 的轨迹经 → → |AB| |AC| 过△ABC 的( A．重心 C．外心 ) B．垂心 D．内心
第五章
专题研究
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
→ → AB AC → → 【解析】 、 分别表示与AB、AC方向相同的 → → |AB| |AC| → → → → 单位向量，记为AE、AF.以AE、AF为邻边作▱AEDF，则 ▱AEDF 为菱形． → → AB AC → ∴AD 平分∠BAC 且 ＋ ＝AD， → | |AC| → |AB → → AB AC → → → → ∴OP＝OA＋λ( ＋ )＝OA＋λAD， → → |AB| |AC|
(1)已知正方形 OABC 的边长为 1，点 D、E 分别为
AB、BC 的中点，试求 cos∠DOE 的值．
第五章
专题研究
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
【解析】 以 OA、OC 为坐标轴建立直角坐标系， → ＝(1，1)，OE＝(1， → 如图所示．则由已知条件，可得OD 2 2 1)， 1 1 → OE 1×2＋2×1 4 → OD· 故 cos∠DOE＝ ＝ ＝5. → → 5 5 |OD|· | |OE 2×2
第五章
专题研究
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
→ PB → PC → (PC → → → → AC → 由PA· ＝PB· ⇒PB·→ －PA)＝0⇒PB· ＝0，同 → → → → 理，有PA· ＝0，PC· ＝0. BC AB 则 P 为垂心，故选 C.
【答案】 C
第五章
专题研究
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
第五章
专题研究
高考调研
→ → 又∵|OB|＝ 3，|OA|＝1， → ＝ 3 OA，OE＝ 3OB， → → → 故OD 3
高三数学（新课标版· 理）
3→ 3 → → ∴OC＝ 3 OA＋ 3 OB，此时 m＝ 3，n＝ 3 ， m 3 ∴ ＝ ＝3. n 3 3
第五章
专题研究
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
2013届高考一轮数学复习理科课件（人教版）
第五章 平面向量与复数
第五章
平面向量与复数
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
专题研究
平面向量的综合应用
第五章
专题研究
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
第五章
专题研究
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
题型一
例1
向量在平面几何中的应用
第五章
专题研究
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
思考题 2 O 为空间中一定点，动点 P 在 A、B、C → → → → 三点确定的平面内且满足(OP－OA)· －AC)＝0， (AB 则点 P 的轨迹一定过△ABC 的( A．外心 C．重心
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
→ → ∴AP＝λAD，∵λ>0， ∴点 P 的轨迹为射线 AD(不包括端点 A)， ∴点 P 的轨迹经过△ABC 的内心．
【答案】 D
第五章
专题研究
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
(3)(2012· 潍坊市)已知 A，B，C 是坐标平面内不共线 → 1 → 的三点， 是坐标原点， O 动点 P 满足OP＝3[(1－λ)OA＋(1 → → －λ)OB＋(1＋2λ)OC](λ∈R)，则点 P 的轨迹一定经过△ ABC 的( ) B．垂心 D．重心
A．内心 C．外心
第五章
专题研究
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
→ ＝1(OA＋OB＋OC)，P 为 → → → 【解析】 令 λ＝0，则OP 3 重心，故选 D.
【答案】 D
第五章
专题研究
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
探究 2
利用三角形中与向量相关的常见结论来命
制考题， 突出了向量在研究平面几何问题中的工具性． 常 见的结论有： 在△ABC 中，→ ＋BC＋CA＝0； D 为 BC AB → → 若 → ＝1(AB＋AC)；若 G 是△ABC 的重心， 边的中点，则AD 2 → → → → → → 则GA＋GB＋GC＝0； O 是△ABC 的内心， aOA＋bOB 若 则 → → ＋cOC＝0 等．
第五章 专题研究
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
→ → → 【解析】 由|OA|＝|OB|＝|OC|知 O 到 A、B、C 三点 的距离相等，即为外心． → → → → → 由NA＋NB＋NC＝0， D 为 BC 中点， 设 则有NA＋2ND ＝0. 则 N 为中线靠近中点的三等分点，即为重心．
4 【答案】 5
第五章 专题研究
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
→ → → (2)O 为△ABC 所在平面内一点， 且|OA|2＋|BC|2＝|OB → → → → → |2＋|CA|2＝|OC|2＋|AB|2，求证：AB⊥OC.
【证明】 → → → 设OA＝a，OB＝b，OC＝c，
→ → → 可得BC＝c－b，CA＝a－c，AB＝b－a. → → → → → → 由已知|OA|2＋|BC|2＝|OB|2＋|CA|2＝|OC|2＋|AB|2， 得 a2＋(c－b)2＝b2＋(a－c)2＝c2＋(b－a)2.
方法二
→ → 由OA· ＝0 知△AOB 为直角三角形，以 OB
OA，OB 所在直线分别为 x，y 轴建立平面直角坐标系， → → → → → 则可知OA＝(1,0)，OB＝(0， 3)，又由OC＝mOA＋nOB， 3n 3 m → 可知OC＝(m， 3n)，故由 tan30° m ＝ 3 ，可知 n ＝3. ＝
高三数学（新课标版· 理）
题型二
向量在三角函数中的应用
→ → 例 3 已知 O 为坐标原点， 向量OA＝(sinα， OB＝(cosα， 1)， → → → 0)，OC＝(－sinα，2)，点 P 满足AB＝BP. π π → → (1) 记函数 f(α)＝PB· ，α∈(－8，2)，讨论函数 f(α)的单 CA 调性，并求其值域； → → (2)若 O，P，C 三点共线，求|OA＋OB|的值．
高三数学（新课标版· 理）
探究 1 用向量法解决几何问题时，先用向量表示相 应的点、线段、夹角等几何元素，常通过平面向量基本定 理、加、减法运算，向量坐标法进行转化，然后通过向量 运算研究关系．
第五章
专题研究
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
→ → → → 思考题 1 已知|OA|＝1，|OB|＝ 3，OA· ＝0，点 C OB → → → 在∠AOB 内，且∠AOC＝30° .设OC＝mOA＋nOB(m，n∈ m R)，则 ＝________. n
第五章 专题研究
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
探究 3
这类试题的难度一般不大，但解题时要细
心，要正确利用向量的相关知识，特别是向量中的共线、 垂直关系.
第五章
专题研究
【解析】 方法一 如图所示，
第五章
专题研究
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
→ OB → → → ∵OA· ＝0，∴OB⊥OA. → → → 不妨设|OC|＝2， C 作CD⊥OA于 D，→ ⊥OB于 E， 过 CE → 则四边形 ODCE 是矩形， → → → → → OC＝OD＋DC＝OD＋OE. → ∵|OC|＝2，∠COD＝30° ， → → ∴|DC|＝1，|OD|＝ 3.
第五章 专题研究
高考调研
π π 单调递减区间为(－ ， ]， 8 8 π 2 因为 sin(2α＋4)∈(－ 2 ，1]， 故函数 f(α)的值域为[－ 2，1)．
高三数学（新课标版· 理）
→ (2)OP＝(2cosα－sinα， －1)，→ ＝(－sinα， 由 O， OC 2)， P，C 三点共线可得(－1)×(－sinα)＝2×(2cosα－sinα)， 4 2sinαcosα 2tanα 24 得 tanα＝3，sin2α＝ 2 2 ＝ 2 ＝ 25. sin α＋cos α 1＋tan α 74 → → 2 |OA＋OB|＝ sinα＋cosα ＋1＝ 2＋sin2α＝ 5 .
第五章
专题研究
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
→ → 【解】 (1)AB＝(cosα－sinα，－1)，设OP＝(x，y)， → 则BP＝(x－cosα，y)． → → 由AB＝BP得 x＝2cosα－sinα，y＝－1， → 故OP＝(2cosα－sinα，－1)． → → PB＝(sinα－cosα，1)，CA＝(2sinα，－1)，
第五章
专题研究
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
即 a2＋c2＋b2－2c· 2＋a2＋c2－2a· b＝b c ＝c2＋b2＋a2－2a· b. 整理得 c· b＝a· c＝b· a. → → ∴AB· ＝(b－a)· OC c＝b· c－a· c＝0. → → ∴AB⊥OC.
第五章
专题研究
高考调研
【答案】 3
第五章
专题研究
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
例 2 (1)(2009· 海南、 宁夏)已知点 O， P 在△ABC N， → → → → → → 所在平面内，且|OA|＝|OB|＝|OC |，NA＋NB＋NC ＝0， → PB → PC → PA → → → PA· ＝PB· ＝PC· ，则点 O，N，P 依次是△ABC 的 ( ) A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心 C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心
→ → AB AC → → (2)若OP＝OA＋λ( ＋ )(λ>0)．则点 P 的轨迹经 → → |AB| |AC| 过△ABC 的( A．重心 C．外心 ) B．垂心 D．内心
第五章
专题研究
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
→ → AB AC → → 【解析】 、 分别表示与AB、AC方向相同的 → → |AB| |AC| → → → → 单位向量，记为AE、AF.以AE、AF为邻边作▱AEDF，则 ▱AEDF 为菱形． → → AB AC → ∴AD 平分∠BAC 且 ＋ ＝AD， → | |AC| → |AB → → AB AC → → → → ∴OP＝OA＋λ( ＋ )＝OA＋λAD， → → |AB| |AC|
(1)已知正方形 OABC 的边长为 1，点 D、E 分别为
AB、BC 的中点，试求 cos∠DOE 的值．
第五章
专题研究
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
【解析】 以 OA、OC 为坐标轴建立直角坐标系， → ＝(1，1)，OE＝(1， → 如图所示．则由已知条件，可得OD 2 2 1)， 1 1 → OE 1×2＋2×1 4 → OD· 故 cos∠DOE＝ ＝ ＝5. → → 5 5 |OD|· | |OE 2×2
第五章
专题研究
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
→ PB → PC → (PC → → → → AC → 由PA· ＝PB· ⇒PB·→ －PA)＝0⇒PB· ＝0，同 → → → → 理，有PA· ＝0，PC· ＝0. BC AB 则 P 为垂心，故选 C.
【答案】 C
第五章
专题研究
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
第五章
专题研究
高考调研
→ → 又∵|OB|＝ 3，|OA|＝1， → ＝ 3 OA，OE＝ 3OB， → → → 故OD 3
高三数学（新课标版· 理）
3→ 3 → → ∴OC＝ 3 OA＋ 3 OB，此时 m＝ 3，n＝ 3 ， m 3 ∴ ＝ ＝3. n 3 3
第五章
专题研究
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
2013届高考一轮数学复习理科课件（人教版）
第五章 平面向量与复数
第五章
平面向量与复数
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
专题研究
平面向量的综合应用
第五章
专题研究
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
第五章
专题研究
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
题型一
例1
向量在平面几何中的应用
第五章
专题研究
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
思考题 2 O 为空间中一定点，动点 P 在 A、B、C → → → → 三点确定的平面内且满足(OP－OA)· －AC)＝0， (AB 则点 P 的轨迹一定过△ABC 的( A．外心 C．重心
合集下载
高考理科数学一轮总复习课标课件第章平面向量
05
结合律：(λa)·b = λ(a·b) = a·(λb)，其中λ为实数
06
零向量与任何向量的数量积为0。
模长计算公式及应用举例
模长计算公式：对于向量 a，其模长|a|定义为 √(a·a)。
计算向量的长度。
应用举例
判断两个向量是否垂直： 若a·b = 0，则向量a和b 垂直。
夹角公式及其在几何中应用
XX
PART 05
高考真题回顾与模拟题训 练
REPORTING
历年高考真题回顾及解析
（2019年全国卷I）题目
已知向量 a，b 满足 |a| = 1，|b| = 2，且 (a + b) ⊥ a，则 a 与 b 的夹角为 _______．
（2020年全国卷II）题目
在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)．若 →AP = →AB + λ→AC (λ ∈ R)，则
在计算中应用
计算一个向量在另一个向 量上的投影长度。
利用投影和数量积解决几 何问题，如计算点到直线 的距离、判断点是否在三 角形内部等。
利用投影长度计算两个向 量的数量积。
XX
PART 03
平面向量在几何中应用举 例
REPORTING
利用平面向量证明几何定理
向量共线定理
若两向量共线，则它们的分量成比例 。此定理可用于证明直线上的点共线 、三点共线等问题。
01
根据自己的实际情况，制定切实可行的学习计划，明确每天的
学习任务和时间安排。
查漏补缺
02
对照教材和考试大纲，梳理自己的知识漏洞和薄弱环节，有针
对性地进行强化训练。
多做模拟题
03
2013届高考一轮数学复习理科课件(人教版)第1课时数列的基本概念
探究 2 an 与 Sn 的关系式 an＝Sn－Sn－1 的条件是 n≥2，求 an 时切勿漏掉 n＝1 即 a1＝S1 的情况．一般地， 当 a1＝S1 适合 an＝Sn－Sn－1 时，an＝Sn－Sn－1；当 a1＝S1
不适合 an＝Sn－Sn－1 时，an＝SS1n－Sn－1
n＝1 n≥2
可 得 分 子 的 通 项 公 式 为 bn ＝ 2n ＋ 1 ， 对 于 分 母 2,5,10,17，…联想到数列 1,4,9,16，…
第六章 第1课时
高考调研
高三数学（新课标版·理）
即数列{n2}，可得分母的通项公式为 cn＝n2＋1， ∴可得它的一个通项公式为 an＝2nn2＋＋11.
【答案】
第六章 第1课时
高考调研
高三数学（新课标版·理）
第六章 第1课时
高考调研
高三数学（新课标版·理）
题型一 归纳通项公式
例 1 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公 式：
(1)－1,7，－13,19，… (2)0.8,0.88,0.888，… (3)1,0，13，0，15，0，17，0，… (4)32，1，170，197，…
第六章 第1课时
高考调研
高三数学（新课标版·理）
题型三 递推数列的通项
例 3 (1)(2008·四川)设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n ＋1，则通项 an＝________.
(2)a1＝1，aan＋n1＝n＋1，则通项 an＝________. (3)a1＝1，an＋1＝3an＋2，则通项 an＝________. (4)an>0，an＋2 2＝ 2Sn，则通项 an＝________.
第六章 第1课时
高考调研
最新届高考一轮数学复习理科人教版专题研究平面向量的综合应用
届高考一轮数学复习理科人教 版专题研究平面向量的综合应
用
高考调研
高三数学（新课标版·理）
专题研究 平面向量的综合应用
第五章 专题研究
高考调研
高三数学（新课标版·理）
第五章 专题研究
高考调研
高三数学（新课标版·理）
第五章 专题研究
高考调研
高三数学（新课标版·理）
第五章 专题研究
高考调研
高三数学（新课标版·理）
第五章 专题研究
高考调研
高三数学（新课标版·理）
思考题 2 O 为空间中一定点，动点 P 在 A、B、C
三点确定的平面内且满足(O→P－O→A)·(A→B－A→C)＝0，则点 P
的轨迹一定过△ABC 的( )
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
【答案】 D
第五章 专题研究
高考调研
高三数学（新课标版·理）
题型二 向量在三角函数中的应用
例 3 已知 O 为坐标原点，向量O→A＝(sinα，1)，O→B＝(cosα， 0)，O→C＝(－sinα，2)，点 P 满足A→B＝B→P.
(1) 记函数 f(α)＝P→B·C→A，α∈(－π8，π2)，讨论函数 f(α)的单 调性，并求其值域；
(2)若 O，P，C 三点共线，求|O→A＋O→B|的值．
(2)若O→P＝O→A＋λ(|AA→→BB|＋|AA→→CC|)(λ>0)．则点 P 的轨迹经
过△ABC 的( )
A．重心
B．垂心
C．外心
D．内心
第五章 专题研究
高考调研
高三数学（新课标版·理）
【解析】 |AA→→BB|、|AA→→CC|分别表示与A→B、A→C方向相同的 单位向量，记为A→E、A→F.以A→E、A→F为邻边作▱AEDF，则 ▱AEDF 为菱形．
用
高考调研
高三数学（新课标版·理）
专题研究 平面向量的综合应用
第五章 专题研究
高考调研
高三数学（新课标版·理）
第五章 专题研究
高考调研
高三数学（新课标版·理）
第五章 专题研究
高考调研
高三数学（新课标版·理）
第五章 专题研究
高考调研
高三数学（新课标版·理）
第五章 专题研究
高考调研
高三数学（新课标版·理）
思考题 2 O 为空间中一定点，动点 P 在 A、B、C
三点确定的平面内且满足(O→P－O→A)·(A→B－A→C)＝0，则点 P
的轨迹一定过△ABC 的( )
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
【答案】 D
第五章 专题研究
高考调研
高三数学（新课标版·理）
题型二 向量在三角函数中的应用
例 3 已知 O 为坐标原点，向量O→A＝(sinα，1)，O→B＝(cosα， 0)，O→C＝(－sinα，2)，点 P 满足A→B＝B→P.
(1) 记函数 f(α)＝P→B·C→A，α∈(－π8，π2)，讨论函数 f(α)的单 调性，并求其值域；
(2)若 O，P，C 三点共线，求|O→A＋O→B|的值．
(2)若O→P＝O→A＋λ(|AA→→BB|＋|AA→→CC|)(λ>0)．则点 P 的轨迹经
过△ABC 的( )
A．重心
B．垂心
C．外心
D．内心
第五章 专题研究
高考调研
高三数学（新课标版·理）
【解析】 |AA→→BB|、|AA→→CC|分别表示与A→B、A→C方向相同的 单位向量，记为A→E、A→F.以A→E、A→F为邻边作▱AEDF，则 ▱AEDF 为菱形．
2013届高考一轮数学复习理科课件(人教版)第6课时 空间向量及运算
y2－y1，z2－z1)． _________________
6．向量 a 与 b 的夹角 设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
Cos<a，b>＝
a1b1＋a2b2＋a3b3 2 2 a2＋a2＋a2· b1＋b2＋b2 1 3 2 3
.
第八章
第6课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
高三数学（新课标版· 理）
→ 1→ 1 → → 解析 FG＝ AC＝ (BC－BA)， 2 2 → → 1 → → → ∴FG· ＝ (BC－BA)· BA BA 2 1 → → →2 1 1 1 ＝ (BC· －BA )＝ ×( －1)＝－ . BA 2 2 2 4
第八章
第6课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
第八章
第6课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
5．空间向量的直角坐标运算 设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)则 ①a＋b＝ ； (a1－b1，a2－b2，a3－b3) ②a－b＝ ；
2 a1b1＋a2b2＋a3b3 ， a2＋a2＋a2 ； 3 ③a· b＝ 特殊地 a· a＝ 1 a1 ④a∥b⇔ a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0)或b1
|a|cos<a，e>，e 为单位向量
；
b＝0 ； ②a⊥b⇔ a·
a ③|a|2＝ a· .
第八章
第6课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
向量的数量积满足如下运算律：
b) ①(λ· b＝ λ(a· ； a)·
②a· b＝ b· a ③a· (b＋c)＝
(交换律)；
2013版高考数学人教A版一轮复习课件第4单元-平面向量(理科)
第四单元 │ 网络解读
(2)平面向量的线性运算是指平面向量的加法运算、减法运 算、数乘运算，这些运算都是从几何上进行定义的，要从几何 表示上弄清楚这些运算的含义，注意两个向量共线的充要条件 的应用． (3)平面向量的数量积是平面向量的另一种重要运算，是平 面向量的核心内容，主要是数量积的定义、性质和运算法则、 运用数量积表示两个向量的夹角、两向量垂直的充要条件，要 注意数量积的运算结果是一个数量，注意一个向量在另外一个 向量上的投影也是一个数量，注意向量的数量积和数的乘法运 算的区别．
(2)下列命题中： ①时间、速度、加速度都是向量； ②向量的模是一个正实数； ③所有的单位向量都相等； ④共线向量一定在同一直线上． 其中真命题的个数为( A．0 B．1 C．2 D．3 )
第24讲 │ 要点探究
(3)给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则 a＝b； ②向量不可以比较大小； ③若 a＝b，b＝c，则 a＝c； ④a＝b 的充要条件是|a|＝|b|且 a∥b； ⑤若 a∥b，b∥c，则 a∥c. 其中正确的命题有( A．1 个 C．3 个 B．2 个 D．4 个 )
第四单元 │ 使用建议
3．课时安排 本单元共3讲和一个45分钟滚动基础训练卷，第26讲建议 2课时完成，其余每讲建议1课时完成，45分钟滚动基础训练 卷，建议各1课时完成，共需6课时．
第24讲 │ 平面向量的概念及其线性运算
第24讲
平面向量的概念 及其线性运算
第24讲 │ 考纲要求 考纲要求
1．了解向量的实际背景，理解平面向量的概念，理 解两个向量相等的含义． 2．理解向量的几何意义． 3． 掌握向量加法、 减法的运算， 并理解其几何意义． 4．掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共 线的含义． 5．了解向量线性运算的性质及其几何意义．
高考一轮复习理科数学课件平面向量的应用
线性运算在几何问题中应用
平移、伸缩和旋转
通过平面向量的线性运算，可以实现 图形的平移、伸缩和旋转等变换，从 而简化几何问题的求解过程。
点积和叉积
利用平面向量的点积和叉积运算，可 以求解向量的夹角、长度以及判断向 量的垂直关系等问题。
典型例题分析与解答
例题一
已知向量a、b不共线，且向量c=k*a+b，当k为何值时 ，a、b、c三向量共面？
安排每日任务
将复习计划细化到每日任务，确保每天都 有所收获。
留出机动时间
预留部分时间用于应对突发情况和进行阶 段性总结。
多做真题，总结规律和技巧
多做高考真题
通过做历年高考真题，熟悉考试题型和难 度提炼出解题 的一般方法和技巧。
举一反三
学会从一个题目出发，联想到其他相关题 目和知识点，形成知识网络。
坐标法求解向量问题
利用坐标表示向量
根据题目条件，选择合适的基底，将 向量用坐标表示出来。
求解向量问题
通过坐标运算，求解向量的模长、方 向、夹角等问题。
利用坐标化公式进行运算
根据向量的坐标化公式，对向量进行 加法、减法、数乘等运算。
03
平面向量数量积与应用
数量积定义及性质
01 数量积定义
两个向量的数量积是一个标量 ，等于它们模长的乘积与它们 夹角余弦的乘积。
线性组合性质
线性组合具有交换律、结合律和 分配律等基本性质，同时线性无 关的向量组不能由部分向量线性 表示出整体向量。
线性表示和线性相关性判断
线性表示方法
通过解线性方程组来判断一个向量能否由其他向量线性表示，如果方程组有解 ，则存在线性表示关系。
线性相关性判断
如果一个向量组中的一个向量可以由其他向量线性表示出来，则称这个向量组 是线性相关的；否则，称这个向量组是线性无关的。
2013届高考一轮数学复习理科课件(人教版)专题研究______平面向量的综合应用
第五章
专题研究
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
→· → ＝PB →· → ⇒PB →· → －PA → )＝0⇒PB →· → ＝0，同 由PA PB PC (PC AC → → → → 理，有PA· BC＝0，PC· AB＝0. 则 P 为垂心，故选 C.
【答案】 C
第五章
专题研究
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
第五章
专题研究
高考调研
→ |＝ 3，|OA → |＝1， 又∵|OB 3→ → → → 故OD＝ 3 OA，OE＝ OB， 3
高三数学（新课标版· 理）
3→ 3 → → ∴OC＝ 3 OA＋ 3 OB，此时 m＝ 3，n＝ 3 ， m 3 ∴ ＝ ＝3. n 3 3
第五章
专题研究
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
第五章 专题研究
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
→ |＝|OB → |＝|OC → |知 O 到 A、B、C 三点 【解析】 由|OA 的距离相等，即为外心． → → → → → 由NA＋NB＋NC＝0， 设 D 为 BC 中点， 则有NA＋2ND ＝0. 则 N 为中线靠近中点的三等分点，即为重心．
【答案】 3
第五章
专题研究
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
例 2 (1)(2009· 海南、 宁夏)已知点 O， N， P 在△ABC → |＝ |OB → | ＝ |OC → |， NA → ＋NB → ＋NC → ＝0， 所在平面内，且 |OA →· → ＝PB →· → ＝PC →· → ，则点 O，N，P 依次是△ABC 的 PA PB PC PA ( ) A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心 C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心
高三理科数学一轮复习 专题 平面向量课件
向量数量积满足分配律，即 $(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{c}) cdot overset{longrightarrow}{b} = overset{longrightarrow}{a} cdot overset{longrightarrow}{b} + overset{longrightarrow}{c} cdot overset{longrightarrow}{b}$。
理解混合积的几何意义
详细描述
混合积的几何意义是表示三个向量的体积。 具体来说，当三个向量表示一个平行六面体 的三条边时，混合积的大小就等于这个平行 六面体的体积。
当两向量同向时，投影长度等于向量 $overset{longrightarrow}{a}$的模；当两向量反向时，投 影长度等于负的向量$overset{longrightarrow}{a}$的模； 当两向量垂直时，投影长度为0。
向量数量积的运算律
向量数量积满足交换律，即 $overset{longrightarrow}{a} cdot overset{longrightarrow}{b} = overset{longrightarrow}{b} cdot overset{longrightarrow}{a}$。
向量的模
总结词
向量的模是表示向量大小的数值，记作|a|。
详细描述
向量的模是表示向量大小的数值，记作|a|。向量的模的计算公式为$sqrt{x^2 + y^2}$，其中$x$和$y$分别是向量在x轴和y轴上的分量。
向量的加法
总结词
向量的加法是通过向量起点对齐、同向相加、反向取反的方 式进行。
2013版高考数学一轮复习 4.1平面向量精品学案 新人教A版
2013版高考数学一轮复习精品学案第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入【知识特点】平面向量作为工具性知识，和三角函数、解析几何、立体几何等知识有着广泛的联系。
其中平面向量的共线与垂直，平面向量的运算，平面向量的数量积及其应用，是重点内容，也是高考考查的重点。
对于数系的扩充和复数的引入这部分内容，其独立性较强，一般是单独命题，其中复数的概念和复数的运算是重点知识，也是高考考查的重点。
【重点关注】1、平面向量共线与垂直的充要条件、平面向量的线性运算、平面向量的数量积及其应用、复数的运算是高考的热点内容，需重点关注。
2、平面向量的基本运算与三角函数结合是高考中的重要题型，此类题可以是选择、填空，也可以为中档的解答题。
向量与数列、不等式、圆锥曲线，函数等知识的综合问题。
对学生能力的考查有较高的要求。
3、本章内容要注意数形结合思想的应用，向量具有“形与数”的两个特点，这就使得向量成了数形结合的桥梁。
【地位和作用】向量带有基础知识的特点，是一种工具性和方法性知识。
向量有一套优秀的运算系统，由于它提供的向量法、坐标法，使其成为研究高中数学的重要方法。
同时，向量又有一套优良的运算系统，几何中有关长度、角度的计算，平行、垂直的判定与证明，很多场合下都可以化归为向量的运算来完成，教材中正弦定理、余弦定理的证明、定比分点坐标公式的导出，就是这方面典型的例子。
这些体现了数学中化归和数形结合的思想。
向量“形”、“数”兼备，是数形结合的桥梁。
在运用向量知识时，充分运用几何图形直观的特点，而在解决几何问题时，又注意充分运用向量法与坐标法，处处渗透了数形结合的思想。
通过分析进两年高考中本章相关知识点的考查汇总，可以看出本章在高考命题中呈现出以下特点：1、考查题型主要是以选择、填空为主，分值为10分左右，基本属容易题；2、重点考查向量的共线与垂直，向量的夹角、模与数量积及复数的运算，注重在知识交汇处命题；3、预计在本意在今后的高考中，将以向量的运算、向量的夹角、模、数量积、复数的运算为命题热点，将更加注重向量与其他知识的交汇，以考查基础知识、基本技能为主。
届高考一轮数学复习理科人教版专题研究平面向量的综合应用-资料.ppt
∴AD 平分∠BAC 且|AA→→BB|＋|AA→→CC|＝A→D， ∴O→P＝O→A＋λ(|AA→→BB|＋|AA→→CC|)＝O→A＋λA→D，
第五章 专题研究
高考调研
高三数学（新课标版·理）
∴A→P＝λA→D，∵λ>0， ∴点 P 的轨迹为射线 AD(不包括端点 A)， ∴点 P 的轨迹经过△ABC 的内心．
高考调研
高三数学（新课标版·理）
2019届高考一轮数学复习理科课件（人教版）
第五章 平面向量与复数
第五章 平面向量与复数
高考调研
高三数学（新课标版·理）
专题研究 平面向量的综合应用
第五章 专题研究
高考调研
高三数学（新课标版·理）
第五章 专题研究
高考调研
高三数学（新课标版·理）
题型一 向量在平面几何中的应用
探究 1 用向量法解决几何问题时，先用向量表示相 应的点、线段、夹角等几何元素，常通过平面向量基本定 理、加、减法运算，向量坐标法进行转化，然后通过向量 运算研究关系．
第五章 专题研究
高考调研
高三数学（新课标版·理）
思考题 1 已知|O→A|＝1，|O→B|＝ 3，O→A·O→B＝0，点 C 在∠AOB 内，且∠AOC＝30°.设O→C＝mO→A＋nO→B(m，n∈ R)，则mn ＝________.
C．外心
D．重心
第五章 专题研究
高考调研
高三数学（新课标版·理）
【解析】 令 λ＝0，则O→P＝13(O→A＋O→B＋O→C)，P 为 重心，故选 D.
【答案】 D
第五章 专题研究
高考调研
高三数学（新课标版·理）
探究 2 利用三角形中与向量相关的常见结论来命 制考题，突出了向量在研究平面几何问题中的工具性．常 见的结论有：在△ABC 中，A→B＋B→C＋C→A＝0；若 D 为 BC 边的中点，则A→D＝12(A→B＋A→C)；若 G 是△ABC 的重心， 则G→A＋G→B＋G→C＝0；若 O 是△ABC 的内心，则 aO→A＋bO→B ＋cO→C＝0 等．
第五章 专题研究
高考调研
高三数学（新课标版·理）
∴A→P＝λA→D，∵λ>0， ∴点 P 的轨迹为射线 AD(不包括端点 A)， ∴点 P 的轨迹经过△ABC 的内心．
高考调研
高三数学（新课标版·理）
2019届高考一轮数学复习理科课件（人教版）
第五章 平面向量与复数
第五章 平面向量与复数
高考调研
高三数学（新课标版·理）
专题研究 平面向量的综合应用
第五章 专题研究
高考调研
高三数学（新课标版·理）
第五章 专题研究
高考调研
高三数学（新课标版·理）
题型一 向量在平面几何中的应用
探究 1 用向量法解决几何问题时，先用向量表示相 应的点、线段、夹角等几何元素，常通过平面向量基本定 理、加、减法运算，向量坐标法进行转化，然后通过向量 运算研究关系．
第五章 专题研究
高考调研
高三数学（新课标版·理）
思考题 1 已知|O→A|＝1，|O→B|＝ 3，O→A·O→B＝0，点 C 在∠AOB 内，且∠AOC＝30°.设O→C＝mO→A＋nO→B(m，n∈ R)，则mn ＝________.
C．外心
D．重心
第五章 专题研究
高考调研
高三数学（新课标版·理）
【解析】 令 λ＝0，则O→P＝13(O→A＋O→B＋O→C)，P 为 重心，故选 D.
【答案】 D
第五章 专题研究
高考调研
高三数学（新课标版·理）
探究 2 利用三角形中与向量相关的常见结论来命 制考题，突出了向量在研究平面几何问题中的工具性．常 见的结论有：在△ABC 中，A→B＋B→C＋C→A＝0；若 D 为 BC 边的中点，则A→D＝12(A→B＋A→C)；若 G 是△ABC 的重心， 则G→A＋G→B＋G→C＝0；若 O 是△ABC 的内心，则 aO→A＋bO→B ＋cO→C＝0 等．