3.1空间向量及其运算导学案
高二数学(新课标人教A版)选修2-1《3.1空间向量及其运算(练习)》导学案
学习评价
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1．直三棱柱 ABC —A 1B1C1 中，若 CA a ， CB b ， CC1 c ， 则 A1B （
.
(2) 当 λ＞ 0 时， λa 与 A.
；
当 λ＜0 时， λa 与 A.
；
当 λ＝0 时， λa＝
.
4. 向量加法和数乘向量运算律 ：
交换律： a＋ b＝
结合律： (a＋ b)＋ c＝
数乘分配律： λ(a＋ b)＝
5.① 表示空间向量的
所在的直线互相
或
，则这些向量叫 共
线向量， 也叫 平行向量 .
，r 有 b
.
8. 单位正交分解： 如果空间一个基底的三个基向量互相 做单位正交基底，通常用｛ i,j,k｝表示 .
，长度都为 ，则这个基底叫
9.空间向量的坐标表示 ：给定一个空间直角坐标系 O-xyz 和向量r a，r且设r i、 jr、 k 为 x 轴、 y
轴、 z 轴正方向的单位向量，则存在有序实数组 { x, y, z} ，使得 a xi y j zk ，则称有序实
确命题的个数为（
）
A ．0
B. 1 C. 2
D. 3
uuuur uuuur uuuur
2．在平行六面体 ABCD － A 1B 1C1D 1 中，向量 D1 A 、 D1 C 、 A1C1 是（
）
A ．有相同起点的向量
B ．等长向量
C ．共面向量
高二数学选修2-1§3.1.1空间向量及其加减运算导学案
§3.1.1 空间向量及其加减运算10分钟阅读教材84~85页，并完成本学案 班级： 姓名：一、学法指导结合平面向量的相关性质，类比学习空间向量的概念与运算。
通过对空间向量的学习进一步体会数形结合的思想。
二、知识要点1.空间向量的概念（1）空间向量的定义在空间，把具有 和 的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的 或 .（2）空间向量及其模的表示方法 空间向量用有向线段表示，有向线段的 表示向量的模。
如图，a 的起点是A ，终点是B ，则a 也可记作 ，其模记为 或 . （3）特殊向量 零向量：规定长度为0的向量叫做 ，记为 .其方向 . 单位向量： 的向量叫做单位向量. 相反向量：与向量a 长度 而方向 的向量，记为 .相等向量：长度 而方向 的向量称为相等向量， 且 的有向线段表示同一向量或相等向量.2.空间向量的加法、减法类似平面向量（三角形法则、平行四边形法则、多边形法则），定义空间向量的加减法运算：OB OA OC =+= ；CA OA OC =-= ；3.空间向量加法的运算律（1）交换律 a b += ；（2）结合律 ()a b c ++= ；三、 典型例题例1.下列说法中错误的是 ．①单位向量都相等；②任一向量与它的相反向量不相等；③零向量没有方向；④若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；⑤若a b =，则a 与b 的长度相等，方向相同或相反；⑥若,a b b c ==，则a c =；⑦若,,,A B C D 是不共线的四点，则AB CD =是四边形ABCD 是平行四边形的充要条件.例2. 如图所示，在长、宽、高分别为3,2,1AB AD AA '===的长方体ABCD A B C D ''''-且以八个顶点的两个为始点和终点的向量中：①单位向量共有多少个，分别是哪些？②试写出模为5的所有向量；③试写出与AB 相等的所有向量；④试写出AA '的相等向量；⑤化简DA DB B C B B A B A B '''''-+-+-.例3.请完成下面的选填题(1)在正方体1111D C B A ABCD -中，点E 为上底面11C A 的中心， 若z y x ++=1，则z y x ,,的值分别是 . B a =++++-n n A A A A A A A A 1433221(2)直三棱柱111C B A ABC -中，若CC ===1,,，则1A B = ( )A ．c b a -+B ．c b a +-C ．c b a ++-D ．c b a -+-(3)在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，E 为PD 中点，若===,,，则=（ ） A.c b a 212121+- B.c b a 212121-- C.212321+- D.232121+- (4)已知空间四边形OABC ，其对角线为AC OB ,，N M ,分别是BC OA ,边的中点，点G 在线段MN 上，且使GN MG 2=，用向量,,表示向量是 （ ） A.OC OB OA OG 313161++= B.OC OB OA OG 323161++= C.3232++= D.323221++= 例4.若点G 是ABC ∆的重心，求证0GA GB GC ++=．变式：如图所示，在四边形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，求证)(21+=．。
选修2-1第三章_空间向量与立体几何_导学案-推荐下载
2014 年理科选修 2-1◆高二
第三章 空间向量与立体几何 月 日
班级： 姓名：
⑴ AB BC CA ; ⑶ AB AC BD CD;
⑵ AB MB BO OM ; ⑷ OA OD DC .
⑵；AB AD AA'
⑶ AB
AD
1
CC '
2
⑷．1 (AB
AD
AA' )
2
二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一：空间向量的相关概念 问题： 什么叫空间向量？空间向量中有零向量，
单位向量，相等向量吗？空间向量如何表示？
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线0产中不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资22负料，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看2与全22过，22度并22工且22作尽2下可护1都能关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编5试技写、卷术重电保交要气护底设设装。备备4置管高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并3技试资件且、术卷料拒管中试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
高中数学 3.1空间向量及其运算学案苏教版选修2-1(2)
3.1.1空间向量及其线性运算一、学习目标：1．运用类比方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程；2．了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质；3．理解空间向量共线的充要条件重点难点：1 空间向量的概念、空间向量的线性运算及其性质；2 空间向量的线性运算及其性质。
二、课前自学回顾平面向量的概念及其运算法则；平面向量共线定理 1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量.注：⑴ 空间的一个平移就是一个向量；⑵ 向量一般用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量； ⑶ 空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示.2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图）b a +=+=b a -=-= )(R a OP ∈=λλ运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++ ⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)(3．共线向量与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或 重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量.a 平行于b 记作b a //.1/B 规定：当我们说向量a、b共线（或a//b）时，表示a、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线.4．共线向量定理：三、问题探究例1、如图，在三棱柱111CBAABC-中，M是1BB的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：（1）1BA+；（2）121AACBAC++；（3）AA--1例2、如图，在长方体///BDCAOADB-中，1,2,4,3======OKOJOIOCOBOA，点E,F分别是//,BDDB的中点，设kOKjOJiOI===,,，试用向量kji,,表示和四、反馈小结课本83页练习1－6小结：3.1.2 共面向量定理一、学习目标：1．了解共面向量的含义，理解共面向量定理；2．利用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题重点难点：1 共面向量的含义，理解共面向量定理；2 利用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题。
空间向量及其运算(一)导学案
空间向量及其运算(一)导学案【学习目的】：1．理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘运算2．用空间向量的运算意义和运算律解决立几问题【学习重点】：空间向量的加法、减法和数乘运算及运算律【学习过程】： 一、内容分析：本小节首先把平面向量及其线性运算推广到空间向量现在研究的范围已由平面扩大到空间一个向量已是空间的一个平移，两个不平行向量确定的平面已不是一个平面，而是互相平行的平行平面集，要在空间上一步步地验证运算法则和运算律这样做，一方面复习了平面向量、学习了空间向量，另一方面可加深空间观念当我们把平面向量推广到空间向量后，很自然地要认识空间向量的两个最基本的子空间：共线向量和共面向量把平行向量基本定理和平面向量基本定理推广到空间推出空间直线和平面的向量表达式有了这两个表达式，我们就可以很方便地使用向量工具解决空间的共线和共面问题二、先让我们复习一下以前学过的平面向量的知识：向量的概念(1)向量的基本要素：大小和方向(2)向量的表示：几何表示法 AB ，a ；坐标表示法),(y x yj xi a =+=(3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a｜(4)特殊的向量：零向量a ＝0 ⇔｜a｜＝0单位向量0a 为单位向量⇔｜0a｜＝1(5)相等的向量：大小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x =⎩⎨⎧==⇔2121y y x x(6)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积。
重要定理、公式：(1)平面向量基本定理21,e e是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数21,λλ，使2211e e aλλ+=(2)两个向量平行的充要条件 a ∥b ⇔a＝λb ⇔01221=-y x y x(3)两个向量垂直的充要条件 a ⊥b ⇔a·b ＝O ⇔02121=+y y x x(4)线段的中点坐标公式： OP ＝21（1OP ＋2OP ）或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.2,22121y y y x x x三、讲解新课：1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量注：⑴空间的一个平移就是一个向量⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图）b a AB OA OB +=+= b a OB OA BA-=-=)(R a OP ∈=λλ运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(3．共线向量：(1)．共线（平行）向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。
(新课程)高中数学《3.1.1空间向量及其运算》导学案 新人教a版选修2-1
§3.1.1空间向量及其运算1. 理解空间向量的概念，掌握其表示方法；2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．8486复习1：平面向量基本概念：具有 和 的量叫向量， 叫向量的模（或长度）； 叫零向量，记着 ； 叫单位向量. 叫相反向量， a 的相反向量记着 . 叫相等向量. 向量的表示方法有 ， ，和 共三种方法.复习2：平面向量有加减以及数乘向量运算：1. 向量的加法和减法的运算法则有 法则 和 法则.2. 实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个 量，记作 ，其长度和方向规定如下：(1)|λa |＝ .(2)当λ＞0时，λa 与A. ；当λ＜0时，λa 与A. ；当λ＝0时，λa ＝ .3. 向量加法和数乘向量，以下运算律成立吗？加法交换律：a ＋b ＝b ＋a加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ）数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb二、新课导学※ 学习探究探究任务一：空间向量的相关概念问题： 什么叫空间向量？空间向量中有零向量，单位向量，相等向量吗？空间向量如何表示？新知：空间向量的加法和减法运算：空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，变为两个平面向量的加法和减法运算，例如右图中， OB = ， AB = ，试试：1. 分别用平行四边形法则和三角形法则求,.a b a b +- a .2. 点C 在线段AB 上，且52AC CB =,则 AC = AB , BC = AB .反思：空间向量加法与数乘向量有如下运算律吗？⑴加法交换律：A. + B. = B. + a ；⑵加法结合律：(A. + b ) + C. =A. + (B. + c )；⑶数乘分配律：λ(A. + b ) =λA. +λb ．※ 典型例题例1 已知平行六面体''''ABCD A B C D -（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量： AB BC + ⑴；'AB AD AA ++ ⑵；1'2AB AD CC ++ ⑶ 1(')2AB AD AA ++ ⑷．变式：在上图中，用',,AB AD AA 表示'',AC BD 和'DB .小结：空间向量加法的运算要注意：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量．例2 化简下列各式： ⑴ AB BC CA ++ ; ⑵;AB MB BO OM +++ ⑶;AB AC BD CD -+- ⑷ OA OD DC -- .变式：化简下列各式： ⑸ OA OC BO CO +++ ; ⑹ AB AD DC -- ; ⑺ NQ QP MN MP ++- .小结：化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，遇到减法既可转化成加法，也可按减法法则进行运算，加法和减法可以转化.※ 动手试试练1. 已知平行六面体''''ABCD A B C D -, M 为A 1C 1与B 1D 1的交点，化简下列表达式： ⑴ 111AA A B + ; ⑵ 11111122A B A D + ; ⑶ 111111122AA A B A D ++ ⑷ 1111AB BC CC C A A A ++++ .三、总结提升※ 学习小结1. 空间向量基本概念；2. 空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律※ 知识拓展平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移.）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 下列说法中正确的是（ ） A. 若∣a ∣=∣b ∣，则a ，b 的长度相同，方向相反或相同; B. 若a 与b 是相反向量，则∣a ∣=∣b ∣;C. 空间向量的减法满足结合律;D. 在四边形ABCD 中，一定有AB AD AC += . 2. 长方体''''ABCD A B C D -中，化简'''''AA A B A D ++ =3. 已知向量a ，b 是两个非零向量，00,a b 是与a ，b 同方向的单位向量，那么下列各式正确的是（ ） A. 00a b = B. 00a b = 或00a b =- C. 01a = D. ∣0a ∣=∣0b ∣ 4. 在四边形ABCD 中，若AC AB AD =+ ,则四边形是（ ）A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 平行四边形5. 下列说法正确的是（ ）A. 零向量没有方向B. 空间向量不可以平行移动C. 如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等D. 同向且等长的有向线段表示同一向量1. 在三棱柱中，M,N 分别为BC ,B'C'的中点，化简下列式子： ⑴ AM + BN ⑵'A N －'MC + 'BB2. 如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，点M 为AC 与的BD 的交点，AB a = ，AD b = ，1A A c = ， 则下列向量中与1B M 相等的是（ ）A. 1122a b c -++ B. 1122a b c ++ C. 1122a b c -+ D. 1122a b c --+。
选修2-1第三章空间向量及其运算(精品课程导学案).
§3.1.1空间向量及其加减运算班级：高二( )班 姓名： 学号：三维目标：知识与技能：理解空间向量及其相关概念；理解空间向量加减法的含义。
过程与方法：会判断两向量是否相等，是否相反；会对两向量进行加减运算。
情感与价值观：通过学习，体会空间向量与平面向量的异同, 学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物.学习重难点：重点：空间向量加减法难点：空间向量与平面向量的不同点 学习过程： 【课前热身】1．作出平面向量-+及向量。
归纳：向量加法：首尾相连，由始至终；向量减法：起点重合，终点反向。
2．填空：=++ ； =+- ；=++ ； 【探索新知】学点一：空间向量的有关概念与平面向量一样，在空间，把具有 和 的量叫做空间向量。
空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的 ，向量表示起点是 ，终点是 。
||表示向量的 规定，长度为0的向量叫做 ，记为 。
模为1的向量称为 。
称为a 的相反向量，记为 称为相等向量。
注意：空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量。
即任意两个空间向量共面。
学点二：空间向量的加减法与平面向量加减法类似，即AB OA += ；-= 。
与平面向量加法类似，空间向量的加法也满足交换律及结合律，即：， 【示例点拨】例１. 已知平行六面体''''D C B A ABCD -．写出分别与向量',,AA AD AB 相等的向量．ab ab D 'A 'B 'C 'D试一试１.在上面这个平行六面体中，写出分别与向量',,AA AD AB 相反的向量例２. 已知平行六面体''''D C B A ABCD -，以图中一对顶点构造向量，使它们分别等于： （1）'C B +； （2）'A -； （3）'++；试一试２.在四面体ABCD 中，DA BC CD AB +++= ，BC DC AB +-= 。
《空间向量及其加减运算〉导学案
3.1.1空间向量及其加减运算教学目标：理解空间向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量加法、减法它们的运算律；能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．教学重点：空间向量的加减运算及运算律．教学难点：由平面向量类比学习空间向量．教学过程：一、复习引入：_______________________________________________________________________;:(2)空间任意两个向量是否可能异面→讨论：相等向量同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．→讨论：空间任意两个向量是否共面2. 空间向量的加法、减法的定义与平面向量的运算一样：…OB →＝OA →＋AB →＝________；AB OB OA =-＝________.（指向被减向量）， 思考:（1）首尾相接的若干向量之和，等于由 起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．（如右图所示）：12231________;n nA A A A A A！$⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即： 12233411______;n n n A A A A A A A A A A -+++++=；3. 空间向量的加法的运算律．⑴加法交换律：a +b r = b + a； \⑵加法结合律：(a + b ) + =a + (b+ c )； 典例精析：例1如图所示，在长、宽、高分别为AB ＝3，AD ＝2，AA1＝1的长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中．(1)单位向量共有多少个(2)试写出模为5的所有向量． (3)试写出与AB →相等的所有向量．(4)试写出AA1→的相反向量． 解析：…规律总结：(1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件．(2)熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法的运算法则及向量加法的运算律是解决好这类问题的关键．变式1：下列说法中正确的是( )A ．若|a|＝|b|，则a ，b 的长度相同，方向相同或相反'B ．若向量a 是向量b 的相反向量，则|a|＝|b|C ．空间向量的减法满足结合律D ．在四边形ABCD 中，一定有AB →＋AD →＝AC →例2空间向量的加减运算如图，已知平行六面体ABCDA′B′C′D′，化简下列表达式． (1)AB →＋BB′→－D′A′--→＋D′D --→－BC →；(2)AC′→－AC →＋AD →－AA′→.解析：/规律总结：(1)掌握好向量加减法的三角形法则是解决这类问题的关键，灵活应用相反向量及两向量和、差，可使这类题迅速获解，另外需注意零向量的书写要规范．(2)利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果．…变式2．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若CA→＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B -→＝________.课堂小结：1.空间向量的加法符合交换律，结合律.2.平面向量与空间向量. 空间任意两个向量都可平移到同一个平面内，成为同一平面内的向量.因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们.巩固提升：1.下列说法中正确的是( ) 《A ．若|a |＝|b |，则a 、b 的长度相同，方向相同或相反B ．若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |C ．空间向量的减法满足结合律D.在四边形ABCD 中，一定有AB +AD =AC 2．判断下列说法是否正确：（1）零向量没有方向 ( )(2)零向量的方向不确定，所以任何两个零向量不相等 （ ） （3）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量（ ） ：（4）相等的向量，若起点不同，则终点一定不同 （ ）(5)对于空间任意两个向量，它们可能共面，也可能异面 （ ）3. 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，向量表达式1DD AB BC -+化简后的结果是（ ） A. 1BD B.1D B C ．1B D D.1DB4. 如图所示 a ，b 是两个空间向量，则AC 与A ′C ′→与A ′C ′→是________向量，AB →与B ′A ′→是________向量．空间向量及其加减运算:制作：王志刚 审核：贾秋福学习目标1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 复习引入讲授新课：1．空间向量的数乘运算 (1) 数乘向量： 结果 实数λ与空间向量a 的乘积是一个_____ λ的范围 方向关系 模的关系λ>0 】方向_____λa 的模是a 的模的_______ λ=0 λa=0,其方向是任意的 λ<0方向_____(2)运算律:①分配律:λ(a+b)=________; ②结合律:λ(μa)=________. 2．空间向量的共线问题：空间任意两个向量有几种位置关系如何判定它们的位置关系新知：（1）空间向量的共线：如果表示空间向量的 所在的直线互相 或 ，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量.(2) 空间向量共线： ,定理：对空间任意两个向量,a b （0b ≠）， //a b 的充要条件是存在唯一实数λ，使得推论：如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是》试试：已知5,28,AB a b BC a b =+=-+ ()3CD a b =- ，求证: A,B,C 三点共线.反思：充分理解两个向量,a b 共线向量的充要条件中的0b ≠，注意零向量与任何向量共线. 3.空间向量的共面问题：空间任意两个向量不共线的两个向量,a b 有怎样的位置关系空间三个向量又有怎样的位置关系[新知：(1)共面向量：同一平面的向量.(2). 空间向量共面：定理：对空间两个不共线向量,a b，向量p与向量,a b共面的充要条件是存在，使得.推论：空间一点P与不在同一直线上的三点A,B,C共面的充要条件是：⑴存在，使⑵对空间任意一点O，有$￥试试：若空间任意一点O和不共线的三点A,B,C满足关系式111236OP OA OB OC=++,则点P与A,B,C共面吗/反思：若空间任意一点O和不共线的三点A,B,C满足关系式OP xOA yOB zOC=++,且点P与A,B,C共面，则x y z++=.典例精析：例1：化简：1．（1）5（32a b-）+4（23b a-）；⑵()()63a b c a b c-+--+-.-2．(2014·上海高二检测)已知正方体ABCD-A′B′C′D′中,点E是A′C′的中点,点F是AE的三等分点,且AF=EF,则等于()11A.AA AB AD22111B.AA AB AD222111C.AA AB AD266111D.AA AB AD366''''＋＋＋＋＋＋＋＋解析：【变式1：如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若A1B1→＝a，A1D1→＝b，A1A→＝c，则下列向量中与B1M→相等的向量是()A．－12a＋12b＋c B.12a＋12b＋c C.12a－12b＋c D．－12a－12b＋c ,.2ABCD AC O OA OB OC OD 例 如，已知平行四形，平面外一作射，，，，在四射上图边过点线条线、变式2：已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外任一点，若由OP →＝15OA →＋23OB →＋λOC →确定的一点P 与A ，B ，C 三点共面，则λ＝__________.课堂小结：1。
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3.1空间向量及其运算
3.1.1空间向量及其加减运算 3.1.2空间向量的数乘运算
【知识点一】 空间向量及其加减运算
1.几类特殊向量: 零向量 单位向量 相反向量 相等向量
2.空间向量的加、减运算:
3.空间向量加法的运算律:(1)交换律 (2)结合律 探究1.下列说法中正确的是( )
A ．若|a |＝|b |，则a ，b 为相等向量
B ．若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |
C ．空间向量的减法满足结合律
D ．在四边形ABCD 中，一定有＋＝AC
【知识点二】 空间向量的数乘运算
1.数乘运算的定义
2.运算律：(1)分配律：=+)(λ (2)结合律()
=μλ
【知识点三】 共线向量
1.共线向量的定义
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相______或_______,则这些向量叫作共线向量或平行向量.0与任意向量都是共线向量.
2.空间向量共线的充要条件 对空间任意两个向量)b (b ,a 0≠，b //a 的充要条件是存在实数λ，使得______________.
3.点P 在直线l 上的充要条件
如图所示，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，对空间任意一点O,点P 在直线l 上的充要条件是：存在实数t ，使t +=①，
其中向量a 叫作直线l 的______向量.
在l 上取a AB =，则①式可化为AB t OA OP +=②
②式即为B ,A ,P 三点共线的充要条件.
【知识点四】 共面向量
1.共面向量的定义：平行于同一个平面的向量，叫作_______________. 空间任意两个向量总是_______的，但空间任意三个向量_____________.
2.共面向量定理 如果两个向量b ,a 不共线，那么向量与向量b ,a 共面的充要条件是存在唯一有序数对)y ,x (，使_________________.
探究 2.已知空间任意一点O 和不共线的三点A,B,C 满足关系式
z y x ++=（其中1=++z y x ）
，判断P 与A,B,C 是否共面？
例1.(1)下列关于空间向量的说法中正确的是( )
A ．若向量a ，b 平行，则a ，b 所在直线平行
B ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等而方向相同或相反
C ．若向量,，满足|A |>||，则>
D ．若两个非零向量CD ,AB 满足0=+CD AB ,则CD //AB
(2)给出下列命题：①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆；②若空间向量a ，b 满足|a|＝|b|，则a ＝b ；③在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，必有11C A AC =；④若空间向量m ，n ，p
满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中假命题的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
首尾相接的若干向量之和等于由_______向量的起点指向________向量的终点的向量;若首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则这些向量的和为______.
例2.如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为1AC 的共有( ) ①;CC )(1++ ②;C D )D A AA (11111++ ③;C B )BB AB (111++ ④;C B )B A AA (11111++
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 例3.已知A 是△BCD 所在平面外的一点，G 是△BC D 的重心，求证：)(++=3
1
【变式】如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．
(1)化简：_______AD AB O A =--21211；
(2)用1AA ,,表示1OC ，则1OC ＝
________________．
例4.已知空间向量a ，b ，且＝a ＋2b ，BC ＝－5a ＋6b ，CD ＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )
A ．A ，
B ，D B ．A ，B ，
C C ．B ，C ，
D D ．A ，C ，D
【变式】若非零空间向量e 1，e 2不共线，则使2ke 1－e 2与e 1＋2(k ＋1)e 2共线的k 的值为________．
例5.已知斜三棱柱ABC-A ′B ′C ′，设＝a ，＝b ，'AA ＝c ，在面对角线AC ′和棱BC 上分别取点M ，N 使AM ＝k 'AC ，BN ＝k BC (0≤k ≤1)，求证：与向量a 和c 共面．。