实际问题与二次函数(二)

解：第一种情况:设每件涨价为x元时获得的总 利润为y元. y =(60-40+x)(300-10x) (0≤x≤30) =(20+x)(300-10x) =-10x2+100x+6000 当x=5时， y的最大值是6250. 2 =-10(x -10x ) +6000 2-25 ］+ 现应定价 :60+5=65 （元） =-10［(x-5) 6000 =-10(x-5)2+6250
即定价为65元时利润最大,最大值为6250元.
第二种情况：设每件降价x元时的总利润为y元 . =(60-40-x)(300+20x) y
=(20-x)(300+20x) =-20x2+100x+6000 当x=2.5时， y最大为6125. 2 =-20（x -5x-300） 所以定价为60-2.5=57.5 元时利润最大,最大值为6125元. 2 =-20(x-2.5) +6125 （0≤x≤20） 答:综合以上两种情况，定价为65元时可获得最大 利润为6250元.
探究二次函数利润问题
（1） 题目中有几种调整价格的方法？ （2） 题目涉及哪些变量？哪一个量是自变量？哪 些量随之发生了变化？哪个量是函数？ （3） 当每件涨 1 元时，售价是多少？每星期销量 是多少？成本是多少？销售额是多少？利润呢？ （4） 最多能涨多少钱呢？ （5） 当每件涨 x 元时，售价是多少？每星期销量 是多少？成本是多少？销售额是多少？利润 y 呢？
复习二次函数解决实际问题的方法
问题1 解决上节课所讲的实际问题时，你用到 了什么知识？所用知识在解决生活中问题时 ，还应注意哪些问题？
复习二次函数解决实际问题的方法
1．由于抛物线 y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高）
b 点，当 x 时，二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小 2a 2 4ac b ． （大） 值 每件40元。现在的售 价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调 查反映：如调整价格 ，每涨价一元，每星期要 少卖出10件；每降价一元，每星期可多卖出20 件。如何定价才能使利润最大？ 在上题中 , 若商场规定试销期间获利不得低于 40% 又不得高于 60% ，则销售单价定为多少时 ，商场可获得最大利润？最大利润是多少？
问题3： x = 5 是在自变量取值范围内吗？那么 怎样定价可获最大利润？ 如果计算出的 x 不在 自变量取值范围内，怎么办？
探究二次函数利润问题
问题4 ：在降价情况下，最大利润是多少？请你参 考上述的讨论，自己得出答案．
（1） x = 2.5 是在自变量取值范围内吗？ （2）由上面的讨论及现在的销售情况， 你知道应 如何定价能使利润最大了吗？
（3）根据题意，得：
) 10000 40(10x 1000 2 10( x 70) 9000 8000
解，得：x 80
即满足条件的单价应定为80元。
小结
（1）这节课学习了用什么知识解决哪 类问题？ （2）解决问题的一般步骤是什么？应 注意哪些问题？ （3）你学到了哪些思考问题的方法？
第二种情况：设每件降价x元时的总利润为y元 . y=(60-40-x)(300+20x) 怎样确定x =(20-x)(300+20x) 的取值范围 =-20x2+100x+6000 =-20（x2-5x-300） =-20（x-2.5）2+6125 （0≤x≤4） 当x=2.5时，y最大为6125. 所以定价为60-2.5=57.5元时利润最大,最大值为 6125元.
2
产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利 润为225元。
牛刀小试
某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销 售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会 导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20 件.售价提高多少元时,才能在半个月内获得最大利润?
解：（1）y=500-（x-50）×10 即y=-10x+1000（50≤x≤100）
(2)S ( x 40)(10x 1000 )
10( x 70) 9000（50≤x≤100）
2
∴当50≤x≤70时，S随着x的增大而增大。 即当单价在50到70之间变化时，利润随着 单价的增大而增大。
解：设售价提高x元时，半月内获得的利润为y元.则 y=(x+30-20)(400-20x) =-20x2+200x+4000 =-20(x-5)2+4500 (0≤x≤20) ∴当x=5时，y最大 =4500 答：当售价提高5元时，半月内可获最大利润4500元
拓展延伸
某超市经销一种销售成本为每件 40 元的 商品．据市场调查分析，如果按每件50元销售 ，一周能售出500件；若销售单价每涨1元，每 周销量就减少10件．设销售单价为x元(x≥50) ，一周的销售量为y件． (1)写出y与x的函数关系式(标明x的取值范围) (2)设一周的销售利润为 S，写出 S与x的函数关 系式，并确定当单价在什么范围内变化时，利 润随着单价的增大而增大？ (3) 在超市对该种商品投入不超过 10000 元的 情况下，使得一周销售利润达到 8000 元，销 售单价应定为多少？
解：第一种情况:设每件涨价为x元时获得的总 利润为y元. y =(60-40+x)(300-10x)=(20+x)(300-10x) =-10x2+100x+6000 (0≤x≤4)
当x 4时， y最大 10 4 100 4 6000 6240
2
现应定价:60+4=64（元） 即定价为64元时利润最大,最大值为6240元.
4．课后反思，布置作业
教科书习题 22.3 第 2，8 题．
解:（1）设此一次函数解析式为 y kx b 。
15k b 25 解得：k=－1，b＝40。 则 20k b 20
所以一次函数解析为 y x 40 。 （2）设每件产品的销售价应定为 x 元，所获销售利润为 w 元。则
w x 10 x 40 x 2 50x 400 x 25 225
答:综合以上两种情况，定价为64元时可获得最大 利润为6240元.
变式二
某产品每件成本10元，试销阶段每件产品 的销售价 x（元）与产品的日销售量 y（件） 之间的关系如下表： 15 20 30 … x(元) 25 20 10 … y(件) 若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数 。 （1）求出日销售量 y（件）与销售价 x（元）的函数关系式； （2）要使每日的销售利润最大，每件产 品的销售价应定为多少元？此时每日销售利
y x )(30 10x x) 30 40(30 10 y (60 (60 40 )( 10 xx ))
探究二次函数利润问题
y 10 x 100 x 6 000（0≤x≤30）．
2
（6）这是一个什么函数？自变量取值范围是什么？ 这个函数有最大值吗？
b x2+100x+6000 2 y =-10 当x 5时，y 10 5 100 5 6000 6250 2a x-5)2+6250 =-10(
九年级
上册
22.3 实际问题与二次函数 （第2课时）
课件说明
• 二次函数是单变量最优化问题的数学模型，如生活中 涉及的求最大利润，最大面积等．这体现了数学的实 用性，是理论与实践结合的集中体现．本节课主要来 研究利润问题．
课件说明
• 学习目标： 能够分析和表示实际问题中，变量之间的二次函数关 系，并运用二次函数的顶点坐标求出实际问题的最大 （小）值． • 学习重点： 探究利用二次函数的最大值（或最小值）解决实际问 题的方法．
2．列出二次函数的解析式，并根据自变量的 实际意义，确定自变量的取值范围； 3．在自变量的取值范围内，求出二次函数的 最大值或最小值.
探究二次函数利润问题
问题2:某商品现在的售价为每件 60 元， 每星期可卖出300件．市场调查反映：如调 整价格，每涨价 1 元，每星期要少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件． 已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才 能使利润最大？