26.2 等可能情形下的概率计算
26.2等可能情形下的概率计算(一)
２6．２等可能情形下的概率计算（一）[教学目标]1．在具体情境中进一步理解概率的意义，体会概率是描述不确定现象的数学模型．2．进一步理解等可能事件的意义，会列出一些类型的随机试验的所有等可能结果(基本事件)，会把事件分解成等可能的结果(基本事件)．3．理解等可能条件下的概率(一)即古典概型的两个基本特征，掌握等可能条件下的概率(一)即古典概型的概率计算公式．4．会用列举法(包括列表、画树状图)计算一些随机事件所含的可能结果(基本事件)数及事件发生的概率．[教学过程(第一课时)]1．情境创设课本创设的问题情境，采用了从特殊到一般的思路：提出问题一思考交流一抽象概括一等可能条件下的概率(一)(即古典概型)．教学时，可多举几个随机试验，例如，掷一枚均匀的硬币、摸球、抽签等，通过分析，再抽象概括出等可能条件下的概率(一)(即古典概型)． 2．探索活动根据课本中列举的活动进行探索交流．教学时要注意突出等可能条件下的概率(一)(即古典概型)的两个基本特征——试验结果的有限性和等可能性．并不是所有的试验都是古典概型，一个试验是否为古典概型，关键在于这个试验是否具备古典概型的两个特征．例如，一射手射击打靶，“中靶”与“脱靶”一般不是等可能的．又如，从规格直径为100mm±0.2mm 的一批合格产品中任意抽测1件，其直径可能是从99.8mm到100.2mm之间的任何一个值，所有可能的结果有无穷多个．这两个试验都不是古典概型．根据教学的实际情况，可结合上面提供的素材提出问题供学生思考交流，从而进一步丰富对等可能条件下的概率(一)(即古典概型)的认识．3．例题教学课本安排了两个例题，应鼓励学生先尝试、思考，再研究讨论和计算．4．小结问题一等可能条件下的概率(一)即古典概型的两个基本特征是什么?问题二如何计算等可能条件下的概率(一)即古典概型中事件的概率?[教学过程(第二课时)]1．情境创设课本提供的情境是掷一枚硬币2次，可以继续追问“掷一枚硬币3次都是正面朝上的概率是多少?”．除课本提供的试验素材外，还可以创设更能引起学生兴趣和思考的游戏活动情境．例如，两人掷一枚均匀的骰子，一人一次．在做游戏之前，每人说一个数，如果抛掷的骰子两次朝上的点数之和恰与某人的一样，那么该人获胜．要想取得胜利，你会说哪个数?让学生切实感受到，树状图和列表格既形象又直观，可以帮助我们既不重复也不遗漏地列出所有可能的结果(基本事件)，从而计算古典概型中事件所含的可能结果(基本事件)数及事件发生的概率．2．探索活动根据课本中列举的活动进行探索交流．除课本提供的素材外，教师还可选择一些更能引起学生兴趣和思考的探索问题．例如，一辆汽车向东行驶(如图)．当汽车驶到十字路口时，它可以自由选择向左或向右或向前行驶，当通过第二个十字路口后，求下列事件发生的概率：(1)汽车向东行驶，(2)汽车向北行驶，(3)汽车向西或向北行驶，(4)汽车不向南行驶．又如，如图，一个树叉，一绿毛虫要去吃树叶．如果绿毛虫选择叉枝是等可能的，求下列事件发生的概率：(1)绿毛虫吃到树叶S；(2)绿毛虫吃到树叶了；(3)绿毛虫吃到树叶B．3．例题教学课本安排了两个例题，应鼓励学生先尝试、思考，再研究讨论和计算． 4．小结问题一如何用树状图列出所有可能的结果(基本事件)?举例说明；问题二如何用表格列出所有可能的结果(基本事件)?举例说明．。
26.2等可能情况下的概率计算课件ppt
3
3. 先后抛掷三枚均匀的硬币，至少出现一次
正面朝上的概率是（ 7 ）。
8
4. 有100张卡片（从1号到100号），从中任取1
张，取到的卡号是7的倍数的概率为（ 7 ）. 50
5. 一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编 有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球.
（1）共有多少种不同的结果？ 6 种
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月4日星期五2022/3/42022/3/42022/3/4 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/42022/3/42022/3/43/4/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/42022/3/4March 4, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/42022/3/42022/3/42022/3/4
0≤P(A) ≤1. 必然事件发生的概率是1，不可能事件发生的概率是0.
• 问题1 掷一枚硬币，落地后会出现几种结果？ 正反面向上，2种可能性相等
• 问题2 抛掷一个骰子，它落地时向上的数有几 种可能？ 6种等可能的结果
• 问题3 从分别标有1,2,3,4,5的5根纸签中随机抽 取一根，抽出的签上的标号有几种可能？ 5种等可能的结果。
还有10-3=7个地雷，
10个地雷，每个小方
由于3/8大于7/72，
格只有1个地雷，小王
所以第二步应踩B区，
开始随机踩一个小方
遇到地雷的概率为7/72。 格，标号为3，在3的
【素材一】26.2 等可能情形下的概率计算
怎样解概率的计算题随着课改的不断深入，统计与概率的思想越来越得到重视，在近两年课改实验区的中考试题中，概率计算题的比重逐渐增大。
计算概率常用到以下几种方法，现分类举例说明，供同学们复习时参考。
一、计算出所求事件占全部等可能事件的百分比，求得概率例1某校九年级（1）班50名学生中有20名团员，他们都积极报名参加学校开展的“文明劝导活动”. 根据要求,该班从团员中随机选取1名团员参加,则该班团员京京被抽到的概率是( )A ．501 B ．21 C ．201 D ．52 解析 因为该班共有20名团员，所以随机抽取1名团员就有20种等可能的结果,每个团员抽中的概率为201, 故团员京京被抽到的概率为201，应选C. 例2 在“妙手推推推”的游戏中，主持人出示了一个9位数258396417，让参与者猜商品价格,被猜的价格是一个4位数,也就是这个9位数中从左到右连在一起的某4个数字,如果参与者不知道商品的价格,从这些连在一起的所有4位数中,任意猜一个,求他猜中该商品价格的概率.解析 所有连在一起的4位数有: 2583,5839,8396,3964,9641,6417,共6个,商品的价格是其中的一个,由于参与者是随意猜的,因此,他一次猜中商品价格的概率是61.二、计算出所求事件中的面积占全部面积的百分比，求得概率例3 小明随机在如图所示的正三角形及其内部区域投针,则针扎到其内切圆(阴影)区域的概率是____.解析 设正三角形的边长为1,则正三角形的面积是43,而其内切圆的 半径为21×tan300=63,面积为12π. 所以针扎到其内切圆(阴影)区域的概率是12π÷43=93π. 三、画出树状图，求得概率例 4 甲、乙两超市(大型商场)同时开业,为了吸引顾客,都举行有奖酬宾活动: 凡购物满100元,均可得到一次摸奖的机会.在一个纸盒里装有2个红球和2个白球,除颜色外其他都相同,摸奖者一次从中摸出两个球,根据球的颜色决定送礼金券(在他们超市使用时,与人民币等值)的多少(如下表).甲超市:乙超市:(1)用树状图表示得到一次摸奖机会时中礼金券的所有情况.(2)如果只考虑中奖因素,你会选择去哪个超市购物?请说明理由.解析 (1)画树状图如下：开始第1个球 红 白第2个球 红 白 白 红 红 白(2)∵摸到两红球的概率是61,摸到两白球的概率是61,摸到一红球一白球的概率是64=32, ∴在甲商场获礼金券的平均收益是:61×5+32×10+61×5=325;在乙商场获礼金券的平均收益是:61×10+32×5+61×10=320. ∴我选择在甲超市购物. 说明: 树状图表示为如下形式且按此求解第(2)问,也正确.开始红1 红2 、 白1 白2红2 白1 白2 红1 白1 白2 红1红2白2 红1红2白1四、利用列表法,求得概率例5甲同学口袋中有三张卡片,分别写着数字1、1、2，乙同学口袋中也有三张卡片,分别写着数字1、2、2.两人各自从自己的口袋中随机摸出一张卡片,若两人摸出的卡片上的数字之和为偶数, 则甲胜; 否则乙胜.求甲胜的概率.解析 用列表法列举随机出现的所有情况.由表可知，和为偶数的结果有4种，∴P (甲胜)=94.例6 如果m 是从0, 1, 2, 3四个数中任取的一个数, n 是从0, 1, 2三个数中任取的一个数, 那么关于x 的一元二次方程x 2－2mx +n 2=0有实数根的概率为______. 解析 m 与n 的值列表如下:m 与n 的取值共有12种情况.关于x 的一元二次方程x 2－2mx +n 2=0有实数根的条件是=4m 2－4n 2≥0.∵m 、n 都是非负数，∴m ≥m 、n . 满足m ≥n 的有(0,0)、（1，0）、（1，1）、（2，0）、（2，1）、（2，2）、（3，0）、（3，1）、（3，2）九种情况.∴P (方程有实数根)=129=43.。
沪科版九年级下数学教案设计26.2 等可能情形下的概率计算
26.2等可能情形下的概率计算教学目标：1.在解决实际问题的过程中，体会随机的思想，进一步理解概率的意义。
2.学会用列举法找出随机事件的所有可能结果，并掌握“事件A 发生的概率是P（A ）=nm （在一次实验中，有n 种等可能的结果，其中使事件A 发生的结果有m （m ≤n ）种）求出简单问题的概率。
3.让学生在实际问题的解决过程中，体会概率在实际生活中的应用，培养用概率分析问题和解决问题的能力，感受数学与现实生活的联系。
教学重难点：教学重点：能够运用概率的定义求简单随机事件发生的概率，并阐明理由。
教学难点：对一次随机试验中基本结果的分析确定。
教学过程：一．复习引入师：上一节课，大家进入了第26章概率初步的学习，通过上一节课的学习我们知道什么是必然事件，不可能事件及随机事件？生：回顾作答师：事件我们一般用大写的字母A,B,C...表示，并且随机事件发生的可能性有大有小。
一般地，表示一个随机事件A 发生可能性大小的数叫做事件A 发生的概率，记作P(A).那么究竟如何求一个事件发生的概率呢？本节课我们就来研究（板书课题）26.2 等可能情形下的概率计算二．新知探究探究1：问题引发思考回答下列问题问题1：抛掷一枚均匀的硬币一次，向上一面有几种不同的可能结果？各种不同结果出现的可能性相等吗？问题2：抛掷一枚均匀的骰子一次，向上一面有几种不同的可能结果？各种不同结果出现的可能性相等吗？问题3：从一副没有大小王的扑克牌（共52张）中随机抽一张，有几种可能结果？这些结果出现的可能性相等吗？师：上述的抛硬币，掷骰子，抽纸牌的实验有哪些共同点？生思考交流得：（1）所有可能出现的结果都只有有限个（2）各种不同结果出现的可能性相等师：很好！对于具有上述特点的实验，我们可以通过列举出所有可能结果的方法具体分析后得到随机事件的概率例如（拿出实验的纸箱和工具）纸箱中有2个红球，1个黄球，1个绿球。
它们除颜色外，其余如材料，大小，质量均相同，从中任意抽出1个球，抽到红球的概率是多少？师生共同分析：抽出的一个球共有四种结果红（1），红（2），黄，绿。
九年级数学下册26.2等可能情形下的概率计算26.2.2等可能情形下的概率计算全国公开课一等奖百校联
6 (1,6) (2,6)
5 (1, 5) (1,4)
4 (1,3)
3 (1,2)
(2,5) (2,4) (2,3) (2,2)
2 (1,1) (2,1)
11
2
(3,6) (3,5) (3,4) (3,3)
(3,2) (3,1)
3
(4,6) (4,5) (4,4) (4,3)
(5,6) (5,5) (5,4) (5,3)
但满足两张牌数字之积为奇数(记为事件A)
有(1,1)(1,3)(1,5)(3,1)(3,3)(3,5)(5,1)(5,3)(5,5)
这9种情况,所以
9 1
总结经验:P(A)= 36 4
当一次试验要包括两个原因,而且可能出
现结果数目较多时,为了不重不漏地列
5/10
例2 同时搓两个质地均匀骰子,计算以下 事件概率: (1)两个骰子点数相同; (2)两个骰子点数和是9; (3)最少有一个骰子点数为2.
初中数学 九年级(下册)
26.2.2等可能情形下概率计算
1/10
复习引入
等可能性事件两个特征： 1.出现结果有有限个； 2.各结果发生可能性相等。 等可能性事件概率求法——列举法
2/10
例1小明和小亮做扑克游戏，桌面上放有两
堆牌,分别是红桃和黑桃1,2,3,4,5,6,小 明提议:”我从红桃中抽取一张牌,你从黑 桃中取一张,当两张牌数字之积为奇数 时，你得1分，为偶数我得1分,先得到 10分获胜”。假如你是小亮,你愿意接收 这个游戏规则吗?
9/10
用表格表示
第二次 第一次
1
2
3
4
5
6
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (,3) (2,4) (2,5) (2,6)
26.2 等可能情况下的概率计算
例3 、某班有1名男生、2名女生在校文艺演出中 获演唱奖，另有2名男生、2名女生获演奏奖。 从获演唱奖和演奏奖的学生中各任选一人去领奖， 求两人都是女生的概率。 解：设两名领奖学生都是女生的事件为A,两种 奖项各任选1人的结果用“树状图”来表示
31、32，哪个数被组成的可能性大些？ 答：这6种结果出现的可能性相等。
说明：
随机试验具有下述两个特征： ⑴ 有限性：只有有限个不同的基本事件； ⑵ 等可能性：每个基本事件出现的机会是等可能的。
二、等可能情形下的概率计算的定义：
在古典型的随机试验中，如果基本事
件的总数为n，而事件A包含m个基本事件，
事件A包含的基本事件是
（1,3）（2,3）（3,1）（3,2）（这里m＝4）。 故 P(A) =
4 9
当一次试验要涉及两个因素,并且可能出现的结果 数目较多时,为了不重不漏的列出所有可能的结果, 通常采用列表法. 列表法中表格构造特点:
一步实验所包含的可能情况
另一步 实验所 包含的 可能情 况
两步实验所组合的 所有可能情况,即n
则称为事件A发生的概率，记做
m P ( A) (m≤n) n
例1 先后抛掷两枚均匀的硬币，计算： ⑴ 两枚都出现的正面概率； ⑵ 一枚出现正面、一枚出现反面的概率。
解: 由分步计数原理，先后抛掷两枚硬币可能
出现的结果共有2×2=4（种），且这4种结果出
现的可能性都相等：
正正 正反 反正 反反
⑴
26.2 等可能情形下的 概率计算
教学目标
1. 理解等可能下的概率计算的概念；
2.掌握其计算方法和使用条件； 3.能解决一些简单问题。
26.2 等可能情形下的概率计算
2019年沪科版九年级下册数学教案26.2 等可能情形下的概率计算
有一个可自由转动的转盘,被分成了4个相同的扇形,分别标有数1,2,3,4(如图所示),另有一个不透明的口袋装有分别标有数0,1,3的三个小球(除数不同外,其余都相同),小亮转动一次转盘,停止后指针指向某一扇形,扇形内的数是小亮的幸运数,小红任意摸出一个小球,小球上的数是小红的吉祥数,然后计算这两个数的积.
小亮与小红做游戏,规则是:若这两个数的积为奇数,小亮赢;否则,小红赢.你认为该游戏公平吗?为什么?如果不公平,请你修改该游戏规则,使游戏公平.
所以,积为奇数的概率为P 1=412=13,积为偶数的概率为P 2=812=2
3. 因为13
≠23
,所以,该游戏不公平. 我们可以画图进行分析:
由图可知,积为奇数的有4种,积为偶数的有8种.
所以,积为奇数的概率为P 1=412=1
3,积为偶数的概率为P 2=812=2
3. 因为1
3≠2
3,所以,该游戏不公平.
然后,引导学生对所画图形进行观察:若将图形倒置,你会联想到什么?这个图形很像一棵树,所以称为树状图(在幻灯片上放映).列表和树状图是列举法求概率的两种常用的方法. 进一步提出问题:如何修改游戏规则才能公平?
学生活动:分小组探讨,然后小组之间交流意见,并说明理由. 教师引导:若这两个数的积为0,则小亮赢;积为奇数,则小红赢. 【教师指导】 归纳小结:
谈一谈你的收获或困惑 (1)列表法; (2)画树状图.
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
26.2 等可能情形下的概率计算
m=3,
P 3 1 93
答:小明与小慧同车的概率是 1 .
3
如图,转盘的白色扇形和红色扇形的圆心角 分别为120°和240°.让转盘自由转动2次, 求指针一次落在白色区域,另一次落在红色 区域的概率.
解:把红色扇形划分成两个圆心角
都是120°的扇形(如图), 分别为红Ⅰ,红Ⅱ.让转盘自由转动2次, 所有可能的结果如图所示, 且各种结果发生的可能性相同.
遇到地雷的概率为7/72，
例3：如图：计
算机扫雷游戏，在 9×9个小方格中， 随机埋藏着10个地 雷，每个小方格只 有1个地雷，，小王 开始随机踩一个小 方格，标号为3，在 3的周围的正方形中 有3个地雷，我们把 他的去域记为A区， A区外记为B区，， 下一步小王应该踩 在A区还是B区？
1．随机掷一枚均匀的硬币两次，两次正面都朝上的概 率是（ ）．
12 3
A1 A2 B1
A1
A2
B1
B2
A1
(A1,A2) (A1,B1) (A1,B2)
A2
(A2,A1)
(A2,B1) (A2,B2)
B1
（B1,A1）（B1,A2）
(B1,B2)
B2
（B2,A1）（B2,A2）（B2,B1）
用表格求所有可能结果时， 你可要特别谨慎哦
小结 拓展 回 味 无 穷
你能用树状图表示本题中事件发生 的不同结果吗?
用列表法也试试吧!
解:记这三辆车分别为甲、乙、丙,小明与小慧乘车的所有可能的 结果列表如下(各种结果发生的可能性相同)：
小慧选的车
甲
乙
丙
小明选的车
甲
甲,甲 甲,乙 甲,丙
乙
乙,甲 乙,乙 乙,丙
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故 P(A) =
4 2 ＝ ； 6 3
⑶ 试验中的所有基本事件是
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（1, 1）（1, 2）(1, 3) (2, 1) (2, 2) (2, 3) (3, 1) (3, 2) (3, 3)，(这里n＝9 事件A包含的基本事件是
（1,3）（2,3）（3,1）（3,2），（这里m＝4）。
故 P(A) =
4 。 9
六、课堂小结
等可能下的概率计算的计算过程大致分为四步： （1）判断是否符合古典型随机试验的条件； （2）确定ｎ；
（3）确定ｍ；
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m （4）计算 P ( A) n
。
倍 速 课 时 学 练
⑴ 试验中的所有基本事件是（1,2），（1,3），（2,3）（这里n＝3） 显然它们的发生是等可能的。 事件A包含的基本事件是（1,3），（2,3）（这里m＝2） 2 故 P(A)= ； 3
⑵ 试验中的所有基本事件是 （1, 2）（1, 3）（2, 1）（2, 3）（3, 1）（3, 2），（这里n＝6）。 显然它们的发生是等可能的。 事件A包含的基本事件是 （1, 3）（2, 3）（3, 1）（3, 2），（这里m＝4）。
m P ( A) n
⑴ 两枚都出现的正面概率；
例1 先后抛掷两枚均匀的硬币，计算：
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⑵ 一枚出现正面、一面出现反面的概率。
解：由分步计数原理，先后抛掷两枚硬币可能出现的结果共有2×2=4
（种），且这4种结果出现的可能性都相等：
正正 正反 反正 反反
⑴ 记“抛掷两枚硬币，都出现正面”为事件A，那么在上面4种结 1 果中，事件A包含的结果有1种，因此 P(A) = 。 4 1 答：正面都出现的概率是 4 。 ⑵ 记“抛掷两枚硬币，一枚出现正面、一枚出现反面”为事件B， P(B) = 4 = 那么事件B包含的结果有2种。因此 。 2 1 答：一枚出现正面、一枚出现反面的概率是 。 2 想一想：
26.2
等可能下的 概率计算
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倍 速 课 时 学 练
一、课 二、学 三、预 四、知 五、课 六、课
程 习 备 识 堂 堂
简 要 知 讲 练 小
介 求 识 解 习 结
一、课程简介
本节内容为“等可能下的概率计算”，教学设计 力求从具体实例出发，引入古典型随机试验的特征，从而 给出等可能下的概率计算的定义，并运用动画形式，将抽 倍 速 课 时 学 练 象的随机试验变得生动具体，提高学生的学习兴趣。
二、学习要求
1. 理解等可能下的概率计算的概念；
2.掌握其计算方法和使用条件； 3.能解决一些简单问题。 倍 速 课 时 学 练
三、预备知识
1. 分类计数原理
做一件事，完成它可以有ｎ类办法，在第一类办法中有ｍ1种不同的方
法，在第二类办法中有ｍ2种不同的方法，…，在第ｎ类办法中有ｍn种不
成这件事共有N＝ｍ1+ｍ2+…+ｍn种不同的方法。 2 . 分步计数原理
下的概率计算和基本事件概念不清。
例2
盒中装有3个外形相同的球，其中白球2个，黑球1个，从盒
中随机抽取2 个球，就下列三种不同的抽法，分别计算出其中一 个是白球，一个是黑球的概率。 ⑴ 一次从盒中抽取2个球； ⑵ 从盒中每次抽取1个球，抽后不放回，连续抽2次； ⑶ 从盒中每次抽取1个球，抽后放回去，连续抽2次。 解： 我们将球编号：白球－1，白球－2，黑球－3，并记“随机 抽取2个球，其中一个是白球，一个是黑球”为事件A。
同的方法。无论通过哪一类的哪一种方法，都可以完成这件事，那么完
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做一件事，完成它需要分成ｎ个步骤，做第一步有ｍ1种不同的方法
做第二步有ｍ2种不同的方法，…，做第ｎ步有ｍn种不同的方法。必须经 ｍn种不同的方法。
过每一个步骤，才能完成这件事，那么完成这件事共有N=ｍ1×ｍ2×…
3. 概率 一般地，在大量重复进行同一试验时，事件Ａ发生的频率 是接近于某个常数，在它附近摆动，我们称这个常数为事件Ａ发生的
m 总 n
概率。
4. 基本事件 不能再分解为更简单事件的事件叫做基本事件。
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四、知识讲解
一、引入
看下面几个随机试验： ⑴ 掷一枚均匀硬币，其结果只有两种可能，即“正面向上”和“反 面向上”，哪种结果出现的可能性大些？
答：这两种结果出现的可能性相等。
⑵ 有10个型号相同的杯子，其中一等品6个，二等品3个，三等品1个，
说明：
随机试验具有下述两个特征： ⑴ 有限性：只有有限个不同的基本事件；
倍 速 课 时 学 练
⑵ 等可能性：每个基本事件出现的机会是等可能的。
二、等可能下的概率计算的定义：
在古典型的随机试验中，如果基本事件的总数为n，而事件A包
含m个基本事(m≤n) ｍ m P(A)= n
倍 速 课 时 学 练
从中任取一个，那么10个杯子都可能被取到，即共有10种不同的结果，
哪个杯子被取到的可能性大些？ 答：每个杯子被取到的可能性相等。
⑶ 从1 , 2 , 3这三个数字中，取出两个组成没有重复数字的两位数， 其结果只有6种可能，即12、13、21、23、31、32，哪个数被组成的 可能性大些？ 答：这6种结果出现的可能性相等。
2
1
倍 速 课 时 学 练
如果说，先后抛掷两枚硬币，共出现“两正”、“两反”、“一正一反”等3种 1 1 1 结果，因此上面例题中两问结果都应该是 ，而不是 和 ，这种说法错在 3 2 4 哪里？ 答: 基本事件是不能再分解为更简单事件的事件，事件“一正一反”还可 以分解为“正、反”、“反、正”两个简单事件，上述说法错在对等可能