高考数学总复习 5-4 向量的应用及向量与其它知识但因为测试 新人教B版

高考数学总复习 5-4 向量的应用及向量与其它知识但因为测试新人教B 版1.(2011·唐山联考)已知c 、d 为非零向量，且c ＝a ＋b ，d ＝a －b ，则|a |＝|b |是c ⊥d 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 因为c ，d 为非零向量，所以c ⊥d ⇔c ·d ＝0⇔a 2－b 2＝0⇔|a |2－|b |2＝0⇔|a |＝|b |.因此，|a |＝|b |是c ⊥d 的充要条件，选C.2．(2011·成都市玉林中学期末)已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，在x 轴上有一点P ，使AP →·BP →有最小值，则P 点坐标为( )A ．(－3,0)B ．(3,0)C ．(2,0)D ．(4,0)[答案] B[解析] 设P (x,0)，则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)，AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1)＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1，∴当x ＝3时AP →·BP →有最小值，∴P (3,0)．3．(文)(2011·广东江门市模拟)若四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则该四边形一定是( )A ．直角梯形B ．菱形C ．矩形D ．正方形[答案] B[解析] 由AB →＋CD →＝0知，AB →＝DC →，即AB ＝CD ，AB ∥CD .又(AB →－AD →)·AC →＝0，所以DB →·AC →＝0，即AC ⊥BD ，因此四边形ABCD 是菱形，故选B.(理)在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则三角形ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形 [答案] C[解析] 由条件知|AC →|2＝(BC →＋BA →)·(BC →－BA →) ＝|BC →|2－|BA →|2，∴AB 2＋AC 2＝BC 2， ∴△ABC 为直角三角形．4．(2011·吉林部分中学质量检测)在平行四边形ABCD 中，AD ＝2AB ，∠BAD ＝120°，P 是平面ABCD 内一点，AP →＝xAB →＋yAD →，当点P 在以A 为圆心，|AC →|为半径的圆上时，有( )A ．x 2＋4y 2＋2xy ＝3B ．x 2＋4y 2－2xy ＝3C ．4x 2＋y 2＋2xy ＝3D ．4x 2＋y 2－2xy ＝3[答案] B[解析] 设AB ＝m (m >0)，则由已知得BC ＝AD ＝2m ， AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos60°＝3m ，|AP →|＝|AC →|＝3m ， ∵AP →＝xAB →＋yAD →，∴AP →2＝(xAB →＋yAD →)2， ∴3m 2＝x 2·m 2＋y 2·(2m )2＋2xy ·m ·2m cos120°， 即有x 2＋4y 2－2xy ＝3，选B.5．(文)(2011·河南质量调研)直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝9相交于两点M 、N ，若c 2＝a 2＋b 2，则OM →·ON →(O 为坐标原点)等于( )A ．－7B ．－14C ．7D ．14[答案] A[解析] 记OM →、ON →的夹角为2θ.依题意得，圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于|c |a 2＋b 2＝1，∴cos θ＝13，∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝2×(13)2－1＝－79，∴OM →·ON →＝3×3cos2θ＝－7，选A.(理)设F 1、F 2为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P 、Q两点，当四边形PF 1QF 2面积最大时，PF 1→·PF 2→的值等于( )A ．0B ．2C ．4D ．－2 [答案] D[解析] 由题意得c ＝a 2－b 2＝3，又S 四边形PF 1QF 2＝2S △PF 1F 2＝2×12×F 1F 2·h (h 为F 1F 2边上的高)，所以当h ＝b ＝1时，S 四边形PF 1QF 2取最大值，此时∠F 1PF 2＝120°.所以PF 1→·PF 2→＝|PF 1→|·|PF 2→|·cos120° ＝2×2×(－12)＝－2.6．(文)(2010·湖南考试院)如图，在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝3，CA ＝4，且O 是△ABC 的外心，则OC →·CA →＝( )A ．6B ．－6C ．8D ．－8 [答案] D[解析] ∵AB 2＝AC 2＋BC 2，∴∠ACB 为直角， ∵O 为△ABC 外心，∴OC →·CA →＝－CO →·CA →＝－12(CA →＋CB →)·CA →＝－12|CA →|2－12CB →·CA →＝－8.(理)如图，△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB ＝2，AC ＝3，BC ＝7，则AO →·BC →等于( ) A.32 B.52 C ．2 D ．3[答案] B[解析] AO →·BC →＝AO →·(AC →－AB →)＝AO →·AC →－AO →·AB →，因为OA ＝OB .所以AO →在AB →上的投影为12|AB →|，所以AO →·AB →＝12|AB →|·|AB →|＝2，同理AO →·AC →＝12|AC →|·|AC →|＝92，故AO →·BC →＝92－2＝52. 7.(2011·佛山二检)如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________.[答案] 1[解析] 以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，过A 且垂直于AB 的直线为y 轴建立平面直角坐标系．由题设条件得A (0,0)、B (2,0)、E (2，3)、D (1，3)， ∴AE →·BD →＝1.8．(2011·河北玉田一中质检)已知向量a ＝(x 2，x ＋1)，b ＝(1－x ，t )，若函数f (x )＝a ·b 在区间(－1,1)上是增函数，则t 的取值范围为________．[答案] t ≥5[解析] 由题意知，f (x )＝x 2(1－x )＋t (x ＋1)＝－x 3＋x 2＋tx ＋t ，则f ′(x )＝－3x 2＋2x ＋t .若f (x )在(－1,1)上是增函数，则f ′(x )≥0在(－1，1)上恒成立⇔t ≥3x 2－2x 在区间(－1，1)上恒成立，令g (x )＝3x 2－2x ，由于g (x )的图象是对称轴为x ＝13、开口向上的抛物线，故要使t ≥3x 2－2x 在区间(－1,1)上恒成立，必有t ≥g (－1)成立，即t ≥5成立．故使f (x )在(－1,1)上是增函数的t 的取值范围是t ≥5.9.如图，半圆的直径AB ＝6，O 为圆心，C 为半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(P A →＋PB →)·PC →的最小值为________．[答案] －92[解析] 设PC ＝x ，则0≤x ≤3.(P A →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →＝－2x ×(3－x )＝2x 2－6x ＝2(x －32)2－92，所以(P A →＋PB →)·PC →的最小值为－92. 10．已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4及点A (1,1)，M 是圆C 上的任意一点，点N 在线段MA 的延长线上，且MA →＝2AN →，求点N 的轨迹方程．[解析] 设M (x 0，y 0)、N (x ，y )． 由MA →＝2AN →得(1－x 0,1－y 0)＝2(x －1，y －1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3－2x ，y 0＝3－2y .∵点M (x 0，y 0)在圆C 上， ∴(x 0－3)2＋(y 0－3)2＝4，即(3－2x －3)2＋(3－2y －3)2＝4.∴x 2＋y 2＝1. ∴所求点N 的轨迹方程是x 2＋y 2＝1.11.(文)已知不共线向量OA →、OB →，且2OP →＝xOA →＋yOB →，若P A →＝λAB →(λ∈R)，则点(x ，y )的轨迹方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋2y －2＝0D ．2x ＋y －2＝0[答案]A[解析] 由P A →＝λAB →得，OA →－OP →＝λ(OB →－OA →)， 即OP →＝(1＋λ)OA →－λOB →. 又2OP →＝xOA →＋yOB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2λy ＝－2λ，消去λ得x ＋y ＝2，故选A. (理)设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 是抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标是( )A ．(2，±2)B ．(1，±2)C ．(1,2)D ．(2,22)[答案] B[解析] 由题意F (1,0)，设A (y 204，y 0)，则OA →＝(y 204，y 0)，AF →＝(1－y 204，－y 0)，∵OA →·AF →＝－4，∴y 204(1－y 204)－y 20＝－4， 解得y 0＝2或y 0＝－2.∴当y 0＝2时，x 0＝y 24＝1；当y 0＝－2时，x 0＝y 204＝1.故A (1，±2)．故选B. 12.(2011·北京东直门中学模拟)若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示，M 、N 分别是这段图象的最高点和最低点，且OM →·ON →＝0，则A ·ω等于( )A.π6 B.712π C.76π D.73π [答案] C[解析] 由图可知，T ＝4(π3－π12)＝π，∴ω＝2.∵M (π12，1)在图象上，∴sin(2×π12＋φ)＝1，∵|φ|＝π2，∴φ＝π3，∴y ＝A sin(2x ＋π3)，又∵M (π12，A )，N (7π12，－A )，OM →·ON →＝0，∴π12×7π12－A 2＝0，∴A ＝712π， ∴A ·ω＝2×712π＝76π，故选C.13．(2010·安徽合肥市质检)在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，∠B ＝45°，AB ＝2CD ＝2，M 为腰BC 的中点，则MA →·MD →＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] B[解析] 由条件知AB ＝2，CD ＝1，BC ＝2， ∴MB ＝MC ＝22，∴MC →·BA →＝|MC →|·|BA →|·cos45°＝22×2×22＝1，MB →·CD →＝|MB →|·|CD →|·cos135° ＝22×1×⎝⎛⎭⎫－22＝－12， ∴MA →·MD →＝(MB →＋BA →)·(MC →＋CD →) ＝MB →·MC →＋MB →·CD →＋BA →·MC →＋BA →·CD → ＝－⎝⎛⎭⎫222＋⎝⎛⎭⎫－12＋1＋2×1＝2，故选B. 14.点D 是三角形ABC 内一点，并且满足AB 2＋CD 2＝AC 2＋BD 2，求证：AD ⊥BC . [分析] 要证明AD ⊥BC ，则只需要证明AD →·BC →＝0，可设AD →＝m ，AB →＝c ，AC →＝b ，将BC →用m ，b ，c 线性表示，然后通过向量的运算解决．[证明] 设AB →＝c ，AC →＝b ，AD →＝m ，则BD →＝AD →－AB →＝m －c ，CD →＝AD →－AC →＝m －b . ∵AB 2＋CD 2＝AC 2＋BD 2， ∴c 2＋(m －b )2＝b 2＋(m －c )2，即 c 2＋m 2－2m ·b ＋b 2＝b 2＋m 2－2m ·c ＋c 2， ∴m ·(c －b )＝0，即AD →·(AB →－AC →)＝0， ∴AD →·CB →＝0，∴AD ⊥BC .15．(文)已知点P (0，－3)，点A 在x 轴上，点Q 在y 轴的正半轴上，点M 满足P A →·AM →＝0，AM →＝－32MQ →，当点A 在x 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．[解析] 设M (x ，y )为所求轨迹上任一点，设A (a,0)，Q (0，b )(b >0)， 则P A →＝(a,3)，AM →＝(x －a ，y )，MQ →＝(－x ，b －y )， 由P A →·AM →＝0，得a (x －a )＋3y ＝0.① 由AM →＝－32MQ →得，(x －a ，y )＝－32(－x ，b －y )＝(32x ，32(y －b ))， ∴⎩⎨⎧x －a ＝32x y ＝32y －32b，∴⎩⎨⎧a ＝－x2b ＝y3.把a ＝－x 2代入①，得－x 2(x ＋x3)＋3y ＝0，整理得y ＝14x 2(x ≠0)．(理)(2011·山东潍坊质检)已知椭圆x 28＋y 22＝1的两个焦点分别为F 1和F 2，点P 为椭圆上的动点，则当∠F 1PF 2为锐角时，求点P 的纵坐标y 0的取值范围．[分析] ∠F 1PF 2可视为PF 1→与PF 2→的夹角，因此可通过PF 1→·PF 2→>0建立关于y 0的不等式求得y 0的取值范围．[解析] 设P (x 0，y 0)，由于P 点在椭圆上，所以x 208＋y 22＝1，∵PF 1→·PF 2→＝|PF 1→||PF 2→|cos ∠F 1PF 2，若∠F 1PF 2为锐角，则cos ∠F 1PF 2>0， 故PF 1→·PF 2→>0，而F 1(－6，0)，F 2(6，0)， PF 1→＝(－6－x 0，－y 0)， PF 2→＝(6－x 0，－y 0)，所以PF 1→·PF 2→＝x 20－6＋y 20>0，又x 20＝8－4y 20，因此8－4y 20＋y 20－6>0，解得－63<y 0<63，但由于当y 0＝0时，点P 与椭圆长轴重合，∠F 1PF 2不是锐角， 所以y 0的取值范围是－63<y 0<0或0<y 0<63. [点评] 利用平面向量的数量积可以解决角的范围问题，如果∠APB 为锐角(钝角)时，可通过P A →·PB →>0(P A →·PB →<0)来求解，但要注意其中A 、P 、B 三点共线的情况．本题中很容易忽视y 0≠0这一限制条件．1．(2011·江南十校素质测试)已知a 、b 、c 是同一平面内的三个单位向量，它们两两之间的夹角均为120°，且|ka ＋b ＋c |>1，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，0)∪(2，＋∞)D ．(0,2)[答案] C[解析] 根据|ka ＋b ＋c |>1可得|ka ＋b ＋c |2>1， ∴k 2a 2＋b 2＋c 2＋2ka ·b ＋2ka ·c ＋2c ·b >1， ∴k 2－2k >0，k <0或k >2.2．(2011·浙江理，14)若平面向量α、β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α、β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是________．[答案] [π6，5π6][解析] 平行四边形面积S ＝|α||β|sin θ＝12，∵|α|≤1，|β|≤1，∴sin θ≥12，又θ∈[0，π]，∴θ∈[π6，5π6]3．(2011·烟台质检)在平面直角坐标系xOy 中，i ，j 分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC 中，AB →＝i ＋j ，AC →＝2i ＋mj ，则实数m ＝________.[答案] 0或－2[解析] ∵△ABC 为直角三角形，∴当A 为直角时，AB →·AC →＝(i ＋j )·(2i ＋mj )＝2＋m ＝0⇒m ＝－2；当B 为直角时，AB →·BC →＝AB →·(AC →－AB →)＝(i ＋j )·[i ＋(m －1)j ]＝1＋m －1＝0⇒m ＝0；当C 为直角时，AC →·BC →＝AC →·(AC →－AB →)＝(2i ＋mj )·[i ＋(m －1)j ]＝2＋m 2－m ＝0，此方程无解．∴实数m ＝0或m ＝－2.4．已知力F 与水平方向的夹角为30°(斜向上)，F 的大小为50 N ，F 拉着一个重80 N 的木块在动摩擦系数μ＝0.02的水平平面上运动了20 m ，问F 和摩擦力f 所做的功分别为多少？[分析] 力F 作用下物体位移s 所做的功W ＝|F ||s |cos 〈F ，s 〉．[解析] 设木块的位移为S ，则F ·s ＝|F ||s |cos30°＝50×20×32＝5003(J)， F 在竖直方向上的分力的大小为|F |sin30°＝50×12＝25(N)． 所以，摩擦力f 的大小为|f |＝(80－25)×0.02＝1.1(N)，所以f ·s ＝|f ||s |cos180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J)．即F ，f 所做的功分别是500 3 J ，－22 J.。