北京版六年级上册数学教学课件-黄金螺旋线
六年级上册数学教案-《黄金螺旋线》北京版
黄金螺旋线教学目标：1、通过“黄金螺旋线”内容的学习，发展学生学习数学的兴趣和借助几何直观探索规律的能力，帮助学生积累数学活动经验和数学思想方法。
2、让学生经历探索规律的过程，发展学生观察、分析、推理和归纳的能力。
3、通过“黄金螺旋线”内容的学习，提升学生欣赏数学美、创造数学美的能力。
教学重点：让学生经历探索规律的过程，发展学生观察、分析、推理、归纳的能力，积累数学活动经验和数学思想方法。
教学难点：理解探索规律过程中所运用的分析、推理、归纳的方法。
教学准备：电脑课件学具袋：圆心角是90°，半径分别为1厘米、1厘米、2厘米、3厘米、5厘米、8厘米的扇形图片。
教学过程：（一）视频引入，初步感知1、课前，先请同学们欣赏一段视频。
视频中出现了很多优美的曲线，这些曲线组成了美丽的鹦鹉螺外壳。
这样的优美的曲线被人们称为“黄金螺旋线”（板书：黄金螺旋线），自然界中存在许多“黄金螺旋线”的图案，请看下面的图片。
【设计意图】教学中通过让学生欣赏图片，让学生初步感知“黄金螺旋线”，感受大自然的神奇，初步感知数学曲线的美，调动学生学习数学的兴趣。
2、用以前我们学过的一种几何图形也能画出或摆出这样优美的“黄金螺旋线”，请你们猜一猜是什么图形。
（预设学生有如下猜想：圆、正方形、扇形等。
）3、让学生用手中的扇形学具拼摆出“黄金螺旋线”的图案。
【设计意图】培养学生的动手操作能力和空间想象力，让学生进一步感知“黄金螺旋线”，激发学生的学习兴趣。
（二）自主探究、发现规律1、提出问题，引出猜想。
教师：我们通过拼摆，用扇形可以画出优美的“黄金螺旋线”的图案，如下图。
教师：如果图中扇形半径的单位是厘米的话，我们再继续画下去，那么下一个扇形的半径应该是多少厘米？如果我们再继续画下去，那么再下一个扇形的半径又应该是多少厘米呢？……请你自己试着画一画。
2、自主探究，发现规律。
提示：你可以把图中的几个扇形的半径一一列出来，再结合画图或拼摆来发现规律。
六年级上册数学课件-7.1黄金螺旋线｜北京版共13张PPT
斐波那契，13世纪初欧洲 著名的数学家。他撰写了一本 叫作《算盘书》的著作，主要 介绍算术和代数，内容非常丰 富。这本书奠定了西方世界的 数学基础，其中的算术方法一 直沿用至今。
斐波那契 （1175年-1250年）
“如果1对兔子每月能生1对 小兔子，而每对小兔在它出 生后的第3个月里，又能开始 生1对小兔子，假定在不发生 死亡的情况下，由1对初生的 兔子开始，1年后能繁殖成多 少对兔子？”
兔子数列
五 六
一二
四
三
黄金比
0.618
数学百花园
北京小学大兴分校
衣芳娇
鹦鹉螺
旋转楼梯
花
图
中
五
单
六
位
一二
：
四 三
厘 米
小组探究： 扇形的半径之间存在怎样的规律？
扇形编号 一 二 三 四 五 六 ……
半径/厘米 1
……
斐波那契数列
扇形编号 一 二 三 四 五 六 七 八 …… 半径/厘米 1 、1 、2 、3 、 5 、8 、13 、21 ……
六年级上册数学教案-《黄金螺旋线》北京版
2.研究规律，总结方法
（1）提出问题，引发思考：如果继续画下去，第七个扇形的半径是多少呢？说一说你打算怎样解决这个问题？（画出第七个扇形来）
评价：他说可以把第七个扇形画出来，看一看半径是多少？这个方法可行吗？嗯，画图这种方法的确是一种好办法，直观简单！可以解决这个问题。
3.提升学生欣赏数学美的能力，激发学生学习数学的兴趣，感受数学与自然界的联系，感悟数学文化的广袤和久远。
教学重点：借助几何直观，经历探索规律的过程，掌握探索规律的方法，了解裴波那契数列，积累数学活动经验和数学思想方法。
教学难点：成功画出黄金螺旋线，并在这个过程中发现内在的规律。
教学过程(文字描述)
一、出示美丽的鹦鹉螺外壳的图片，引出黄金螺旋线（3分钟）
这是美丽的鹦鹉螺外壳的图片，它的优美曲线被称为黄金螺旋线。今天这节课我们就来认识黄金螺旋线。（揭示课题）
在自然界中，有许多美丽、神奇的景物，它们的形状中就存在着黄金螺旋线（课件播放视频）
看了这些介绍，说说你有怎样的感受？
【设计意图】教学中通受大自然的神奇，初步感知数学曲线的美，调动学生学习数学的兴趣。
（3）介绍数学家：华罗庚“复杂的问题要善于“退”，足够地“退”，“退”到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。”
画图是一种解决问题的好方法。复杂的问题简单化，“列表举例---观察特点---总结规律---运用规律”也是一种解决问题的好方法。
2．解决问题：有一段楼梯有10级台阶，规定每一步只能跨一级或两级，要登上第10级台阶有几种不同的走法？100级呢？（课件演示）
六年级上册数学教案 黄金螺旋线 北京版 (4)
一对初生的兔子开始，一年后能繁殖多少对兔子？”斐波那契把推算得到的头几个数摆成一串：1、1、2、4、5、8······大家都叫它“斐波那契数列”，又称“兔子数列”。
所以“黄金螺旋线”也称“斐波那契螺旋线”，是根据“斐波那契数列”画出的螺旋曲线。
师：孩子们，真是这样吗？我们动手操作验证一下。
出示活动二
问题：如果一对兔子每月能生1对小兔子，而每对小兔在它出生后的第3个月里，又能开始生1对小兔，假定在不发生死亡的情下，一对初生的兔子开始，一年后能繁殖多少对兔子？”
1.用手中的学具摆一摆。
（学具袋里）
2.你们发现了什么规律？填一填表格。
月份
兔子/对
3.能把发现的规律画出来吗？（用水彩笔在纸上画）
师：谁能摆一摆、说一说题意。
学生摆出一月到三月的兔子。
生问：还有哪些疑问？
学生小组分工合作，动手操作。
教师巡视，发现问题。
全班交流：你有什么疑问？
月份一二三四五六七八九十十一十二
兔子/对 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144
师：你们画的图呢？
贴在黑板上，进行评价，反思在画图中遇到的问题，是怎么解决的
师：看来，通过我们的动手操作，发现兔子数列果然有这样的规律，画下来就是一条黄金螺旋线。
师：问：还有疑问吗？
生活应用
教学反思。
六年级上册数学教案-《黄金螺旋线》北京版
黄金螺旋线
3、练习：有一串数从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的和，已知这串数的第六个数是6.5，第七个数数是10.5，那么这串数第一个数是几？
（四）全课总结
清同学们回顾今天的学习过程，你有什么收获？你还有什么疑问吗？
（五）布置作业
1、有关“黄金螺旋线”的有趣的知识还有许多，请你上网搜一搜有关的内容，相信你还会有更大的收获。
2、学习困难的学生可以选择的作业：画一幅鹦鹉螺外壳的图画，也可以画一幅用我们学过的图形组成的鹦鹉螺外壳的图画。
板书设计：黄金螺旋线
扇形: 1、2、3、4、5、6
半径：1、1、2、3、5、8。
黄金螺旋线(六年级 数学 上册 第七单元数学百花园)
例.“黄金螺旋线”是一种优美的螺旋曲线，它可以用大小不同的圆心 角是90°的扇形的弧线画出来（如下图），第1步中扇形的半径1cm， 按下图的方法继续画，第5步要画的新扇形的弧线长（ 7.85 ）cm。
1，1，2，3，5，8，13，……
第5步扇形的半径为：5cm 第5步扇形所在圆的周长为： 3.14×5×2=31.4（cm） 第5步扇形的弧长为： 31.4÷4=7.85（cm）
第四个扇形的半径：1+2=3
第五个扇形的半3;5=8
规律：从第三个扇形起，每个小扇形的半径都是它前面相邻 两个扇形半径之和。
1，1，2，3，5，8，13，…… 这串数就是著名的”斐（fěi)波那契(qì)数列”，又称”兔子数列“。
自然界中存在许多斐波那 契螺旋线的图案，人们根据 “黄金螺旋线”也创造出了许 多优美的作品。
六年级数学上册
第七单元 数学百花园
授课教师：寇向伟
2020-3-30
这是美丽的鹦鹉螺外壳的图片，它的优美曲线 被称为黄金螺旋线。黄金螺旋线可以用大小不同的 扇形的弧线画出来。
图中单位：厘米
观察黄金螺旋线 中各扇形的半径， 看看有什么规律？
图中单位：厘米
第一个扇形的半径：1
第二个扇形的半径：1
第三个扇形的半径：1+1=2
5 6
4
12 3
爱因斯坦曾经说过：我们这个世界可以由音乐的音 符组成，也可以由数学公式组成。大自然存在很多数学 知识，任何一个都可以令人感叹大自然的鬼斧神工。希 望同学们能感受到数学的奇妙和乐趣！
六年级上册数学课件-《黄金螺旋线》北京版
扇形编号 一 二 三 四 五 六 七 八
半径/厘米
从第三个扇形起，每个 小扇形的半径都是它前 面相邻两个扇形半径之 和。
通过我们发现的规律，把这串数继 续写下去，多写出几个
1、1、2、3、5、8、13、 21、 34、 55、 89 144、233、377、610、987······
黄金螺旋线和我们学过 的知识有联系，你能试 着画
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144……
• 13世纪初，欧洲最好的数学家是斐波那契，他写 了一本叫作《算盘书》的著作，是当时欧洲最好 的数学书。书中有许多有趣的数学题，其中最有 趣的是下面这个题目：“如果一对兔子每月能生1 对小兔子，而每对小兔在它出生后的第3个月里， 又能开始生1对小兔，假定在不发生死亡的情况下， 一对初生的兔子开始，一年后能繁殖多少对兔 子？”斐波那契把推算得到的头几个数摆成一串： 1、1、2、3、5、8······大家都叫它“斐 波那契数列”，又称“兔子数列”。所以“黄金 螺旋线 也称“斐波那契螺旋线”，是根据“斐波 那契数列”画出的螺旋曲线。
此曲线称为黄金螺线等角螺线课件
03
特性：黄金螺线具有高度的自相似性，即在不同尺度下观 察，其形状和结构保持一致。它也具有完美的对称性，且 在某些条件下，其曲线长度可以大于其包围的面积。
定义与特性比较
等角螺线
定义：等角螺线是一种在极坐标系下表示的曲线，其极径 r 和极角 θ 满足关系 r = a*(θ-b) 或 r = a*(bθ)。当 a 和 b 为正实数时，等角螺线的形状和大小会随着角度的变化而变化。
03
设计
在设计领域中，黄金螺线和等角螺线的形态也被广泛应用 。例如，在一些产品的设计中，设计师们会利用这些形态 来创造出独特的外观和结构，这些外观和结构可以使产品 更加美观、实用和具有辨识度。
THANKS 感谢观看
研究发展比较
等角螺线
起源与发展：等角螺线的起源可以追溯到17世纪数学家笛卡尔的 研究。然而，相较于黄金螺线，等角螺线的研究和应用相对较少 。
当前研究热点：当前，等角螺线的研究主要集中在理论特性的探 索和实际应用的研究上。例如，研究等角螺线的对称性和自相似 性，以及开发其在工程、艺术等领域的新应用。
等角螺线的定义
1
等角螺线是一种在极坐标系中定义的平面曲线。
2
它从原点开始，并以恒定的角度θ（0<θ<π）偏 离径向。
3
随着半径r的增加，角度θ也相应增加，但增加的 比例恒定。
等角螺线的特性
01
等角螺线的曲率是恒定的，但方向与半径方向之间的夹角是变 化的。
02
曲线的弯曲方向与极角的方向相同。
等角螺线的渐屈线和渐伸线也是等角螺线。
黄金螺线与等角螺线在艺术创作中的应用实例
01 02
绘画和雕塑
黄金螺线和等角螺线的形态在艺术创作中经常被使用。例 如，在一些绘画和雕塑作品中，艺术家们会利用这些形态 来创作出独特的作品，这些作品可以传达出一种特定的美 感和意境。
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这一串数字蕴含着怎样的规律呢？
+0
+1
+3
)
+2
+5
+0、+1、+1、+2、+3、+5、+8，这些数并没有规律。
这一串数字蕴含着怎样的规律呢？
1、1、2、3、5、8、13、21
+0、+1、+1、+2、+3、+5、+8
这些添加的数和上面的数是一样的。
这一串数字蕴含着怎样的规律呢？
同学们，斐波那契数构成了斐波那契数列，它里面 蕴含了很多有趣的规律，如果感兴趣的话，可以去 找一找相关的知识哦！
课外活动
利用课外书和电脑去了解下 斐波那契数列。
1、1、=2 、=3、=5 、=8 、=13 、=21
从第三个数开始，后面的数等于前面 两个数的和。
根据发现的规律，我们可以接着写下去。 1、1、2、3、5、8、13、21 34、55、89、144、……
拓展延伸
同学们，你们知道吗？上面的这些数在数学中称为 斐波那契数。斐波那契数不仅出现在鹦鹉螺中，还可以 在植物的叶、枝、茎等排列中发现。例如，在树木的枝 干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子（假 定没有折损），直到到达与那些叶子正对的位置，则其 间的叶子数多半是斐波那契数。叶子从一个位置到达下 一个正对的位置称为一个循回。叶子在一个循回中旋转 的圈数也是斐波那契数。在一个循回中叶子数与叶子旋 转圈数的比称为叶序（源自希腊词，意即叶子的排列） 比。多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。
北京课改版 数学 六年级 上册
7 数学百花园
黄金螺旋线
情境导入 拓展延伸
活动探究 课外活动
情境导入
同学们，你们听说过鹦鹉螺吗？其实它 的身上蕴含了一种非常有意思的线条，我们 今天就一起来研究下。
活动探究
13
21
23
1 85
34
你们知道黄金螺旋线是怎样绘制的吗？ 能看懂这些数字表示的含义吗？
黄金螺旋线的由来： 黄金螺旋线是由四分之一的圆拼接而来的。
图片上数字表示的含义：
图上数字表示的是圆的半径，我们发现半径在增加。 如果接着画下去，下个圆的半径是多少呢？
我们来一起观察这幅图的半径吧！ 第一个扇形的半径是1 第二个扇形的半径是1 第三个扇形的半径是2 第四个扇形的半径是3 第五个扇形的半径是5 …………
我们得到的半径是：1、1、2、3、5……