2020年辽宁省沈阳市和平区中考数学二模试卷(详解版)
2020届中考复习辽宁省沈阳市和平区中考数学二模试题(有配套答案)
辽宁省沈阳市和平区中考数学二模试卷一、选择题1．以下各数中比0小的是（）A．﹣2 B．C．0.5 D．12．等边三角形是轴对称图形，对称轴共有（）A．1条B．2条C．3条D．6条3．某种生物细菌的直径为0.0000382cm，把0.0000382用科学记数法表示为（）A．3.82×10﹣4B．3.82×10﹣5C．3.82×10﹣6D．38.2×10﹣64．如图，点O在直线AB上，若∠1=40°，则∠2的度数是（）A．50°B．60°C．140°D．150°5．一组数据1，3，3，4，4，5的中位数是（）A．3 B．3.5 C．4和3 D．46．化简﹣的结果是（）A．B．C．D．7．在一个纸箱中，装有红色、黄色、白色的塑料球共200个这些小球除颜色外其他都完全相同，将球充分摇匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回箱中，不断重复这一过程，小明发现其中摸到白色球、黄色球的频率分别稳定在15%和45%，则这个纸箱中红色球的个数可能有（）A．30个B．80个C．90个D．120个8．二次函数y=﹣3x2﹣2的图象经过哪几个象限（）A．一、三象限 B．二、四象限 C．一、二象限 D．三、四象限9．如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第⑨个图形中共有三角形的总数为（）A．33个B．36个C．37个D．41个10．若关于x的方程（k﹣1）x2+2kx﹣1+k=0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＞且k≠1 B．k≥且k≠1 C．k≤﹣ D．k⩾二、填空题11．分解因式：y3﹣y= ．12．解不等式组的整数解是．13．正五边形每个内角的度数为．14．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则点B的对应点D的纵坐标为．15．已知A．B两地相距100km，甲乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶．甲乙两人离A地的距离s（千米）与骑车时间t（小时）满足的函数关系图象如图所示．当甲乙两人相遇时，乙距离A地km．16．已知，矩形ABCD中，AB=15，AD=20，点M在对角线BD上，点N为射线BC上一动点，连接MN、DN，且∠DNM=∠DBC，当DMN是等腰三角形，线段BN的长是．三、（6分、8分、8分）17．先化简，再求值：（a﹣2）2﹣（a﹣1）（a+3），其中a=．18．小红和小颖两名同学用分别标有数字：﹣1，2，﹣3，4四张卡片做游戏，（它们除了数字不同外，其余都相同）．他们将卡片洗匀后，将标有数字的一面朝下放在桌面上，小红先随机抽取一张卡片数字为x，抽出的卡片不放回，小颖在剩下的3张卡片中随机抽取一张，记下数字为y（1）请用画树状图或列表法表示出上述情况的所有等可能结果随机地从盒中抽出一张卡片，则抽出数字为“2”的卡片的概率是多少？（2）若x与y的符号相同，小红获胜，若x与y两数符号不同，则小颖获胜，这个游戏对双方公平吗，为什么？19．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC中点，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE ⊥AN，垂足为点E．求证：四边形ADCE为矩形．四、（8分、8分）20．某校为了解本校九年级女生“仰卧起坐”的训练情况，随机抽查了该年级m名女生进行测试，并按测试成绩绘制出以下两幅不完整的统计表，请根据图中的信息解答下列问题测试成绩（个）学生数（名）百分比373P%38420%39420%40N35%4115%4215%（1）m= p=（2）补全上面的条形统计图；（3）被抽取的女生“仰卧起坐”测试成绩的众数是；（4）若该年级有320名女生，请你估计该年级女生中“仰卧起坐”测试成绩为37的人数．21．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AC=CD，延长BA到E，连接EC，且∠ECA=∠CBD．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若∠E=30°，EC=3，求图中阴影部分的面积（结果保留π）五、22．某旅馆有客房100间，每间房的日租金为160元，每天都客满，经市场调查，如果一间客房日租金每增加10元，则客房每天少出租5间，不考虑其他因素，设每间客房日租金提高x 元（x是10的倍数）：（1）当x=40时，客房每天出租的房间数为间，客房日租金的总收入是．（2）若旅馆将每天至少能出租20间客房①直接写出x的取值范围；②旅馆将每间客房的日租金提高多少元时，客房日租金的总收入最高？六、23．如图，一次函数y=kx+b的图象经过A（﹣1，0），B（0，﹣2）l两点，与反比例函数y=（m≠0）的图象在第二象限交于点M，△OBM的面积是3．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）将直线AB沿x轴的正方向向右平移4个单位长度，平移后的直线与x轴，y轴分别交于点C，点D，①直接写出直线CD的表达式②若点P是x轴上的一点，当△PDM是直角三角形时，点P的坐标是．七、24．在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，AD=BC=4，AB=6，点P是直线AB上一动点．（1）如图，点P在AB边上，以PD、PC为边作平行四边形DPCE，连接PE交CD于点F．①求证：DF=AB；②求点C到直线AB的距离；③PE长的最小值是．（2）连接PD并延长PD到M，使得DM=2PD，以PM、PC为边作平行四边形PCNM，连接PN，当PN=10时，AP的长为．八、25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣x2+x+6的图象与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点（点B在点C的左侧），连接AB，AC．（1）①点B的坐标为，点C的坐标为，AC的长为；②求∠BAC的正弦值（2）将△AOB沿直线AB折叠得到△AEB，将△AOC沿直线AC折叠得到△AFC，分别延长EB，FC相交于点H①点H坐标为，点H 抛物线对称轴上（“在”或“不在”）②连接EF，将∠BAC绕点A顺时针旋转，射线AB旋转后交线段EH于点B′，交线段EF于点M，射线AC旋转后交线段FH于点C′，交线段EF于点N，当B′H2+C′H2=33时，MN的长度为．辽宁省沈阳市和平区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题1．以下各数中比0小的是（）A．﹣2 B．C．0.5 D．1【考点】18：有理数大小比较．【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．【解答】解：根据有理数比较大小的方法，可得﹣2＜0，＞0，0.5＞0，1＞0，∴各数中比0小的是﹣2．故选：A．2．等边三角形是轴对称图形，对称轴共有（）A．1条B．2条C．3条D．6条【考点】P3：轴对称图形．【分析】关于某条直线对称的图形叫轴对称图形，这条直线叫做对称轴．【解答】解：等边三角形3条角平分线所在的直线是等边三角形的对称轴，∴有3条对称轴，故选C．3．某种生物细菌的直径为0.0000382cm，把0.0000382用科学记数法表示为（）A．3.82×10﹣4B．3.82×10﹣5C．3.82×10﹣6D．38.2×10﹣6【考点】1J：科学记数法—表示较小的数．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：把0.0000382用科学记数法表示为3.82×10﹣5，故选：B．4．如图，点O在直线AB上，若∠1=40°，则∠2的度数是（）A．50°B．60°C．140°D．150°【考点】IL：余角和补角．【分析】根据互补两角之和为180°，求解即可．【解答】解：∵∠1=40°，∴∠2=180°﹣∠1=140°．故选：C．5．一组数据1，3，3，4，4，5的中位数是（）A．3 B．3.5 C．4和3 D．4【考点】W4：中位数．【分析】按大小顺序排列这组数据，中间两个数的平均数是中位数．【解答】解：从小到大排列此数据为：1，3，3，4，4，5，位置处于中间的数是：3，4，所以组数据的中位数是（3+4）÷2=3.5．故选B．6．化简﹣的结果是（）A．B．C．D．【考点】6B：分式的加减法．【分析】原式变形后，利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果．【解答】解：原式=+=，故选D7．在一个纸箱中，装有红色、黄色、白色的塑料球共200个这些小球除颜色外其他都完全相同，将球充分摇匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回箱中，不断重复这一过程，小明发现其中摸到白色球、黄色球的频率分别稳定在15%和45%，则这个纸箱中红色球的个数可能有（）A．30个B．80个C．90个D．120个【考点】X8：利用频率估计概率．【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解．【解答】解：∵共200个球，其中摸到白色球、黄色球的频率分别稳定在15%和45%，∴红球所占的比例为100%﹣15%﹣45%=40%，设盒子中共有红球x个，则×100%=40%，解得：x=80．故选：B．8．二次函数y=﹣3x2﹣2的图象经过哪几个象限（）A．一、三象限 B．二、四象限 C．一、二象限 D．三、四象限【考点】H3：二次函数的性质．【分析】根据二次项系数和常数项的符号确定二次函数的草图，从而确定其经过的象限即可．【解答】解：∵二次函数y=﹣3x2﹣2中a=﹣3＜0，b=﹣2＜0，∴草图为：∴二次函数y=﹣3x2﹣2的图象经过三、四象限，故选D．9．如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第⑨个图形中共有三角形的总数为（）A．33个B．36个C．37个D．41个【考点】KX：三角形中位线定理．【分析】结合题意，总结可知，每个图中三角形个数比图形的编号的4倍少3个三角形，得出规律，即可得出结果．【解答】解：第①是1个三角形，1=4×1﹣3；第②是5个三角形，5=4×2﹣3；第③是9个三角形，9=4×3﹣3；∴第n个图形中共有三角形的个数是4n﹣3；∴第⑨个图形中共有三角形的总数为4×9﹣3=33；故选：A．10．若关于x的方程（k﹣1）x2+2kx﹣1+k=0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＞且k≠1 B．k≥且k≠1 C．k≤﹣ D．k⩾【考点】AA：根的判别式．【分析】讨论：即k=1，方程化为一元一次方程，有一个解；当k﹣1≠0时，根据判别式的意义得到△=4k2﹣4（k﹣1）（k﹣1）≥0，解得k≥，综合两种情况可得到k的范围．【解答】解：当k﹣1=0时，即k=1，方程化为2x=0，解得x=0；当k﹣1≠0时，△=4k2﹣4（k﹣1）（k﹣1）≥0，解得k≥，综上所述，k的范围为k≥．故选D．二、填空题11．分解因式：y3﹣y= y（y+1）（y﹣1）．【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．【分析】首先提取公因式y，再利用平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）进行二次分解即可．【解答】解：y3﹣y=y（y2﹣1）=y（y+1）（y﹣1），故答案为：y（y+1）（y﹣1）．12．解不等式组的整数解是﹣1，0，1 ．【考点】CC：一元一次不等式组的整数解；CB：解一元一次不等式组．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式x+3（x﹣2）≤﹣2，得：x≤1，解不等式1+2x＞x﹣1，得：x＞﹣2，∴不等式组的解集为﹣2＜x≤1，则不等式组的整数解为﹣1、0、1，故答案为：﹣1、0、1．13．正五边形每个内角的度数为108°．【考点】L3：多边形内角与外角．【分析】方法一：先根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出内角和，然后除以5即可；方法二：先根据正多边形的每一个外角等于外角和除以边数，再根据每一个内角与相邻的外角是邻补角列式计算即可得解．【解答】解：方法一：（5﹣2）•180°=540°，540°÷5=108°；方法二：360°÷5=72°，180°﹣72°=108°，所以，正五边形每个内角的度数为108°．故答案为：108°．14．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则点B的对应点D的纵坐标为 1 ．【考点】SC：位似变换；D5：坐标与图形性质．【分析】利用位似图形的性质，结合两图形的位似比进而得出D点坐标．【解答】解：∵线段AB的两个端点坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，∴端点D的横坐标和纵坐标都变为B点的一半，∴端点D的坐标为：（4，1）．故答案为：1．15．已知A．B两地相距100km，甲乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶．甲乙两人离A地的距离s（千米）与骑车时间t（小时）满足的函数关系图象如图所示．当甲乙两人相遇时，乙距离A地km．【考点】E6：函数的图象．【分析】观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法求出甲、乙离A地的距离s（千米）与骑车时间t（小时）的函数关系式，联立两函数关系式成方程组，解之即可得出结论．【解答】解：设甲离A地的距离s（千米）与骑车时间t（小时）的函数关系式为y=kx+b，乙离A地的距离s（千米）与骑车时间t（小时）的函数关系式为y=mx+n，将（0，0）、（2，30）代入y=kx+b中，，解得：，∴y=15x；将（0，100）、（1，80）代入y=mx+n中，，解得：，∴y=﹣20x+100．联立两函数关系式成方程组，，解得：，∴当甲乙两人相遇时，乙距离A地千米．故答案为：．16．已知，矩形ABCD中，AB=15，AD=20，点M在对角线BD上，点N为射线BC上一动点，连接MN、DN，且∠DNM=∠DBC，当DMN是等腰三角形，线段BN的长是25，40，．【考点】LB：矩形的性质；KH：等腰三角形的性质．【分析】分三种情形讨论求解即可．【解答】解：①如图1中，当NM=ND时，∴∠NDM=∠NMD，∵∠MND=∠CBD，∴∠BDN=∠BND，∴BD=BN==25．②如图2中，当DM=DN时，易知M与B重合，此时BC=CN=20，BN=40，③如图3中，当MN=MD时，易证BN=DN，设BN=DN=x，在Rt△DNC中，∵DN2=CN2+CD2，∴x2=（20﹣x）2+152，∴x=，故答案为25，40，．三、（6分、8分、8分）17．先化简，再求值：（a﹣2）2﹣（a﹣1）（a+3），其中a=．【考点】4J：整式的混合运算—化简求值．【分析】原式利用完全平方公式，多项式乘以多项式法则计算得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式=a2﹣4a+4﹣a2﹣2a+3=﹣6a+7，当a==4时，原式=﹣24+7=﹣17．18．小红和小颖两名同学用分别标有数字：﹣1，2，﹣3，4四张卡片做游戏，（它们除了数字不同外，其余都相同）．他们将卡片洗匀后，将标有数字的一面朝下放在桌面上，小红先随机抽取一张卡片数字为x，抽出的卡片不放回，小颖在剩下的3张卡片中随机抽取一张，记下数字为y（1）请用画树状图或列表法表示出上述情况的所有等可能结果随机地从盒中抽出一张卡片，则抽出数字为“2”的卡片的概率是多少？（2）若x与y的符号相同，小红获胜，若x与y两数符号不同，则小颖获胜，这个游戏对双方公平吗，为什么？【考点】X7：游戏公平性；X6：列表法与树状图法．【分析】（1）画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式计算可得；（2）根据概率公式分别计算两人获胜的概率，即可做出判断．【解答】解：（1）画树状图如下：抽出数字为“2”的卡片的概率是=；（2）不公平，由树状图可知，x、y符号相同的有4种结果，x、y符号不同的结果有8种，∴小红获胜的概率为=，小颖获胜的概率为=，由于≠，∴此游戏对双方不公平．19．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC中点，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE ⊥AN，垂足为点E．求证：四边形ADCE为矩形．【考点】LC：矩形的判定；KH：等腰三角形的性质；L7：平行四边形的判定与性质．【分析】根据AN是△ABC外角∠CAM的平分线，推得∠MAE=（∠B+∠ACB），再由∠B=∠ACB，得∠MAE=∠B，则AN∥BC，根据CE⊥AN，得出四边形ADCE为矩形．【解答】证明：∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE=∠MAC，∵∠MAC=∠B+∠ACB，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠MAE=∠B，∴AN∥BC，∵AB=AC，点D为BC中点，∴AD⊥BC，∵CE⊥AN，∴AD∥CE，∴四边形ADCE为平行四边形（有两组对边分别平行的四边形是平行四边形），∵CE⊥AN，∴∠AEC=90°，∴四边形ADCE为矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．四、（8分、8分）20．某校为了解本校九年级女生“仰卧起坐”的训练情况，随机抽查了该年级m名女生进行测试，并按测试成绩绘制出以下两幅不完整的统计表，请根据图中的信息解答下列问题测试成绩（个）学生数（名）百分比373P%38420%39420%40N35%4115%4215%（1）m= 20 p= 15（2）补全上面的条形统计图；（3）被抽取的女生“仰卧起坐”测试成绩的众数是40 ；（4）若该年级有320名女生，请你估计该年级女生中“仰卧起坐”测试成绩为37的人数．【考点】VC：条形统计图；V5：用样本估计总体；VA：统计表；W5：众数．【分析】（1）根据统计图中数据可以求得m的值，进而求得p的值；（2）根据（1）中m的值，可以求得N的值，从而可以将条形统计图补充完整；（3）根据（2）中条形统计图可以得到这组数据的众数；（4）根据统计图中数据可以估计该年级女生中“仰卧起坐”测试成绩为37的人数．【解答】解：（1）由题意可得，m=4÷20%=20，p%=，故答案为：20，15；（2）N=20×35%=7，补全的条形统计图，如右图所示；（3）由（2）中的统计图可知，被抽取的女生“仰卧起坐”测试成绩的众数是40，故答案为：40；（4）由题意可得，该年级女生中“仰卧起坐”测试成绩为37的人数是：320×=48，即该年级女生中“仰卧起坐”测试成绩为37的有48人．21．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AC=CD，延长BA到E，连接EC，且∠ECA=∠CBD．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若∠E=30°，EC=3，求图中阴影部分的面积（结果保留π）【考点】ME：切线的判定与性质；MO：扇形面积的计算．【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理和等腰三角形的性质得到∠OCB=∠CBA，求得∠ECA=∠OCB，由AB是⊙O的直径，得到∠ACB=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）由（1）证得△OCE是直角三角形，根据三角函数的定义得到OC=3，根据图形的面积公式即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OC，∵AC=CD，∴=，∴∠ABC=∠CBD，∵∠ECA=∠CBD，∴∠ECA=∠CBA，∵OC=OB，∴∠OCB=∠CBA，∴∠ECA=∠OCB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ECA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=90°，∴OC⊥CE，∵OC是⊙O的直径，∴EC是⊙O的切线；（2）解：由（1）证得△OCE是直角三角形，∵∠E=30°，EC=3，tanE=，即=，∴OC=3，∵∠EOC=90°﹣∠E=90°﹣30°=60°，∴S阴影=S△COE﹣S扇形AOC=3×3﹣=﹣．五、22．某旅馆有客房100间，每间房的日租金为160元，每天都客满，经市场调查，如果一间客房日租金每增加10元，则客房每天少出租5间，不考虑其他因素，设每间客房日租金提高x 元（x是10的倍数）：（1）当x=40时，客房每天出租的房间数为80 间，客房日租金的总收入是16000 ．（2）若旅馆将每天至少能出租20间客房①直接写出x的取值范围；②旅馆将每间客房的日租金提高多少元时，客房日租金的总收入最高？【考点】HE：二次函数的应用．【分析】（1）当x=40时，可知客房少出租5×=20间，可得客房出租80间，根据“总收入=（每间客房原租金+提高的祖金）×（客房间数﹣因价格提高而减少的间数）”列式计算可得；（2）①由“每天至少能出租20间客房”依据“客房间数﹣因价格提高而减少的间数≥20”列不等式求解可得；②设客房的日租金的总收入为y元，根据（1）中所列相等关系列出函数解析式，配方成顶点式即可得出函数最值情况，从而得出答案．【解答】解：（1）当x=40时，则客房出租100﹣5×=80间，∴客房日租金的总收入是×80=16000（元），故答案为：80，16000；（2）①若每间客房日租金提高x元，则客房少出租5×=，根据题意，得：100﹣≥20，解得：x≤160，∴0≤x≤160，且x是10的整数倍；②设客房的日租金的总收入为y元，则y==﹣x2+20x+16000=﹣（x﹣20）2+16200，∵0≤x≤160，且x是10的整数倍，∴当x=20时，此时每件客房的日租金为180元，答：旅馆将每间客房的日租金提高20元时，客房日租金的总收入最高．六、23．如图，一次函数y=kx+b的图象经过A（﹣1，0），B（0，﹣2）l两点，与反比例函数y=（m≠0）的图象在第二象限交于点M，△OBM的面积是3．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）将直线AB沿x轴的正方向向右平移4个单位长度，平移后的直线与x轴，y轴分别交于点C，点D，①直接写出直线CD的表达式②若点P是x轴上的一点，当△PDM是直角三角形时，点P的坐标是（，0）．【考点】GB：反比例函数综合题．【分析】（1）把A（﹣1，0），B（0，﹣2）代入y=kx+b，列方程组即可得到一次函数的解析式，再求出点M的坐标，即可得到反比例函数的解析式；（2）①平移后的直线经过C（3，0），设直线CD的解析式为y=﹣2x+b，把C（3，0 ）代入可得b=6；②观察图象可知，△PDM是等腰三角形，只有PM=PD．求出线段DM的中垂线的解析式即可解决问题．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（0，﹣2）代入y=kx+b，得到，解得，∴一次函数的解析式为y=﹣2x﹣2．如图1中，过点M作ME⊥y轴于E，=•OB•ME=×2ME=3，∵S△MOB∴ME=3，∵点M在直线AB上，当x=﹣3时，y=﹣2x﹣2=4，∴M（﹣3，4），把点M（﹣3，4）代入y=中，可得m=﹣12，∴反比例函数的解析式为y=﹣．（2）①如图2中，平移后的直线经过C（3，0），设直线CD的解析式为y=﹣2x+b，把C（3，0 ）代入可得b=6，∴直线CD的解析式为y=﹣2x+6．②观察图象可知，△PDM是等腰三角形，只有PM=PD．∵M（﹣3，4），D（0，6），∴直线DM的解析式为y=x+6，∴线段DM的中垂线的解析式为y=﹣x+，令y=0，得到x=，∴P（，0）．∴当p（，0）时，△PDM是等腰三角形．故答案为（，0）．七、24．在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，AD=BC=4，AB=6，点P是直线AB上一动点．（1）如图，点P在AB边上，以PD、PC为边作平行四边形DPCE，连接PE交CD于点F．①求证：DF=AB；②求点C到直线AB的距离；③PE长的最小值是4．（2）连接PD并延长PD到M，使得DM=2PD，以PM、PC为边作平行四边形PCNM，连接PN，当PN=10时，AP的长为或．【考点】LO：四边形综合题．【分析】（1）①根据一组对边平行且相等证明四边形ABCD是平行四边形，再由平行四边形的对角线互相平分可得结论；②点C到直线AB的距离就是求CG的长，利用60度的三角函数计算即可；（2）分两种情况：①当P在线段AB上时，如图3，作辅助线，构建两平行线的距离CG和PH，利用△PDF∽△NCF，计算PF==，CF=×6=，由勾股定理得：FH的长，最后求出AP的长；②当P在BA的延长线上时，如图4，同理可得AP的长．【解答】证明：（1）①∵AD∥BC，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∵四边形DPCE是平行四边形，∴DF=CF=CD，∴DF=AB；②如图1，过C作CG⊥AB于G，则∠CGB=90°，在Rt△CBG中，∵∠B=60°，BC=4，∴sin∠B=，即，∴CG=2，∴点C到直线AB的距离是2；③当PE⊥DC，且垂足F为DC的中点时，如图2，此时PE的长最小，∴PE=2PF=2CG=4，故答案为：4；（2）分两种情况：①当P在线段AB上时，如图3，过C作CG⊥AB于G，过P作PH⊥CD于H，由（1）得：PH=CG=2，BG=2，∵四边形PCNM是平行四边形，∴PM∥CN，PM=CN，∴△PDF∽△NCF，∴=，∵DM=2PD，∴PM=3PD，∴CN=3PD，∴=，∵PN=10，CD=6，∴PF+FN=10，CF+DF=6，∴PF==，CF=×6=，在Rt△PFH中，由勾股定理得：FH==，∴CH=CF﹣FH=﹣，∴PG=CH=﹣，∴AP=AB﹣BG﹣PG=6﹣2﹣+=；②当P在BA的延长线上时，如图4，过F作FH⊥AB于H，过C作CG⊥AB于G，同理可知：FH=CG=2，BG=2，GH=CF=，PF=，由勾股定理得：PH=，∴AP=BG+GH+PH﹣AB=2++﹣6=；综上所述，AP的长为或．八、25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣x2+x+6的图象与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点（点B在点C的左侧），连接AB，AC．（1）①点B的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（3，0），AC的长为3；②求∠BAC的正弦值（2）将△AOB沿直线AB折叠得到△AEB，将△AOC沿直线AC折叠得到△AFC，分别延长EB，FC相交于点H①点H坐标为（，﹣），点H 不在抛物线对称轴上（“在”或“不在”）②连接EF，将∠BAC绕点A顺时针旋转，射线AB旋转后交线段EH于点B′，交线段EF于点M，射线AC旋转后交线段FH于点C′，交线段EF于点N，当B′H2+C′H2=33时，MN的长度为．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）①令x=0和y=0可求得B、A与C的坐标，利用勾股定理求AC的长；②如图1，作辅助线，构建直角△ABD，利用面积法求BD=2，利用勾股定理求AB的长，根据三角函数的定义可得结论；（2）①利用勾股定理列方程求出H的坐标，横坐标是，在抛物线的坐标轴上，如果不是，则不在；②如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△APE≌△AC'F和△PAB′≌△C'AB'，得∠AB'P=∠AB'C'，再证明△AMN∽△AC'B'，则=，证P、E、M、A四点共圆，得∠AMP=∠AEP=90°，所以△AMP是等腰直角三角形，则MN=B′C′，根据已知可得出结论．【解答】解：（1）①当x=0时，y=6，∴A（0，6），∴OA=6，当y=0时，﹣x2+x+6=0，（x+2）（x﹣3）=0，x=﹣2或3，∵点B在点C的左侧，∴B（﹣2，0），C（3，0），∴OC=3，在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC===3；故答案为：（﹣2，0），（3，0），3；②如图1，过B作BD⊥AC于D，则∠BDA=90°，=BC•AO=AC•BD，∵S△ABC即×5×6=××BD，∴BD=2，在Rt△AOB中，AB==2，∴sin∠BAC===；（2）①如图2，过H作HG⊥x轴于G，由折叠得：AE=AO=AF=6，∠E=∠AOB=90°，∠F=∠AOC=90°，∠EAB=∠BAO，∠OAC=∠CAF，∴∠EAF=2∠BAO+2∠OAC=2（∠BAO+∠OAC）=2∠BAC，由（1）知：sin∠BAC=，且∠BAC为锐角，∴∠BAC=45°，∴∠EAF=∠E=∠F=90°，∴四边形AEHF是正方形，∴EH=FH=6，设H（x，y），则OG=x，∴BG=2+x，CG=3﹣x，∵EB=OB=2，FC=OC=3，∴BH=6﹣2=4，CH=6﹣3=3，由勾股定理得：42﹣（2+x）2=32﹣（3﹣x）2，x=，∴GH==，∴H（，﹣）；∴点H不在抛物线对称轴上；故答案为：（，﹣）；不在；②如图3，延长B'E至P，使PE=C'F，连接AP，∵AE=AF，∠AEP=∠AFH=90°，∴△APE≌△AC'F，∴AP=AC'，∠PAE=∠C'AF，由旋转得：∠B′AC′=45°，∴∠EAB′+∠C'AF=45°，∴∠PAE+∠EAB′=45°，∴∠PAB'=∠B'AC'=45°，∵AB′=AB′，∴△PAB′≌△C'AB'，∴∠AB'P=∠AB'C'，∵∠FEB'=∠B'AC'=45°，∴∠EMB'=∠AC'B'=∠AMN，∵∠MAN=∠B'AC'，∴△AMN∽△AC'B'，∴=，连接PM，∵∠PAM=45°，∠PEM=90°+45°=135°，∴∠PAM+∠PEM=180，∴P、E、M、A四点共圆，∴∠AMP=∠AEP=90°，∴△AMP是等腰直角三角形，∴=，∴=，∴MN=B′C′，∵B′H2+C′H2=33=B'C'2，∴B'C'=，.. ∴MN=×=．故答案为：．。
辽宁省沈阳市2019-2020学年中考第二次大联考数学试卷含解析
辽宁省沈阳市2019-2020学年中考第二次大联考数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x 两，每枚白银重y 两，根据题意得（ ）A ．11910813x y y x x y =⎧⎨+-+=⎩（）（） B ．10891311y x x y x y +=+⎧⎨+=⎩C ．91181013x y x y y x （）（）=⎧⎨+-+=⎩D ．91110813x y y x x y =⎧⎨+-+=⎩（）（） 2．化简：x x y --y x y+，结果正确的是（ ） A ．1 B ．2222x y x y +- C ．x y x y -+ D ．22x y +3．如果一次函数y=kx+b （k 、b 是常数，k≠0）的图象经过第一、二、四象限，那么k 、b 应满足的条件是（ ）A ．k ＞0，且b ＞0B ．k ＜0，且b ＞0C ．k ＞0，且b ＜0D ．k ＜0，且b ＜04．如果2a b =r r （a r ，b r均为非零向量），那么下列结论错误的是（ ） A ．a r //b r B ．a r -2b r =0 C ．b r =12a r D ．2a b =r r5．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．6．函数y=11x x +-中自变量x 的取值范围是（ ） A ．x≥-1且x≠1B ．x≥-1C ．x≠1D ．-1≤x ＜17．如图，某小区计划在一块长为31m，宽为10m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m1．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（）A．（31﹣1x）（10﹣x）=570 B．31x+1×10x=31×10﹣570C．（31﹣x）（10﹣x）=31×10﹣570 D．31x+1×10x﹣1x1=5708．若关于x的不等式组255 332xxxx a+⎧>-⎪⎪⎨+⎪<+⎪⎩只有5个整数解，则a的取值范围( )A．1162a-<-„B．116a2-<<-C．1162a-<-„D．1162a--剟9．已知关于x的不等式组217x ax-<⎧⎨-≥⎩至少有两个整数解，且存在以3，a，7为边的三角形，则a的整数解有（）A．4个B．5个C．6个D．7个10．如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）．为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A、B两地之间的距离为（）A．800sinα米B．800tanα米C．800sinα米D．800tanα米11．分式2231x xx+--的值为0,则x的取值为( )A．x=-3 B．x=3 C．x=-3或x=1 D．x=3或x=-112．如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB与AD的长度之比为()A．tantanαβB．sinsinβαC．sinsinαβD．coscosβα二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．把16a3﹣ab2因式分解_____．14．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，3），则点C的坐标为_____．15．分解因式：a2b+4ab+4b=______．16．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（m，7），（3m﹣1，7），若线段AB与直线y＝﹣2x﹣1相交，则m的取值范围为__．17．在△ABC中，MN∥BC 分别交AB，AC于点M，N；若AM=1，MB=2，BC=3，则MN的长为_____．183a-_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）有一项工程，若甲队单独做，恰好在规定日期完成，若乙队单独做要超过规定日期3天完成；现在先由甲、乙两队合做2天后，剩下的工程再由乙队单独做，也刚好在规定日期完成，问规定日期多少天？20．（6分）正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE=DF．连接BF，作EH⊥BF所在直线于点H，连接CH．（1）如图1，若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是______；（2）如图2，当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论是否成立？若成立给出证明；若不成立，说明理由；（3）如图3，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH的垂线，交直线BF于点K，连接CK，请直接写出线段CK长的最大值．21．（6分）当x取哪些整数值时，不等式21222xx-≤-+与4﹣7x＜﹣3都成立？22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C．求抛物线y=ax2+2x+c的解析式:；点D为抛物线上对称轴右侧、x轴上方一点，DE⊥x轴于点E，DF∥AC交抛物线对称轴于点F，求DE+DF的最大值；①在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；②点Q在抛物线对称轴上，其纵坐标为t，请直接写出△ACQ为锐角三角形时t的取值范围．23．（8分）某校团委为研究该校学生的课余活动情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、其他等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制了如下的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列各题：（1）在这次研究中，一共调查了多少名学生？（2）“其他”在扇形统计图中所占的圆心角是多少度？（3）补全频数分布直方图；（4）该校共有3200名学生，请你估计一下全校大约有多少学生课余爱好是阅读．24．（10分）观察下列各式：①()()2111x x x -+=- ②()()23111x x x x -++=- ③()()324111x x x x x -+++=- 由此归纳出一般规律()()111n n x x x x --++⋅⋅⋅++=__________. 25．（10分）如图，直线y 1=﹣x+4，y 2=34x+b 都与双曲线y=k x 交于点A （1，m ），这两条直线分别与x 轴交于B ，C 两点．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）直接写出当x ＞0时，不等式34x+b ＞k x 的解集； （3）若点P 在x 轴上，连接AP 把△ABC 的面积分成1：3两部分，求此时点P 的坐标．26．（12分）如图，某校自行车棚的人字架棚顶为等腰三角形，D 是AB 的中点，中柱CD ＝1米，∠A ＝27°，求跨度AB 的长(精确到0.01米).27．（12分）（本题满分8分）如图，四边形ABCD 中，,E 是边CD的中点，连接BE 并延长与AD 的延长线相较于点F ．（1）求证：四边形BDFC 是平行四边形；（2）若△BCD 是等腰三角形，求四边形BDFC 的面积．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．D【解析】【分析】根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量=11枚白银的重量；②（10枚白银的重量+1枚黄金的重量）-（1枚白银的重量+8枚黄金的重量）=13两，根据等量关系列出方程组即可．【详解】设每枚黄金重x 两，每枚白银重y 两，由题意得：91110813x y y x x y =⎧⎨+-+=⎩（）（）， 故选：D ．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 2．B【解析】【分析】先将分母进行通分，化为（x+y ）（x-y ）的形式，分子乘上相应的分式，进行化简.【详解】()()()()222222x y x +xy xy-y x +y -=-=x-y x+y x+y x-y x+y x-y x -y【点睛】本题考查的是分式的混合运算，解题的关键就是熟练掌握运算规则.3．B【解析】试题分析：∵一次函数y=kx+b （k 、b 是常数，k≠0）的图象经过第一、二、四象限，∴k ＜0，b ＞0，故选B ．考点：一次函数的性质和图象4．B【解析】试题解析：向量最后的差应该还是向量.20.a b v vv -= 故错误.故选B.5．D【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.【详解】解：A. 是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；B. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；C. 是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；D. 既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意．故选D.【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键.6．A【解析】分析：根据分式的分母不为0；偶次根式被开方数大于或等于0；当一个式子中同时出现这两点时，应该是取让两个条件都满足的公共部分． 详解：根据题意得到：1010x x +≥⎧⎨-≠⎩， 解得x≥-1且x≠1，点睛：本题考查了函数自变量的取值范围问题，判断一个式子是否有意义，应考虑分母上若有字母，字母的取值不能使分母为零，二次根号下字母的取值应使被开方数为非负数．易错易混点：学生易对二次根式的非负性和分母不等于0混淆．7．A【解析】六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为xm ，根据草坪的面积是570m 1，即可列出方程:(31−1x)(10−x)=570，故选A.8．A【解析】【分析】分别解两个不等式得到得x ＜20和x ＞3-2a ，由于不等式组只有5个整数解，则不等式组的解集为3-2a ＜x ＜20，且整数解为15、16、17、18、19，得到14≤3-2a ＜15，然后再解关于a 的不等式组即可．【详解】255332x x x x a +⎧>-⎪⎪⎨+⎪<+⎪⎩①② 解①得x ＜20解②得x ＞3-2a ，∵不等式组只有5个整数解，∴不等式组的解集为3-2a ＜x ＜20，∴14≤3-2a ＜15，1162a ∴-<-… 故选：A【点睛】 本题主要考查对不等式的性质，解一元一次不等式，一元一次不等式组的整数解等知识点的理解和掌握，能求出不等式14≤3-2a ＜15是解此题的关键．9．A【解析】【分析】依据不等式组至少有两个整数解，即可得到a ＞5，再根据存在以3，a ，7为边的三角形，可得4＜a ＜10，进而得出a 的取值范围是5＜a ＜10，即可得到a 的整数解有4个．解：解不等式①，可得x＜a，解不等式②，可得x≥4，∵不等式组至少有两个整数解，∴a＞5，又∵存在以3，a，7为边的三角形，∴4＜a＜10，∴a的取值范围是5＜a＜10，∴a的整数解有4个，故选：A．【点睛】此题考查的是一元一次不等式组的解法和三角形的三边关系的运用，求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．10．D【解析】【分析】在Rt△ABC中，∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米，根据tanα=ACAB，即可解决问题.【详解】在Rt△ABC中，∵∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米，∴tanα=AC AB，∴AB=800 tan tanACαα=，故选D．【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.11．A【解析】【分析】分式的值为2的条件是：（2）分子等于2；（2）分母不为2．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．【详解】∵原式的值为2，∴2230 {10x xx+--≠＝，∴（x-2）（x+3）=2，即x=2或x=-3；又∵|x|-2≠2，即x≠±2．∴x=-3．故选：A．【点睛】此题考查的是对分式的值为2的条件的理解，该类型的题易忽略分母不为2这个条件．12．B【解析】【分析】在两个直角三角形中，分别求出AB、AD即可解决问题；【详解】在Rt△ABC中，AB=AC sinα，在Rt△ACD中，AD=AC sinβ，∴AB：AD=ACsinα：ACsinβ=sinsinβα，故选B．【点睛】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．a（4a+b）（4a﹣b）【解析】【分析】首先提取公因式a，再利用平方差公式分解因式得出答案．【详解】解：16a3-ab2=a（16a2-b2）=a（4a+b）（4a-b）．故答案为：a（4a+b）（4a-b）．【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．14．1）【解析】如图作AF⊥x轴于F，CE⊥x轴于E．∵四边形ABCD 是正方形，∴OA=OC ，∠AOC=90°，∵∠COE+∠AOF=90°，∠AOF+∠OAF=90°，∴∠COE=∠OAF ，在△COE 和△OAF 中，90CEO AFO COE OAF OC OA ⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△COE ≌△OAF ，∴CE=OF ，OE=AF ，∵A （13，∴CE=OF=1，3∴点C 3，1）， 故答案为（3，1）．点睛：本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，坐标与图形的性质，解题的关键是学会添加常用的辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.注意：距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号.15．b （a+2）2【解析】【分析】根据公式法和提公因式法综合运算即可【详解】a 2b+4ab+4b=22(44)(2)b a a b a ++=+.故本题正确答案为2(2)b a +.【点睛】本题主要考查因式分解.16．﹣4≤m≤﹣1【解析】【分析】先求出直线y ＝7与直线y ＝﹣2x ﹣1的交点为（﹣4，7），再分类讨论：当点B 在点A 的右侧，则m≤﹣4≤3m﹣1，当点B 在点A 的左侧，则3m ﹣1≤﹣4≤m ，然后分别解关于m 的不等式组即可．【详解】解：当y ＝7时，﹣2x ﹣1＝7，解得x ＝﹣4，所以直线y ＝7与直线y ＝﹣2x ﹣1的交点为（﹣4，7），当点B 在点A 的右侧，则m≤﹣4≤3m ﹣1，无解；当点B 在点A 的左侧，则3m ﹣1≤﹣4≤m ，解得﹣4≤m≤﹣1，所以m 的取值范围为﹣4≤m≤﹣1，故答案为﹣4≤m≤﹣1．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据直线y ＝﹣2x ﹣1与线段AB 有公共点找出关于m 的一元一次不等式组是解题的关键．17．1【解析】【详解】∵MN ∥BC ，∴△AMN ∽△ABC ， ∴，即，∴MN=1.故答案为1.18．﹣a -【解析】 30a -≥Q ,0a ∴≤ .32a a a a -=-⋅=-- .三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．规定日期是6天．【解析】【分析】本题的等量关系为：甲工作2天完成的工作量+乙规定日期完成的工作量=1，把相应数值代入即可求解．【详解】解：设工作总量为1，规定日期为x 天，则若单独做，甲队需x 天，乙队需x+3天，根据题意列方程得1122133x x x x -⎛⎫++= ⎪++⎝⎭解方程可得x=6，经检验x=6是分式方程的解．答：规定日期是6天．20．（1）CH=AB ．；（2）成立，证明见解析；（3）32+3【解析】【分析】（1）首先根据全等三角形判定的方法，判断出△ABF ≌△CBE ，即可判断出∠1=∠2；然后根据EH ⊥BF ，∠BCE=90°，可得C 、H 两点都在以BE 为直径的圆上，判断出∠4=∠HBC ，即可判断出CH=BC ，最后根据AB=BC ，判断出CH=AB 即可．（2）首先根据全等三角形判定的方法，判断出△ABF ≌△CBE ，即可判断出∠1=∠2；然后根据EH ⊥BF ，∠BCE=90°，可得C 、H 两点都在以BE 为直径的圆上，判断出∠4=∠HBC ，即可判断出CH=BC ，最后根据AB=BC ，判断出CH=AB 即可．（3）首先根据三角形三边的关系，可得CK ＜AC+AK ，据此判断出当C 、A 、K 三点共线时，CK 的长最大；然后根据全等三角形判定的方法，判断出△DFK ≌△DEH ，即可判断出DK=DH ，再根据全等三角形判定的方法，判断出△DAK ≌△DCH ，即可判断出AK=CH=AB ；最后根据CK=AC+AK=AC+AB ，求出线段CK 长的最大值是多少即可．【详解】解：（1）如图1，连接BE ，，在正方形ABCD 中，AB=BC=CD=AD ，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，∵点E 是DC 的中点，DE=EC ，∴点F 是AD 的中点，∴AF=FD ，∴EC=AF ，在△ABF 和△CBE 中，AB CB A BCE AF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABF ≌△CBE ，∴∠1=∠2，∵EH ⊥BF ，∠BCE=90°，∴C 、H 两点都在以BE 为直径的圆上，∴∠3=∠2，∴∠1=∠3，∵∠3+∠4=90°，∠1+∠HBC=90°，∴∠4=∠HBC ，∴CH=BC ，又∵AB=BC ，∴CH=AB ．（2）当点E 在DC 边上且不是DC 的中点时，（1）中的结论CH=AB 仍然成立．如图2，连接BE ，，在正方形ABCD 中，AB=BC=CD=AD ，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，∵AD=CD ，DE=DF ，∴AF=CE ，在△ABF 和△CBE 中，AB CB A BCE AF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABF ≌△CBE ，∴∠1=∠2，∵EH ⊥BF ，∠BCE=90°，∴C 、H 两点都在以BE 为直径的圆上，∴∠3=∠2，∴∠1=∠3，∵∠3+∠4=90°，∠1+∠HBC=90°，∴∠4=∠HBC ，∴CH=BC ，又∵AB=BC ，∴CH=AB ．（3）如图3，，∵CK≤AC+AK ，∴当C 、A 、K 三点共线时，CK 的长最大，∵∠KDF+∠ADH=90°，∠HDE+∠ADH=90°，∴∠KDF=∠HDE ，∵∠DEH+∠DFH=360°-∠ADC-∠EHF=360°-90°-90°=180°，∠DFK+∠DFH=180°，∴∠DFK=∠DEH ，在△DFK 和△DEH 中，KDF HDE DF DEDFK DEH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△DFK ≌△DEH ，∴DK=DH ，在△DAK 和△DCH 中，DA DC KDA HDC DK DH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DAK ≌△DCH ，∴AK=CH又∵CH=AB ，∴AK=CH=AB，∵AB=3，∴AK=3，，∴CK=AC+AK=AC+AB=3，即线段CK长的最大值是3．考点：四边形综合题．21．2，1【解析】【分析】根据题意得出不等式组，解不等式组求得其解集即可．【详解】根据题意得21222473xxx-⎧≤-+⎪⎨⎪-<-⎩①②，解不等式①，得：x≤1，解不等式②，得：x＞1，则不等式组的解集为1＜x≤1，∴x可取的整数值是2，1．【点睛】本题考查了解不等式组的能力，根据题意得出不等式组是解题的关键．22．（1）y=﹣x2+2x+3；（2）DE+DF有最大值为132；（3）①存在，P的坐标为（73，209）或（103，139-）；②23-＜t＜83．【解析】【分析】（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），根据系数的关系，即可解答（2）先求出当x=0时，C的坐标，设直线AC的解析式为y=px+q，把A,C的坐标代入即可求出AC的解析式，过D作DG垂直抛物线对称轴于点G，设D（x，﹣x2+2x+3），得出DE+DF=﹣x2x-1）=﹣x2+（），即可解答（3）①过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P1，求出直线PC的解析式，再结合抛物线的解析式可求出P1，过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P2，再利用A的坐标求出P2，即可解答②观察函数图象与△ACQ为锐角三角形时的情况，即可解答【详解】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a=2，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得3p qq-+=⎧⎨=⎩，解得33pq=⎧⎨=⎩，∴直线AC的解析式为y=3x+3，如答图1，过D作DG垂直抛物线对称轴于点G，设D（x，﹣x2+2x+3），∵DF∥AC，∴∠DFG=∠ACO，易知抛物线对称轴为x=1，∴DG=x-1，DF=10（x-1），∴DE+DF=﹣x2+2x+3+10（x-1）=﹣x2+（2+10）x+3-10，∴当x=101+，DE+DF有最大值为132；答图1 答图2（3）①存在；如答图2，过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P1，∵直线AC的解析式为y=3x+3，∴直线PC的解析式可设为y=13-x+m，把C（0，3）代入得m=3，∴直线P1C的解析式为y=13-x+3，解方程组223133y x xy x⎧=-++⎪⎨=-+⎪⎩，解得3xy=⎧⎨=⎩或73209xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则此时P1点坐标为（73，209）；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P2，直线AP2的解析式可设为y=13-x+n，把A（﹣1，0）代入得n=13 -，∴直线PC的解析式为y=1133x--，解方程组2231133y x xy x⎧=-++⎪⎨=--⎪⎩，解得1xy=-⎧⎨=⎩或103139xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则此时P2点坐标为（103，139-），综上所述，符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，139-）；②23-＜t＜83．【点睛】此题考查二次函数综合题，解题关键在于把已知点代入解析式求值和作辅助线.23．（1）总调查人数是100人；（2）在扇形统计图中“其它”类的圆心角是36°；（3）补全频数分布直方图见解析；（4）估计一下全校课余爱好是阅读的学生约为960人．【解析】【分析】（1）利用参加运动的人数除以其所占的比例即可求得这次调查的总人数；（2）用360°乘以“其它”类的人数所占的百分比即可求解；（3）求得“其它”类的人数、“娱乐”类的人数，补全统计图即可；（4）用总人数乘以课余爱好是阅读的学生人数所占的百分比即可求解.【详解】（1）从条形统计图中得出参加运动的人数为20人，所占的比例为20%，∴总调查人数＝20÷20%＝100人；（2）参加娱乐的人数＝100×40%＝40人，从条形统计图中得出参加阅读的人数为30人，∴“其它”类的人数＝100﹣40﹣30﹣20＝10人，所占比例＝10÷100＝10%，在扇形统计图中“其它”类的圆心角＝360×10%＝36°；（3）如图（4）估计一下全校课余爱好是阅读的学生约为3200×30100＝960（人）．【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图的应用，从条形统计图、扇形统计图中获取必要的信息是解决问题的关键．24．x n+1-1【解析】试题分析：观察其右边的结果：第一个是2x ﹣1；第二个是3x ﹣1；…依此类推，则第n 个的结果即可求得．试题解析：（x ﹣1）（n x +1n x -+…x+1）=11n x +-．故答案为11n x +-.考点：平方差公式．25．（1）3y x =；（2）x ＞1；（3）P （﹣54，0）或（94，0） 【解析】分析：（1）求得A （1，3），把A （1，3）代入双曲线y=k x ，可得y 与x 之间的函数关系式； （2）依据A （1，3），可得当x ＞0时，不等式34x+b ＞k x的解集为x ＞1； （3）分两种情况进行讨论，AP 把△ABC 的面积分成1：3两部分，则CP=14BC=74，或BP=14BC=74，即可得到OP=3﹣74=54，或OP=4﹣74=94，进而得出点P 的坐标． 详解：（1）把A （1，m ）代入y 1=﹣x+4，可得m=﹣1+4=3，∴A （1，3），把A （1，3）代入双曲线y=k x，可得k=1×3=3， ∴y 与x 之间的函数关系式为：y=3x ； （2）∵A （1，3），∴当x ＞0时，不等式34x+b ＞k x的解集为：x ＞1； （3）y 1=﹣x+4，令y=0，则x=4，∴点B 的坐标为（4，0），把A （1，3）代入y 2=34x+b ，可得3=34+b ， ∴b=94， ∴y 2=34x+94， 令y 2=0，则x=﹣3，即C （﹣3，0），∴BC=7，∵AP 把△ABC 的面积分成1：3两部分，∴CP=14BC=74，或BP=14BC=74∴OP=3﹣74=54，或OP=4﹣74=94，∴P（﹣54，0）或（94，0）．点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．26．AB≈3.93m．【解析】【分析】想求得AB长，由等腰三角形的三线合一定理可知AB＝2AD，求得AD即可，而AD可以利用∠A的三角函数可以求出．【详解】∵AC＝BC，D是AB的中点，∴CD⊥AB，又∵CD＝1米，∠A＝27°，∴AD＝CD÷tan27°≈1.96，∴AB＝2AD，∴AB≈3.93m．【点睛】本题考查了三角函数，直角三角形，等腰三角形等知识，关键利用了正切函数的定义求出AD，然后就可以求出AB．27．（1）见解析；（2）6或【解析】试题分析：（1）根据平行线的性质和中点的性质证明三角形全等，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形完成证明；（2）由等腰三角形的性质，分三种情况：①BD=BC,②BD=CD,③BC=CD,分别求四边形的面积．试题解析：（1）证明：∵∠A=∠ABC=90°∴AF∥BC∴∠CBE=∠DFE,∠BCE=∠FDE∵E是边CD的中点∴CE=DE∴△BCE≌△FDE（AAS）∴BE=EF∴四边形BDFC是平行四边形（2）若△BCD是等腰三角形①若BD=DC在Rt△ABD中，AB=∴四边形BDFC的面积为S=×3=6；②若BD=DC过D作BC的垂线，则垂足为BC得中点，不可能；③若BC=DC过D作DG⊥BC,垂足为G在Rt△CDG中，DG=∴四边形BDFC的面积为S=．考点：三角形全等，平行四边形的判定，勾股定理，四边形的面积。
2024届辽宁省沈阳市和平区中考二模数学试题含解析
2024届辽宁省沈阳市和平区中考二模数学试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．如图所示是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，求出这支蜡烛在暗盒中所成像CD 的长（ ）A ．16cmB ．13cm C ．12cm D ．1cm2．平面直角坐标系内一点()2, 3P -关于原点对称点的坐标是（ ）A ．()3,2-B ．()2,3C ．()2,3--D ．()2,3-3．一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O 出发，如图所示，轮船从港口O 沿北偏西20°的方向行60海里到达点M 处，同一时刻渔船已航行到与港口O 相距80海里的点N 处，若M 、N 两点相距100海里，则∠NOF 的度数为（ ）A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°4．下列运算结果正确的是（ ）A ．3a ﹣a=2B ．（a ﹣b ）2=a 2﹣b 2C ．a （a+b ）=a 2+bD ．6ab 2÷2ab=3b5．若关于x 的一元二次方程x 2－2x －k ＝0没有实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．k ＞－1B ．k≥－1C ．k ＜－1D ．k≤－162(3)3b b -=-，则（ ）A ．3b >B ．3b <C ．3b ≥D ．3b ≤7．如图，等边△ABC 内接于⊙O ，已知⊙O 的半径为2，则图中的阴影部分面积为（ ）A ．8233π-B ．433π-C ．8333π- D ．9344π- 8．抚顺市中小学机器人科技大赛中，有7名学生参加决赛，他们决赛的成绩各不相同，其中一名参赛选手想知道自己能否进入前4名，他除了知道自己成绩外还要知道这7名学生成绩的（ ）A ．中位数B ．众数C ．平均数D ．方差9．3-的相反数是（ ）A ．33B ．-33C ．3D ．3-10．一次函数y kx b =+满足0kb <，且y 随x 的增大而减小，则此函数的图像一定不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．已知关于x 的方程x 2﹣2x+n=1没有实数根，那么|2﹣n|﹣|1﹣n|的化简结果是_____．12．一个圆锥的三视图如图，则此圆锥的表面积为______．13．为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3000元．若每个篮球80元，每个足球50元，则篮球最多可购买_____个．14．如图，一根5m 长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A （羊只能在草地上活动），那么小羊A 在草地上的最大活动区域面积是_____平方米．15．分解因式：x 2y ﹣y ＝_____．16．若将抛物线y=﹣4（x+2）2﹣3图象向左平移5个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线的顶点坐标是_____．17．分解因式：ax 2－a =______．三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝4，BC ＝1．在BC 上求作一点P ，使PA+PB ＝BC ；(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)求BP 的长．19．（5分）解不等式组:3(2)421152x x x x ≥-+⎧⎪-+⎨<⎪⎩并把解集在数轴上表示出来. 20．（8分）已知，如图，直线MN 交⊙O 于A ，B 两点，AC 是直径，AD 平分∠CAM 交⊙O 于D ，过D 作DE ⊥MN 于E ．求证：DE 是⊙O 的切线；若DE=6cm ，AE=3cm ，求⊙O 的半径．21．（10分）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？请解答上述问题．22．（10分）已知抛物线23y ax bx =++的开口向上顶点为P（1）若P 点坐标为（4，一1），求抛物线的解析式；（2）若此抛物线经过（4，一1），当－1≤x≤2时，求y 的取值范围（用含a 的代数式表示）（3）若a ＝1，且当0≤x≤1时，抛物线上的点到x 轴距离的最大值为6，求b 的值23．（12分）为了加强学生的安全意识，某校组织了学生参加安全知识竞赛．从中抽取了部分学生成绩（得分数取正整数，满分为100分）进行统计，绘制统计频数分布直方图（未完成）和扇形图如下，请解答下列问题：（1）A组的频数a比B组的频数b小24，样本容量，a为：（2）n为°，E组所占比例为%：（3）补全频数分布直方图；（4）若成绩在80分以上优秀，全校共有2000名学生，估计成绩优秀学生有名．24．（14分）已知：如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF．()1求证：BCE DCF≅；()2当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、D【解题分析】过O作直线OE⊥AB，交CD于F，由CD//AB可得△OAB∽△OCD，根据相似三角形对应边的比等于对应高的比列方程求出CD的值即可.【题目详解】过O作直线OE⊥AB，交CD于F，∵AB//CD，∴OF⊥CD，OE=12，OF=2，∴△OAB∽△OCD，∵OE、OF分别是△OAB和△OCD的高，∴OF CDOE AB=，即2126CD=，解得：CD=1.故选D.【题目点拨】本题考查相似三角形的应用，解题的关键在于理解小孔成像原理给我们带来的已知条件，熟记相似三角形对应边的比等于对应高的比是解题关键.2、D【解题分析】根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．【题目详解】解：根据关于原点对称的点的坐标的特点，∴点A（-2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，-3）, 故选D．【题目点拨】本题主要考查点关于原点对称的特征，解决本题的关键是要熟练掌握点关于原点对称的特征.3、C【解题分析】解：∵OM=60海里，ON=80海里，MN=100海里，∴OM2+ON2=MN2，∴∠MON=90°，∵∠EOM=20°，∴∠NOF=180°﹣20°﹣90°=70°．故选C．【题目点拨】本题考查直角三角形的判定，掌握方位角的定义及勾股定理逆定理是本题的解题关键．4、D【解题分析】各项计算得到结果，即可作出判断．【题目详解】解：A 、原式=2a ，不符合题意；B 、原式=a 2-2ab+b 2，不符合题意；C 、原式=a 2+ab ，不符合题意;D 、原式=3b ，符合题意；故选D【题目点拨】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5、C【解题分析】 试题分析：由题意可得根的判别式，即可得到关于k 的不等式，解出即可. 由题意得，解得 故选C.考点：一元二次方程的根的判别式 点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程的两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 6、D【解题分析】等式左边为非负数，说明右边3b 0-≥，由此可得b 的取值范围．【题目详解】 解：2(3b)3b -=-，3b 0∴-≥，解得b 3.≤故选D ．【题目点拨】()a 0a 0≥≥()2a a a 0=≥．7、A【解题分析】解：连接OB、OC，连接AO并延长交BC于H，则AH⊥BC．∵△ABC是等边三角形，∴BH 33OH=1，∴△OBC的面积=12×BC×OH3则△OBA的面积=△OAC的面积=△OBC的面积3BOC=120°，∴图中的阴影部分面积=2240223360π⨯-8233π-A．点睛：本题考查的是三角形的外接圆与外心、扇形面积的计算，掌握等边三角形的性质、扇形面积公式是解题的关键．8、A【解题分析】7人成绩的中位数是第4名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前4名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．【题目详解】由于总共有7个人，且他们的分数互不相同，第4的成绩是中位数，要判断是否进入前4名，故应知道中位数的多少，故选A．【题目点拨】本题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义，熟练掌握相关的定义是解题的关键. 9、C【解题分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可.【题目详解】3-3所以33故选C．【题目点拨】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键.10、C【解题分析】y随x的增大而减小，可得一次函数y=kx+b单调递减，k＜0，又满足kb<0，可得b>0，由此即可得出答案．【题目详解】∵y随x的增大而减小，∴一次函数y=kx+b单调递减，∴k＜0，∵kb<0，∴b>0，∴直线经过第二、一、四象限，不经过第三象限，故选C．【题目点拨】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数y=kx+b(k≠0，k、b是常数)的图象和性质是解题的关键.二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11、﹣1【解题分析】根据根与系数的关系得出b2-4ac=（-2）2-4×1×（n-1）=-4n+8＜0，求出n＞2，再去绝对值符号，即可得出答案．【题目详解】解：∵关于x的方程x2−2x+n=1没有实数根，∴b2-4ac=（-2）2-4×1×（n-1）=-4n+8＜0，∴n＞2，∴|2−n |-│1-n│=n-2-n+1=-1.故答案为-1.【题目点拨】本题考查了根的判别式，解题的关键是根据根与系数的关系求出n的取值范围再去绝对值求解即可.12、55cm2【解题分析】由正视图和左视图判断出圆锥的半径和母线长，然后根据圆锥的表面积公式求解即可.【题目详解】由三视图可知，半径为5cm,圆锥母线长为6cm,∴表面积=π×5×6+π×52=55πcm2，故答案为: 55πcm 2.【题目点拨】本题考查了圆锥的计算,由该三视图中的数据确定圆锥的底面直径和母线长是解本题的关键，本题体现了数形结合的数学思想.如果圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，那么圆锥的表面积=πrl +πr 2.13、1【解题分析】设购买篮球x 个，则购买足球()50x -个，根据总价=单价⨯购买数量结合购买资金不超过3000元，即可得出关于x 的一元一次不等式，解之取其中的最大整数即可．【题目详解】设购买篮球x 个，则购买足球()50x -个，根据题意得：()80x 5050x 3000+-≤， 解得：50x 3≤． x 为整数，x ∴最大值为1． 故答案为1．【题目点拨】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．14、【解题分析】试题分析：根据题意可知小羊的最大活动区域为：半径为5，圆心角度数为90°的扇形和半径为1，圆心角为60°的扇形，则902560177S 36036012πππ⨯⨯⨯⨯=+=． 点睛：本题主要考查的就是扇形的面积计算公式，属于简单题型．本题要特别注意的就是在拐角的位置时所构成的扇形的圆心角度数和半径，能够画出图形是解决这个问题的关键．在求扇形的面积时，我们一定要将圆心角代入进行计算，如果题目中出现的是圆周角，则我们需要求出圆心角的度数，然后再进行计算．15、y （x +1）（x ﹣1）【解题分析】观察原式x 2y ﹣y ，找到公因式y 后，提出公因式后发现x 2-1符合平方差公式，利用平方差公式继续分解可得.【题目详解】解：x 2y ﹣y＝y （x 2﹣1）＝y （x +1）（x ﹣1）．故答案为：y （x +1）（x ﹣1）．【题目点拨】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．16、（﹣7，0）【解题分析】直接利用平移规律“左加右减，上加下减”得出平移后的解析式进而得出答案．【题目详解】∵将抛物线y=-4（x+2）2-3图象向左平移5个单位，再向上平移3个单位，∴平移后的解析式为：y=-4（x+7）2，故得到的抛物线的顶点坐标是：（-7，0）．故答案为（-7，0）．【题目点拨】此题主要考查了二次函数与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．17、(1)(1)a x x +-【解题分析】先提公因式，再套用平方差公式.【题目详解】ax 2－a =a （x 2-1）=()()11a x x +- 故答案为：()()11a x x +-【题目点拨】掌握因式分解的一般方法：提公因式法，公式法.三、解答题（共7小题，满分69分）18、 (1)见解析；(2)2.【解题分析】（1）作AC 的垂直平分线与BC 相交于P ；（2）根据勾股定理求解.【题目详解】(1)如图所示，点P即为所求．(2)设BP＝x，则CP＝1﹣x，由(1)中作图知AP＝CP＝1﹣x，在Rt△ABP中，由AB2+BP2＝AP2可得42+x2＝(1﹣x)2，解得：x＝2，所以BP＝2．【题目点拨】考核知识点：勾股定理和线段垂直平分线.19、不等式组的解集为﹣7＜x≤1，将解集表示在数轴上表示见解析.【解题分析】试题分析：先解不等式组中的每一个不等式，再根据大大取较大，小小取较小，大小小大取中间，大大小小无解，把它们的解集用一条不等式表示出来．试题解析：由①得：﹣2x≥﹣2，即x≤1，由②得：4x﹣2＜5x+5，即x＞﹣7，所以﹣7＜x≤1．在数轴上表示为：.考点：解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．点睛：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个.在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示.20、解：（1）证明见解析；（2）⊙O的半径是7.5cm．【解题分析】（1）连接OD，根据平行线的判断方法与性质可得∠ODE=∠DEM=90°，且D在⊙O上，故DE是⊙O的切线．（2）由直角三角形的特殊性质，可得AD的长，又有△ACD∽△ADE．根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求得圆的半径．【题目详解】（1）证明：连接OD．∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA．∵∠OAD=∠DAE，∴∠ODA=∠DAE．∴DO∥MN．∵DE⊥MN，∴∠ODE=∠DEM=90°．即OD⊥DE．∵D在⊙O上，OD为⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．（2）解：∵∠AED=90°，DE=6，AE=3，∴2235AD DE AE=+=连接CD．∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=∠AED=90°．∵∠CAD=∠DAE，∴△ACD∽△ADE．∴AD AC AE AD=．3535=则AC=15（cm ）．∴⊙O 的半径是7.5cm ．考点：切线的判定；平行线的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．21、共有7人，这个物品的价格是53元．【解题分析】根据题意，找出等量关系，列出一元一次方程.【题目详解】解：设共有x 人，这个物品的价格是y 元，83,74,x y x y -=⎧⎨+=⎩解得7,53,x y =⎧⎨=⎩答：共有7人，这个物品的价格是53元.【题目点拨】本题考查了二元一次方程的应用.22、（1）21234y x x =-+；（2）1－4a≤y≤4＋5a ；（3）b ＝2或－10. 【解题分析】（1）将P （4，-1）代入，可求出解析式（2）将（4，-1）代入求得：b=-4a-1，再代入对称轴直线2b x a =-中，可判断22b x a =->，且开口向上，所以y 随x 的增大而减小，再把x=-1，x=2代入即可求得．（3）观察图象可得，当0≤x≤1时，抛物线上的点到x 轴距离的最大值为6，这些点可能为x=0，x=1，2b x =-三种情况，再根据对称轴2b x =-在不同位置进行讨论即可． 【题目详解】解：（1）由此抛物线顶点为P （4，-1），所以y ＝a （x-4）2-1＝ax 2－8ax ＋16a －1，即16a －1＝3，解得a=14， b=-8a=-2 所以抛物线解析式为：21234y x x =-+； （2）由此抛物线经过点C （4，－1），所以 一1＝16a ＋4b ＋3，即b ＝－4a －1．因为抛物线2(41)3=-++y ax a x 的开口向上，则有0a > 其对称轴为直线412+=a x a ，而4112222a +==+>a x a所以当－1≤x≤2时，y 随着x 的增大而减小当x ＝－1时，y=a+(4a+1)+3=4+5a当x ＝2时，y=4a-2(4a+1)+3=1-4a所以当－1≤x≤2时，1－4a≤y≤4＋5a ；（3）当a ＝1时，抛物线的解析式为y ＝x 2＋bx ＋3 ∴抛物线的对称轴为直线2b x =- 由抛物线图象可知，仅当x ＝0，x ＝1或x ＝－2b 时，抛物线上的点可能离x 轴最远 分别代入可得，当x ＝0时，y=3当x=1时，y ＝b ＋4当x=-2b 时,y=-24b +3 ①当一2b ＜0，即b ＞0时，3≤y≤b+4， 由b ＋4＝6解得b ＝2 ②当0≤-2b ≤1时，即一2≤b≤0时，△＝b 2－12＜0，抛物线与x 轴无公共点 由b ＋4＝6解得b ＝2(舍去)； ③当b 12-> ，即b ＜－2时，b ＋4≤y≤3， 由b ＋4＝－6解得b ＝－10综上，b ＝2或－10【题目点拨】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，以及最值问题，关键是对称轴在不同的范围内，抛物线上的点到x 轴距离的最大值的点不同．23、（1）200；16（2）126；12%（3）见解析（4）940【解题分析】分析：（1）由于A 组的频数比B 组小24，而A 组的频率比B 组小12%，则可计算出调查的总人数，然后计算a 和b 的值；（2）用360度乘以D 组的频率可得到n 的值，根据百分比之和为1可得E 组百分比；（3）计算出C 和E 组的频数后补全频数分布直方图；(4）利用样本估计总体，用2000乘以D 组和E 组的频率和即可．本题解析：（1）调查的总人数为()24208%200÷-=，∴2008%16a =⨯=，20020%40b =⨯=，（2）D 部分所对的圆心角70360126200=︒⨯=︒，即126n =， E 组所占比例为：7018%20%25%100%12%200⎛⎫-+++⨯= ⎪⎝⎭， （3）C 组的频数为20025%50⨯=，E 组的频数为2001640507024----=，补全频数分布直方图为：（4）70242000940200+⨯=， ∴估计成绩优秀的学生有940人．点睛：本题考查了频数（率）分布直方图：提高读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，要认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，也考查了用样本估计总体.24、见解析【解题分析】（1）由菱形的性质得出∠B ＝∠D ，AB ＝BC ＝DC ＝AD ，由已知和三角形中位线定理证出AE ＝BE ＝DF ＝AF ，OF ＝12DC ，OE ＝12BC ，OE ∥BC ，由(SAS )证明△BCE ≌△DCF 即可； （2）由（1）得：AE ＝OE ＝OF ＝AF ，证出四边形AEOF 是菱形，再证出∠AEO ＝90°，四边形AEOF 是正方形．【题目详解】(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴∠B ＝∠D ，AB ＝BC ＝DC ＝AD ，∵点E ，O ，F 分别为AB ，AC ，AD 的中点，∴AE ＝BE ＝DF ＝AF ,OF ＝12DC ,OE ＝12BC ,OE ∥BC ，在△BCE和△DCF中,BE DFB D BC DC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCE≌△DCF(SAS)；(2)当AB⊥BC时，四边形AEOF是正方形，理由如下：由(1)得：AE＝OE＝OF＝AF，∴四边形AEOF是菱形，∵AB⊥BC,OE∥BC，∴OE⊥AB，∴∠AEO＝90°，∴四边形AEOF是正方形.【题目点拨】本题考查了全等三角形、菱形、正方形的性质，解题的关键是熟练的掌握菱形、正方形、全等三角形的性质.。
2020年辽宁省沈阳市和平区中考数学二模试卷 (解析版)
2020年辽宁省沈阳市和平区中考数学二模试卷一、选择题（共10小题）.1．地球平均半径约等于6 400 000米，6 400 000用科学记数法表示为（）A．64×105B．6.4×105C．6.4×106D．6.4×1072．估算面积为3的正方形的边长b的值（）A．在0和1之间B．在1和2之间C．在2和3之间D．在3和4之间3．某几何体的三视图如图所示，该几何体是（）A．圆锥B．圆柱C．三棱锥D．球4．不等式﹣x+3≥0的正整数解有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．一次函数y＝﹣x﹣2的图象经过（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限6．下列运算正确的是（）A．m2+m2＝2m2B．（m﹣n）（n﹣m）＝n2﹣m2C．（﹣2mn）2＝﹣4m2n2D．（2m）3÷m3＝27．下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③过直线外一点作已知直线的垂线；④作一条线段的垂直平分线，则对应作法错误的是（）A．①B．②C．③D．④8．将一副三角板如图叠放，则图中∠α余角的度数为（）A．15°B．75°C．85°D．165°9．某校组建了书法、音乐、美术、舞蹈、演讲5个社团，随机调查了部分学生．被调查学生每人都参加且只参加了其中一个社团活动，并将调查结果制成了如图两幅不完整的统计图，在扇形统计图中，“音乐”所对应的扇形圆心角度数是（）度．A．25%B．25C．60D．9010．如图，已知l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离相等．若等腰直角△ABC的三个顶点分别在三条平行直线上，则∠α的正弦值是（）A．B．C．D．二.填空题（每小题3分，共18分）11．正六边形是轴对称图形，它有条对称轴．12．面试时，某人的基础知识、表达能力、工作态度的得分分别是80分、70分、90分，若依次按照30%、30%、40%的比例确定面试成绩，则这个人的面试成绩是分．13．化简：＝．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的一条角平分线，若AB＝13．AD＝12．则BC的长为．15．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于O，且AC＝8cm，BD＝6cm，则菱形ABCD的高DE＝cm．16．如图，在正方形ABCD中，AB＝16．连接AC，点P在线段AC上，PA＝AC，作射线PM与边AB相交于点E．将射线PM绕点P逆时针旋转90°得到射线PN，射线PN 与边BC相交于点F．当△AEP的面积为时．在边CD上取一点G．则△AFG周长的最小值是．三、解答题（第17小题6分，第18.19小题各8分，共22分）17．计算：|1﹣6cos30°|﹣+（﹣）﹣2﹣（﹣3）0．18．一个不透明的盒子中装有两个红球和一个蓝球．这些球除颜色外都相同．（1）从中随机摸出一个球．记下颜色后放回．再从中随机摸出一个球．①请用列表法或树状图法，求第一次摸到蓝球，第二次摸到红球的概率；②请直接写出两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率．（2）从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回．再从中随机摸出一个球，请直接写出两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率．19．如图，▱ABCD中，∠A＝45°，连接BD，且BD⊥AD，点E、点F分别是AB、CD 上的点，连接EF交BD于点O，且EF⊥CD，BE＝DF＝1．（1）求EF的长；（2）直接写出▱ABCD的面积．四.（每小题8分，共16分）20．某校组织了一次比赛，甲、乙两队各有5人参加比赛，两队每人的比赛成绩（单位：分）如下：甲队：7，8，9，6，10乙队：10，9，5，8，8（1）甲队成绩的中位数是分，乙队成绩的众数是分；（2）计算乙队的平均成绩和方差；（3）已知甲队成绩的方差为S2甲＝2，则成绩波动较大的是队．21．如图，AB是⊙O的弦，直线BC与⊙O相切于点B，AD⊥BC，垂足为D，连接OA，OB．（1）求证：AB平分∠OAD；（2）当∠AOB＝100°，⊙O的半径为6cm时．①直接写出扇形AOB的面积约为cm2（结果精确到1cm2）；②点E是⊙O上一动点（点E不与点A、点B重合），连接AE，BE，请直接写出∠AEB＝°．五、（本题10分）22．某商店购进一批成本为每件40元的商品，若商店按单价不低于成本价，且不高于70元销售，且销售单价为正整数，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x （元）之间的关系如表：销售单价x/元40506070每天的销售量y/件14012010080（1）请你认真分析表中所给的数据，用你学过的一次函数、反比例函数和二次函数中的一种来表示y与x之间的变化规律，说明选择这种函数的理由，并求出它的函数表达式和自变量的取值范圈．（2）销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润最大？最大利润是多少元？六、（本题10分）23．如图，在平面立角坐标系中，反比例函数y＝（k≠0，x＜0）与一次函数y＝ax+b的图象交于点A（﹣3，1）、B（m，3）．点C的坐标为（1，0），连接AC，BC．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）当x＜0时，直接写出不等式≥ax+b的解集；（3）若点M为y轴的正半轴上的动点，当△ACM是直角三角形时，直接写出点M的坐标．七、（本题12分）24．（1）问题探究：如图1所示，有公共顶点A的两个正方形ABCD和正方形AEFG．AE＜AB，连接BE 与DG，请判断线段BE与线段DG之间有怎样的数量关系和位置关系．并请说明理由．（2）理解应用如图2所示，有公共顶点A的两个正方形ABCD和正方形AEFG，AE＜AB，AB＝10，将正方形AEFG绕点A在平面内任意旋转，当∠ABE＝15°，且点D、E、G三点在同一条直线上时，请直接写出AE的长；（3）拓展应用如图3所示，有公共顶点A的两个矩形ABCD和矩形AEFG，AD＝4，AB＝4，AG＝4，AE＝4，将矩形AEFG绕点A在平面内任意旋转，连接BD，DE，点M，N 分别是BD，DE的中点，连接MN，当点D、E、G三点在同一条直线上时，请直接写出MN的长八.（本题12分）25．如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的边AO在x轴的负半轴上，边OB在y轴的负半轴上．且AO＝12，OB＝9．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A和点B．（1）求抛物线的表达式；（2）在第二象限的抛物线上找一点M，连接AM，BM，AB，当△ABM面积最大时，求点M的坐标；（3）点D是线段AO上的动点，点E是线段BO上的动点，点F是射线AC上的动点，连接EF，DF，DE，BD，且EF是线段BD的垂直平分线．当CF＝1时．①直接写出点D的坐标；②若△DEF的面积为30，当抛物线y＝﹣x2+bx+c经过平移同时过点D和点E时，请直接写出此时的抛物线的表达式．参考答案一、选择题（下列各题备选答案中，只有一一个答案是正确的，每小题2分，共20分）1．地球平均半径约等于6 400 000米，6 400 000用科学记数法表示为（）A．64×105B．6.4×105C．6.4×106D．6.4×107【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解：6 400 000＝6.4×106，故选：C．2．估算面积为3的正方形的边长b的值（）A．在0和1之间B．在1和2之间C．在2和3之间D．在3和4之间【分析】根据正方形的面积公式可得面积为3的正方形的边长b的值为，因为1＜＜2，由此可以得到b的值的范围．解：面积为3的正方形的边长b的值为，∵1＜＜2，∴实数的值在整数1和2之间．故选：B．3．某几何体的三视图如图所示，该几何体是（）A．圆锥B．圆柱C．三棱锥D．球【分析】由已知三视图得到几何体是圆锥．解：由已知三视图得到几何体是以圆锥；故选：A．4．不等式﹣x+3≥0的正整数解有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】先求出不等式的解集，然后根据不等式的解集求其整数解．解：∵不等式﹣x+3≥0的解集是x≤3，∴不等式的正整数解是1，2，3，故选：C．5．一次函数y＝﹣x﹣2的图象经过（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限【分析】根据一次函数y＝kx+b（k≠0）中的k、b判定该函数图象所经过的象限．解：∵﹣1＜0，∴一次函数y＝﹣x﹣2的图象一定经过第二、四象限；又∵﹣2＜0，∴一次函数y＝﹣x﹣2的图象与y轴交于负半轴，∴一次函数y＝﹣x﹣2的图象经过第二、三、四象限；故选：D．6．下列运算正确的是（）A．m2+m2＝2m2B．（m﹣n）（n﹣m）＝n2﹣m2C．（﹣2mn）2＝﹣4m2n2D．（2m）3÷m3＝2【分析】根据合并同类项、平方差公式、积的乘方、同底数幂的除法分别计算即可．解：A、m2+m2＝2m2，原计算正确，故此选项符合题意；B、（m﹣n）（n﹣m）＝﹣（n2﹣mn+m2），原计算错误，故此选项不符合题意；C、（﹣2mn）2＝4m2n2，原计算错误，故此选项不符合题意；D、（2m）3÷m3＝8m3÷m3＝8，原计算错误，故此选项不符合题意．故选：A．7．下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③过直线外一点作已知直线的垂线；④作一条线段的垂直平分线，则对应作法错误的是（）A．①B．②C．③D．④【分析】根据作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过直线外一点P作已知直线的垂线的作法，即可判断得出答案．解：①作一个角等于已知角的方法正确；②作一个角的平分线的作法正确；③过直线外一点P作已知直线的垂线的作法正确；④作一条线段的垂直平分线，两弧缺少另一个交点，作法错误；故选：D．8．将一副三角板如图叠放，则图中∠α余角的度数为（）A．15°B．75°C．85°D．165°【分析】根据三角形的外角的性质计算即可．解：由三角形的外角的性质可知，∠α＝60°﹣45°＝15°，所以α的余角为75°，故选：B．9．某校组建了书法、音乐、美术、舞蹈、演讲5个社团，随机调查了部分学生．被调查学生每人都参加且只参加了其中一个社团活动，并将调查结果制成了如图两幅不完整的统计图，在扇形统计图中，“音乐”所对应的扇形圆心角度数是（）度．A．25%B．25C．60D．90【分析】根据演讲的人数和所占的百分比求出调查的总人数，再求出美术、音乐所占的百分比，然后用360°乘以音乐所占的百分比即可得出答案．解：调查的总人数有：24÷10%＝240（人），美术所占的百分比是：×100%＝30%，则音乐所占的百分比是：1﹣15%﹣10%﹣20%﹣30%＝25%，则，“音乐”所对应的扇形圆心角度数是360°×25%＝90°；故选：D．10．如图，已知l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离相等．若等腰直角△ABC的三个顶点分别在三条平行直线上，则∠α的正弦值是（）A．B．C．D．【分析】过点A作AD⊥l4于D，过点B作BE⊥l4于E，根据同角的余角相等求出∠CAD ＝∠BCE，然后利用“角角边”证明△ACD和△CBE全等，根据全等三角形对应边相等可得CE＝AD，然后利用勾股定理列式求出BC，然后利用锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．解：如图，过点A作AD⊥l4于D，过点B作BE⊥l4于E，设l1，l2，l3，l4间的距离为1，∵∠CAD+∠ACD＝90°，∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴CE＝AD＝3，在Rt△BCE中，BC＝＝＝，∴sinα＝＝＝．故选：A．二.填空题（每小题3分，共18分）11．正六边形是轴对称图形，它有6条对称轴．【分析】根据轴对称图形的特点可直接求解．解：正六边形有6条对称轴，分别是3条对角线和三组对边的垂直平分线．∴正六边形是轴对称图形，它有6条对称轴．12．面试时，某人的基础知识、表达能力、工作态度的得分分别是80分、70分、90分，若依次按照30%、30%、40%的比例确定面试成绩，则这个人的面试成绩是81分．【分析】根据加权平均数定义可得．解：这个人的面试成绩是80×30%+70×30%+90×40%＝81（分）．故答案为：81．13．化简：＝x+2．【分析】先转化为同分母（x﹣2）的分式相加减，然后约分即可得解．解：+＝﹣＝＝x+2．故答案为：x+2．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的一条角平分线，若AB＝13．AD＝12．则BC的长为10．【分析】先根据等腰三角形的性质得出BC＝2BD，再由勾股定理求出BD的长，进而可得出结论．解：∵在△ABC中，AB＝AC＝13，AD是角平分线，AD＝12，∴BC＝2BD，AD⊥BC．在Rt△ABD中，BD2+AD2＝AB2，即BD2+122＝132，解得BD＝5，∴BC＝10．故答案为：10．15．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于O，且AC＝8cm，BD＝6cm，则菱形ABCD的高DE＝ 4.8cm．【分析】根据菱形的面积公式得出其面积，再利用勾股定理得出AB的长，进而得出DE 即可．解：∵在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于O，且AC＝8cm，BD＝6cm，∴菱形的面积＝＝24cm2，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝4cm，OD＝3cm，∴AD＝，∴AB＝5cm，∴菱形的面积＝AB•DE＝24cm2，∴DE＝cm，故答案为：4.8．16．如图，在正方形ABCD中，AB＝16．连接AC，点P在线段AC上，PA＝AC，作射线PM与边AB相交于点E．将射线PM绕点P逆时针旋转90°得到射线PN，射线PN与边BC相交于点F．当△AEP的面积为时．在边CD上取一点G．则△AFG周长的最小值是+．【分析】如图，作点G关于点C的对称点H，连接AH，GH，过点P作PK⊥BC于K，PJ⊥AB于J．利用三角形的面积公式求出AE，再利用相似三角形的性质求出KF，利用勾股定理求出AF，AH，QCAG+GF的最小值即可解决问题．解：如图，作点G关于点C的对称点H，连接AH，GH，过点P作PK⊥BC于K，PJ ⊥AB于J．∵四边形ABCD是正方形，AB＝16，∴AC＝AB＝16，∵PA＝AC，∴PA＝4，∵PJ⊥AJ，∠PAJ＝45°，∴PJ＝AJ＝4，BJ＝16﹣4＝12，∵PK⊥BC，∴∠B＝∠PJB＝∠PKB＝90°，∴四边形PJBK是矩形，∴PK＝BJ＝12，∵S△PAE＝＝•AE•PJ，∴AE＝，EJ＝4﹣＝，∵∠JPK＝∠MPN＝90°，∴∠JPE＝∠FPK，∵∠PJE＝∠PKF＝90°，∴△PJE∽△PKF，∴＝，∴＝，∴FK＝，CF＝12+＝，BF＝，∴BH＝+16＝，∴AF＝＝＝，AH＝＝＝，∵GF＝GH，∴AG+FG＝AG+GH，∵AG+GH≥AH，∴AG+GH≥，∴GA+FG的最小值为，∴△AFG的周长的最小值为+．故答案为+．三、解答题（第17小题6分，第18.19小题各8分，共22分）17．计算：|1﹣6cos30°|﹣+（﹣）﹣2﹣（﹣3）0．【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．解：原式＝|1﹣6×|﹣3+4﹣1＝3﹣1﹣3+4﹣1＝2．18．一个不透明的盒子中装有两个红球和一个蓝球．这些球除颜色外都相同．（1）从中随机摸出一个球．记下颜色后放回．再从中随机摸出一个球．①请用列表法或树状图法，求第一次摸到蓝球，第二次摸到红球的概率；②请直接写出两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率．（2）从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回．再从中随机摸出一个球，请直接写出两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率．【分析】（1）①根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出第一次摸到蓝球，第二次摸到红球的情况数，然后根据概率公式即可得出答案；②找出两次摸到的球的颜色能配成紫色的情况数，再根据概率公式即可得出答案；（2）根据题意画出树状图得出所有等情况数和两次摸到的球的颜色能配成紫色的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．解：（1）根据题意画图如下：①共有9种等情况数，其中第一次摸到蓝球，第二次摸到红球的有2种，则第一次摸到蓝球，第二次摸到红球的概率是；②两次摸到的球的颜色能配成紫色的有4种情况，则两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率是；故答案为：；（2）根据题意画图如下：共有6种等情况数，其中两次摸到的球的颜色能配成紫色的有4种，则两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率＝；故答案为：．19．如图，▱ABCD中，∠A＝45°，连接BD，且BD⊥AD，点E、点F分别是AB、CD 上的点，连接EF交BD于点O，且EF⊥CD，BE＝DF＝1．（1）求EF的长；（2）直接写出▱ABCD的面积8．【分析】（1）根据平行四边形的性质和等腰直角三角形的性质解答即可；（2）根据等腰直角三角形的性质和平行四边形的面积公式解答即可．解：（1）∵∠A＝45°，BD⊥AD，∴△ABD是等腰直角三角形，∴∠DBA＝45°，AD＝DB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∵EF⊥CD，∴EF⊥AB，∴△OEB是等腰直角三角形，△DFO是等腰直角三角形，∵DF＝BE＝1，∴OE＝BE＝1，OF＝DF＝1，∴EF＝2；（2）∵△OEB和△DFO是等腰直角三角形，∵OE＝EB＝OF＝DF＝1，∴OD＝OB＝，∴DB＝2，∵△ADB是等腰直角三角形，∴AB＝，∴▱ABCD的面积＝AB•EF＝4×2＝8．故答案为：8．四.（每小题8分，共16分）20．某校组织了一次比赛，甲、乙两队各有5人参加比赛，两队每人的比赛成绩（单位：分）如下：甲队：7，8，9，6，10乙队：10，9，5，8，8（1）甲队成绩的中位数是8分，乙队成绩的众数是8分；（2）计算乙队的平均成绩和方差；（3）已知甲队成绩的方差为S2甲＝2，则成绩波动较大的是乙队．【分析】（1）根据中位数、众数的定义直接求解即可；（2）根据平均数、方差的计算方法，先计算乙队的平均数，再求乙队的方差；（3）根据两队方差的大小，判断两队成绩波动的大小．解：（1）甲队比赛成绩按从小到大顺序排列为6，7，8，9，10，其中位数为8；乙队成绩中8出现了2次，故乙队的众数是8．故答案为：8，8；（2）乙队的平均成绩为（10+9+5+8+8）＝8，其方差S2乙＝[（10﹣8）2+（9﹣8）2+（5﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2]＝×14＝2.8．答：乙队成绩的平均成绩为8分，乙队成绩的方差为2.5；（3）∵2＜2.8，即S2甲＜S2乙，∴乙队成绩波动较大．故答案为：乙．21．如图，AB是⊙O的弦，直线BC与⊙O相切于点B，AD⊥BC，垂足为D，连接OA，OB．（1）求证：AB平分∠OAD；（2）当∠AOB＝100°，⊙O的半径为6cm时．①直接写出扇形AOB的面积约为31cm2（结果精确到1cm2）；②点E是⊙O上一动点（点E不与点A、点B重合），连接AE，BE，请直接写出∠AEB＝50或130°．【分析】（1）根据OA＝OB，可以得到∠OBA＝∠OAB，再根据平行线的性质可以得到∠OBA＝∠DAB，然后即可得到结论成立；（2）①根据扇形面积的计算公式，可以求得扇形AOB的面积；②根据圆周角定理，利用分类讨论的方法，可以得到∠AEB的度数．【解答】（1）证明：∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB，∵OB⊥CB，AD⊥BC，∴OB∥AD，∴∠OBA＝∠DAB，∴∠OAB＝∠DAB，∴AB平分∠OAD；（2）①∵∠AOB＝100°，⊙O的半径为6cm，∴扇形AOB的面积为：≈31（cm2），故答案为：31；②当点E在优弧AB上时，∵∠AOB＝100°，∴∠AEB＝50°，当点E在劣弧AB上室，∠AEB＝180°﹣50°＝130°，故答案为：50或130．五、（本题10分）22．某商店购进一批成本为每件40元的商品，若商店按单价不低于成本价，且不高于70元销售，且销售单价为正整数，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x （元）之间的关系如表：销售单价x/元40506070每天的销售量y/件14012010080（1）请你认真分析表中所给的数据，用你学过的一次函数、反比例函数和二次函数中的一种来表示y与x之间的变化规律，说明选择这种函数的理由，并求出它的函数表达式和自变量的取值范圈．（2）销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润最大？最大利润是多少元？【分析】（1）表格数据符合一次函数的规律，故设函数的表达式为：y＝kx+b，将（40，140）、（50，120）代入上式，即可求解；（2）设该商品每天获得的利润为w，则w＝y（x﹣40），即可求解．解：（1）表格数据符合一次函数的规律，故设函数的表达式为：y＝kx+b，将（40，140）、（50，120）代入上式得：，解得：，故函数的表达式为：y＝﹣2x+220（40≤x≤70）；（2）设该商品每天获得的利润为w，则w＝y（x﹣40）＝（﹣2x+200）（x﹣40）＝﹣2（x﹣100）（x﹣40）（40≤x≤70）；∵﹣2＜0，故w有最大值，当x＝（100+40）＝70时，w最大值，最大值为1800，故销售单价定为70元时，销售该商品每天获得的利润最大，最大利润是1800元．六、（本题10分）23．如图，在平面立角坐标系中，反比例函数y＝（k≠0，x＜0）与一次函数y＝ax+b的图象交于点A（﹣3，1）、B（m，3）．点C的坐标为（1，0），连接AC，BC．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）当x＜0时，直接写出不等式≥ax+b的解集﹣1≤x＜0或x≤﹣3；（3）若点M为y轴的正半轴上的动点，当△ACM是直角三角形时，直接写出点M的坐标（0，13）或（0，）．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）观察函数图象即可求解；（3）分MC是斜边、CA是斜边、AM是斜边三种情况，分别求解即可．解：（1）将点A的坐标代入反比例函数表达式得：1＝，解得：k＝﹣3，将点B的坐标代入反比例函数表达式并解得：m＝﹣1，故点B（﹣1，3），将点A、B的坐标代入一次函数表达式得：，解得，故反比例函数和一次函数的表达式分别为：y＝﹣，y＝x+4；（2）观察函数图象得，当x＜0时，x≥﹣1或x≤﹣3时，不等式≥ax+b成立，即不等式的解集为：﹣1≤x＜0或x≤﹣3，故答案为：﹣1≤x＜0或x≤﹣3；（3）设点M（0，m）（m＞0），点C（1，0）、A（﹣3，1），则MC2＝1+m2，CA2＝（1+3）2+1＝17，AM2＝9+（m﹣1）2，当MC是斜边时，则1+m2＝17+9+（m﹣1）2，解得：m＝13；当CA是斜边时，同理可得：m＝（负值已舍去）；当AM是斜边时，同理可得：m＝﹣4（舍去）；故答案为（0，13）或（0，）．七、（本题12分）24．（1）问题探究：如图1所示，有公共顶点A的两个正方形ABCD和正方形AEFG．AE＜AB，连接BE 与DG，请判断线段BE与线段DG之间有怎样的数量关系和位置关系．并请说明理由．（2）理解应用如图2所示，有公共顶点A的两个正方形ABCD和正方形AEFG，AE＜AB，AB＝10，将正方形AEFG绕点A在平面内任意旋转，当∠ABE＝15°，且点D、E、G三点在同一条直线上时，请直接写出AE的长5﹣5；（3）拓展应用如图3所示，有公共顶点A的两个矩形ABCD和矩形AEFG，AD＝4，AB＝4，AG＝4，AE＝4，将矩形AEFG绕点A在平面内任意旋转，连接BD，DE，点M，N 分别是BD，DE的中点，连接MN，当点D、E、G三点在同一条直线上时，请直接写出MN的长6或8【分析】（1）由“SAS”可证△GAD≌△EAB，可得BE＝DG，∠ADG＝∠ABE，由直角三角形的性质可得BE⊥DG；（2）由“SAS”可证△GAD≌△EAB，可得BE＝DG，∠ADG＝∠ABE＝15°，可得∠DEB＝90°，由直角三角形的性质可求解；（3）分两种情况讨论，通过证明△AGD∽△AEB，可得，∠DGA＝∠AEB，由勾股定理和三角形中位线定理可求解．解：（1）BE＝DG，BE⊥DG，理由如下：如图1：延长BE交AD于N，交DG于H，∵四边形ABCD是正方形，四边形AEFG是正方形，∴AG＝AE，AB＝AD，∠GAE＝∠DAB＝90°，∴∠GAD＝∠EAB，∴△GAD≌△EAB（SAS），∴BE＝DG，∠ADG＝∠ABE，∵∠ABE+∠ANB＝90°，∴∠ADG+∠DNH＝90°，∴∠DHN＝90°，∴BE⊥DG；（2）如图，当点G在线段DE上时，连接BD，∵四边形ABCD是正方形，四边形AEFG是正方形，∴AG＝AE，AB＝AD＝10，∠GAE＝∠DAB＝90°，∠ADB＝45°＝∠ABD，BD＝AB ＝10，GE＝AE，∴∠GAD＝∠EAB，∴△GAD≌△EAB（SAS），∴BE＝DG，∠ADG＝∠ABE＝15°，∴∠BDE＝45°﹣15°＝30°，∠DBE＝45°+15°＝60°，∴∠DEB＝90°，∴BE＝BD＝5＝DG，DE＝BE＝5，∴GE＝5﹣5，∴AE＝＝5﹣5，当点E在线段DG上时，同理可求AE＝5﹣5，故答案为：5﹣5；（3）如图，若点G在线段DE上时，∵AD＝4，AB＝4，AG＝4，AE＝4，∴DB＝＝＝8，GE＝＝＝8，∠DAB＝∠GAE＝90°，∴∠DAG＝∠BAE，又∵＝，∴△AGD∽△AEB，∴，∠DGA＝∠AEB，∴BE＝DG，∵∠DGA＝∠GAE+∠DEA，∠AEB＝∠DEB+∠AED，∴∠GAE＝∠DEB＝90°，∵DB2＝DE2+BE2，∴64×13＝（DG+8）2+3DG2，∴DG＝12或DG＝﹣16（舍去），∴BE＝12，∵点M，N分别是BD，DE的中点，∴MN＝BE＝6；如图，当点E在线段DG上时，同理可求：BE＝16，∵点M，N分别是BD，DE的中点，∴MN＝BE＝8，综上所述：MN为6或8，故答案为：6或8．八.（本题12分）25．如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的边AO在x轴的负半轴上，边OB在y轴的负半轴上．且AO＝12，OB＝9．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A和点B．（1）求抛物线的表达式；（2）在第二象限的抛物线上找一点M，连接AM，BM，AB，当△ABM面积最大时，求点M的坐标；（3）点D是线段AO上的动点，点E是线段BO上的动点，点F是射线AC上的动点，连接EF，DF，DE，BD，且EF是线段BD的垂直平分线．当CF＝1时．①直接写出点D的坐标（﹣12+3，0）或（﹣3，0）；②若△DEF的面积为30，当抛物线y＝﹣x2+bx+c经过平移同时过点D和点E时，请直接写出此时的抛物线的表达式y＝﹣x2﹣x﹣4．【分析】（1）利用待定系数法把问题转化为解方程组即可解决问题．（2）如图1中，设M（m，﹣m2﹣m﹣9），根据S△ABM＝S△ACM+S△MBC﹣S△ACB构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．（3）①分两种情形：如图2中，当点F在AC的延长线设时，连接DF，FB．设D（m，0）．根据FD＝FB，构建方程求解．当点F在线段AC上时，同法可得．②根据三角形的面积求出D，E的坐标，再利用待定系数法解决问题即可．解：（1）由题意A（﹣12，0），B（0，﹣9），把A，B的坐标代入y＝﹣x2+bx+c得到，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x﹣9．（2）如图1中，设M（m，﹣m2﹣m﹣9），S△ABM＝S△ACM+S△MBC﹣S△ACB＝×9×（m+12）+×12×（﹣m2﹣m﹣9+9）﹣×12×9＝﹣6m2﹣72m＝﹣6（m+6）2+216，∵﹣6＜0，∴m＝﹣6时，△ABM的面积最大，此时M（﹣6，31.5）．（3）①如图2中，当点F在AC的延长线设时，连接DF，FB．设D（m，0）．∵EF垂直平分线段BD，∴FD＝FB，∵F（﹣12，﹣10），B（0，﹣9），∴102+（m+12）2＝122+12，∴m＝﹣12﹣3（舍弃）或﹣12+3，∴D（﹣12+3，0）．当点F在线段AC上时，同法可得D（﹣3，0），综上所述，满足条件的点D的坐标为（﹣12+3，0）或（﹣3，0）．故答案为（﹣12+3，0）或（﹣3，0）．②由①可知∵△EF的面积为30，∴D（﹣3，0），E（0，﹣4），把D，E代入y＝﹣x2+b′x+c′，可得，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x﹣4．故答案为y＝﹣x2﹣x﹣4．。
2020年辽宁省沈阳市和平区中考数学二模试卷
中考数学二模试卷一、选择题（本大题共10小题，共20.0分）1.下列各数中，比-1大的数是（）A. B. -2 C. -3 D. 02.如图所示几何体的俯视图是（）A. B. C. D.3.下列计算正确的是（）A. （a2）3=a6B. a+2a2=3a3C. a2•a3=a6D. a6÷a3=a24.下列命题是假命题的为（）A. 如果三角形三个内角的比是1：2：3，那么这个三角形是直角三角形B. 锐角三角形的所有外角都是钝角C. 内错角相等D. 平行于同一直线的两条直线平行5.某一时刻，身髙1.6m的小明在阳光下的影长是0.4m，同一时刻同一地点测得某旗杆的影长是5m，则该旗杆的高度是（）A. 1.25mB. 10mC. 20mD. 8m6.如图，直线y=ax+b过点A（0，2）和点B（-3，0），则方程ax+b=0的解是（）A. x=2B. x=0C. x=-1D. x=-37.如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB与AD的长度之比为（）A.B.C.D.8.如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，=，若∠CAB=20°，则∠CAD的大小为（）A. 20°B. 25°C. 30°D. 35°9.将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（）A. y=3（x-2）2-1B. y=3（x-2）2+1C. y=3（x+2）2-1D. y=3（x+2）2+110.如图，在菱形ABCD中，AB=4，按以下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径画弧，两弧交于点M，N；②作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE，则BE的值为（）A. B. 2 C. 3 D. 4二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.分解因式：3x2-6x+3=______．12.已知单位体积的空气质量为1.34×10-3克/厘米3，将1.34×10-3用小数表示为______．13.某服装店为调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据每月销售目标完成情况发放奖金．该店统计了每位营业员前半年的月均销售额，并算出所得数据的平均数、众数、中位数，分别为22，15，18（单位：万元）．若想让一半左右的营业员都能达到月销售目标，则月销售额定为______万元较为合适．14.以原点O为位似中心，作△ABC的位似图形△A′B′C′，相似比为，若点C的坐标为（4，1），点C的对应点为C′，则点C′的坐标为______．15.如图，边长为2的正方形ABCD的顶点A，B在x轴正半轴上，反比例函数y=在第一象限的图象经过点D，交BC于E，若点E是BC的中点，则OD的长为______．16.如图，等边△ABC中，D是边BC上的一点，且BD：DC=1：3，把△ABC折叠，使点A落在边BC上的点D处，那么的值为______．三、解答题（本大题共9小题，共82.0分）17.先化简，再求值：（x-2y）2+4y（x-y）-2x2，其中x=．18.如图，转盘被分成面积相等的三个扇形，每个扇形分别标有数字1、2、3，甲、乙、丙三人开始玩一个可以自由转动的转盘游戏，转盘停止后，记录下针指向的数字，若指针指向相邻两扇形的交界处，则重新转动转盘．（1）甲转动转盘一次，则指针指向数字2的概率为______；（2）甲转动转盘一次，记下指针指向数字，接着乙也转动转盘一次，再记下指针指向数字，利用画树状图或列表格的方法求两次记录的数字和小于数字4的概率．19.如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，CF⊥AB于点F，且AE=CF，求证：▱ABCD是菱形．20.2014年11月，绵阳某中学结合语文阅读素养评估活动，以“我最喜爱的书籍”为主题，对学生最喜爱的一种书籍类型进行随机抽样调查，收集整理数据后，绘制出以下两幅未完成的统计图，请根据图①和图②提供的信息，解答下列问题：（1）在这次抽样调查中，一共调查了多少名学生？（2）请把折线统计图（图1）补充完整；（3）求出扇形统计图（图2）中，体育部分所对应的圆心角的度数；（4）如果这所中学共有学生3600名，那么请你估计最喜爱科普类书籍的学生人数．21.一个无人超市仓库的货物搬运工作全部由机器人A和机器人B完成，工作记录显示机器人A比机器人B每小时多搬运50件货物．机器人A搬运2000件货物与机器人B搬运1600件货物所用的时间相等，求机器人A和机器人B每小时分别搬运多少件货物？22.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，EO⊥AB，垂足为O，EO交AC于E．过点C作⊙O的切线CD交AB的延长线于点D．（1）求证：∠AEO+∠BCD=90°；（2）若AC=CD=3，求⊙O的半径．23.如图1，平面直角坐标系中，直线y=-x+5与直线y=x相交于点A，与x轴，y轴的正半轴分别相交于点B和点C，动点P从点O出发，沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点C出发沿线段CB以每秒个单位长度的速度向终点B运动，若P、Q两点同时从起点出发匀速运动，到达各自终点后停止不动．设运动时间为t秒．（1）OA的长为______，AC的长为______，sin∠OAC的值为______．（2）点R是坐标平面内的一点，且四边形APRQ是平行四边形．①当t=1时，求平行四边形APRQ的面积；②当平行四边形APRQ的面积为4时，t的值为______．24.如图1矩形ABCD中，点E是CD边上的动点（点E不与点C，D重合），连接AE，过点A作AF⊥AE交CB延长线于点F，连接EF，点G为EF的中点，连接BG．（1）求证：△ADE∽△ABF；（2）若AB=20，AD=10设DE=x点G到直线BC的距离为y．①求y与x的函数关系式；②当=时，x的值为______；（3）如图2，若AB=BC，设四边形ABCD的面积为S，四边形BCEG的面积为S1当时，DE：DC的值为______．25.如图1，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A（5，0）．B（-1，0）两点，与y轴交于C点，若点P是抛物线上的动点，设点P的横坐标为t（-1＜t＜2），过点P作PQ⊥x 轴于点Q作PM∥x轴交抛物线于另一点M，以PQ，PM为邻边作矩形PQNM，矩形PQNM的周长为l．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求1与t的函数关系式，并求l的最大值；（3）当l=12时连接对角线PN，在线段PN上取一点D（点D与点P，N不重合），连接DM，过点D作DE⊥DM交x轴于点E①的值为______；②是否存在点D．使△DEN是等腰三角形．若存在请直接写出符合条件的点D的坐标；若不存在请说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A、-＜-1，故本选项不符合题意；B、-2＜-1，故本选项不符合题意；C、-3＜-1，故本选项不符合题意；D、0＞-1，故本选项，符合题意；故选：D．根据实数的大小比较法则比较即可．本题考查了实数的大小比较法则，能熟记实数的大小比较法则的内容是解此题的关键．2.【答案】D【解析】解：从上往下看，得一个长方形，由3个小正方形组成．故选：D．找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．3.【答案】A【解析】解：A、（a2）3=a6，故此选项正确；B、a+2a2，无法计算，故此选项错误；C、a2•a3=a5，故此选项错误；D、a6÷a3=a3，故此选项错误；故选：A．直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则分别计算得出答案．此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算，正确化简各式是解题关键．4.【答案】C【解析】【分析】依据三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质进行判断即可．本题主要考查了命题与定理，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．【解答】解：A．如果三角形三个内角的比是1：2：3，那么这个三角形是直角三角形，是真命题；B．锐角三角形的所有外角都是钝角，是真命题；C．两直线平行，内错角相等，是假命题；D．平行于同一直线的两条直线平行，是真命题；故选C．5.【答案】C【解析】解：设该旗杆的高度为xm，根据题意得，1.6：0.4=x：5，解得x=20（m）．即该旗杆的高度是20m．故选：C．设该旗杆的高度为xm，根据三角形相似的性质得到同一时刻同一地点物体的高度与其影长的比相等，即有1.6：0.4=x：5，然后解方程即可．本题考查了三角形相似的性质：相似三角形对应边的比相等．6.【答案】D【解析】【分析】此题考查了一次函数与一元一次方程，任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0 （a，b 为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．所求方程的解，即为函数y=ax+b图象与x轴交点横坐标，确定出解即可．【解答】解：方程ax+b=0的解，即为函数y=ax+b图象与x轴交点的横坐标，∵直线y=ax+b过B（-3，0），∴方程ax+b=0的解是x=-3，故选：D．7.【答案】B【解析】解：在Rt△ABC中，AB=，在Rt△ACD中，AD=，∴AB：AD=：=，故选：B．在两个直角三角形中，分别求出AB、AD即可解决问题．本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．8.【答案】D【解析】【分析】本题考查的是圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的性质，解本题的关键是作出辅助线．先求出∠ABC=70°，进而判断出∠ABD=∠CBD=35°，最后用同弧所对的圆周角相等即可得出结论．【解答】解：如图，连接BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=20°，∴∠ABC=70°，∵=，∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=35°，∴∠CAD=∠CBD=35°．故选：D．9.【答案】C【解析】解：抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位后的抛物线顶点坐标为（-2，-1），所得抛物线为y=3（x+2）2-1．故选：C．先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式写出抛物线解析式即可．本题考查了二次函数图象与几何变换，求出平移后的抛物线的顶点坐标是解题的关键．10.【答案】B【解析】解：由作法得AE垂直平分CD，∴∠AED=90°，CE=DE，∵四边形ABCD为菱形，∴AD=2DE，∴∠DAE=30°，∠D=60°，∴∠ABC=60°，∵AB=2DE，作EH⊥BC交BC的延长线于H，如图，若AB=4，在Rt△ECH中，∵∠ECH=60°，∴CH=CE=1，EH=CH=，在Rt△BEH中，BE==2，故选：B．由作法得AE垂直平分CD，则∠AED=90°，CE=DE，于是可判断∠DAE=30°，∠D=60°，从而得到∠ABC=60°；作EH⊥BC于H，则可计算出CH=CE=1，EH=CH=，利用勾股定理可计算出BE=2．本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了菱形的性质和解直角三角形．11.【答案】3（x-1）2【解析】解：3x2-6x+3，=3（x2-2x+1），=3（x-1）2．先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．12.【答案】0.00134【解析】解：1.34×10-3=0.00134，故答案是：0.00134．把数据1.34×10-3中1.34的小数点向左移动3位就可以得到．本题考查写出用科学记数法表示的原数．将科学记数法a×10-n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向左移动n位所得到的数．13.【答案】18【解析】解：想让一半左右的营业员都能达到销售目标，我认为月销售额定为18万合适．因为中位数为18，即大于18与小于18的人数一样多，所以月销售额定为18万，有一半左右的营业员能达到销售目标；故答案为：18．根据中位数的意义进行解答，即可得出答案．本题考查了众数、中位数和平均数，反映数据集中程度的平均数、中位数、众数各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．14.【答案】（，）或（-，-），【解析】解：∵△A'B'C'与△ABC相似比为，若点C的坐标为（4，1），∴点C′的坐标为（4×，1×）或（4×（-），1×（-）），∴点C′的坐标为（，）或（-，-），故答案为：（，）或（-，-），根据位似变换的性质计算即可．本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．15.【答案】2【解析】解：设D（x，2）则E（x+2，1），∵反比例函数y=在第一象限的图象经过点D、点E，∴2x=x+2，解得x=2，∴D（2，2），∴OA=AD=2，∴OD==2．故答案为2．设D（x，2）则E（x+2，1），由反比例函数经过点D、E列出关于x的方程，求得x 的值即可得出答案．本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据题意表示出点D、E 的坐标及反比例函数图象上点的横纵坐标乘积都等于反比例系数k．16.【答案】【解析】解：∵BD：DC=1：3，∴设BD=a，则CD=3a，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=4a，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，由折叠的性质可知：MN是线段AD的垂直平分线，∴AM=DM，AN=DN，∴BM+MD+BD=5a，DN+NC+DC=7a，∵∠MDN=∠BAC=∠ABC=60°，∴∠NDC+∠MDB=∠BMD+∠MBD=120°，∴∠NDC=∠BMD，∵∠ABC=∠ACB=60°，∴△BMD∽△CDN，∴（BM+MD+BD）：（DN+NC+CD）=AM：AN，即AM：AN=5：7，故答案为．由BD：DC=1：3，可设BD=a，则CD=3a，根据等边三角形的性质和折叠的性质可得：BM+MD+BD=5a，DN+NC+DC=7a，再通过证明△BMD∽△CDN即可证明AM：AN的值．本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．17.【答案】解：（x-2y）2+4y（x-y）-2x2，=x2-4xy+4y2+4xy-4y2-2x2=-x2，当x=时，原式=-（）2=-3．【解析】先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．18.【答案】（1）；（2）画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中两次记录的数字和小于数字4的结果数为4，所以两次记录的数字和小于数字4的概率．【解析】解：（1）甲转动转盘一次，则指针指向数字2的概率=，故答案为：；（2）见答案【分析】（1）直接根据概率公式求解；（2）画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两次记录的数字和小于数字4的结果数，然后根据概率公式计算．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．19.【答案】证明：∵AE⊥BC于点E，CF⊥AB于点F，∴∠CFB=∠AEB=90°，在△ABE与△CBF中，∴△ABE≌△CBF（AAS），∴BC=BA∵四边形ABCD是平行四边形，∴▱ABCD是菱形．【解析】根据AAS证明△ABE≌△CBF，进而利用全等三角形的性质得出BC=BA，进而利用菱形的判定证明即可．此题考查菱形的判定，关键是根据AAS证明△ABE≌△CBF，进而利用全等三角形的性质得出BC=BA．20.【答案】解：（1）90÷30%=300（名），故一共调查了300名学生；（2）艺术的人数：300×20%=60名，其它的人数：300×10%=30名；折线图补充如右图；（3）扇形统计图（图2）中，体育部分所对应的圆心角的度数为360°×=48°；（4）估计最喜爱科普类书籍的学生人数为3600×=960（人）．【解析】（1）用文学的人数除以所占的百分比计算即可得解；（2）根据所占的百分比求出艺术和其它的人数，然后补全折线图即可；（3）用360°乘以体育部分人数所占比例即可得；（4）用总人数乘以科普所占的百分比，计算即可得解．本题考查的是折线统计图和扇形统计图的综合运用，折线统计图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况，扇形统计图中每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比．也考查了利用样本估计总体．21.【答案】解：设B型机器人每小时搬运x件货物，则A型机器人每小时搬运（x+50）件货物．依题意列方程得：，解得：x=200．经检验x=200是原方程的根且符合题意．当x=200时，x+50=250．答：A型机器人每小时搬运250件，B型机器人每小时搬运200件．【解析】此题首先由题意得出等量关系，即A型机器人搬运2000件货物与B型机器人搬运1600件货物所用时间相等，列出分式方程，从而解出方程，最后检验并作答．本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤，即①根据题意找出等量关系，②列出方程，③解出分式方程，④检验，⑤作答．注意：分式方程的解必须检验．22.【答案】解：（1）连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠A+∠ABC=90°，∵EO⊥AB，∴∠A+∠AEO=90°，∴∠AEO=∠ABC，∵OC=OB，∴∠ABC=∠OCB，∴∠AEO=∠OCB，∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD=90°，∴∠AEO+∠BCD=90°；（2）∵OA=OC，∴∠A=∠ACO，∵AC=CD，∴∠A=∠D，∵∠A+∠D+∠ACO+∠OCD=180°，∴3∠A+90°=180°，∴∠A=30°，∵AC=3，∴AB===2，∴⊙O的半径为．【解析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，求得∠A+∠ABC=90°，根据余角的性质得到∠AEO=∠ABC，根据切线的性质即可得到结论；（2）根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ACO，∠A=∠D，解直角三角形即可得到结论．本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．23.【答案】（1）5 2（2）①当t=1时，如图2所示：则OP=1，CQ=，∴AP=OA-OP=4，AQ=AC-CQ=，作QE⊥OA于E，则QE=AQ×sin∠OAC=×=2，∴平行四边形APRQ的面积=AP×QE=4×2=8；②或3或4【解析】解：（1）∵直线y=-x+5，∴OA==5，当x=0时，y=5；y=0时，x=10；∴C（0，5），B（10，0），∴OC=5，∵直线y=-x+5与直线y=x相交于点A，∴解方程组得：，∴A（4，3），∴OA==5，∴OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，作AD⊥OC于D，如图1所示：则AD=4，OD=3，∴CD=OC-OD=2，AC==2，sin∠OAC=sin∠OCA===；故答案为：5，2，；（2）①当t=1时，OP=1，CQ=，得出AP=OA-OP=4，AQ=AC-CQ=，作QE⊥OA于E，则QE=AQ×sin∠OAC=2，由平行四边形面积公式即可得出结果；②分两种情况：当Q在线段AC上时，如图3所示：作QE⊥OA于E，OP=t，CQ=t，则AP=5-t，AQ=2-t，QE=AQ×sin∠OAC=（2-t）×=4-2t，∵▱APRQ的面积为4，∴（5-t）×（4-2t）=4，解得：t=，或t=（不合题意舍去），∴t=；当Q在线段AB上时，如图4所示：作QE⊥OA于E，OP=t，CQ=t，则AP=5-t，AQ=t-2，QE=AQ×sin∠OAC=（t-2）×=2t-4，∵▱APRQ的面积为4，∴（5-t）×（2t-4）=4，解得：t=3，或t=4；综上所述，当▱APRQ的面积为4时，t的值为或3或4；故答案为：或3或4．24.【答案】（1）证明：如图1中，∵AE⊥AF，∴∠EAF=90°，∵四边形ABC都是矩形，∴∠BAD=∠ABC=∠ABF=∠D=90°，∴∠EAF=∠BAD，∴∠FAB=∠DAE，∵∠ABF=∠D=90°，∴△ADE∽△ABF．（2）①如图1中，作GH⊥BF于H．∵∠GHF=∠C=90°，∴GH∥EC，∵FG=GE，∴FH=HC，∴EC=2GH=2y，∵DE+EC=CD=AB=20，∴x+2y=20，∴y=-x+10（0＜x＜20）．②；（3）-1 .【解析】解：（1）见答案.（2）①见答案.②∵=，∴可以假设EC=24k，BG=13k，∵EC=2GH，∴GH=12k，∴BH==5k，∴FH=CH=5k+10，∴FB=10k+10，∵y=-x+10，∴x=20-24k，∵△ADE∽△ABF，∴=，∴=，∴k=，∴x=．故答案为：（3）如图2中，连接BE，设DE=a，CD=BC=b．易证△ADE≌△ABF，可得BF=DE=a，∴S1=S△EBG+S△ECB=S△BFE+S△EBC=a（b-a）+b（b-a）=b2-a2-ab，∵S=b2，S=4S1，∴b2=2b2-a2-2ab，∴a2+2ab-b2=0，∴（）2+2•（）-1=0，∴=-1+或-1-（舍弃），∴=-1．故答案为-1．【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可证明．（2）①如图1中，作GH⊥BF于H．利用三角形的中位线定理，推出EC=2y，再根据DE+EC=20，即可解决问题．②由=，可以假设EC=24k，BG=13k，利用相似三角形的性质构建方程求出k即可解决问题．（3）如图2中，连接BE，设DE=a，CD=BC=b．构建一元二次方程，即可解决问题．本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．25.【答案】（1）将A（5，0）．B（-1，0）代入y=ax2+bx+2，∴，∴，∴y=-x2+x+2；（2）对称轴为x=2，∵点P的横坐标为t，∴M点横坐标为4-t，∴PM=4-2t，PQ=-t2+t+2；∴l=2（4-2t-t2+t+2）=-（t+）2+，∵-1＜t＜2，∴t=-时，l有最大值；（3）①；②∵∠DEN在D的运动过程中始终是钝角，∴当ED=EN时，△DEN是等腰三角形，∴△DEM≌△NEM（HL），∴MN=DM=2，∴DE=EN=1，∴E（3，0），易求直线CN的解析式为y=-x+2，设D（m，-m+2），∴1=（m-3）2+（-m+2）2，∴m=4或m=，∵0＜m＜4，∴m=，∴D（，）.【解析】解：（1）见答案；（2）见答案；（3）①当l=12时，t=0或t=-1，∵-1＜t＜2，∴t=0，此时P点与C点重合，Q点与O点重合，如图：点M，N，E，D四点共圆，∴∠DEM=∠MNC，∵M（4，2），N（4，0），∴CM=4，MN=2，∴tan∠MNC=tan∠DEM，∴==2，∴；故答案为；②见答案.【分析】（1）将A（5，0）．B（-1，0）代入y=ax2+bx+2，即可求解；（2）利用对称性可知点P与点M关于对称轴x=2对称，所以PM=4-2t，PQ=-t2+t+2；结合矩形周长公式即可求解；（3）①当l=12时P点与C点重合，Q点与O点重合，点M，N，E，D四点共圆，可知∠DEM=∠MNC，利用正切值==2即可求解；②∠DEN在D的运动过程中始终是钝角，只有当ED=EN时，△DEN是等腰三角形，证明△DEM≌△NEM（HL），求出点E（3，0），直线CN的解析式为y=-x+2，设D（m，-m+2），利用DE=1得出方程求解；本题考查二次函数图象及性质，矩形的性质，三角形全等，三角函数值的应用，等腰三角形的存在性；是一道综合性很强的题，熟练掌握函数和三角形，矩形的性质，待定系数法求函数表达式，函数图象的对称性等知识是解题的关键．。
辽宁省沈阳市2019-2020学年中考第二次质量检测数学试题含解析
辽宁省沈阳市2019-2020学年中考第二次质量检测数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．把一副三角板如图（1）放置，其中∠ACB ＝∠DEC ＝90°，∠A ＝41°，∠D ＝30°，斜边AB ＝4，CD ＝1．把三角板DCE 绕着点C 顺时针旋转11°得到△D 1CE 1（如图2），此时AB 与CD 1交于点O ，则线段AD 1的长度为（ ）A ．13B ．5C ．22D ．42．下面几何的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．3．小明为今年将要参加中考的好友小李制作了一个（如图）正方体礼品盒，六面上各有一字，连起来就是“预祝中考成功”，其中“预”的对面是“中”，“成”的对面是“功”，则它的平面展开图可能是（ ）A ．B ．C ．D ．4．如图，在Y ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，DEF ABF S S 425∆∆=：：，则DE ：EC=（ ）A ．2：5B ．2：3C ．3：5D ．3：25．小亮家与姥姥家相距24 km ，小亮8：00从家出发，骑自行车去姥姥家．妈妈8：30从家出发，乘车沿相同路线去姥姥家．在同一直角坐标系中，小亮和妈妈的行进路程s(km)与时间t(h)的函数图象如图所示．根据图象得出下列结论，其中错误的是()A．小亮骑自行车的平均速度是12 km/hB．妈妈比小亮提前0.5 h到达姥姥家C．妈妈在距家12 km处追上小亮D．9：30妈妈追上小亮6．下列实数中，在2和3之间的是（）A．πB．2π-C．325D．3287．若关于x的一元二次方程2210x x kb-++=有两个不相等的实数根，则一次函数y kx b=+的图象可能是:A．B． C．D．8．关于x的方程3x+2a=x﹣5的解是负数，则a的取值范围是（）A．a＜52B．a＞52C．a＜﹣52D．a＞﹣529．二次函数y=x2+bx–1的图象如图，对称轴为直线x=1，若关于x的一元二次方程x2–2x–1–t=0（t为实数）在–1<x<4的范围内有实数解，则t的取值范围是A．t≥–2 B．–2≤t<7C．–2≤t<2D．2<t<710．甲、乙两人分别以4m/s和5m/s的速度，同时从100m直线型跑道的起点向同一方向起跑，设乙的奔跑时间为t（s），甲乙两人的距离为S（m），则S关于t的函数图象为（）A．B．C．D．11．如图，△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，已知△ADE的面积为1，那么△ABC的面积是（）A．2 B．3 C．4 D．512．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=50°，则∠2的度数为（）．A．50°B．40°C．30°D．25°二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′＝_______．14．受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展．预计达州市2018年快递业务量将达到5.5亿件，数据5.5亿用科学记数法表示为_____．15．用一个圆心角为120°，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为____．16．如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD﹣12PC的最大值为_____．17．如图，在矩形ABCD中，AB=2，E是BC的中点，AE⊥BD于点F，则CF的长是_________．18．假期里小菲和小琳结伴去超市买水果，三次购买的草莓价格和数量如下表：价格/（元/kg）12 10 8 合计/kg小菲购买的数量/kg 2 2 2 6小琳购买的数量/kg 1 2 3 6从平均价格看，谁买得比较划算？（）A．一样划算B．小菲划算C．小琳划算D．无法比较三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）某商城销售A，B两种自行车.A型自行车售价为2 100元/辆，B型自行车售价为1 750元/辆，每辆A型自行车的进价比每辆B型自行车的进价多400元，商城用80 000元购进A型自行车的数量与用64 000元购进B型自行车的数量相等．()1求每辆A，B两种自行车的进价分别是多少？()2现在商城准备一次购进这两种自行车共100辆，设购进A型自行车m辆，这100辆自行车的销售总利润为y元，要求购进B型自行车数量不超过A型自行车数量的2倍，总利润不低于13 000元，求获利最大的方案以及最大利润．20．（6分）如图，AB是⊙O的直径，点E是»AD上的一点，∠DBC=∠BED．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）已知AD=3，CD=2，求BC的长．21．（6分）在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC=90°，E为边AC上一点，连接BE．(1)如图1，若∠ABE=15°，O为BE中点，连接AO，且AO=1，求BC的长；(2)如图2，D为AB上一点，且满足AE=AD，过点A作AF⊥BE交BC于点F，过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G，交AC于点M，求证：BG=AF+FG．22．（8分）问题背景：如图1，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，作AD⊥BC于点D，则D为BC的中点，∠BAD＝12∠BAC＝60°，于是BCAB＝2BDAB＝3迁移应用：如图2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝120°，D，E，C三点在同一条直线上，连接BD．（1）求证：△ADB≌△AEC；（2）若AD＝2，BD＝3，请计算线段CD的长；拓展延伸：如图3，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，在∠ABC内作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连接AE并延长交BM于点F，连接CE，CF．（3）证明：△CEF是等边三角形；（4）若AE＝4，CE＝1，求BF的长．23．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，BC的延长线于过点A的直线相交于点E，且∠B=∠EAC．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）过点C作CG⊥AD，垂足为F，与AB交于点G，若AG•AB=36，tanB=22，求DF的值24．（10分）如图1，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，经过点O的直线与边AB 相交于点E，与边CD相交于点F．（1）求证：OE=OF；（2）如图2，连接DE，BF，当DE⊥AB时，在不添加其他辅助线的情况下，直接写出腰长等于12BD的所有的等腰三角形．25．（10分）问题提出（1）如图1，在△ABC中，∠A＝75°，∠C＝60°，AC＝62，求△ABC的外接圆半径R的值；问题探究（2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝45°，AC＝86，点D为边BC上的动点，连接AD以AD为直径作⊙O交边AB、AC分别于点E、F，接E、F，求EF的最小值；问题解决（3）如图3，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠BCD＝30°，AB＝AD，BC+CD＝123，连接AC，线段AC的长是否存在最小值，若存在，求最小值：若不存在，请说明理由．26．（12分）某市飞翔航模小队，计划购进一批无人机．已知3台A型无人机和4台B型无人机共需6400元，4台A型无人机和3台B型无人机共需6200元．（1）求一台A型无人机和一台B型无人机的售价各是多少元？（2）该航模小队一次购进两种型号的无人机共50台，并且B型无人机的数量不少于A型无人机的数量的2倍．设购进A型无人机x台，总费用为y元．①求y与x的关系式；②购进A型、B型无人机各多少台，才能使总费用最少？27．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，将矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转α角，得到矩形A'B'C'D'，B'C与AD交于点E，AD的延长线与A'D'交于点F．（1）如图①，当α=60°时，连接DD'，求DD'和A'F的长；（2）如图②，当矩形A'B'CD'的顶点A'落在CD的延长线上时，求EF的长；（3）如图③，当AE=EF时，连接AC，CF，求AC•CF的值．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．A【解析】试题分析：由题意易知：∠CAB=41°，∠ACD=30°．若旋转角度为11°，则∠ACO=30°+11°=41°．∴∠AOC=180°-∠ACO-∠CAO=90°．在等腰Rt△ABC中，AB=4，则AO=OC=2．在Rt△AOD1中，OD1=CD1-OC=3，由勾股定理得：AD113故选A.考点: 1.旋转；2.勾股定理.2．B【解析】【分析】主视图是从物体正面看所得到的图形．解：从几何体正面看故选B ． 【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 3．C 【解析】 【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点对各选项分析判断后利用排除法求解： 【详解】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点对各选项分析判断后利用排除法求解：A 、“预”的对面是“考”，“祝”的对面是“成”，“中”的对面是“功”，故本选项错误；B 、“预”的对面是“功”，“祝”的对面是“考”，“中”的对面是“成”，故本选项错误；C 、“预”的对面是“中”，“祝”的对面是“考”，“成”的对面是“功”，故本选项正确；D 、“预”的对面是“中”，“祝”的对面是“成”，“考”的对面是“功”，故本选项错误． 故选C 【点睛】考核知识点：正方体的表面展开图. 4．B 【解析】 【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD∴∠EAB=∠DEF ，∠AFB=∠DFE ∴△DEF ∽△BAF∴()2DEF ABF S S DE AB ∆∆=：：∵DEF ABF S S 425∆∆=：：， ∴DE ：AB=2：5 ∵AB=CD ， ∴DE ：EC=2：35．D【解析】【分析】根据函数图象可知根据函数图象小亮去姥姥家所用时间为10﹣8=2小时，进而得到小亮骑自行车的平均速度，对应函数图象，得到妈妈到姥姥家所用的时间，根据交点坐标确定妈妈追上小亮所用时间，即可解答．【详解】解：A、根据函数图象小亮去姥姥家所用时间为10﹣8=2小时，∴小亮骑自行车的平均速度为：24÷2=12（km/h），故正确；B、由图象可得，妈妈到姥姥家对应的时间t=9.5，小亮到姥姥家对应的时间t=10，10﹣9.5=0.5（小时），∴妈妈比小亮提前0.5小时到达姥姥家，故正确；C、由图象可知，当t=9时，妈妈追上小亮，此时小亮离家的时间为9﹣8=1小时，∴小亮走的路程为：1×12=12km，∴妈妈在距家12km出追上小亮，故正确；D、由图象可知，当t=9时，妈妈追上小亮，故错误；故选D．【点睛】本题考查函数图像的应用，从图像中读取关键信息是解题的关键.6．C【解析】【详解】分析：先求出每个数的范围，逐一分析得出选项.详解：A、3<π<4，故本选项不符合题意；B、1<π−2<2，故本选项不符合题意；C、，故本选项符合题意；D、<4，故本选项不符合题意；故选C.点睛：本题考查了估算无理数的大小，能估算出每个数的范围是解本题的关键.7．B【解析】【分析】【详解】由方程2210x x kb ++=-有两个不相等的实数根,可得()4410kb =-+V＞， 解得0kb ＜，即k b 、异号，当00k b ＞，＜时，一次函数y kx b =+的图象过一三四象限，当00k b ＜，＞时，一次函数y kx b =+的图象过一二四象限，故答案选B. 8．D 【解析】 【分析】先解方程求出x ，再根据解是负数得到关于a 的不等式，解不等式即可得. 【详解】解方程3x+2a=x ﹣5得 x=522a--， 因为方程的解为负数，所以522a--<0， 解得：a ＞﹣52.【点睛】本题考查了一元一次方程的解，以及一元一次不等式的解法，解一元一次不等式时，要注意的是：若在不等式左右两边同时乘以或除以同一个负数时，不等号方向要改变． 9．B 【解析】 【分析】利用对称性方程求出b 得到抛物线解析式为y=x 2﹣2x ﹣1，则顶点坐标为（1，﹣2），再计算当﹣1＜x ＜4时对应的函数值的范围为﹣2≤y ＜7，由于关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣1﹣t=0（t 为实数）在﹣1＜x ＜4的范围内有实数解可看作二次函数y=x 2﹣2x ﹣1与直线y=t 有交点，然后利用函数图象可得到t 的范围． 【详解】抛物线的对称轴为直线x=﹣2b=1，解得b=﹣2， ∴抛物线解析式为y=x 2﹣2x ﹣1，则顶点坐标为（1，﹣2）， 当x=﹣1时，y=x 2﹣2x ﹣1=2；当x=4时，y=x 2﹣2x ﹣1=7， 当﹣1＜x ＜4时，﹣2≤y ＜7，而关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣1﹣t=0（t 为实数）在﹣1＜x ＜4的范围内有实数解可看作二次函数y=x 2﹣2x ﹣1与直线y=t 有交点，∴﹣2≤t ＜7，故选B ．【点睛】本题考查了二次函数的性质、抛物线与x 轴的交点、二次函数与一元二次方程，把求二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程是解题的关键. 10．B【解析】【分析】匀速直线运动的路程s 与运动时间t 成正比，s-t 图象是一条倾斜的直线解答．【详解】∵甲、乙两人分别以4m/s 和5m/s 的速度，∴两人的相对速度为1m/s ，设乙的奔跑时间为t （s ），所需时间为20s ，两人距离20s×1m/s=20m ， 故选B ．【点睛】此题考查函数图象问题，关键是根据匀速直线运动的路程s 与运动时间t 成正比解答．11．C【解析】【分析】根据三角形的中位线定理可得DE ∥BC ，DE BC ＝12，即可证得△ADE ∽△ABC ，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得ADE ABC S S ∆∆＝14，已知△ADE 的面积为1，即可求得S △ABC ＝1． 【详解】∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥BC ，DE BC ＝12， ∴△ADE ∽△ABC ， ∴ADE ABC S S ∆∆＝（12）2＝14， ∵△ADE 的面积为1，∴S △ABC ＝1．故选C ．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理及相似三角形的判定与性质，先证得△ADE∽△ABC，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方得到ADEABCSS∆∆＝14是解决问题的关键.12．B【解析】【详解】解：如图，由两直线平行，同位角相等，可求得∠3=∠1=50°，根据平角为180°可得，∠2=90°﹣50°=40°．故选B．【点睛】本题考查平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等是解题关键．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．1.5【解析】在Rt△ABC中，225AC=AB+BC，∵将△ABC折叠得△AB′E，∴AB′＝AB，B′E＝BE，∴B′C＝5－3＝1．设B′E＝BE＝x，则CE＝4－x．在Rt△B′CE中，CE1＝B′E1＋B′C1，∴（4－x）1＝x1＋11．解之得32x=．14．5.5×1．【解析】分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．详解：5.5亿=5 5000 0000=5.5×1，故答案为5.5×1．点睛：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．15．43【解析】试题分析：1204=2180rππ⨯，解得r=43．考点：弧长的计算．16．1【解析】分析: 由PD−12PC ＝PD−PG≤DG ，当点P 在DG 的延长线上时，PD−12PC 的值最大，最大值为DG ＝1． 详解: 在BC 上取一点G ，使得BG ＝1，如图，∵221PB BG ==，422BC PB ==， ∴PB BC BG PB =， ∵∠PBG ＝∠PBC ，∴△PBG ∽△CBP ，∴12PG BG PC PB ==， ∴PG ＝12PC ， 当点P 在DG 的延长线上时，PD−12PC 的值最大，最大值为DG 2243+1． 故答案为1点睛: 本题考查圆综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．172【解析】试题解析：∵四边形ABCD 是矩形，90ABE BAD ∴∠=∠=o ，∵AE ⊥BD ， 90AFB ∴∠=o ，90BAF ABD ABD ADB ∴∠+∠=∠+∠=o ，BAE ADB ∴∠=∠， ∴△ABE ∽△ADB ， AD AB AB BE，∴= ∵E 是BC 的中点， 2AD BE ∴=， 2222BE AB ∴==， 12BE BC ∴=∴=，，22223,6AE AB BE BD BC CD ∴+==+=，6.3AB BE BF AE ⋅∴== 过F 作FG ⊥BC 于G ，FG CD ∴P ， BFG BDC V V ∽，∴ FG BF BG CD BD BC ∴==，22,3FG BG ∴==， 43CG ∴=， 22 2.CF FG CG ∴=+=故答案为 2.18．C【解析】试题分析：根据题意分别求出两人的平均价格，然后进行比较．小菲：（24+20+16）÷6=10；小琳：（12+20+24）÷6≈1．3，则小琳划算．考点：平均数的计算．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）每辆A 型自行车的进价为2 000元，每辆B 型自行车的进价为1 600元；（2）当购进A 型自行车34辆，B 型自行车66辆时获利最大，最大利润为13300元．【解析】【分析】(1)设每辆B 型自行车的进价为x 元,则每辆A 型自行车的进价为（x+10）元,根据题意列出方程,求出方程的解即可得到结果;(2)由总利润=单辆利润×辆数,列出y 与x 的关系式,利用一次函数性质确定出所求即可.【详解】（1）设每辆B 型自行车的进价为x 元，则每辆A 型自行车的进价为（x+10）元，根据题意，得=，解得x=1600，经检验，x=1600是原方程的解，x+10=1 600+10=2 000，答：每辆A 型自行车的进价为2 000元，每辆B 型自行车的进价为1 600元；（2）由题意，得y=（2100﹣2000）m+（1750﹣1600）（100﹣m）=﹣50m+15000，根据题意，得，解得：33≤m≤1，∵m为正整数，∴m=34，35，36，37，38，39，1．∵y=﹣50m+15000，k=﹣50＜0，∴y随m的增大而减小，∴当m=34时，y有最大值，最大值为：﹣50×34+15000=13300（元）．答：当购进A型自行车34辆，B型自行车66辆时获利最大，最大利润为13300元．【点睛】本题主要考查一次函数的应用、分式方程的应用及一元一次不等式组的应用.仔细审题，找出题目中的数量关系是解答本题的关键.20．(1)证明见解析(2)BC=【解析】【分析】（1）AB是⊙O的直径，得∠ADB=90°，从而得出∠BAD=∠DBC，即∠ABC=90°，即可证明BC是⊙O 的切线；（2）可证明△ABC∽△BDC，则BC CDCA BC=，即可得出10．【详解】（1）∵AB是⊙O的切直径，∴∠ADB=90°，又∵∠BAD=∠BED，∠BED=∠DBC，∴∠BAD=∠DBC，∴∠BAD+∠ABD=∠DBC+∠ABD=90°，∴∠ABC=90°，∴BC是⊙O的切线；（2）解：∵∠BAD=∠DBC，∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC，∴BC CDCA BC=，即BC2=AC•CD=（AD+CD）•CD=10，∴10．考点：1.切线的判定；2.相似三角形的判定和性质.21．（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）如图1中，在AB上取一点M，使得BM=ME，连接ME．，设AE=x，则ME=BM=2x，AM=x，根据AB2+AE2=BE2，可得方程（2x+x）2+x2=22，解方程即可解决问题．（2）如图2中，作CQ⊥AC，交AF的延长线于Q，首先证明EG=MG，再证明FM=FQ即可解决问题．【详解】解：如图 1 中，在AB 上取一点M，使得BM=ME，连接ME．在Rt△ABE 中，∵OB=OE，∴BE=2OA=2，∵MB=ME，∴∠MBE=∠MEB=15°，∴∠AME=∠MBE+∠MEB=30°，设AE=x，则ME=BM=2x，AM=x，∵AB2+AE2=BE2，∴，∴x=（负根已经舍弃），∴AB=AC=（2+ ）•，∴BC= AB= +1．作CQ⊥AC，交AF 的延长线于Q，∵ AD=AE ，AB=AC ，∠BAE=∠CAD，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠ABE=∠ACD，∵∠BAC=90°，FG⊥CD，∴∠AEB=∠CMF，∴∠GEM=∠GME，∴EG=MG，∵∠ABE=∠CAQ，AB=AC，∠BAE=∠ACQ=90°，∴△ABE≌△CAQ（ASA），∴BE=AQ，∠AEB=∠Q，∴∠CMF=∠Q，∵∠MCF=∠QCF=45°，CF=CF，∴△CMF≌△CQF（AAS），∴FM=FQ，∴BE=AQ=AF+FQ=AF=FM，∵EG=MG，∴BG=BE+EG=AF+FM+MG=AF+FG．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．22．（1）见解析；（2）CD =233；（3）见解析；（4）23【解析】试题分析：迁移应用：（1）如图2中，只要证明∠DAB=∠CAE，即可根据SAS解决问题；（2）结论：CD=3AD+BD．由△DAB≌△EAC，可知BD=CE，在Rt△ADH中，DH=AD•cos30°=3 2AD，由AD=AE，AH⊥DE，推出DH=HE，由CD=DE+EC=2DH+BD=3AD+BD，即可解决问题；拓展延伸：（3）如图3中，作BH⊥AE于H，连接BE．由BC=BE=BD=BA，FE=FC，推出A、D、E、C四点共圆，推出∠ADC=∠AEC=120°，推出∠FEC=60°，推出△EFC是等边三角形；（4）由AE=4，EC=EF=1，推出AH=HE=2，FH=3，在Rt△BHF中，由∠BFH=30°，可得HFBF=cos30°，由此即可解决问题．试题解析：迁移应用：（1）证明：如图2，∵∠BAC=∠DAE=120°，∴∠DAB=∠CAE，在△DAE和△EAC中，DA=EA，∠DAB=∠EAC，AB=AC，∴△DAB≌△EAC，（2）结论：CD=3AD+BD．理由：如图2-1中，作AH⊥CD于H．∵△DAB≌△EAC，∴BD=CE，在Rt△ADH中，DH=AD•cos30°=32AD，∵AD=AE，AH⊥DE，∴DH=HE，∵CD=DE+EC=2DH+BD=3AD+BD=233+．拓展延伸：（3）如图3中，作BH⊥AE于H，连接BE．∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，∴△ABD，△BDC是等边三角形，∴BA=BD=BC，∵E、C关于BM对称，∴BC=BE=BD=BA，FE=FC，∴A、D、E、C四点共圆，∴∠ADC=∠AEC=120°，∴∠FEC=60°，∴△EFC是等边三角形，（4）∵AE=4，EC=EF=1，∴AH=HE=2，FH=3，在Rt△BHF中，∵∠BFH=30°，∴HFBF=cos30°，∴3 3=23．（1）见解析；（2）3【解析】分析：（1）欲证明AE是⊙O切线，只要证明OA⊥AE即可；（2）由△ACD∽△CFD，可得DF CDCD AD=，想办法求出CD、AD即可解决问题.详解：（1）证明：连接CD．∵∠B=∠D，AD是直径，∴∠ACD=90°，∠D+∠1=90°，∠B+∠1=90°，∵∠B=∠EAC，∴∠EAC+∠1=90°，∴OA⊥AE，∴AE是⊙O的切线．（2）∵CG⊥AD．OA⊥AE，∴CG∥AE，∴∠2=∠3，∵∠2=∠B，∴∠3=∠B，∵∠CAG=∠CAB，∴△ABC∽△ACG，∴AC AB AG AC=，∴AC2=AG•AB=36，∴AC=6，∵tanD=tanB=22，在Rt△ACD中，tanD=ACCD=2CD=2=62，AD=()22662+=63，∵∠D=∠D，∠ACD=∠CFD=90°，∴△ACD∽△CFD，∴DF CD CD AD=，∴3点睛：本题考查切线的性质、圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．24．（1）证明见解析；（2）△DOF，△FOB，△EOB，△DOE．【解析】【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得OA=OC，AB∥CD，则可证得△AOE≌△COF（ASA），继而证得OE=OF ；（2）证明四边形DEBF 是矩形，由矩形的性质和等腰三角形的性质即可得出结论．【详解】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=OC ，AB ∥CD ，OB=OD ，∴∠OAE=∠OCF ，在△OAE 和△OCF 中，OAE OCF OA OCAOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AOE ≌△COF （ASA ），∴OE=OF ；（2）∵OE=OF ，OB=OD ，∴四边形DEBF 是平行四边形，∵DE ⊥AB ，∴∠DEB=90°，∴四边形DEBF 是矩形，∴BD=EF ，∴OD=OB=OE=OF=12BD ， ∴腰长等于12BD 的所有的等腰三角形为△DOF ，△FOB ，△EOB ，△DOE ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与平行四边形的性质，解题的关键是熟练的掌握等腰三角形的性质与平行四边形的性质.25．（1）△ABC 的外接圆的R 为1；（2）EF 的最小值为2；（3）存在，AC 的最小值为92．【解析】【分析】（1）如图1中，作△ABC 的外接圆，连接OA ，OC ．证明∠AOC=90°即可解决问题；（2）如图2中，作AH ⊥BC 于H ．当直径AD 的值一定时，EF 的值也确定，根据垂线段最短可知当AD 与AH 重合时，AD 的值最短，此时EF 的值也最短；（3）如图3中，将△ADC 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABE ，连接EC ，作EH ⊥CB 交CB 的延长线于H ，设BE=CD=x ．证明EC=AC ，构建二次函数求出EC 的最小值即可解决问题． 【详解】解：（1）如图1中，作△ABC 的外接圆，连接OA ，OC ．∵∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝180°﹣75°﹣10°＝45°，又∵∠AOC＝2∠B，∴∠AOC＝90°，∴AC＝12，∴OA＝OC＝1，∴△ABC的外接圆的R为1．（2）如图2中，作AH⊥BC于H．∵AC＝86，∠C＝45°，∴AH＝AC•sin45°＝86×22＝83，∵∠BAC＝10°，∴当直径AD的值一定时，EF的值也确定，根据垂线段最短可知当AD与AH重合时，AD的值最短，此时EF的值也最短，如图2﹣1中，当AD⊥BC时，作OH⊥EF于H，连接OE，OF．∵∠EOF＝2∠BAC＝20°，OE＝OF，OH⊥EF，∴EH＝HF，∠OEF＝∠OFE＝30°，∴EH＝OF•cos30°＝43•3＝1，∴EF＝2EH＝2，∴EF的最小值为2．（3）如图3中，将△ADC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE，连接EC，作EH⊥CB交CB的延长线于H，设BE＝CD＝x．∵∠AE＝AC，∠CAE＝90°，∴EC2AC，∠AEC＝∠ACE＝45°，∴EC的值最小时，AC的值最小，∵∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝∠ACB+∠AEB＝30°，∴∠∠BEC+∠BCE＝10°，∴∠EBC＝20°，∴∠EBH＝10°，∴∠BEH＝30°，∴BH＝12x，EH＝32x，∵CD+BC＝3，CD＝x，∴BC＝3x∴EC2＝EH2+CH23）2+211232x x⎛⎫+⎪⎝⎭＝x2﹣3x+432，∵a＝1＞0，∴当x＝﹣1232-＝3时，EC的长最小，此时EC＝18，∴AC＝22EC＝2，∴AC 的最小值为．【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题．26．（1）一台A 型无人机售价800元，一台B 型无人机的售价1000元；（2）①y ＝﹣200x+50000；②购进A 型、B 型无人机各16台、34台时，才能使总费用最少．【解析】【分析】（1）根据3台A 型无人机和4台B 型无人机共需6400元，4台A 型无人机和3台B 型无人机共需6200元，可以列出相应的方程组，从而可以解答本题；（2）①根据题意可以得到y 与x 的函数关系式；②根据①中的函数关系式和B 型无人机的数量不少于A 型无人机的数量的2倍，可以求得购进A 型、B 型无人机各多少台，才能使总费用最少．【详解】解：（1）设一台A 型无人机售价x 元，一台B 型无人机的售价y 元，346400436200x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得，8001000x y =⎧⎨=⎩， 答：一台A 型无人机售价800元，一台B 型无人机的售价1000元；（2）①由题意可得，y 800x 100050x 200x 50000++＝（﹣）＝﹣，即y 与x 的函数关系式为y 200x 50000+＝﹣； ②∵B 型无人机的数量不少于A 型无人机的数量的2倍，50x 2x ﹣∴≥， 解得，2163x ≤， y 200x 50000+Q ＝﹣，∴当x 16＝时，y 取得最小值，此时y 20016500004680050x 34⨯+＝﹣＝，﹣＝， 答：购进A 型、B 型无人机各16台、34台时，才能使总费用最少．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和方程的知识解答．27．（1）DD′=1，A′F= 4；（2）154；（1）754． 【解析】【分析】（1）①如图①中，∵矩形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转α角，得到矩形A'B'C'D'，只要证明△CDD′是等边三角形即可解决问题；②如图①中，连接CF ，在Rt △CD′F 中，求出FD′即可解决问题；（2）由△A′DF ∽△A′D′C ，可推出DF 的长，同理可得△CDE ∽△CB′A′，可求出DE 的长，即可解决问题；（1）如图③中，作FG ⊥CB′于G ，由S △ACF =12•AC•CF=12•AF•CD ，把问题转化为求AF•CD ，只要证明∠ACF=90°，证明△CAD ∽△FAC ，即可解决问题；【详解】解：（1）①如图①中，∵矩形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转α角，得到矩形A'B'C'D'，∴A′D′=AD=B′C=BC =4，CD′=CD=A′B′=AB=1∠A′D′C=∠ADC=90°．∵α=60°，∴∠DCD′=60°，∴△CDD′是等边三角形，∴DD′=CD=1．②如图①中，连接CF ．∵CD=CD′，CF=CF ，∠CDF=∠CD′F=90°，∴△CDF ≌△CD′F ，∴∠DCF=∠D′CF=12∠DCD′=10°． 在Rt △CD′F 中，∵tan ∠D′CF=''D F CD ，∴，∴A′F=A′D′﹣D′F=4（2）如图②中，在Rt △A′CD′中，∵∠D′=90°，∴A′C2=A′D′2+CD′2，∴A′C=5，A′D=2．∵∠DA′F=∠CA′D′，∠A′DF=∠D′=90°，∴△A′DF ∽△A′D′C ，∴''''A D DF A D CD =，∴243DF =， ∴DF=32． 同理可得△CDE ∽△CB′A′，∴'''CD ED CB A B =，∴343ED =， ∴ED=94，∴EF=ED+DF=154． （1）如图③中，作FG ⊥CB′于G ．∵四边形A′B′CD′是矩形，∴GF=CD′=CD=1． ∵S △CEF=12•EF•DC=12•CE•FG ， ∴CE=EF ，∵AE=EF ，∴AE=EF=CE ，∴∠ACF=90°．∵∠ADC=∠ACF，∠CAD=∠FAC，∴△CAD∽△FAC，∴AC AD AF AC，∴AC2=AD•AF，∴AF=254．∵S△ACF=12•AC•CF=12•AF•CD，∴AC•CF=AF•CD=754．。
沈阳市2020版中考数学二模试卷A卷
沈阳市2020版中考数学二模试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）﹣2013的相反数是（）A . ﹣2013B . 2013C .D . -2. （2分）(2019·紫金模拟) 下列计算正确的是（）A . a2·a3=a6B . 2a+3b=5abC . a8÷a2=a6D . (a2b）2=a4b3. （2分）如图，在的正方形方格中，的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，作一个与相似的，使它的三个顶点都在小正方形的顶点上，则的最大面积是（）A . 5B . 10C .D .4. （2分）(2018·道外模拟) 如图,是由五个相同的小正方体搭成的几何体，则它的左视图是（）A .B .C .D .5. （2分）下列说法中，正确的有（）①圆的半径垂直于弦；②直径是弦；③圆的内接平行四边形是矩形；④圆内接四边形的对角互补；⑤长度相等的两条弧是等弧；⑥相等的圆心角所对的弧相等．A . 2个B . 3个C . 4个D . 5个6. （2分）已知一组数据10，8，9，x，4的众数是8，那么这组数据的中位数是（）A . 4B . 8C . 9D . 107. （2分）(2020·眉山) 如图，四边形的外接圆为⊙O，，，，则的度数为（）A .B .C .D .8. （2分）如图，AB是⊙O的直径，C，D为圆上两点，∠AOC =130°，则∠D等于（）A . 25°B . 30°C . 35°D . 50°二、填空题 (共10题；共10分)9. （1分） (2019八下·萝北期末) 如果代数式有意义，那么字母x的取值范围是________．10. （1分） (2020八下·揭阳期末) 分解因式： 2x3-18x=________11. （1分） (2017九下·东台期中) 用科学记数法表示2030000，应记作________．12. （1分） (2017八下·通州期末) 如果是一元二次方程的一个解，那么代数式的值为________．13. （1分）(2020·新野模拟) 某商场举办抽奖活动，规则如下：在不透明的袋子中有2个红球和2个黑球，这些球除颜色外都相同，顾客每次摸出一个球，若摸到红球，则获得1份奖品，若摸到黑球，则没有奖品，如果小芳有两次摸球机会（摸出后不放回），小芳获得2份奖品的概率为 ________.14. （1分）如果二次函数y=x²+2kx+k-4图像的对称轴是x=3,那么k=________ 。
2020年辽宁省沈阳市和平区中考数学二模试题(解析版)
2020年辽宁省沈阳市和平区中考数学二模试卷一．选择题（共10小题）1. 地球平均半径约等于6 400 000米，6 400 000用科学记数法表示为（）A. 64×105B. 6.4×105C. 6.4×106D. 6.4×107【答案】C【解析】【分析】由科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】解：6400000=6.4×106，故选C．点睛：此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2. 面积为3的正方形的边长范围在（）A. 0和1之间B. 1和2之间C. 2和3之间D. 3和4之间【答案】B【解析】【分析】先求出边长，然后根据无理数的估算判断即可．【详解】解：∵正方形的面积为3，∴∵1 2∴面积为3的正方形的边长范围在1和2之间故选B．【点睛】本题是对无理数知识的考查，熟练掌握无理数的估算是解决本题的关键．3. 某几何体的三视图如图所示，该几何体是（）A. 圆锥B. 圆柱C. 三棱锥D. 球【答案】A【解析】【分析】由已知三视图得到几何体是圆锥．【详解】由已知三视图得到几何体是以圆锥；故选A．【点睛】本题考查了几何体的三视图；熟记常见几何体的三视图是解答的关键．4. 不等式﹣x+3≥0的正整数解有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】先求出不等式的解集，然后根据不等式的解集求其整数解．【详解】解：∵不等式﹣x+3≥0的解集是x≤3，∴不等式的正整数解是1，2，3，故选：C．【点睛】本题考查不等式的解法及整数解的确定．解不等式要用到不等式的性质：（1）不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．5. 一次函数y=﹣x﹣2的图象经过（）A. 第一、二、三象限B. 第一、二、四象限C. 第一、三，四象限D. 第二、三、四象限【答案】D【解析】【分析】根据一次函数y=kx+b（k≠0）中的k、b判定该函数图象所经过的象限．【详解】∵﹣1＜0，∴一次函数y=﹣x﹣2的图象一定经过第二、四象限，又∵﹣2＜0，∴一次函数y=﹣x﹣2的图象与y轴交于负半轴，∴一次函数y=﹣x﹣2的图象经过第二、三、四象限，故选D．【点睛】本题考查了一次函数的性质．一次函数y=kx+b的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大；②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大；③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小；④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小．6. 下列运算正确的是（）A. m2+m2＝2m2B. （m﹣n）（n﹣m）＝n2﹣m2C. （﹣2mn）2＝﹣4m2n2D. （2m）3÷m3＝2【答案】A【解析】【分析】根据合并同类项、平方差公式、积的乘方、同底数幂的除法分别计算即可．【详解】解：A.m2+m2＝2m2，原计算正确，故此选项符合题意；B.(m﹣n)(n﹣m)＝﹣(n2﹣mn+m2），原计算错误，故此选项不符合题意；C.(﹣2mn)2＝4m2n2，原计算错误，故此选项不符合题意；D.(2m)3÷m3＝8m3÷m3＝8，原计算错误，故此选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方、平方差公式是解题的关键．7. 下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的是（）A. ①B. ②C. ③D. ④【答案】C【解析】试题解析：①作一个角等于已知角的方法正确；②作一个角的平分线的作法正确；③作一条线段的垂直平分线缺少另一个交点，作法错误；④过直线外一点P作已知直线的垂线的作法正确．故选C．考点：基本作图.8. 将一副三角板如图叠放，则图中∠α余角的度数为（）A. 15°B. 75°C. 85°D. 165°【答案】B【解析】【分析】根据三角形的外角的性质计算即可．【详解】解：由三角形的外角的性质可知，∠α＝60°﹣45°＝15°，∴α的余角为75°，故选：B．【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．9. 某校组建了书法、音乐、美术、舞蹈、演讲5个社团，随机调查了部分学生．被调查学生每人都参加且只参加了其中一个社团活动，并将调查结果制成了如图两幅不完整的统计图，在扇形统计图中，“音乐”所对应的扇形圆心角度数是（）度．A. 25%B. 25C. 60D. 90【答案】D【解析】【分析】根据演讲的人数和所占的百分比求出调查的总人数，再求出美术、音乐所占的百分比，然后用360°乘以音乐所占的百分比即可得出答案．【详解】解：调查的总人数有：24÷10%＝240（人），美术所占的百分比是：72240×100%＝30%，则音乐所占的百分比是：1﹣15%﹣10%﹣20%﹣30%＝25%，则，“音乐”所对应的扇形圆心角度数是360°×25%＝90°；故选：D．【点睛】此题考查根据条形统计图和扇形统计图求总体并求各部分所占扇形统计图的圆心角度数．10. 如图，已知l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离相等．若等腰直角ABC的三个顶点分别在三条平行直线上，则∠α的正弦值是（）A. 213B. 313C. 32D. 23【答案】A【解析】【分析】如图（见解析），过点A 作4AD l ⊥于D ，过点B 作4BE l ⊥于E ，先根据同角的余角相等求出CAD BCE ∠=∠，再根据三角形全等的判定定理与性质可得CE AD =，然后利用勾股定理列式求出BC 的长，最后根据锐角的正弦定义列式计算即可得．【详解】如图，过点A 作4AD l ⊥于D ，过点B 作4BE l ⊥于E ，设1234,,,l l l l 间的距离为(0)a a > 则3,2AD a BE a ==ABC 是等腰直角三角形90,ACB AC CB ∴∠=︒=∵90CAD ACD ∠+∠=︒，18090BCE ACD ACB ∠+∠=︒-∠=︒∴CAD BCE ∠=∠在ACD △和CBE △中，90ADC CEB CAD BCE AC CB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ACD CBE AAS ≅∴3CE AD a ==在Rt BCE 中，2222(3)(2)13CB CE BE a a a =+=+=则213sin sin 13BE BCE CB aα=∠=== 故选：A ．【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、勾股定理、正弦三角函数等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．二．填空题（共6小题）11. 正方形是轴对称图形，它共有_______条对称轴．【答案】四【解析】试题分析：根据对称轴的定义，直接作出图形的对称轴即可．解：∵如图所示，正方形是轴对称图形，它共有4条对称轴．故答案为4．考点：轴对称图形．12. 面试时，某人的基础知识、表达能力、工作态度的得分分别是80分、70分、90分，若依次按照30%、30%、40%的比例确定面试成绩，则这个人的面试成绩是_____分．【答案】81【解析】【分析】根据加权平均数定义可得．【详解】解：这个人的面试成绩是80×30%+70×30%+90×40%＝81（分）．故答案为：81．【点睛】本题主要考查加权平均数的计算，掌握加权平均数的定义是解题的关键．13. 化简：2x4x22x+=--_____．【答案】x2+【解析】试题分析：先转化为同分母（x ﹣2）的分式相加减，然后约分即可得解： ()()222x 2x 2x 4x 4x 4x 2x 22x x 22x x 2x 2+--+=-===+------． 14. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是△ABC 的一条角平分线，若AB ＝13．AD ＝12．则BC 的长为_____．【答案】10【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质得出BC ＝2BD ，再由勾股定理求出BD 的长，进而可得出结论．【详解】解：∵在△ABC 中，AB ＝AC ＝13，AD 是角平分线，AD ＝12，∴BC ＝2BD ，AD ⊥BC ．在Rt △ABD 中，BD 2+AD 2＝AB 2，即BD 2+122＝132，解得BD ＝5，∴BC ＝10．故答案为：10．【点睛】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．同时考查勾股定理的应用，能正确地识图，根据图形选择合适的方法进行求解是关键．15. 如图，菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC=8，BD=6，则菱形ABCD 的高DH=_____．【答案】4.8．【解析】试题分析：在菱形ABCD中，AC⊥BD，∵AC=8，BD=6，∴OA=12AC=12×8=4，OB=12BD=12×6=3，在Rt△AOB中，由勾股定理可得AB=5，∵DH⊥AB，∴菱形ABCD的面积=12AC•BD=AB•DH，即12×6×8=5•DH，解得DH=4.8．考点：菱形的性质．16. 如图，在正方形ABCD中，AB＝16．连接AC，点P在线段AC上，PA＝14AC，作射线PM与边AB相交于点E．将射线PM绕点P逆时针旋转90°得到射线PN，射线PN与边BC相交于点F．当△AEP的面积为203时．在边CD上取一点G．则△AFG周长的最小值是_____．【答案】34265【解析】【分析】如图，作点Ｆ关于点C的对称点H，连接AH，GH，过点P作PK⊥BC于K，PJ⊥AB于J．利用三角形的面积公式求出AE，再利用相似三角形的性质求出KF，利用勾股定理求出AF，AH，GH+AG+GF的最小值即可解决问题．【详解】解：如图，作点F关于点C的对称点H，连接AH，GH，过点P作PK⊥BC于K，PJ⊥AB于J．∵四边形ABCD 是正方形，AB ＝16， ∴AC 2AB ＝2∵PA ＝14AC ， ∴PA ＝2，∵PJ ⊥AJ ，∠PAJ ＝45°，∴PJ ＝AJ ＝4，BJ ＝16﹣4＝12， ∵PK ⊥BC ，∴∠B ＝∠PJB ＝∠PKB ＝90°， ∴四边形PJBK 是矩形，∴PK ＝BJ ＝12，∵S △PAE ＝203＝12•AE•PJ ， ∴AE ＝103，EJ ＝4﹣103＝23， ∵∠JPK ＝∠MPN ＝90°，∴∠JPE ＝∠FPK ，∵∠PJE ＝∠PKF ＝90°，∴△PJE ∽△PKF ， ∴PJ EJ PK FK=， ∴24312FK =， ∴FK ＝2，CF ＝12+2＝14，BF ＝2， ∴BH ＝14+16＝30，∴AF 22AB BF +22162+265AH 22AB BH +221630+34，∵GF ＝GH ，∴AG+FG ＝AG+GH ，∵AG+GH≥AH ，∴AG+GH≥34，∴GA+FG 的最小值为34，∴△AFG 的周长的最小值为34+故答案为：34+【点睛】本题考查了正方形的性质及最短路径问题，熟练使用正方形的性质，相似的判定及性质，最短路径的确定是解题的关键．三．解答题（共9小题）17. 计算：|1﹣6cos30°|﹣（﹣12）﹣2﹣（﹣3）0． 【答案】2【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．【详解】解：原式＝|1﹣﹣﹣1 ＝1﹣﹣1＝2．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，二次根式的性质，负整数指数幂，零次幂，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．18. 一个不透明的盒子中装有两个红球和一个蓝球．这些球除颜色外都相同．（1）从中随机摸出一个球．记下颜色后放回．再从中随机摸出一个球． ①请用列表法或树状图法，求第一次摸到蓝球，第二次摸到红球的概率；②请直接写出两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率 ．（2）从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回．再从中随机摸出一个球，请直接写出两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率 ．【答案】（1）①图见解析，29，②49；（2）23 【解析】【分析】（1）①根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出第一次摸到蓝球，第二次摸到红球的情况数，然后根据概率公式即可得出答案；②找出两次摸到的球的颜色能配成紫色的情况数，再根据概率公式即可得出答案；（2）根据题意画出树状图得出所有等情况数和两次摸到的球的颜色能配成紫色的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【详解】解：（1）根据题意画图如下：①共有9种等情况数，其中第一次摸到蓝球，第二次摸到红球的有2种，则第一次摸到蓝球，第二次摸到红球的概率是29；②两次摸到的球的颜色能配成紫色的有4种情况，则两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率是49；故答案为：49；（2）根据题意画图如下：共有6种等情况数，其中两次摸到的球的颜色能配成紫色的有4种，则两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率4263 ；故答案为：23．【点睛】此题考查列表法或树状图求概率，难度一般,需注意实验为放回实验还是不放回实验．19. 如图，▱ABCD中，∠A＝45°，连接BD，且BD⊥AD，点E、点F分别是AB、CD上的点，连接EF 交BD于点O，且EF⊥CD，BE＝DF＝1．（1）求EF的长；（2）直接写出▱ABCD的面积．【答案】（1）2；（2）8【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和等腰直角三角形的性质解答即可；（2）根据等腰直角三角形的性质和平行四边形的面积公式解答即可．【详解】解：（1）∵∠A＝45°，BD⊥AD，∴△ABD是等腰直角三角形，∴∠DBA＝45°，AD＝DB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠CDB=∠DBA＝45°,∵EF⊥CD，∴EF⊥AB，∴△OEB是等腰直角三角形，△DFO是等腰直角三角形，∵DF＝BE＝1，∴OE＝BE＝1，OF＝DF＝1，∴EF＝2；（2）∵△OEB和△DFO是等腰直角三角形，∵OE＝EB＝OF＝DF＝1，∴OD＝OB2∴DB＝2，∵△ADB是等腰直角三角形，∴AB22224DB==，∴▱ABCD的面积＝AB•EF＝4×2＝8．故答案为：8．【点睛】此题考查平行四边形的性质，关键是根据等腰直角三角形的性质和平行四边形的面积解答．20. 某校组织了一次比赛，甲、乙两队各有5人参加比赛，两队每人的比赛成绩（单位：分）如下：甲队：7，8，9，6，10乙队：10，9，5，8，8（1）甲队成绩的中位数是分，乙队成绩的众数是分；（2）计算乙队的平均成绩和方差；（3）已知甲队成绩的方差为S2甲＝2，则成绩波动较大的是队．【答案】（1）8，8；（2）乙队成绩的平均成绩为8分，乙队成绩的方差为2.5；（3）乙【解析】【分析】（1）由中位数、众数的定义求解即可；（2）根据平均数、方差的计算方法，计算出乙队的平均数和方差即可；（3）根据两队方差的大小，判断两队成绩波动即可．【详解】解：（1）甲队比赛成绩按从小到大顺序排列6，7，8，9，10，其中位数为8；乙队成绩中8出现了2次，故乙队的众数是8．故答案为8，8；（2）乙队的平均成绩为15（10+9+5+8+8）＝8，其方差S2乙＝15[（10﹣8）2+（9﹣8）2+（5﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2]＝15×14＝2.8．答：乙队成绩的平均成绩为8分，乙队成绩的方差为2.5；（3）∵2＜2.8，即S2甲＜S2乙，∴乙队成绩波动较大．故答案为乙．【点睛】本题考查了平均数、中位数、众数和方差的意义，掌握平均数、中位数、众数确定方法和方差的意义是解答本题的关键．21. 如图，AB是⊙O的弦，直线BC与⊙O相切于点B，AD⊥BC，垂足为D，连接OA，OB．（1）求证：AB平分∠OAD；（2）当∠AOB＝100°，⊙O的半径为6cm时．①直接写出扇形AOB的面积约为cm2（结果精确到1cm2）；②点E是⊙O上一动点（点E不与点A、点B重合），连接AE，BE，请直接写出∠AEB＝°．【答案】（1）见解析；（2）①31，②50或130【解析】【分析】（1）根据OA＝OB，可以得到∠OBA＝∠OAB，再根据平行线的性质可以得到∠OBA＝∠DAB，然后即可得到结论成立；（2）①根据扇形面积的计算公式，可以求得扇形AOB的面积；②根据圆周角定理，利用分类讨论的方法，可以得到∠AEB的度数．【详解】（1）证明：∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB，∵OB⊥CB，AD⊥BC，∴OB∥AD，∴∠OBA＝∠DAB，∴∠OAB＝∠DAB，∴AB平分∠OAD；（2）①∵∠AOB＝100°，⊙O的半径为6cm，∴扇形AOB的面积为：21006360π⨯≈31（cm2），故答案为：31；②当点E在AEB上时，∵∠AOB＝100°，∴∠AEB＝50°，当点EAB 上时， ∠AEB ＝1(360100)1302︒︒︒-=故答案为：50或130．【点睛】本题以圆为背景，考查了角平分线的证明，扇形面积的计算，角度的计算，熟练掌握圆的相关性质，扇形的面积公式，圆周角定理是解题的关键．22. 某商店购进一批成本为每件40元的商品，若商店按单价不低于成本价，且不高于70元销售，且销售单价为正整数，经调查发现，该商品每天的销售量y (件)与销售单价x (元)之间的关系如表： 销售单价x/元40 50 60 70 每天的销售量y/件140 120 100 80(1)请你认真分析表中所给的数据，用你学过的一次函数、反比例函数和二次函数中的一种来表示y 与x 之间的变化规律，说明选择这种函数的理由，并求出它的函数表达式和自变量的取值范圈．(2)销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)表格数据符合一次函数的规律，2220y x =+﹣(40≤x≤70)；(2)销售单价定为70元时，销售该商品每天获得的利润最大，最大利润是2400元【解析】【分析】(1)表格数据符合一次函数的规律，故设函数的表达式为：y kx b =+，将(40，140)、(50，120)代入上式，即可求解；(2)设该商品每天获得的利润为w ，则(40w y x =-)，即可求解．【详解】(1)表格数据符合一次函数的规律，故设函数的表达式为：y kx b =+，将(40，140)、(50，120)代入上式得：1404012050k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得：2220k b =⎧⎨=⎩， 故函数的表达式为：2220(4070y x x =-+≤≤)；(2)设该商品每天获得的利润为w ，则(40w y x =-)=(2220x +﹣)(40x ﹣)2(110x =--)(40x -)(4070x ≤≤)； 对称轴为12x =(110+40)=75， ∵20<﹣，故当75x <时，w 随x 的增大而增大，而4070x ≤≤， ∴当x=70时，w 有最大值，此时，w=2400，故销售单价定为70元时，销售该商品每天获得的利润最大，最大利润是2400元．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求解析式，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案，正确得出w 与x 之间的函数关系式是解题关键．23. 如图，在平面立角坐标系中，反比例函数y ＝k x（k≠0，x ＜0）与一次函数y ＝ax+b 的图象交于点A(﹣3，1)、B(m ，3)．点C 的坐标为(1，0)，连接AC ，BC ．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）当x ＜0时，直接写出不等式k x≥ax+b 的解集 ； （3）若点M 为y 轴的正半轴上的动点，当△ACM 是直角三角形时，直接写出点M 的坐标 ．【答案】（1）y ＝﹣3x ，y ＝x+4；（2）﹣1≤x ＜0或x≤﹣3；（3）(0，13)或(0113+【解析】【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）观察函数图象即可求解；（3）分MC 是斜边、CA 是斜边、AM 是斜边三种情况，分别求解即可．【详解】解：（1）将点A 的坐标代入反比例函数表达式得：1＝3k -，解得：k ＝﹣3， 将点B 的坐标代入反比例函数表达式并解得：m ＝﹣1，故点B （﹣1，3），将点A 、B 的坐标代入一次函数表达式得： 133k b k b =-+⎧⎨=-+⎩，解得14k b =⎧⎨=⎩， 故反比例函数和一次函数的表达式分别为：y ＝﹣3x，y ＝x+4； （2）观察函数图象得，当x ＜0时，x≥﹣1或x≤﹣3时，不等式k x ≥ax+b 成立， 即不等式的解集为：﹣1≤x ＜0或x≤﹣3，故答案为：﹣1≤x ＜0或x≤﹣3；（3）设点M （0，m ）（m ＞0），点C （1，0）、A （﹣3，1），则MC 2＝1+m 2，CA 2＝（1+3）2+1＝17，AM 2＝9+（m ﹣1）2，当MC 是斜边时，则1+m 2＝17+9+（m ﹣1）2，解得：m ＝13；当CA 是斜边时，同理可得：m ； 当AM 是斜边时，同理可得：m ＝﹣4（舍去）；故答案为（0，13）或（0）． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数，几何图形的综合，熟练掌握待定系数法求解析式，根据图象求取值范围，构成直角三角形的分类讨论是解题的关键．24. （1）问题探究：如图1所示，有公共顶点A 的两个正方形ABCD 和正方形AEFG ．AE ＜AB ，连接BE 与DG ，请判断线段BE 与线段DG 之间有怎样的数量关系和位置关系．并请说明理由．（2）理解应用：如图2所示，有公共顶点A 的两个正方形ABCD 和正方形AEFG ，AE ＜AB ，AB ＝10，将正方形AEFG 绕点A 在平面内任意旋转，当∠ABE ＝15°，且点D 、E 、G 三点在同一条直线上时，请直接写出AE 的长 ；（3）拓展应用：如图3所示，有公共顶点A 的两个矩形ABCD 和矩形AEFG ，AD ＝AB ＝，AG ＝4，AE ＝AEFG 绕点A 在平面内任意旋转，连接BD ，DE ，点M ，N 分别是BD ，DE 的中点，连接MN ，当点D 、E 、G 三点在同一条直线上时，请直接写出MN 的长【答案】（1）BE ＝DG ，BE ⊥DG ，见解析；（2）53﹣5；（3）63或83【解析】【分析】（1）由“SAS ”可证△GAD ≌△EAB ，可得BE ＝DG ，∠ADG ＝∠ABE ，由直角三角形的性质可得BE ⊥DG ； （2）由“SAS ”可证△GAD ≌△EAB ，可得BE ＝DG ，∠ADG ＝∠ABE ＝15°，可得∠DEB ＝90°，由直角三角形的性质可求解；（3）分两种情况讨论，通过证明△AGD ∽△AEB ，可得3DG AD BE AB ==，∠DGA ＝∠AEB ，由勾股定理和三角形中位线定理可求解．【详解】解：（1）BE ＝DG ，BE ⊥DG ，理由如下：如图1：延长BE 交AD 于N ，交DG 于H ，∵四边形ABCD 是正方形，四边形AEFG 是正方形，∴AG ＝AE ，AB ＝AD ，∠GAE ＝∠DAB ＝90°，∴∠GAD ＝∠EAB ，∴△GAD ≌△EAB （SAS ），∴BE ＝DG ，∠ADG ＝∠ABE ，∵∠ABE +∠ANB ＝90°，∴∠ADG +∠DNH ＝90°，∴∠DHN ＝90°，∴BE ⊥DG ；（2）如图，当点G在线段DE上时，连接BD，∵四边形ABCD是正方形，四边形AEFG是正方形，∴AG＝AE，AB＝AD＝10，∠GAE＝∠DAB＝90°，∠ADB＝45°＝∠ABD，BD＝2AB＝102，GE＝2AE，∴∠GAD＝∠EAB，∴△GAD≌△EAB（SAS），∴BE＝DG，∠ADG＝∠ABE＝15°，∴∠BDE＝45°﹣15°＝30°，∠DBE＝45°+15°＝60°，∴∠DEB＝90°，∴BE＝12BD＝52＝DG，DE＝3BE＝56，∴GE＝56﹣52，∴AE＝2＝53﹣5，当点E在线段DG上时，同理可求AE＝35，故答案为：35；（3）如图，若点G在线段DE上时，∵AD ＝13AB ＝39，AG ＝4，AE ＝3∴DB 22AB AD +16131639⨯+⨯13GE 22AG AE +1648+8，∠DAB ＝∠GAE ＝90°，∴∠DAG ＝∠BAE ， 又∵3AD AG AB AE ==， ∴△AGD ∽△AEB ， ∴3DG AD BE AB ==，∠DGA ＝∠AEB ， ∴BE 3，∵∠DGA ＝∠GAE +∠DEA ，∠AEB ＝∠DEB +∠AED ，∴∠GAE ＝∠DEB ＝90°，∵DB 2＝DE 2+BE 2，∴64×13＝（DG +8）2+3DG 2，∴DG ＝12或DG ＝﹣16（舍去），∴BE ＝3∵点M ，N 分别是BD ，DE 的中点，∴MN ＝12BE ＝3 如图，当点E 在线段DG 上时，同理可求：BE＝163，∵点M，N分别是BD，DE的中点，∴MN＝12BE＝83，综上所述：MN为63或83，故答案为：63或83．【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．25. 如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的边AO在x轴的负半轴上，边OB在y轴的负半轴上．且AO＝12，OB＝9．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A和点B．（1）求抛物线的表达式；（2）在第二象限的抛物线上找一点M，连接AM，BM，AB，当△ABM面积最大时，求点M的坐标；（3）点D是线段AO上的动点，点E是线段BO上的动点，点F是射线AC上的动点，连接EF，DF，DE，BD，且EF是线段BD的垂直平分线．当CF＝1时．①直接写出点D的坐标；②若△DEF的面积为30，当抛物线y＝﹣x2+bx+c经过平移同时过点D和点E时，请直接写出此时的抛物线的表达式．【答案】（1）y＝﹣x2﹣514x﹣9；（2）M(﹣6，31.5)；（3）①(﹣12+35，0)或(﹣3，0)，②y＝﹣x2﹣133x ﹣4【解析】【分析】（1）利用待定系数法把问题转化为解方程组即可解决问题．（2）如图1中，设M（m，﹣m2﹣514m﹣9），根据S△ABM＝S△ACM+S△MBC﹣S△ACB构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．（3）①分两种情形：如图2中，当点F在AC的延长线设时，连接DF，FB．设D（m，0）．根据FD＝FB，构建方程求解．当点F在线段AC上时，同法可得．②根据三角形的面积求出D，E的坐标，再利用待定系数法解决问题即可．【详解】解：（1）由题意A（﹣12，0），B（0，﹣9），把A，B的坐标代入y＝﹣x2+bx+c，得到9144120cb c=-⎧⎨--+=⎩，解得：5149bc⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣514x﹣9．（2）如图1中，设M（m，﹣m2﹣514m﹣9），S△ABM＝S△ACM+S△MBC﹣S△ACB＝12×9×（m+12）+12×12×（﹣m2﹣514m﹣9+9）﹣12×12×9＝﹣6m2﹣72m＝﹣6（m+6）2+216，∵﹣6＜0，∴m＝﹣6时，△ABM的面积最大，此时M（﹣6，31.5）．（3）①如图2中，当点F在AC的延长线设时，连接DF，FB．设D（m，0）．∵EF垂直平分线段BD，∴FD＝FB，∵F（﹣12，﹣10），B（0，﹣9），∴102+（m+12）2＝122+12，∴m＝﹣12﹣55∴D（﹣50）．当点F在线段AC上时，同法可得D（﹣3，0），综上所述，满足条件的点D的坐标为（﹣50）或（﹣3，0）．故答案为（﹣50）或（﹣3，0）．②由①可知∵△EF的面积为30，∴D（﹣3，0），E（0，﹣4），把D，E代入y＝﹣x2+b′x+c′，可得'493''0cb c=-⎧⎨--+=⎩，解得：13'3'4bc⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣133x﹣4．故答案为：y＝﹣x2﹣133x﹣4．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．。
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2020年辽宁省沈阳市和平区中考数学二模试卷一、选择题（下列各题备选答案中，只有一一个答案是正确的，每小题2分，共20分）1．（2分）地球平均半径约等于6400000米，6400000用科学记数法表示为（）A．64×105B．6.4×105C．6.4×106D．6.4×107 2．（2分）估算面积为3的正方形的边长b的值（）A．在0和1之间B．在1和2之间C．在2和3之间D．在3和4之间3．（2分）某几何体的三视图如图所示，该几何体是（）A．圆锥B．圆柱C．三棱锥D．球4．（2分）不等式﹣x+3≥0的正整数解有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．（2分）一次函数y＝﹣x﹣2的图象经过（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限6．（2分）下列运算正确的是（）A．m2+m2＝2m2B．（m﹣n）（n﹣m）＝n2﹣m2C．（﹣2mn）2＝﹣4m2n2D．（2m）3÷m3＝27．（2分）下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③过直线外一点作已知直线的垂线；④作一条线段的垂直平分线，则对应作法错误的是（）A．①B．②C．③D．④8．（2分）将一副三角板如图叠放，则图中∠α余角的度数为（）A ．15°B ．75°C ．85°D ．165°9．（2分）某校组建了书法、音乐、美术、舞蹈、演讲5个社团，随机调查了部分学生．被调查学生每人都参加且只参加了其中一个社团活动，并将调查结果制成了如图两幅不完整的统计图，在扇形统计图中，“音乐”所对应的扇形圆心角度数是（）度．A ．25%B ．25C ．60D ．9010．（2分）如图，已知l 1∥l 2∥l 3∥l 4，相邻两条平行直线间的距离相等．若等腰直角△ABC 的三个顶点分别在三条平行直线上，则∠α的正弦值是（）A ．13132B ．13133C ．23D ．32二.填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）正六边形是轴对称图形，它有条对称轴．12．（3分）面试时，某人的基础知识、表达能力、工作态度的得分分别是80分、70分、90分，若依次按照30%、30%、40%的比例确定面试成绩，则这个人的面试成绩是分．13．（3分）化简：xx x -+-2422＝．14．（3分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是△ABC 的一条角平分线，若AB ＝13．AD ＝12．则BC 的长为．15．（3分）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于O ，且AC ＝8cm ，BD ＝6cm ，则菱形ABCD 的高DE ＝cm ．16．（3分）如图，在正方形ABCD 中，AB ＝16．连接AC ，点P 在线段AC 上，PA ＝41AC ，作射线PM 与边AB 相交于点E ．将射线PM 绕点P 逆时针旋转90°得到射线PN ，射线PN 与边BC 相交于点F ．当△AEP 的面积为320时．在边CD 上取一点G ．则△AFG 周长的最小值是．三、解答题（第17小题6分，第18.19小题各8分，共22分）17．（6分）计算：|1﹣6cos30°|﹣27+（﹣21）﹣2﹣（﹣3）0．18．（8分）一个不透明的盒子中装有两个红球和一个蓝球．这些球除颜色外都相同．（1）从中随机摸出一个球．记下颜色后放回．再从中随机摸出一个球．①请用列表法或树状图法，求第一次摸到蓝球，第二次摸到红球的概率；②请直接写出两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率．（2）从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回．再从中随机摸出一个球，请直接写出两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率．19．（8分）如图，▱ABCD中，∠A＝45°，连接BD，且BD⊥AD，点E、点F分别是AB、CD上的点，连接EF交BD于点O，且EF⊥CD，BE＝DF＝1．（1）求EF的长；（2）直接写出▱ABCD的面积．四.（每小题8分，共16分）20．（8分）某校组织了一次比赛，甲、乙两队各有5人参加比赛，两队每人的比赛成绩（单位：分）如下：甲队：7，8，9，6，10乙队：10，9，5，8，8（1）甲队成绩的中位数是分，乙队成绩的众数是分；（2）计算乙队的平均成绩和方差；（3）已知甲队成绩的方差为S2＝2，则成绩波动较大的是队．甲21．（8分）如图，AB是⊙O的弦，直线BC与⊙O相切于点B，AD⊥BC，垂足为D，连接OA，OB．（1）求证：AB平分∠OAD；（2）当∠AOB＝100°，⊙O的半径为6cm时．①直接写出扇形AOB的面积约为cm2（结果精确到1cm2）；②点E是⊙O上一动点（点E不与点A、点B重合），连接AE，BE，请直接写出∠AEB＝°．五、（本题10分）22．（10分）某商店购进一批成本为每件40元的商品，若商店按单价不低于成本价，且不高于70元销售，且销售单价为正整数，经调查发现，该商品每天的销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系如表：销售单价x /元40506070每天的销售量y /件14012010080（1）请你认真分析表中所给的数据，用你学过的一次函数、反比例函数和二次函数中的一种来表示y 与x 之间的变化规律，说明选择这种函数的理由，并求出它的函数表达式和自变量的取值范圈．（2）销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润最大？最大利润是多少元？六、（本题10分）23．（10分）如图，在平面立角坐标系中，反比例函数y ＝xk（k ≠0，x ＜0）与一次函数y ＝ax +b 的图象交于点A （﹣3，1）、B （m ，3）．点C 的坐标为（1，0），连接AC ，BC ．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）当x ＜0时，直接写出不等式xk≥ax +b 的解集；（3）若点M 为y 轴的正半轴上的动点，当△ACM 是直角三角形时，直接写出点M 的坐标．七、（本题12分）24．（12分）（1）问题探究：如图1所示，有公共顶点A的两个正方形ABCD和正方形AEFG．AE＜AB，连接BE与DG，请判断线段BE与线段DG之间有怎样的数量关系和位置关系．并请说明理由．（2）理解应用如图2所示，有公共顶点A的两个正方形ABCD和正方形AEFG，AE＜AB，AB＝10，将正方形AEFG绕点A在平面内任意旋转，当∠ABE＝15°，且点D、E、G三点在同一条直线上时，请直接写出AE的长；（3）拓展应用如图3所示，有公共顶点A的两个矩形ABCD和矩形AEFG，AD＝413，AB＝439，AG＝4，AE＝43，将矩形AEFG绕点A在平面内任意旋转，连接BD，DE，点M，N 分别是BD，DE的中点，连接MN，当点D、E、G三点在同一条直线上时，请直接写出MN的长八.（本题12分）25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的边AO在x轴的负半轴上，边OB 在y轴的负半轴上．且AO＝12，OB＝9．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A和点B．（1）求抛物线的表达式；（2）在第二象限的抛物线上找一点M，连接AM，BM，AB，当△ABM面积最大时，求点M的坐标；（3）点D是线段AO上的动点，点E是线段BO上的动点，点F是射线AC上的动点，连接EF，DF，DE，BD，且EF是线段BD的垂直平分线．当CF＝1时．①直接写出点D的坐标；②若△DEF的面积为30，当抛物线y＝﹣x2+bx+c经过平移同时过点D和点E时，请直接写出此时的抛物线的表达式．2020年辽宁省沈阳市和平区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（下列各题备选答案中，只有一一个答案是正确的，每小题2分，共20分）1．（2分）地球平均半径约等于6400000米，6400000用科学记数法表示为（）A．64×105B．6.4×105C．6.4×106D．6.4×107【解答】解：6400000＝6.4×106，故选：C．2．（2分）估算面积为3的正方形的边长b的值（）A．在0和1之间B．在1和2之间C．在2和3之间D．在3和4之间【解答】解：面积为3的正方形的边长b的值为3，∵1＜3＜2，∴实数3的值在整数1和2之间．故选：B．3．（2分）某几何体的三视图如图所示，该几何体是（）A．圆锥B．圆柱C．三棱锥D．球【解答】解：由已知三视图得到几何体是以圆锥；故选：A．4．（2分）不等式﹣x+3≥0的正整数解有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：∵不等式﹣x+3≥0的解集是x≤3，∴不等式的正整数解是1，2，3，故选：C．5．（2分）一次函数y＝﹣x﹣2的图象经过（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限【解答】解：∵﹣1＜0，∴一次函数y＝﹣x﹣2的图象一定经过第二、四象限；又∵﹣2＜0，∴一次函数y＝﹣x﹣2的图象与y轴交于负半轴，∴一次函数y＝﹣x﹣2的图象经过第二、三、四象限；故选：D．6．（2分）下列运算正确的是（）A．m2+m2＝2m2B．（m﹣n）（n﹣m）＝n2﹣m2C．（﹣2mn）2＝﹣4m2n2D．（2m）3÷m3＝2【解答】解：A、m2+m2＝2m2，原计算正确，故此选项符合题意；B、（m﹣n）（n﹣m）＝﹣（n2﹣mn+m2），原计算错误，故此选项不符合题意；C、（﹣2mn）2＝4m2n2，原计算错误，故此选项不符合题意；D、（2m）3÷m3＝8m3÷m3＝8，原计算错误，故此选项不符合题意．故选：A．7．（2分）下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③过直线外一点作已知直线的垂线；④作一条线段的垂直平分线，则对应作法错误的是（）A．①B．②C．③D．④【解答】解：①作一个角等于已知角的方法正确；②作一个角的平分线的作法正确；③过直线外一点P作已知直线的垂线的作法正确；④作一条线段的垂直平分线，两弧缺少另一个交点，作法错误；故选：D．8．（2分）将一副三角板如图叠放，则图中∠α余角的度数为（）A ．15°B ．75°C ．85°D ．165°【解答】解：由三角形的外角的性质可知，∠α＝60°﹣45°＝15°，所以α的余角为75°，故选：B ．9．（2分）某校组建了书法、音乐、美术、舞蹈、演讲5个社团，随机调查了部分学生．被调查学生每人都参加且只参加了其中一个社团活动，并将调查结果制成了如图两幅不完整的统计图，在扇形统计图中，“音乐”所对应的扇形圆心角度数是（）度．A ．25%B ．25C ．60D ．90【解答】解：调查的总人数有：24÷10%＝240（人），美术所占的百分比是：24072×100%＝30%，则音乐所占的百分比是：1﹣15%﹣10%﹣20%﹣30%＝25%，则，“音乐”所对应的扇形圆心角度数是360°×25%＝90°；故选：D ．10．（2分）如图，已知l 1∥l 2∥l 3∥l 4，相邻两条平行直线间的距离相等．若等腰直角△ABC 的三个顶点分别在三条平行直线上，则∠α的正弦值是（）A ．13132B ．13133C ．23D ．32【解答】解：如图，过点A 作AD ⊥l 4于D ，过点B 作BE ⊥l 4于E ，设l 1，l 2，l 3，l 4间的距离为1，∵∠CAD +∠ACD ＝90°，∠BCE +∠ACD ＝90°，∴∠CAD ＝∠BCE ，在等腰直角△ABC 中，AC ＝BC ，在△ACD 和△CBE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠BC AC BCE CAD BEC ADC ，∴△ACD ≌△CBE （AAS ），∴CE ＝AD ＝3，在Rt △BCE 中，BC ＝1322=+CE BE ，∴sin α＝13132132==BC BE ．故选：A．二.填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）正六边形是轴对称图形，它有6条对称轴．【解答】解：正六边形有6条对称轴，分别是3条对角线和三组对边的垂直平分线．∴正六边形是轴对称图形，它有6条对称轴．12．（3分）面试时，某人的基础知识、表达能力、工作态度的得分分别是80分、70分、90分，若依次按照30%、30%、40%的比例确定面试成绩，则这个人的面试成绩是81分．【解答】解：这个人的面试成绩是80×30%+70×30%+90×40%＝81（分）．故答案为：81．13．（3分）化简：x x x -+-2422＝x +2．【解答】解：x x x -+-2422＝2-4-22x x x -＝24-2-x x =2)2)(2(--+x x x ＝x +2．14．（3分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是△ABC 的一条角平分线，若AB ＝13．AD ＝12．则BC 的长为10．【解答】解：∵在△ABC 中，AB ＝AC ＝13，AD 是角平分线，AD ＝12，∴BC ＝2BD ，AD ⊥BC ．在Rt △ABD 中，BD 2+AD 2＝AB 2，即BD 2+122＝132，解得BD ＝5，∴BC ＝10．故答案为：10．15．（3分）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于O ，且AC ＝8cm ，BD ＝6cm ，则菱形ABCD 的高DE ＝4.8cm ．【解答】解：∵在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于O ，且AC ＝8cm ，BD ＝6cm ，∴菱形的面积＝21×8×6＝24cm 2，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，OA ＝4cm ，OD ＝3cm ，∴AD ＝cm OA OD 522=+，∴AB ＝5cm ，∴菱形的面积＝AB •DE ＝24cm 2，∴DE ＝8.4524=cm ，故答案为：4.8．16．（3分）如图，在正方形ABCD 中，AB ＝16．连接AC ，点P 在线段AC 上，PA ＝41AC ，作射线PM 与边AB 相交于点E ．将射线PM 绕点P 逆时针旋转90°得到射线PN ，射线PN 与边BC 相交于点F ．当△AEP 的面积为320时．在边CD 上取一点G ．则△AFG 周长的最小值是34+265．【解答】解：如图，作点G 关于点C 的对称点H ，连接AH ，GH ，过点P 作PK ⊥BC 于K ，PJ ⊥AB 于J ．∵四边形ABCD 是正方形，AB ＝16，∴AC ＝2AB ＝162，∵PA ＝41AC ，∴PA ＝42，∵PJ ⊥AJ ，∠PAJ ＝45°，∴PJ ＝AJ ＝4，BJ ＝16﹣4＝12，∵PK ⊥BC ，∴∠B ＝∠PJB ＝∠PKB ＝90°，∴四边形PJBK 是矩形，∴PK ＝BJ ＝12，∵S △P AE ＝320＝21•AE •PJ ，∴AE ＝310，EJ ＝4﹣310＝32，∵∠JPK ＝∠MPN ＝90°，∴∠JPE ＝∠FPK ，∵∠PJE ＝∠PKF ＝90°，∴△PJE ∽△PKF ，∴FKEJ PK PJ ，∴FK32124=，∴FK ＝2，CF ＝12+2＝14，BF ＝2，∴BH ＝30，∴AF ＝65222=+BF AB ，AH ＝22BH AB +＝34，∵GF ＝GH ，∴AG +FG ＝AG +GH ，∵AG +GH ≥AH ，∴AG +GH ≥34，∴GA +FG 的最小值34，∴△AFG 的周长的最小值为34+265．故答案为34+265．三、解答题（第17小题6分，第18.19小题各8分，共22分）17．（6分）计算：|1﹣6cos30°|﹣27+（﹣21）﹣2﹣（﹣3）0．【解答】解：原式＝|1﹣6×23|﹣33+4﹣1＝33﹣1﹣33+4﹣1＝2．18．（8分）一个不透明的盒子中装有两个红球和一个蓝球．这些球除颜色外都相同．（1）从中随机摸出一个球．记下颜色后放回．再从中随机摸出一个球．①请用列表法或树状图法，求第一次摸到蓝球，第二次摸到红球的概率；②请直接写出两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率94．（2）从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回．再从中随机摸出一个球，请直接写出两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率32．【解答】解：（1）根据题意画图如下：①共有9种等情况数，其中第一次摸到蓝球，第二次摸到红球的有2种，则第一次摸到蓝球，第二次摸到红球的概率是92；②两次摸到的球的颜色能配成紫色的有4种情况，则两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率是94；（2）根据题意画图如下：共有6种等情况数，其中两次摸到的球的颜色能配成紫色的有4种，则两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率64＝32；19．（8分）如图，▱ABCD 中，∠A ＝45°，连接BD ，且BD ⊥AD ，点E 、点F 分别是AB 、CD 上的点，连接EF 交BD 于点O ，且EF ⊥CD ，BE ＝DF ＝1．（1）求EF 的长；（2）直接写出▱ABCD 的面积8．【解答】解：（1）∵∠A ＝45°，BD ⊥AD ，∴△ABD 是等腰直角三角形，∴∠DBA ＝45°，AD ＝DB ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ∥AB ，∵EF ⊥CD ，∴EF ⊥AB ，∴△OEB 是等腰直角三角形，△DFO 是等腰直角三角形，∵DF ＝BE ＝1，∴OE ＝BE ＝1，OF ＝DF ＝1，∴EF ＝2；（2）∵△OEB 和△DFO 是等腰直角三角形，∵OE ＝EB ＝OF ＝DF ＝1，∴OD ＝OB ＝2，∴DB ＝22，∵△ADB 是等腰直角三角形，∴AB ＝2DB=22×2=4，∴▱ABCD 的面积＝AB •EF ＝4×2＝8．故答案为：8．四.（每小题8分，共16分）20．（8分）某校组织了一次比赛，甲、乙两队各有5人参加比赛，两队每人的比赛成绩（单位：分）如下：甲队：7，8，9，6，10乙队：10，9，5，8，8（1）甲队成绩的中位数是8分，乙队成绩的众数是8分；（2）计算乙队的平均成绩和方差；（3）已知甲队成绩的方差为S 2甲＝2，则成绩波动较大的是乙队．【解答】解：（1）甲队比赛成绩按从小到大顺序排列为6，7，8，9，10，其中位数为8；乙队成绩中8出现了2次，故乙队的众数是8．故答案为：8，8；（2）乙队的平均成绩为51（10+9+5+8+8）＝8，其方差S 2乙＝51[（10﹣8）2+（9﹣8）2+（5﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2]＝51×14＝2.8．答：乙队成绩的平均成绩为8分，乙队成绩的方差为2.5；（3）∵2＜2.8，即S 2甲＜S 2乙，∴乙队成绩波动较大．故答案为：乙．21．（8分）如图，AB 是⊙O 的弦，直线BC 与⊙O 相切于点B ，AD ⊥BC ，垂足为D ，连接OA ，OB ．（1）求证：AB 平分∠OAD ；（2）当∠AOB ＝100°，⊙O 的半径为6cm 时．①直接写出扇形AOB 的面积约为31cm 2（结果精确到1cm 2）；②点E 是⊙O 上一动点（点E 不与点A 、点B 重合），连接AE ，BE ，请直接写出∠AEB＝50或130°．【解答】（1）证明：∵OA ＝OB ，∴∠OBA ＝∠OAB ，∵OB ⊥CB ，AD ⊥BC ，∴OB ∥AD ，∴∠OBA ＝∠DAB ，∴∠OAB ＝∠DAB ，∴AB 平分∠OAD ；（2）①∵∠AOB ＝100°，⊙O 的半径为6cm ，∴扇形AOB 的面积为：36061002⨯π≈31（cm 2），故答案为：31；②当点E 在优弧AB 上时，∵∠AOB ＝100°，∴∠AEB ＝50°，当点E 在劣弧AB 上室，∠AEB ＝180°﹣50°＝130°，故答案为：50或130．五、（本题10分）22．（10分）某商店购进一批成本为每件40元的商品，若商店按单价不低于成本价，且不高于70元销售，且销售单价为正整数，经调查发现，该商品每天的销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系如表：销售单价x /元40506070每天的销售量y /件14012010080（1）请你认真分析表中所给的数据，用你学过的一次函数、反比例函数和二次函数中的一种来表示y 与x 之间的变化规律，说明选择这种函数的理由，并求出它的函数表达式和自变量的取值范圈．（2）销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润最大？最大利润是多少元？【解答】解：（1）表格数据符合一次函数的规律，故设函数的表达式为：y ＝kx +b ，将（40，140）、（50，120）代入上式得：⎩⎨⎧+=+=b k b k 5012040140，解得：⎩⎨⎧==2202b k ，故函数的表达式为：y ＝﹣2x +220（40≤x ≤70）；（2）设该商品每天获得的利润为w ，则w ＝y （x ﹣40）＝（﹣2x +220）（x ﹣40）＝﹣2（x ﹣110）（x ﹣40）（40≤x ≤70）；∵﹣2＜0，故w 有最大值，当x ＝70，w 最大值，最大值为240，故销售单价定为75元时，销售该商品每天获得的利润最大，最大利润是2400．六、（本题10分）23．（10分）如图，在平面立角坐标系中，反比例函数y ＝xk（k ≠0，x ＜0）与一次函数y ＝ax +b 的图象交于点A （﹣3，1）、B （m ，3）．点C 的坐标为（1，0），连接AC ，BC ．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）当x ＜0时，直接写出不等式xk≥ax +b 的解集﹣1≤x ＜0或x ≤﹣3；（3）若点M 为y 轴的正半轴上的动点，当△ACM 是直角三角形时，直接写出点M 的坐标（0，13）或（0，2131+）．【解答】解：（1）将点A 的坐标代入反比例函数表达式得：1＝3-k，解得：k ＝﹣3，将点B 的坐标代入反比例函数表达式并解得：m ＝﹣1，故点B （﹣1，3），将点A 、B 的坐标代入一次函数表达式得：⎩⎨⎧+=+-=b k b k 331，解得⎩⎨⎧==41b k ，故反比例函数和一次函数的表达式分别为：y ＝﹣x3，y ＝x +4；（2）观察函数图象得，当x ＜0时，x ≥﹣1或x ≤﹣3时，不等式xk≥ax +b 成立，即不等式的解集为：﹣1≤x ＜0或x ≤﹣3，故答案为：﹣1≤x ＜0或x ≤﹣3；（3）设点M （0，m ）（m ＞0），点C （1，0）、A （﹣3，1），则MC 2＝1+m 2，CA 2＝（1+3）2+1＝17，AM 2＝9+（m ﹣1）2，当MC 是斜边时，则1+m 2＝17+9+（m ﹣1）2，解得：m ＝13；当CA 是斜边时，同理可得：m ＝2131+（负值已舍去）；当AM 是斜边时，同理可得：m ＝﹣4（舍去）；故答案为（0，13）或（0，2131+）．七、（本题12分）24．（12分）（1）问题探究：如图1所示，有公共顶点A的两个正方形ABCD和正方形AEFG．AE＜AB，连接BE与DG，请判断线段BE与线段DG之间有怎样的数量关系和位置关系．并请说明理由．（2）理解应用如图2所示，有公共顶点A的两个正方形ABCD和正方形AEFG，AE＜AB，AB＝10，将正方形AEFG绕点A在平面内任意旋转，当∠ABE＝15°，且点D、E、G三点在同一条直线上时，请直接写出AE的长53﹣5；（3）拓展应用如图3所示，有公共顶点A的两个矩形ABCD和矩形AEFG，AD＝413，AB＝439，AG＝4，AE＝43，将矩形AEFG绕点A在平面内任意旋转，连接BD，DE，点M，N 分别是BD，DE的中点，连接MN，当点D、E、G三点在同一条直线上时，请直接写出MN的长63或83【解答】解：（1）BE＝DG，BE⊥DG，理由如下：如图1：延长BE交AD于N，交DG于H，∵四边形ABCD是正方形，四边形AEFG是正方形，∴AG＝AE，AB＝AD，∠GAE＝∠DAB＝90°，∴∠GAD＝∠EAB，∴△GAD≌△EAB（SAS），∴BE ＝DG ，∠ADG ＝∠ABE ，∵∠ABE +∠ANB ＝90°，∴∠ADG +∠DNH ＝90°，∴∠DHN ＝90°，∴BE ⊥DG ；（2）如图，当点G 在线段DE 上时，连接BD ，∵四边形ABCD 是正方形，四边形AEFG 是正方形，∴AG ＝AE ，AB ＝AD ＝10，∠GAE ＝∠DAB ＝90°，∠ADB ＝45°＝∠ABD ，BD ＝2AB ＝102，GE ＝2AE ，∴∠GAD ＝∠EAB ，∴△GAD ≌△EAB （SAS ），∴BE ＝DG ，∠ADG ＝∠ABE ＝15°，∴∠BDE ＝45°﹣15°＝30°，∠DBE ＝45°+15°＝60°，∴∠DEB ＝90°，∴BE ＝21BD ＝52＝DG ，DE ＝3BE ＝56，∴GE ＝56﹣52，∴AE ＝2GE ＝53﹣5，当点E 在线段DG 上时，同理可求AE ＝53﹣5，故答案为：53﹣5；（3）如图，若点G 在线段DE 上时，∵AD ＝413，AB ＝439，AG ＝4，AE ＝43，∴DB ＝13822=+AD AB ，GE ＝822=+AE AG ，∠DAB ＝∠GAE ＝90°，∴∠DAG ＝∠BAE ，又∵AEAG AB AD ==31∴△AGD ∽△AEB ，∴31==AB AD BE DG ，∠DGA ＝∠AEB ，∴BE ＝3DG ，∵∠DGA ＝∠GAE +∠DEA ，∠AEB ＝∠DEB +∠AED ，∴∠GAE ＝∠DEB ＝90°，∵DB 2＝DE 2+BE 2，∴64×13＝（DG +8）2+3DG 2，∴DG ＝12或DG ＝﹣16（舍去），∴BE ＝123，∵点M ，N 分别是BD ，DE 的中点，∴MN ＝21BE ＝63；如图，当点E 在线段DG 上时，同理可求：BE ＝163，∵点M ，N 分别是BD ，DE 的中点，∴MN ＝21BE ＝83，综上所述：MN 为63或83，故答案为：63或83．八.（本题12分）25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC 的边AO 在x 轴的负半轴上，边OB 在y 轴的负半轴上．且AO ＝12，OB ＝9．抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A 和点B ．（1）求抛物线的表达式；（2）在第二象限的抛物线上找一点M ，连接AM ，BM ，AB ，当△ABM 面积最大时，求点M 的坐标；（3）点D 是线段AO 上的动点，点E 是线段BO 上的动点，点F 是射线AC 上的动点，连接EF ，DF ，DE ，BD ，且EF 是线段BD 的垂直平分线．当CF ＝1时．①直接写出点D 的坐标（﹣12+35，0）或（﹣3，0）；②若△DEF 的面积为30，当抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过平移同时过点D 和点E 时，请直接写出此时的抛物线的表达式y ＝﹣x 2﹣313x ﹣4．【解答】解：（1）由题意A （﹣12，0），B （0，﹣9），把A ，B 的坐标代入y ＝﹣x 2+bx +c 得⎩⎨⎧-==+--9012144c c b ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=9451c b ，∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣451x ﹣9．（2）如图1中，设M （m ，﹣m 2﹣451m ﹣9），S △ABM ＝S △ACM +S △MBC ﹣S △ACB ＝21×9×（m +12）+21×12×（﹣m 2﹣451m ﹣9+9）﹣21×12×9＝﹣6m 2﹣72m ＝﹣6（m +6）2+216，∵﹣6＜0，∴m ＝﹣6时，△ABM 的面积最大，此时M （﹣6，31.5）．（3）①如图2中，当点F 在AC 的延长线设时，连接DF ，FB ．设D （m ，0）．∵EF 垂直平分线段BD ，∴FD ＝FB ，∵F （﹣12，﹣10），B （0，﹣9），∴102+（m +12）2＝122+12，∴m ＝﹣12﹣35（舍弃）或﹣12+35，∴D （﹣12+35，0）．当点F 在线段AC 上时，同法可得D （﹣3，0），综上所述，满足条件的点D 的坐标为（﹣12+35，0）或（﹣3，0）．故答案为（﹣12+35，0）或（﹣3，0）．②由①可知∵△EF 的面积为30，∴D （﹣3，0），E （0，﹣4），把D ，E 代入y ＝﹣x 2+b ′x +c ′，可得⎩⎨⎧-==+--4'0''39c c b ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=4'313'c b ，∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣313x ﹣4．。