2015北京高考数学(文)试题下载_2015高考真题高清版
2015年北京高考文科数学试题及答案word精校版(北京卷)
绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本市卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）若集合A=｛x|□5＜x＜2｝，B=｛x|□3＜x＜3｝，则A□B=A. ｛x|3＜x＜2｝B. ｛x|5＜x＜2｝C. ｛x| 3＜x＜3｝D. ｛x|5＜x＜3｝（2）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（A）（x-1）2+（y-1）2=1 （B）（x+1）2+（y+1）2=1（C）（x+1）2+（y+1）2=2 （D）（x-1）2+（y-1）2=2（3）下列函数中为偶函数的是（）（A）y=x²sinx （B）y=x²cosx （C）Y=|ln x| （D）y=2x（4）某校老年，中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体情况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年人数为（）（A）90 （B）100 （C）180 （D）300类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计4300(5)执行如果所示的程序框图，输出的k值为（A）3 （B）4 (C)5 (D)6（6）设a，b是非零向量，“a·b=|a||b|”是“a//b”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（7）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为(A)1 （B）错误！未找到引用源。
（B）错误！未找到引用源。
(D)2（8）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况。
注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（A）6升（B）8升（C）10升（D）12升第二部分（非选择题共110分）二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）复数i（1+i）的实数为（10）2-3,123,log25三个数中最大数的是（11）在△ABC中，a=3,b=错误！未找到引用源。
2015年北京市高考数学试卷(文科)
2015年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分,共40分）1．（5分）若集合A={x|﹣5＜x＜2}，B={x|﹣3＜x＜3}，则A∩B=（）A．{x|﹣3＜x＜2}B．{x|﹣5＜x＜2}C．{x|﹣3＜x＜3}D．{x|﹣5＜x＜3}2．（5分）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（）A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=1 B．（x+1）2+（y+1）2=1 C．（x+1）2+（y+1）2=2 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2 3．（5分）下列函数中为偶函数的是（）A．y=x2sinx B．y=x2cosx C．y=|lnx|D．y=2﹣x4．（5分）某校老年、中年和青年教师的人数见如表，采用分层插样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为（）类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计4300A．90 B．100 C．180 D．3005．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A．3 B．4 C．5 D．66．（5分）设a →，b →是非零向量，“a →⋅b →=|a →||b →|”是“a →∥b →”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ）A ．1B ．√2C ．√3D ．28．（5分）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况加油时间 加油量（升） 加油时的累计里程（千米）2015年5月1日 12 35000 2015年5月15日4835600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为 A ．6升 B ．8升 C ．10升 D ．12升二、填空题9．（5分）复数i （1+i ）的实部为 ． 10．（5分）2﹣3，312，log 25三个数中最大数的是 ．11．（5分）在△ABC 中，a=3，b=√6，∠A=2π3，则∠B= ．12．（5分）已知（2，0）是双曲线x 2﹣y 2b2=1（b ＞0）的一个焦点，则b= ．13．（5分）如图，△ABC 及其内部的点组成的集合记为D ，P （x ，y ）为D 中任意一点，则z=2x +3y的最大值为 ．14．（5分）高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是；②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是．三、解答题（共80分）15．（13分）已知函数f（x）=sinx﹣2√3sin2x 2．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间[0，2π3]上的最小值．16．（13分）已知等差数列{a n}满足a1+a2=10，a4﹣a3=2（1）求{a n}的通项公式；（2）设等比数列{b n}满足b2=a3，b3=a7，问：b6与数列{a n}的第几项相等？17．（13分）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？18．（14分）如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=√2，O，M分别为AB，VA的中点．（1）求证：VB∥平面MOC；（2）求证：平面MOC⊥平面VAB（3）求三棱锥V﹣ABC的体积．19．（13分）设函数f（x）=x22﹣klnx，k＞0．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）证明：若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，√e]上仅有一个零点．20．（14分）已知椭圆C：x2+3y2=3，过点D（1，0）且不过点E（2，1）的直线与椭圆C交于A，B 两点，直线AE与直线x=3交于点M．（1）求椭圆C的离心率；（2）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；（3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．2015年北京市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分,共40分）1．（5分）若集合A={x|﹣5＜x＜2}，B={x|﹣3＜x＜3}，则A∩B=（）A．{x|﹣3＜x＜2}B．{x|﹣5＜x＜2}C．{x|﹣3＜x＜3}D．{x|﹣5＜x＜3}【解答】解：集合A={x|﹣5＜x＜2}，B={x|﹣3＜x＜3}，则A∩B={x|﹣3＜x＜2}．故选：A．2．（5分）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（）A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=1 B．（x+1）2+（y+1）2=1 C．（x+1）2+（y+1）2=2 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2【解答】解：由题意知圆半径r=√2，∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．故选：D．3．（5分）下列函数中为偶函数的是（）A．y=x2sinx B．y=x2cosx C．y=|lnx|D．y=2﹣x【解答】解：对于A，（﹣x）2sin（﹣x）=﹣x2sinx；是奇函数；对于B，（﹣x）2cos（﹣x）=x2cosx；是偶函数；对于C，定义域为（0，+∞），是非奇非偶的函数；对于D，定义域为R，但是2﹣（﹣x）=2x≠2﹣x，2x≠﹣2﹣x；是非奇非偶的函数；故选B4．（5分）某校老年、中年和青年教师的人数见如表，采用分层插样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为（）类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计4300A．90 B．100 C．180 D．300【解答】解：由题意，老年和青年教师的人数比为900：1600=9：16， 因为青年教师有320人，所以老年教师有180人， 故选：C ．5．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的k 值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=0，a=3，q=12a=32，k=1 不满足条件a ＜14，a=34，k=2不满足条件a ＜14，a=38，k=3不满足条件a ＜14，a=316，k=4满足条件a ＜14，退出循环，输出k 的值为4．故选：B ．6．（5分）设a →，b →是非零向量，“a →⋅b →=|a →||b →|”是“a →∥b →”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【解答】解：（1）a →⋅b →=|a →||b →|cos ＜a →，b →＞； ∴a →⋅b →=|a →||b →|时，cos ＜a →，b →＞=1； ∴＜a →，b →＞=0； ∴a →∥b →；∴“a →⋅b →=|a →||b →|”是“a →∥b →”的充分条件； （2）a →∥b →时，a →，b →的夹角为0或π； ∴a →⋅b →=|a →||b →|，或﹣|a →||b →|； 即a →∥b →得不到a →⋅b →=|a →||b →|；∴“a →⋅b →=|a →||b →|”不是“a →∥b →”的必要条件；∴总上可得“a →⋅b →=|a →||b →|”是“a →∥b →”的充分不必要条件． 故选A ．7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ）A ．1B ．√2C ．√3D ．2【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直， 底面为正方形如图：其中PB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形 ∴PB=1，AB=1，AD=1， ∴BD=√2，PD=√2+1=√3． PC ═PA =√2该几何体最长棱的棱长为：√3 故选：C ．8．（5分）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况加油时间 加油量（升） 加油时的累计里程（千米）2015年5月1日 12 35000 2015年5月15日4835600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为 （ ）A ．6升B ．8升C ．10升D ．12升【解答】解：由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，所以该车每100千米平均耗油量48÷6=8； 故选：B ．二、填空题9．（5分）复数i （1+i ）的实部为 ﹣1 ． 【解答】解：复数i （1+i ）=﹣1+i ， 所求复数的实部为：﹣1． 故答案为：﹣1．10．（5分）2﹣3，312，log 25三个数中最大数的是 log 25 ．【解答】解：由于0＜2﹣3＜1，1＜312＜2，log 25＞log 24=2，则三个数中最大的数为log 25． 故答案为：log 25．11．（5分）在△ABC 中，a=3，b=√6，∠A=2π3，则∠B= π4．【解答】解：由正弦定理可得，a sinA =b sinB，即有sinB=bsinAa=√6×√323=√22，由b＜a，则B＜A，可得B=π4．故答案为：π4．12．（5分）已知（2，0）是双曲线x2﹣y2b2=1（b＞0）的一个焦点，则b=√3．【解答】解：双曲线x2﹣y2b2=1（b＞0）的焦点为（√1+b2，0），（﹣√1+b2，0），由题意可得√1+b2=2，解得b=√3．故答案为：√3．13．（5分）如图，△ABC及其内部的点组成的集合记为D，P（x，y）为D中任意一点，则z=2x+3y 的最大值为7．【解答】解：由z=2x+3y，得y=−23x+z3，平移直线y=−23x+z3，由图象可知当直线y=−23x+z3经过点A时，直线y=−23x+z3的截距最大，此时z最大．即A（2，1）．此时z的最大值为z=2×2+3×1=7，故答案为：7．14．（5分）高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生． 从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 乙 ； ②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是 数学 ．【解答】解：由高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况的散点图可知①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 乙；②观察散点图，作出对角线y=x ，发现丙的坐标横坐标大于纵坐标，说明数学成绩的名次小于总成绩名次，所以在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是数学； 故答案为：乙；数学．三、解答题（共80分） 15．（13分）已知函数f （x ）=sinx ﹣2√3sin 2x 2．（1）求f （x ）的最小正周期； （2）求f （x ）在区间[0，2π3]上的最小值．【解答】解：（1）∵f （x ）=sinx ﹣2√3sin 2x 2=sinx ﹣2√3×1−cosx 2=sinx +√3cosx ﹣√3=2sin （x +π3）﹣√3∴f （x ）的最小正周期T=2π1=2π；（2）∵x ∈[0，2π3]，∴x +π3∈[π3，π]，∴sin （x +π3）∈[0，1]，即有：f （x ）=2sin （x +π3）﹣√3∈[﹣√3，2﹣√3]，∴可解得f （x ）在区间[0，2π3]上的最小值为：﹣√3．16．（13分）已知等差数列{a n }满足a 1+a 2=10，a 4﹣a 3=2 （1）求{a n }的通项公式；（2）设等比数列{b n }满足b 2=a 3，b 3=a 7，问：b 6与数列{a n }的第几项相等？ 【解答】解：（I ）设等差数列{a n }的公差为d ． ∵a 4﹣a 3=2，所以d=2 ∵a 1+a 2=10，所以2a 1+d=10 ∴a 1=4，∴a n =4+2（n ﹣1）=2n +2（n=1，2，…） （II ）设等比数列{b n }的公比为q ， ∵b 2=a 3=8，b 3=a 7=16， ∴{b 1q =8b 1q 2=16∴q=2，b 1=4∴b 6=4×26−1=128，而128=2n +2 ∴n=63∴b 6与数列{a n }中的第63项相等17．（13分）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．甲 乙 丙 丁100 √ × √√217 × √ × √ 200 √√ √ ×300√×√×85√×××98×√××（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？【解答】解：（1）从统计表可得，在这1000名顾客中，同时购买乙和丙的有200人，故顾客同时购买乙和丙的概率为2001000=0.2．（2）在这1000名顾客中，在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的有100+200=300（人），故顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率为3001000=0.3．（3）在这1000名顾客中，同时购买甲和乙的概率为2001000=0.2，同时购买甲和丙的概率为100+200+3001000=0.6，同时购买甲和丁的概率为1001000=0.1，故同时购买甲和丙的概率最大．18．（14分）如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=√2，O，M分别为AB，VA的中点．（1）求证：VB∥平面MOC；（2）求证：平面MOC⊥平面VAB（3）求三棱锥V﹣ABC的体积．【解答】（1）证明：∵O，M分别为AB，VA的中点，∴OM∥VB，∵VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，∴VB∥平面MOC；（2）∵AC=BC，O为AB的中点，∴OC⊥AB，∵平面VAB ⊥平面ABC ，OC ⊂平面ABC ， ∴OC ⊥平面VAB ， ∵OC ⊂平面MOC ， ∴平面MOC ⊥平面VAB（3）在等腰直角三角形ACB 中，AC=BC=√2，∴AB=2，OC=1， ∴S △VAB =√3， ∵OC ⊥平面VAB ，∴V C ﹣VAB =13OC •S △VAB =√33，∴V V ﹣ABC =V C ﹣VAB =√33．19．（13分）设函数f （x ）=x 22﹣klnx ，k ＞0．（1）求f （x ）的单调区间和极值；（2）证明：若f （x ）存在零点，则f （x ）在区间（1，√e ]上仅有一个零点． 【解答】解：（1）由f （x ）=x 22−klnx(k ＞0)f'（x ）=x ﹣kx=x 2−k x由f'（x ）=0解得x=√kf （x ）与f'（x ）在区间（0，+∞）上的情况如下：X （0，√k ）√k （√k ，+∞）f'（x ） ﹣ 0+ f （x ）↓k(1−lnk)2↑所以，f （x ）的单调递增区间为（√k ，+∞），单调递减区间为（0，√k ）；f （x ）在x=√k 处的极小值为f （√k ）=k(1−lnk)2，无极大值．（2）证明：由（1）知，f （x ）在区间（0，+∞）上的最小值为f （√k ）=k(1−lnk)2．因为f （x ）存在零点，所以k(1−lnk)2≤0，从而k ≥e当k=e 时，f （x ）在区间（1，√e ）上单调递减，且f （√e ）=0 所以x=√e 是f （x ）在区间（1，√e ）上唯一零点．当k ＞e 时，f （x ）在区间（0，√e ）上单调递减，且f(1)=12＞0，f(√e)=e−k2＜0，所以f （x ）在区间（1，√e ）上仅有一个零点．综上所述，若f （x ）存在零点，则f （x ）在区间（1，√e ]上仅有一个零点．20．（14分）已知椭圆C ：x 2+3y 2=3，过点D （1，0）且不过点E （2，1）的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线x=3交于点M ． （1）求椭圆C 的离心率；（2）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；（3）试判断直线BM 与直线DE 的位置关系，并说明理由． 【解答】解：（1）∵椭圆C ：x 2+3y 2=3，∴椭圆C 的标准方程为：x 23+y 2=1，∴a=√3，b=1，c=√2，∴椭圆C 的离心率e=c a =√63；（2）∵AB 过点D （1，0）且垂直于x 轴，∴可设A （1，y 1），B （1，﹣y 1），∵E （2，1），∴直线AE 的方程为：y ﹣1=（1﹣y 1）（x ﹣2）， 令x=3，得M （3，2﹣y 1）， ∴直线BM 的斜率k BM =2−y 1+y 13−1=1；（3）结论：直线BM 与直线DE 平行． 证明如下：当直线AB 的斜率不存在时，由（2）知k BM =1， 又∵直线DE 的斜率k DE =1−02−1=1，∴BM ∥DE ； 当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y=k （x ﹣1）（k ≠1）， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则直线AE 的方程为y ﹣1=y 1−1x 1−2（x ﹣2），令x=3，则点M （3，x 1+y 1−3x 1−2），∴直线BM 的斜率k BM =x 1+y 1−3x 1−2−y 23−x 2，联立{x 2+3y 2=3y =k(x −1)，得（1+3k 2）x 2﹣6k 2x +3k 2﹣3=0，由韦达定理，得x 1+x 2=6k 21+3k 2，x 1x 2=3k 2−31+3k 2，∵k BM ﹣1=k(x 1−1)+x 1−3−k(x 2−1)(x 1−2)−(3−x 2)(x 1−2)(3−x 2)(x 1−2)=(k−1)[−x1x2+2(x1+x2)−3] (3−x2)(x1−2)=(k−1)(−3k2+31+3k2+12k21+3k2−3) (3−x2)(x1−2)=0，∴k BM=1=k DE，即BM∥DE；综上所述，直线BM与直线DE平行．。
2015高考真题——数学文(北京卷)Word版含答案
2015高考真题——数学文（北京卷）Word版含答案绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本市卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）若集合A=｛x|□5＜x＜2｝，B=｛x|□3＜x＜3｝，则A□B=A. ｛x|3＜x＜2｝B. ｛x|5＜x＜2｝C. ｛x| 3＜x＜3｝D. ｛x|5＜x＜3｝（2）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（A）（x-1）2+（y-1）2=1 （B）（x+1）2+（y+1）2=1（C）（x+1）2+（y+1）2=2 （D）（x-1）2+（y-1）2=2（3）下列函数中为偶函数的是（）（A）y=x2sx （B）y=x2cosx（C）Y= x| （D）y=2x（4）某校老年，中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体情况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年人数为（）（A）90 （B）100 （C）180 （D）300类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计4300(5) 执行如果所示的程序框图，输出的k值为（A）3 （B）4 (C)5 (D)6（6）设a，b是非零向量，"a?b="是"a//b"的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（7）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为(A)1 （B）（B）(D)2（8）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况。
注："累计里程"指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（A）6升（B）8升（C）10升（D）12升第二部分（非选择题共110分）二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）复数i（1+i）的实数为（10）2-3, ,log25三个数中最大数的是（11）在△ABC中，a=3,b=,A=，B=（12）已知（2，0）是双曲线=1(b>0)的一个焦点，则b=.（13）如图，△ABC及其内部的点组成的集合记为D，P（x，y）为D中任意一点，则z=2x+3y 的最大值为（14）高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下，甲、乙、丙为该班三位学生。
2015年北京高考文科数学真题及答案
2.圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（ ）.
A.（x－1）2+（y－1）2=1
B.（x+1）2+（y+1）2=1
C.（x+1）2+（y+1）2=2
D.（x－1）2+（y－1）2=2
【答案】D
【难度】简单
【点评】本题考察圆的一般方程式。在高一数学强化提高班下学期课程讲座 1，第九章《圆》有详细讲解，
18.（本小题 14 分） 如图，在三棱锥 E-ABC 中，平面 EAB ⊥平面 ABC，三角形 EAB 为等边三角形，AC⊥ BC,且 AC=BC= ,O,M 分别为 AB,EA 的中点。 求证:EB//平面 MOC. 求证：平面 MOC⊥平面 EAB 求三棱锥 E-ABC 的体积。
【答案】 （1）因为 M,O 分别为线段 AV 和 AB 的中点，所以 MO 为△ABV 的中位线，从而有 MO∥BV
sin x 3 cos x 3 2sin(x ) 3
3
故周期为 2π
（2）因为 0 x 2 ，所以 x
3
3
3
所以 f(x)的最小值为 f ( 2 ) 3 3
【难度】中等
【点评】本题考查三角函数的计算。在高一数学强化提高班上学期课程讲座 2，第六章《三角函数》中有详
10.2-3,3 ,log25 三个数中最大数的是____________.
【答案】log25 【难度】中等 【点评】本题考查函数的计算。在高一数学（文）强化提高班上学期，第三章《函数综合》中有详细讲解， 其中第 02 节中有完全相同类型题目的计算。在高考精品班数学（文）强化提高班中有对复数相关知识的总 结讲解。
在高考精品班数学（文）强化提高班、百日冲刺班中均有对圆相关知识的总结讲解，同时高清课程《平面
2015年北京高考数学真题及答案(文科)
数学（文）（北京卷） 第 1 页（共 12 页）绝密★启封并使用完毕前2015年普通高等学校招生全国统一考试数 学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）若集合{|52}A x x =-<<，{|33}B x x =-<<，则A B =I（A ）{|32}x x -<< （B ）{|52}x x -<< （C ）{|33}x x -<<（D ）{|53}x x -<<（2）圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是（A ）22(1)(1)1x y -+-= （B ）22(1)(1)1x y +++= （C ）22(1)(1)2x y +++= （D ）22(1)(1)2x y -+-= （3）下列函数中为偶函数的是（A ）2sin y x x = （B ）2cos y x x = （C ）|ln |y x =（D ）2x y -=（4）某校老年、中年和青年教师的人数见下表．采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为 （A ）90 （B ）100 （C ）180 （D ）300数学（文）（北京卷） 第 2 页（共 12 页）（5）执行如图所示的程序框图，输出的k 值为（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6（6）设,a b 是非零向量．“||||⋅=a b a b ”是“∥a b ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（A ）1 （B （C （D ）2（8）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为 （A ）6升 （B ）8升 （C ）10升（D ）12升1俯视图数学（文）（北京卷） 第 3 页（共 12 页）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2015年高考真题：文科数学(北京卷)试卷(含答案)
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1、若集合{}52x x A =-<<，{}33x x B =-<<，则AB =（ ） A ．{}32x x -<< B ．{}52x x -<<C ．{}33x x -<<D ．{}53x x -<<【答案】A考点：集合的交集运算.2、圆心为()1,1且过原点的圆的方程是（ ）A ．()()22111x y -+-=B ．()()22111x y +++=C ．()()22112x y +++=D ．()()22112x y -+-=【答案】D【解析】试题分析：由题意可得圆的半径为r =()()22112x y -+-=. 考点：圆的标准方程.3、下列函数中为偶函数的是（ ）A ．2sin y x x =B ．2cos y x x =C ．ln y x =D ．2x y -=【答案】B【解析】试题分析：根据偶函数的定义()()f x f x -=，A 选项为奇函数，B 选项为偶函数，C 选项定义域为(0,)+∞不具有奇偶性，D 选项既不是奇函数，也不是偶函数，故选B.考点：函数的奇偶性.4、某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为（ ）A ．90B ．100C ．180D ．300【答案】C【解析】 试题分析：由题意，总体中青年教师与老年教师比例为1600169009=；设样本中老年教师的人数为x ，由分层抽样的性质可得总体与样本中青年教师与老年教师的比例相等，即320169x =，解得180x =.考点：分层抽样.5、执行如图所示的程序框图，输出的k 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6。
2015年北京市高考数学试卷(文科)(解析版)
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
在抽取的样本中，青年教师有 320 人，则该样本的老年教师人数为（ ）
7．（5 分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ）
类别
人数
老年教师
900
中年教师
1800
青年教师
1600
合计
4300
A．90
B．100
C．180
5．（5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 k 值为（
2．（5 分）圆心为（1，1）且过原点的圆的标准方程是（ ）
A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=1
B．（x+1）2+（y+1）2=1
C．（x+1）2+（y+1）2=2
D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2
【考点】J1：圆的标准方程． 菁优网版 权所有
【专题】11：计算题；5B：直线与圆． 【分析】利用两点间距离公式求出半径，由此能求出圆的方程． 【解答】解：由题意知圆半径 r= ， ∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2． 故选：D． 【点评】本题考查圆的方程的求法，解题时要认真审题，注意圆的方程的求法，是基础题．
（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？
19．（13 分）设函数 f（x）= ﹣klnx，k＞0． （1）求 f（x）的单调区间和极值； （2）证明：若 f（x）存在零点，则 f（x）在区间（1， ]上仅有一个零点．
20．（14 分）已知椭圆 C：x2+3y2=3，过点 D（1，0）且不过点 E（2，1）的直线与椭圆 C 交于 A， B 两点，直线 AE 与直线 x=3 交于点 M．
2015高考数学(文科)真题试卷及答案
2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标1卷）文数一、选择题：每小题5分,共60分1、已知集合{32,},{6,8,10,12,14}A x x n n N B ==+∈=，则集合A B 中的元素个数为（A ） 5 （B ）4 （C ）3 （D ）2 2、已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =--，则向量BC =（A ） (7,4)-- （B ）(7,4) （C ）(1,4)- （D ）(1,4)3、已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z =（ ）（A ） 2i -- （B ）2i -+ （C ）2i - （D ）2i +4、如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ）（A ）310 （B ）15 （C ）110 （D ）1205、已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线2:8C y x =的焦点重合，,A B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB =（A ） 3 （B ）6 （C ）9 （D ）126、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）（A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛7、已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（ ） （A ）172 （B ）192（C ）10 （D ）12 8、函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）（A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈ （B ）13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ （C ）13(,),44k k k Z -+∈（D ）13(2,2),44k k k Z -+∈9、执行右面的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出的n =（ ） （A ） 5 （B ）6 （C ）7 （D ）810、已知函数1222,1()log (1),1x x f x x x -⎧-≤=⎨-+>⎩ ，且()3f a =-，则(6)f a -= （A ）74- （B ）54- （C ）34- （D ）14-11、圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =( )（A ）1（B ）2 （C ）4 （D ）812、设函数()y f x =的图像与2x a y +=的图像关于直线y x =-对称，且(2)(4)1f f -+-=，则a =( )（A ） 1- （B ）1 （C ）2 （D ）4 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分13、数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = . 14.已知函数()31f x ax x =++的图像在点()()1,1f 的处的切线过点()2,7，则a = .15. 若x ,y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩,则z =3x +y 的最大值为 ．16.已知F 是双曲线22:18y C x -=的右焦点，P 是C左支上一点，(A ，当APF ∆周长最小时，该三角形的面积为 ． 三、解答题17. （本小题满分12分）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =.（I ）若a b =，求cos ;B（II ）若90B =，且a = 求ABC ∆的面积.18. （本小题满分12分）如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ABCD ⊥平面，（I ）证明：平面AEC ⊥平面BED ；（II ）若120ABC ∠=，,AE EC ⊥ 三棱锥E ACD -.19. （本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的宣传费i x 和年销售量()1,2,,8i y i =数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.（I ）根据散点图判断，y a bx =+与y c =+y 关于年宣传费x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（II ）根据（I ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（III ）已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为0.2z y x =- ，根据（II ）的结果回答下列问题： （i ）当年宣传费x =49时，年销售量及年利润的预报值时多少？ （ii ）当年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？20. （本小题满分12分）已知过点()0,1A 且斜率为k 的直线l 与圆C ：()()22231x y -+-=交于M ，N 两点.（I ）求k 的取值范围；（II ）若12OM ON ⋅=，其中O 为坐标原点，求MN . 21. （本小题满分12分）设函数()2ln xf x ea x =-.（I ）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数； （II ）证明：当0a >时()22lnf x a a a≥+.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图AB 是O 直径，AC 是O 切线，BC 交O 与点E .（I ）若D 为AC 中点，证明：DE 是O 切线；（II ）若OA = ，求ACB ∠的大小.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （I ）求12,C C 的极坐标方程. （II ）若直线3C 的极坐标方程为()πR 4θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ∆ 的面积. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()12,0f x x x a a =+--> . （I ）当1a = 时求不等式()1f x > 的解集；（II ）若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标1卷）文答案一、 选择题（1）D （2）A （3）C （4）C （5）B （6）B （7）B （8）D （9）C （10）A （11）B （12）C二、 填空题（13）6 （14）1 （15）4 （16）三、 解答题17、解：（I ）由题设及正弦定理可得2b =2ac.又a=b ，可得cosB=2222a c b ac+-=14 ……6分（II ）由（I ）知2b =2ac.因为B=o90，由勾股定理得222a c =b +.故22a c =2ac +，的所以△ABC 的面积为1. ……12分 18、解：（I ）因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD. 因为BE ⊥平面ABCD,所以AC ⊥BE,故AC ⊥平面BED.又AC ⊂平面AEC,所以平面AEC ⊥平面BED. ……5分 （II ）设AB=x ，在菱形ABCD 中，又∠ABC=o120 ，可得AG=GC=2x ，GB=GD=2x .因为AE ⊥EC,所以在Rt △AEC 中，可的EG=2x .由BE ⊥平面ABCD,知△EBG 为直角三角形，可得BE=2x .由已知得，三棱锥E-ACD 的体积E ACD V -=13×12AC ·GD ·3x =.故x =2 ……9分从而可得所以△EAC 的面积为3，△EAD 的面积与 △ECD故三棱锥E-ACD 的侧面积为……12分 19、解：（I ）由散点图可以判断，y 关于年宣传费x 的回归方程式类型.（II）令w =，先建立y 关于w 的线性回归方程式.由于28181()()108.8d=681.6()iii i i w w y y w w ==--==-∑∑, 56368 6.8100.6c y dw =-=-⨯=，所以y 关于w 的线性回归方程为y=100.668w +,因此y 关于x 的回归方程为y 100.6=+（Ⅲ）（i ）由（II）知，当x =49时，年销售量y 的预报值y 100.6=+，年利润z 的预报值z=576.60.24966.32⨯-= ……9分 （ii ）根据（II ）的结果知，年利润z 的预报值=-20.12xx +. 13.6=6.82=，即x =46.24时，z 取得最大值. 故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大. ……12分 20、解：（I ）由题设，可知直线l 的方程为1y kx =+. 因为l 与C 1.解得k所以k的取值范围为. ……5分 （II ）设()1122,,(,)M x y N x y .将1y kx =+代入方程22(2)(3)1x y -+-=，整理得22(1)4(1)70k x k x +-++=.所以1212224(1)7,11k x x x x k k ++==++. 1212OM ON c x y y ⋅=+()()2121211k x x k x x =++++()24181k k k +=++.由题设可得()24181k k k+=++=12，解得k=1，所以l 的方程是y=x+1. 故圆心C 在l上，所以2MN =. ……12分 21、解：（I ）()f x 的定义域为()()20,,2(0)xaf x e x x'+∞=-〉. 当a ≤0时，()()0f x f x ''〉，没有零点； 当0a 〉时，因为2xe 单调递增，ax-单调递减，所以()f x '在()0,+∞单调递增，又()0f a '〉， 当b 满足0＜b ＜4a 且b ＜14时，()0f b '〈，故当a ＜0时()f x '存在唯一零点. ……6分（II ）由（I ），可设()f x '在()0,+∞的唯一零点为0x ，当()00x x ∈，时，()f x '＜0； 当()0x x ∈+∞，时，()f x '＞0.故()f x 在()0+∞，单调递减，在()0x +∞，单调递增，所以0x x =时，()f x 取得最小值，最小值为()0f x .由于02020x a ex -=，所以()0002221212a f x ax a n a a n x a a=++≥+. 故当0a 〉时，()221f x a a n a≥+. ……12分 22、解：（I ）连接AE ，由已知得，AE ⊥BC,AC ⊥AB. 在Rt △AEC 中，由已知得，DE=DC,故∠DEC=∠DCE. 连结OE ，则∠OBE=∠OEB.又∠OED+∠ABC=o90，所以∠DEC+∠OEB=o90，故∠OED=o90，DE 是O 的切线.……5分（II ）设CE=1，AE=x ，由已知得AB=由射影定理可得，2AE CE BE =⋅，所以2x =42120x x +-=.可得x =ACB=60o.……10分 23、解：（I ）因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=. ……5分（II ）将4πθ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得12ρρ=.故12ρρ-=MN =由于2C 的半径为1，所以2C MN ∆的面积为12. ……10分 24、解：（I ）当1a =时，()1f x >化为12110x x +---＞. 当1x ≤-时，不等式化为40x -＞，无解；当11x -＜＜时，不等式化为320x -＞，解得213x ＜＜； 当1x ≥，不等式化为-x +2＞0，解得1≤x ＜2.所以()1f x >的解集为223x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭︱＜＜. ……5分（II ）由题设可得，()12,1312,1,12,.x a x f x x a x a x a x a --⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++⎩＜＜所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个丁点分别为()()21,0,21,0,,13a A B a C a a -⎛⎫++ ⎪⎝⎭,△ABC 的面积为()2213a +.由题设得()2213a +＞6，故a ＞2. 所以a 的取值范围为()2+∞，. ……10分。