高一数学直线与圆之间的位置关系

2
2
解由①②组成的方程组 得：b 3 ，r 5
圆O 的方程为x2 ( y 3)2 25 .
变式演练
求经过A(2, 1), 和直线x y 1相切，且圆心 在直线y 2 x上的圆的方程。
y
解：设圆的方程为 ( x a)2 ( y b)2 r 2
圆心在直线 y 2 x上
2
当m 2 5时，直线被截得弦长为2.
变式演练
已知过点M (3, 3)的直线l被圆x y 4 y 21 0所截得的弦长
2 2
为4 5，求直线l的方程
解：将圆的方程写成标准形式，得
y
o
x ( y 2) 25,
2 2
如图2-3-9，因为直线l 被圆所截得的弦长是 4 5, 所以
P
x
已知圆方程为x y r (r 0) (1)若点P( x0 , y0 )在圆上
2 2 2
O
直线x0 x y0 y r 2 表示以( x0 , y0 )为切点的切线方程
(2)若点P( x0 , y0 )在圆外
直线x0 x y0 y r 2表示什么呢？
(2) 已知圆的方程为x 2
复习回顾
1.点与圆的位置关系 :
2 2 2 点 p( x0 , y0 )，圆方程( x a) ( y b) r (r 0)
P( x , y )
0 0
P( x , y )
0 0
P( x , y )
0 0
(a,b)
d为点P到圆心(a,b)的距离.
(1)点P( x y )在圆上 ( x0 a)2 ( y0 b)2 r 2
A. 1或-1 B. 2,或-2 C. 1 D. -1
2.若过两点A(1,0), B(0,2)的直线与圆( x 1)2 ( y a)2 1相切，则a ？
4a x y 直线方程为 1即2 x y 2 0 圆心到直线的距离 1 1 2 5
a 4
5
y

b 2a (1)
O
C


A
x
又经过点A(2,1) (2 a)2 (1 b)2 r 2 (2)
因为圆与直线 x y 1相切 | a b 1 | r (3) 2
由(1)(2)(3)得：a 1, b 2, r 2
k AC
b 1 1 a2
4 5 弦心距为 5 ( ) 5 2 即圆心到所求直线 l 的距离为 5 。
2 2
M （-3，-3）
l
x
因为直线l过点M （-3，-3），所以可设所求直线l的方程为y+3=k(x+3)
即kx-y+3k-3=0
根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线 l 的距离 d
2 3k 3 k 1
2 设两交点A x1, y1 , B x2 , y2
4 m2 5 由 知x1 x2 m, x1 x2 5 5 2 则弦长 AB 1 22 x1 x2 4 x1 x2 2
m2 5 4 得m 2 5 即 5 m 45 2， 5 5
2 1
例1.已知⊙C：(x-1)2+(y-2) 2=2，P(2,-1)，过P作⊙C的 切线，切点为A、B。 求切线直线PA、PB的方程；
2 1 -1 O -1
y
C
A
x

B 1 2
P
解：由题知切线斜率存在则设方程为：y 1 k ( x 2)
即 kx y 2k 1 0. 由已知圆C的圆心为（1，2），半径为 2
值情况
1、直线和圆相离
有一个交点时
C2
d r
0
2、直线和圆相切
有两个交点时

C2
d r
d r
0 0
3、直线和圆相交

C2
几何方法 代数方法
反馈练习
（x 1 ） y 已知直线方程为 x y m 0 ，圆方程为
2
2
1
则当m为何值时，直线与圆（1）相切 ； (2)相离 ；（3）相交
y r , P( x . y )是圆外一点，经过P
2 2 0 0
点作圆的两切线，切点分别为A、B，求直线AB方程。
解：设A( x1. y1 ), B( x2 , y2 )
则l AP : x1 x y1 y r , lBP : x2 x y2 y r
2 2
y
A


P
2 x x y y r (1) 1 0 1 0 2 x x y y r (2) 2 0 2 0
3x 4 y 28 0
3.已知⊙C：(x-1)2+(y-2) 2=2，P(2,-1)，过P作⊙C的切线， 切点为A、B，则直线AB为
(2 1)(x 1) (1 2)( y 2) 2 因为P(2, 1) 所以直线AB方程为：
即x 3 y 3 0
4. 直线被圆截得的弦长的求法:
解：由圆方程知圆心为（1，0），半径为1
由已知圆心到直线距离 d
1 m 2
（1）直线与圆相切时，d=1 则 1 m 2 得m 2 1 （2）直线与圆相离时，d>1 则 1 m 2 得m> 2 1, 或m 2 1 （3）直线与圆相l交时，d<1 则 1 m 2 得- 2 -1<m
所求圆的方程是 ( x 1)2 ( y 2)2 2
即x 2 y 9 0, 或2 x y 3 0.
1 2
例题分析
已知圆 O′的圆心在 y轴上，截直线 l1： 3x+4y+3=0 所得弦长为 8， 且与直线l2：3x-4y+37=0相切，求圆O′的方程。 l1 A 解： C
由于圆O的圆心在y轴上，
2 2
B
2
设圆的方程为 x ( y b ) r ， 其中O（ 0 ，b），半径为 r，
x x 及x x ，则
A B A B
AB 1 k x x （1+k ） ( x x ) 4 x x
2 2 2 A B A B A
B

例题分析 已知圆C : x 2 ( y 1) 2 5, 直线l : mx y 1 m 0
B
(1)证明：对m R, 直线l与圆C总有两个不同的交点； （2）设直线l与圆C交于A,B两点，若 AB = 17求m的值
（2）设A( x1, y1 ), B( x2 , y2 )则由方程* 知
AB 1 k 2 ( x1 x2 )2 4 x1x2
2 2 2 m m 5 2 1 m2 ( ) 4 17 2 2 1 m 1 m
得m 2 3则m m的值为 3
3
2m 2 m2 5 x1 x2 , x1x2 2 1 m 1 m2
2
.
2 3k 3 因此， 5,即 3k 1 5 5k , k 1
2 2
2
1 两边平方并整理得2k 3k 2 0.解得k , 或k 2. 2
所以，所求直线 l 有两条，方程分别为 y 3 ( x 3), 或y 3 2( x 3)
得m 2 3则m m 的值为 3
3
变式演练
m为何值时，直线2 x y m 0与圆x y 5
2 2
（1）无公共点；（2）截得弦长为2；
解： (1)由已知，圆心为O(0,0), 半径r
5,
2
圆心到直线2 x y m 0的距离d
因为直线与圆无公共点， d r ,即 m
O

B
x
由(1)说明点( x1, y1 )在直线x0 x y0 y r 2上 由(2)说明点 ( x2 , y2 )在直线x0 x y0 y r 2上
l AB : x0 x y0 y r
2
3. 圆x 2 y 2 r 2与直线x0 x y0 y r 2之间的关系
y

(1)若点P( x0 , y0 )在圆上
直线x0 x y0 y r 2 表示以( x0 , y0 )为切点的切线方程
O
P
x
(2)若点P( x0 , y0 )在圆外
直线x0 x y0 y r 2 表示切点弦所在直线方 程
y
A

2

P
若圆方程为( x a) ( y b) r 则相应的直线
A
x ( y 1) 5 得 解法1（ ： 1）由 mx y 1 m 0
2 2
l
又直线的斜率k=m
代 (1+m2 ) x2 2m2 x m2 5 0* 数 则 4m4 4(m2 1)(m2 5) 16m2 20 方 m R, 总有 0 法 因此所证命题成立
2 2 2
方程为 ( x0 a)( x a) ( y0 b)( y b) r
O

B
x
反馈练习
1.写出过圆x2 y2 10上一点M(2, 6 )的切线方程.
2 x 6 y 10
2 2.已知圆方程（x-1） y 2 25, 过点（4，4）作圆的切线，
切线方程为
0 0
即d r 即d r 即d r
(2)点P( x y )在圆内 ( x0 a)2 ( y0 b)2 r 2
0 0
(3)点P( x y )在圆外 ( x0 a)2 ( y0 b)2 r 2