数列的极限1
1数列的极限
重要的是 N 的存在性，而不在于它的值的大小.
思考：定义1中的 n > N 可以换成 n N 吗？
例2
证明
lim
n
1 n
0
，这里
为正数.
例3 证明
3n2
lim
n
n2
3
3.
例4 证明 lim qn 0 ，这里 | q | 1 . n
例5 证明 lim n a 1 ，其中 a 0. n
3. 数列极限定义的几何解释
lim
n
2
5 n3
回 到 我 们 的 数 列 {an} an1(1 n )n1
当 n无 限 增 大 时 ,a n 1 ( 1 n )n 1无 限 接 近 于 1 .
问题: “无限接近”意味着什么？如何用数学语言刻划
它.
因为
un
1
(1)n1
1 n
1 n
给定 1 , 100
由1 n
1, 100
证明
lim
n
zn
a.
例8 设{ a n } 为给定的数列，{ b n } 为对{ a n } 增加、减少和 改变有限项之后得到的数列. 证明：数列 { a n } 与 { b n } 同
时为收敛或发散，且在收敛时两者的极限相等.
定义2
若
lim
n
a
n
0
，则称{ a n } 为无穷小数列.
定理2.1 数列 { a n } 收敛于 a 的充要条件是 ： {an a } 为无穷小数列.
存在正整数 N ，使得当 n > N 时有
| an a|,
则称数列 {
记作 ln i m a n a ,或 a n a (n ).
第1节 数列的极限
因 交替取1和-1， 而此二数不可能同时落在长
度为1的开区间
内， 故数列 发散。
第2章
极限与连续
【定理2】收敛数列一定有界 证 有 设
取
， 存在 N ， n N 时 当
取
则有 证毕.
第2章
极限与连续
说明 例如
此性质反过来不一定成立
{(1 ) n1} 虽有界但不收敛 数列
第2章
极限与连续
“ yn 无限接近于 a ”不等价于“ yn 与 1 a 越来越近”。 如 数列 yn 1 n 在其变化过程中，yn 与0也越来越近， 但极限并不为0。为什么？
7/29/2013 11:12 PM
说明
第2章
极限与连续
若对任意给定 【定义 2.2】 已知数列 yn ， 的正数 ， 总存在一个正整数 N ， n N 时， 当 有 yn A 恒成立，则称当 n 趋于无穷大时， 数列 yn 以常数 A 为极限。 记作
7/29/2013 11:12 PM
第2章
极限与连续
a 与 b 无限接近
a b 无限小
a b 小于任意给定的小正数
yn无限接近于１，即为
yn 1 小于任意给定的小正数
7/29/2013 11:12 PM
第2章
极限与连续
是在 n 数列 yn 无限接近于确定的数 a ，
无限增大的变化过程中实现的。
k
lim x 2 k 1
k
数列发散.
第2章
极限与连续
内容小结 1.数列
2.数列的极限 ------利用定义证明
3.收敛数列的性质
7/29/2013 11:12 PM
数列的极限1
数列的极限
————数列的极（1）
一、知识小结：
1.数列的极限：一般地，在无限增大的变化过程中，如果无穷数列中的项无限趋近于一个常数A，那么A叫做数列的极限，或叫做数列收收敛于A，记作。
注意点：1）只有无穷数列，当趋近于无穷大时，无限趋近于某一常数；
2）对于数列，当无穷增大时，无限趋近于某一定值时，是通过无限趋近于零来描述的。
3）极限值只有一个值，如趋近于两个值一定没有极限。
2.极限的运算性质性质：
2）几个重要极限：
3.无穷等比数列各项和的和的概念：我们把的无穷等比数列前项和，当无穷增大时的极限叫做无穷等比数列各项的和，并用符号表示，即
注意点：1）只有当且时，才能代入上述公式；
2）实际上可推出：；
3）化循环小数为分数可分解成一个等比数列的各项和的形式，或者可直接化为分数：如；；。
数列的极限(1)
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·( )
材《 版走
向 高 考 》 高 考 总 复 习
数 学 配 统 编 教
第十三章 极限
四、性质应用错误
材《
·( )
版走
4．已知等比数列{an}首项为 a1，公比为 q，且有 linm∞
向 高
考
(1＋a1q－qn)＝12，则首项 a1 的取值范围是
》
(
)
高 考
总
复
习
A．0<a1<1 且 a1≠12
A．等于0 C．等于0或等于1
B．等于1 D．不存在
·( )
材《
版走
向
高
考
》
则数列{an}
高 考
总
复
习
数
()学 配 统 编 教
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第十三章 极限
·( )
材《
解析：当 1≤n≤1000 时，101002＜an≤1，
版走 向 高
考
当 n≥1001 时，an＝n2－n22n＝1－1 2n.
》 高 考 总 复 习
习
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上页下页末页 Nhomakorabea第十三章 极限
5．(2011·安阳模拟)已知 a、b、c 是实常数，且lim n→∞
an＋c 材 《
bn－c
版
走 向
·( )
高
考
＝2，lim n→∞
bcnn22－－bc＝3，则lni→m∞
acnn22＋＋ac的值为
》
(
)
高 考
总
复
1
1
习
高考数学函数极限1
当自变量x 当自变量 取负值且绝对值
O
x
1 y = 的值 无限增大时， 无限增大时，函数 x
无限趋近于0， 无限趋近于 ，即|y-0|可以变得 可以变得 任意小． 任意小．
1 趋向于负无穷大时， 的极限是0， 当x 趋向于负无穷大时，函数 y = 的极限是 ，记作 x 1 lim = 0 x→∞ x
2 并判断 f ( x) = 2 + , 试求 lim f ( x) 与 lim f ( x)， 时, n→+∞ n→∞ x
lim f ( x) 是否存在. n→∞
2 2 + x , x > 0 2 ∴ f ( x) = f (x) = 2 + ,则 f ( x) = Q f (x)为奇函数， 为奇函数， x 2 + 2 , x < 0 x
(4)常用的函数的极限
作业： 作业：
1 1. lim = 0 x →∞ x
2. lim C = C
x →∞
习题2.3 #2 (1)(2)(3)(4)
自变量x的变化趋势
x取正值并且无限增大 x 取负值并且绝对值无限增
大
f (x) 值的变 化趋势 f (x) 无限趋
近于常数a 近于常数 f (x) 无限趋 近于常数a 近于常数
极限表示
x→+∞
lim f ( x) = a lim f ( x) = a
x→∞
x取正值并且无限增大 ， x取 取正值并且无限增大，
如果 lim f ( x) = a且 lim f ( x) = a 那就是说当 趋向于 那就是说当x x→+∞ x→∞ 无穷大时，函数 f (x)的极限是a ，记作 无穷大时， 的极限是 lim f ( x) = a 也可记作: 当 x →∞时， ( x) →a 也可记作 f
第二节数列的极限1
注2. 一般说来, N随给定的变化而变化, 给不同 的 确定的N也不同,另外, 对同一个来 说, N不是唯一的(若存在一个N, 则N+1, N+2, …, 均可作为定义中的N.)
注3.
定义中“ 当n>N时, 有| xna |<‖的意思是
说, 从第N+1项开始,以后各项都有|xna |<,
则当n N时有 a b ( x n b) ( x n a )
x n b x n a 2.
上式仅当a b时才能成立. 故收敛数列极限唯一.
3.保号性
定理3
设 lim un a 0( 0), 则存在N 0, 使得
n
当n N时，恒有 un 0( 0). a 证 设a 0, 取 ,由 limun a , 必 存 在 某 一 2 n a 正 数N , 使 得 当 n N时 ， 恒 有un a , 2 a a a 3a 即0 a un a (n N ) 2 2 2 2 定理结论成立。对于 a 0, 也 可 同 样 证 明 。
[ M , M ]上.
定理1
收敛的数列必定有界.
n
证 设 lim xn a ,
由定义,
取 1,
则N , 使得当n N时恒有 x n a 1,
即有 a 1 xn a 1.
记 M max{ x1 ,, x N , a 1 , a 1 },
则对一切自然数 n,皆有 x n M , 故xn 有界.
1 1 1 1 , , ,, n ,; 2 4 8 2
n
{2 }
1 { n} 2
n
1,1,1, , ( 1) n 1 ,;
§1.1数列的极限讲解
数列的变化趋势.
1 2 3 n ， ， ， ， ， 2 3 4 n1
1 1 1 ( 1)n1 1， ，， ， ， ， 2 3 4 n
1，，， 3 5 ， (2n 1)，
1 ( 1)n 0，， 1 0，， 1 ， ， 2
什么叫数列的极限？
lim xn a 0， N Z ， 当 n N 时，
n
有 xn a .
关键:正整数N的存在性证明. 其基本思路： 从
不等式 xn a 反解 n， 再确定 N .
注： 证明极限常用的方法是放缩法.
n a 思考题 (1)证明 lim n n 1; (2) lim 0( a 0). n n n !
此时也称数列{ xn }是收敛的，否则称其发散.
注：
(1)定义中的正整数 N 是与任意给定的 有关的， 它随着 的给定而选定， 是不唯一的. (2)定义的等价形式：
定义 设 { xn }为一数列， 如果存在常数a， 对于任 意给定的正数 (无论它多么小)， 总存在正整数 N ， 使 当 n N时， 不等式 | xn a | k
1 2 3 n ， ， ， ， ， 2 3 4 n1
1 1 1 n 1 1 1， ，， ， ， ( 1) ， 2 3 4 n
1，，， 3 5 ， (2n 1)，
1 ( 1)n 0，，，， 1 0 1 ， ， 2
数列的几何表示(一)
n1
( n 1, 2,
) 是发散的.
1 取 ， 则存在 N ， 使当n N 时， 有 2
1 1 a xn a 2 2
但因 xn 交替取值 1 与－1， 而此二数不可能同时落在长度
2.1数列的极限ppt(1)
1 n
0
不存在
存在
0
1 3n
有穷数列没有极限
0
1 an n (n 100)
an 0.99
n
不存在
存在
0
0.99
n
0
1.求下列数列的极限：
1 2 3 4 (1). , , , ,... 2 3 4 5
3 11 19 27 (2). , , , ,... 2 4 6 8
5 9 13 17 (3) , , , ,... 2 4 6 8
一般地，如果当项数 n 无限增大时，无穷数列 a n 的项 a n 无限地趋近于某个常数 a ，(即 a n a 无限地 接近0), 那么就说数列 a 以 a 为极限，或者说 a 是数列
an 的极限
n
lim an a
n
读作 “当n 趋向于无穷大时， a n的极限等于a ” 或 “limit n 当n 趋向于 a 无穷大时等于a ”
2.2 数列的极限(1)
一复习回顾: 数列的定义
【定义】按自然数1,2,3, 编号依次排列的一列数
x1 , x 2 , , x n ,
(1)
称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数列 的项, x n 称为通项(一般项).数列(1)记为 { x n } .
【例如】 2,4,8, ,2 n , ;
n 趋向于无穷大 （1）
a n 是无穷数列
n 无限增大时，a n 不是一般地趋近于 a ，而是
a “无限”地趋近于
（2）
（3）数值变化趋势：递减的、递增的、摆动的
三、例题讲解：
例1、考察下面的数列，写出它们的极限： 1 1 1 0 1， ， ， ， 3 ， ； （1） 8 27 n 5 6. 6. 7 n ， ； 7 （2） 6.5， 95， 995， ， 10 1 1 1 1 , （3） , , , n , ； 0 2 4 8 ( 2 )
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课时3 数列的极限
一、复习目标
理解数列极限的概念，会判断一些简单数列的极限，了解数列极限的定义，掌握极限的四则运算法则，会求某些数列的极限.
二、例题讲解：
例1．求下列极限：
（1）3
22312lim 22=++∞→n n n n ； （2）2
1)43(lim 2
2-=+-+∞→n n n n n ； （3）23)23741(lim 2222=-++++∞→n n n n n n ； （4）]2
,0[,cos sin cos 3sin 2lim πααααα∈++∞→n n n n n 解：（4）当4π
α=时，原式=25；当4
0πα<≤时，则有,1tan 0<≤α所以 原式3tan 13tan 2lim =++=∞→ααn n n ，当4
2παπ>≥时，则有,1cot 0<≤α所以 原式2cot 1cot 32lim =++=∞→α
αn n n 例2．已知无穷等比数列}{n a 的各项和为3，前3项的和为
9
26，求这个数列中所有奇数项的和. 解：设等比数列}{n a 的公比为q ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=-,9261)1(,31311q
q a q a 解得⎪⎩⎪⎨⎧==2311a q ， 等比数列的各奇数项仍成等比数列，其公比为91，故所有奇数项的和为491291=-. 例3．已知数列}{n a 满足条件：)0(,121>==r r a a ，且}{1+n n a a 是公比为q )0(>q 的等比数列，设).,2,1(212 =+=-n a a b n n n 求n b 和n
n S 1lim ∞→其中n n b b b S ++=21. 解：∵,2121q a a a a a a n n n n n n ==++++∴,01.0121222121≠+=≠=++=-+++r b q a a a a b b n
n n n n n 所以}{n b 是首项为r +1公比为q 的等比数列，从而1)1(-+=n n q r b .
当1=q 时，01lim ),1(=+=∞→n
n n S r n S ； 当10<<q 时，r
q S q q r S n n n n +-=--+=∞→111lim ,1)1)(1(； 当1>q 时，01lim ,1)1)(1(=--+=∞→n
n n n S q q r S . 所以⎪⎩⎪⎨⎧<<+-≥=∞→.10,11,1,01lim q r
q q S n n 三、同步练习：《高考三人行—学生用书》P337
课时4 函数的极限
一、复习目标
1．熟悉函数极限的概念能正确表述并会推断简单函数的极限.
2．熟悉函数极限的运算、能对函数式变型后推算函数的极限.
二、例题讲解
例1．判断下列函数的极限是否存在：
（1）)(lim ),0(11),0(1)(2x f x x
x x x f x ∞→⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+≤=； （2）)(lim ),0(1),0(2)(0x g x x x g x →⎩
⎨⎧<->=； （3）)(lim ),1(1),1(1)(1
x p x x x x x p x →⎩⎨⎧<+->-=； （4）)(lim ),1()(x f a a x f x x
∞→>=.
解：（1）显然，当-∞→x 时，0)(→x f ；当+∞→x 时，1)(→x f .即≠+∞→)(lim x f x )(lim x f x -∞→，故)(lim x f x ∞
→不存在. （2）显然，1)(lim ,2)(lim 00-==-+→→x g x g x x ，故)(lim 0
x f x →不存在. （3）∵0)(lim ,0)(lim 11==-+→→x p x p x x ，∴0)(lim 1
=→x p x . （4）当+∞→x 时，+∞→x a ，当-∞→x 时，0→x a ，所以)(lim x f x ∞
→不存在.
例2．求下列各式的极限：
（1）53
512lim 222-=+--→x x x x ； 点评：当)(x f 在0x 处连续时，则可用直接代入法，即)(lim 0
x f x x →=)(0x f . （2）6
131lim 93lim 323=+=--→→x x x x x ； （3）2
1111lim 211lim 22=+-=---→→x x x x x ； （4）1)1311(
lim 31-=---→x
x x ； （5）21)(lim 2=-++∞→x x x x ； （6）)]1()1(1[lim 1
lim 21121++++++++=--+++--→→x x x x x n x x x n n x n x 2
)1(+=n n . 例3．已知n x mx x x =+++-→2
2lim 22，求m 、n 的值. 解：∵,2
2lim 22n x mx x x =+++-→∴2-=x 为方程022=++mx x 的根，3=m ， 又1)1(lim 2
23lim 222-=+=+++-→-→x x x x x x ，∴3,1=-=m n . 三、同步练习：《高考三人行—学生用书》P340。