高一数学两直线的交点坐标
在与母亲的朝夕相处中，更是发现了母亲起居的蹊跷与反常。
我想，这蹊跷与反常的原因就是母亲近来经常跌倒，人老了，骨质疏松，身体每况愈下，母亲常常呻吟着身体疼痛，虽然按医嘱贴了膏药和定时吃些止疼药，伤筋动骨的病，好起来是很慢的。母亲 确实老了，虽然没有什么明显的病症，但说话有时就出现颠三倒四，忘事糊涂，莫非是小脑萎缩的前兆？我想，疫情过后，一定带母亲去医院来个全面检查。
为了照顾母亲方便，我与母亲同一个房间，在隔橱的临时沙发床上睡觉。一有什么动静，听得见，看得着。比较头疼的是，母亲白天很少小便，最多一两次，晚上睡觉后，上半夜几乎没有，但到了 下半夜小便就很频繁，到天明大约要五六次，床头灯有时打不开，即使打开，自己起床也很困难，而且经常腰疼得呻吟。所以，母亲每次解手，都要帮其开灯，扶母亲从床上起来，解完手还要帮母亲盖 好被子，才算完事。母亲常说是小肠火所致，但抓了几次药，不管事，其实还是老年症状引起的吧。
母亲每天早上七点前醒来，原先都是自己穿衣服，起来收拾床被，现在自己穿衣有时就不知反正了，加上体质弱，身子骨不时酸疼，很长时间才能摸索着穿上衣服，因此，每天起床都需要儿子辅助 才能完成穿衣的过程。
比起起床来，睡觉更是麻烦很多。无论午休，还是晚上睡觉，都要事先给母亲铺好床被，如果母亲自己来做那是想当困难了。只要是上பைடு நூலகம்睡觉，就要事先准备两个热水袋放在被窝里，手脚并用，因 为母亲经常手脚冰凉麻木，这也是从年轻时落下的病根。虽然房间里有土暖气，温度有保障。
人教版高一数学必修一精选知识点总结5篇
人教版高一数学必修一精选知识点总结5篇高一数学在整个高中数学中占有特别重要的地位,既是高一又是整个高中阶段的重难点,所以要保持良好的学习心态和正确的学习方法。
下面就是我给大家带来的人教版高一数学必修一学问点，盼望能关心到大家！人教版高一数学必修一学问点13.1直线的倾斜角和斜率3.1倾斜角和斜率1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特殊地,当直线l与x轴平行或重合时,规定α=0°.2、倾斜角α的取值范围：0°≤α180°.当直线l与x轴垂直时,α=90°.3、直线的斜率:一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是k=tanα⑴当直线l与x轴平行或重合时,α=0°,k=tan0°=0;⑴当直线l与x轴垂直时,α=90°,k不存在.由此可知,一条直线l的倾斜角α肯定存在,但是斜率k不肯定存在.4、直线的斜率公式:给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：斜率公式:3.1.2两条直线的平行与垂直1、两条直线都有斜率而且不重合，假如它们平行，那么它们的斜率相等;反之，假如它们的斜率相等，那么它们平行，即留意:上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立.即假如k1=k2,那么肯定有L1⑴L22、两条直线都有斜率，假如它们相互垂直，那么它们的斜率互为负倒数;反之，假如它们的斜率互为负倒数，那么它们相互垂直，即3.2.1直线的点斜式方程1、直线的点斜式方程：直线经过点且斜率为2、、直线的斜截式方程：已知直线的斜率为3.2.2直线的两点式方程1、直线的两点式方程：已知两点2、直线的截距式方程：已知直线3.2.3直线的一般式方程1、直线的一般式方程：关于x、y的二元一次方程(A，B不同时为0)2、各种直线方程之间的互化。
高一数学知识点总结_直线与方程知识点
⾼⼀数学知识点总结_直线与⽅程知识点⾼⼀数学怎么学?多预习，预习还可以培养⾃⼰的⾃学能⼒。
今天⼩编在这给⼤家整理了⾼⼀数学知识点总结，接下来随着⼩编⼀起来看看吧!⾼⼀数学知识点总结(⼀)直线的倾斜⾓与斜率定义：x轴正向与直线向上⽅向之间所成的⾓叫直线的倾斜⾓。
特别地，当直线与x轴平⾏或重合时，我们规定它的倾斜⾓为0度。
范围：倾斜⾓的取值范围是0°≤α<180°。
理解：(1)注意“两个⽅向”：直线向上的⽅向、x轴的正⽅向;(2)规定当直线和x轴平⾏或重合时，它的倾斜⾓为0度。
意义：①直线的倾斜⾓，体现了直线对x轴正向的倾斜程度;②在平⾯直⾓坐标系中，每⼀条直线都有⼀个确定的倾斜⾓;③倾斜⾓相同，未必表⽰同⼀条直线。
公式：k=tanαk>0时α∈(0°，90°)k<0时α∈(90°，180°)k=0时α=0°当α=90°时k不存在ax+by+c=0(a≠0)倾斜⾓为A，则tanA=-a/b，A=arctan(-a/b)当a≠0时，倾斜⾓为90度，即与X轴垂直练习题：1.直线l经过原点和(-1，1)，则它的倾斜⾓为()A.45°B.135°C.45°或135°D.-45°【解析】选B.直线l的斜率为k==-1，所以直线的倾斜⾓为钝⾓135°.2.设直线l与x轴的交点是P，且倾斜⾓为α，若将此直线绕点P按逆时针⽅向旋转45°，得到直线的倾斜⾓为α+45°，则()A.0°≤α<180°B.0°≤α<135°C.0°<α≤135°D.0°<α<135°【解析】选D.直线l与x轴相交，可知α≠0°，⼜α与α+45°都是倾斜⾓，从⽽有得0°<α<135°.3.直线l的倾斜⾓是斜率为的直线的倾斜⾓的2倍，则l的斜率为()A.1B.1C.3D.4【解析】选B.因为tanα=，0°≤α<180°，所以α=30°，故2α=60°，所以k=tan60°=.故选B.⾼⼀数学知识点总结(⼆)直线的⽅程定义：从平⾯解析⼏何的⾓度来看，平⾯上的直线就是由平⾯直⾓坐标系中的⼀个⼆元⼀次⽅程所表⽰的图形。
直线方程的交点坐标
直线方程的交点坐标在平面几何中，直线是数学中常见的研究对象之一。
当我们有两条直线时，我们经常会遇到直线方程的交点坐标的求解问题。
本文将介绍如何通过直线的方程求解其交点的坐标。
直线的一般方程一条直线可以用一般方程表示为：Ax + By + C = 0其中，A、B、C是实数常数，且A和B不同时为0。
上述一般方程中的三个常数A、B、C确定了直线方程的属性。
求解直线的交点坐标当我们有两条直线的一般方程时，可以通过求解它们的交点坐标来获得它们的交点。
下面以两条直线的一般方程为例，说明如何求解它们的交点坐标。
步骤1：确定直线的一般方程首先，我们需要确定两条直线的一般方程。
假设我们有两条直线L1和L2，它们的一般方程分别为：L1：A1x + B1y + C1 = 0L2：A2x + B2y + C2 = 0步骤2：联立方程求解交点坐标接下来，我们需要联立两条直线的方程，求解它们的交点坐标。
为了方便计算，可以采用消元法或代入法来解决。
消元法：通过消元法，我们可以通过消除x或y的系数来简化方程。
下面以消去x的系数为例：1.通过将L1的方程乘以A2，并将L2的方程乘以A1，我们可以得到：A1A2x + B1A2y + C1A2 = 0A1A2x + B2A1y + C2A1 = 02.将上述两个方程相减，我们可以消除x的系数，得到：(B1A2 - B2A1)y + (C1A2 - C2A1) = 03.通过解上述方程，我们可以得到y的值。
4.将y的值代入L1或L2的方程中，可以得到相应的x值。
通过上述步骤，我们可以求解出交点的坐标（x，y）。
代入法：通过代入法，我们可以将L1或L2的方程中的一个变量表示成另一个变量的函数。
下面以将y表示为x的函数为例：1.将L1的方程中的y表示成x的函数，得到：y = (-A1x - C1) / B12.将y的函数表达式代入L2的方程中，得到：A2x + B2 * ((-A1x - C1) / B1) + C2 = 03.将上述方程整理，解得x的值。
高中数学必修2《第3章：直线与方程(3.3直线的交点坐标与距离公式1)》教师版
3.3直线的交点坐标与距离公式3．3.1 & 3.3.2 两直线的交点坐标、两点间的距离第一课时两直线的交点坐标、两点间的距离(新授课)[导入新知]1．两直线的交点坐标2．两直线的位置关系[化解疑难]两直线相交的条件(1)将两直线方程联立解方程组，依据解的个数判断两直线是否相交．当方程组只有一解时，两直线相交．(2)设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2相交的条件是A1B2－A2B1≠0或A1A2≠B1B2(A2，B2≠0)．(3)设两条直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1与l2相交⇔k1≠k2.[导入新知]两点间的距离公式(1)公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2.(2)文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根．[化解疑难]两点间距离公式的理解(1)此公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可写成|P1P2|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.(2)当直线P1P2平行于x轴时，|P1P2|＝|x2－x1|.当直线P1P2平行于y轴时，|P1P2|＝|y2－y1|.当点P1、P2中有一个是原点时，|P1P2|＝x2＋y2.[例1] 判断下列各组直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标： (1)l 1：5x ＋4y －2＝0，l 2：2x ＋y ＋2＝0； (2)l 1：2x －6y ＋3＝0，l 2：y ＝13x ＋12；(3)l 1：2x －6y ＝0，l 2：y ＝13x ＋12.[解] (1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，得⎩⎨⎧x ＝－103，y ＝143.所以l 1与l 2相交，且交点坐标为⎝⎛⎭⎫－103，143. (2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －6y ＋3＝0，①y ＝13x ＋12，②②×6整理得2x －6y ＋3＝0.因此，①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l 1与l 2重合． (3)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －6y ＝0，①y ＝13x ＋12，②②×6－①得3＝0，矛盾．方程组无解，所以两直线无公共点，l 1∥l 2. [类题通法]判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．(1)解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变量，代入另外一个方程能解出另一个变量的值．(2)解题过程中注意对其中参数进行分类讨论． (3)最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系． [活学活用]1．判断下列各对直线的位置关系．若相交，求出交点坐标：(1)l 1：2x ＋y ＋3＝0，l 2：x －2y －1＝0； (2)l 1：x ＋y ＋2＝0，l 2：2x ＋2y ＋3＝0.解：(1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＋3＝0，x －2y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，所以直线l 1与l 2相交，交点坐标为(－1，－1)．(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2＝0，①2x ＋2y ＋3＝0，②①×2－②，得1＝0，矛盾，方程组无解．所以直线l 1与l 2无公共点，即l 1∥l 2.[例2] 求证：不论m 为何实数，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5都过某一定点． [证明] 法一：取m ＝1时，直线方程为y ＝－4；取m ＝12时，直线方程为x ＝9.两直线的交点为P (9，－4)，将点P 的坐标代入原方程左边＝(m －1)×9＋(2m －1)×(－4)＝m －5.故不论m 取何实数，点P (9，－4)总在直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5上， 即直线恒过点P (9，－4)．法二：原方程化为(x ＋2y －1)m ＋(－x －y ＋5)＝0. 若对任意m 都成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －1＝0，x ＋y －5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝－4.所以不论m 为何实数，所给直线都过定点P (9，－4)． [类题通法]解含有参数的直线恒过定点的问题(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0解得．若整理成y －y 0＝k (x －x 0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x 0，y 0)．[活学活用]2．求经过两直线l 1：3x ＋4y －2＝0和l 2：2x ＋y ＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l 的方程．解：法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，即l 1与l 2的交点坐标为(－2,2)．∵直线过坐标原点，所以其斜率k ＝2－2＝－1，直线方程为y ＝－x ，一般式为x ＋y ＝0.法二：∵l 2不过原点，∴可设l 的方程为3x ＋4y －2＋λ(2x ＋y ＋2)＝0(λ∈R )， 即(3＋2λ)x ＋(4＋λ)y ＋2λ－2＝0. 将原点坐标(0,0)代入上式，解得λ＝1， ∴l 的方程为5x ＋5y ＝0，即x ＋y ＝0.[例3] 已知点A (1,1)，B (5,3)，C (0,3)，求证：△ABC 为直角三角形． [证明] 法一：∵|AB |＝(5－1)2＋(3－1)2＝25， |AC |＝(0－1)2＋(3－1)2＝5， 又|BC |＝(5－0)2＋(3－3)2＝5， ∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2， ∴△ABC 为直角三角形． 法二：∵k AB ＝3－15－1＝12，k AC ＝3－10－1＝－2，∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC ，∴△ABC 是以A 为直角顶点的直角三角形．[类题通法]1．计算两点间距离的方法(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．2．解答本题还要注意构成三角形的条件．[活学活用]3．已知点A(－1,2)，B(2，7)，在x轴上求一点P，使|P A|＝|PB|，并求|P A|的值．解：设所求点P(x,0)，于是由|P A|＝|PB|得(x＋1)2＋(0－2)2＝(x－2)2＋(0－7)2，即x2＋2x＋5＝x2－4x＋11，解得x＝1.所以，所求P点坐标为(1,0)，|P A|＝(1＋1)2＋(0－2)2＝2 2.8.两条直线相交求参数中的误区[典例] 若三条直线l 1：ax ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋1＝0 ，l 3：x ＋y ＋a ＝0能构成三角形，则a 应满足的条件是( )A ．a ＝1或a ＝－2B ．a ≠±1C ．a ≠1且a ≠－2D ．a ≠±1且a ≠－2[解析] 为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点．(1)若三条直线交于一点，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋ay ＋1＝0，x ＋y ＋a ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－a －1，y ＝1，将l 2，l 3的交点(－a －1,1)代入l 1的方程解得a ＝1或a ＝－2①；(2)若l 1∥l 2，则由a ×a －1×1＝0，得a ＝±1②， 当a ＝1时，l 1与l 2重合；(3)若l 2∥l 3，则由1×1－a ×1＝0，得a ＝1，当a ＝1时，l 2与l 3重合； (4)若l 1∥l 3，则由a ×1－1×1＝0，得a ＝1，当a ＝1时，l 1与l 3重合． 综上，当a ＝1时，三条直线重合；当a ＝－1时，l 1∥l 2；当a ＝－2时，三条直线交于一点， 所以要使三条直线能构成三角形，需a ≠±1且a ≠－2. [答案] D [易错防范]①处，解题过程中，由a ＝1或a ＝－2得a ≠1且a ≠－2，此种错误只考虑了三条直线相交于一点不能构成三角形，而忽视了任意两条平行或重合的直线也不能构成三角形．②处，若得到a ≠±1，只考虑了直线的斜率不相等的条件，而忽视了三条直线相交于一点也不能构成三角形．解答此类问题由条件不易直接求参数，可考虑从反面入手，同时考虑问题要全面，不要漏掉某些情形．[成功破障](2013·银川高一检测)直线y ＝2x ＋10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a 的值为( ) A.12 B ．－12C.23D ．－23解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ＋10，y ＝x ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－9，y ＝－8，即直线y ＝2x ＋10与y ＝x ＋1相交于点(－9，－8)，代入y ＝ax －2，解得a ＝23.[随堂即时演练]1．直线3x ＋2y ＋6＝0和2x ＋5y －7＝0的交点的坐标为( ) A ．(－4，－3) B ．(4,3) C ．(－4,3)D ．(3,4)解析：选C 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y ＋6＝0，2x ＋5y －7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝3.2．已知点A (－2，－1)，B (a,3)，且|AB |＝5，则a 的值为( ) A ．1 B ．－5 C ．1或－5D ．1－或5解析：选C ∵|AB |＝(a ＋2)2＋(3＋1)2＝5， ∴a ＝－5或a ＝1.3．设Q (1,3)，在x 轴上有一点P ，且|PQ |＝5，则点P 的坐标是________．解析：由题意设P (a,0)，则|PQ |＝(a －1)2＋(0－3)2＝5，解得a －1＝±4，即a ＝5或－3.故点P 的坐标是(5,0)或(－3,0)．答案：(5,0)或(－3,0)4．若p ，q 满足p －2q ＝1，直线px ＋3y ＋q ＝0必过一个定点，该定点坐标为________． 解析：因为p ＝2q ＋1代入整理：(2x ＋1)q ＋3y ＋x ＝0对q 为一切实数恒成立，即2x ＋1＝0，且3y ＋x ＝0，所以x ＝－12，y ＝16.答案：⎝⎛⎭⎫－12，16 5．(2012·山东德州高一检测)分别求经过两条直线2x ＋y －3＝0和x －y ＝0的交点，且符合下列条件的直线方程．(1)平行于直线l 1：4x －2y －7＝0； (2)垂直于直线l 2：3x －2y ＋4＝0.解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －3＝0，x －y ＝0，得交点P (1,1)．(1)若直线与l 1平行， ∵k 1＝2， ∴斜率k ＝2，∴所求直线方程为y －1＝2(x －1) 即：2x －y －1＝0. (2)若直线与l 2垂直， ∵k 2＝32，∴斜率k ＝－1k 2＝－23，∴y －1＝－23(x －1)即：2x ＋3y －5＝0.3．3.3 & 3.3.4 点到直线的距离 两条平行线间的距离[导入新知]点到直线的距离与两条平行线间的距离[化解疑难]1．点到直线的距离公式需注意的问题(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式．例如，求P 0(x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离，应先把直线方程化为kx －y ＋b ＝0，得d ＝|kx 0－y 0＋b |k 2＋1.2．点到几种特殊直线的距离 (1)点P 0(x 0，y 0)到x 轴的距离d ＝|y 0|； (2)点P (x 0，y 0)到y 轴的距离d ＝|x 0|；(3)点P (x 0，y 0)到与x 轴平行的直线y ＝b (b ≠0)的距离d ＝|y 0－b |； (4)点P (x 0，y 0)到与y 轴平行的直线x ＝a (a ≠0)的距离d ＝|x 0－a |. 3．对平行线间的距离公式的理解(1)利用公式求平行线间的距离时，两直线方程必须是一般式，且x ，y 的系数对应相等． (2)当两直线都与x 轴(或y 轴)垂直时，可利用数形结合来解决 ①两直线都与x 轴垂直时，l 1：x ＝x 1，l 2：x ＝x 2，则d ＝|x 2－x 1|； ②两直线都与y 轴垂直时，l 1：y ＝y 1，l 2：y ＝y 2，则d ＝|y 2－y 1|.[例1] 求点P (3，－2)到下列直线的距离： (1)y ＝34x ＋14；(2)y ＝6；(3)x ＝4.[解] (1)直线y ＝34x ＋14化为一般式为3x －4y ＋1＝0，由点到直线的距离公式可得d ＝|3×3－4×(－2)＋1|32＋(－4)2＝185. (2)因为直线y ＝6与y 轴垂直，所以点P 到它的距离d ＝|－2－6|＝8. (3)因为直线x ＝4与x 轴垂直，所以点P 到它的距离d ＝|3－4|＝1. [类题通法]应用点到直线的距离公式应注意的三个问题(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． (2)点P 在直线l 上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．(3)直线方程Ax ＋By ＋C ＝0中，A ＝0或B ＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．[活学活用]1．已知点A (a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝( ) A.2 B ．2－ 2 C.2－1D.2＋1解析：选C 由点到直线的距离公式知 d ＝|a －2＋3|2＝|a ＋1|2＝1，得a ＝－1±2.又∵a ＞0，∴a ＝2－1.2．点P (2,4)到直线l ：3x ＋4y －7＝0的距离是________． 解析：点P 到直线l 的距离d ＝|3×2＋4×4－7|32＋42＝155＝3.答案：3[例2] 求与直线l ：5x －12y ＋6＝0平行且到l 的距离为2的直线方程． [解] 法一：设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0. 在直线5x －12y ＋6＝0上取一点P 0(0，12)，则点P 0到直线5x －12y ＋C ＝0的距离为|－12×12＋C |52＋(－12)2＝|C －6|13，由题意，得|C －6|13＝2，所以C ＝32，或C ＝－20.故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0，或5x －12y －20＝0. 法二：设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0， 由两平行直线间的距离公式得2＝|C －6|52＋(－12)2，解得C ＝32，或C ＝－20.故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0，或5x －12y －20＝0. [类题通法]求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l 1：y ＝kx ＋b 1，l 2：y ＝kx ＋b 2，且b 1≠b 2时，d ＝|b 1－b 2|k 2＋1；当直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0且C 1≠C 2时，d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.但必须注意两直线方程中x ，y 的系数对应相等． [活学活用]3．(2012·岳阳高一检测)两直线3x ＋y －3＝0和6x ＋my －1＝0平行，则它们之间的距离为________．解析：因为两直线平行，所以m ＝2.法一：在直线3x ＋y －3＝0上取点(0,3)，代入点到直线的距离公式，得d ＝|6×0＋2×3－1|62＋22＝104. 法二：将6x ＋2y －1＝0化为3x ＋y －12＝0，由两条平行线间的距离公式得d ＝⎪⎪⎪⎪－3＋1232＋12＝104. 答案：104[例3] 求经过点P (1,2)，且使A (2,3)，B (0，－5)到它的距离相等的直线l 的方程． [解] 法一：当直线斜率不存在时，即x ＝1，显然符合题意．当直线斜率存在时，设所求直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)．由条件得|2k －3－k ＋2|k 2＋1＝|5－k ＋2|k 2＋1，解得k ＝4，故所求直线方程为x ＝1或4x －y －2＝0.法二：由平面几何知识知l ∥AB 或l 过线段AB 的中点． ∵直线AB 的斜率k AB ＝4，若l ∥AB ，则l 的方程为4x －y －2＝0.若l 过AB 的中点(1，－1)，则直线方程为x ＝1， 故所求直线方程为x ＝1或4x －y －2＝0. [类题通法]解这类题目常用的方法是待定系数法，即根据题意设出方程，然后由题意列方程求参数．也可以综合应用直线的有关知识，充分发挥几何图形的直观性，判断直线l 的特征，然后由已知条件写出l 的方程．[活学活用]4．求经过两直线l 1：x －3y －4＝0与l 2：4x ＋3y －6＝0的交点，且和点A (－3,1)的距离为5的直线l 的方程．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －4＝0，4x ＋3y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－23，即直线l 过点B ⎝⎛⎭⎫2，－23. ①当l 与x 轴垂直时，方程为x ＝2，点A (－3,1)到l 的距离d ＝|－3－2|＝5，满足题意． ②当l 与x 轴不垂直时，设斜率为k ， 则l 的方程为y ＋23＝k (x －2)，即kx －y －2k －23＝0，由点A 到l 的距离为5，得⎪⎪⎪⎪－3k －1－2k －23k 2＋(－1)2＝5，解得k ＝43，所以l 的方程为43x －y －83－23＝0，即4x －3y －10＝0.综上，所求直线方程为x ＝2或4x －3y －10＝0.9.漏掉直线斜率不存在的情况[典例] 直线l 1过点A (0,1)，l 2过点B (5,0)，如果l 1∥l 2，且l 1与l 2的距离为5，求l 1，l 2的方程．[解] (1)若直线l 1，l 2的斜率存在①，设直线的斜率为k ，由斜截式得l 1的方程y ＝kx ＋1，即kx －y ＋1＝0.由点斜式可得l 2的方程为y ＝k (x －5)，即kx －y －5k ＝0.因为直线l 1过点A (0,1)，则点A 到直线l 2的距离d ＝|－1－5k |(－1)2＋k 2＝5，∴25k 2＋10k ＋1＝25k 2＋25，∴k ＝125，∴l 1的方程为12x －5y ＋5＝0，l 2的方程为12x －5y －60＝0.(2)若l 1，l 2的斜率不存在①，则l 1的方程为x ＝0，l 2的方程为x ＝5，它们之间的距离为5，同样满足条件．综上所述，满足条件的直线方程有两组：l 1：12x －5y ＋5＝0，l 2：12x －5y －60＝0；或l 1：x ＝0，l 2：x ＝5.[易错防范]1．①处容易漏掉l 1，l 2的斜率都不存在的情形而导致错误．2．用待定系数法求直线方程时，一定要对斜率是否存在的情况进行讨论． [成功破障]经过点A (1,2)且到原点的距离等于1的直线方程为________．解析：当过点A 的直线垂直于x 轴时，原点到此直线的距离等于1，所以满足题设条件，其方程为x －1＝0.当过点A 的直线不垂直于x 轴时，设其方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0.由|－k ＋2|k 2＋1＝1得k ＝34，故其方程为3x －4y ＋5＝0.故所求的直线方程为x －1＝0，或3x －4y ＋5＝0. 答案：x ＝1或3x －4y ＋5＝0[随堂即时演练]1．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为( ) A ．1 B. 3 C ．2D. 5解析：选D d ＝|－5|5＝ 5.2．已知直线l 1：x ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋y －1＝0，则l 1，l 2之间的距离为( ) A ．1 B. 2 C. 3D ．2 解析：选B 在l 1上取一点(1，－2)，则点到直线l 2的距离为|1－2－1|12＋12＝ 2.3．直线4x －3y ＋5＝0与直线8x －6y ＋5＝0的距离为________．解析：直线8x －6y ＋5＝0化简为4x －3y ＋52＝0，则由两平行线间的距离公式得⎪⎪⎪⎪5－5242＋32＝12. 答案：124．若点(2，k )到直线5x －12y ＋6＝0的距离是4，则k 的值是________．解析：∵|5×2－12k ＋6|52＋122＝4，∴|16－12k |＝52，∴k ＝－3，或k ＝173.答案：－3或1735．已知△ABC 三个顶点坐标A (－1,3)，B (－3,0)，C (1,2)，求△ABC 的面积S . 解：由直线方程的两点式得直线BC 的方程为 y 2－0＝x ＋31＋3， 即x －2y ＋3＝0.由两点间距离公式得 |BC |＝(－3－1)2＋(0－2)2＝25，点A 到BC 的距离为d ，即为BC 边上的高， d ＝|－1－2×3＋3|12＋(－2)2＝455， 所以S ＝12|BC |·d ＝12×25×455＝4，即△ABC 的面积为4.[课时达标检测]一、选择题1．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( ) A ．3 2 B.22C ．3D.322解析：选D 点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离 d ＝|1－1×(－1)＋1|12＋(－1)2＝322.2．两平行线分别经过点A (3,0)，B (0,4)，它们之间的距离d 满足的条件是( ) A ．0＜d ≤3 B ．0＜d ≤5 C ．0＜d ＜4D ．3≤d ≤5解析：选B 当两平行线与AB 垂直时，两平行线间的距离最大为|AB |＝5，所以0＜d ≤5. 3．与直线2x ＋y ＋1＝0的距离等于55的直线方程为( ) A ．2x ＋y ＝0 B ．2x ＋y －2＝0C ．2x ＋y ＝0或2x ＋y －2＝0D ．2x ＋y ＝0或2x ＋y ＋2＝0解析：选D 根据题意可设所求直线方程为2x ＋y ＋c ＝0.因为两直线间的距离等于55，所以d ＝|c －1|22＋12＝55，解得c ＝0，或c ＝2.所以所求直线方程为2x ＋y ＝0，或2x ＋y ＋2＝0. 4．直线l 过点A (3,4)且与点B (－3,2)的距离最远，那么l 的方程为( ) A ．3x －y －13＝0 B ．3x －y ＋13＝0 C ．3x ＋y －13＝0D ．3x ＋y ＋13＝0解析：选C 由已知可知，l 是过A 且与AB 垂直的直线， ∵k AB ＝2－4－3－3＝13，∴k l ＝－3， 由点斜式得，y －4＝－3(x －3)，即3x ＋y －13＝0.5．若动点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点距离的最小值是( )A ．3 2B ．2 3C ．3 3D ．4 2解析：选A 由题意，结合图形可知点M 必然在直线x ＋y －6＝0上，故M 到原点的最小距离为|－6|2＝3 2.二、填空题6．直线l 到直线x －2y ＋4＝0的距离和原点到直线l 的距离相等，则直线l 的方程是________________．解析：由题意设所求l 的方程为x －2y ＋C ＝0， 则|C －4|12＋22＝|C |12＋22，解得C ＝2，故直线l 的方程为x －2y ＋2＝0. 答案：x －2y ＋2＝07．直线l 在x 轴上的截距为1，又有两点A (－2，－1)，B (4,5)到l 的距离相等，则l 的方程为________________．解析：显然l ⊥x 轴时符合要求，此时l 的方程为x ＝1； 设l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝k (x －1)，即 kx －y －k ＝0.∵点A ，B 到l 的距离相等， ∴|－2k ＋1－k |k 2＋1＝|4k －5－k |k 2＋1.∴|1－3k |＝|3k －5|，∴k ＝1，∴l 的方程为x －y －1＝0. 综上，l 的方程为x ＝1，或x －y －1＝0. 答案：x ＝1或x －y －1＝08．已知直线l 与直线l 1：2x －y ＋3＝0和l 2：2x －y －1＝0的距离相等，则l 的方程是____________________．解析：法一：由题意可设l 的方程为2x －y ＋c ＝0， 于是有|c －3|22＋(－1)2＝|c －(－1)|22＋(－1)2，即|c －3|＝|c ＋1|，解得c ＝1， 则直线l 的方程为2x －y ＋1＝0.法二：由题意知l 必介于l 1与l 2中间，故设l 的方程为2x －y ＋c ＝0， 则c ＝3＋(－1)2＝1.则直线l 的方程为2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝0 三、解答题9．已知直线l 经过点P (－2,5)，且斜率为－34.(1)求直线l 的方程；(2)若直线m 与l 平行，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程． 解：(1)由直线方程的点斜式，得y －5＝－34(x ＋2)，整理得所求直线方程为 3x ＋4y －14＝0.(2)由直线m 与直线l 平行，可设直线m 的方程为 3x ＋4y ＋C ＝0， 由点到直线的距离公式得 |3×(－2)＋4×5＋C |32＋42＝3，即|14＋C |5＝3，解得C ＝1或C ＝－29， 故所求直线方程为3x ＋4y ＋1＝0或3x ＋4y －29＝0.10．已知正方形ABCD 一边CD 所在直线的方程为x ＋3y －13＝0，对角线AC ，BD 的交点为P (1,5)，求正方形ABCD 其他三边所在直线的方程．解：(1)点P (1,5)到l CD 的距离为d ，则d ＝310. ∵l AB ∥l CD ，∴可设l AB ：x ＋3y ＋m ＝0. 点P (1,5)到l AB 的距离也等于d ， 则|m ＋16|10＝310， 又∵m ≠－13，∴m ＝－19，即l AB ：x ＋3y －19＝0. ∵l AD ⊥l CD ，∴可设l AD ：3x －y ＋n ＝0，则P (1,5)到l AD 的距离等于P (1,5)到l BC 的距离，且都等于d ＝310， |n －2|10＝310，n ＝5，或n ＝－1， 则l AD ：3x －y ＋5＝0，l BC ：3x －y －1＝0.所以，正方形ABCD 其他三边所在直线方程为x ＋3y －19＝0,3x －y ＋5＝0,3x －y －1＝0.直线与方程一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分)1．(2013·嘉兴高一检测)点A (2，－3)关于点B (－1,0)的对称点A ′的坐标是( ) A ．(－4,3) B ．(5，－6) C ．(3，－3)D.⎝⎛⎭⎫12，－32 解析：选A 设A ′(x ′，y ′)，由题意得⎩⎨⎧2＋x ′2＝－1，－3＋y ′2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－4，y ′＝3. 2．已知直线l 的方程为y ＝－x ＋1，则直线l 的倾斜角为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．135°解析：选D 由题意知k ＝－1，故倾斜角为135°.3．(2012·潍坊高一期末检测)点(1,1)到直线x ＋y －1＝0的距离为( ) A ．1B ．2C.22D. 2解析：选C 由点到直线的距离公式d ＝|1＋1－1|12＋12＝22.4．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于P 、Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13 B ．－13C ．3D ．－3解析：选B 设P (a,1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5，b ＝－3，故直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.a ＝－5.5．过点(－1,3)且平行于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( ) A ．x －2y ＋7＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．x －2y －5＝0D ．2x ＋y －5＝0解析：选A ∵直线x －2y ＋3＝0的斜率为12，∴所求直线的方程为y －3＝12(x ＋1)，即x －2y ＋7＝0.6．若直线mx ＋ny ＋3＝0在y 轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线3x －y ＝33的倾斜角的2倍，则( )A ．m ＝－3，n ＝1B ．m ＝－3，n ＝－3C ．m ＝3，n ＝－3D ．m ＝3，n ＝1解析：选D 依题意得－3n ＝－3，－mn ＝tan 120°＝－3，得m ＝3，n ＝1.7．和直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为( ) A ．3x ＋4y ＋5＝0 B ．3x ＋4y －5＝0 C ．－3x ＋4y －5＝0D ．－3x ＋4y ＋5＝0解析：选A 设所求直线上的任一点为(x ，y )，则此点关于x 轴对称的点的坐标为(x ，－y )，因为点(x ，－y )在直线3x －4y ＋5＝0上，所以3x ＋4y ＋5＝0.8．若三点A (3,1)，B (－2，b )，C (8,11)在同一直线上，则实数b 等于( ) A ．2 B ．3 C ．9D ．－9解析：选D 由题意知k AB ＝k BC即b －1－2－3＝11－b8＋2，解得b ＝－9. 9．将一张坐标纸折叠一次，使点(10,0)与(－6,8)重合，则与点(－4,2)重合的点是( ) A ．(4，－2) B ．(4，－3) C.⎝⎛⎭⎫3，32 D ．(3，－1)解析：选A 由已知知以(10,0)和(－6,8)为端点的线段的垂直平分线的方程为y ＝2x ，则(－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点即为所求点．设所求点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0－2x 0＋4＝－12，y 0＋22＝2·x 0－42，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝4，y 0＝－2. 10．设点A (2，－3)，B (－3，－2)，直线l 过P (1,1)且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是( )A ．k ≥34，或k ≤－4B ．－4≤k ≤34C ．－34≤k ≤4D ．以上都不对解析：选A 由题意知k AP ＝－3－12－1＝－4， k BP ＝－2－1－3－1＝34.由斜率的特点并结合图形可知k ≥34，或k ≤－4.二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)11．已知点A (2,1)，B (－2,3)，C (0,1)，则△ABC 中，BC 边上的中线长为________． 解析：BC 中点为⎝⎛⎭⎫－2＋02，3＋12即(－1,2)，所以BC 边上中线长为(2＋1)2＋(1－2)2＝10.答案：1012．经过点A (1,1)且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的直线方程是________． 解析：当直线过原点时，满足要求，此时直线方程为x －y ＝0；当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋ya ＝1，由于点(1,1)在直线上，所以a ＝2，此时直线方程为x ＋y －2＝0.答案：x －y ＝0或x ＋y －2＝013．过点A (2,1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程为____________．解析：如右图，只有当直线l 与OA 垂直时，原点到l 的距离最大，此时k OA ＝12，则k l ＝－2，所以方程为y －1＝－2(x －2)，即2x ＋y －5＝0.答案：2x ＋y －5＝014．已知点A (4，－3)与B (2，－1)关于直线l 对称，在l 上有一点P ，使点P 到直线4x ＋3y －2＝0的距离等于2，则点P 的坐标是____________．解析：由题意知线段AB 的中点C (3，－2)，k AB ＝－1，故直线l 的方程为y ＋2＝x －3，即y ＝x －5.设P (x ，x －5)，则2＝|4x ＋3x －17|42＋32，解得x ＝1或x ＝277.即点P 的坐标是(1，－4)或⎝⎛⎭⎫277，－87. 答案：(1，－4)或⎝⎛⎭⎫277，－87 三、解答题(共4小题，共50分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)(2012·绍兴高二检测)已知直线l 的倾斜角为135°，且经过点P (1,1)． (1)求直线l 的方程；(2)求点A (3,4)关于直线l 的对称点A ′的坐标．解：(1)∵k ＝tan 135°＝－1，∴l ：y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. (2)设A ′(a ，b )， 则⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －3×(－1)＝－1，a ＋32＋b ＋42－2＝0，解得a ＝－2，b ＝－1，∴A ′的坐标为(－2，－1)．16．(本小题满分12分)已知两条直线l 1：x ＋m 2y ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3my ＋2m ＝0 ，当m 为何值时，l 1与l 2(1)相交；(2)平行；(3)重合？解：当m ＝0时，l 1：x ＋6＝0，l 2：x ＝0，∴l 1∥l 2.当m ＝2时，l 1：x ＋4y ＋6＝0，l 2：3y ＋2＝0，∴l 1与l 2相交．当m ≠0且m ≠2时，由1m －2＝m 23m 得m ＝－1或m ＝3，由1m －2＝62m ，得m ＝3.故(1)当m ≠－1且m ≠3且m ≠0时，l 1与l 2相交． (2)当m ＝－1或m ＝0时，l 1∥l 2. (3)当m ＝3时，l 1与l 2重合．17．(本小题满分12分)如图，已知点A (2,3)，B (4,1)，△ABC 是以AB 为底边的等腰三角形，点C 在直线l ：x －2y ＋2＝0上．(1)求AB 边上的高CE 所在直线的方程； (2)求△ABC 的面积．解：(1)由题意可知，E 为AB 的中点， ∴E (3,2)，且k CE ＝－1k AB＝1，∴CE 所在直线方程为：y －2＝x －3，即x －y －1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0，x －y －1＝0，得C (4,3)，∴|AC |＝|BC |＝2，AC ⊥BC ，∴S △ABC ＝12|AC |·|BC |＝2.18．(本小题满分14分)如图所示，在△ABC 中，BC 边上的高所在直线l 的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的平分线所在直线的方程为y ＝0，若点B 的坐标为(1,2)，求点A 和点C 的坐标．解：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0，y ＝0解得顶点A (－1,0)．又AB 的斜率为k AB ＝1，且x 轴是∠A 的平分线，故直线AC 的斜率为－1，AC 所在直线的方程为y ＝－(x ＋1)．已知BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，故BC 的斜率为－2，BC 所在直线的方程为y －2＝－2(x －1)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－(x ＋1)，y －2＝－2(x －1).得顶点C 的坐标为(5，－6)．所以点A 的坐标为(－1,0)，点C 的坐标为(5，－6)．。
高一数学复习考点知识讲解课件7---两条直线的交点
高一数学复习考点知识讲解课件§1.4两条直线的交点考点知识1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系．导语在平面几何中，我们对直线做了定性研究，引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式，这样我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点，坐标平面内与点、直线相关的距离问题等．一、判断直线的交点及由交点求参数问题点A(－2,2)是否在直线l1：3x＋4y－2＝0和直线l2：2x＋y＋2＝0上，点A和直线l1，l2有什么关系？提示在，点A是l1与l2的交点．知识梳理1．设两条直线的方程分别是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0：方程组错误!的解一组无数组无解直线l1，l2的公共点一个无数个零个直线l1，l2的位置关系相交重合平行2.已知两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0,l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设这两条直线的交点为P ，则点P 既在直线l 1上，也在直线l 2上．所以点P 的坐标既满足直线l 1的方程A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，也满足直线l 2的方程A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，即点P 的坐标就是方程组⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解． 注意点：(1)虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用．(2)两条直线相交的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.例1(1)(多选)(教材P27例1改编)下列选项中，正确的有() A ．直线l 1：x －y ＋2＝0和l 2：2x ＋y －5＝0的交点坐标为(1,3) B ．直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：2x －4y ＋8＝0的交点坐标为(2,1) C ．直线l 1：2x ＋y ＋2＝0和l 2：y ＝－2x ＋3的交点坐标为(－2,2) D ．直线l 1：x －2y ＋1＝0，l 2：y ＝x ，l 3：2x ＋y －3＝0两两相交 答案AD解析方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋2＝0，2x ＋y －5＝0的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3.因此直线l 1和l 2相交，交点坐标为(1,3)，A 正确；方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋4＝0，2x －4y ＋8＝0有无数个解，这表明直线l 1和l 2重合，B 错误；方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋2＝0，2x ＋y －3＝0无解，这表明直线l 1和l 2没有公共点，故l 1∥l 2，C 错误；方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1＝0，y ＝x 的解为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1.方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，2x ＋y －3＝0的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1＝0，2x ＋y －3＝0的解也为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.所以，三条直线两两相交且交于同一点(1,1)，D 正确．(2)直线2x ＋3y －k ＝0和直线x －ky ＋12＝0的交点在x 轴上，则k 的值为() A ．－24B ．24C ．6D ．±6 答案A解析联立⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －k ＝0，x －ky ＋12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k 2－363＋2k ，y ＝k ＋243＋2k，因为直线2x ＋3y －k ＝0和直线x －ky ＋12＝0的交点在x 轴上，所以y ＝k ＋243＋2k＝0，解得k ＝－24. 反思感悟(1)求两直线的交点坐标可直接建立方程组求解，并可利用解的个数判断直线的位置关系．(2)当多条直线相交于同一点时，先选两直线求交点，此点必满足第三条直线． 延伸探究若将(1)中选项D 改为“三条直线mx ＋2y ＋7＝0，y ＝14－4x 和2x －3y ＝14相交于一点”，求m 的值．解解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝14－4x ，2x －3y ＝14，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，所以这两条直线的交点坐标为()4，－2.由题意知点()4，－2在直线mx ＋2y ＋7＝0上，将()4，－2代入，得4m ＋2×()－2＋7＝0，解得m ＝－34.跟踪训练1(1)直线3x ＋2y ＋6＝0和2x ＋5y －7＝0的交点为() A.()4，3B.()－4，3 C.()－4，－3D.()4，－3 答案B解析由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y ＋6＝0，2x ＋5y －7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝3，所以交点为()－4，3.(2)若直线l 1：y ＝kx ＋k ＋2与直线l 2：y ＝－2x ＋4的交点在第一象限内，则实数k 的取值范围是() A ．k ＞－23B ．k ＜2C ．－23＜k ＜2D ．k ＜－23或k ＞2 答案C解析方法一由题意知，直线l 1过定点P (－1,2)，斜率为k ，直线l 2与x 轴、y 轴分别交于点A (2,0)，B (0,4)，若直线l 1与l 2的交点在第一象限内，则l 1必过线段AB 上的点(不包括A ，B )，因为k P A ＝－23，k PB ＝2，所以－23＜k ＜2.方法二由直线l 1，l 2有交点，得k ≠－2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋k ＋2，y ＝－2x ＋4得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－k k ＋2，y ＝6k ＋4k ＋2.又交点在第一象限内，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－k k ＋2>0，6k ＋4k ＋2>0，解得－23＜k ＜2.二、求过两直线交点的直线例2求经过两直线l 1：3x ＋4y －2＝0和l 2：2x ＋y ＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l 的方程．解由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，即l 1与l 2的交点坐标为(－2,2)． ∵直线过坐标原点， ∴其斜率k ＝2－2＝－1.故直线方程为y ＝－x ，即x ＋y ＝0.反思感悟求与已知两直线的交点有关的问题，可有以下解法：先求出两直线交点，将问题转化为过定点的直线，然后再利用其他条件求解．跟踪训练2求经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程． 解由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，即P (0,2)． ∵l ⊥l 3，l 3的斜率为34，∴k l ＝－43， ∴直线l 的方程为y －2＝－43x ， 即4x ＋3y －6＝0.三、过两直线交点的直线系方程 知识梳理1．平行于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程为Ax ＋By ＋λ＝0(λ≠C )． 2．垂直于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程为Bx －Ay ＋λ＝0.3．过两条已知直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(不包括直线A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0)．例3求过两直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线方程．解方法一 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y －3＝0，x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－35，y ＝－75，所以两直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－75.又所求直线与直线3x ＋y －1＝0平行， 所以所求直线的斜率为－3.故所求直线方程为y ＋75＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋35，即15x ＋5y ＋16＝0.方法二设所求直线方程为(2x －3y －3)＋λ(x ＋y ＋2)＝0， 即(2＋λ)x ＋(λ－3)y ＋(2λ－3)＝0.(*) 由于所求直线与直线3x ＋y －1＝0平行，所以有⎩⎪⎨⎪⎧(2＋λ)×1－(λ－3)×3＝0，(2＋λ)×(－1)－(2λ－3)×3≠0，得λ＝112.代入(*)式，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋112x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫112－3y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2×112－3＝0，即15x ＋5y ＋16＝0. 延伸探究1．本例中将“3x ＋y －1＝0”改为“x ＋3y －1＝0”，则如何求解？解由例题知直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－75，所求直线与x ＋3y －1＝0平行，故斜率为－13，所以所求直线的方程为y ＋75＝－13⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋35，即5x ＋15y＋24＝0.2．本例中若将“平行”改为“垂直”，又如何求解？ 解设所求直线方程为(2x －3y －3)＋λ(x ＋y ＋2)＝0， 即(2＋λ)x ＋(λ－3)y ＋(2λ－3)＝0， 由于所求直线与直线3x ＋y －1＝0垂直， 则3(2＋λ)＋(λ－3)×1＝0，得λ＝－34， 所以所求直线方程为5x －15y －18＝0. 反思感悟解含参数的直线恒过定点问题的策略(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0解得．若整理成y －y 0＝k (x －x 0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x 0，y 0)．跟踪训练3无论m 为何值，直线l ：(m ＋1)x －y －7m －4＝0恒过一定点P ，求点P 的坐标．解∵(m ＋1)x －y －7m －4＝0， ∴m (x －7)＋(x －y －4)＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －7＝0，x －y －4＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝3. ∴点P 的坐标为(7,3)．1．知识清单：(1)方程组的解与直线交点个数的关系． (2)两条直线的交点． (3)直线系过定点问题．2．方法归纳：消元法、直线系法． 3．常见误区：对两直线相交条件认识模糊．1．直线2x ＋y ＋8＝0和直线x ＋y －1＝0的交点坐标是() A ．(－9，－10) B ．(－9,10)C ．(9,10)D ．(9，－10) 答案B解析解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＋8＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－9，y ＝10，故两条直线的交点坐标为(－9,10)．2．不论m 为何实数，直线l ：(m －1)x ＋(2m －3)y ＋m ＝0恒过定点() A ．(－3，－1) B ．(－2，－1) C ．(－3,1) D ．(－2,1) 答案C解析直线l 的方程可化为m (x ＋2y ＋1)－x －3y ＝0， 令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＋1＝0，－x －3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝1， ∴直线l 恒过定点(－3,1)．故选C.3．不论a 取何值时，直线(a －3)x ＋2ay ＋6＝0恒过第____象限． 答案四解析方程可化为a (x ＋2y )＋(－3x ＋6)＝0， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝0，－3x ＋6＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，∵(2，－1)在第四象限，故直线恒过第四象限．4．若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0和x ＋ky ＝0相交于一点，则k ＝________.答案－12解析解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，又该点(－1，－2)也在直线x ＋ky ＝0上，∴－1－2k ＝0，∴k ＝－12. 课时对点练1．两条直线l 1：2x －y －1＝0与l 2：x ＋3y －11＝0的交点坐标为()A ．(3,2)B ．(2,3)C ．(－2，－3)D ．(－3，－2)答案B解析解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －1＝0，x ＋3y －11＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.2．直线3x ＋my －1＝0与4x ＋3y －n ＝0的交点为(2，－1)，则m ＋n 的值为()A ．12B ．10C ．－8D ．－6答案B解析∵直线3x ＋my －1＝0与4x ＋3y －n ＝0的交点为(2，－1)．∴将点(2，－1)代入3x ＋my －1＝0得3×2＋m ×(－1)－1＝0，即m ＝5，将点(2，－1)代入4x ＋3y －n ＝0得4×2＋3×(－1)－n ＝0，即n ＝5，∴m ＋n ＝10.3．两条直线2x ＋3y －k ＝0和x －ky ＋12＝0的交点在y 轴上，那么k 的值是()A ．－24B ．6C ．±6D ．24答案C解析因为两条直线2x ＋3y －k ＝0和x －ky ＋12＝0的交点在y 轴上，所以设交点为(0，b )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3b －k ＝0，－kb ＋12＝0，消去b ，可得k ＝±6. 4．△ABC 的三个顶点分别为A (0,3)，B (3,3)，C (2,0)，如果直线x ＝a 将△ABC 分割成面积相等的两部分，那么实数a 的值等于() A.3B ．1＋22C ．1＋33D ．2－22答案A解析l AC ：x 2＋y 3＝1，即3x ＋2y －6＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y －6＝0，x ＝a ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a ，y ＝6－3a 2，因为S △ABC ＝92，所以12×a ×⎝⎛⎭⎪⎫3－6－3a 2＝94，得a ＝3或a ＝－3(舍去)． 5．过直线l 1：x －2y ＋4＝0与直线l 2：x ＋y ＋1＝0的交点，且过原点的直线方程为()A ．2x －y ＝0B ．2x ＋y ＝0C ．x －2y ＝0D ．x ＋2y ＝0答案D解析联立⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋4＝0，x ＋y ＋1＝0，解得两条直线l 1：x －2y ＋4＝0与直线l 2：x ＋y ＋1＝0的交点坐标为(－2,1)．所以过点P (－2,1)且过原点(0,0)的直线的斜率k ＝－12.所以所求直线方程为y －0＝－12(x －0)，即x ＋2y ＝0.6．若直线l ：y ＝kx －3与直线x ＋y －3＝0相交，且交点在第一象限，则直线l 的倾斜角θ的取值范围是()A ．{θ|0°<θ<60°}B ．{θ|30°<θ<60°}C ．{θ|30°<θ<90°}D ．{θ|60°<θ<90°}答案C解析由题意可知k ≠－1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －3，x ＋y －3＝0，解得x ＝3＋31＋k ，y ＝3k －31＋k ， ∴两直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3＋31＋k ，3k －31＋k . ∵两直线的交点在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋31＋k >0，3k －31＋k >0，解得k >33. 又直线l 的倾斜角为θ，则tan θ>33，∴30°<θ<90°.7．直线l 1：3x －y ＋12＝0和l 2：3x ＋2y －6＝0及y 轴所围成的三角形的面积为________． 答案9解析易知三角形的三个顶点坐标分别为(－2,6)，(0,12)，(0,3)，故所求三角形的面积为12×9×2＝9.8．已知直线ax ＋2y －1＝0与直线2x －5y ＋c ＝0垂直相交于点(1，m )，则m ＝______. 答案－2解析由两直线垂直得2a －10＝0，解得a ＝5.又点(1，m )在直线上，所以a ＋2m －1＝0，所以m ＝－2.9．求经过直线l 1：7x －8y －1＝0和l 2：2x ＋17y ＋9＝0的交点，且垂直于直线2x －y ＋7＝0的直线方程．解由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋17y ＋9＝0，7x －8y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1127，y ＝－1327，所以交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1127，－1327. 又因为所求直线斜率为k ＝－12，所以所求直线方程为y ＋1327＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1127， 即27x ＋54y ＋37＝0. 10．若两条直线l 1：y ＝kx ＋2k ＋1和l 2：x ＋2y －4＝0的交点在第四象限，求k 的取值范围．解联立两直线的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2k ＋1，x ＋2y －4＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－4k 2k ＋1，y ＝6k ＋12k ＋1， ∵该交点落在平面直角坐标系的第四象限， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2－4k 2k ＋1>0，6k ＋12k ＋1<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ －12<k <12，－12<k <－16，即－12<k <－16. 则k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－16.11．已知a ，b 满足2a ＋b ＝1，则直线ax ＋3y ＋b ＝0必过定点()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫16，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，16D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－13 答案D解析由2a ＋b ＝1，得b ＝1－2a ，代入直线方程ax ＋3y ＋b ＝0中，得ax ＋3y ＋1－2a ＝0，即a (x －2)＋3y ＋1＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝0，3y ＋1＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝2，y ＝－13，所以该直线必过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－13. 12．经过直线3x ＋2y ＋6＝0和2x ＋5y －7＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为____________．答案x ＋y ＋1＝0或3x ＋4y ＝0解析设直线方程为3x ＋2y ＋6＋λ(2x ＋5y －7)＝0，即(3＋2λ)x ＋(2＋5λ)y ＋6－7λ＝0.令x ＝0，得y ＝7λ－62＋5λ， 令y ＝0，得x ＝7λ－63＋2λ. 由7λ－62＋5λ＝7λ－63＋2λ， 得λ＝13或λ＝67. 所以直线方程为x ＋y ＋1＝0或3x ＋4y ＝0.13．若三条直线2x －y ＝0，x ＋y －6＝0，mx ＋ny ＋5＝0相交于同一点，则2m ＋4n ＝______. 答案 －5解析由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝0，x ＋y －6＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝4，所以三条直线交点坐标()2，4在直线mx ＋ny ＋5＝0上，2m ＋4n ＋5＝0，所以2m ＋4n ＝－5.14．已知A (－2,4)，B (4,2)，直线l ：ax －y －2＝0与线段AB 恒相交，则a 的取值范围为______________．答案(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析如图所示，直线l：ax－y－2＝0经过定点D(0，－2)，a表示直线l的斜率，设线段AB与y轴交于点C，由图形知，当直线l：ax－y－2＝0与线段AB的交点在线段CB上时，a大于或等于DB的斜率，即a≥2＋24－0＝1，即a≥1.当直线l：ax－y－2＝0与线段AB的交点在线段AC上时，a小于或等于DA的斜率，即a≤4＋2－2－0＝－3，即a≤－3.综上，a的取值范围为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．15．已知A(3,1)，B(－1,2)，若∠ACB的平分线方程为y＝x＋1，则AC所在直线方程为()A．y＝2x＋4B．y＝12x－3C．x－2y－1＝0D．3x＋y＋1＝0 答案C解析设B 关于直线y ＝x ＋1的对称点为B ′(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ y －2x ＋1＝－1，y ＋22＝x －12＋1， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x －y －1＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝0，即B ′(1,0)． 又B ′在直线AC 上，则直线AC 的方程为y －10－1＝x －31－3，即x －2y －1＝0.16.如图，已知在△ABC 中，A (－8,2)，AB 边上的中线CE 所在直线的方程为x ＋2y －5＝0，AC 边上的中线BD 所在直线的方程为2x －5y ＋8＝0，求直线BC 的方程．解设B (x 0，y 0)，则AB 的中点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－82，y 0＋22，由条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0－5y 0＋8＝0，x 0－82＋2(y 0＋2)2－5＝0. 得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0－5y 0＋8＝0，x 0＋2y 0－14＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝6，y 0＝4，即B (6,4)． 同理可求得C 点的坐标为(5,0)． 故所求直线BC 的方程为y －04－0＝x －56－5，即4x －y －20＝0.。
直线的交点坐标与距离公式
合．
预习导学
2．过定点的直线系方程 已知直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 与直线 l2：A2x＋B2y＋C2＝0 交于点 P(x0，y0)，则方程 A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)
过点P ＝0 表示__________ 的直线系，不包括直线 l2.
3．两点间的距离 平面上的两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式 x2－x12＋y2－y12 |P1P2|＝____________________________.
2 ∵直线过坐标原点，∴其斜率 k＝ ＝－1. －2 故直线方程为 y＝－x，即 x＋y＝0. 法二 ∵l2 不过原点，∴可设 l 的方程为 3x＋4y－2＋ λ(2x＋y＋2)＝0(λ∈R)，即(3＋2λ)x＋ (4＋λ)y＋2λ－2＝0.将 原点坐标(0,0)代入上式，得 λ＝1，∴直线 l 的方程为 5x＋ 5y＝0，即 x＋y＝0.
课堂讲义
跟踪演练3 已知：等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对 角线为 AC和BD. 求证：|AC|＝|BD|.
证明 如图所示， 建立直角坐标系， 设 A(0,0)， B(a,0)， C(b， c)，则点 D 的坐标是(a－b，c)． ∴|AC|＝ b－02＋c－02＝ b2＋c2， |BD|＝ a－b－a2＋c－02＝ b2＋c2. 故|AC|＝|BD|.
(1)解 设点 M 的坐标为(x，y)，因为点 M 为 BC 的中点， 3＋1 －3＋7 所以 x＝ ＝2， y＝ ＝2， 即点 M 的坐标为(2,2)． 由 2 2 两点间的距离公式得|AM|＝ －3－22＋1－22＝ 26，所 以 BC 边上的中线 AM 的长为 26.
课堂讲义
(2)证明 根据题意可得， |AB|＝ －3－32＋1＋32＝2 13， |BC|＝ 1－32＋7＋32＝2 26， |AC|＝ －3－12＋1－72＝2 13， 所以|AB|＝|AC|，且|AB|2＋|AC|2＝|BC|2， 所以△ABC 为等腰直角三角形．
两条直线的交点知识点高一
两条直线的交点知识点高一直线是高中数学学习中非常重要的概念之一，而两条直线的交点作为直线的特殊情况，也是我们要重点学习和掌握的知识点。
本文将详细介绍两条直线的交点相关的概念、性质和求解方法等内容。
一、直线的定义在平面几何中，直线是由无数个无限接近的点构成的，不具有宽度和长度的几何图形。
直线可以通过两个不同的点唯一确定，也可以用线段表示。
二、两条直线的位置关系两条直线的位置关系主要有三种情况：相交、平行和重合。
1. 相交：两条直线在平面内的某一点相交，交点称为直线的交点。
交点是两条直线共有的一个点。
2. 平行：两条直线在平面内不存在交点，但它们的方向相同或者重合。
平行的直线永远不会相交。
3. 重合：两条直线在平面内完全重合，每一个点都在两条直线上。
重合的直线无穷多个交点。
三、两条直线的交点求解方法求解两条直线的交点有多种方法，其中比较常用的方法有代数法和几何法。
1. 代数法代数法是通过方程组进行求解。
假设有两条直线的方程分别为L1：y=a1x+b1和L2：y=a2x+b2，其中a1、b1、a2、b2为已知常数。
将L1和L2的方程列成方程组，解方程组得到交点的坐标。
2. 几何法几何法是通过几何性质进行求解。
根据直线的特性，通过画图、作图等方式求得两条直线的交点坐标。
四、两条直线的交点性质1. 交点的存在性：如果两条直线不平行，则一定存在交点；如果两条直线平行，则不存在交点；如果两条直线重合，则存在无穷多个交点。
2. 交点的唯一性：如果两条直线相交，则交点是唯一的。
3. 交点的坐标关系：假设两条直线L1和L2的方程式分别为y=a1x+b1和y=a2x+b2，交点的坐标为（x，y），则有y=a1x+b1=y=a2x+b2，即a1x+b1=a2x+b2，解得x=(b2-b1)/(a1-a2)，将x的值代入任一直线方程式求得y的值，即可得到交点的坐标。
五、例题解析考虑以下例题：已知直线L1：y=2x+1和直线L2：y=-0.5x+4，求两条直线的交点坐标。
安徽省宿松中学2016-2017学年高一数学人教A版必修2教案：3.3.1两条直线的交点坐标
两条直线的交点坐标课题改正与创新（1 课时）1.掌握两直线方程联立方程组解的状况与两直线不一样地点的对峙关系，并且会经过直线方程系数判断解的状况，培育学生建立辩证一致的看法.2.当两条直线订交时，会求交点坐标. 培育学生思想的谨慎性，注意学生教课语言表述能力的训练.目标 3. 学生经过一般形式的直线方程解的议论，加深对分析法的理解，培育转化能力 .4.以“特别”到“一般”，培育学生探究事物实质属性的精神，以及运动变化的互相联系的看法 .教课教课要点 : 依据直线的方程判断两直线的地点关系和已知两订交直线求交重、点 .难点教课难点 : 对方程组系数的分类议论与两直线地点关系对应状况的理解.教课多媒体课件准备导入新课作出直角坐标系中两条直线，挪动此中一条直线，让学生察看这两条直线的地点关系 .讲堂设问：由直线方程的看法，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那假如两直线订交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关教课过系？你能求出它们的交点坐标吗？谈谈你的见解.程提出问题①已知两直线 l :A x+B y+C =0,l :A x+B y+C =0, 如何判断这两条直线的关1 1 1 12 2 2 2系？②假如两条直线订交，如何求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？③解以下方程组( 由学生达成 ) ：3x 4 y 2 0, 2x 6 y 3 0,( ⅱ) 1 1 ; ( ⅰ)y 2;2 x 0 y x232x6 y 0,( ⅲ)1 1.yx23如何依据两直线的方程系数之间的关系来判断两直线的地点关系？ ④当 λ 变化时，方程 3x+4y-2+ λ(2x+y+2)=0 表示什么图形，图形有什么特色？求出图形的交点坐标 .议论结果： ①教师指引学生先从点与直线的地点关系下手，看下表，并填空 .几何元素及关系代数表示点AA(a ， b)直线ll ：Ax+By+C=0点 A 在直线上直线 l 1 与 l 2 的交点 A②学生进行分组议论，教师指引学生概括出两直线能否订交与其方程所组成的方程组的关系 .设两条直线的方程是 l 1:A x+B y+C =0,l :A x+B y+C =0,1112222假如这两条直线订交, 因为交点同时在这两条直线上, 交点的坐标必定是这两个方程的独一公共解 , 那么以这个解为坐标的点必是直线l 1 和 l 2 的交点 , 所以 , 两条直线能否有交点, 就要看这两条直线方程所构成的方程组A 1 xB 1 yC 10,能否有独一解 .A 2 xB 2 yC 2 0( ⅰ) 若二元一次方程组有独一解，则 l 1 与 l 2 订交 ;( ⅱ) 若二元一次方程组无解，则l 1 与 l 2 平行 ;( ⅲ) 若二元一次方程组有无数解，则l 1 与 l 2 重合 . 即独一解l 1、l 订交,转变2直线 l、 l 联立得方程组 无量多解l 1、l 2重合 ,1 2无解l 1、l 平行.2( 代数问题 ) ( 几何问题 )③指引学生察看三组方程对应系数比的特色：(ⅰ)3≠4;( ⅱ)263;( ⅲ)2 6≠1.2 1 1 1 1 1 1 13 2 3 2一般地，关于直线l 1:A 1x+B1y+C1=0， l 2:A 2x+B2y+C2=0(A 1B1C1≠0,A 2B2C2≠0), 有独一解A1 B1l1 l2订交 , A2 B2方程组A1 x B1 y C1 0 A1 B1 C1l1 l2重合 ,. A2 x B2 y C2无量多解A2 B2 C2无解A1 B1 C1l1 l2平行 .A2 B2 C2注意： (a) 此关系不要修业生作详尽的推导, 因为过程比较繁琐，重在应用 .(b)假如 A1 ,A 2,B 1,B 2,C 1,C 2中有等于零的状况，方程比较简单，两条直线的地点关系很简单确立 .④(a) 能够用信息技术，当λ 取不一样值时，经过各样图形，经过察看，让学生从直观上得出结论，同时发现这些直线的共同特色是经过同一点.(b) 找出或猜想这个点的坐标，代入方程，得出结论.(c) 结论：方程表示经过这两条直线l 1与 l 2的交点的直线的会合.应用示例例 1求以下两直线的交点坐标,l 1： 3x+4y-2=0,l2：2x+y+2=0.3x y 2 0, 解 : 解方程组y 2 得 x=-2 ， y=2，所以 l 1与 l 2的交点坐标为2x 0,M(-2 ， 2).变式训练求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程 .l 1:x-2y+2=0,l 2:2x-y-2=0.解 : 解方程组 x-2y+2=0,2x-y-2=0, 得 x=2,y=2, 所以 l 1与 l 2的交点是 (2,2).设经过原点的直线方程为y=kx, 把点 (2,2) 的坐标代入以上方程, 得 k=1, 所以所求直线方程为 y=x.评论 : 本题为求直线交点与求直线方程的综合运用, 求解直线方程也可应用两点式 .例 2判断以下各对直线的地点关系. 假如订交，求出交点坐标 .(1)l ： x-y=0 ， l ： 3x+3y-10=0.12(2)l 1： 3x-y+4=0 ， l 2： 6x-2y-1=0.(3)l 1： 3x+4y-5=0 ，l 2： 6x+8y-10=0.活动： 教师让学生自己着手解方程组，看解题能否规范，条理能否清楚，表达能否简短，而后再进行讲评.x y 0,x 5 ,解: (1)得 3 解方程组3y 10 0, 53xy.3所以 l 1 与 l 2 订交 , 交点是 (5, 5).333x y 4 0,(1) (2) 解方程组6x 2 y 10,(2)①×2- ②得 9=0, 矛盾 ,方程组无解 , 所以两直线无公共点 ,l 1∥l 2.3x 4 y 5 0,(1) (3) 解方程组8 y 100,(2)6 x①×2 得 6x+8y-10=0.所以 , ①和②能够化成同一个方程, 即①和②表示同一条直线 ,l 1 与 l 2 重合 .变式训练判断以下各对直线的地点关系，若订交，则求交点.(1)l 1:7x+2y-1=0,l 2:14x+4y-2=0.(2)l 1:(3 - 2 )x+y=7,l 2:x+(3 + 2 )y-6=0.(3)l 1:3x+5y-1=0,l 2:4x+3y=5.答案： (1) 重合， (2) 平行， (3) 订交，交点坐标为 (2 ，－ 1).例 3 求过点 A(1 ，－ 4) 且与直线 2x ＋ 3y ＋ 5=0 平行的直线方程 . 解法一： ∵直线 2x ＋ 3y ＋ 5=0 的斜率为 - 2，∴所求直线斜率为- 2.又直3 3线过点 A(1 ，－ 4) ，由直线方程的点斜式易得所求直线方程为2x ＋ 3y ＋10=0.解法二： 设与直线 2x ＋ 3y ＋ 5=0 平行的直线 l 的方程为 2x ＋ 3y ＋m=0，∵l 经过点 A(1 ，－ 4),∴2×1＋3×( － 4) ＋ m=0.解之 , 得 m=10.∴所求直线方程为 2x ＋ 3y ＋ 10=0.评论： 解法一求直线方程的方法是通法，须掌握. 解法二是经常采纳的解题技巧 . 一般地，直线 Ax ＋ By ＋ C=0 中系数 A 、 B 确立直线的斜率 . 所以， 与直线 Ax ＋By ＋ C=0 平行的直线方程可设为Ax ＋ By ＋m=0，此中 m 待定 .经过点 A(x ，y ) ，且与直线 Ax ＋ By ＋ C=0平行的直线方程为 A(x － x ) ＋B(y－ y 0)=0. 变式训练求与直线 2x ＋3y ＋ 5=0 平行，且在两坐标轴上截距之和为5的直线方6程 .答案： 2x+3y-1=0. 知能训练课本本节练习 1、2. 拓展提高问题： 已知 a 为实数， 两直线 l 1:ax+y+1=0,l 2:x+y-a=0 订交于一点， 求证 :交点不行能在第一象限及x 轴上 .剖析： 先经过联立方程组将交点坐标解出， 再判绝交点横、 纵坐标的范围 .ax y 1 0, xa 1 , 21＞ 0，则 a ＞ 1.解 : 解方程组, 得a 1 . 若 ax y a 0a 2a1y1.a1当 a ＞ 1 时，－a 1＜ 0，此时交点在第二象限内 .a 122a1又因为 a 为随意实数时，都有a +1≥1＞ 0，故≠0.因为 a ≠1( 不然两直线平行，无交点 ) ，所以交点不行能在x 轴上，交点 ( －a1 , a 21) 不在 x 轴上 .a 1 a 1讲堂小结本节课经过议论两直线方程联立方程组来研究两直线的地点关系，得出了方程系数比的关系与直线地点关系的联系. 培育了同学们的数形联合思想、分类议论思想和转变思想 . 经过本节学习，要修业生掌握两直线方程联立方程组解的状况与两直线不一样地点的对峙关系，而且会经过直线方程系数判断解的状况，培育学生建立辩证一致的看法 . 当两条直线订交时，会求交点坐标 . 注意语言表述能力的训练 . 经过一般形式的直线方程解的议论，加深对分析法的理解，培育转变能力. 以“特别”到“一般”，培养探究事物实质属性的精神，以及运动变化的互相联系的看法.作业课本习题 3.3 A 组 1、 2、3, 选做 4 题 .板书设计教课反思。
2. 1.4 两条直线的交点课件(北师大版必修二)
得l1，l2的交点坐标为
－4m 4 ( ， )． 4－m 4－m －4m 8 代入l3的方程得 －3m· －4＝0. 4－m 4－m 2 解得m＝－1或m＝3， 2 ∴当m＝－1或m＝3时，l1，l2，l3交于一点．
(2)若l1与l2不相交，则m＝4，若l1与l3不相交，则m＝ 1 －6，若l2与l3不相交，则m∈∅. 2 1 综上知：当m＝－1或m＝ 3 或m＝4或m＝－ 6 时，三条 直线不能构成三角形，即构成三角形的条件是m∈(－∞， 1 1 2 2 －1)∪(－1，－6)∪(－6，3)∪(3，4)∪(4，＋∞)．
[一点通]
解答本题充分利用了直线相交与联立
直线方程所得方程组之间的关系，以及直线上的点的坐 标与直线的方程之间的关系，掌握并理解这些关系是解 此类问题的基础．
பைடு நூலகம்
1．直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点的坐
标 为 ( ) A．(－ 4 3，－ x＋23) y＋6＝0， x＝－4， 解析：由 得 B．(4,3) 2x＋5y－7＝0， y＝3. C．(－4,3) 故两直线的交点坐标为 (－4,3)．
法二：设直线l与直线4x＋y＋6＝0的交点为P(x0，－4x0－6)． 该点P关于(0,0)的对称点是(－x0,4x0＋6)． 根据题意知，该对称点在直线3x－5y－6＝0上， ∴－3x0－5(4x0＋6)－6＝0，
36 解得x0＝－23. 36 6 ∴P点坐标为(－23，23)． 6 23 ∴直线l的方程为y＝ 36x，即x＋6y＝0. －23
4．过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且在y轴
上截距为8的直线的方程是
( )
A．2x＋y－8＝0
2019高中数学第三章两条直线的交点坐标、两点间的距离讲义(含解析)
第1课时两条直线的交点坐标、两点间的距离[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P102～P106，回答下列问题：(1)直线上的点与其方程Ax＋By＋C＝0的解有什么样的关系？提示：直线l上每一个点的坐标都满足直线方程，也就是说直线上的点的坐标是其方程的解．反之直线l的方程的每一个解都表示直线上的点的坐标．(2)由两直线方程组成的方程组解的情况与两条直线的位置关系有何对应关系？提示：①若方程组无解，则l1∥l2；②若方程组有且只有一个解，则l1与l2相交；③若方程组有无数解，则l1与l2重合．(3)已知平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如何求P1，P2的距离|P1P2|?提示：①当x1≠x2，y1＝y2时，|P1P2|＝|x2－x1|；②当x1＝x2，y1≠y2时，|P1P2|＝|y2－y1|；③当x1≠x2，y1≠y2时，|P1P2|＝x2－x 12＋y2－y 12.2．归纳总结，核心必记(1)两条直线的交点坐标①求法：两个直线方程联立组成方程组，此方程组的解就是这两条直线的交点坐标，因此解方程组即可．②应用：可以利用两条直线的交点个数判断两条直线的位置关系．一般地，直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系如表所示：的解(2)|P1P2|＝x2－x12＋y2－y12[问题思考]两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式是否可以写成|P1P2|＝x1－x22＋y1－y22的形式？提示：可以，原因是x2－x12＋y2－y12＝x1－x22＋y1－y22，也就是说公式中P1，P2两点的位置没有先后之分．[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点．(1)如何求两条直线的交点坐标，怎样判断两条直线的位置关系？；(2)两点间的距离公式是什么？怎样应用？.观察图形，思考下列问题：[思考1] 在方程组中，每一个方程都可表示为一直线，那么方程组的解说明什么？提示：两直线的公共部分，即交点．[思考2] 如何求上述两直线的交点坐标？提示：将两直线方程联立，求方程组的解即可．[思考3] 两条直线相交的条件是什么？ 名师指津：两直线相交的条件：(1)将两直线方程联立，解方程组，依据解的个数判断两直线是否相交．当方程组只有一解时，两直线相交．(2)设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2相交的条件是A 1B 2－A 2B 1≠0或A 1A 2≠B 1B 2(A 2，B 2≠0)．(3)若两直线斜率都存在，设两条直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则l 1与l 2相交⇔k 1≠k 2.讲一讲1．求经过两直线l 1：3x ＋4y －2＝0和l 2：2x ＋y ＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l 的方程．(链接教材P 103－例2)[尝试解答] 法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，即l 1与l 2的交点坐标为(－2,2)．∵直线过坐标原点，∴其斜率k ＝2－2＝－1. 故直线l 的方程为y ＝－x ，即x ＋y ＝0. 法二：∵l 2不过原点，∴可设l 的方程为3x ＋4y －2＋λ(2x ＋y ＋2)＝0(λ∈R )，即(3＋2λ)x ＋(4＋λ)y ＋2λ－2＝0.将原点坐标(0,0)代入上式，得λ＝1， ∴直线l 的方程为5x ＋5y ＝0，即x ＋y ＝0.(1)两条直线相交的判定方法方法一：联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交． 方法二：两直线斜率都存在且斜率不等． 方法三：两直线的斜率一个存在，另一个不存在． (2)过两条直线交点的直线方程的求法①常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．②特殊解法(直线系法)：先设出过两直线交点的直线方程，再结合条件利用待定系数法求出参数，最后确定直线方程．练一练1．判断下列各对直线的位置关系．若相交，求出交点坐标： (1)l 1：2x ＋y ＋3＝0，l 2：x －2y －1＝0； (2)l 1：x ＋y ＋2＝0，l 2：2x ＋2y ＋3＝0.解：(1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋3＝0，x －2y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，所以直线l 1与l 2相交，交点坐标为(－1，－1)．(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2＝0， ①2x ＋2y ＋3＝0， ②①×2－②，得1＝0，矛盾，方程组无解．所以直线l 1与l 2无公共点，即l 1∥l 2. 2．(2016·潍坊高一检测)求经过直线l 1：x ＋3y －3＝0，l 2：x －y ＋1＝0的交点且平行于直线2x ＋y －3＝0的直线方程．解：法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，∴直线l 1与l 2的交点坐标为(0,1)，再设平行于直线2x ＋y －3＝0的直线方程为2x ＋y ＋c ＝0，把(0,1)代入所求的直线方程，得c ＝－1，故所求的直线方程为2x ＋y －1＝0. 法二：设过直线l 1、l 2交点的直线方程为x ＋3y －3＋λ(x －y ＋1)＝0(λ∈R )， 即(λ＋1)x ＋(3－λ)y ＋λ－3＝0， 由题意可知，λ＋1λ－3＝－2，解得λ＝53，所以所求直线方程为83x ＋43y －43＝0，即2x ＋y －1＝0.观察下面图形：图1图2[思考1] 如何求图1中A 、B 两点间的距离？ 提示：|AB |＝|x A －x B |.[思考2] 图2中能否用数轴上两点A ，B 间距离求出任意两点间距离？ 提示：可以，构造直角三角形利用勾股定理求解． [思考3] 怎样理解两点间的距离公式？ 名师指津：对两点间距离公式的理解：(1)公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可以写成|P 1P 2|＝x 1－x 22＋y 1－y 22，利用此公式可以将几何问题代数化．(2)当直线P 1P 2平行于坐标轴时距离公式仍然可以使用，但一般我们用下列方法：①直线P 1P 2平行于x 轴时|P 1P 2|＝|x 2－x 1|；②直线P 1P 2平行于y 轴时|P 1P 2|＝|y 2－y 1|.讲一讲2．已知△ABC 三顶点坐标A (－3,1)、B (3，－3)、C (1,7)，试判断△ABC 的形状． [尝试解答] 法一：∵|AB |＝＋2＋－3－2＝213，|AC |＝＋2＋－2＝213，又|BC |＝－2＋＋2＝226，∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2，且|AB |＝|AC |， ∴△ABC 是等腰直角三角形．法二：∵k AC ＝7－11－－＝32，k AB ＝－3－13－－＝－23， 则k AC ·k AB ＝－1，∴AC ⊥AB . 又|AC |＝＋2＋－2＝213， |AB |＝＋2＋－3－2＝213，∴|AC |＝|AB |，∴△ABC 是等腰直角三角形．1．计算两点间距离的方法(1)对于任意两点P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)，则|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解． 2．解答本题还要注意构成三角形的条件． 练一练3．保持讲2条件不变，求BC 边上的中线AM 的长．解：设点M 的坐标为(x ，y )，因为点M 为BC 的中点，所以x ＝3＋12＝2，y ＝－3＋72＝2，即点M 的坐标为(2,2)．由两点间的距离公式得|AM |＝－3－2＋－2＝26，所以BC 边上的中线AM 的长为26.讲一讲3．如图，一束光线从原点O (0,0)出发，经过直线l ：8x ＋6y ＝25反射后通过点P (－4,3)，求反射光线的方程及光线从O 点到达P 点所走过的路程．[思路点拨] 先求出原点关于l 的对称点，然后利用反射光线的反向延长线过对称点可求方程．[尝试解答] 设原点关于l 的对称点A 的坐标为(a ，b )，由直线OA 与l 垂直和线段AO 的中点在l 上得⎩⎪⎨⎪⎧b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝－1，8×a 2＋6×b 2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3，∴A 的坐标为(4,3)．∵反射光线的反向延长线过A (4,3)， 又由反射光线过P (－4,3)，两点纵坐标相等． 故反射光线所在直线方程为y ＝3.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，8x ＋6y ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝78，y ＝3，由于反射光线为射线，故反射光线的方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≤78. 由光的性质可知，光线从O 到P 的路程即为AP 的长度|AP |，由A (4,3)，P (－4,3)知，|AP |＝4－(－4)＝8， ∴光线从O 经直线l 反射后到达P 点所走过的路程为8.光线的入射、反射的问题以及在某定直线取点，使它与两定点距离之和最小这类问题均属于点关于直线对称的问题．(1)点A (x 0，y 0)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的对称点M (x ，y )，可由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0x －x 0·⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－AB ≠0，A ·x ＋x2＋B ·y ＋y2＋C ＝0求得．(2)常用对称的特例有：①A (a ，b )关于x 轴的对称点为A ′(a ，－b )； ②B (a ，b )关于y 轴的对称点为B ′(－a ，b )； ③C (a ，b )关于直线y ＝x 的对称点为C ′(b ，a )； ④D (a ，b )关于直线y ＝－x 的对称点为D ′(－b ，－a )； ⑤P (a ，b )关于直线x ＝m 的对称点为P ′(2m －a ，b )；⑥Q (a ，b )关于直线y ＝n 的对称点为Q ′(a,2n －b )． 练一练3．求点A (2,2)关于直线2x －4y ＋9＝0的对称点坐标．解：设B (a ，b )是A (2,2)关于直线2x －4y ＋9＝0的对称点，则有AB 与已知直线垂直，且线段AB 的中点在已知直线上．∴⎩⎪⎨⎪⎧12·b －2a －2＝－1，2·a ＋22－4·b ＋22＋9＝0.解得a ＝1，b ＝4.∴所求对称点坐标为(1,4)．—————————[课堂归纳·感悟提升]————————————1．本节课的重点是了解方程组的解的个数与两直线平行、相交或重合的对应关系，会用解方程组的方法求两条相交直线交点的坐标，掌握两点间距离公式并能灵活应用．难点是了解方程组的解的个数与两直线平行、相交或重合的对应关系．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)掌握两条直线相交的判定方法，掌握过两条直线交点的直线方程的求法，见讲1. (2)计算两点间距离的方法，见讲2. (3)点关于直线对称问题的解决方法，见讲3.3．本节课的易错点是点关于直线对称问题及求两直线交点坐标计算错误，如讲1,3.课下能力提升(二十) [学业水平达标练]题组1 两条直线交点的坐标1．下列各直线中，与直线2x －y －3＝0相交的是( ) A ．2ax －ay ＋6＝0(a ≠0) B ．y ＝2x C ．2x －y ＋5＝0 D ．2x ＋y －3＝0解析：选D 直线2x －y －3＝0的斜率为2，D 选项中的直线的斜率为－2，故D 选项正确．2．(2016·佛山高一检测)若两直线l 1：x ＋my ＋12＝0与l 2：2x ＋3y ＋m ＝0的交点在y 轴上，则m 的值为( )A ．6B ．－24C ．±6D ．以上都不对解析：选C 分别令x ＝0，求得两直线与y 轴的交点分别为：－12m 和－m 3，由题意得－12m ＝－m3，解得m ＝±6.3．经过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0的直线的方程是( )A ．2x ＋y －8＝0B ．2x －y －8＝0C ．2x ＋y ＋8＝0D ．2x －y ＋8＝0解析：选A 首先解得交点坐标为(1,6)，再根据垂直关系得斜率为－2，可得方程y －6＝－2(x －1)，即2x ＋y －8＝0.4．分别求经过两条直线2x ＋y －3＝0和x －y ＝0的交点，且符合下列条件的直线方程． (1)平行于直线l 1：4x －2y －7＝0； (2)垂直于直线l 2：3x －2y ＋4＝0.解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －3＝0，x －y ＝0，得交点P (1,1)．(1)若直线与l 1平行， ∵k 1＝2，∴斜率k ＝2，∴所求直线方程为y －1＝2(x －1)， 即： 2x －y －1＝0.(2)若直线与l 2垂直，∵k 2＝32，∴斜率k ＝－1k 2＝－23，∴所求直线方程为y －1＝－23(x －1)，即： 2x ＋3y －5＝0.题组2 两点间的距离公式5．已知A (－1,0)，B (5,6)，C (3,4)，则|AC ||CB |的值为( )A.13B.12 C ．3 D ．2解析：选D 由两点间的距离公式，得|AC |＝[3－－2＋－2＝42，|CB |＝－2＋－2＝22，故|AC ||CB |＝4222＝2.6．已知△ABC 的顶点A (2,3)，B (－1,0)，C (2,0)，则△ABC 的周长是( ) A ．2 3 B ．3＋2 3 C ．6＋3 2 D ．6＋10 解析：选C |AB |＝＋2＋32＝32，|BC |＝＋12＋0＝3，|AC |＝－2＋32＝3，则△ABC 的周长为6＋3 2.7．设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P (2，－1)，则|AB |等于________． 解析：设A (x,0)，B (0，y )，∵AB 中点P (2，－1)，∴x 2＝2，y2＝－1，∴x ＝4，y ＝－2，即A (4,0)，B (0，－2)，∴|AB |＝42＋22＝2 5. 答案：2 58．求证：等腰梯形的对角线相等．证明：已知：等腰梯形ABCD .求证： AC ＝BD .证明：以AB 所在直线为x 轴，以AB 的中点为坐标原点建立如图平面直角坐标系． 设A (－a,0)、D (b ，c )，由等腰梯形的性质知B (a,0)，C (－b ，c )． 则|AC |＝－b ＋a2＋c －2＝a －b2＋c 2，|BD |＝b －a2＋c －2＝a －b 2＋c 2，∴|AC |＝|BD |.即等腰梯形的对角线相等． 题组3 对称问题9．与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线的方程为( ) A ．3x ＋4y －5＝0 B ．3x ＋4y ＋5＝0 C ．3x －4y ＋5＝0 D ．3x －4y －5＝0解析：选B 令x ＝0，解得y ＝54；令y ＝0，解得x ＝－53，故⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54和⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，0是直线3x －4y ＋5＝0上两点，点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54关于x 轴的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－54，过两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－54的直线即为所求，由两点式或截距式可得3x ＋4y ＋5＝0.10．已知直线l ：x ＋2y －2＝0，试求：(1)点P (－2，－1)关于直线l 的对称点坐标；(2)直线l 关于点A (1,1)对称的直线方程．解：(1)设点P 关于直线l 的对称点为P ′(x 0，y 0)，则线段PP ′的中点在直线l 上，且PP ′⊥l .所以⎩⎪⎨⎪⎧ y 0＋1x 0＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，x 0－22＋2×y 0－12－2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝25，y 0＝195.即p ′点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫25，195. (2)设直线l 关于点A (1,1)的对称直线为l ′，则直线l 上任一点P 2(x 1，y 1)关于点A 的对称点P 2′(x ，y )一定在直线l ′上，反之也成立．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋x 12＝1，y ＋y 12＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝2－x ，y 1＝2－y .将(x 1，y 1)代入直线l 的方程得，x ＋2y －4＝0，即直线l ′的方程为x ＋2y －4＝0.[能力提升综合练]1．已知直线mx ＋4y －2＝0与2x －5y ＋n ＝0互相垂直，垂足为(1，p )，则m －n ＋p 为( )A ．24B ．20C ．0D ．－4解析：选B ∵两直线互相垂直，∴k 1·k 2＝－1，∴－m 4·25＝－1，∴m ＝10.又∵垂足为(1，p )，∴代入直线10x ＋4y －2＝0得p ＝－2，将(1，－2)代入直线2x －5y ＋n ＝0得n ＝－12，∴m －n ＋p ＝20.2．两直线3ax －y －2＝0和(2a －1)x ＋5ay －1＝0分别过定点A ，B ，则|AB |的值为( ) A.895 B.175 C.135 D.115解析：选C 直线3ax －y －2＝0过定点A (0，－2)，直线(2a －1)x ＋5ay －1＝0，过定点B ⎝⎛⎭⎪⎫－1，25，由两点间的距离公式，得|AB |＝135. 3．(2016·阜阳高一检测)已知点M (0，－1)，点N 在直线x －y ＋1＝0上，若直线MN 垂直于直线x ＋2y －3＝0，则N 点的坐标是( )A ．(2,3)B ．(－2，－1)C ．(－4，－3)D ．(0,1)解析：选A 由题意知，直线MN 过点M (0，－1)且与直线x ＋2y －3＝0垂直，其方程为2x －y －1＝0.直线MN 与直线x －y ＋1＝0的交点为N ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －1＝0，x －y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝3，即N 点坐标为(2,3)．4．已知一个矩形的两边所在的直线方程分别为(m ＋1)x ＋y －2＝0和4m 2x ＋(m ＋1)y －4＝0，则m 的值为________．解析：由题意，可知两直线平行或垂直，则m ＋14m 2＝1m ＋1≠－2－4或(m ＋1)·4m 2＋1·(m ＋1)＝0，解得m ＝－13或－1. 答案：－13或－1 5．若直线l: y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角α的取值范围是________．解析：如图，直线2x ＋3y －6＝0过点A (3,0)，B (0,2)，直线l: y ＝kx －3必过点(0，－3)．当直线l 过A 点时，两直线的交点在x 轴上；当直线l 绕C 点逆时针(由位置AC 到位置BC )旋转时，交点在第一象限．根据k AC ＝－3－00－3＝33，得到直线l 的斜率k ＞33.∴倾斜角α的范围为30°<α<90°.答案：30°＜α＜90°6．直线l 过定点P (0,1)，且与直线l 1：x －3y ＋10＝0，l 2：2x ＋y －8＝0分别交于A 、B 两点．若线段AB 的中点为P ，求直线l 的方程．解：法一：设A (x 0，y 0)，由中点公式，有B (－x 0,2－y 0)，∵A 在l 1上，B 在l 2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－3y 0＋10＝0，－2x 0＋－y 0－8＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－4，y 0＝2，∴k AP ＝1－20＋4＝－14， 故所求直线l 的方程为： y ＝－14x ＋1，即x ＋4y －4＝0. 法二：设所求直线l 方程为：y ＝kx ＋1，l 与l 1、l 2分别交于A 、B .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1，x －3y ＋10＝0⇒A ⎝ ⎛⎭⎪⎫73k －1，10k －13k －1， 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1，2x ＋y －8＝0⇒B ⎝ ⎛⎭⎪⎫7k ＋2，8k ＋2k ＋2. ∵A 、B 的中点为P (0,1)，则有：12⎝ ⎛⎭⎪⎫73k －1＋7k ＋2＝0，∴k ＝－14. 故所求直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.法三：设所求直线l 与l 1、l 2分别交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，P (0,1)为AB 的中点，则有：⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝0，y 1＋y 2＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝－x 1，y 2＝2－y 1.代入l 2的方程，得： 2(－x 1)＋2－y 1－8＝0即2x 1＋y 1＋6＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 1－3y 1＋10＝0，2x 1＋y 1＋6＝0⇒A (－4,2)．由两点式：所求直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.法四：同法一，设A (x 0，y 0)，⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－3y 0＋10＝0，2x 0＋y 0＋6＝0，两式相减得x 0＋4y 0－4＝0，(1)观察直线x ＋4y －4＝0，一方面由(1)知A (x 0，y 0)在该直线上；另一方面，P (0,1)也在该直线上，从而直线x ＋4y －4＝0过点P 、A .根据两点决定一条直线知，所求直线l 的方程为： x ＋4y －4＝0.7．求函数y ＝x 2－8x ＋20＋x 2＋1的最小值．解：原式可化为y ＝x －2＋－2 ＋x －2＋－2.考虑两点间的距离公式，如图所示，令A(4,2)，B(0,1)，P(x,0)，则上述问题可转化为：在x轴上求一点P(x,0)，使得|PA|＋|PB|最小．作点A(4,2)关于x轴的对称点A′(4，－2)，由图可直观得出|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，故|PA|＋|PB|的最小值为|A′B|的长度．由两点间的距离公式可得|A′B|＝－2＋－2－12＝5，所以函数y＝x2－8x＋20＋x2＋1的最小值为5.。