重庆南开中学高2006级2005-2006学年度2月月考理

重庆南开中学高2006级2005-2006学年度2月月考数学试题（理 科） 第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数x x x f cos sin )(=是Ａ．周期为π的奇函数 Ｂ．周期为π的偶函数 Ｃ．周期为π2的奇函数 Ｄ．周期为π2的偶函数 2．函数xx f a log 1)(=（常数1>a ）的大致图像是Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．3．如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是CC 1、C 1D 1的中点，则异面直线EF 与BD 所 成的角的大小为Ａ．75° Ｂ．60° Ｃ．45° Ｄ．30° 4．下列命题中正确的是Ａ．底面是矩形的平行六面体是长方体 ； Ｂ．棱长都相等的直四棱柱是正方体；Ｃ．侧棱垂直于底面两条边的平行六面体是直平行六面体； Ｄ．对角线相等的平行六面体是直平行六面体；5．两个正数b a ,的等差中项是5，等比中项是4，且b a >，则椭圆122=+by a x 的离 心率e 等于 Ａ．25 Ｂ．21Ｃ．23 Ｄ．22A6．函数sin(2)3y x π=-的图像按向量(,3)6a π=-平移后的图像的一个中心对称点为Ａ．)0,3(πＢ．)3,3(π Ｃ．)0,2(π Ｄ．)3,2(π7．设地球的半径为R ，已知赤道上两地A 、B 间的球面距离为2R π，若北半球的C 地与A 、B 两地的球面距离均为3R π，则C 地的纬度为Ａ．北纬45° Ｂ．北纬60° Ｃ．北纬30° Ｄ．北纬75°8．有下列四个命题：①“直线b a ⊥”的充分不必要条件是“a 垂直于b 在平面α内的射影”．②“OM ∥11M O 且ON ∥11N O ”是“111N O M MON ∠=∠”的必要不充分条件． ③“直线⊥l 平面α”的充要条件是“直线⊥l 平面α内的无数条直线”．④“平面α的斜线段AC AB ,在α的射影''B A 与''C A 相等”是“AC AB =”的充要条件． 其中正确命题的个数是Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．0 9．已知为O 原点，点),(y x P 在单位圆122=+y x上，点)sin 2,cos 2(θθQ 满足)32,34(-=PQ ，则=⋅OＡ．1825 Ｂ． 2516 Ｃ．165 Ｄ．3625 10．已知平面α∥平面β，直线α⊂l ，且l P ∈，平面α、平面β间的距离为5，则在β内到点P 的距离为13且到直线l 的距离为25的点的轨迹是Ａ．四个点 Ｂ．两条直线 Ｃ．双曲线的一支 Ｄ．一个圆第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填写在答题卡相应位置上．11．若球的体积是π29，则其表面积为12．点)3,(a P 到直线0134=+-y x 的距离等于4，且在不等式032<-+y x 表示的平面区域内，则点P 的坐标是___________13．等比数列{}n a 中，364=+a a ，则=++7525532a a a a a14．若45<<-λ，则圆锥曲线14522=-++λλx y 的焦点坐标为 15．若二面角βα--l 的平面角大小为32π，直线m ⊥α，则平面β内的直线与m 所成角的取值范围是16．ABCD-A 1B 1C 1D 1是单位正方体，黑、白两只蚂蚁从点A 出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”．白蚂蚁爬行的路线是AA 1→A 1D 1→…，黑蚂蚁爬行的路线是AB →BB 1→…，它们都遵循如下规律：所爬行的第2+i 段与第i 段所在直线必须是异面直 线（其中i 是自然数）．设黑、白蚂蚁都爬完2006段后各自停止在正方体的某个顶点处， 此时黑、白蚂蚁的距离是三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）如图，正三棱柱111C B A ABC -中点E 、 F 分别是1AB 和AB 的中点， （1）求证：1BB ∥平面EFM ；（2）若FM ⊥BC 于点M ，求证：ME ⊥BC ．18．（12分）0>a 且1≠a 时，解关于x 的不等式)1(2log 11log +>-+x xxa a．19．（13分）海岛上有一座海拔1000米的山，山顶上设有一个灯塔A ，上午11时，灯塔A 处的值班员测得一匀 速行驶的轮船在岛北偏东60°的C 处，由A 观察C 的俯角为30°，11时10分又测得该船在岛北偏西60°的B 处，由A 观察B 的俯角为60°． （1）求该船的速度 (单位：千米／小时) ；（2）轮船在沿航线CB 航行中，船上的瞭望员随时观测灯塔发出的导航信号，试问瞭望员在整个观测过程中，观测仰角最大是多少？C1ACDP20．（13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，90BAD ∠=，//AD BC ，1AB BC ==，3=AD ，PD 与底面ABCD 成30角．（1）求点A 到平面PBC 的距离；（2）求二面角A PC B --的平面角的大小；21．（13分）已知△OFQ 的面积为62，且m O =⋅，）设6424<<m ，求向量OF 与夹角θ的取值范围；）设以O 为中心，F 为焦点的双曲线经过点Q （如图），若c OF =||，2)146(c m -=，当||取最小值时，求此 双曲线的方程．22．（13分）设函数)(x f y =定义域为R ，当0<x 时，1)(>x f ，且对于任意的R y x ∈,，有)()()(y f x f y x f ⋅=+成立．数列}{n a 满足)0(1f a =，且)()2(1)(1*+∈--=N n a f a f n n ．(1) 求)0(f 的值；(2) 求数列}{n a 的通项公式； (3) 是否存在正数k ，使12)11()11)(11(21+≥+++n k a a a n对一切*∈N n 均成 立，若存在，求出k 的最大值，并证明，否则说明理由．重庆南开中学高2006级2月月考（理科）参考解答11、π9 12、)3,3(- 13、9 14、)3,0(± 15、]2,6[ππ 16、2 17、证明：（1）∵E 、F 分别是正三棱柱中AB 1和AB 的中点，∴BB 1∥FE 又BB 1⊄平面EFM ，FE ⊂平面EFM ， ∴BB 1∥平面EFM（2）∵正三棱柱的侧棱BB 1⊥平面ABC ，∴BB 1⊥BC∵BB 1∥FE ∴BC ⊥FE又∵MF ⊥BC ∴BC ⊥平面EFM ∴BC ⊥ME18、解：由⎪⎩⎪⎨⎧>+>-+01011x x x 解得11<<-x①当1>a时，原不等式等价于)1(211+>-+x x x 即有01)12)(1(<--+x x x 解之得121<<x ； ②当10<<a 时，原不等式等价于)1(211+<-+x xx即有01)12)(1(>--+x x x 解之得211<<-x ； 综上所述：①当1>a 时，解集为}121|{<<x x ；②当10<<a 时，解集为}211|{<<-x x ．19、解：（1）A 在海平面上的射影为O ，由题意得330cot =⋅= OA OC（千米）3360cot =⋅= OA OB （千米），又△BOC 中∠120=BOC C1由余弦定理可得313=BC （千米），所以该船速度为v 船＝39261313=（千米／小时）（2）设点E 是CB 上的一点，则由AO ⊥面BOC 得∠AEO 即为瞭望员观测灯塔A 的仰角，在Rt △AOE 中OEOAAEO =∠tan ，欲使∠AEO 取最大值，则OE 应取最小值．当OE ⊥CB 时，OE 可取最小值． 由BOC OC OB BC OE ∠⋅⋅⋅=⋅⋅sin 2121可得1323=OE ∴3132tan ==∠OE OA AEO ∴瞭望员观测灯塔A 的仰角最大为3132arctan ． 20、解：（1）法一：∵P A ⊥面ABCD 且AB ⊥BC ，AB 是PB 面ABCD 内的射影 ∴PB ⊥BC (三垂线定理)∴PB ⊥面PAB 且BC ⊂面PBC∴面PBC ⊥面PAB 其交线为PB过A 在平面PAB 内作AH ⊥PB 于H ，则AH ⊥面PBC ∴AH 即为点A 到平面PBC 的距离 又∵P A ⊥面ABCD∴AD 是PD 在面ABCD 内的射影∴∠PDA 即为PD 与面ABCD 所成的角，即∠PDA=30° ∵AD=3 ∴P A=330tan =⋅ AD PB=2 AB=1 ∴AH=23=⋅PB AB PA 法二：（等积法）设点A 到平面PBC 的距离为d ∵P A ⊥面ABCD ∴VP-ABC =VA-PBC即d S PA S PBC ABC ⋅⋅=⋅⋅∆∆3131 ∵AB=BC=1且∠ABC=90°∴21=∆ABC S A CDP H解得23=d（2）∵P A ⊥面ABCD 且P A ⊂面P AC ∴面PAC ⊥面ABCD 其交线为AC过点B 在平面ABCD 内作BM ⊥AC 于M ，则BM ⊥面PAC 又过点M 在平面P AC 内作MN ⊥PC 于N ， 连结MN ，则BN ⊥PC （三垂线定理） ∴∠BNM 即为二面角A PC B --的平面角在Rt △PBC 中552512=⋅=⋅=PC BC PB BN在Rt △ABC 中22=⋅=AC BC AB BM ∴在Rt △BMN 中410sin ==∠BN BM BNM 即二面角A PC B --的平面角的大小为410arcsin（46arccos 、315arctan） 21、解：（1）由已知，得1||||sin()2||||cos .OF FQ OF FQ m πθθ⎧⋅-=⎪⎨⎪⋅⋅=⎩∴,6424,64tan <<=m mθ∴3tan 1<<θ，则34πθπ<<（2）设所求的双曲线方程为2222by a x -=1 (a >0，b >0)，点Q (x 1，y 1)，则=(x 1－c ，y 1)∵△OFQ 的面积21|OF ||y 1|=26 ∴y 1=±c 64又由OF ·=(c ，0) (x 1－c ，y 1)=(x 1－c )c=(46－1)c 2 ∴x 1=46c |OQ |=2221219683cc y x +=+≥12，当且仅当c=4时，|OQ |最小．A CDPNM此时Q 的坐标为(6,6)，或(6，－6)．由此可得⎪⎩⎪⎨⎧=+=-161662222b a ba 解得⎩⎨⎧==12422b a 故所求方程为12422y x -=1． 22、解：(1)令0,1=-=y x ，得)0()1()1(f f f ⋅-=-，得1)0(=f(2)当0>x 时，0<-x ，∴1)()()0(=-⋅=x f x f f ，∴1)(0<<x f ．设R x x ∈21,，且21x x <，)](1)[()()()()(121121121x x f x f x x x f x f x f x f --=-+-=-，∵21x x <，∴012>-x x ，∴1)(12<-x x f ，∴0)(112>--x x f ，而0)(1>x f ，∴0)()(21>-x f x f ，即)()(21x f x f >．∴函数)(x f y =在R 上是减函数． 由)2(1)(1n n a f a f --=+得1)2()(1=--⋅+n n a f a f ，∴)0()2(1f a a f n n =--+，∴021=--+n n a a ，即21=-+n n a a )(*∈N n ．∴}{n a 是等差数列，其首项为1，公差为2=d ，∴12-=n a n (3)存在正数k ，使12)11()11)(11(21+≥+++n k a a a n成立． 记12)11()11)(11()(21++++=n a a a n F n，则11)1(4)1(2)()1(2>-++=+n n n F n F ，∴)(n F 单调递增，∴)1(F 为)(n F 的最小值，由)(n F k ≥恒成立知332≤k ， ∴k 的最大值为332．。