2019届甘肃省河西五市高三第一次联考文科数学试卷【含答案及解析】
甘肃省2019年高考数学一模试卷(文科)(解析版)
甘肃省2019年高考数学一模试卷（文科）(解析版)一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={x|≥0，x∈R}，N={y|y=3x2+1，x∈R}，则M∩N为（）A．{x|x＞1}B．{x|x≥1}C．{x＞1或x≤0}D．{x|0≤x≤1} 2．已知i为虚数单位，图中复平面内的点A表示复数z，则表示复数的点是（）A．M B．N C．P D．Q3．已知命题P：有的三角形是等边三角形，则（）A．¬P：有的三角形不是等边三角形B．¬P：有的三角形是不等边三角形C．¬P：所有的三角形都是等边三角形D．¬P：所有的三角形都不是等边三角形4．在△ABC中，•＞0，则该三角形的形状是（）A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不能确定5．如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则=（）A．B．C．D．6．函数y=sin（﹣2x）的单调增区间是（）A．，]（k∈z）B．，]（k∈z）C．，]（k∈z）D．，]（k∈z）7．将函数y=sin2x+cos2x的图象沿x轴向左平移φ个单位后，得到一个偶函数的图象，则|φ|的最小值为（）A． B． C．D．8．已知某个几何体的三视图如图（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的数据，这个几何体的体积是（）A．288+36πB．60πC．288+72πD．288+18π9．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S12=288，S9=162，则S6=（）A．18 B．36 C．54 D．7210．若过点A（4，0）的直线l与曲线（x﹣2）2+y2=1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为（）A．B．C．D．11．已知函数f（x）=e x﹣1，g（x）=﹣x2+4x﹣3，若有f（a）=g（b），则b的取值范围为（）A．B．（2﹣，2+）C．[1，3]D．（1，3）12．△ABC各角的对应边分别为a，b，c，满足+≥1，则角A 的范围是（）A．（0，] B．（0，] C．[，π） D．[，π）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．若f（x）=3x+sinx，则满足不等式f（2m﹣1）+f（3﹣m）＞0的m的取值范围为．14．在数列{a n}中，已知a1=1，a n+1﹣a n=sin，记S n为数列{a n}的前n项和，则S2015=．15．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=的最大值为．16．已知函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）﹣bf （x）+1=0有8个不同根，则实数b的取值范围是．三．解答题：本大题共6小题，第17题10分，18-22题每题12分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知p：|1﹣|≤2，q：（x﹣1+m）（x﹣1﹣m）＜0（m＞0）且q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．18．（12分）已知数列{a n}满足：S n=1﹣a n（n∈N*），其中S n为数列{a n}的前n项和．（Ⅰ）试求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：（n∈N*），试求{b n}的前n项和公式T n．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若1+=．（1）求角A的大小；（2）若函数f（x）=2sin2（x+）﹣cos2x，x∈[，]，在x=B处取到最大值a，求△ABC的面积．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD⊥面ABCD，且AB=1，AD=2，E、F分别为PC和BD的中点．（1）证明：EF∥面PAD；（2）证明：面PDC⊥面PAD．21．（12分）椭圆H： +y2=1（a＞1），原点O到直线MN的距离为，其中点M（0，﹣1），点N（a，0）．（1）求该椭圆H的离心率e；（2）经过椭圆右焦点F2的直线l和该椭圆交于A，B两点，点C在椭圆上，O为原点，若=+，求直线l的方程．22．（12分）已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2﹣x+2（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值．参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={x|≥0，x∈R}，N={y|y=3x2+1，x∈R}，则M∩N为（）A．{x|x＞1}B．{x|x≥1}C．{x＞1或x≤0}D．{x|0≤x≤1}【考点】交集及其运算；其他不等式的解法．【分析】求出集合M，N，然后求解交集即可．【解答】解：集合M={x|≥0，x∈R}={x|x＞1或x≤0}，N={y|y=3x2+1，x∈R}={y|y≥1}，M∩N={x|x＞1}．故选：A．【点评】本题考查交集的求法，不等式的解法，是基础题．2．已知i为虚数单位，图中复平面内的点A表示复数z，则表示复数的点是（）A．M B．N C．P D．Q【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由图可知：z=3+i．利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：由图可知：z=3+i．∴复数====2﹣i表示的点是Q（2，﹣1）．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．3．已知命题P：有的三角形是等边三角形，则（）A．¬P：有的三角形不是等边三角形B．¬P：有的三角形是不等边三角形C．¬P：所有的三角形都是等边三角形D．¬P：所有的三角形都不是等边三角形【考点】命题的否定．【分析】特称命题的否定是全称命题，即“∃x，使f（x）成立”的否定是“∀x，使f（x）不成立”，对照此结论即可得正确结果【解答】解：∵有的三角形是等边三角形，即存在一个三角形是等边三角形，是一个特称命题，¬P是它的否定，应为全称命题“所有的三角形都不是等边三角形”故应选D【点评】本题考查了特称命题的否定方式，解题时要对照否定形式规范作答，本题属基础题4．在△ABC中，•＞0，则该三角形的形状是（）A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不能确定【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用数量积运算性质、三角函数求值即可得出．【解答】解：∵•＞0，∴﹣cacosB＞0，∴cosB＜0．又B∈（0，π）．∴B为钝角．故选：A．【点评】本题考查了数量积运算性质、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则=（）A．B．C．D．【考点】向量的减法及其几何意义．【分析】利用D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，及向量的减法三角形法则，可得结论．【解答】解：∵D是△ABC的边AB的中点∴∴==∵D、F分别是△ABC的边AB、CA的中点∴∵E是△ABC的边BC的中点∴∴故选D．【点评】本题考查向量的减法三角形法则，考查共线向量，属于基础题．6．函数y=sin（﹣2x）的单调增区间是（）A．，]（k∈z）B．，]（k∈z）C．，]（k∈z）D．，]（k∈z）【考点】正弦函数的单调性．【分析】求三角函数的单调区间，一般要将自变量的系数变为正数，再由三角函数的单调性得出自变量所满足的不等式，求解即可得出所要的单调递增区间．【解答】解：y=sin（﹣2x）=﹣sin（2x﹣）令，k∈Z解得，k∈Z函数的递增区间是，]（k∈Z）故选D．【点评】本题考查正弦函数的单调性，求解本题的关键有二，一是将自变量的系数为为正，二是根据正弦函数的单调性得出相位满足的取值范围，解题时不要忘记引入的参数的取值范围即k∈Z．7．将函数y=sin2x+cos2x的图象沿x轴向左平移φ个单位后，得到一个偶函数的图象，则|φ|的最小值为（）A． B． C．D．【考点】三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式为一个角的一个三角函数的形式，通过平移求出平移后的函数的解析式，利用偶函数求出φ的值．【解答】解：∵函数y=sin2x+cos2x=，将函数y=sin2x+cos2x的图象沿x轴向左平移φ个单位后，得到函数，函数是偶函数，∴．当k=0时，φ=．故选：A．【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的图象平移变换，函数的基本性质的应用．8．已知某个几何体的三视图如图（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的数据，这个几何体的体积是（）A．288+36πB．60πC．288+72πD．288+18π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体是一个简单的组合体，上面是一个半圆柱，底面的半径是3，母线长是8，下面是一个四棱柱，四棱锥的底面是边长分别为8和6的矩形，四棱柱的高是6，做出两个几何体的体积求和．【解答】解：由三视图知，几何体是一个简单的组合体，上面是一个半圆柱，底面的半径是3，母线长是8，∴半圆柱的体积是==36π下面是一个四棱柱，四棱锥的底面是边长分别为8和6的矩形，四棱柱的高是6，∴四棱柱的体积是6×8×6=288，∴组合体的体积是36π+288故选A．【点评】本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原几何图形，本题考查的几何体是一个组合体，上面的圆柱的一半比较特殊，需要仔细观察，圆柱的摆放方式和常见的摆放方式不同．9．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S12=288，S9=162，则S6=（）A．18 B．36 C．54 D．72【考点】等差数列的性质．【分析】由题意和等差数列的求和公式可得a1和d的方程组，解方程组可得a1和d，代入求和公式计算可得S6【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，由题意可得S12=12a1+d=288，S9=9a1+d=162，解得a1=2，d=4，∴S6=6a1+d=72，故选：D．【点评】本题考查等差数列的求和公式和性质，属基础题．10．若过点A（4，0）的直线l与曲线（x﹣2）2+y2=1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为（）A．B．C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设出直线方程，用圆心到直线的距离小于等于半径，即可求解．【解答】解：设直线方程为y=k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k=0，直线l与曲线（x﹣2）2+y2=1有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径，得4k2≤k2+1，k2≤，故选C．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，也可以用数形结合画出图形来判断，是基础题．11．已知函数f（x）=e x﹣1，g（x）=﹣x2+4x﹣3，若有f（a）=g（b），则b的取值范围为（）A．B．（2﹣，2+）C．[1，3]D．（1，3）【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】利用f（a）=g（b），整理等式，利用指数函数的性质建立不等式求解即可．【解答】解：∵f（a）=g（b），∴e a﹣1=﹣b2+4b﹣3∴﹣b2+4b﹣2=e a＞0即b2﹣4b+2＜0，求得2﹣＜b＜2+故选B【点评】本题主要考查了函数的零点与方程根的关系．12．△ABC各角的对应边分别为a，b，c，满足+≥1，则角A 的范围是（）A．（0，] B．（0，] C．[，π） D．[，π）【考点】余弦定理．【分析】已知不等式去分母后，整理得到关系式，两边除以2bc，利用余弦定理变形求出cosA的范围，即可确定出A的范围．【解答】解：由+≥1得：b（a+b）+c（a+c）≥（a+c）（a+b），化简得：b2+c2﹣a2≥bc，同除以2bc得，≥，即cosA≥，∵A为三角形内角，∴0＜A≤，故选：A．【点评】此题考查了余弦定理，以及余弦函数的性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．若f（x）=3x+sinx，则满足不等式f（2m﹣1）+f（3﹣m）＞0的m的取值范围为m＞﹣2．【考点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．【分析】由题意可得f（x）为R上的奇函数和增函数，故原不等式可化为f（2m﹣1）＞﹣f（3﹣m）=f（m﹣3），即2m﹣1＞m﹣3，解之即可．【解答】解：∵f（﹣x）=﹣3x﹣sinx=﹣f（x），∴f（x）为R上的奇函数，又f′（x）=3+cosx＞0，可得f（x）为R上的增函数．故不等式f（2m﹣1）+f（3﹣m）＞0可化为：f（2m﹣1）＞﹣f（3﹣m）=f（m﹣3）故2m﹣1＞m﹣3，解得m＞﹣2．故答案为：m＞﹣2【点评】本题以不等式为载体，考查函数的单调性和奇偶性，属基础题．14．在数列{a n}中，已知a1=1，a n+1﹣a n=sin，记S n为数列{a n}的前n项和，则S2015=1008．【考点】数列的求和．【分析】a1=1，a n+1﹣a n=，可得a2=a1+sinπ=1，同理可得a3=1﹣1=0，a4=0+0=0，a5=0+1=1，可得a5=a1，以此类推可得a n+4=a n．利用数列的周期性即可得出．【解答】解：∵a1=1，a n+1﹣a n=，∴a2=a1+sinπ=1，同理可得a3=1﹣1=0，a4=0+0=0，a5=0+1=1，∴a5=a1，以此类推可得a n+4=a n．∴S2015=503×（a1+a2+a3+a4）+a1+a2+a3=503×2+2=1008．故答案为：1008．【点评】本题考查了数列的周期性、三角函数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=的最大值为．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，把目标函数z=化为，其几何意义是可行域内的动点与定点M（﹣2，0）连线的斜率，数形结合得到使z=最大的点，联立方程组求出点的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（，）．联立，解得B（2，3）．的几何意义是可行域内的动点与定点M（﹣2，0）连线的斜率．∴目标函数z=的最大值为．故答案为：．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．16．已知函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）﹣bf（x）+1=0有8个不同根，则实数b的取值范围是（2，] ．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】作函数f（x）的图象，从而可得方程x2﹣bx+1=0有2个不同的正解，且在（0，4]上，从而解得．【解答】解：作函数f（x）的图象如右图，∵关于x的函数y=f2（x）﹣bf（x）+1有8个不同的零点，∴方程x2﹣bx+1=0有2个不同的正解，且在（0，4]上；∴，解得，2＜b≤；故答案为：（2，]．【点评】本题考查了数形结合的思想应用及分段函数的应用．三．解答题：本大题共6小题，第17题10分，18-22题每题12分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）（2016•静宁县一模）已知p：|1﹣|≤2，q：（x ﹣1+m）（x﹣1﹣m）＜0（m＞0）且q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】分别求出关于p，q的不等式，根据q是p的必要不充分条件，得到关于m的不等式组，解出即可．【解答】解：∵|1﹣|≤2，∴p：﹣2≤x≤10；∵（x﹣1+m）（x﹣1﹣m）＜0，∴q：﹣m+1＜x＜m+1，（m＞0），若q是p的必要不充分条件，则[﹣2，10]⊆（﹣m+1，m+1），故，解得：m＞9．【点评】本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，是一道基础题．18．（12分）（2016•衡水校级模拟）已知数列{a n}满足：S n=1﹣a n （n∈N*），其中S n为数列{a n}的前n项和．（Ⅰ）试求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：（n∈N*），试求{b n}的前n项和公式T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）先把n=1代入求出a1，再利用a n+1=S n+1﹣S n求解数列的通项公式即可．（Ⅱ）把（Ⅰ）的结论代入，发现其通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列，故直接利用数列求和的错位相减法求和即可．【解答】解：（Ⅰ）∵S n=1﹣a n①∴S n+1=1﹣a n+1②②﹣①得a n+1=﹣a n+1+a n⇒a n；n=1时，a1=1﹣a1⇒a1=（6分）（Ⅱ）因为b n==n•2n．所以T n=1×2+2×22+3×23+…+n×2n③故2T n=1×22+2×23+…+n×2n+1④③﹣④﹣T n=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1=整理得T n=（n﹣1）2n+1+2．（12分）【点评】本题的第一问考查已知前n项和为S n求数列{a n}的通项公式，第二问考查了数列求和的错位相减法．错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列．19．（12分）（2016•衡水校级模拟）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1+=． （1）求角A 的大小；（2）若函数f （x ）=2sin 2（x +）﹣cos2x ，x ∈[，]，在x=B处取到最大值a ，求△ABC 的面积．【考点】正弦定理；同角三角函数基本关系的运用．【分析】（1）把已知等式中的切化弦，利用正弦定理把边转化为角的正弦，整理可求得cosA 的值，进而求得A ．（2）把利用两角和公式对函数解析式化简，利用正弦函数的性质求得函数最大值时B ，C 和a 的值，进而利用正弦定理求得c ，最后利用三角形面积公式求得答案．【解答】解：（1）因为1+•=，所以=2sinC ，又因为sinC ≠0，所以cosA=，所以A=．（2）因为f （x ）=2sin 2（x +）﹣cos2x=1+2sin （2x ﹣），所以，当2x ﹣=，即x=时，f （x ）max =3，此时B=，C=，a=3．因为=，所以c===，则S=acsinB=×3××=．【点评】本题主要考查了正弦定理和三角函数图象与性质．考查了学生基础公式的运用和一定的运算能力．20．（12分）（2016•静宁县一模）如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD 为矩形，△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD⊥面ABCD，且AB=1，AD=2，E、F分别为PC和BD的中点．（1）证明：EF∥面PAD；（2）证明：面PDC⊥面PAD．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）证明EF∥面PAD，可用线面平行的判定定理，由题设及图，可先证明EF∥AP再由线面平行的判定定理证明；（2）证明面PDC⊥面PAD，由判定定理知要先证明线面垂直，由题设及图知，可先证AP⊥面PCD，再由面面垂直的判定定理证明面面垂直．【解答】解：（1）如图，连接AC，∵ABCD为矩形且F是BD的中点，∴AC必经过F．（2分）又E是PC的中点，所以，EF∥AP．（4分）∵EF在面PAD外，PA在面内，∴EF∥面PAD（6分）（2）∵面PAD⊥面ABCD，CD⊥AD，面PAD∩面ABCD=AD，∴CD⊥面PAD，（8分）又AP⊂面PAD，∴AP⊥CD．（9分）又∵AP⊥PD，PD和CD是相交直线，AP⊥面PCD．（11分）又AD⊂面PAD，所以，面PDC⊥面PAD．（12分）【点评】本题考查线面平行与面面垂直，掌握线面平行的判定定理与面面垂直的判定定理是解决本题的关键，立体几何的证明题主要考查定理的使用及空间立体感知能力，观察能力，推理判断能力21．（12分）（2016•静宁县一模）椭圆H： +y2=1（a＞1），原点O到直线MN的距离为，其中点M（0，﹣1），点N（a，0）．（1）求该椭圆H的离心率e；（2）经过椭圆右焦点F2的直线l和该椭圆交于A，B两点，点C在椭圆上，O为原点，若=+，求直线l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）直线MN的方程为： +=1，即x﹣ay﹣a=0．由=，解得a=．利用，即可的得出．H的离心率e=．（2）由（1）可知：椭圆H的标准方程为：=1，设A（x1，y1），B（x2，y2）．由=+，可得C，利用A，B，C都在椭圆上整理化简可得：x1x2+3y1y2=0．设直线l的方程为：x=my+，代入椭圆方程可得：（m2+3）y2+2my﹣1=0，利用根与系数的关系代入可得m，对直线l的斜率为0时，直接验证即可．【解答】解：（1）直线MN的方程为： +=1，即x﹣ay﹣a=0．∵=，解得a=．又b=1，则=．∴该椭圆H的离心率e===．（2）由（1）可知：椭圆H的标准方程为：=1，设A（x1，y1），B（x2，y2）．∵=+，∴C，由A，B，C都在椭圆上，∴=3，①=3，② +3=3，③，由③化简整理可得：（）+（）+（x1x2+3y1y2）=3，x2+3y1y2=0，④．设直线l的方程为：x=my+，把①②代入化简可得：x+y2=，代入椭圆方程可得：（m2+3）y2+2my﹣1=0，∴yy1•y2=+3，x2==m2y1y2+m（y1+y2）+2，∴x•y2+m（y1+y2）+2=0，∴（m2+3）y∴（m2+3）•+m•+2=0，解得m=±1．∴直线l的方程为x=±y+．当直线l的斜率为0时，其方程为：y=0，此时A（，0），B（﹣，0），不满足④，舍去．综上可得：直线l的方程为x=±y+．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量坐标运算性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．22．（12分）（2016•静宁县一模）已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2﹣x+2（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出函数的定义域，求出导数f′（x），在定义域内解不等式f′（x）＜0，f′（x）＞0即得单调区间；（2）由（1）可知x=为f（x）的极值点，按照极值点在区间[t，t+2]的右侧、内部、左侧三种情况进行讨论，由函数的单调性即可求得其最小值；【解答】解：（1）f （x ）的定义域为（0，+∞），f′（x ）=lnx +1，令f′（x ）＜0，解得0＜x ＜，令f′（x ）＞0，解得x ＞，所以f （x ）的单调减区间为（0，），单调增区间为（，+∞）；（2）由（1）知f （x ）的单调减区间为（0，），单调增区间为（，+∞），则（ⅰ）当0＜t ＜t +2＜时，t 无解；（ⅱ）当0＜t ＜＜t +2，即0＜t ＜时，f （x ）在[t ，]上递减，在[，t +2]上递增，所以f （x ）min =f （）=﹣；（ⅲ）当≤t ＜t +2，即t ≥时，f （x ）在[t ，t +2]上单调递增， 所以f （x ）min =f （t ）=tlnt ，所以f （x ）min =．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、求函数在闭区间上的最值，考查分类讨论思想，属中档题．。
甘肃省2019年高考数学一模试卷(文科)(解析版) (2)
甘肃省2019年高考数学一模试卷（文科）（解析版）一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则P∪Q=（）A．{3，0}B．{3，0，1}C．{3，0，2}D．{3，0，1，2} 2．已知复数z满足，则z=（）A．2+3i B．2﹣3i C．3+2i D．3﹣2i3．下列函数中，图象的一部分如图所示的是（）A．B． C． D．4．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件5．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出了下列命题：①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；②若m⊥n，m⊥α，则n∥α；③若m∥α，α⊥β，则m⊥β，④若α∩β=m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α，n∥β（）A．②④B．①②④C．①④D．①③6．抛物线y=x2﹣2x﹣3与坐标轴的交点在同一个圆上，则交点确定的圆的方程为（）A．x2+（y﹣1）2=2 B．（x﹣1）2+（y﹣1）2=4 C．（x﹣1）2+y2=4 D．（x﹣1）2+（y+1）2=57．下列函数中在上为减函数的是（）A．y=﹣tanx B．C．y=sin2x+cos2x D．y=2cos2x﹣18．执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：①f（x）=sinx，②f（x）=cosx，③f（x）=，④f（x）=lg，则输出的函数是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=cosx C．f（x）=D．f（x）=lg9．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（）A．1 B．2 C．4 D．810．如图所示，两个非共线向量，的夹角为θ，M、N分别为OA与OB的中点，点C在直线MN上，且=x+y（x，y∈R），则x2+y2的最小值为（）A． B．C． D．11．已知函数，若m＜n，且f（m）=f（n），则n﹣m的取值范围是（）A．[3﹣2ln2，2）B．[3﹣2ln2，2] C．[e﹣1，2]D．[e﹣1，2）12．已知函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（0，） C．（0，1）D．（0，+∞）二、填空题已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=4，S3=3，则公差d=．14．已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（）⊥（﹣），则λ=．15．已知点P （x ，y ）满足线性约束条件，点M （3，1），O为坐标原点，则•的最大值为 ．16．从圆x 2+y 2=4内任取一点p ，则p 到直线x +y=1的距离小于的概率 ．三．解答题（本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足4nS n =（n +1）2a n ．a 1=1 （1）求a n ； （2）设b n =，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n ＜．18．（12分）某市司法部门为了宣传《宪法》举办法律知识问答活动，随机对该市18～68岁的人群抽取一个容量为n 的样本，并将样本数据分成五组：[18，28），[28，38），[38，48），[48，58），[58，68]，再将其按从左到右的顺序分别编号为第1组，第2组，…，第5组，绘制了样本的频率分布直方图；并对回答问题情况进行统计后，结果如下表所示．（Ⅰ）分别求出a，x的值；（Ⅱ）第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？（III）在（II）的前提下，决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．19．（12分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1如图所示，其中CA⊥平面ABB1A1，四边形ABB1A1为菱形，∠AA1B1=60°，E为BB1的中点，F为CB1的中点．（1）证明：平面AEF⊥平面CAA1C1；（2）若CA=2，AA1=4，求B1到平面AEF的距离．20．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．21．（12分）已知函数f（x）=x3﹣3ax﹣1，a≠0（1）求f（x）的单调区间；（2）若f（x）在x=﹣1处取得极值，直线y=m与y=f（x）的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）过曲线C2的左顶点且倾斜角为的直线l交曲线C1于A，B两点，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|a﹣3x|﹣|2+x|．（1）若a=2，解不等式f（x）≤3；（2）若存在实数a，使得不等式f（x）≥1﹣a+2|2+x|成立，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则P∪Q=（）A．{3，0}B．{3，0，1}C．{3，0，2}D．{3，0，1，2}【考点】并集及其运算．【分析】根据集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则log2a=0，b=0，从而求得P∪Q．【解答】解：∵P∩Q={0}，∴log2a=0∴a=1从而b=0，P∪Q={3，0，1}，故选B．【点评】此题是个基础题．考查集合的交集和并集及其运算，注意集合元素的互异性，以及对数恒等式和真数是正数等基础知识的应用．2．已知复数z满足，则z=（）A．2+3i B．2﹣3i C．3+2i D．3﹣2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数的运算法则计算即可．【解答】解：，则====2+3i，∴z=2﹣3i，故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则和共轭复数的概念，属于基础题．3．下列函数中，图象的一部分如图所示的是（）A．B． C． D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】先根据图象求出函数的最小正周期，从而可得w的值，再根据正弦函数的平移变化确定函数的解析式为，最后根据诱导公式可确定答案．【解答】解：从图象看出，T=，所以函数的最小正周期为π，函数应为y=sin2x向左平移了个单位，即=，故选D．【点评】本题考查正弦函数平移变换和最小正周期的求法、根据图象求函数解析式．考查学生的看图能力．4．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】因为“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题．再据命题的真假与条件的关系判定出“不便宜”是“好货”的必要条件．【解答】解：“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题．所以“好货”⇒“不便宜”，所以“不便宜”是“好货”的必要条件，故选B【点评】本题考查互为逆否命题的真假一致；考查据命题的真假判定条件关系，属于基础题．5．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出了下列命题：①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；②若m⊥n，m⊥α，则n∥α；③若m∥α，α⊥β，则m⊥β，④若α∩β=m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α，n∥β（）A．②④B．①②④C．①④D．①③【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在①中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在②中，n∥α或n⊂α；在③中，m与β相交、平行或m⊂β；在④中，由线面平行的判定定理得n∥α，n∥β．【解答】解：由α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，知：①若m⊥α，m⊂β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故①正确；②若m⊥n，m⊥α，则n∥α或n⊂α，故②错误；③若m∥α，α⊥β，则m与β相交、平行或m⊂β，故③错误；④若α∩β=m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则由线面平行的判定定理得n∥α，n∥β，故④正确．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．6．抛物线y=x2﹣2x﹣3与坐标轴的交点在同一个圆上，则交点确定的圆的方程为（）A．x2+（y﹣1）2=2 B．（x﹣1）2+（y﹣1）2=4 C．（x﹣1）2+y2=4 D．（x﹣1）2+（y+1）2=5【考点】抛物线的简单性质．【分析】由已知抛物线方程求出圆心横坐标，设出圆心纵坐标，由圆心到圆上两点的距离等于圆的半径列式求解．【解答】解：抛物线y=x2﹣2x﹣3的图象关于x=1对称，与坐标轴的交点为A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），令圆心坐标M（1，b），可得|MA|2=|MC|2=r2，即4+b2=1+（b+3）2=r2，解得b=﹣1，r=．∴圆的轨迹方程为（x﹣1）2+（y+1）2=5．故选：D．【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查数学转化思想方法，是中档题．7．下列函数中在上为减函数的是（）A．y=﹣tanx B．C．y=sin2x+cos2x D．y=2cos2x﹣1【考点】复合三角函数的单调性；两角和与差的正弦函数．【分析】由复合函数的单调性逐一核对四个选项得答案．【解答】解：y=﹣tanx在上有两个减区间，分别为（），（）；当时，0，函数y=cos（）为减函数；y=sin2x+cos2x=，当时，，y=sin2x+cos2x=先减后增；y=2cos2x﹣1=cos2x，当时，，y=2cos2x﹣1=cos2x先减后增．∴在上为减函数的是y=cos（）=sin2x．故选；B．【点评】本题考查复合三角函数的单调性，考查余弦函数的单调性，是基础题．8．执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：①f（x）=sinx，②f（x）=cosx，③f（x）=，④f（x）=lg，则输出的函数是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=cosx C．f（x）=D．f（x）=lg【考点】复合函数的单调性；程序框图．【分析】由已知中的程序框图，可得该程序输出的函数即是奇函数，也是减函数，进而得到答案．【解答】解：由已知中的程序框图，可得该程序输出的函数即是奇函数，也是减函数，A中，f（x）=sinx是奇函数，但在R上不是减函数，B中，f（x）=cosx不是奇函数，在R上也不是减函数，C中，f（x）=是奇函数，但在R上不是减函数，D中，f（x）=lg是奇函数，且是定义域（﹣1，1）上的是减函数，故选：C【点评】本题以程序框图为载体，考查了函数的单调性，函数的奇偶性，难度中档．9．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（）A．1 B．2 C．4 D．8【考点】由三视图求面积、体积．【分析】通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱，计算即可．【解答】解：由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，截圆柱的平面过圆柱的轴线，该几何体是一个半球拼接半个圆柱，∴其表面积为：×4πr2+×πr22r×2πr+2r×2r+×πr2=5πr2+4r2，又∵该几何体的表面积为16+20π，∴5πr2+4r2=16+20π，解得r=2，故选：B．【点评】本题考查由三视图求表面积问题，考查空间想象能力，注意解题方法的积累，属于中档题．10．如图所示，两个非共线向量，的夹角为θ，M、N分别为OA与OB的中点，点C在直线MN上，且=x+y（x，y∈R），则x2+y2的最小值为（）A． B．C． D．【考点】点到直线的距离公式；平面向量坐标表示的应用．【分析】法一：特殊值法，当θ=90°，||=||=1时，建立直角坐标系，得x+y=，所以x2+y2的最小值为原点到直线的距离的平方；解法二：因为点C、M、N共线，所以，有λ+μ=1，由M、N分别为OA与OB的中点，可得x+y=，下同法一【解答】解法一：特殊值法，当θ=90°，||=||=1时，建立直角坐标系，∴=x+y得x+y=，所以x2+y2的最小值为原点到直线的距离的平方；解法二：因为点C、M、N共线，所以，有λ+μ=1，又因为M、N分别为OA与OB的中点，所以=∴x+y=原题转化为：当x时，求x2+y2的最小值问题，∵y=∴x2+y2==结合二次函数的性质可知，当x=时，取得最小值为故选B【点评】本题主要考查了平面向量的应用，解题的关键是向量共线定理的应用及结论“点C、M、N共线，所以，有λ+μ=1“的应用11．已知函数，若m＜n，且f（m）=f（n），则n﹣m的取值范围是（）A．[3﹣2ln2，2）B．[3﹣2ln2，2] C．[e﹣1，2]D．[e﹣1，2）【考点】分段函数的应用．【分析】作出函数f（x）的图象如图：利用消元法转化为关于n的函数，构造函数求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和最值即可得到结论．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图：若m＜n，且f（m）=f（n），则当ln（x+1）=1时，得x+1=e，即x=e﹣1，则满足0＜n≤e﹣1，﹣2＜m≤0，则ln（n+1）=m+1，即m=2ln（n+1）﹣2，则n﹣m=n+2﹣2ln（n+1），设h（n）=n+2﹣2ln（n+1），0＜n≤e﹣1则h′（n）=1﹣==，当h′（x）＞0得1＜n≤e﹣1，当h′（x）＜0得0＜n＜1，即当n=1时，函数h（n）取得最小值h（1）=1+2﹣2ln2=3﹣2ln2，当n=0时，h（0）=2﹣2ln1=2，当n=e﹣1时，h（e﹣1）=e﹣1+2﹣2ln（e﹣1+1）=1+e﹣2=e﹣1＜2，则3﹣2ln2≤h（n）＜2，即n﹣m的取值范围是[3﹣2ln2，2），故选：A【点评】本题主要考考查分段函数的应用，构造函数求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和最值是解决本题的关键．12．已知函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（0，） C．（0，1）D．（0，+∞）【考点】根据实际问题选择函数类型．【分析】先求导函数，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象由两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象．由图可求得实数a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切，由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点．则实数a的取值范围是（0，）．故选B．【点评】本题主要考查函数的零点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．二、填空题（2017•凉州区校级一模）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=4，S3=3，则公差d=3．【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列的性质可得S3=3a2=3，解得a2的值，由公差的定义可得．【解答】解：由等差数列的性质可得S3===3，解得a2=1，故公差d=a3﹣a2=4﹣1=3故答案为：3【点评】本题考查等差数列的前n项和公式和公差的定义，属基础题．14．已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（）⊥（﹣），则λ=﹣3．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】由向量的坐标加减法运算求出（），（﹣）的坐标，然后由向量垂直的坐标运算列式求出λ的值．【解答】解：由向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），得，由（）⊥（﹣），得（2λ+3）×（﹣1）+3×（﹣1）=0，解得：λ=﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查了平面向量的坐标加法与减法运算，考查了数量积判断两个向量垂直的条件，是基础的计算题．15．已知点P（x，y）满足线性约束条件，点M（3，1），O为坐标原点，则•的最大值为11．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，利用数量积的坐标运算得到目标函数，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，∵M（3，1），∴z=•=3x+y，化为y=﹣3x+z，由图可知，当直线y=﹣3x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值．联立，解得A（3，2）．∴z的最大值为3×3+2=11．故答案为：11．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．16．从圆x2+y2=4内任取一点p，则p到直线x+y=1的距离小于的概率．【考点】几何概型．【分析】利用点到直线的距离公式求出满足条件的点的弧长、几何概型的计算公式即可得出．【解答】解：由点到直线的距离公式得点O到直线x+y=1的距离为=，故到直线x+y=1距离为的点在直线x+y=0和x+y+2=0上，满足P到直线x+y=1的距离小于的点位于两直线之间的弧上，且两段弧度和为90°．故概率P==．故答案为：【点评】熟练掌握点到直线的距离公式及几何概型的计算公式是解题的关键．三．解答题（本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2017•凉州区校级一模）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足4nS n=（n+1）2a n．a1=1（1）求a n；（2）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由题意求出S n和S n﹣1，代入关系式a n=S n﹣S n﹣1（n≥2）化简求出a n，并验证n=1时是否成立；（2）由（1）化简b n=，求出b1和b2，当n≥3时利用放缩法得：b n=＜=，由裂项相消法证明结论成立．【解答】解：（1）由题意得，4nS n=（n+1）2a n（n∈N*），则，∴当n≥2时，，∴a n=S n﹣S n﹣1=﹣，即化简得=1，则，又a1=1，也满足上式，∴（n∈N*）；…（6分）证明：（2）由（1）得，b n==，∴b1=1，b2=，∵当n≥3时，b n=＜=，∴T n=b1+b2+…+b n＜1++（）+（）…（）=﹣＜…（12分）【点评】本题考查数列递推式的化简及应用，考查等价转化思想，裂项相消法求数列的和，以及放缩法证明不等式成立，综合性强、难度大，属于难题．18．（12分）（2017•凉州区校级一模）某市司法部门为了宣传《宪法》举办法律知识问答活动，随机对该市18～68岁的人群抽取一个容量为n的样本，并将样本数据分成五组：[18，28），[28，38），[38，48），[48，58），[58，68]，再将其按从左到右的顺序分别编号为第1组，第2组，…，第5组，绘制了样本的频率分布直方图；并对回答问题情况进行统计后，结果如下表所示．（Ⅰ）分别求出a，x的值；（Ⅱ）第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？（III）在（II）的前提下，决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法．【分析】（Ⅰ）先求出第1组人数为10，由此能求出a，x的值．（Ⅱ）第2，3，4组回答正确的人数的比为18：27：9=2：3：1，由此能求出第2，3，4组每组应各依次抽取的人数．（Ⅲ）记“所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖”为事件A，抽取的6人中，第2 组的设为a1，a2，第3组的设为b1，b2，b3，第4组的设为c，利用列举法求出从6名幸运者中任取2名的所有可能的情况有15种，再利用列举法求出第2组至少有1人的情况有9种，由此能求出所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．【解答】解：（Ⅰ）第1组人数5÷0.5=10，所以10÷0.1=100，第2组频率为：0.2，人数为：100×0.2=20，所以18÷20=0.9，…（2分）第4组人数100×0.25=25，所以x=25×0.36=9．…（4分）（Ⅱ）第2，3，4组回答正确的人数的比为18：27：9=2：3：1，…所以第2，3，4组每组应各依次抽取2人，3人，1人．…（7分）（Ⅲ）记“所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖”为事件A，抽取的6人中，第2 组的设为a1，a2，第3组的设为b1，b2，b3，第4组的设为c，则从6名幸运者中任取2名的所有可能的情况有15种，它们是：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，c），（b1，b2），（b1，b3），（b1，c），（b2，b3），（b2，b3），（b2，c），（b3，c）．…（9分）其中第2组至少有1人的情况有9种，他们是：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，c）．…（10分）所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率p（A）==．…（12分）【点评】本题考查分层抽样、频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．19．（12分）（2017•凉州区校级一模）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1如图所示，其中CA⊥平面ABB1A1，四边形ABB1A1为菱形，∠AA1B1=60°，E为BB1的中点，F为CB1的中点．（1）证明：平面AEF⊥平面CAA1C1；（2）若CA=2，AA1=4，求B1到平面AEF的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）由四边形ABB1A1为菱形，∠AA1B1=60°=∠ABB1，利用等边三角形的性质可得AE⊥BB1，AE⊥AA1．利用线面垂直的性质可得：AE⊥AC，于是AE⊥平面CAA1C1，平面AEF⊥平面CAA1C1．（2）建立如图所示的空间直角坐标系．设平面AEF的法向量为=（x，y，z），则，可得，利用d=即可得出．【解答】（1）证明：∵四边形ABB1A1为菱形，∠AA1B1=60°=∠ABB1，∴△ABB1是等边三角形，又BE=EB1，∴AE⊥BB1，∵AA1∥BB1，∴AE ⊥AA1．∵CA⊥平面ABB1A1，AE⊂平面ABB1A1，∴AE⊥AC．∵AC∩AA1=A，∴AE⊥平面CAA1C1，AE⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面CAA1C1．（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系．由CA=2，AA1=4，（2，可得：A（0，0，0），C（0，0，2），E（2，0，0），B2，0），F．=（2，0，0），=．设平面AEF的法向量为=（x，y，z），则，∴，取=（0，1，﹣1），=（2，2，0），到平面AEF的距离d===．∴B【点评】本题考查了空间位置关系的判定及其性质定理、法向量求距离，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．20．（12分）（2014•新课标Ⅰ）已知点A（0，﹣2），椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）通过离心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E 的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，利用△＞0，求出k的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出△OPQ的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程．【解答】解：（Ⅰ）设F（c，0），由条件知，得 又，所以a=2 ，b2=a2﹣c2=1，故E的方程．…．（6分）（Ⅱ）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，当△=16（4k2﹣3）＞0，即时，从而又点O到直线PQ的距离，所以△OPQ的面积=，设，则t＞0，，当且仅当t=2，k=±等号成立，且满足△＞0，所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y=x﹣2或y=﹣x﹣2．…（12分）【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．21．（12分）（2009•陕西）已知函数f（x）=x3﹣3ax﹣1，a≠0 （1）求f（x）的单调区间；（2）若f（x）在x=﹣1处取得极值，直线y=m与y=f（x）的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）先确求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的区间是增区间，fˊ（x）＜0的区间是减区间．（2）先根据极值点求出a，然后利用导数研究函数的单调性，求出极值以及端点的函数值，观察可知m的范围．【解答】解析：（1）f′（x）=3x2﹣3a=3（x2﹣a），当a＜0时，对x∈R，有f′（x）＞0，当a＜0时，f（x）的单调增区间为（﹣∞，+∞）当a＞0时，由f′（x）＞0解得或；由f′（x）＜0解得，当a＞0时，f（x）的单调增区间为；f（x）的单调减区间为．（2）因为f（x）在x=﹣1处取得极大值，所以f′（﹣1）=3×（﹣1）2﹣3a=0，∴a=1．所以f（x）=x3﹣3x﹣1，f′（x）=3x2﹣3，由f′（x）=0解得x1=﹣1，x2=1．由（1）中f（x）的单调性可知，f（x）在x=﹣1处取得极大值f（﹣1）=1，在x=1处取得极小值f（1）=﹣3．因为直线y=m与函数y=f（x）的图象有三个不同的交点，结合f（x）的单调性可知，m的取值范围是（﹣3，1）．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及求最值和利用导数研究图象等问题，属于中档题．请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2015•南昌校级二模）已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）过曲线C2的左顶点且倾斜角为的直线l交曲线C1于A，B两点，求|AB|．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）把参数方程利用同角三角函数的基本关系消去参数，化为普通方程，从而得到它们分别表示什么曲线；（2）先求出过曲线C2的左顶点且倾斜角为的直线l参数方程，然后代入曲线C1，利用参数的应用进行求解的即可．【解答】解：（1）∵C1：（t为参数），C2：（θ为参数），∴消去参数得C1：（x+2）2+（y﹣1）2=1，C2：，曲线C1为圆心是（﹣2，1），半径是1的圆．曲线C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆．（2）曲线C2的左顶点为（﹣4，0），则直线l的参数方程为（s为参数）将其代入曲线C 1整理可得：s2﹣3s+4=0，设A，B对应参数分别为s1，s2，+s2=3，s1s2=4，则s﹣s2|==．所以|AB|=|s【点评】本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，两点的距离公式的应用，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2016•中山市二模）已知函数f（x）=|a﹣3x|﹣|2+x|．（1）若a=2，解不等式f（x）≤3；（2）若存在实数a，使得不等式f（x）≥1﹣a+2|2+x|成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出取并集即可；（2）由题意知这是一个存在性的问题，须求出不等式左边的最大值，可运用绝对值不等式的性质可得最大值，再令其大于等于a，即可解出实数a的取值范围．【解答】解：（1）a=2时：f（x）=|3x﹣2|﹣|x+2|≤3，或或，解得：﹣≤x≤；（2）不等式f（x）≥1﹣a+2|2+x|成立，即|3x﹣a|﹣|3x+6|≥1﹣a，由绝对值不等式的性质可得||3x﹣a|﹣|3x+6||≤|（3x﹣a）﹣（3x+6）|=|a+6|，即有f（x）的最大值为|a+6|，∴或，解得：a≥﹣．【点评】题考查绝对值不等式，求解本题的关键是正确理解题意，区分存在问题与恒成立问题的区别，本题是一个存在问题，解决的是有的问题，本题是一个易错题，主要错误就是出在把存在问题当成恒成立问题求解，因思维错误导致错误．。
2019年甘肃省河西五地市高考数学一模试卷(文科)含答案
2019年甘肃省河西五地市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合，则M∪N=（）A．{x|x≥﹣2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x≤﹣2}2．下面是关于复数的四个命题：p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为1．其中真命题为（）A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p43．下列推断错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1则x2﹣3x+2≠0”B．命题p：存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则非p：任意x∈R，都有x2+x+1≥0C．若p且q为假命题，则p，q均为假命题D．“x＜1”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件4．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（）A．B．C．D．65．已知平面向量与的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（）A．1 B．C．3 D．26．函数y=a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1=0（mn＞0）上，则的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．67．等比数列{a n}中，a4=2，a5=5，则数列{lga n}的前8项和等于（）A．6 B．5 C．3 D．48．已知集合表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P（x，y），则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为（）A．B．C．D．9．已知函数f（x）的定义域为[﹣1，4]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示．当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a的零点的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．510．定义行列式运算：．若将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m的最小值是（）A．B．C．D．11．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（）A．B． C．4 D．12．设f（x）是定义在R上的恒不为零的函数，对任意实数x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y），若a1=，a n=f（n）（n∈N*），则数列{a n}的前n项和S n的取值范围是（）A．[，2）B．[，2]C．[，1）D．[，1]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13．定义某种运算⊗，S=a⊗b的运算原理如图；则式子5⊗3+2⊗4=．14．若tanθ+=4，则sin2θ=．15．已知双曲线x2﹣y2=1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|+|PF2|的值为．16．已知曲线y=（a﹣3）x3+lnx存在垂直于y轴的切线，函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则a的范围为．三、解答题（本大题有6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bcosC=3acosB ﹣ccosB ． （Ⅰ）求cosB 的值； （Ⅱ）若，且，求a 和c 的值．18．为了了解湖南各景点在大众中的熟知度，随机对15～65岁的人群抽样了n 人，回答问题“湖南省有哪几个著名的旅游景点？”统计结果如下图表．（Ⅰ）分别求出a ，b ，x ，y 的值；（Ⅱ）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人？ （Ⅲ）在（Ⅱ）抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率．19．已知四棱锥P ﹣ABCD ，底面ABCD 是∠A=60°、边长为a 的菱形，又PD ⊥底ABCD ，且PD=CD ，点M 、N 分别是棱AD 、PC 的中点． （1）证明：DN ∥平面PMB ；（2）证明：平面PMB⊥平面PAD；（3）求点A到平面PMB的距离．20．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2，点（1，）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且△AF2B的面积为，求以F2为圆心且与直线l 相切的圆的方程．21．已知函数，（其中常数m＞0）（1）当m=2时，求f（x）的极大值；（2）试讨论f（x）在区间（0，1）上的单调性；（3）当m∈[3，+∞）时，曲线y=f（x）上总存在相异两点P（x1，f（x1））、Q（x2，f（x2）），使得曲线y=f（x）在点P、Q处的切线互相平行，求x1+x2的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-1：几何证明选讲22．如图所示，PA为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，PA=20，PB=10，∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E．（Ⅰ）求证AB•PC=PA•AC（Ⅱ）求AD•AE的值．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|2x+1|，g（x）=|x|+a（Ⅰ）当a=0时，解不等式f（x）≥g（x）；（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．2019年甘肃省河西五地市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合，则M∪N=（）A．{x|x≥﹣2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x≤﹣2}【考点】并集及其运算；指数函数的单调性与特殊点；一元二次不等式的解法．【专题】计算题．【分析】根据题意先求出集合M和集合N，再求M∪N．【解答】解：∵集合M={x|x2+3x+2＜0}={x|﹣2＜x＜﹣1}，集合={x|2﹣x≤22}={x|﹣x≤2}={x|x≥﹣2}，∴M∪N={x|x≥﹣2}，故选A．【点评】本题考查集合的运算，解题时要认真审题，仔细解答．2．下面是关于复数的四个命题：p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为1．其中真命题为（）A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4【考点】命题的真假判断与应用；复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】求出|z|，可判断p1的真假；化简z2，可判断p2的真假；，可得z的共轭复数为1﹣i，z的虚部为1，由此可得结论．【解答】解：p1：|z|==，故命题为假；p2：z2===2i，故命题为真；，∴z的共轭复数为1﹣i，故命题p3为假；∵，∴p4：z的虚部为1，故命题为真．故真命题为p2，p4故选：C．【点评】本题考查命题真假的判定，考查复数知识，考查学生的计算能力，属于基础题．3．下列推断错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1则x2﹣3x+2≠0”B．命题p：存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则非p：任意x∈R，都有x2+x+1≥0C．若p且q为假命题，则p，q均为假命题D．“x＜1”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】A，写出命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题，可判断A；B，写出命题p：“存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0”的否定￢p，可判断B；C，利用复合命题的真值表可判断C；D，x2﹣3x+2＞0⇒x＞2或x＜1，利用充分必要条件的概念可判断D．【解答】解：对于A，命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1则x2﹣3x+2≠0”，正确；对于B，命题p：存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则非p：任意x∈R，都有x2+x+1≥0，正确；对于C，若p且q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故C错误；对于D，x2﹣3x+2＞0⇒x＞2或x＜1，故“x＜1”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件，正确．综上所述，错误的选项为：C，故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查全称命题与特称命题的理解与应用，考查复合命题与充分必要条件的真假判断，属于中档题．4．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（）A．B．C．D．6【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】由三视图及题设条件知，此几何体为一个三棱柱，其高已知，底面正三角形的高为，故先解三角形求出底面积，再由体积公式求解其体积即可．【解答】解：此几何体为一个三棱柱，棱柱的高是4，底面正三角形的高是，设底面边长为a，则，∴a=6，故三棱柱体积．故选B【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是本棱柱的体积．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的可能．5．已知平面向量与的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（）A．1 B．C．3 D．2【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】由已知将，|+2|=2，两边平方，得到，的模的等式，解之即可．【解答】解：由已知，|+2|2=12，即，所以||2+4||||×+4=12，所以||=2；故选D．【点评】本题考查了向量的模的求法；一般的，要求向量的模，先求向量的平方．6．函数y=a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1=0（mn＞0）上，则的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】函数y=a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（1，1），由于点A在直线mx+ny﹣1=0（mn＞0）上，可得m+n=1．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：函数y=a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（1，1），∵点A在直线mx+ny﹣1=0（mn＞0）上，∴m+n=1．则=（m+n）=2+=4，当且仅当m=n=时取等号．故选：B．【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质、指数函数的性质，属于基础题．7．等比数列{a n}中，a4=2，a5=5，则数列{lga n}的前8项和等于（）A．6 B．5 C．3 D．4【考点】等差数列与等比数列的综合；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由等比数列的性质可得a1•a8=a2•a7=…a4•a5=10，由对数的运算性质，整体代入计算可得．【解答】解：∵等比数列{a n}中a4=2，a5=5，∴a4•a5=2×5=10，∴数列{lga n}的前8项和S=lga1+lga2+…+lga8=lg（a1•a2…a8）=lg（a4•a5）4=4lg（a4•a5）=4lg10=4故选：D．【点评】本题考查等比数列的性质，涉及对数的运算，基本知识的考查．8．已知集合表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P（x，y），则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型；简单线性规划．【专题】概率与统计．【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，则对应的区域为△AOB，由，解得，即B（4，﹣4），由，解得，即A（，），直线2x+y﹣4=0与x轴的交点坐标为（2，0），则△OAB的面积S==，点P的坐标满足不等式x2+y2≤2区域面积S=，则由几何概型的概率公式得点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为=，故选：D【点评】本题考查的知识点是几何概型，二元一次不等式（组）与平面区域，求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据几何概型的概率公式进行求解．9．已知函数f（x）的定义域为[﹣1，4]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示．当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a的零点的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．【专题】数形结合；导数的概念及应用．【分析】根据导函数图象，画出原函数的草图，利用1＜a＜2，即可得到函数y=f（x）﹣a的零点的个数．【解答】解：根据导函数图象，可得2为函数的极小值点，函数y=f（x）的图象如图所示：因为f（0）=f（3）=2，1＜a＜2，所以函数y=f（x）﹣a的零点的个数为4个．故选：C．【点评】本题主要考查导函数和原函数的单调性之间的关系．二者之间的关系是：导函数为正，原函数递增；导函数为负，原函数递减．10．定义行列式运算：．若将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m的最小值是（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；二阶行列式与逆矩阵．【专题】计算题；新定义；三角函数的图像与性质．【分析】由定义的行列式计算得到函数f（x）的解析式，化简后得到y=f（x+m）的解析式，由函数y=f （x+m）是奇函数，则x取0时对应的函数值等于0，由此求出m的值，进一步得到m的最小值．【解答】解：由定义的行列式运算，得====．将函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位后，所得图象对应的函数解析式为．由该函数为奇函数，得，所以，则m=．当k=0时，m有最小值．故选C．【点评】本题考查了二阶行列式与矩阵，考查了函数y=Asin（ωx+Φ）的图象变换，三角函数图象平移的原则是“左加右减，上加下减”，属中档题．11．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（）A．B． C．4 D．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题．【分析】关键点M（2，y0）到该抛物线焦点的距离为3，利用抛物线的定义，可求抛物线方程，进而可得点M的坐标，由此可求|OM|．【解答】解：由题意，抛物线关于x轴对称，开口向右，设方程为y2=2px（p＞0）∵点M（2，y0）到该抛物线焦点的距离为3，∴2+=3∴p=2∴抛物线方程为y2=4x∵M（2，y0）∴∴|OM|=故选B．【点评】本题考查抛物线的性质，考查抛物线的定义，解题的关键是利用抛物线的定义求出抛物线方程．12．设f（x）是定义在R上的恒不为零的函数，对任意实数x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y），若a1=，a n=f（n）（n∈N*），则数列{a n}的前n项和S n的取值范围是（）A．[，2）B．[，2]C．[，1）D．[，1]【考点】抽象函数及其应用．【专题】函数的性质及应用；等差数列与等比数列．【分析】根据f （x ）•f （y ）=f （x+y ），令x=n ，y=1，可得数列{a n }是以为首项，以为等比的等比数列，进而可以求得S n ，进而S n 的取值范围．【解答】解：∵对任意x ，y ∈R ，都有f （x ）•f （y ）=f （x+y ），∴令x=n ，y=1，得f （n ）•f （1）=f （n+1），即==f （1）=，∴数列{a n }是以为首项，以为等比的等比数列，∴a n =f （n ）=（）n ，∴S n ==1﹣（）n ∈[，1）．故选C ．【点评】本题主要考查了等比数列的求和问题，解题的关键是根据对任意x ，y ∈R ，都有f （x ）•f （y ）=f （x+y ）得到数列{a n }是等比数列，属中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13．定义某种运算⊗，S=a ⊗b 的运算原理如图；则式子5⊗3+2⊗4= 14 ．【考点】选择结构．【专题】图表型．【分析】通过程序框图判断出S=a⊗b的解析式，求出5⊗3+2⊗4的值．【解答】解：有框图知S=a⊗b=∴5⊗3+2⊗4=5×（3﹣1）+4×（2﹣1）=14故答案为14【点评】新定义题是近几年常考的题型，要重视．解决新定义题关键是理解题中给的新定义．14．若tanθ+=4，则sin2θ=．【考点】二倍角的正弦．【专题】三角函数的求值．【分析】先利用正弦的二倍角公式变形，然后除以1，将1用同角三角函数关系代换，利用齐次式的方法化简，可求出所求．【解答】解：若tanθ+=4，则sin2θ=2sinθcosθ=====，故答案为．【点评】本题主要考查了二倍角公式，以及齐次式的应用，同时考查了计算能力，属于中档题．15．已知双曲线x2﹣y2=1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|+|PF2|的值为．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据双曲线方程为x2﹣y2=1，可得焦距F1F2=2，因为PF1⊥PF2，所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2．再结合双曲线的定义，得到|PF1|﹣|PF2|=±2，最后联解、配方，可得（|PF1|+|PF2|）2=12，从而得到|PF1|+|PF2|的值为．【解答】解：∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2．∵双曲线方程为x2﹣y2=1，∴a2=b2=1，c2=a2+b2=2，可得F1F2=2∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=8又∵P为双曲线x2﹣y2=1上一点，∴|PF1|﹣|PF2|=±2a=±2，（|PF1|﹣|PF2|）2=4因此（|PF1|+|PF2|）2=2（|PF1|2+|PF2|2）﹣（|PF1|﹣|PF2|）2=12∴|PF1|+|PF2|的值为故答案为：【点评】本题根据已知双曲线上对两个焦点的张角为直角的两条焦半径，求它们长度的和，着重考查了双曲线的基本概念与简单性质，属于基础题．16．已知曲线y=（a﹣3）x3+lnx存在垂直于y轴的切线，函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则a的范围为．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】根据曲线y=（a﹣3）x3+lnx存在垂直于y轴的切线，即y'=0有解，利用f（x）=x3﹣ax2﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则f'（x）≤0恒成立．【解答】解：因为y=（a﹣3）x3+lnx存在垂直于y轴的切线，即y'=0有解，即y'=在x＞0时有解，所以3（a﹣3）x3+1=0，即a﹣3＜0，所以此时a＜3．函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则f'（x）≤0恒成立，即f'（x）=3x2﹣2ax﹣3≤0恒成立，即，因为函数在[1，2]上单调递增，所以函数的最大值为，所以，所以．综上．故答案为：．【点评】本题主要考查导数的基本运算和导数的应用，要求熟练掌握利用导数在研究函数的基本应用．三、解答题（本大题有6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bcosC=3acosB ﹣ccosB ．（Ⅰ）求cosB 的值；（Ⅱ）若，且，求a 和c 的值．【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；余弦定理．【专题】计算题；转化思想．【分析】（1）首先利用正弦定理化边为角，可得2RsinBcosC=3×2RsinAcosB ﹣2RsinCcosB ，然后利用两角和与差的正弦公式及诱导公式化简求值即可．（2）由向量数量积的定义可得accosB=2，结合已知及余弦定理可得a 2+b 2=12，再根据完全平方式易得a=c=．【解答】解：（I ）由正弦定理得a=2RsinA ，b=2RsinB ，c=2RsinC ，则2RsinBcosC=6RsinAcosB ﹣2RsinCcosB ，故sinBcosC=3sinAcosB ﹣sinCcosB ，可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB ，即sin （B+C ）=3sinAcosB ，可得sinA=3sinAcosB ．又sinA ≠0，因此． （II ）解：由，可得accosB=2，，由b 2=a 2+c 2﹣2accosB ，可得a 2+c 2=12，所以（a ﹣c ）2=0，即a=c ，所以．【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理、两角和与差的正弦公式、诱导公式、向量数量积的定义等基础知识，考查了基本运算能力．18．为了了解湖南各景点在大众中的熟知度，随机对15～65岁的人群抽样了n 人，回答问题“湖南省有哪几个著名的旅游景点？”统计结果如下图表．（Ⅰ）分别求出a，b，x，y的值；（Ⅱ）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人？（Ⅲ）在（Ⅱ）抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】（I）由频率表中第4组数据可知，第4组的频数为25，再结合频率分布直方图求得n，a，b，x，y的值；（II）因为第2，3，4组回答正确的人数共有54人，抽取比例为，根据抽取比例计算第2，3，4组每组应抽取的人数；（III）列出从6人中随机抽取2人的所有可能的结果，共15基本事件，其中恰好没有第3组人共3个基本事件，利用古典概型概率公式计算．【解答】解：（Ⅰ）由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为，再结合频率分布直方图可知n=，∴a=100×0.01×10×0.5=5，b=100×0.03×10×0.9=27，；（Ⅱ）因为第2，3，4组回答正确的人数共有54人，∴利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：人；第3组：人；第4组：人（Ⅲ）设第2组2人为：A1，A2；第3组3人为：B1，B2，B3；第4组1人为：C1．则从6人中随机抽取2人的所有可能的结果为：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C1），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C1），（B1，B2），（B1，B3），（B1，C1），（B2，B3），（B2，C1），（B3，C1）共15个基本事件，其中恰好没有第3组人共3个基本事件，∴所抽取的人中恰好没有第3组人的概率是：．【点评】本题考查了频率分布表与频率分布直方图，考查了古典概型的概率计算，解题的关键是读懂频率分布直方图．19．已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，又PD⊥底ABCD，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点．（1）证明：DN∥平面PMB；（2）证明：平面PMB⊥平面PAD；（3）求点A到平面PMB的距离．【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算．【专题】证明题；综合题．【分析】（1）取PB中点Q，连接MQ、NQ，再加上QN∥BC∥MD，且QN=MD，于是DN∥MQ，再利用直线与平面平行的判定定理进行证明，即可解决问题；（2）易证PD⊥MB，又因为底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，且M为AD中点，然后利用平面与平面垂直的判定定理进行证明；（3）因为M是AD中点，所以点A与D到平面PMB等距离，过点D作DH⊥PM于H，由（2）平面PMB⊥平面PAD，所以DH⊥平面PMB，DH是点D到平面PMB的距离，从而求解．【解答】解：（1）证明：取PB中点Q，连接MQ、NQ，因为M、N分别是棱AD、PC中点，所以QN∥BC∥MD，且QN=MD，于是DN∥MQ．⇒DN∥平面PMB．（2）⇒PD⊥MB又因为底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，且M为AD中点，所以MB⊥AD．又AD∩PD=D，所以MB⊥平面PAD.⇒平面PMB⊥平面PAD．（3）因为M是AD中点，所以点A与D到平面PMB等距离．过点D作DH⊥PM于H，由（2）平面PMB⊥平面PAD，所以DH⊥平面PMB．故DH是点D到平面PMB的距离.．∴点A到平面PMB的距离为．【点评】本题主要考查空间线面的位置关系，空间角的计算等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力和探究能力，同时考查学生灵活利用图形，借助向量工具解决问题的能力，考查数形结合思想．20．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2，点（1，）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且△AF2B的面积为，求以F2为圆心且与直线l 相切的圆的方程．【考点】椭圆的标准方程；圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）先设出椭圆的方程，根据题设中的焦距求得c和焦点坐标，根据点（1，）到两焦点的距离求得a，进而根据b=求得b，得到椭圆的方程．（Ⅱ）先看当直线l⊥x轴，求得A，B点的坐标进而求得△AF2B的面积与题意不符故排除，进而可设直线l的方程为：y=k（x+1）与椭圆方程联立消y，设A（x1，y1），B（x2，y2），根据韦达定理可求得x1+x2和x1•x2，进而根据表示出|AB|的距离和圆的半径，求得k，最后求得圆的半径，得到圆的方程．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的方程为，由题意可得：椭圆C两焦点坐标分别为F1（﹣1，0），F2（1，0）．∴．∴a=2，又c=1，b2=4﹣1=3，故椭圆的方程为．（Ⅱ）当直线l⊥x轴，计算得到：，，不符合题意．当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：y=k（x+1），由，消去y得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0显然△＞0成立，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，又即，又圆F2的半径，所以，化简，得17k4+k2﹣18=0，即（k2﹣1）（17k2+18）=0，解得k=±1所以，，故圆F2的方程为：（x﹣1）2+y2=2．【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆与直线，椭圆与圆的关系．考查了学生综合运用所学知识，创造性地解决问题的能力．21．已知函数，（其中常数m＞0）（1）当m=2时，求f（x）的极大值；（2）试讨论f（x）在区间（0，1）上的单调性；（3）当m∈[3，+∞）时，曲线y=f（x）上总存在相异两点P（x1，f（x1））、Q（x2，f（x2）），使得曲线y=f（x）在点P、Q处的切线互相平行，求x1+x2的取值范围．【考点】基本不等式在最值问题中的应用；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【专题】综合题．【分析】（1）利用导数，我们可以确定函数的单调性，这样就可求f（x）的极大值；（2）求导数，再进行类讨论，利用导数的正负，确定函数的单调性；（3）曲线y=f（x）在点P、Q处的切线互相平行，意味着导数值相等，由此作为解题的突破口即可．【解答】解：（1）当m=2时，（x＞0）令f′（x）＜0，可得或x＞2；令f′（x）＞0，可得，∴f（x）在和（2，+∞）上单调递减，在单调递增故（2）（x＞0，m＞0）①当0＜m＜1时，则，故x∈（0，m），f′（x）＜0；x∈（m，1）时，f′（x）＞0此时f（x）在（0，m）上单调递减，在（m，1）单调递增；②当m=1时，则，故x∈（0，1），有恒成立，此时f（x）在（0，1）上单调递减；③当m＞1时，则，故时，f′（x）＜0；时，f′（x）＞0此时f（x）在上单调递减，在单调递增（3）由题意，可得f′（x1）=f′（x2）（x1，x2＞0，且x1≠x2）即⇒∵x1≠x2，由不等式性质可得恒成立，又x1，x2，m＞0∴⇒对m∈[3，+∞）恒成立令，则对m∈[3，+∞）恒成立∴g（m）在[3，+∞）上单调递增，∴故从而“对m∈[3，+∞）恒成立”等价于“”∴x1+x2的取值范围为【点评】运用导数，我们可解决曲线的切线问题，函数的单调性、极值与最值，正确求导是我们解题的关键请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-1：几何证明选讲22．如图所示，PA为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，PA=20，PB=10，∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E．（Ⅰ）求证AB•PC=PA•AC（Ⅱ）求AD•AE的值．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】直线与圆．【分析】（1）由已知条件推导出△PAB∽△PCA，由此能够证明AB•PC=PA•AC．（2）由切割线定理求出PC=40，BC=30，由已知条件条件推导出△ACE∽△ADB，由此能求出AD•AE的值．【解答】（1）证明：∵PA为圆O的切线，∴∠PAB=∠ACP，又∠P为公共角，∴△PAB∽△PCA，∴，∴AB•PC=PA•AC．…（2）解：∵PA为圆O的切线，BC是过点O的割线，∴PA2=PB•PC，∴PC=40，BC=30，又∵∠CAB=90°，∴AC2+AB2=BC2=900，又由（1）知，∴AC=12，AB=6，连接EC，则∠CAE=∠EAB，∴△ACE∽△ADB，∴，∴．【点评】本题考查三角形相似的证明和应用，考查线段乘积的求法，是中档题，解题时要注意切割线定理的合理运用．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．【考点】简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．【专题】坐标系和参数方程．【分析】解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，即可把圆C的参数方程化为直角坐标方程．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，联立即可解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，同理可解得．利用|PQ|=|ρ1﹣ρ2|即可得出．【解答】解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，把圆C的参数方程为参数）化为（x﹣1）2+y2=1，∴ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，由，解得．∵θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2．∴|PQ|=2．【点评】本题考查了利用极坐标方程求曲线的交点弦长，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|2x+1|，g（x）=|x|+a（Ⅰ）当a=0时，解不等式f（x）≥g（x）；（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；带绝对值的函数．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）当a=0时，由f不等式可得|2x+1|≥x，两边平方整理得3x2+4x+1≥0，解此一元二次不等式求得原不等式的解集．（Ⅱ）由f（x）≤g（x）得a≥|2x+1|﹣|x|，令h（x）=|2x+1|﹣|x|，则h（x）=，求得h（x）的最小值，即可得到从而所求实数a的范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=0时，由f（x）≥g（x）得|2x+1|≥x，两边平方整理得3x2+4x+1≥0，解得x≤﹣1 或x≥﹣∴原不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[﹣，+∞）（Ⅱ）由f（x）≤g（x）得a≥|2x+1|﹣|x|，令h（x）=|2x+1|﹣|x|，即h（x）=，故h（x）min=h（﹣）=﹣，故可得到所求实数a的范围为[﹣，+∞）．【点评】本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，求函数的最值，属于中档题．。
甘肃河西五部分高中2019高三第一次(1月)联合考试--数学(文)
甘肃河西五部分高中2019高三第一次（1月）联合考试--数学（文）数学〔文科〕本试卷分第I 卷〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕两部分，其中第II 卷第〔22〕-〔24〕题为选考题，其他题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
参考公式： 锥体体积公式13V Sh=，其中S 为底面面积，h 为高； 柱体体积公式 V Sh =其中S 为底面面积，h 为高； 球的表面积，体积公式 24S R π=，343V Rπ=，其中R 为球的半径。
第一卷一、 选择题〔共12小题，每题5分，总分60分〕 1、复数11,则()z z z i z ⋅=-=-A.2B.－2C.i 2D.i 2-2、设集合M={x ∣x<2},集合N={x ∣0<x<1},那么以下关系中正确的选项是〔 〕A. M ∪N=RB. M ∪СR N=RC. N ∪СR M=RD. M ∩N=M A.212cos 2sin ,x 22=+∈∃x x R B.x x x cos sin ),,0(>∈∀π C.x e x x +>+∞∈∀1),,0( D.1,2-=+∈∃x x R x4、函数221()log 的零点必落在区间f x x x =+-〔〕A.⎪⎭⎫ ⎝⎛4181， B.⎪⎭⎫ ⎝⎛2141， C.⎪⎭⎫ ⎝⎛121，D.()21，5.两点(2,0),(0,2)A B -，点C 是圆2220x y x +-=上任意一点，那么ABC ∆面积的最小值是〔 〕. A.3B.3C.36.060,3,2===∆B b a ABC 中，，那么A=〔〕 A.0045135或 B.0030150或 C.030D.045 7、双曲线2222100(,)yx a b a b-=>>的右焦点是F,过点F 且倾角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，那么此双曲线的离心率的范围是〔〕A.(]21，B.(1,2)C.[)∞+，2D.()∞+，2 8、假设函数82cos 2sin )(π-=+=x x a x x f 的图像关于直线对称，那么a =()A.2B.－2C.1D.－19、一空间几何体的三视图如图1，那么该几何体的体积为〔〕A.322+πB.324+πC.3322+π D.3324+π 10、O 是坐标原点，()11,A -,假设点(),B x y 为平面区域212x y x y ⎧+≥⎪≤⎨⎪≤⎩上一动点，那么OA OB ⋅的取值范围是〔〕 A.10,⎡⎤-⎣⎦B.01,⎡⎤⎣⎦C.02,⎡⎤⎣⎦D.12,⎡⎤-⎣⎦11、三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为∆ABC 的中心，那么1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于〔〕 A.31B.32C.33D.3212.在函数是等差数列，若数列的图象上有点列}{),,()(n n n x y x x f y =数列{n y }是等比数列，那么函数)(x f y =的解析式可能为〔〕 A.12)(+=x x f B.24)(x x f = C.x x f 3log )(= D.x x f )43()(=第二卷二、 填空题〔共4小题，每题5分，总分20分〕13、b a ,均为单位向量，且3=+b a ，那么的夹角大小为与b a _________. 14、函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+-=43,8,1)cos (sin cos 2)(ππx x x x x f 的值域是_________ 15、某程序框图如图2，运行此程序结束后，输出n 的值是________.16.假设函数21()x f x =-的值域和定义域均为,a b ⎡⎤⎣⎦，那么a b +=_______.【三】解答题〔共6小题，总分70分.〕17.〔本小题总分值12分〕在数列}{n a 中，11=a，同时关于任意n ∈N *，都有121+=+n n n a a a 、〔1〕证明数列}1{na 为等差数列，并求}{n a 的通项公式；〔2〕设数列}{1+n n a a 的前n 项和为n T ，求使得20111000>n T 的最小正整数n .18.〔本小题总分值12分〕某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图3所示，其中成绩分组区间是：))))))4050506060707080809090100，，，，，，，，，，，⎡⎡⎡⎡⎡⎡⎣⎣⎣⎣⎣⎣.〔1〕求图中x 的值； 〔2〕从成绩不低于80分的学生中按分层抽样抽取4人，选其中2人为数学课代表，求这两个人的数学成绩不在同一分数段的概率.19、〔本小题总分值12分〕如图4所示，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD=60，E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，PA=2. 〔1〕证明：平面PBE ⊥平面PAB ； 〔2〕求PC 与平面PAB 所成角的余弦值。
甘肃省河西五市部分高中高三数学第一次联考试题 文
2016年1月甘肃省河西五市部分普通高中高三第一次联考数学试卷(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试用时120分钟．考试结束后，将试题纸和答题卡一并交回．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：（本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．已知集合{| lg(1)0}A x x=-≤，={|13}B x x-≤≤，则A B⋂=（）A．[1,3]-B．[1,2]-C．1,3]（D．1,2]（2．复数z满足1+)|3|i z i=（，则=z（）A．1+i B．1i-C．1i--D．1+i-3．设x R∈ ,向量(,1),(1,2),a x b==-r r且a b⊥r r,则||a b+=r r（）A5B10C．25D．104．已知2:,10p m R x mx∀∈--=有解，2000:,210q x N x x∃∈--≤,则下列选项中是假命题的为（）A．p q∧B．p q⌝∧（）C．p q∨D．p q⌝∨（）5．若不等式222x y+≤所表示的平面区域为M，不等式组26x yx yy x-≥⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩表示的平面区域为N，现随机向区域N内抛一粒豆子，则豆子落在区域M内的概率为（）A．8πB．9πC．24πD．6π6．函数]),[()(cosππ-∈=xxexf x的图象大致是（）A．B．C．D．7．正项等比数列{}na中的1a，4031a是函数321()4633f x x x x=-+-的极值点，则20166log=（）A．1-B．1C2D．28．一个几何体的三视图如右图所示，则这个几何体的体积为 （ ）A ．43B ．1C ．52D ．59．阅读如下图所示程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为 （ ）A ．7B ．9C ．10D ．1110．已知抛物线22y x =-的焦点到双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线的距离为5（ ） A 5 B 2 C 10 D 511133的正六边形的六个顶点都在球O 的球面上，球心O 到正六边形所在平面的距离为 22记球O 的体积为V ,球O 的表面积为S ,则VS的值是 （ ）A ．2B ．1C 3D 212．已知函数3||,03()cos(),393log x x f x x x π<<⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩，若方程()f x m =有四个不同实根，则m 的范围是 （ ） A ．(1,2)-B ．1(0,)2C ．[1,)+∞D ．(0,1)第Ⅱ卷(非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第13题:第21题为必考题，每个试题考生都必修作答．第22题:第24题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．13．已知2sin cos αα=，则2015cos(2)2πα-的值为 . 14．若直线220ax by +-=，(0,0)a b >>平分圆222460x y x y +---=,则12a b+的最小值是 .15．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若61012+8a a a -=，1484a a -=，则19=S .B C(第19题图)16．如右图: A ，B 是半径为1的圆O 上两点，且3AOB π∠=．若点C 是圆O 上任意一点，则OA u u u r ·BC uuu r的取值范围是 ．三、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)． 17．(本小题满分12分)已知ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，且22,b c 是关于x 的一元二次方程22()0x a bc x m -++=的两根.(Ⅰ)求角A 的大小； (Ⅱ)若3a ==B θ，ABC ∆的周长为y ，求()y f θ=的最大值．18．(本小题满分12分)为了调查高一新生中女生的体重情况，校卫生室随机选20名女生作为样本，测量她们的体重(单位：kg )，获得的所有数据按照区间(40，45]，(45，50]，(50，55]，(55，60]进行分组，得到频率分布直方图如图所示．已知样本中体重在区间(45，50]上的女生数与体重在区间(55，60]上的女生数之比为4:3． (Ⅰ)求a ，b 的值；(Ⅱ)从样本中体重在区间(50，60]上的女生中随机抽取两人，求 体重在区间(55，60]上的女生至少有一人被抽中的概率．19．(本小题满分12分)在三棱柱111ABC A B C -中,12AB BC CA AA ====, 侧棱1AA ⊥平面ABC .D ,E 分别是棱11A B ,1AA 的中点,点F 在棱AB 上,且14AF AB =. (Ⅰ)求证：||EF 平面1BDC ；(Ⅱ)求三棱锥1D BEC -的体积.20．(本小题满分12分)已知椭圆M ：2221(0)3x y a a +=>，的一个焦点为(1,0)F -，左右顶点分别为A ，B .O4055图3a频率组距产量/kg605045(第18题图)体重(kg )经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点. （Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）记ABD ∆与ABC ∆的面积分别为1S 和2S ，求12||S S -的最大值.21．(本小题满分12分)已知函数()sin xf x e x =，其中x R ∈， 2.71828e =L 为自然对数的底数. (Ⅰ) 求函数()f x 的单调区间； (Ⅱ) 当[0,]2x π∈时，()f x kx ≥，求实数k 的取值范围。
2019年甘肃省兰州市高三一诊考试文科数学试卷(解析版)
2019年甘肃省兰州市高三一诊考试文科数学试卷2019.3.7本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分,考试时间120分钟第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合,则集合中的元素个数为 （ ） A. B. C. D. 答案：B解析：,故选B 2.A. B. C. D. 答案：C解析：,故选C3. 若双曲线的实轴长为则其虚轴长为( )A.答案：B解析：由题意得：B 4. 已知向量的夹角为, ，,则( )A. B. C. D.答案：D 解析：，故选D5. 某区要从参加扶贫攻坚任务的名干部中随机选取人，赴区属的某贫困村进行驻村扶贫工作，则或被选中的概率是（ ）A =x ÎN -1<x <4{}A 3456A =0,1,2,3{}(-1+i )(2i +1)=1+i 1-i -3-i -3+i (-1+i )(2i +1)=-2i +2i 2-1+i =-3-i x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)4a =2ca=\b =\2b =2p 3-32-33235A ,B ,C ,D ,E 2A BA.B. C. D. 答案：D解析：随机选取2人可能有：, 或被选中的有：,所以概率为：，故选D 6.朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界上最早的科学普及著作，《算学启蒙》提到一些堆垛问题，如，“三角垛果子”，就是将一样大小的果子堆垛成正三棱锥，每层皆堆成正三角形，从上向下数，每层果子数分别是1,3,6,10，…。
现有一个“三角垛果子”，其第十层果子数为 A.50 B.55 C.100 D.110 答案：B解析：由题可知，每层果子的形状为正三角形。
因此第一层的果子有1个，每条边的果子有1个；第二层的果子有3个，每条边的果子有2个；第三层果子有6个，每条边的上的果子3个；以此类推。
甘肃省2019届高三第一次高考诊断考试数学(文)试题(解析版)
2019年甘肃省高考数学一诊试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案．【详解】（1+i）（2﹣i）=2﹣i+2i﹣i2=3+i．故选：A．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．2.设集合，1，2，3，，，2，，，3，，则（）A. ，B. ，C. ，1，D. ，2，【答案】C【解析】【分析】先得到，再计算，得到答案【详解】集合，1，2，3，，，2，，，3，，则，，，1，．故选：．【点睛】本题考查集合的交集运算与补集运算，属于简单题.3.已知平面向量，的夹角为，，，则（）A. 3B. 2C. 0D.【答案】C【解析】【分析】由，，，的夹角为，先得到的值，再计算，得到结果.【详解】向量，的夹角为，，，，则，故选：．【点睛】本题考查向量数量积的基本运算，属于简单题.4.已知函数，则（）A. 的最小正周期是，最大值是1B. 的最小正周期是，最大值是C. 的最小正周期是，最大值是D. 的最小正周期是，最大值是1【答案】B【解析】【分析】对进行化简，得到解析式，再求出其最小正周期和最大值.【详解】函数，故函数的周期为，当，即：时，函数取最大值为．故选：．【点睛】本题考查二倍角正弦的逆用，三角函数求周期和最值，属于简单题.5.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是（）A. 55B. 45C. 66D. 36【答案】A【解析】【分析】根据程度框图的要求，按输入值进行循环，根据判断语句，计算循环停止时的值，得到答案.【详解】模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值由于．故选：．【点睛】本题考查根据流程框图求输入值，属于简单题.6.若，则函数的两个零点分别位于区间（）A.C.【答案】A【解析】试题分析：，所以有零点，排除B，D选项.当时，恒成立，没有零点，排除C，故选A.另外，也可知内有零点.考点：零点与二分法.【思路点晴】如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，且有·，那么，函数满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点.③由函数在闭区间上有零点不一定能推出·，如图所示.所以·是在闭区间上有零点的充分不必要条件.7.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求得抛物线的焦点，双曲线的渐近线，再由点到直线的距离公式求出结果.【详解】依题意，抛物线的焦点为，双曲线的渐近线为，其中一条为，由点到直线的距离公式得.故选C.【点睛】本小题主要考查抛物线的焦点坐标，考查双曲线的渐近线方程，考查点到直线的距离公式，属于基础题.8.已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数图像上的特殊点，对选项进行排除，由此得出正确选项.【详解】对于A,B两个选项，，不符合图像，排除A,B选项.对于C选项，，不符合图像，排除C选项，故选D.【点睛】本小题主要考查根据函数图像选择相应的解析式，考查利用特殊值法解选择题，属于基础题.9.在中，，，，则的面积为（）A. 15B.C. 40D.【答案】B【解析】【分析】先利用余弦定理求得，然后利用三角形面积公式求得三角形的面积.【详解】由余弦定理得，解得，由三角形面积得，故选B.【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.10.法国机械学家莱洛．发现了最简单的等宽曲线莱洛三角形，它是分别以正三角形的顶点为圆心，以正三角形边长为半径作三段圆弧组成的一条封闭曲线，在封闭曲线内随机取一点，则此点取自正三角形之内（如图阴影部分）的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先算出封闭曲线的面积，在算出正三角形的面积，由几何概型的计算公式得到答案.【详解】设正三角形的边长为，由扇形面积公式可得封闭曲线的面积为，由几何概型中的面积型可得：此点取自正三角形之内（如图阴影部分）概率是，故选：．【点睛】本题考查几何概型求概率，属于简单题.11.四棱锥的顶点均在一个半径为3的球面上，若正方形的边长为4，则四棱锥的体积最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设正方形的中心为，当在于球心的连线上时，四棱锥高最高，体积取得最大值，利用勾股定理计算出高，然后求得四棱锥的最大体积.【详解】设正方形的中心为，当在于球心的连线上时，四棱锥高最高，由于底面面积固定，则高最高时，四棱锥体积取得最大值.设高为，，球的半径为，故，解得.故四棱锥的体积的最大值为.故选D.【点睛】本小题主要考查几何体外接球有关问题，考查四棱锥体积的计算，所以基础题.12.直线过抛物线的焦点，且交抛物线于，两点，交其准线于点，已知，，则（）A. 2B.C.D. 4【答案】C【解析】过分别做准线的垂线交准线于两点，设，根据抛物线的性质可知，，根据平行线段比例可知，即，解得，又，即，解得，故选C.【点睛】抛物线的定义在解题中的应用，当已知曲线是抛物线时，可利用抛物线上的点满足定义，点到焦点的距离转化点为到准线的距离，这样可利用三角形相似或是平行线段比例关系可求得距离弦长以及相关的最值等问题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.若实数，满足约束条件，则的最大值是_____．【答案】8【解析】【分析】画出可行域，将基准直线向下平移到可行域边界位置，由此求得目标函数的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值，且最大值为.【点睛】本小题主要考查利用线性规划求目标函数的最大值的方法，属于基础题.14.在正方体中，，分别为，中点，则异面直线与所成角的余弦值为__．【答案】【解析】【分析】取的中点，连接，，找到异面直线与所成角，再求出其余弦值【详解】取的中点，连接，，因为，所以（或其补角）为异面直线与所成角，易得：，即，所以，故答案为：．【点睛】本题考查两条异面直线所成的角，属于简单题.15.已知，均为锐角，，，则_____．【答案】【解析】【分析】先求得的值，然后求得的值，进而求得的值.【详解】由于为锐角，且，故，.由，解得，由于为锐角，故.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角差的正切公式，属于中档题.16.已知函数，且，则___．【答案】16【解析】【分析】由，分和进行讨论，得到的值，再求的值【详解】函数，且当时，，解得，不成立，当时，，解得．．故答案为：16．【点睛】本题考查由函数的值求自变量的值，属于简单题.三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知等差数列满足，.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设是等比数列的前项和，若，，求．【答案】(I)；(Ⅱ)，或【解析】【分析】（I）由，可计算出首项和公差，进而求得通项公式。
甘肃河西五市高三第一次联考数学试题及答案
辽宁省抚顺市08-09学年普通高中高一上学期期末教学质量检测高一数学试卷题号 一 二 三 总分20 21 22 23 24得分试卷满分100分，考试时间90分钟．得分 评卷人 一、选择题：本大题共14个小题，每小题3 分，共42分． 在每小题后的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将正确答案的代号填在题后的括号内．1．将集合“正奇数的全体”用描述法表示正确的是 （） A ．{x |21x n =+，n +∈N } B ．{x |21x n =-，n ∈+N }C ．{x |21x n =-，n ∈Z }D ．{x |21x n =+，n ∈Z }2．已知集合A={2|160x x -=}，B={2|120x x x --=}，则集合A B 是 （ ）A ． {-4，3，4}B ． {-3，-4，4}C ． {3，4}D ． {-3， 4}3．已知函数2f x =，则函数()f x 的表达式为 （） A ．42()21(0)f x x x x =++≥ B ．42()21(0)f x x x x =-+≥C ．42()21(1)f x x x x =++≥D ．42()21(1)f x x x x =-+≥4．如图1，是偶函数()y f x =所给信息，下列结论正确的是（ ） A ．(1)(2)0f f -->B ．(1)(2)0f f --=C ．(1)(2)0f f --<D ．(1)(2)0f f +-<5．已知二次函数2()(1)2f x a x =+-的图象经过坐标原点，则下列结论正确的是（） A ．函数()f x 有最大值2 B ．函数()f x 有最小值2C ．函数()f x 有最大值-2D ．函数()f x 有最小值-26．已知函数3()f x x x =--，若实数1x ，2x ，3x 满足120x x +>，230x x +>， 310x x +>，则下列结论一定正确的是 （） A ．123()()()(0)f x f x f x f ++> B ．123()()()(0)f x f x f x f ++=C ．123()()()(0)f x f x f x f ++<D ．123()()()2(0)f x f x f x f ++=7．函数y = （） A ．{|0x x >}和{|0y y >} B ．{|0x x >}和{|1y y ≥}C ．{|0x x ≥}和{|0y y >}D ．{|0x x ≥}和{|1y y ≥}8．式子832log 9log 27的值为 （ ） A ． 25 B ． 52 C ． 109 D ． 9109．下列判断正确的是 （ ）A ．棱柱中两个互相平行的面间的距离叫做棱柱的高B ．三棱锥的侧面可以都是直角三角形C ．底面是正多边形的棱台是正棱台D ．直平行六面体一定是正四棱柱10．如图2，是将一个正方体沿两个顶点及棱上一点截去一个“大角”后水平放置的直观图，则它的府视图为 （ ）A ．B ．C ．D ．11．下列说法正确的是 （ ）A ．过平面外的一点，可以作无数条直线与这个平面平行B ．过平面外的一点，可以作无数个平面与这个平面平行C ．若一条直线与一个平面内的无数条直线垂直，则这条直线与这个平面垂直D ．过不在平面内的一条直线可以作无数个平面与已知平面垂直12．已知点A （1，2），点B （3，4），则在坐标轴上到点A 与点B 的距离相等的点的坐标是 （ ）A ．（5，0）和（-5，0）B ．（0，5）和（0，-5）C ．（5，0）和（0，5）D ．（5，0）和（0，-5）13．下列各组直线中，互相垂直的一组是 （ ）A ．3470x y --=与121670x y --=B ．3470x y --=与121670x y ++=C ．2560x y +-=与2560x y --=D ．2560x y +-=与5260x y -+=14．已知一条直线经过点P （2，1），且与圆2210x y +=相交，截得的弦长为直线的方程为 （ ）A ．250x y ++=B ．250x y +-=图2C．250x y-+= D．250x y--=得分评卷人二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将正确答案直接写在题后的横线上．15．函数23()(1)(1)f x x x=-+的零点是．16．已知函数21(3)()13(3)x xf xx x-⎧=⎨-<⎩≥，则((2))f f-的值是．17．如果二次函数254y x mx=++在区间（-∞，1]-上是减函数，在区间[1-，+∞）是增函数，则m的值是．18．设正四棱台的上底面和下底面的边长分别为2cm和6cm，侧棱长为5cm，则这个正四棱台的高为 cm．19．已知长方体有正方形的侧面，三条棱AB，AC，AD，若点A（0，0，0），点B（3，0，0），点C（0，2，0），点D（0，0，m）在z轴的正半轴上，则m的值是．三、解答题：本大题共5个小题，满分43分，解答要求写出步骤过程得分评卷人 20．本题满分10分（每小题各5分）（1）试说明函数2()23f x x ax=+-的最小值为负数，并求出当最小值为-4时的a值．（2）计算：12266411 log(6)(0.2)lg4lg25log 3427--+⨯---．得分评卷人 21．本题满分8分如图3：在空间四边形ABCD中，AC=AD，BC=BD，且E是CD的中点．（1）求证：平面ABE⊥平面BCD；（2）若F是AB的中点，BC=AD，且AB=8，AE=10，求EF的长．得分评卷人 22已知圆C经过点A（0，5）、B（1）求圆C的方程；（2）求斜率为2且与圆C得分评卷人 23某服装加工厂对外批发某种服装，生产成本为每件60元．该加工厂为了鼓励零售商大批量购买，推出优惠政策：一次购买不超过50件时，只享受批发价；一次购买超过50件时，每多．购买1件，购买者所购买的所有．．服装可在享受批发价的基础上，每件再降低0.2元，但每件最低价不低于50元．（1）试写出该种服装实际售价()f x与销售数量x的函数关系式；（2）在每件实际售价高于50元时，购买者一次购买多少件，加工厂获得的利润最大？（利润=销售总额－成本）得 分 评卷人 24．本题满分9分已知0a >且1a ≠，211(log )()1a f x x a x=--． （1）求函数()f x 的解析式；（2）试判定函数()f x 的奇偶性与单调性；（3）若对于函数()f x ，当x ∈（-1，1）时，有(1)(32)0f m f m -+-<恒成立，求实数m 的取值范围．抚顺市08-09学年普通高中高一上学期期末教学质量检测高一数学试卷参考答案与评分标准15、二重零点-1和零点1；16、13；17、10；1819、2或3．三、解答题：共5个小题，满分43分．20、本题满分10分．（1）解：因为22()()3f x x a a =+--，所以当x a =-时，()f x 取得最小值23a --，又对于a ∈R ，20a -≤，230a --<，所以()f x 取得最小值为负数……3分当234a --=-时，解得1a =-或1a =……2分（2）解：原式=12264251log 27()()lg(425)345--⨯+⨯-⨯ ……3分 =2262log 625lg102102105+⨯-=+-= ……2分 21、本题满分8分．（1）证明：因为AC=AD ，BC=BD ，且E 是CD 的中点，所以BE ⊥CD ，且AE ⊥CD ，又AE BE=E ，所以CD ⊥平面ABE ，所以平面ABE ⊥平面BCD ……3分（2）因为E 是CD 的中点，所以CE=ED ，由（1）知BE ⊥CD ，且AE ⊥CD ，所以BC 2=BE 2+CE 2=BE 2+ED 2，AD 2=AE 2+ED 2，因为BC=AD ，所以AE = BE ……3分AB 的中点，所以AF=FB=4，且EF ⊥AB ，所以=2分22、本题满分8分．解：（1）设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则有525025034250E F D E F D E F ++=⎧⎪-++=⎨⎪+--=⎩，解这个方程组得D=6，E=-2，F=-15……3分所以圆C 的方程为22(3)(1)25x y ++-=……2分（2）由题意设所求直线的方程为2y x b =+5=，得7b =±所以直线方程为27y x =++或27y x =+-3分23、本题满分8分．解：（1）设购买者一次购买x 件，每件实际售价恰好是50元，则由题得：60(50)0.250x --⨯=，解得100x = ……1分 所以60(050)1()70(50100)550(100)x f x x x x <⎧⎪⎪=-<<⎨⎪⎪⎩≤≥ ……3分 （2）当050x <≤时，加工厂的利润为604020x x x -=，最大利润为当50x =时取得，最大利润为20501000⨯=元……1分当50100x <<时，加工厂的利润为211(70)403055x x x x x --=-+， 最大利润为当75x =时取得，最大利润为1125元，答：当购买者一次购买75件时，加工厂获得的利润最大，为1125元……3分24、本题满分9分．解：（1）令log a x t =，则t x a =，得21()()1t t f t a a a -=--， 所以21()()1x x f x a a a -=-- ……2分 （2）因为2211()()()()11x x x x f x a a a a f x a a ---=-=--=---， 所以函数()f x 为奇函数……1分任取12x x <，则2112()2121()()()(1)1x x x x f x f x a a a a -+-=-+- 因为当0a >且1a ≠，恒有21()()0f x f x ->，所以()f x 为增函数……3分（3）因为()f x 为奇函数，所以由(1)(32)0f m f m -+-<得(1)(32)(23)f m f m f m -<--=-，又()f x 为增函数，所以有1111321123m m m m -<-<⎧⎪-<-<⎨⎪-<-⎩，解得1132m << ……3分。
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2019届甘肃省河西五市高三第一次联考文科数学试卷
【含答案及解析】
姓名___________ 班级____________ 分数__________
一、选择题
1. 已知集合，，则（）
A ．______________
B ．_________
C ．_________
D ．
2. 复数满足，则（）
A ．___________________________________
B ．____________________
C ．______________
D ．
3. 设，向量，，且，则（）
A ．
B ．_________________________________
C ．____________________
D ．
4. 已知，有解，，则下列选项中是假命题的为（）
A ． ______________________________
B ． _________
C ．___________
D ．
5. 若不等式所表示的平面区域为，不等式组表示的
平面区域为，现随机向区域内抛一粒豆子，则豆子落在区域内的概率为（）
A ．____________________________
B ．____________________________
C ．____________________________
D ．
6. 函数的图象大致是（）
7. 正项等比数列中的，是函数的极值点，则（）
A ．______________
B ．_________________________________
C ．
______________ D ．
8. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）
A ．____________________________
B ．________________________
C ．
____________________________ D ．
9. 阅读如下图所示程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果（）
A ．________
B ． ________
C ．
D ．
10. 已知抛物线的焦点到双曲线的一条渐近
线的距离为，则该双曲线的离心率为（）
A ．_______________________
B ．
C ． ________
D ．
11. 面积为的正六边形的六个顶点都在球的球面上，球心到正六
边形所在平面的距离为，记球的体积为，球的表面积为，
则的值是（）
A ．____________________________
B ． _________
C ．
___________ D ．
12. 已知函数，若方程有四个不同实根，则的范围是（）
A ．______________
B ．______________
C ．
D ．
二、填空题
13. 已知，则的值为________________________ ．
14. 若直线，平分圆，则
的最小值是______________ ．
15. 记等差数列的前项和为，若，，则_________________________________ ．
16. 如图：，是半径为的圆上两点，且，若点是
圆上任意一点，则· 的取值范围是______________ ．
三、解答题
17. 已知中，，，分别是角，，的对边，且，
是关于的一元二次方程的两根．
（1）求角的大小；
（2）若，设，的周长为，求的最大值．
18. 为了调查高一新生中女生的体重情况，校卫生室随机选20名女生作为样本，测
量她们的体重（单位： kg ），获得的所有数据按照区间，，，进行分组，得到频率分布直方图如图所示．已知样本中体重在区
间上的女生数与体重在区间上的女生数之比为．
（1）求，的值；
（2）从样本中体重在区间上的女生中随机抽取两人，求体重在区间
上的女生至少有一人被抽中的概率．
19. 在三棱柱中，，侧棱平面
，且，分别是棱，的中点，点在棱上，且．
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积．
20. 已知椭圆：的一个焦点为，左右顶点分别为
，，经过点的直线与椭圆交于，两点．
（1）求椭圆方程；
（2）记与的面积分别为和，求的最大值．
21. 已知函数，其中，为自然对数的底数．（1）求函数的单调区间；
（2）当时，，求实数的取值范围．
22. 选修4-1 ：几何证明选讲
如图，内接于直径为的圆，过点作圆的切线交的延长线于点，的平分线分别交圆和于点，，若
．
（1）求证：；
（2）求· 的值．
23. 选修4-4 ：坐标系与参数方程．
已知直线的参数方程为（为参数），在直角坐标系中，
以点为极点，轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，设圆的方程为．
（1）求圆的直角坐标方程；
（2）若直线截圆所得弦长为，求实数的值．
24. 选修4-5 ：不等式选讲
已知不等式的解集为．
（1）求集合；
（2）若，，，不等式恒成立，求实数的取值范围．
参考答案及解析
第1题【答案】
第2题【答案】
第3题【答案】
第4题【答案】
第5题【答案】
第6题【答案】
第7题【答案】
第8题【答案】
第9题【答案】
第10题【答案】
第11题【答案】
第12题【答案】
第13题【答案】
第14题【答案】
第15题【答案】
第16题【答案】
第17题【答案】
第18题【答案】
第19题【答案】
第20题【答案】
第21题【答案】
第22题【答案】
第23题【答案】
第24题【答案】。