学案充分条件和必要条件
学案12：1.2.1 充分条件与必要条件~1.2.2 充要条件
1.2.1 充分条件与必要条件~1.2.2 充要条件学习目标(1)正确理解充分条件、必要条件、充要条件三个概念；(2)能利用充分条件、必要条件、充要条件三个概念，熟练判断四种命题间的关系；(3)在理解定义的基础上，可以自觉地对定义进行转化，转化成推理关系及集合的包含关系．学习重点：充分条件、必要条件和充要条件三个概念的定义．学习难点：必要条件的定义、充要条件的充分必要性．知识点充分条件、必要条件与充要条件问题导思观察下面四个电路图，开关A闭合作为命题的条件p，灯泡B亮作为命题的结论q.1．在上面四个电路中，你能说出p，q之间的推出关系吗？2．电路图③中开关A闭合，灯泡B亮；反之灯泡B亮，开关A一定闭合，两者的关系应如何表述？知识梳理1．充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系p q p q条件关系p是q的条件q是p的条件p不是q的条件q不是p的条件2.充要条件的概念一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说p是q的条件，简称条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q条件.互动探究类型1 充分条件、必要条件、充要条件的判断例1(1)已知实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，下列结论正确的是()①Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的充要条件；②Δ＝b2－4ac＝0是这个方程有实根的充分条件；③Δ＝b2－4ac＞0是这个方程有实根的必要条件；④Δ＝b2－4ac＜0是这个方程没有实根的充要条件．A．③④B．②③C．①②③D．①②④(2)若p：(x－1)(x＋2)≤0，q：x＜2，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件规律方法1．判断p是q的什么条件，主要判断p⇒q，及q⇒p两命题的正确性，若p⇒q真，则p是q成立的充分条件；若q⇒p真，则p是q成立的必要条件．要否定p与q不能相互推出时，可以举出一个反例进行否定．2．判定方法常用以下几种：(1)定义法：借助“⇒”号，可记为：箭头所指为必要，箭尾跟着充分．(2)集合法：将命题p、q分别看做集合A，B，当A⊆B时，p是q的充分条件，q是p的必要条件，即p⇒q，可以用“小范围推出大范围”来记忆；当A＝B时，p、q互为充要条件．变式训练已知如下三个命题中：①若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的充分不必要条件；②对于实数a，b，c，“a>b”是“ac2>bc2”的充分不必要条件；③直线l1：ax＋y＝3，l2：x＋by－c＝0.则“ab＝1”是“l1∥l2”的必要不充分条件；④“m＜－2或m＞6”是“y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同零点”的充要条件．正确的结论是________．类型2 充分条件、必要条件、充要条件的应用例2 设集合A ＝{x |－x 2＋x ＋6≤0}，关于x 的不等式x 2－ax －2a 2＞0的解集为B (其中a ＜0)．(1)求集合B ；(2)设p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，且¬p 是¬q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．规律方法1．利用充分、必要条件求参数的取值范围问题，常利用集合法求解，即先化简集合A ＝{x |p (x )}和B ＝{x |q (x )}，然后根据p 与q 的关系(充分、必要、充要条件)，得出集合A 与B 的包含关系，进而得到相关不等式组(也可借助数轴)，求出参数的取值范围．2．判断p 是q 的什么条件，若直接判断困难，还可以用等价命题来判断，有时也可通过举反例否定充分性或必要性．变式训练已知p ：x 2－8x －20≤0，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)．若¬p 是¬q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．类型3 充要条件的证明例3 求证：方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不等的实根的充要条件是：0＜m ＜13.规律方法1．证明p 是q 的充要条件，既要证明命题“p ⇒q ”为真，又要证明“q ⇒p ”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性．2．证明充要条件，即说明原命题和逆命题都成立，要注意“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”这两种说法的差异，分清哪个是条件，哪个是结论．变式训练求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.课堂小结充分条件与必要条件的判断方法(1)定义法用定义法判断直观、简捷，且一般情况下，错误率低，在解题中应用极为广泛．(2)集合法从集合角度看，设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|满足条件q}．①若A⊆B，则p是q的充分条件；若A B，则p是q的充分不必要条件．②若A⊇B，则p是q的必要条件；若A B，则p是q的必要不充分条件．③若A＝B，则p是q的充要条件．④若A B，且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．(3)等价转化法当某一命题不易直接判断条件和结论的关系(特别是对于否定形式或“≠”形式的命题)时，可利用原命题与逆否命题等价来解决．(4)传递法充分条件与必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒p3⇒…⇒p n，则可得p1⇒p n，充要条件也有传递性．当堂检测1．“x＝3”是“x2＝9”的()A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件2．设p：x2＋3x－4＞0，q：x＝2，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．在“x2＋(y－2)2＝0是x(y－2)＝0的充分不必要条件”这句话中，已知条件是________，结论是________．4．若p：x＝1或x＝2；q：x－1＝x－1，则p是q的什么条件？参考答案知识点充分条件、必要条件与充要条件问题导思1．【提示】①开关A闭合，灯泡B一定亮，灯泡B亮，开关A 不一定闭合，即p ⇒q ，qp ；②开关A 闭合，灯泡B 不一定亮，灯泡B 亮，开关A 必须闭合，即p q ，q ⇒p ；③开关A 闭合，灯泡B 亮，反之灯泡B 亮，开关A 一定闭合，即p ⇔q ；④开关A 闭合与否，不影响灯泡B ，反之，灯泡B 亮与否，与开关A 无关，即pq ，且q p .2．【提示】 p ⇔q .知识梳理1．⇒ 充分 充分 必要 必要2.充分必要 充要 互为充要互动探究类型1 充分条件、必要条件、充要条件的判断例1 【答案】 (1)D (2)A【解析】 (1)①对，Δ≥0⇔方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根；②对，Δ＝0⇒方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根；③错，Δ＞0⇒方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根，但ax 2＋bx ＋c ＝0有实根Δ＞0；④对，Δ＜0⇔方程ax 2＋bx ＋c ＝0无实根．故选D.(2)p ：－2≤x ≤1，q ：x ＜2，显然p ⇒q ，但qp ，即p 是q 的充分不必要条件． 变式训练 【答案】 ①③④【解析】 ①中，当a ＝2时，有(a －1)(a －2)＝0；但当(a －1)(a －2)＝0时，a ＝1或a ＝2，不一定有a ＝2.∴“a ＝2”是“(a －1)(a －2)＝0”的充分不必要条件，①正确．②∵a >b ac 2>bc 2(c ＝0)，但ac 2>bc 2⇒a >b . ∴“a >b ”是“ac 2>bc 2”必要不充分条件，②错．③中，ab ＝1且ac ＝3时，l 1与l 2重合，但l 1∥l 2⇒a 1＝1b，即ab ＝1， ∴“ab ＝1”是“l 1∥l 2”的必要不充分条件，③正确．④中，y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同零点⇔Δ＝m 2－4(m ＋3)＞0⇔m ＜－2或m ＞6. ∴是充要条件，④正确．类型2 充分条件、必要条件、充要条件的应用例2 解：(1)x 2－ax －2a 2＞0⇔(x －2a )(x ＋a )＞0，解得x ＞－a 或x ＜2a .故集合B ＝{x |x ＞－a 或x ＜2a }．(2)法一 若¬p 是¬q 的必要不充分条件，则¬q ⇒¬p ，由此可得p ⇒q ，则A ＝{x |x 2－x －6≥0}＝{x |(x －3)(x ＋2)≥0}＝{x |x ≥3或x ≤－2}由p ⇒q ，可得A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ＜3－2＜2a ，⇒a ＞－1. 法二 A ＝{x |x ≥3或x ≤－2}，∁U A ＝{x |－2＜x ＜3}，而∁U B ＝{x |2a ≤x ≤－a }，由¬p 是¬q 的必要不充分条件，可得¬q ⇒¬p ，也即∁U B ⊆∁U A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＞－2－a ＜3，⇒a ＞－1. 变式训练解：法一 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，由x 2－2x ＋1－m 2≤0，得1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)．∴¬p ：A ＝{x |x ＞10或x ＜－2}，¬q ：B ＝{x |x ＞1＋m 或x ＜1－m }．∵¬p 是¬q 的充分而不必要条件，∴A B .∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，1＋m ≤10，1－m ≥－2，解得0＜m ≤3.∴m 的取值范围是{m |0＜m ≤3}．法二 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，由x 2－2x ＋1－m 2≤0得1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)，∴p ：A ＝{x |－2≤x ≤10}，q ：B ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．∵¬p 是¬q 的充分不必要条件，∴q 也是p 的充分不必要条件，∴B A .∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，1＋m ≤10，1－m ≥－2，解得0＜m ≤3.∴m 的取值范围是{m |0＜m ≤3}.类型3 充要条件的证明例3 证明：充分性(由条件推结论)：∵0＜m ＜13， ∴方程mx 2－2x ＋3＝0的判别式Δ＝4－12m ＞0，∴方程有两个不等的实根．设方程的两根为x 1、x 2，当0＜m ＜13时，x 1＋x 2＝2m ＞0且x 1x 2＝3m＞0，故方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根，即0＜m ＜13⇒方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根．必要性(由结论推条件)：若方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－12m ＞0x 1x 2＞0， ∴0＜m ＜13，即方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根⇒0＜m ＜13. 综上，方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m ＜13. 变式训练证明：假设p ：方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是1，q ：a ＋b ＋c ＝0.(1)证明p ⇒q ，即证明必要性．∵x ＝1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，∴a ·12＋b ·1＋c ＝0，即a ＋b ＋c ＝0.(2)证明q ⇒p ，即证明充分性．由a ＋b ＋c ＝0，得c ＝－a －b .∵ax2＋bx＋c＝0，∴ax2＋bx－a－b＝0，即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.∴x＝1是方程的一个根．故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.当堂检测1．【答案】A【解析】当x＝3时，x2＝9；但x2＝9，有x＝±3.∴“x＝3”是“x2＝9”的充分不必要条件．2．【答案】B【解析】当x2＋3x－4＞0时，不一定有x＝2；但当x＝2时，必有x2＋3x－4＞0，故p是q的必要不充分条件．3．【答案】x2＋(y－2)2＝0x(y－2)＝04．解：因为x＝1或x＝2⇒x－1＝x－1；x－1＝x－1⇒x＝1或x＝2，所以p是q的充要条件.。
学案：充分条件与必要条件
充分条件与必要条件 （一） 日期：学习目标：正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念，并能在判断、论证中正确运用 重点难点：充分不必要条件、必要不充分条件的概念及判断方法学习过程：一、自学课本，解决课后练习；二、交流探究：1、请给出推断符号“p q ⇒”的含义2、请分别给出充分条件、必要条件的概念应注意：条件和结论是相对而言的，由“p q ⇒”等价命题是“q p ⌝⇒⌝”，即若q 不成立，则p 就不成立，故q 就是p 成立的必要条件了．但还必须注意，q 成立时，p 可能成立，也可能不成立，即q 成立不保证p 一定成立．3、如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢？三、学以致用：1、指出下列命题中，p 是q 的什么条件?(在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充分且必要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种)⑴p ：10x -=，q ：()()120x x -+=； ⑵p ：两直线平行，q ：内错角相等；⑶p ：a b >，q ：22a b >； ⑷p ：四边形的四条边相等，q ：四边形是正方形．说明：以上是直接利用定义由原命题判断充分条件与必要条件的方法.那么，如果由命题不是很好判断的话，我们可以换一种方式，根据互为逆否命题的等价性，利用它的逆否命题来进行判断.2、如图1，有一个圆A ，在其内又含有一个圆B . 请回答：⑴命题：若“A 为绿色”，则“B 为绿色”中，“A 为绿色”是“B 为绿色”的什么条件；“B 为绿色”又是“A 为绿色”的什么条件.⑵命题：若“红点在B 内”，则“红点一定在A 内”中，“红点在B 内”是“红点在A 内”的什么条件；“红点在A 内”又是“红点在B 内”的什么条件.说明：（１）对上述问题（2），若用集合观点又怎样解释呢？即给定两个条件,p q ，要判断p 是q 的什么条件，也可考虑集合：{|A x x =满足条件},{|p B x x =满足条件}q①A B ⊆,则p 为q 的充分条件，q 为p 的必要条件；②A B ≠⊂,则p 为q 的充分条件不必要条件； ③A B =，则p 、q 互为充分且必要条件3、⑴“a b c >>”是“()()()0a b b c c a ---<”的 条件．⑵若a 、b 都是实数，从①0ab >；②0a b +>；③0ab =；④0a b +=；⑤220a b +>；⑥220a b +=中选出使,a b 不都为0的充分条件是 ．（3）“A B A =”是“A B =”的 ( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件四、概括升华：五、温故知新：习题1-2 1，2，41．是由p 经过推理可以得出q ，即如果p 成立，那么q 一定成立．此时可记作“p q ⇒”．由p 经过推理得不出q ，即如果p 成立，推不出q 成立，此时可记作“p q ⇒/”． 用推断符号“⇒”写出下列命题：⑴若a b >，则a c b c +>+； ⑵若0x ≥，则20x ≥；⑶若两三角形全等，则两三角形的面积相等．2．充分条件与必要条件一般地，如果已知p q ⇒，那么就说：p 是q 的充分条件；q 是p 的必要条件．由上述定义中，“p q ⇒”即如果具备了条件p ，就足以保证q 成立，所以p 是q 的充分条件，这点容易理解．但同时说q 是p 的必要条件是为什么呢？如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢？充分性：说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．它符合上述的“若p 则q ”为真（即p q ⇒）的形式．“有之必成立，无之未必不成立”．必要性：必要就是必须，必不可少．它满足上述的“若非q 则非p ”为真（即q p ⌝⇒⌝）的形式．“有之未必成立，无之必不成立”．解：⑴因为10x -=⇒(1)(2)0x x -+=，但(1)(2)0x x -+=⇒/10x -=，所以p 是q 的充分不必要条件.⑵因为，两条直线平行⇔内错角相等，所以p 是q 的充要条件；⑶因为，22a b a b >⇒>/，但22a b a b >⇒>/，所以：p 是q 的既不充分条件又不必要条件。
充分条件、必要条件与命题的四种形式
学案三 充分条件、必要条件与命题的四种形式一、目标要求理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系。
二、知识梳理1、充要条件（1）定义：(2)若p ⇒q ，但q ⇒/p,则p 是q 的若q ⇒p ，但p ⇒/q ，则p 是q 的2、四种命题（1）命题的四种形式：原命题： 逆命题：否命题： 逆否（2）四种命题的关系如下：三、基础训练1、a=3是直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a-1)y=a-7平行且不重合的（ ） A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 既非充分也非必要条件2、在ABC ∆中条件A 〉B 是B A 22cos cos <的 条件3、“ab<0”是方程a c by x =+22表示双曲线的 条件4、(2008山东文)给出命题：若函数y=f(x)是幂函数，则函数y=f(x)的图像不过第四象限。
在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是 （ ）A 、 3B 、 2C 、 1D 、 0 四、典例精析例1（2007山东 理）下列各小题中，p 是q 的充要条件的是① p:62>-<m m 或; q:32+++=m mx x y 有两个不同的零点。
② p:1)()(=-x f x f ；q:)(x f y =是偶函数。
③ p:βαcos cos =；q:βαtan tan =。
④ p:A =B A ；q:AC B C U U ⊆。
A. ①② B.②③ C.③④ D.①④例2已知p:2311≤--x ；q:).0(01222>≤-+-m m x x 若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围。
例3已知数列{n a }的前n 项和)10(≠≠+=p p q p s n n 且，求数列{n a }成等比数列的充要条件。
五、综合训练一、选择题1、 条件p:∣x+1|>2;条件q:x>2,则p ⌝是q ⌝的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ） 必要不充分条件︳(C)充要条件 （D ）既不充分也不必要条件2、 是⎩⎨⎧>>3321x x ⎩⎨⎧>>+9x x 6x x 2121成立的 （ ） （A ）充分不必要条件 （B ） 必要不充分条件︳(C)充要条件 （ D ）既不充分也不必要条件3、四个条件b>0>a,0>a>b,a>0>b,a>b>0中，能使ba 11<成立的充分条件的个数是（ ） （A ）1 （B ）2 (C)3 （D ）44、已知真命题“a c b ⇒≥>d ”和“a<b f e ≤⇔”,那么“d c ≤”是“f e ≤”的（ ）（A ）充分条件 （B ） 必要条件(C)充要条件 （D ）既不充分也不必要条件5、下列四个命题：（1） “若xy=1,则x,y 互为倒数”的逆命题，（2） “相似三角形的周长相等”的否命题，（3） “若a 1≤,则方程0222=++-a a ax x 有实根”的逆命题，（4） “若,B B A =⋃则B A ⊇”的逆否命题其中真命题的是 （ ）A (1)(2) B(2)(3) C (1)(3) D （3）（4）6、已知=a,=b,=c,则a+b+c=0是A,B,C 三点构成三角形的是（ ）（A ）充分不必要条件 （B ） 必要不充分条件(C)充要条件 （D ）既不充分也不必要条件7、 已知222111,,,,,c b a c b a 均为非零实数，不等式0022221121>++>++c x b x a c x b x a 和的解集分别为集合M 和N,那么“212121c c b b a a ==”是 “M=N ”的( )（A ）充分不必要条件 （B ） 必要不充分条件(C)充要条件 （D ）既不充分也不必要条件8、 设有如下三个命题：甲：相交的直线l,m 都在平面α内,并且都不在平面β内；乙：直线l,m 中至少有一条与平面β相交;丙：平面α与平面β相交。
学案2：1.3.1 推出与充分条件、必要条件
1.3.1推出与充分条件、必要条件学习目标1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义.2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．知识梳理知识点一充分条件与必要条件1．当命题“如果p，则q”经过推理证明判定为真命题时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的条件，q是p的条件．这几种形式的表达，讲的是同一个逻辑关系，只是说法不同而已．2．若p⇒q，但q⇏p，称p是q的条件，若q⇒p，但p⇏q，称p是q的条件．知识点二充要条件1．一般地，如果p⇒q，且q⇒p，就记作p⇔q，此时，我们说，p是q的条件，简称充要条件．p是q的充要条件，又常说成q当且仅当p，或p与q等价．2．从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件.若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B，则p是q的充分不必要条件若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A，则p是q的必要不充分条件若A＝B，则p，q互为充要条件若A⊈B且B⊈A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件学习案例题型一充分、必要、充要条件的判断例1下列各题中，p是q的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件)(1)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝x－1；(2)p：m>0，q：x2＋x－m＝0有实根；(3)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．反思感悟充分条件、必要条件的两种常用的判断方法(1)定义法：①确定谁是条件，谁是结论；②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件；③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件．(2)命题判断法：①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．跟踪训练1下列各题中，试分别指出p是q的什么条件．(1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；(2)p：f(x)＝x，q：f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数；(3)p：A⊆B，q：A∩B＝A；(4)p：a>b，q：ac>bc.题型二充分条件、必要条件、充要条件的应用命题角度1由充分条件、必要条件求参数范围例2已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．反思感悟由条件关系求参数的取值(范围)的步骤(1)根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系．(2)根据集合端点或数形结合列方程或不等式(组)求解．跟踪训练2(1)“不等式(a＋x)(1＋x)<0成立”的一个充分不必要条件是“－2<x<－1”，则实数a的取值范围是________．(2)已知P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|1<x<3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，则实数a的取值范围是________．命题角度2探求充要条件例3求关于x的一元二次不等式ax2＋1>ax对于一切实数x都成立的充要条件．反思感悟求一个问题的充要条件，就是利用等价转化的思想，使得转化前后的两个命题所对应的解集是两个相同的集合，这就要求我们转化的时候思维要缜密．跟踪训练3 直线x ＋y ＋m ＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝2相切的充要条件是m ＝________.充要条件的证明典例 求证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0. 证明 充分性(由ac <0推证方程有一正根和一负根)，∵ac <0，∴一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式Δ＝b 2－4ac >0，∴原方程一定有两不等实根，不妨设为x 1，x 2，则x 1x 2＝c a<0， ∴原方程的两根异号，即一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根．必要性(由方程有一正根和一负根推证ac <0)，∵一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根，不妨设为x 1，x 2，∴由根与系数的关系得x 1x 2＝c a<0，即ac <0， 此时Δ＝b 2－4ac >0，满足原方程有两个不等实根．综上可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.[素养评析] (1)一般地，证明“p 成立的充要条件为q ”时，在证充分性时应以q 为“已知条件”，p 是该步中要证明的“结论”，即q ⇒p ；证明必要性时则是以p 为“已知条件”，q 为该步中要证明的“结论”，即p ⇒q .(2)通过论证数学命题，学会有逻辑地思考问题，探索和表述论证过程，能很好的提升学生的逻辑思维品质．达标检测1．“－2<x <1”是“x >1或x <－1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件2．设命题p ：x 2－3x ＋2<0，q ：x －1x －2≤0，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．“θ＝0”是“sin θ＝0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．记不等式x2＋x－6<0的解集为集合A，函数y＝lg(x－a)的定义域为集合B.若“x∈A”是“x ∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为________．5．“a＝0”是“直线l1：x－2ay－1＝0与l2：2x－2ay－1＝0平行”的________条件．参考答案知识点一充分条件与必要条件1．充分必要2．充分不必要必要不充分知识点二 充要条件1．充分且必要 学习案例题型一 充分、必要、充要条件的判断例1 解 (1)因为x ＝1或x ＝2⇒x －1＝x －1，x －1＝x －1⇒x ＝1或x ＝2，所以p 是q 的充要条件．(2)因为m >0⇒方程x 2＋x －m ＝0的判别式Δ＝1＋4m >0，即方程有实根，方程x 2＋x －m ＝0有实根，即Δ＝1＋4m ≥0⇏m >0，所以p 是q 的充分不必要条件．(3)p 是q 的既不充分也不必要条件．跟踪训练1 解 (1)∵两个三角形相似⇏两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，∴p 是q 的必要不充分条件．(2)∵f (x )＝x ⇒f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数，但f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数⇏f (x )＝x ，∴p 是q 的充分不必要条件．(3)∵p ⇒q ，且q ⇒p ，∴p 是q 的充要条件．(4)∵p ⇏q ，且q ⇏p ，∴p 是q 的既不充分也不必要条件．题型二 充分条件、必要条件、充要条件的应用命题角度1 由充分条件、必要条件求参数范围例2 解 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．因为p 是q 的必要不充分条件，所以q 是p 的充分不必要条件，即{x |1－m ≤x ≤1＋m }{x |－2≤x ≤10}，故有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≥－2，1＋m <10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m >－2，1＋m ≤10，解得m ≤3. 又m >0，所以实数m 的取值范围为{m |0<m ≤3}．跟踪训练2 (1)【答案】 (2，＋∞)【解析】 不等式变形为(x ＋1)(x ＋a )<0，因为当－2<x <－1时不等式成立，所以不等式的解集是－a <x <－1.由题意有(－2，－1)(－a ，－1)，所以－2>－a ，即a >2.(2)【答案】 [－1,5]【解析】 因为“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，所以Q ⊆P ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －4≤1，a ＋4≥3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤5，a ≥－1， 所以－1≤a ≤5.命题角度2 探求充要条件例3 解 由题意可知，关于x 的一元二次不等式ax 2＋1>ax 对于一切实数x 都成立， 等价于对于方程ax 2－ax ＋1＝0中，⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0⇔0<a <4. 跟踪训练3 【答案】 －4或0【解析】 由题意知，直线与圆相切等价于圆心(1,1)到直线x ＋y ＋m ＝0的距离等于半径2， 即|2＋m |2＝2，得m ＝－4或0. 达标检测1．【答案】 C【解析】 ∵－2<x <1⇏x >1或x <－1，且x >1或x <－1⇏－2<x <1，∴“－2<x <1”是“x >1或x <－1”的既不充分也不必要条件．2．【答案】 A【解析】 命题p ：1<x <2；命题q ：1≤x <2，故p 是q 的充分不必要条件．3．【答案】 A【解析】 由于当“θ＝0”时，一定有“sin θ＝0”成立，反之不成立，所以“θ＝0”是“sin θ＝0”的充分不必要条件．4．【答案】 (－∞，－3]【解析】 由于A ＝{x |x 2＋x －6<0}＝{x |－3<x <2}，B ＝{x |y ＝lg(x －a )}＝{x |x >a }，而“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则有A ⊆B ，则有a ≤－3.5．【答案】 充要【解析】 (1)∵a ＝0，∴l 1：x －1＝0，l 2：2x －1＝0，∴l 1∥l 2，即a ＝0⇒l 1∥l 2.(2)若l 1∥l 2，当a ≠0时， l 1：y ＝12a x －12a ，l 2：y ＝1a x －12a. 令12a ＝1a，方程无解． 当a ＝0时，l 1：x －1＝0，l 2：2x －1＝0，显然l 1∥l 2.∴a ＝0是直线l 1与l 2平行的充要条件．。
高中数学 同步学案 充分条件与必要条件
充分条件与必要条件预习课本P9～11,思考并完成以下问题 1．什么是充分条件、必要条件？2．什么是充要条件？[新知初探]1．充分条件与必要条件命题真假 “若p,则q”是真命题 “若p,则q”是假命题推出关系 p ⇒q p ⇒/ q 条件关系p 是q 的充分条件 q 是p 的必要条件p 不是q 的充分条件 q 不是p 的必要条件2若p ⇒q 且q ⇒p,则记作p ⇔q,此时p 是q 的充分必要条件,简称充要条件．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)x ＝1是(x －1)(x －2)＝0的充分条件( ) (2)α＝π6是sin α＝12的必要条件( )(3)若p 是q 的充要条件,则命题p 和q 是两个相互等价的命题( )(4)“若綈p,则綈q”是真命题,则p 是q 的必要条件( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√2．已知向量a ＝(x －1,2),b ＝(2,1),则a ⊥b 的充要条件是( ) A ．x ＝－12B ．x ＝－1C ．x ＝5D ．x ＝0答案：D3．设集合M ＝{x|0<x≤3},N ＝{x|0<x≤2},那么“a∈M”是“a∈N”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分条件 D ．既不充分也不必要条件答案：B4．“a>0,b>0”是“ab>0”的________条件(填“充分”或“必要”)． 答案：充分充分条件、必要条件、充要条件的判断[典例] (1)(2017·天津高考)设x ∈R,则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2017·北京高考)设m,n 为非零向量,则“存在负数λ,使得m ＝λn”是“m·n<0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件(3)如果x,y 是实数,那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 [解析] (1)由2－x≥0,得x≤2,由|x －1|≤1,得0≤x≤2.∵0≤x≤2⇒x≤2,x≤2⇒/ 0≤x≤2,故“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分条件． (2)∵m ＝λn ,∴m·n＝λn·n＝λ|n|2. ∴当λ<0,n≠0时,m·n<0.反之,由m·n＝|m||n|cos 〈m,n 〉<0⇔cos 〈m,n 〉<0⇔〈m,n 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π, 当〈m,n 〉∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时,m,n 不共线．故“存在负数λ,使得m ＝λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件．(3)命题“若x≠y ,则cos x≠cos y”等价于命题“若cos x ＝cos y,则x ＝y”,这个命题是假命题,故x≠y ⇒/ cos x≠cos y；命题“若cos x≠cos y ,则x≠y”等价于命题“若x ＝y,则cos x ＝cos y”,这个命题是真命题,故c os x≠cos y ⇒x≠y.故“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．[答案] (1)B (2)A (3)C充要条件的判断方法(1)定义法：①分清条件p 和结论q ：分清哪个是条件,哪个是结论；②找推式：判断“p ⇒q”及“q ⇒p”的真假；③下结论：根据定义下结论．(2)等价法：将命题转化为另一个与之等价的、又便于判断真假的命题．(3)集合法：写出集合A ＝{x|p(x)}及B ＝{x|q(x)},利用集合之间的包含关系加以判断．用集合法判断时,要尽可能用Venn 图、数轴、直角坐标平面等几何方法,图形形象、直观,能简化解题过程,降低思维难度．[活学活用]1．在△ABC 中,角A,B,C 所对应的边分别为a,b,c,则“a≤b”是“sin A≤sin B”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：选A 由正弦定理,得a sin A ＝bsin B, 故a≤b ⇔sin A≤sin B ,选A.2．指出下列各组命题中,p 是q 的什么条件．(1)p ：四边形的对角线相等,q ：四边形是平行四边形； (2)p ：(x －1)2＋(y －2)2＝0,q ：(x －1)(y －2)＝0.解：(1)∵四边形的对角线相等⇒/ 四边形是平行四边形,四边形是平行四边形⇒/ 四边形的对角线相等,∴p 是q 的既不充分也不必要条件．(2)∵(x －1)2＋(y －2)2＝0⇒x ＝1且y ＝2⇒(x －1)·(y－2)＝0, 而(x －1)(y －2)＝0⇒/ (x －1)2＋(y －2)2＝0, ∴p 是q 的充分不必要条件.充分条件与必要条件的应用[典例] 已知222p 是綈q 的必要条件,求实数a 的取值范围．[解] 由x 2－4ax ＋3a 2<0且a<0得3a<x<a, 所以p ：3a<x<a,即集合A ＝{x|3a<x<a}． 由x 2－x －6≤0得－2≤x≤3,所以q ：－2≤x≤3,即集合B ＝{x|－2≤x≤3}． 因为綈q ⇒綈p,所以p ⇒q,所以A ⊆B, 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a≥－2，a≤3，a<0⇒－23≤a<0,所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－23，0. [一题多变]1．[变条件]本例中条件“a<0”改为“a>0”,若綈p 是綈q 的充分条件,求实数a 的取值范围． 解：由x 2－4ax ＋3a 2<0且a>0得a<x<3a, 所以p ：a<x<3a,即集合A ＝{x|a<x<3a}． 由x 2－x －6≤0得－2≤x≤3,所以q ：－2≤x≤3,即集合B ＝{x|－2≤x≤3}． 因为綈p ⇒綈q,所以q ⇒p,所以B ⊆A, 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a≥3，a≤－2，⇒a ∈∅.a>02．[变条件]将“q：实数x 满足x 2－x －6≤0”改为“q：实数x 满足x 2＋3x≤0”其他条件不变,求实数a 的取值范围．解：由x 2－4ax ＋3a 2<0且a<0得3a<x<a. 所以p ：3a<x<a,即集合A ＝{x|3a<x<a}． 由x 2＋3x≤0得－3≤x≤0,所以q ：－3≤x≤0,即集合B ＝{x|－3≤x≤0}． 因为綈q ⇒綈p,所以p ⇒q,所以A ⊆B, 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a≥－3，a≤0，a<0⇒－1≤a<0.所以a 的取值范围是[－1,0)．充分条件与必要条件的应用技巧(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解,特别是求参数的值或取值范围问题． (2)求解步骤：先把p,q 等价转化,利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系,建立关于参数的不等式(组)进行求解．充要条件的证明[典例] 证明：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0. [证明] (1)充分性：∵ac<0, ∴Δ＝b 2－4ac>0,c a<0.∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个实数根． 设方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根分别为x 1,x 2, 则x 1·x 2＝ca<0,∴一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个正根和一个负根．(2)必要性：∵一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个正根和一个负根,∴Δ＝b 2－4ac>0,x 1·x 2＝c a <0,∴ac<0.故一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0.充要条件的证明思路(1)在证明有关充要条件的问题时,通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时,要注意：若证明“p 的充要条件是q”,那么“充分性”是q ⇒p,“必要性”是p ⇒q ；若证明“p 是q 的充要条件”,则与之相反．(2)证明充要条件问题,其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立．若不易直接证明,可根据命题之间的关系进行等价转换,然后加以证明．[注意] 证明时一定要注意证明的方向性,分清充分性与必要性的证明方向． [活学活用]已知x,y 都是非零实数,且x>y,求证：1x <1y 的充要条件是xy>0.证明：(1)必要性：由1x <1y ,得1x －1y <0,即y －xxy <0,又由x>y,得y －x<0,所以xy>0. (2)充分性：由xy>0及x>y, 得x xy >y xy ,即1x <1y. 综上所述,1x <1y 的充要条件是xy>0.层级一学业水平达标1．设p ：x<3,q ：－1<x<3,则p 是q 成立的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 因为(－1,3)(－∞,3),所以p 是q 成立的必要不充分条件． 2．下面四个条件中,使a>b 成立的充分不必要条件是( ) A ．a≥b＋1 B ．a>b －1 C ．a 2>b 2D ．a 3>b 3解析：选A 由a≥b＋1>b,从而a≥b＋1⇒a>b ；反之,如a ＝4,b ＝3.5,则4>3.5/⇒4≥3.5＋1,故a>b/⇒a≥b＋1,故A 正确．3．已知a,b 是实数,则“|a＋b|＝|a|＋|b|”是“ab>0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 因为|a ＋b|＝|a|＋|b|⇔a 2＋2ab ＋b 2＝a 2＋2|ab|＋b 2⇔|ab|＝ab ⇔ab≥0,而由ab≥0不能推出ab>0,由ab>0能推出ab≥0,所以由|a ＋b|＝|a|＋|b|不能推出ab>0,由ab>0能推出|a ＋b|＝|a|＋|b|,故选B.4．设φ∈R,则“φ＝0”是“f(x )＝cos(x ＋φ)(x∈R)为偶函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A φ＝0时,函数f(x)＝cos(x ＋φ)＝cos x 是偶函数,而f(x)＝cos(x ＋φ)是偶函数时,φ＝π＋kπ(k∈Z)．故“φ＝0”是“函数f(x)＝cos(x ＋φ)为偶函数”的充分不必要条件．5．使|x|＝x 成立的一个必要不充分条件是( ) A ．x≥0 B ．x 2≥－x C ．log 2(x ＋1)>0D ．2x<1解析：选B ∵|x|＝x ⇔x≥0,∴选项A 是充要条件．选项C 、D 均不符合题意． 对于选项B,∵由x 2≥－x 得x(x ＋1)≥0, ∴x≥0或x≤－1.故选项B 是使|x|＝x 成立的必要不充分条件．6．如果命题“若A,则B”的否命题是真命题,而它的逆否命题是假命题,则A 是B 的________________条件．解析：因为逆否命题为假,所以原命题为假,即A ⇒/ B. 又因否命题为真,所以逆命题为真,即B ⇒A, 所以A 是B 的必要不充分条件． 答案：必要不充分7．条件p ：1－x<0,条件q ：x>a,若p 是q 的充分不必要条件,则a 的取值范围是________． 解析：p ：x>1,若p 是q 的充分不必要条件,则p ⇒q,但q ⇒/ p ,也就是说,p 对应集合是q 对应集合的真子集,所以a<1.答案：(－∞,1) 8．下列命题：①“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充要条件；②b 2－4ac<0是一元二次不等式ax 2＋bx ＋c<0解集为R 的充要条件； ③“a＝2”是“直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1”的充分不必要条件； ④“xy＝1”是“lg x＋lg y ＝0”的必要不充分条件． 其中真命题的序号为______________．解析：①x>2且y>3时,x ＋y>5成立,反之不一定,如x ＝0,y ＝6.所以“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充分不必要条件；②不等式解集为R 的充要条件是a<0且b 2－4ac<0,故②为假命题；③当a ＝2时,两直线平行,反之,若两直线平行,则a 1＝21,∴a ＝2.因此,“a＝2”是“两直线平行”的充要条件；④lg x ＋lg y ＝lg(xy)＝0,∴xy ＝1且x>0,y>0. 所以“lg x＋lg y ＝0”成立,xy ＝1必成立,反之不然．因此“xy＝1”是“lg x＋lg y ＝0”的必要不充分条件． 综上可知,真命题是④. 答案：④9．下列命题中,判断条件p 是条件q 的什么条件． (1)p ：|x|＝|y|,q ：x ＝y ；(2)p ：△ABC 是直角三角形,q ：△ABC 是等腰三角形； (3)p ：四边形的对角线互相平分,q ：四边形是矩形；(4)p ：圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切,q ：c 2＝(a 2＋b 2)r 2. 解：(1)∵|x|＝|y|⇒/ x ＝y,但x ＝y ⇒|x|＝|y|, ∴p 是q 的必要不充分条件．(2)∵△ABC 是直角三角形⇒/ △ABC 是等腰三角形, △ABC 是等腰三角形⇒/ △ABC 是直角三角形, ∴p 是q 的既不充分也不必要条件．(3)∵四边形的对角线互相平分⇒/ 四边形是矩形, 四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分, ∴p 是q 的必要不充分条件．(4)若圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切,则圆心到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于r,即r ＝|c|a 2＋b2,所以c 2＝(a 2＋b 2)r 2； 反过来,若c 2＝(a 2＋b 2)r 2,则|c|a 2＋b2＝r 成立,说明x 2＋y 2＝r 2的圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于r, 即圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切, 故p 是q 的充要条件．10．已知命题p ：对数函数f(x)＝log a (－2t 2＋7t －5)(a>0,且a≠1)有意义,q ：关于实数t 的不等式t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)<0.(1)若命题p 为真,求实数t 的取值范围；(2)若命题p 是q 的充分条件,求实数a 的取值范围． 解：(1)因为命题p 为真,则对数函数的真数 －2t 2＋7t －5>0,解得1<t<52.所以实数t 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52.(2)因为命题p 是q 的充分条件,所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫t1<t<52是不等式t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)<0的解集的子集．因为方程t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)＝0的两根为1和a ＋2,所以只需a ＋2≥52,解得a≥12.即实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.层级二 应试能力达标1．“0<a<b”是“⎝ ⎛⎭⎪⎫13a >⎝ ⎛⎭⎪⎫13b”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 当0<a<b 时,⎝ ⎛⎭⎪⎫13a >⎝ ⎛⎭⎪⎫13b成立,所以是充分条件；当⎝ ⎛⎭⎪⎫13a >⎝ ⎛⎭⎪⎫13b时,有a<b,不能推出0<a<b, 所以不是必要条件,故选A. 2．下列说法正确的是( ) A ．“x>0”是“x>1”的必要条件B ．已知向量m,n,则“m∥n”是“m＝n”的充分条件C ．“a 4>b 4”是“a>b”的必要条件D ．在△ABC 中,“a>b”不是“A>B”的充分条件解析：选A A 中,当x>1时,有x>0,所以A 正确；B 中,当m∥n 时,m ＝n 不一定成立,所以B 不正确；C 中,当a>b 时,a 4>b 4不一定成立,所以C 不正确；D 中,当a>b 时,有A>B,所以“a>b”是“A>B”的充分条件,所以D 不正确．故选A.3．已知直线l,m,平面α,且m ⊂α,则( ) A ．“l⊥α”是“l⊥m”的必要条件 B ．“l⊥m”是“l⊥α”的必要条件 C ．l ∥m ⇒l ∥α D ．l ∥α⇒l ∥m解析：选B 很明显l ⊥α⇒l ⊥m,l ⊥m ⇒/ l ⊥α,l ∥m ⇒/ l ∥α,l ∥α ⇒/ l ∥m,故选B. 4．设p ：12≤x≤1；q ：(x －a)(x －a －1)≤0,若p 是q 的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12解析：选B ∵q ：a≤x≤a＋1,p 是q 的充分不必要条件, ∴⎩⎪⎨⎪⎧a<12，a ＋1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1>1，解得0≤a≤12.5．已知关于x 的方程(1－a)x 2＋(a ＋2)x －4＝0(a ∈R),则该方程有两个正根的充要条件是________．解析：方程(1－a)x 2＋(a ＋2)x －4＝0有两个实根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧1－a≠0，Δ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a≠1，a ＋22＋161－a ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a≠1，a≤2或a≥10.设此时方程的两根分别为x 1,x 2,则方程有两个正根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a≠1，a≤2或a≥10，x 1＋x 2>0，x 1x 2>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a≠1，a≤2或a≥10，a ＋2a －1>0，4a －1>0⇔1<a≤2或a≥10.答案：(1,2]∪[10,＋∞)6．已知“－1<k<m”是“方程x 2＋y 2＋kx ＋3y ＋k 2＝0表示圆”的充分条件,则实数m 的取值范围是________．解析：当方程x 2＋y 2＋kx ＋3y ＋k 2＝0表示圆时, k 2＋3－4k 2>0,解得－1<k<1, 所以－1<m≤1,即实数m 的取值范围是(－1,1]． 答案：(－1,1]7．已知p ：关于x 的方程4x 2－2ax ＋2a ＋5＝0的解集至多有两个子集,q ：1－m≤a≤1＋m,m>0.若q 是p 的必要不充分条件,求实数m 的取值范围．解：∵q 是p 的必要不充分条件, ∴p 是q 的充分不必要条件．对于p,依题意,知Δ＝(－2a)2－4×4(2a＋5)＝4(a 2－8a －20)≤0,∴－2≤a≤10.设P ＝{a|－2≤a≤10},Q ＝{a|1－m≤a≤1＋m,m>0},由题意知P Q,∴⎩⎪⎨⎪⎧ m>0，1－m<－2，1＋m≥10或⎩⎪⎨⎪⎧ m>0，1－m≤－2，1＋m ＞10，解得m≥9,∴实数m 的取值范围是[9,＋∞)．8．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝(n ＋1)2＋l.(1)证明：l ＝－1是{a n }是等差数列的必要条件．(2)试问：l ＝－1是否为{a n }是等差数列的充要条件？请说明理由．解：(1)证明：∵a 1＝S 1＝4＋l,当n≥2时,a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1.∴a 2＝5,a 3＝7.∵{a n }是等差数列,则2a 2＝a 1＋a 3,即2×5＝(4＋l)＋7,解得l ＝－1.故l ＝－1是{a n }是等差数列的必要条件．(2)当l ＝－1时,S n ＝(n ＋1)2－1,a 1＝S 1＝3,当n≥2时,a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1.又a 1＝3适合上式,∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)．又∵a n ＋1－a n ＝2,∴{a n }是公差为2,首项为3的等差数列．∴l ＝－1是{a n }是等差数列的充分条件．又由(1)知l ＝－1是{a n }是等差数列的必要条件,∴l ＝－1是{a n }是等差数列的充要条件．。
学案4:1.2.1 充分条件与必要条件
1.2.1 充分条件与必要条件教学过程一、问题情境对于“命题p是q成立的充要条件”和“命题p成立的充要条件是q”,充分性、必要性分别指的是什么?二、数学建构1.充要条件如果既有p⇒q,又有q⇒p,就记作p⇔q.我们就说,p和q互为充要条件.(1) 符号“⇔”叫做等价符号,“p⇔q”表示“p⇒q且p⇐q”,也表示“p等价于q”;(2) “充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示,其中“当”表示“充分”,“仅当”表示“必要”.2.充要条件的判断方法四种“命题”反映了命题的条件与结论之间的因果关系,所以在判断时应注意:(1) 确定条件是什么,结论是什么;(2) 尝试从条件推出结论,从结论推出条件(方法有直接证法或间接证法);(3) 确定条件是结论的什么条件;(4) 充要性包含:充分性p⇒q,必要性q⇒p,这两个方面,缺一不可.三、数学运用【例1】若M是N的充分不必要条件,N是P的充要条件,Q是P的必要不充分条件,则M 是Q的什么条件?【例2】若不等式|x-a|<2成立的充分不必要条件是1<x<3,求实数a的取值范围.【例3】求证:实系数一元二次方程x2+px+q=0有两个异号实根的充要条件是q<0.【例4】求证:对于任意的x,y∈R,“xy=0”是“x2+y2=0”的必要不充分条件.四、课堂练习1. “xy≥0”是“|x+y|=|x|+|y|”的条件.2. “A∩B=A”是“A=B”的条件.3.已知p:x+y≠-2,q:x,y不都是-1,那么p是q的条件.4.求证:函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数的充要条件是b=0.五、课堂小结1.“充要条件”的判定方法.2.理解充要条件的含义并解决有关问题.课堂练习答案【例1】【答案】解由题意可知M⇒N⇔P⇒Q,显然M是Q的充分不必要条件.【例2】【答案】解由|x-a|<2,得a-2<x<a+2.由题意得2123aa-≤⎧⎨+≥⎩(等号不能同时成立),解得1≤a≤3.因此,实数a的取值范围是[1, 3].【例3】【答案】证明①充分性:因为q<0,所以方程x2+px+q=0的Δ=p2-4q>0,所以方程x2+px+q=0有两个不相等的实根,设其为x1,x2.因为x1·x2=q<0,所以方程x2+px+q=0有两个异号实根.②必要性:因为方程x2+px+q=0有两个异号实根,设其为x1,x2,所以x1·x2<0.因为x1·x2=q,所以q<0.由①②,原命题得证.【例4】【答案】证明必要性:对于任意的x,y∈R,如果x2+y2=0,那么x=0,y=0,即xy=0.故“xy=0”是“x2+y2=0”的必要条件.不充分性:对于任意的x,y∈R,如果xy=0,如x=0,y=1,此时x2+y2≠0,故“xy=0”不是“x2+y2=0”的充分条件.综上,对于任意的x,y∈R,“xy=0”是“x2+y2=0”的必要不充分条件.课后练习1. 【答案】充要2.【答案】必要不充分3. 【答案】充分不必要4. 【答案】证明充分性:若b=0,则f(x)=ax2+c,所以f(-x)=a(-x)2+c=ax2+c=f(x),故f(x)为偶函数;必要性:若f(x)为偶函数,则f(x)=f(-x),即ax2+bx+c=a(-x)2-bx+c对任意的x∈R恒成立,所以b=0.综上,函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数的充要条件是b=0.。
学案1：1.4.1 充分条件与必要条件
1.4充分条件与必要条件学习目标1、知识目标1．理解充分条件、必要条件与充要条件的意义．2．结合具体命题掌握判断充分条件、必要条件、充要条件的方法．3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明．2、素养提升1.数学抽象：充分条件、必要条件与充要条件含义的理解；2.逻辑推理：通过命题的判定得出充分条件、必要条件的含义，通过定义或集合关系进行充分条件、必要条件、充要条件的判断；3.数学运算：利用充分、必要条件求参数的范围，常见包含一元二次方程及其不等式和不等式组；4.数据分析：充要条件的探求与证明：将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程；5.数学建模：通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力.重点难点重点：充分条件、必要条件、充要条件的概念．．难点：能够利用命题之间的关系判定充要关系．学习过程一、预习导入阅读课本，填写.1．充分条件与必要条件2. 充要条件一般地，如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，就记作p ⇔q ．此时，我们说p 是q 的充分必要条件，简称充要条件．显然，如果p 是q 的充要条件，那么q 也是p 的充要条件，即如果p ⇔q ，那么p 与q 互为充要条件．概括地说，(1)如果p ⇔q ，那么p 与q 互为充要条件． (2)若p ⇒q ，但q ⇒/p ，则称p 是q 的充分不必要条件． (3)若q ⇒p ，但p ⇒/q ，则称p 是q 的必要不充分条件． (4)若p ⇒/q ，且q ⇒/p ，则称p 是q 的既不充分也不必要条件． 3.从集合角度看充分、必要条件小试牛刀1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若p 是q 的必要条件,则q 是p 的充分条件. ( ) (2) 若q 是p 的必要条件，则q 成立，p 也成立. ( ) (3)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件. ( ) 2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若p 是q 的充分条件,q 是r 的充分条件,则p 是r 的 条件. (2)“a >0,b >0”是“ab >0”的 条件.(3)“若p ,则q ”的逆命题为真,则p 是q 的 条件. 3．“x >2”是“x 2－3x ＋2>0”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件A B是q 的充分不必是q 的必要不充p,q 互为充要条件q 的既不充分也不必要条件D ．既不充分也不必要条件 自主探究题型一 充分条件、必要条件、充要条件的判断例1 指出下列各题中，p 是q 的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC 中，p ：∠A >∠B ，q ：BC >AC ； (2)对于实数x ，y ，p ：x ＋y ≠8，q ：x ≠2或y ≠6； (3)p ：(a －2)(a －3)＝0，q ：a ＝3； (4)p ：a ＜b ，q ：ab＜1.解题技巧：（充分条件与必要条件的判断方法） (1)定义法若p ⇒q ，q ⇏p ，则p 是q 的充分不必要条件； 若p ⇏q ，q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件； 若p ⇒q ，q ⇒p ，则p 是q 的充要条件；若p ⇏q ，q ⇏p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件． (2)集合法对于集合A ＝{x |x 满足条件p }，B ＝{x |x 满足条件q }，具体情况如下： 若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件； 若A ⊇B ，则p 是q 的必要条件； 若A ＝B ，则p 是q 的充要条件；若A B ，则p 是q 的充分不必要条件；若B A ，则p 是q 的必要不充分条件． (3)等价法等价转化法就是在判断含有与“否”有关命题条件之间的充要关系时，根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断． 跟踪训练一1．设a ，b 是实数，则“a >b ”是“a 2>b 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 题型二 充要条件的探求与证明例2 (1)“x 2－4x <0”的一个充分不必要条件为( )A ．0<x <4B ．0<x <2C ．x >0D ．x <4(2)已知x ，y 都是非零实数，且x >y ，求证：1x <1y 的充要条件是xy >0.跟踪训练二2．(1)不等式x (x －2)<0成立的一个必要不充分条件是( )A ．x ∈(0,2)B ．x ∈[－1，＋∞)C ．x ∈(0,1)D ．x ∈(1,3)(2)求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.题型三 利用充分、必要条件求参数的范围例3 已知p ：x 2－8x －20≤0，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，且p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为____变式． [变条件] 【例3】本例中“p 是q 的充分不必要条件”改为“p 是q 的必要不充分条件”，其他条件不变，试求m 的取值范围．解题技巧：（利用充分、必要、充分必要条件的关系求参数范围） (1)化简p 、q 两命题，(2)根据p 与q 的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系， (3)利用集合间的关系建立不等关系， (4)求解参数范围． 跟踪训练三3．已知P ＝{x |a －4<x <a ＋4}，Q ＝{x |1<x <3}，“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，求实数a 的取值范围．当堂检测1．设p：x＜3，q：－1＜x＜3，则p是q成立的()A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件2．如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A 是D的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要条件是()A．a≥b＋1 B．a＞b－1C．a2＞b2D．a3＞b34．条件p：1－x<0，条件q：x>a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．5．下列说法正确的是________．(填序号)①“x＞0”是“x＞1”的必要条件；②“a3＞b3”是“a＞b”的必要而不充分条件；③在△ABC中，“a＞b”不是“A＞B”的充分条件；6．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件．(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形；7．已知p：x2－2x－3<0，若－a<x－1<a是p的一个必要条件但不是充分条件，求实数a的取值范围．8．求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实数根的关于a的充要条件．参考答案小试牛刀1．答案：(1) √(2) × (3)×2．（1）充分（2）充分 （3）必要 3．A 自主探究例1 【答案】见解析【解析】(1)在△ABC 中，显然有∠A >∠B ⇔BC >AC ，所以p 是q 的充分必要条件． (2)因为x ＝2且y ＝6⇒x ＋y ＝8，即﹁q ⇒﹁p ，但﹁p ⇒﹁q ，所以p 是q 的充分不必要条件． (3)由(a －2)(a －3)＝0可以推出a ＝2或a ＝3，不一定有a ＝3；由a ＝3可以得出(a －2)(a －3)＝0.因此，p 是q 的必要不充分条件． (4)由于a ＜b ，当b ＜0时，ab＞1；当b ＞0时，a b ＜1，故若a ＜b ，不一定有ab ＜1；当a ＞0，b ＞0，ab ＜1时，可以推出a ＜b ；当a ＜0，b ＜0，ab ＜1时，可以推出a ＞b .因此p 是q 的既不充分也不必要条件． 跟踪训练一 1．【答案】D例2 【答案】（1）B （2）见解析【解析】(1)由x 2－4x <0得0<x <4，则充分不必要条件是集合{x |0<x <4}的子集，故选B. (2)法一：充分性：由xy >0及x >y ，得x xy >y xy ，即1x <1y .必要性：由1x <1y ，得1x －1y <0，即y －x xy <0.因为x >y ，所以y －x <0，所以xy >0. 所以1x <1y 的充要条件是xy >0.法二：1x <1y ⇔1x －1y <0⇔y －x xy<0.由条件x >y ⇔y －x <0，故由y －xxy <0⇔xy >0.所以1x <1y ⇔xy >0，即1x <1y 的充要条件是xy >0. 跟踪训练二2．【答案】 （1）B （2）见解析【解析】（1）由x (x －2)<0得0<x <2，因为(0,2)[－1，＋∞)，所以“x ∈[－1，＋∞)”是“不等式x (x －2)<0成立”的一个必要不充分条件．（2）证明 假设p ：方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是1，q ：a ＋b ＋c ＝0. ①证明p ⇒q ，即证明必要性．∵x ＝1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，∴a ·12＋b ·1＋c ＝0，即a ＋b ＋c ＝0. ②证明q ⇒p ，即证明充分性． 由a ＋b ＋c ＝0，得c ＝－a －b .∵ax 2＋bx ＋c ＝0，∴ax 2＋bx －a －b ＝0， 即a (x 2－1)＋b (x －1)＝0.故(x －1)(ax ＋a ＋b )＝0. ∴x ＝1是方程的一个根．故方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0. 例3 【答案】{m |m ≥9}(或[9，＋∞))【解析】 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)， 得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．因为p 是q 的充分不必要条件，所以p ⇒q 且q ⇒/p . 即{x |－2≤x ≤10}是{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}的真子集， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m <－2，1＋m ≥10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，m >0，1＋m >10，解得m ≥9.变式． 【答案】见解析【解析】由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10，由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)得1－m ≤x ≤1＋m (m >0) 因为p 是q 的必要不充分条件，所以q ⇒p ，且p ⇒/q . 则{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}{x |－2≤x ≤10} 所以⎩⎪⎨⎪⎧m >01－m ≥－21＋m ≤10，解得0<m ≤3.即m 的取值范围是(0,3]．跟踪训练三 3．【答案】见解析【解析】因为“x ∈P ”是x ∈Q 的必要条件，所以Q ⊆P .所以⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤1a ＋4≥3解得－1≤a ≤5即a 的取值范围是[－1,5]．当堂检测1-3．CAA 4．(－∞，1) 5．①6．【答案】见解析 【解析】 (1)∵|x |＝|y |x ＝y ，但x ＝y ⇒|x |＝|y |，∴p 是q 的必要不充分条件． (2)∵△ABC 是直角三角形△ABC 是等腰三角形，△ABC 是等腰三角形△ABC 是直角三角形，∴p 是q 的既不充分也不必要条件． (3)∵四边形的对角线互相平分四边形是矩形，四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分， ∴p 是q 的必要不充分条件． 7．【答案】见解析【解析】由于p ：x 2－2x －3<0⇔－1<x <3， －a <x －1<a ⇔1－a <x <1＋a (a >0)．依题意，得{x |－1<x <3}{x |1－a <x <1＋a }(a >0)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≤－1，1＋a ≥3，2a >4，解得a >2，则使a >b 恒成立的实数b 的取值范围是b ≤2，即(－∞，2]． 8．【答案】见解析【解析】当a ＝0时，x ＝－12符合题意．当a ≠0时，令f (x )＝ax 2＋2x ＋1，由于f (0)＝1＞0， 当a ＞0时，－1a <0，若Δ＝4－4a ≥0，则a ≤1，即0＜a ≤1时，f (x )有两个负实数根． 当a ＜0时，因为f (0)＝1，Δ＝4－4a ＞0恒成立， 所以方程恒有负实数根． 综上所述，a ≤1为所求．。
1.4.1 充分条件与必要条件(学案)2021-2022学年高一数学人教A版2019必修第一册
1.4充分条件与必要条件1.4.1 充分条件与必要条件【学习目标】一．充分条件与必要条件的概念一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个条件．数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个条件．注意：充分、必要条件的判断讨论的是“若p，则q”形式的命题．若不是，则首先将命题改写成“若p，则q”的形式．二．充分条件、必要条件与集合的关系设A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}A BB A【小试牛刀】思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)（1）若p是q的充分条件，则p是唯一的．()（2）若q是p的必要条件，则p是q的充分条件()（3）若q不是p的必要条件，则“p⇏q”成立．()（4）q是p的必要条件是指“要使p成立，必须要有q成立”也就是说“若q不成立，则p一定不成立”．()【经典例题】题型一 充分条件、必要条件的判定 点拨：定义法判断充分条件、必要条件 1.确定谁是条件，谁是结论；2.尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件；3.尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件。
例1：下列“若p 则q”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？ （1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形。
（2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似。
（3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直。
（4）1x 1x 2==，则若 （5）若a =b ，则ac =bc 。
（6）若x ，y 为无理数，则xy 为无理数。
【跟踪训练】1 下列“若p 则q ”形式的命题中，哪些命题中的q 是p 的必要条件？ （1）若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等。
（2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例。
（3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形为菱形。
.1x 1x 42==，则）若（（5）若ac =bc ，则a =b（6）若xy 为无理数，则x ，y 为无理数题型二充分条件、必要条件求参数的范围点拨：利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围1.化简p，q两命题；2.根据p与q的关系充分、必要、充要条件转化为集合间的关系；3.利用集合间的关系建立不等式；4.求解参数范围.例2已知p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0；q：实数x满足x2－x－6≤0.若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．【跟踪训练】2 是否存在实数p，使得x2－x－2>0的一个充分条件是4x＋p<0，若存在，求出p 的取值范围，否则，说明理由．【当堂达标】1.(多选)使ab>0成立的充分条件是( )A.a>0，b>0B.a＋b>0C.a<0，b<0D.a>1，b>12.设集合A＝{x|0≤x≤3}，集合B＝{x|1≤x≤3}，那么“m∈A”是“m∈B”的()A．充分条件B．必要条件C．既是充分条件也是必要条件D．既不充分又不必要条件3.设x∈R，则x>2的一个必要条件是()A．x>1 B．x<1C．x>3 D．x<34.若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的()A．充分条件B．必要条件C．既不是充分条件也不是必要条件D．无法判断5.若集合A＝{1，m2}，B＝{2,4}，则“m＝2”是“A∩B＝{4}”的条件．(填必要、不必要)6.已知集合A＝{y|y＝x2－3x＋1，x∈R}，B＝{x|x＋2m≥0}；命题p：x∈A，命题q：x∈B，并且q 是p的必要条件，求实数m的取值范围．【课堂小结】充分条件、必要条件的判断方法1.定义法：直接利用定义进行判断．2.等价法：“p∈q”表示p等价于q，等价命题可以进行转换，当我们要证明p成立时，就可以去证明q成立．3.利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q相应的集合分别为A和B，那么若A⊆B，则p是q的充分条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若A＝B，则p是q的充分必要条件．【参考答案】【自主学习】∈ ⇏ 充分 必要 充分 必要 【小试牛刀】 × √ √ √ 【经典例题】例1 （1）这是平行四边形的判定定理，p ∈q ，所以p 是q 的充分条件。
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充分条件和必要条件（1）
学习目标：
1．理解必要条件、充分条件的意义；
2．结合具体命题，学会判断充分条件、必要条件的方法；
3．培养学生的辩证思维能力．
学习重点：理解充分条件和必要条件的概念.
学习难点：理解必要条件的概念.
学习过程：
一．复习回顾
1、①什么是命题？ ②四种命题有哪些？ ③互为逆否命题的真假？
2、判断下列命题的真假：
（1）若0ab =，则0a =；
（2）若x a b >+22
，则x ab >2
二、探究新知：
1. 认识“⇒”与“”：
①命题“若p ，则q ”为真，就说由p 可推出q ，记做p q ⇒，否则记做p
q
②用符号“⇒”与“”填空： ⑴x y =22_____x y = ⑵内错角相等_____两直线平行
⑶ ac bc =_______a b = ⑷整数a 能被6整除______a 的个位数字为偶数
2.充分条件和必要条件：
定义：由p 可推出q ，记做p q ⇒，并且说p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件. “充分”即够了，“必要”是必不可少。
“若x a b >+22
，则x ab >2”是一个真命
题，就说“x a b >+22”是“x ab >2”的充分条件，同时称“x ab >2”是“x a b >+22”的必要条件，意思是要得到“x a b >+22
”这个结论，条件“x ab >2”
是必不可少的。
例1：下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？
（1）若1x >，则33x -<-；
（2）若1x =，则2320x x -+=；
（3）若()3
x f x =-，则()f x 为减函数； （4）若x 为无理数，则2x 为无理数.
（5）若直线1//l 直线l 2，则12k k =.
例2：下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的q 是p 的必要条件？
（1）若0a =，则0ab =；
（2）若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等；
（3）若a b >，则ac bc >；
（4）若x y =，则22x y =
例3：判断下列命题的真假：
（1）“x 是6的倍数”是“x 是2的倍数”的充分条件；
（2）“5x <”是“3x <”的必要条件.
练习：
1. 从“⇒”、“”中选出适当的符号填空：
（1）1x >- 1x >； （2）a b > 11a b
<； （3）2220a ab b -+= a b =； （4）A ⊆∅ A =∅.
2. 判断下列命题的真假：
（1）“a b >”是“22a b >”的充分条件；
（2）“a b >”是“22a b >”的必要条件；
（3）sin sin αβ=是αβ=的充分条件；
（4）ab ≠0是a ≠0的充分条件
（5）圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的必要条件
课堂小结：
1、符号“⇒”与“”
2、充分条件、必要条件定义，判断充分条件、必要条件的方法
充分条件和必要条件（2）
学习目标：
1．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义；
2．结合具体命题，学会判断充分条件、必要条件、充要条件的方法；
3．培养学生的辩证思维能力．
学习重点：掌握充分条件，必要条件，充要条件的判定方法
一、复习回顾
1、 “p ⇒q ”与“
p q ”含义是什么？
2、判断充分条件、必要条件的方法
二、探究新知：
1、如果_____p q 且_____q p ，则称p 是q 的充分必要条件，简称p 是q 的充要
条件，记做_________；如果_____p q 且_____q p ，则称p 是q 的充分不必要
条件；如果_____p q 且_____q p ，则称p 是q 的必要不充分条件；如果
_____p q 且_____q p ，则称p 是q 的既不充分也不必要条件。
“p 是q 的充要条件”也说“p 等价于q ”或说“q 当且仅当p ”
2、思考：怎样从集合与集合之间的关系理解？
A 是
B 的充分 A 是B 的必要 A 是B 的 A 是B 的既不 不必要条件 不充分条件 充要条件 充分也不必要条件
例:指出下列命题中p 是q 的什么条件？填（充要条件、充分不必要条件、必要不充分条
件、既不充分也不必要条件）
⑴ :p x -=10 :()()q x x -+=120
⑵ :p 两直线平行 :q 内错角相等
⑶ :p a b > :q a b >22
⑷ :p 四边形的四条边相等 :q 四边形是正方形
练习：
1、从“充要条件（A ）、充分不必要条件（B ）、必要不充分条件（C ）、既不充分也不
必要条件（D ）” 中选出适当的一种填空：
① “a =0”是“函数()y x ax x R =+∈2为偶函数”的_____
② “sin sin αβ>”是“αβ>” 的_____
③ “M N >”是“log log M N >22”的_____
2、已知p 、q 是r 的必要条件，s 是r 的充分条件，q 是s 的充分条件，那么
⑴s 是q 的什么条件？
⑵r 是q 的什么条件？
⑶p 是q 的什么条件？
3、求圆()()x a y b r -+-=222经过原点的充要条件.
当堂检测
1.2-<x 是不等式042>-x 成立的（ ）
A.充分条件
B.必要条件
C.充要条件
D.非充分非必要条件
2.在ABC ∆中,“ 30>A ”是“2
1sin >A ”的（ ） A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件
3.设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要非充分条件，
则甲是丁 的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要
4.“12
m =”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要
5．有下述说法：①a>b>0是a 2>b 2的充要条件. ②a>b>0是
b a 11<的充要条件. ③a>b>0是 a 3>b 3的充要条件. 则其中正确的说法有
（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个
D ．3个 6. 设命题甲:0122>++ax ax 的解集是实数集R; 命题乙:10<<a ,
则命题甲是命题乙的（ ）
A . 充分非必要条件 B.必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条
7.“3x >”是24x >“的（ ）
A ．必要条件
B ．充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
8."tan 1"α=是""4π
α=的
（A ）充分条件 （B ）必要条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 课堂小结： 充分条件，必要条件，充要条件的判定方法
作业
1、设原命题：若2a b +≥，则,a b 中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题 的真假情况是（ ）
A ．原命题真，逆命题假
B ．原命题假，逆命题真
C ．原命题与逆命题均为真命题
D ．原命题与逆命题均为假命题 2、在△ABC 中，“︒>30A ”是“21sin >A ”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3、设a R ∈，则a >1是a
<11的 （ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C.充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4、一次函数n
x n m y 1+-=的图象同时经过第一、三、四象限的必要但不充分条件是 A ．1,1m n ><-且 B ．0mn < C ．0,0m n ><且 D ．0,0m n <<且
5、下列四个命题中
①“1k =”是“函数22cos sin y kx kx =-的最小正周期为π”的充要条件；
②“3a =”是“直线230ax y a ++=与直线3(1)7x a y a +-=-相互垂直”的充要条件；
③ 函数3
422++=x x y 的最小值为2.其中假命题的为 .
6、⑴x >24是x <-38的__________________条件
⑵x y +≠3是x ≠1或y ≠2的__________________条件.。