1.4.3充分条件与必要条件(习题课)
(新教材)部编人教版高中数学必修一第一章课后练习和习题汇总(附答案)
（新教材）部编人教版高中数学必修一第一章课后练习和习题汇总（附答案）目录第一章集合与常用逻辑用语.1.1 集合的概念1.2 集合间的基本关系1.3集合的基本运算1.4 充分条件与必要条件1.5全称量词与存在量小结复习参考题1第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念练习1.判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由:(1)与定点A，B等距离的点;【答案解析】：是集合，因为这些点有确定性.(2)高中学生中的游泳能手.【答案解析】：不是，因为是否能手没有客观性，不好确定.2.用符号“∈”或“∉”填空:0___ N; -3___ N; 0.5__Z; √2__z; ⅓__Q; π__R.【答案解析】：根据自然数,整数,有理数,实数的定义即可判断.0是自然数,则0∈N ;-3不是自然数,则-3∉N ; 0.5,√2 不是整数，则0.5∉Z，√2∉Z;⅓是有理数,则⅓∈Q ;π 是无理数，则π∈R故答案为:(1)∈;(2)∉ ;(3)∉ ;(4)∉ ;(5)∈ ;(6)∈3.用适当的方法表示下列集合:(1)由方程x²-9=0的所有实数根组成的集合;【答案解析】：{-3, 3}.(2)一次函数y=x+3与y=-2x+6图象的交点组成的集合;【答案解析】： {(1, 4)}.(3)不等式4x- 5<3的解集.【答案解析】：{x | x<2}.习题1.1一、复习巩固1.用符号“∈”或“∉”填空:(1)设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国____ A,美国____A，印度____A,英国____ A;【答案解析】：设A为所有亚洲国家组成的集合，则:中国∈A，美国∉A,印度∈A，英国∉A.(2)若A={x|x²=x},则-1____A;【答案解析】：A={x|x²=x}={0, 1},则-1∉A.(3)若B={x|x²+x-6=0}，则3____B;【答案解析】：若B={x|x²+x-6=0}={x|(x+3)(x-2)=0}={-3，2}，则3∉B; (4)若C={x∈N|1≤x≤10},则8____C, 9.1____C.【答案解析】：若C={x∈N|1≤x≤10}={1, 2, 3,4，5, 6，7, 8，9，10}，则8∈C, 9.1∉C.2.用列举法表示下列集合:(1)大于1且小于6的整数;【答案解析】：大于1且小于6的整数有4个:2,3,4,5,所以集合为{2,3,4,5}.(2) A={x|(x-1)(x +2)=0};【答案解析】：(x- 1)(x+2)=0的解为x=1或x=-2,所以集合为{1, -2}.(3) B={x∈Z|-3<2x-1<3}.【答案解析】：由-3<2x-1<3,得-1<x<2.又因为x∈Z,所以x=0.或x=1,所以集合为{0,1}.二、综合运用3.把下列集合用另一种方法表示出来:(1) {2，4，6，8, 10};【答案解析】：{x |x=2k, k=1, 2, 3, 4, 5}.(2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的一切自然数;【答案解析】：{1, 2, 3, 12, 21, 13, 31, 23, 32, 123, 132, 213, 231, 312, 321}.(3) {x∈N|3<x<7};【答案解析】：{4, 5, 6}.(4)中国古代四大发明.【答案解析】：{指南针，活字印刷，造纸术，火药}.4.用适当的方法表示下列集合:(1)二次函数y=x²-4的函数值组成的集合;【答案解析】： {y | y≥-4}.(2)反比例函数y=2/x的自变量组成的集合;【答案解析】：{x | x≠0}.(3)不等式3x≥4- 2x的解集.【答案解析】：{x |x≥4/5}.三、拓广探索5.集合论是德国数学家康托尔于19 世纪末创立的.当时，康托尔在解决涉及无限量研究的数学问题时，越过“数集”限制，提出了一般性的“集合”概念.关于集合论，希尔伯特赞誉其为“数学思想的惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一”，罗素描述其为“可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作”.请你查阅相关资料，用简短的报告阐述你对这些评价的认识.【答案解析】：略.1.2 集合间的基本关系练习1.写出集合{a, b，c}的所有子集.【答案解析】由0个元素构成的子集: ∅;由1个元素构成的子集: {a}, {b}, {c};由2个元素构成的子集: {a, b}, {a,c}, {b, c};由3个元素构成的子集: {a, b, c};综上，可得集合{a，b, c}的所有子集有: 0, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a,c}, {b, c}, {a, b, c}.2.用适当的符号填空:(1) a__ {a，b，c}; (2) 0__ {x|x²=0};(3) B___ {x∈R|x²+1=0}; (4) {0，1}___N(5) {0}___ {x|x²=x}; (6) {2, 1}___{x|x²-3x+2=0}.【答案解析】：（1）∈；（2）=；（3）=；（4）⊆；（5）⊆；（6）=.3.判断下列两个集合之间的关系:(1) A={x|x<0}， B={x|x<l};(2) A={x|x=3k，k∈N}，B={x|x=6z，z∈N};(3) A={x∈N₋|x是4与10的公倍数}，B={x|x=20m, m∈N₊}.【答案解析】：⫋A B B A A=B习题1.2一、复习巩固1.选用适当的符号填空:(1)若集合A={x|2x-3<3x}, B={x|x≥2},则-4___B，-3___ A， {2}___B，B___ A；【答案解析】：∵集合A= {x|2x-3< 3x}= {x|x>-3},B = {x|x≥2}，则∴-4∉B,-3∉A,{2}B，B A.故答案为:∉，∉,，。
第一章习题课充分条件与必要条件的综合应用课件高一上学期数学人教A版
基础落实·必备知识一遍过
知识点一:充分、必要、充要条件的多角度理解
知识大串联
角度1原始定义的理解
一般地,“若p,则q”为真命题,即p可以推出q,用符号记作
p是q的 充分
条件,q是p的 必要
条件.
角度2命题中条件、结论推出关系的理解
若 条件⇒结论
,即充分条件;若结论⇒条件,即
p⇒q
必要
,也就说
条件.
B.{a|-1≤a≤6}
C.{a|a<-1,或a>6}
D.{a|a≤-1,或a≥6}
分析 可将p和q中所涉及的变量x的取值范围解出来,根据充分条件,转化为
其构成的集合之间的包含关系,建立关于参数a的不等式组,从而求得实数a
的取值范围.
解析 设q,p表示的范围分别为集合A,B,
则A={x|2<x<3},B={x|a-4<x<a+4}.
0<x<1
,必要不
解析 根据充分条件的定义,要找“0<x<2”的一个充分不必要条件,即写出集
合{x|0<x<2}的真子集就可以,{x|0<x<1}满足要求;根据必要条件的定义,
要找“0<x<2”的一个必要不充分条件,即{x|0<x<2}是某个集合的真子集就
可以,{x|0<x<6}满足要求.
1 2 3 4
角度3几何判定、性质定理的理解
判定定理:同位角相等,两直线平行.判定定理指出了两直线平行的
充分条件
是同位角相等.
性质定理:两直线平行,同位角相等. 性质定理 指出了两直线平行的必要
条件是同位角相等.
角度4集合关系的理解
充分条件与必要条件习题课课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
二、 课堂练习
3.如图，直线a 与b被直线1所截，分别得到了∠,∠,∠3和∠4.请根据这些
信息，写出几个“a//b” 的充分条件和必要条件.
【分析】根据a//b 可以得到内错角相等，同位角相等，同旁内角互补， 根据内错角相等，同位角相等，同旁内角互补，得到a//b
【答案】因为内错角相等，同位角相等，同旁内角互补，得到a//b,
二、课堂练习 1.下列"若p, 则q" 形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件? (1)若平面内点P 在线段AB 的垂直平分线上，则PA=PB; (2)若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等，则这两个三角形全等； (3)若两个三角形相似，则这两个三角形的面积比等于周长比的平方.
【分析】
根据所给命题，判断出能否得到p→q, 从而得到p 是否是q 的充分条件，得到答
(2)p:OO 内两条弦相等， q:⊙O 内两条弦所对的圆周角相等；
(3)p:A∩B 为空集， q:A 与B 之一为空集. 【答案】在(1)中，三角形中等边对等角，等角对等边，所以P⇔q,
的充要条件；
在(2)中， ⊙O内两条弦相等，它们所对的圆周角相等或互补， 因此， p q, 所以p 不是q 的充要条件；
(或两个内角对应相等);②三边对应成比例；③两边对应成比例且 夹角相等.
二、 课堂练习
6.证明：如图，梯形ABCD为等腰梯形的充要条件是AC=BD
【分析】
先由梯形ABCD为等腰梯形，证明AC=BD, 验证必要性；再由AC=BD证明梯
ABCD为等腰梯形，验证充分性，即可得出结论成立。
【答案】证明：(1)必要性.
所以p 是q
在(3)中，取A={1,2},B={3},
显然， A∩B=の, 但 A 与 B 均不为空集，
人教新课标版(A)高二选修1-1 1.2.3充分条件与必要条件习题课
人教新课标版（A ）高二选修1-1 1.2.3 充分条件与必要条件习题课【基础演练】题型一：判断一个命题的真假 对命题的判断就是要看在命题的条件下，结论是否正确；如果难以证明，可取其等价命题来推断，请用以上知识来解决以下1-2题。
1. 下列命题中，是真命题的为①“5y x =+”是“10y 7x 3y x 22=+--”的充分条件； ②“0b a <-”是“0b a 22<-”的充分条件； ③“0b a <-”是“0b a 22<-”的必要条件；④“两个三角形全等”是“两边和夹角对应相等”的充分条件。
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①④ 2. 有下列三个命题： ①“若0y x =+，则x 、y 互为相反数”的逆命题；②“若b a >，则22b a >”的逆否命题； ③“若3x -≤，则06x x 2<-+”的否命题。
其中真命题的序号是__________。
题型二：证明充分性及必要性 证明充分性或必要性是本节常见题型之一，尤其是证明充要条件要注意从“充分性”与“必要性”两个方面入手。
请根据以上知识解决以下3-5题。
3. 若非空集合N M ≠⊂，则“M a ∈或N a ∈”是“⋂∈M a N ”的A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件4. 证明：一元二次方程0c bx ax 2=++有一正根和一负根的充要条件是0ac <。
5. 设p ：31m 0<<，q ：03x 2mx 2=+-有两个同号且不相等的实数根，证明p 是q 的充要条件。
题型三：充要条件的求解与应用 由充要条件定义可知，p ⇔q ，这就为此题型的灵活性埋下了伏笔，同时这也是高考常见题型一，一般的解法有两种：直接进行推导，进行两方面的论证；对于选择题还要与特值法紧密联系，请用以上知识解决6-7题。
6. 求0k x 10x 32=+-有两个同号且不相等实根的充要条件。
1.4充分条件与必要条件(第2课时)(习题课)课件高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
再证充分性成立： ∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，即(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋ b2)＝0，∴(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0. 由 ab≠0，得 a≠0 且 b≠0. ∴a2－ab＋b2＝a－b22＋34b2≠0. ∴只有 a＋b－1＝0，即有 a＋b＝1. 综上可知，当 ab≠0 时，a＋b＝1 的充要条件是 a3＋b3＋ab －a2－b2＝0.
化归与转化思想和数形结合核心素养．
思考题 1 求证：抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)关于 y 轴对
称的充要条件是 b＝0. 【证明】 充分性：若 b＝0，则抛物线方程变为 y＝ax2＋c. y＝ax2＋c 关于 y 轴对称． 必要性：若 y＝ax2＋bx＋c 的图象关于 y 轴对称，则－2ba＝0，
∴b＝0. 综上可知，抛物线 y＝ax2＋bx＋c 关于 y 轴对称的充要条件是 b
(2)依题意，p⇒q 且 q p.
若 p⇒q 且 q⇒p(即 q 是 p 的充要条件)，则 m＝58.
又由 p⇒q 得 m≥58，
∴由 p⇒q 且 q
p
得
5 m>8.
探究 2 怎样利用充分条件、必要条件、充要条件的关系求 参数范围？
(1)化简 p，q 两个命题； (2)根据充分性、必要性转化为集合间关系； (3)利用集合间关系建立不等关系； (4)求解参数范围．
∴－2m≥－54，解得 m≤58，即 m 的取值范围是m|m≤58.
5
(2)m|m<8.
(3)因为 p 是 q 的充分条件，所以{x|1≤x≤3}⊆{x|m＋
1≤x≤2m＋4}，则m2m＋＋1≤4≥1，3，解得－12≤m≤0. 总结：利用充分条件和必要条件可以推知集合间的包含关
习题课——充分条件与必要条件的综合应用
习题课——充分条件与必要条件的综合应用课后篇巩固提升基础巩固1.已知a,b∈R,则“a<0,b>0且a+b<0”是“a<-b<b<-a”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析∵a+b<0,∴a<-b,b<-a,∵a<0,b>0,∴a<-b<0<b<-a,因此充分性成立;∵a<-b<b<-a,∴-b<b,a<-a,∴b>0,a<0,∵a<-b,b<-a,∴a+b<0,因此必要性成立,综上“a<0,b>0且a+b<0”是“a<-b<b<-a”的充分必要条件,故选C.答案C2.已知集合A={x|a-2<x<a+2},B={x|x≤-2或x≥4},则A∩B=⌀的充要条件是()A.0≤a≤2B.-2<a<2C.0<a≤2D.0<a<2--⇔0≤a≤2.解析A∩B=⌀⇔答案A3.“3x2-8x-3<0”的一个必要不充分条件是()A.-<x<3B.-<x<4C.-<x<D.-1<x<2解析3x2-8x-3<0⇔(3x+1)(x-3)<0⇔-<x<3⇒-<x<4.故选B.答案B4.已知条件p:a=-1,条件q:直线x-ay+1=0与直线x+a2y-1=0平行,则p是q的()A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件解析因为直线x-ay+1=0与直线x+a2y-1=0平行,所以a2+a=0,解得a=0或a=-1;即q:a=0或a=-1;所以由p能推出q;q不能推出p;即p是q的充分不必要条件.故选C.答案C5.“log2a<log2b”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析若log2a<log2b,则0<a<b,所以>0,即“log2a<log2b”不能推出“”,反之也不成立,因此“log2a<log2b”是“”的既不充分也不必要条件.故选D.答案D6.命题p:|x|<a(a>0),命题q:x2-x-6<0,若p是q的充分条件,则a的取值范围是,若p是q的必要条件,则a的取值范围是.解析p:-a<x<a,q:-2<x<3,若p是q的充分条件,则(-a,a)⊆(-2,3),--故a≤2.所以若p是q的必要条件,则(-2,3)⊆(-a,a),--则a≥3.所以答案(-∞,2][3,+∞)7.下列四个命题中为真命题的是.(填序号)①“a>b”是“2a>2b”的充要条件;②“a=b”是“lg a=lg b”的充分不必要条件;③“函数f(x)=ax2+bx(x∈R)为奇函数”的充要条件是“a=0”;④“定义在R上的函数y=f(x)是偶函数”的必要条件是“-=1”.解析①真命题,∵y=2x在R上是增函数,∴a>b⇔2a>2b;②假命题,当a=b<0时,lg a,lg b无意义;③真命题,f(x)是奇函数⇔f(-x)+f(x)=0⇔ax2-bx+ax2+bx=0⇔ax2=0⇔a=0;④假命题,如f(x)=x2-1是偶函数,但f(1)=0,-无意义.答案①③8.已知条件p:x2-3x-4≤0,条件q:x2-6x+9-m2≤0,若p是q的充分条件,求m的取值范围.解p:-1≤x≤4,q:3-m≤x≤3+m(m>0)或3+m≤x≤3-m(m<0),解得m≤-4或m≥4.依题意,--或--故实数m的取值范围是(-∞,-4]∪[4,+∞).9.已知p,q都是r的必要条件,s是r的充分条件,q是s的充分条件,那么:(1)s是q的什么条件?(2)r是q的什么条件?(3)p是q的什么条件?解由题意可知,(1)因为q⇒s,s⇒r⇒q,所以s是q的充要条件.(2)因为r⇒q,q⇒s⇒r,所以r是q的充要条件.(3)因为q⇒s⇒r⇒p,所以p是q的必要条件.10.求证:关于x的方程x2+mx+1=0有两个负实数根的充要条件是m≥2.证明(1)充分性:因为m≥2,所以Δ=m2-4≥0,所以方程x2+mx+1=0有实根,设两根为x1,x2, 由根与系数的关系知,x1·x2=1>0,所以x1,x2同号.又x1+x2=-m≤-2<0,所以x1,x2同为负数.即x2+mx+1=0有两个负实根的充分条件是m≥2.(2)必要性:因为x2+mx+1=0有两个负实根,设其为x1,x2,且x1·x2=1,所以--即或-所以m≥2,即x2+mx+1=0有两个负实根的必要条件是m≥2.综上可知,m≥2是x2+mx+1=0有两个负实根的充分必要条件.能力提升1.直线l1∥直线l2的一个充分条件是()A.l1∥平面α,l2∥平面αB.l1⊥l3,l2⊥l3C.l1平行于l2所在的平面D.l1⊥平面α,l2⊥平面α解析由线面垂直的性质定理知答案选D.答案D2.“a=b”是“直线y=x+与圆(x-a)2+(y-b)2=1相切”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析若直线y=x+与圆(x-a)2+(y-b)2=1相切,则圆心(a,b)到直线x-y+=0的距离d==1,即|a-b+|=,解得a-b=0或a-b=-2,即“a=b”是“直线y=x+与圆(x-a)2+(y-b)2=1相切”的充分不必要条件,故选A.答案A3.已知向量a=(x,y),b=(cos α,sin α),其中x,y,α∈R.若|a|=4|b|,则使a·b<λ2成立的一个必要不充分条件是()A.λ>3或λ<-3B.λ>1或λ<-1C.-3<λ<3D.-1<λ<1解析由已知得|b|=1,所以|a|==4.所以a·b=x cos α+y sin α=sin(α+φ)=4sin(α+φ)≤4.因为a·b<λ2成立,所以λ2>4,解得λ>2或λ<-2.这是a·b<λ2成立的充要条件,因此,λ>1或λ<-1是a·b<λ2成立的一个必要不充分条件,故选B.答案B4.在下列电路图中,分别指出闭合开关A是灯泡B亮的什么条件:(1)中,开关A闭合是灯泡B亮的条件;(2)中,开关A闭合是灯泡B亮的条件;(3)中,开关A闭合是灯泡B亮的条件;(4)中,开关A闭合是灯泡B亮的条件.解析(1)开关A闭合,灯泡B亮;反之,灯泡B亮,开关A闭合,于是开关A闭合是灯泡B亮的充要条件;(2)仅当开关A,C都闭合时,灯泡B才亮;反之,灯泡B亮,开关A必须闭合,故开关A闭合是灯泡B 亮的必要不充分条件;(3)开关A不起作用,故开关A闭合是灯泡B亮的既不充分也不必要条件;(4)开关A闭合,灯泡B亮;但灯泡B亮,只须开关A或C闭合,故开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件.答案(1)充要(2)必要不充分(3)既不充分也不必要(4)充分不必要5.设条件p:|x|≤m(m>0),q:-1≤x≤4,若p是q的充分条件,则m的最大值为,若p是q的必要条件,则m的最小值为.解析由|x|≤m(m>0)得:-m≤x≤m,p是q的充分条件⇒ --⇒0<m≤1,∴m的最大值为1.p是q的必要条件⇒ --⇒m≥4,∴m的最小值为4.答案1 46.已知条件P={x|x2-3x+2≤0},条件S={x|1-m≤x≤1+m}.(1)是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件?若存在,求出m的取值范围,若不存在,请说明理由;(2)是否存在实数m,使x∈P是x∈S的必要条件?若存在,求出m的取值范围,若不存在,请说明理由.解(1)P={x|x2-3x+2≤0}={x|1≤x≤2}.要使x∈P是x∈S的充要条件,则P=S,即-此方程组无解,则不存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件.(2)要使x∈P是x∈S的必要条件,则S⊆P,当S=⌀时,1-m>1+m,解得m<0;当S≠⌀时,1-m≤1+m,解得m≥0;要使S⊆P,则有-解得m≤0,综上可得,当实数m≤0时,x∈P是x∈S的必要条件.7.已知p:-<0(m>0),q:x(x-4)<0,若p是q的既不充分也不必要条件,求实数m的取值范围.解由-<0(m>0),解得-m<x<2m,由x(x-4)<0,解得0<x<4.若p是q的充分不必要条件,则有-或-解得m无解;若p是q的必要不充分条件,则有-或-解得m≥2或m>2.因此当p是q的既不充分也不必要条件时,实数m的取值范围是(0,2).。
充分条件与必要条件习题课ppt
例2、不等式x2-x-2>0成立的一个充分不必要条件为 （ ）。 A、x<-1或x>2 B、x>2 C、x<0或x>2 D、X<0或x>3 分析：由这个不等式得x>2或x<-1,它是不等式成立 的充要条件。很明显A是充要条件；B中x>2成立， 不等式成立，反过来，不等式成立，不能得到x>2， 如：x=-3，故x>2是不等式成立的充分不必要条件； Ｃ中x<0或x>2成立不能推理出不等式成立，反例： 如x=-1/2，反过来，不等式成立可以推理x<0或x>2， Ｃ是必要不充分条件；Ｄ同理不是不等式成立的充 分条件，不等式成立，也不能推理出x<0或x>3成立， 反例，如x=5/2，故Ｄ既不是充分也不是必要条件。
6
例3、设a,bR,则不等式a>b与1/a>1/b都 成立的充要条件是（ ）。 A、ab>0 B、a>b,a<0 C、ab<0 C、ab≠0 由条件可得：
a>b<=>b-a>0 1/a>1/b<=>(b-a)/ab>0 <=>ab<0
故选C
7
例4、已知关于x的方程x2-2m+9=0的两个实根 分别为α 、β ，求证：“1/ α +1/ β <2”的 充分不必要条件是“3≤m<9”。 证明：１、充分条件：若3≤m<9，则 1/ α +1/ β ＝（α ＋β ）／α β ＝２m/9 ∵ 3≤m<9 ∴2/3<２m/9<2 ∴ 1/ α +1/ β <2 2、必要条件：若1/ α +1/ β <2,则２m/9<2 ∴ m<9≠> 3≤m<9 故3≤m<9是1/ α +1/ β <2的充分不必要条件.
第一章 集合与常用逻辑用语 1.4 充分条件与必要条件 高中数学人教版新教材必修第一册
第一章 集合与常用逻辑用语1.4 充分条件与必要条件1.4.1 充分条件与必要条件一、教学目标：1. 正确理解充分条件、必要条件及充要条件的概念.2. 掌握充分必要条件的意义，能够判定给定的两个命题的充要关系.3. 能正确判断是充分条件、必要条件还是充要条件.4. 培养学生的逻辑思维能力及归纳总结能力.5. 在充要条件的教学中，培养等价转化思想．二、教学重点、难点重点：正确理解充分条件、必要条件及充要条件的概念. 难点：能正确判断是充分条件、必要条件还是充要条件三、学法与教学用具1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标。
2、教学用具：多媒体设备等四、教学过程（一）复习回顾，创设情景，揭示课题初中学过的命题：一般地，在数学中,我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命．题．. 其中判断为真的语句叫做真命题．．．，判断为假的语句叫做假命题．．．.命题的形式：若p ，则q ，或者：如果p ，那么q .【讨论练习】判断下列命题中的真假命题：（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形. （2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等.（3）若2430x x -+=，则1x =（4）若平面内两条直线a 和b 均垂直于直线l ，则//a b . 【答案】命题（1）、（4）为真命题，命题（2）、（3）为假命题【引入问题】对于命题，除了真假命题的说法，还有其他的数学说法吗？（二）研讨新知，典型示例一般地，命题“若p ，则q ”为真命题，就称：由条件p 可以推出结论q ，记作：p q ⇒ 并且说，p 是q 的充分条件(sufficient condition)，q 是p 的必要条件(necessarycondition).如果命题“若p ，则q ”为假命题，则称：条件p 不能推出结论q ，记作：p q >≠ 就说p 不是q 的充分条件，q 不是p 的必要条件【新的说法】命题（1）、（4）为真命题，所以p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件命题（2）、（3）为假命题，所以p 不是q 的充分条件，q 不是p 的必要条件【例题研讨】阅读领悟课本18P 例1、例2 （用时约为6-8分钟，教师逐一作出准确的评析.）例1 下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件? （1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形； （2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； （3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；（4）若21x =，则1x =； （5）若a b =，则ac bc =；（6）若,x y 为无理数，则xy 为无理数. 解：（1）这是一条平行四边形的判定定理，p q ⇒，所以p 是q 的充分条件. （2）这是一条相似三角形的判定定理，p q ⇒，所以p 是q 的充分条件. （3）这是一条菱形的性质定理，p q ⇒，所以p是q 的充分条件.（4）由于2(1)1-=，即1x =-满足21x =，p q >≠，所以p 不是q 的充分条件. （5）由等式的性质知，p q ⇒，所以p 是q 的充分条件.（6）当x y ==为无理数时，2xy ==为有理数，p q >≠，所以p 不是q 的充分条件.例2 下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的q 是p 的必要条件? （1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等； （2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例； （3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形；（4）若1x =，则21x =； （5）若ac bc =，则a b =；（6）若xy 为无理数，则,x y 为无理数. 解：（1）这是平行四边形的一条性质定理，p q ⇒，所以q 是p 的必要条件. （2）这是三角形相似的一条性质定理，p q ⇒，所以q 是p 的必要条件.（3）如图1.4-1， 四边形ABCD的对角线互相垂直，但它不是菱形，p q >≠，所以q 不是p 的必要条件.（4）显然，p q >≠，所以q 不是p 的必要条件.（5）由于(1)010-⨯=⨯，但11-≠，p q >≠，所以q 不是p 的必要条件.（6）由于2=p q >≠，所以q 不是p 的必要条件.【小组互动】完成课本20P 练习，同桌交换检查，老师答疑并公布答案.（三）探索与发现、思考与感悟 已知以下“若p ，则q ”形式的命题：①若:p “||||x y =”，则:q “x y =”；② 设,a b 是实数，若:p “0a b +>” ，则“0ab >”；③若:p “{|02}x A x x ∈=<<”，则:q “{|13}x B x x ∈=-<<”； ④若:p “{|6,}x x x k k Z ∈=∈”，则:q “{|3,}x x x k k Z ∈=∈”.其中p 是q 的充分条件的命题是_______________；p 不是q 的充分条件的命题是_______________;q 是p 的必要条件的命题是_______________；q 不是p 的必要条件的命题是________________.解：①由已知||||x y =可能有x y =或x y =-，p q >≠，所以p 不是q 的充分条件，q 不是p 的必要条件② 当3,1a b ==-时, 0a b +>,但0ab <，p q >≠，所以p 不是q 的充分条件，q 不是p 的必要条件③当x A ∈时，必有x B ∈，p q ⇒，所以p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件 ④当x A ∈时，必有x B ∈，p q ⇒，所以p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件 综上，p 是q 的充分条件的命题是③④，p 不是q 的充分条件的命题是①②q 是p 的必要条件的命题是③④，q 不是p 的必要条件的命题是①②（四）归纳小结，回顾重点1.完成课本22P 习题1.4 1.22.预习1.4.2 充要条件五、教学反思：（课后补充，教学相长）1.4.2 充要条件（一）复习回顾，创设情景，揭示课题【引入问题】下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题与它的逆命题都是真命题？ （1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等； （2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；（3）若一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根，则0ac < （4）若A B 是空集，则A 与B 均是空集.【答案】易知命题（1）和（4）与它的逆命题都是真命题；命题（2）是真命题，它的逆命题是假命题；命题（3）是假命题，它的逆命题是真命题.（二）研讨新知，典型示例如果“若p ，则q ”和它的逆命题“若q ，则p ”均是真命题，即既有p q ⇒又有q p ⇒就记作 p q ⇔此时p 既是q 的充分条件，也是q 的必要条件，则可称p 是q 的充分必要条件，简称为充要条件(sufficient and necessary condition). 显然，如果p 是q 的充要条件，那么q 也是p 的充要条件.【答案】上述思考中的命题（1）和（4），p 是q 的充要条件.【例题研讨】阅读领悟课本21P 例3，（用时约为2-3分钟，教师逐一作出准确的评析.）例3下列各题中， 哪些p 是q 的充要条件?（1） p ：四边形是正方形，q ：四边形的对角线互相垂直且平分； （2） p ：两个三角形相似，q ：两个三角形三边成比例； （3）:0p xy >，:0,0q x y >>（4）:1p x =是一元二次方程20ax bx c ++=的一个根，:0(0)q a b c a ++=≠ . 解：（1）因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形（为什么？可以是菱形或者特殊的等腰梯形），所以q p >≠，所以p 不是q 的充要条件.（2）因为此题中“若p ，则q ”是相似三角形的性质定理，“若q ，则p ”是相似三角形的判定定理，所以它们均为真命题，即p q ⇔，所以p 是q 的充要条件.（3）因为0xy >时，0,0x y >>不一定成立(为什么？因为可以有0,0x y <<)，所以p q >≠，所以p 不是q 的充要条件.（4）因为此题中“若p ，则q ”和“若q ，则p ”均是真命题，即p q ⇔，所以p 是q 的充要条件.【例题研讨】阅读课本22P 例4，（用时约为2-3分钟，同桌交流感受）（三）探索与发现、思考与感悟1. 已知,a b 是实数，则“0a >且0b >”是“0a b +>且0ab >”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解：由0a >且0b >可得0a b +>且0ab >，由0a b +>有,a b 至少一个为正，0ab >可得,a b 同号，两者同时成立，则必有0a >且0b >，故选C.2. 已知:10,:p x q x a -<>，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________． 解：由已知:1,:p x q x a >>，若p 是q 的充分不必要条件，则p q ⇒，但q p >≠， 也就是说，p 对应集合是q 对应集合的真子集，所以1a <答案：{|1}a a <3. 设集合2{|0},{|03}x A x B x x x-=≤=<<，那么“m A ∈”是“m B ∈”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解：由已知2{|0}{|02}x A x x x x-=≤=<≤．{|03}B x x =<< 所以m A m B ∈⇒∈，但是m B m A >∈≠∈，所以“m A ∈”是“m B ∈”的充分不必要条件．故选A4. 设A 是B 的充分不必要条件，C 是B 的必要不充分条件，D 是C 的充要条件，则D 是A 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解：由题意得：，所以D 是A 的必要不充分条件，故选B（四）归纳小结，回顾重点1、充分条件、必要条件、充要条件命题真假“若p ，则q”为真命题“若p，则q”为假命题“若p，则q”与逆命题“若q，则p”均为真命题推出关系p q⇒p q>≠p q⇔条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件p是q的充要条件q是p的充要条件2、充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件集合{|()},{|()} A x p x B x q x ==关系A B⊆B A⊆A B=A B⊄且B A⊄图示结论p是q的充分不必要条件p是q的必要不充分条件p是q的充要条件p是q的既不充分也不必要条件（五）作业布置，精炼双基1.完成课本22P练习 1、2、32. 完成课本习题1.4 1、2、3、4、5、6五、教学反思：（课后补充，教学相长）。