第四章 信号参量估计-1

x
k 1
N
k
是优效估计量
怎么来求优效估计?
ˆ 优效估计
必满足
ln p(x / ) ˆ k ( )[ ]
ˆ 而极大似然估计量 ml 式
ln p (x / ) 0 ml
, 一定满足下
比较以上两个式子， 有
ˆ ˆ ml
极大似然估计就是优效估计量
例5 同例4,求a的优效估计量
4.3
单个信号参量的估计
信号参量： 振幅， 相位，延时，频率等 主要估计非随机参量 优效估计： 采用极大似然估计 背景噪声n(t)是零均值的高斯白噪声，其功 率谱密度等于N0/2
4.3.1. 一般公式：对任意参量的估计
1. 波形已知的信号 假定接收波形是: x(t)=s(t,ɑ)+n(t) (0 ≤t≤T) 由前面的知识，可知，给定 的似然函数为
s(t ) t

t
t
门函数

回波脉冲与 噪声的混合 波形
t

t
估计量
ˆ
的克拉美---罗限:
2
对于无偏估计
1
ˆ
有
2 1
2 ˆ ˆ No
2
s(t ) dt T / 2
ˆ E{ }
无偏性保证估计量分布在被估计参量的均值 附近
2
一致性
ˆ 如果估计量 依概率1收验于被估计 ˆ 参量 ， 则称 是简单一致的或一 致的
ˆ 设 n 是参量ɑ的估计量， n表示形成 估计的样本数。 如果对于任意小的 正数δ 和η ，总存在一个正数N, 有
ˆ P{| n | } 1 (n N )
振幅估计
信号形式
s(t, A) As(t ) (0 t T )
系数A是待估计的振幅。 由前面的参数极 大似然估计的一般公式得 T [ x(t ) As(t )]s(t )dt 0
0
则A的极大似然估计为 T 0 x(t )s(t )dt T x(t )s(t )d ˆ A T t 0 2 s (t )dt
xk Ask nk (k 1,2,, N )
式中 是确知信号的样本， 是均值为 n2 的白噪声样本，A未知的非随机 零、方差为 参量。 要求根据观测样本 xk 对系数A作出估 计
sk
nk
4.3.3
相位估计
s(t , ) A sin(t ) (0 t T )
有效性
ˆ ˆ 1 , 2 是末知参量的两个无偏估计 量 ,如它们的方差满足
ˆ ˆ Var{1} Var{ 2 }
ˆ ˆ 则 1 比 2 更有效。
优效估计： 具有最小方差的无偏估计。
估计量的方差是不是可以达到零？ 任何估计量的方差存在一个下限， 这个 下限称为克拉美—罗限
1 1 2 ln p(x / ) 2 x E{[ ] } E{ ln p(2 / )}
第四章 信号参量估计
4.1 引言 从接收波形数据估计信号中参量的值， 称为参量估计 参量估计准则： 贝叶斯，极大似然，最 大后验，矩法等 问题： 对同一个参量，可能有多个估 计量， 如何来评价这些估计量， 哪一 个估计量更好？
4.2
1
信号参量估计量的性质
无偏性
ˆ E{ } E{ }
若被计估参量ɑ是确定性的
信号形式：
s(t , ) s(t ) (T / 2 t T / 2)
其中

为待估计的时延。
与前同， 的极大似然估计是以下方 程的解：
s(t ) T / 2 x(t ) s(t ) dt 0
T /2
化简
s (t ) T / 2 x(t ) d t 0
T /2
因 故
s(t ) s(t ) t
ˆ
是下列方程式的解
s (t ) T / 2 x(t ) t dt 0
T /2
时延的极大似然估计器，应使接收波形 x(t)同信号的导数之相关积分为零
s(t )
雷达回波视频 脉冲
雷达回波视频 脉冲的导数
1 N ˆ a xk N k 1 xk a nk
可证:
ˆ E{a} a
N
ˆ ) 2 } lim lim E{( a
2
N
N
0
3 充分性
ˆ ˆ 设末知参量ɑ的估计量为 (x) .如果 似然函数可以分解如下形式：
ˆ p(x / ) p( / ) f (x)
2 随机相位信息
除待估的参量 未知外，信号的相位也 是未知的(相位不需要估计的杂散参量, 假定 在(0,2π )上是均匀分布)
在色噪声下的平均似然函数：
p (x) k I0 ( D)
其中k是常数. 下标加θ表示对相位进行 平均, I0(D)为零阶贝塞尔函数
统计量D为
D |
~* h (t )
~ a (t )
~ a (t )
为发射信号的复包络， 接收信号的复包络
由以上公式可得， 在高信噪比下，可忽略 信号与噪声的互相关项
2E D N0
~ (t ) a (t ) d ~ t a
将统计量D的表达式代入似然函数, 则其对数似然 函数为 ln p (x) ln k ln I 0 ( D)
信号形式：
其中 是未知的，为待估计参量。 其余 参量已知。则 的极大似然估计

T
0
[ x(t ) A sin(t )] cos(t )dt 0
时，上式第二项的积分为零。 化简得
T 2

T
0
x(t ) cos( t )dt 0 ˆ
T x (t ) costd t ˆ arctg 0 T x (t ) s in td t 0
其中f(x)与ɑ无关， 则称 具有充分性. ˆ
ˆ 物理意义： 在构造估计量 时，利用了 接收样本x中的有关估计量 的全部信息
充分估计量比其它的估计量包含了更 多的有关估计量的信息 例2 与例1的假设相同， 试检验样本均 值估计量的充分性. 设噪声是零均值、 方差为σ n2的高斯噪声
4
在 为随机参量下,最大后后验估计即是 优效估计 p(x, ) p( / x) p(x) 则
ln p( x, ) ln p( / x) ˆ k ( )
由最大后验估计准则有
ln p ( / x) 0 map
由以上公式可知： ˆ ˆ map

T
0
s(t , ) [ x(t ) s (t , )] dt

的极大似然估计是以下方程式的解： T s(t , ) 0 [ x(t ) s(t , )] dt 0
计算克拉美—罗限: 2 ln p( x / ) 2 T s (t , ) 2 [ ] dt 2 N 0 0

时，x(t)
1 T p( x / ) F exp{ [ x(t ) s(t , )]2 d t } N0 0
对数似然函数为
1 T ln p( x / ) ln F [ x(t ) s(t , )]2 d t N0 0
对 求导
ln p( x / ) 2 N0
2 ˆ
被估计量
是一个非随变量
能够达到克拉美—罗限的无偏估计，即是优效 估计。
ˆ 优效估计量 必须满足以下条件
ln p(x / ) ˆ k ( )[ ]
ˆ 系数k(ɑ)可以是ɑ的函数，但不能是x或 的函数
例3
1 ˆ a N
与例2 同，证明样本均值估计量
ˆ ˆ (t )dt sin( )
T 0
相位估计的克位美—罗限:

T
0
s (t , ) A2 dt 2 T E
2

2
ˆ
1 2 N0

T
0
s (t , ) d t
2
N0 2E

相位估计器框图：
x x(t) 0≤t≤ T x

T
0
cost
x
Arctg(*)
ˆ

T
（*）‘
0
sin t
锁相环
x(t) 0≤t≤T x
(t )

T

ˆ cos(t )
压控振荡器
0
平滑滤波器
原理: x(t ) A sin(t )
A A (t ) A sin(t ) cos(t ˆ) sin( ˆ) sin(2t ˆ) 2 2
例4 设观则样本为
xk a nk
其中a为待估计的随机变量。 设a服从高斯 分布，且E{a}=u, Var{a}=β 2。 nk为零值、 方差为σ 2的高斯白噪声。 要求计算估计 ˆ 量 可能达到期的最小均方误差。
ln p( x, ) ln p( / x) ˆ k ( )
2 T 2 s(t , ) [ x(t ) s(t , )] dt 2 N0 0
因x(t)-s(t,ɑ)=n(t)的均值为零, 可得
1 2 2 ln p(x, ) E{ } 2 N0
2 ˆ
1 T s (t , ) [ ]2 d t 0
统计量D变为
(2 E ) ~ (t )a * (t )d D x ~ t N0 E为信号能量 ~ (t ) 接收波形的复包络 x