信号与系统第四章(陈后金)1资料
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信号系统(陈后金)第4章-信号的频域分析
w0 w0
0 2 lim[ 2 ] 2 0 + w
2 w dw 2arctg( ) 2 2 2 +w
f (t )
dt (t )e jwt dt 1
(t )
(1)
1
F (w )
0
t
0
w
单位冲激信号及其频谱
(4) 直流信号
直流信号不满足绝对可积条件,可采用极限 的方法求出其傅里叶变换。
F [1] lim F [1 e
0
| t|
2 ] 2 (w ) ] lim[ 2 2 0 + w
符号表示：
F ( jw ) F[ f (t )] f (t ) F 1[ F ( jw )]
或
f (t ) F ( jw )
F
狄里赫莱条件
（1）非周期信号在无限区间上绝对可积
f (t ) dt
（2）在任意有限区间内，信号只有有限个最大值 和最小值。 （3）在任意有限区间内，信号仅有有限个不连续点， 且这些点必须是有限值。 狄里赫莱条件是充分不必要条件
P 1
2 2 2 | C ( n w ) | C ( 0 ) + 2 | C ( n w ) | 0.1806 0 0 n =1 4 4
n =—4
P 0.1806 1 90 % P 0.200
周期矩形脉冲信号包含在有效带宽内的各谐波平均功 率之和占整个信号平均功率的90%。
虚指数信号 正弦型信号单位冲激序列
• 常见周期信号的频谱密度
1. 常见非周期信号的频谱
(1) 单边指数信号
0 2 lim[ 2 ] 2 0 + w
2 w dw 2arctg( ) 2 2 2 +w
f (t )
dt (t )e jwt dt 1
(t )
(1)
1
F (w )
0
t
0
w
单位冲激信号及其频谱
(4) 直流信号
直流信号不满足绝对可积条件,可采用极限 的方法求出其傅里叶变换。
F [1] lim F [1 e
0
| t|
2 ] 2 (w ) ] lim[ 2 2 0 + w
符号表示：
F ( jw ) F[ f (t )] f (t ) F 1[ F ( jw )]
或
f (t ) F ( jw )
F
狄里赫莱条件
（1）非周期信号在无限区间上绝对可积
f (t ) dt
（2）在任意有限区间内，信号只有有限个最大值 和最小值。 （3）在任意有限区间内，信号仅有有限个不连续点， 且这些点必须是有限值。 狄里赫莱条件是充分不必要条件
P 1
2 2 2 | C ( n w ) | C ( 0 ) + 2 | C ( n w ) | 0.1806 0 0 n =1 4 4
n =—4
P 0.1806 1 90 % P 0.200
周期矩形脉冲信号包含在有效带宽内的各谐波平均功 率之和占整个信号平均功率的90%。
虚指数信号 正弦型信号单位冲激序列
• 常见周期信号的频谱密度
1. 常见非周期信号的频谱
(1) 单边指数信号
陈后金《信号与系统》(第2版)配套题库【名校考研真题+课后习题+章节题库+模拟试题】(上册)
图2-2
3．有一离散时间信号
（1）画出
（2）求序列 学]
使之满足
解：（1）
又 比较上述两式可得： 故如图2-3所示。
[电子科技大
图2-3
4．已知 如图2-4（a），画出
和
的波形。[北
京理工大学]
解：将 反转得 如图2-4（b）所示，将它们相加、减得 ，波形如图2-4（c）、（d）所示。
图2-4 5．已知f（t）的波形如图2-5所示，令r（t）＝tu（t）。
大学]
图1-2 解：因为：
故：
y2（t）的波形如图1-3所示。
图1-3 3．将如图1-4（a）、（b）所示的连续信号展成如下形式：
给出信号
最简单的解析表达形式。[北京航空航天大学]
图1-4
解：（a）该信号可分为两段：
和
可化简为
故
，即：
（b）该信号可分为三段： 可化简为 故
，即
4．求
的值。[北京航空航天大学2006研]
，应该与齐次解有关，即系统的特征根为－1和－3，故特征方程应为 ，即a0＝4，a1＝3。
（2）设系统对激励 rzs（t），则
的零输入响应和零状态响应分别为rzi（t）和
由于
，则由线性时不变系统的微分特性可知
同时，设系统的单位冲激响应为h（t），则由线性时不变系统的叠加性 可知
由式（1）、式（2），并设
陈后金《信号与系统》（第2版）配 套模拟试题及详解
第一部分 名校考研真题 第1章 信号与系统分析导论 一、选择题
1．方程 天大学2007研] A．线性时不变 B．非线性时不变 C．线性时变 D．非线性时变 E．都不对 【答案】B
描述的系统是（ ）。[北京航空航
《信号与系统》第四章
图 两个矢量正交
矢量的分解
c2V2
V
V2
2
o
1
V1
c1V1
图 平面矢量的分解
c3V3
V3
V
o V1
V2
c2V2
c1V1
V c1V1 c2V2 c3V3
图 三维空间矢量的分解
推广到n维空间
1 正交函数的定义
在区间 (t1,t内2 )，函数集 {0 (t),1(t中),的,各N个(t)函} 数间，若满足下列 正交条件：
➢在波形任一周期内，其第二个半波波形与第一个半波波形相同；
x(t) x(t T0 / 2)
➢这时x(t)是一个周期减半为
的周期非正弦波，其基波频率
为
，即其只含有偶次谐T0波2；
20
4.4波形对称性与傅里叶系数
4 奇半波对称
➢在波形任一周期内，其第二个半周波形恰为第一个半周波形的
负值； x(t) x(t T0 / 2)
交函数集 {0 (t),1(t), ,N (t)} 是完备的,即再也找不到一个函数 (t)
能满足
t2
(t)
* m
(t
)dt
0
t1
m 0,1, , N
则在区间 (t1,t2 ) 内，任意函数x(t)可以精确地用N+1个正交函数地加权和
表示：
N
x(t) c00 (t) c11(t) cN N (t) cnn (t)
T0
3 傅里叶级数系数的确定
➢正弦—余弦形式傅里叶级数的系数
2Bk
2 T0
x(t) cos k0tdt
T0
2Dk
2 T0
x(t) sin k0tdt
信号与系统第四章1
0<t<1 1< t < 2
1
2
4.5
思考题4.4 思考题4.4
20
4.5 周期信号的频谱与功率谱
一.频谱 频谱
辐频 Ak ~ kω 0 关系
相频 θ k ~ k ω 0 关系
x ( t ) = c 0 + 2 ∑ Ak cos( k ω 0 t + θ k )
k =1
∞
---三角函数形式 三角函数形式
2 2 Ak = Bk + Dk
tgθ k = Dk / Bk
− Dk = − I m {ck }, k > 0
11
复指数——> 正余弦的转换： 正余弦的转换： 复指数
B k = Re {ck }
4.4 波形对称性与傅里叶系数
1.偶对称：x(t)=x(-t) 偶对称： 偶对称
− 2 Dk = 0
4 2 Bk = T0
8
将这两者相加， 式中基波角频率 ω 0 = 2π / T0 。将这两者相加，即 为所求x(t)的傅里叶级数。所以 的傅里叶级数。 为所求 的傅里叶级数
x( t ) = Ev{ x( t )} + Od { x( t )}
4 8 = sinω0 t − 2 cosω0 t + sin3ω0 t − 2 cos3ω0 t π π 3π 9π
第 四 章
连续时间傅立叶变换 连续时间信号的谱分析和 --频分析 时--频分析
1
4.1引言 引言 4.2复指数函数的正交性 复指数函数的正交性 4.3周期信号的表示：连续时间傅里叶级数 周期信号的表示： 周期信号的表示 4.4波形对称性与傅立叶系数 波形对称性与傅立叶系数 4.5周期信号的频谱与功率谱 周期信号的频谱与功率谱 4.6傅里叶级数的收敛性 吉伯斯现象 傅里叶级数的收敛性 4.7非周期信号的表示：连续时间傅里叶变换 非周期信号的表示： 非周期信号的表示 4.8傅里叶级数与傅里叶变换的关系 傅里叶级数与傅里叶变换的关系 4.9连续时间傅里叶变换的性质与应用 连续时间傅里叶变换的性质与应用 4.10卷积定理及其应用 卷积定理及其应用 4.11相关 相关 4.12能量谱密度与功率谱密度 能量谱密度与功率谱密度 4.13信号的时 频分析和小波分析简介 信号的时---频分析和小波分析简介 信号的时
北京交通大学陈后金教授信号处理课件
第8章 数字滤波器的实现
第9章 数字语音信号
主要参考书
[1] 陈后金等译:数字信号处理及MATLAB仿真, 机械工业出版社, 2015
[2] S.K. Mitra. 数字信号处理(第4版） 清华大学出版社, 2012
[3] A.V.Oppenheim. 离散时间信号处理(第3版)英文版 ,电子工业出版社, 2011 [4] 胡广书.数字信号处理.清华大学出版社(第3版), 2012. [5]P.P. Vaidyanathan, Multirate systems and filter banks, Prentice Hall, Englewood Cliffs NJ,1993. [6] N.J.Fliege, Multirate digital signal processing. John Wiley &Sons, NY,1994. [7] I.Daubechies, 小波十讲（修订版） ,国防工业出版社, 2011 [8] S. Mallat 信号处理的小波导引：稀疏方法（第3版）英文影印版, 2012
第4章 IIR数字滤波器的设计
第5章 FIR数字滤波器的设计
第6章 随机信号功率谱估计
第7章 数字系统的结构 第8章 多速率信号处理基础Fra bibliotek主要教材
第1章 概述 第2章 离散时间信号 第3章 频域概念 第4章 抽样与重建 第5章 FIR滤波器设计与分析 第6章 IIR滤波器设计与分析 第7章 抽样速率转换
近代数字信号处理
(Advanced Digital Signal Processing)
信号与图像处理研究室 电子信息工程学院
主要教材
主教材: 普通高等教育“十一五”国家级规划教材
信号与系统-陈后金-北京交通大学-全
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A/D
ý Ö ¦ Ê ×´ í µ ³ ¿ Ï Í
D/A
¼ ¬ Ë Å º Á ¨ð ² Å
2．线性系统与非线性系统 • 线性系统：具有线性特性的系统。线性特性包括
均匀特性与叠加特性。 (1)均匀特性：
若f1 (t ) y1 (t )
则Kf1 (t ) Ky1 (t )
(2)叠加特性：
若f1 (t ) y1 (t ), f 2 (t ) y2 (t )
数学解析式或图形
• 2. 表示
语音信号：空气压力随时间变化的函数
0
0.1
0.2
语音信号“你好”的波
0.3
0.4
静止的单色图象： 亮度随空间位置变化的信号f(x,y)。
静止的彩色图象： 三基色红(R)、绿(G)、蓝(B)随空间位置变化的信号。
I R ( x, y ) I ( x, y ) I G ( x, y ) I B ( x, y )
[例2] 试判断下列系统是否为时不变系统
(1)y(t)=sin[f(t)]
时不变系统
(2)y(t)=cost· f(t)
(3)y(t)=4f 2(t) +3f(t)
时变系统
时不变系统
(4)y(t)=2t· f(t)
时变系统
分析： 判断系统是否为时不变系统，只需判断当输入激励f(t) 变为f(t-t0)时，相应的输出响应y(t)是否变为 y(t-t0)。 注意：时不变特性只考虑系统的零状态响应，因此在判 断系统的时不变特性时，不涉及系统的初始状态。
信号与系统(第4章)
k
X
[k
]
(
k0
)}H
(
j
)
Y ( j) 2
k
H
(
jk0
)
X
[k
]
(
k0
)
例4.4——利用冲激响应h(t)↔H(jω)实现频谱滤波。
2、离散时域信号： y[n] x[n]* h[n]
x[n]，y[n]是基频为Ω0的周期信号， h[n]是非周期信号。
DTFT Y (e j ) X (e j )H (e j )
§4.3 周期与非周期混合信号的卷积及相乘
——解决周期与非周期混合信号（运算）问题：连续时域信 号统一利用FT分析；离散时域信号统一利用DTFT分析。
4.3.1. 周期与非周期信号的卷积
1、连续时域信号 y(t) x(t) h(t)
非周期
周期
FTY ( j) X ( j)H ( j)
{2
N/ 2
DTFS
x[n] X [k]e jk0n
k N/ 2
DTFT
X [k ] 1
N/ 2
x[n]e jk0n
N n N/ 2
X (e j ) 2 X[k] ( k0 ) k
4.4.2 FT与DTFS的关系
X ( j)
2
Ts
k
X [k] ( k0 / Ts )
(v) (v) /
k 0
m
X (e j ) 2 X [k] ( k0 ) k
4小.2结.2：DTFT与DTFS的关系
离散时域周期信号
N/ 2
x[n] X [k]e jk0n
DTFS
X [k] 1
N/ 2
信号与系统第四章
求该系统对激励信号 e(t) 1 (t 2) cos(t) 的响应。
解答： 1)、 e0(t)=1，直流作用 2) 、 e1(t)= cost作用
H(j0)=2 H(j)=0
r0(t)=2 r1(t)=0
3)、 e2(t)= (t-2)作用
例4、设某系统的频率响应特性为：
H ( j) 2e j ( 2) ( 2)
H ( j )
2
( )
H(jw)=|H(jw)|ej(w) 1、 当直流作用
-2
2
r0(t)=4
j( )
2 、基波作用 H ( j1) 1* e 2
2 cos(t )
相量
20
2
2cos(t )
2
2
3、 二次谐波作用
H ( j2) 0 r(t) 4 2 cos(t )
2
例2：求信号f(t)=cost+sint通过系统 H ( p) 1 后的响应。 P 1
低通
高通
-C
C
-C
C
带通
带阻
1
2
1 2
1、理想低通滤波器的频率特性
求该系统对激励信号
e(t) 1 (t 2) cos(t) 的响应。
解答： r0(t)=2
r1(t)=0
3)、 e2(t)= (t-2)作用
E2(j)= e-j2
2
AG
()
A
Sa(t
2
)
R2(j)= E2(j) ·H(j)
= e-j2 ·2e-j [ (+2)- (-2)]
=2 [ (+2)- (-2)] e-j3
H(jw)
R(jw) R(jw) = E(jw) ·H(jw)
解答： 1)、 e0(t)=1，直流作用 2) 、 e1(t)= cost作用
H(j0)=2 H(j)=0
r0(t)=2 r1(t)=0
3)、 e2(t)= (t-2)作用
例4、设某系统的频率响应特性为：
H ( j) 2e j ( 2) ( 2)
H ( j )
2
( )
H(jw)=|H(jw)|ej(w) 1、 当直流作用
-2
2
r0(t)=4
j( )
2 、基波作用 H ( j1) 1* e 2
2 cos(t )
相量
20
2
2cos(t )
2
2
3、 二次谐波作用
H ( j2) 0 r(t) 4 2 cos(t )
2
例2：求信号f(t)=cost+sint通过系统 H ( p) 1 后的响应。 P 1
低通
高通
-C
C
-C
C
带通
带阻
1
2
1 2
1、理想低通滤波器的频率特性
求该系统对激励信号
e(t) 1 (t 2) cos(t) 的响应。
解答： r0(t)=2
r1(t)=0
3)、 e2(t)= (t-2)作用
E2(j)= e-j2
2
AG
()
A
Sa(t
2
)
R2(j)= E2(j) ·H(j)
= e-j2 ·2e-j [ (+2)- (-2)]
=2 [ (+2)- (-2)] e-j3
H(jw)
R(jw) R(jw) = E(jw) ·H(jw)
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一、周期信号的傅里叶级数展开
4. 对称特性
(4) 半波镜像信号
A T0/2 0 -A T0 t
~ x (t ) ~ x (t T0 / 2)
~ x (t )
半波镜像周期信号只含有正弦与余弦的奇次 谐波分量，而无直流分量与偶次谐波分量。
说明 ：某些信号波形经上下或左右平移后，
才呈现出某种对称特性
~ x (t )
A
x (t ) 显然满足狄里赫勒的三个条件， 解: 该周期信号 ~ 必然存在傅里叶级数展开式。 n0 A 1 T2 ~ 1 jn t jn t 2
- T0
0
T0
t
Cn
x (t ) 的指数形式傅里叶级数展开式为 因此， ~ n0 jn t A 2π jn0t ~ x (t ) Cn e 0 Sa ( )e
周期三角脉冲信号的指数形式傅里叶级数展开式为
~ x (t ) Cn e jn0t
n =
1 2 2π j( 2 m 1) 0 t e 0 π 2 2 m= [(2m 1) π] T0
例2 试计算图示周期三角脉冲信号的傅里 叶级数展开式。
~ x (t )
一、周期信号的傅里叶级数展开
1. 周期信号展开为傅里叶级数条件
周期信号 ~ x (t ) 应满足Dirichlet条件，即：
(1) 在一个周期内绝对可积，即满足
T0 / 2
T0 / 2
~ x (t ) dt
(2) 在一个周期内只有有限个有限的不连续点；
(3) 在一个周期内只有有限个极大值和极小值。
1 Cn T0
1 1 0 jn0t jn0t jn0t ~ x ( t ) e d t ( t e d t t e dt ) T0 / 2 0 2 1 T0 / 2
1 (te jn0t 2 jn 0
0 jn0t 0 1 e dt 1
3. 三角形式傅里叶级数
~ 若 x (t )为实函数，则Cn具有共轭偶对称性。即 C n C n
利用此性质可将指数Fourier级数表示写为三角形式
~ x (t ) C0
令
n
1
Cn e jn0t Cn e jn0t C0 Cn e jn0t Cn e jn0t
C2 1
C 3 2
~ x (t )
4 3(e j0t e j0t ) (e j20t e j20t ) 2(e j30t e j30t )
0
T0
T0 x (t )e
2
0
0
dt
T0
Ae
0
dt
2
T0
Sa (
2
)
n =
T0
n =
2
T0
x (t ) 例1 试计算图示周期矩形脉冲信号 ~ 的傅里叶级数展开式。
~ x (t )
A
解: 由于~ x (t ) 为实信号且满足偶对称，故其三角形式 傅里叶级数展开式为 n0 A 2A ~ x (t ) Sa ( ) cosn0t 若 =T0/2，则有
0
T0
t
A / T0
Cn
n0 A Cn Sa ( ) T0 2
2π
2π
n 0
0 2π / T
例2 已知连续周期信号的频谱如图，试写出 信号的Fourier级数表示式。
Cn
3 2 1 1 3 4 3 2
9
6
0
3
6
9
n
解： 由图可知 C 0 4
C 1 3
n
2. 连续时间非周期信号 1 j t x(t ) X ( j ) e d 2 π 3. 离散非周期信号 1 π jΩ jΩk x[k ] X ( e ) e dΩ 2π π 4. 离散周期信号(周期为N)
1 ~ x [k ] N
m 0
-2 1
0
2
t
解:
由
~ x (t ) C0 2 Re( Cn e jn0t )
n 1
周期三角脉冲信号的三角形式傅里叶级数展开式为
1 4 ~ x (t ) cos n0t 2 2 m=1 [(2m 1) π]
2π 0 π T0
1 4 4 4 2 cos 0 t 2 cos 3 0 t cos 5 0 t 2 2 π 9π 25π
te
jn0t
1 0
1 jn0t e dt ) 0
1 (cos nπ 1) 2 (nπ)
2π 0 π T0
例2 试计算图示周期三角脉冲信号的傅里 叶级数展开式。
~ x (t )
-2 1
0
2
t
解:
2 /(nπ) 2 , n为奇数 1 Cn (cos nπ 1) 2 n0 (nπ) 1 / 2,
注意：条件（1） 为充分条件但不是必要条件； 条件（2）（3）是必要条件但不是充分条件。
一、周期信号的傅里叶级数展开
2. 指数形式傅里叶级数
连续时间周期信号可以用指数形式傅里叶级数表示为
~ x (t )
n =
Cn e
jn0t
1 Cn 其中 T0
T0 t 0
t0
~ x (t )e jn 0t dt
n 1
an jbn Cn 2
则有
C n
由于C0是实的，所以 b0= 0，故
a0 C0 2
an jbn 2
n 1
将C0 Cn Cn代入上面指数Fourier级数中，即得三角形式
一、周期信号的傅里叶级数展开
3. 三角形式傅里叶级数
a ~ x (t ) 0 (an cos n0t bn sin n0t ) 2 n1
原点对称周期信号其傅里叶级数展开式中只 含有正弦项。
一、周期信号的傅里叶级数展开
4. 对称特性
(3) 半波重迭信号
A t
~ x (t ) ~ x (t T0 / 2)
~ x (t )
T0
T0 / 2 0
T0 / 2
T0
半波重叠周期信号只含有正弦与余弦的偶次 谐波分量，而无奇次谐波分量。
~ x (t )
n =
jn 0 t C e n
不同的时域信号，只是傅里叶级数的系数Cn不同， 因此通过研究傅里叶级数的系数来研究信号的特性。 Cn是频率的函数，它反映了组成信号各次谐波 的幅度和相位随频率变化的规律，称频谱函数。
x (t ) 例1 试计算图示周期矩形脉冲信号 ~ 的傅里叶级数展开式。
周期信号的傅里叶级数表示 周期信号的频谱 傅里叶级数的基本性质 周期信号的功率谱
连续周期信号的频域分析
为什么进行信号的频域分析？
什么是频域的频谱？
如何进行信号的频域分析？
为什么进行信号的频域分析
进行信号频域分析的意义
1. 连续时间信号(周期为T0) jn0t ~ x (t ) X (n0 ) e
n 1 两项的基波频率为f0，两项合起来称为信号的基波分量 n 2 的基波频率为2f0，两项合起来称为信号的2次谐波分量 n N 的基波频率为Nf0，两项合起来称为信号的N次谐波分量
物理含义：
x (t ) 可以分解为不同频率虚指数信号之和 周期信号 ~
一、周期信号的傅里叶级数展开
3 j4 C1 e , 2
3 j4 C1 e 2
Cn 0, n 1
二、周期信号的频谱及其特点
2. 频谱的表示
直接画出信号各次谐波对应的Cn线状分布图 形，这种图形称为信号的频谱图。
Cn Cn e
jn
幅度频谱
相位频谱
例1 周期矩形脉冲信号的频谱图
~ x (t )
A
- T0
0
~ x (t ) cos(n0t )dt
纵轴对称周期信号其傅里叶级数展开式中只含 有直流项与余弦项。
一、周期信号的傅里叶级数展开
4. 对称特性
(2) 原点对称信号
A
T0 / 2
T0 / 2
~ x (t ) ~ x (t )
~ x (t )
0 T0 / 2 -A
t
2 ~ x (t ) cos(n0t )dt 0 T0 T0 / 2 2 T0 / 2 ~ 4 T0 / 2 ~ bn x (t ) sin(n0t )dt x (t ) sin(n0t )dt T0 / 2 0 T0 T0 an
3. 三角形式傅里叶级数
纯余弦形式傅里叶级数 a ~ x (t ) 0 An cos （n0t n ） 2 n1 其中
An a b
2 n 2 n
bn n arctg a n
a0/2称为信号的直流分量， An cos(n0 t + n) 称为信号的n次谐波分量。
例3
~ x (t ) 3 cos(0t 4)
求 Cn 。
x (t ) 3 cos(0t 4) 解: ~
1 j(0t 4) j(0t 4) 3 e e 2 3 j4 j0t 3 j4 j0t e e e e 2 2
根据指数形式傅里叶级数的定义可得
~ X [m]
N 1
e
j
2π mk N