八年级数学下册第18章勾股定理18.1勾股定理第1课时勾股定理练习新版沪科版
沪科版 八年级下册 第18章 勾股定理 18.1 勾股定理 应用提升练习题 (无答案)
321S 4S 3S 2S 1图2图1NH P MGDADCBA勾股定理的应用提升练习1.在Rt △ABC 中，∠C=90°, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若a ﹕b=3﹕4,c=15.求a 、b.2.一旗杆离地面6m 处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部8m 处，旗杆折断之前有多高？3.如图，一架长2.5m 的梯子，斜靠在一面竖直的墙上，这时梯子底端离墙0.7m ，为了安装壁灯，梯子顶端需离地面2m ，请你计算一下，此时梯子底端应再远离墙多少m ？4. 如图，将一根25cm 长的细木棒放入长、宽、高分别为8cm 、 6cm、和的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是 多少cm ？5.如图，铁路上A 、B 两点相距25km ，C 、D 为两村庄，若10km DA =，15km CB =，DA AB ⊥于A ，CB AB ⊥于B ，现要在AB 上建一个中转站E ，使得C 、D两村到E 站的距离相等．求E 应建在距A 多远处？6.如图，七个正方形如此排列，相邻两个正方形都有公共顶点．数字．．和字母．．代表各自正方形面积．则s 1十s 2十s 3十s 4的值是多少？7.把图1的矩形纸片ABCD 折叠，B 、C两点恰好重合落在1510E DC B AA CPOBxy AD 边上的点P 处(如图2)，已知90MPN ∠=°，5PM =，12PN =，求矩形纸片ABCD 的面积．8. 如图，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上．顶点B 的坐标为（3，3），点C 的坐标为（12，0），点P 为斜边OB 上的一个动点，求三角形P C A 周长的最小值.9.细心观察图，认真分析各式，然后解答问题：2(1)12+=112S = 2(2)13+= 222S =2(3)14+=332S =① 用含有n （n 是正整数）的等式表示上述变化规律；② 推算出10OA 的长；③ 求出222212310S S S S ++++的值．10.如图，AD 是ABC △的中线，45ADC ∠=︒．把ADC △沿直线AD 折过来，点C 落在点C'的位置上，如果4BC =，求B C'的长．11.如图1，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用1S 、2S 、3S 表示，则不难证明123S S S =+．⑴ 如图2，分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用1S 、2S 、3S 表示，那么1S 、2S 、3S 之间有什么关系？（不必证明）⑵ 如图3，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用1S 、2S 、3S 表示，请你确定1S 、2S 、3S 之间的关系并加以证明．⑶ 四边形ABCD 的对角线互相垂直，现以四边形的边长为边长向外作四个正方形，面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ．则1S 、C'D CBA2S 、3S 和4S 之间的关系是 ．ABC S 1S 3S 2图3ABC S 1S 3S 2图2图1S 2S 3S 1CBA S 4S 3S 2S 1DB CA。
18.1 第1课时 勾股定理(沪科版八年级数学下册教案)
第1课时 勾股定理1．经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想；(重点)2．掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题．(重点)一、情境导入如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形．各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧．你能说说其中的奥秘吗？二、合作探究探究点一：勾股定理的证明作8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，将它们像下图所示拼成两个正方形．求证：a 2＋b 2＝c 2.解析：从整体上看，这两个正方形的边长都是a ＋b ，因此它们的面积相等．我们再用不同的方法来表示这两个正方形的面积，即可证明勾股定理．证明：由图易知，这两个正方形的边长都是a ＋b ，∴它们的面积相等．左边的正方形面积可表示为a 2＋b 2＋12ab ×4，右边的正方形面积可表示为c 2＋12ab ×4.∵a 2＋b 2＋12ab ×4＝c 2＋12ab ×4，∴a 2＋b 2＝c 2.方法总结：根据拼图，通过对拼接图形的面积的不同表示方法，建立相等关系，从而验证勾股定理．探究点二：勾股定理【类型一】 直接利用勾股定理求长度如图，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5cm ，BC ＝3cm ，CD ⊥AB 交AB于点D ，求CD 的长．解析：先运用勾股定理求出AC 的长，再根据S △ABC ＝12AB ·CD ＝12AC ·BC ，求出CD 的长．解：∵在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5cm ，BC ＝3cm ，∴由勾股定理得AC 2＝AB 2－BC 2＝52－32＝42，∴AC ＝4cm.又∵S △ABC ＝12AB ·CD ＝12AC ·BC ，∴CD ＝A C ·B C A B ＝4×35＝125(cm)，故CD 的长是125cm.方法总结：由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联合使用．【类型二】 利用勾股定理求面积如图，以Rt △ABC 的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB ＝3，则图中△ABE 的面积为________，阴影部分的面积为________．解析：因为AE ＝BE ，∠E ＝90°，所以S △ABE ＝12AE ·BE ＝12AE 2.又因为AE 2＋BE 2＝AB 2，所以2AE 2＝AB 2，所以S △ABE ＝14AB 2＝14×32＝94；同理可得S △AHC ＋S △BCF ＝14AC 2＋14BC 2.又因为AC 2＋BC 2＝AB 2，所以阴影部分的面积为14AB 2＋14AB 2＝12AB 2＝12×32＝92.故分别填94，92.方法总结：求解与直角三角形三边有关的图形面积时，要结合图形想办法把图形的面积与直角三角形三边的平方联系起来，再利用勾股定理找到图形面积之间的等量关系．【类型三】 勾股定理与数轴如图所示，数轴上点A 所表示的数为a ，则a 的值是( )A.5＋1 B ．－5＋1 C.5－1 D.5解析：先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即可求出A 点的坐标．图中的直角三角形的两直角边为1和2，∴斜边长为12＋22＝5，∴－1到A 的距离是5.那么点A 所表示的数为5－1.故选C.方法总结：本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，解答此题时要注意，确定点A 的符号后，点A 所表示的数是距离原点的距离．【类型四】 利用勾股定理证明等式如图，已知AD 是△ABC 的中线．求证：AB 2＋AC 2＝2(AD 2＋CD 2)．解析：结论中涉及线段的平方，因此可以考虑作AE⊥BC交BC于点E.在△ABC中构造直角三角形，利用勾股定理进行证明．证明：如图，过点A作AE⊥BC交BC于点E.在Rt△ABE、Rt△ACE和Rt△ADE中，AB2＝AE2＋BE2，AC2＝AE2＋CE2，AE2＝AD2－ED2，∴AB2＋AC2＝(AE2＋BE2)＋(AE2＋CE2)＝2(AD2－ED2)＋(DB－DE)2＋(DC＋DE)2＝2AD2－2ED2＋DB2－2DB·DE＋DE2＋DC2＋2DC·DE＋DE2＝2AD2＋DB2＋DC2＋2DE(DC－DB)．又∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，∴AB2＋AC2＝2AD2＋2DC2＝2(AD2＋CD2)．方法总结：构造直角三角形，利用勾股定理把需要证明的线段联系起来．一般地，涉及线段之间的平方关系问题时，通常沿着这个思路去分析问题．【类型五】运用勾股定理解决折叠中的有关计算如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A对应点为A′，且B′C＝3，则AM的长是( )A．1.5 B．2 C．2.25 D．2.5解析：连接BM，MB′.设AM＝x，在Rt△ABM中，AB2＋AM2＝BM2.在Rt△MDB′中，B′M2＝MD2＋DB′2.∵MB＝MB′，∴AB2＋AM2＝BM2＝B′M2＝MD2＋DB′2，即92＋x2＝(9－x)2＋(9－3)2，解得x＝2，即AM＝2.故选B.方法总结：解题的关键是设出适当的线段的长度为x，然后用含有x的式子表示其他线段，然后在直角三角形中利用勾股定理列方程解答．【类型六】分类讨论思想在勾股定理中的应用在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD为BC边上的高，且AD＝12，求△ABC的周长．解析：应考虑高AD在△ABC内和△ABC外的两种情形．解：当高AD在△ABC内部时，如图①.在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162，∴BD＝16.在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81，∴CD＝9.∴BC＝BD＋CD＝25，∴△ABC的周长为25＋20＋15＝60；当高AD在△ABC外部时，如图②.同理可得BD＝16，CD＝9.∴BC＝BD－CD＝7，∴△ABC的周长为7＋20＋15＝42.综上所述，△ABC的周长为42或60.方法总结：题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉原三角形为钝角三角形的情况．如在本例题中，易只考虑高AD在△ABC内的情形，忽视高AD在△ABC外的情形．三、板书设计让学生体会数形结合和由特殊到一般的思想方法，进一步提升学生的说理和简单推理的能力；进一步体会数学与现实生活的紧密联系．在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐；通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激励学生发奋学习.。
201x年春八年级数学下册 第18章 勾股定理 18.1 勾股定理 第1课时 勾股定理练习 沪科版
课时作业(十六)[18.1 第1课时勾股定理]一、选择题1．若一直角三角形的两直角边长分别为6和8，则斜边长为 ( )A．2 7 B．10C．100 D．10或2 72．如图K－16－1，字母A所代表的正方形的面积为(正方形中的数字表示该正方形的面积)( )A．13 B.13C．8 D．以上都不对K－16－1K－16－23．如图K－16－2，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格三角形ABC中，边长是无理数的边数是( )A．0 B．1 C．2 D．3图K－16－34．我国古代数学家赵爽的《勾股方圆图》是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图K－16－3)．如果大正方形的面积是16，小正方形的面积是3，直角三角形较短的直角边长为a，较长的直角边长为b，那么(a＋b)2的值为( ) A．16 B．29 C．19 D．485．若一直角三角形的两边长分别为12和5，则第三边长为 ( )A．13 B．13或119C．13或15 D．156．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.若a＋b＝14 cm，c＝10 cm，则Rt△ABC的面积为( )A．24 cm2 B．36 cm2 C．48 cm2 D．60 cm2二、填空题7．直角三角形的斜边长是5，一直角边的长是3，则此直角三角形的面积为________．8．等腰三角形的腰长为5 cm，底边长为8 cm，则底边上的高为________．9．如图K－16－4，O为数轴原点，A，B两点分别对应－3，3，作腰长为4的等腰三角形ABC，连接OC，以点O为圆心，OC长为半径向右侧画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为________．K－16－4K－16－510．如图K－16－5所示，一张三角形纸片ABC，∠C＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 cm，现将纸片折叠，使点A与点B重合，那么折痕的长为________cm.11．在△ABC中，AB＝13 cm，AC＝20 cm，BC边上的高AD为12 cm，则△ABC的面积为________cm2.三、解答题12．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b.(1)a＝7，b＝24，求c；(2)a＝4，c＝7，求b.13．如图K－16－6所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝50 cm，BC＝30 cm，CD⊥AB 于点D，求CD的长．图K－16－614．在直角坐标系中，四边形ABCD各顶点的位置如图K－16－7所示．(1)求边AB，BC，CD，AD的长；(2)求四边形ABCD的面积．图K－16－715．在两千多年前，我国古算书上记载“勾三股四弦五”，它的意思是说：如果一个直角三角形的两条直角边长分别为3个单位长度和4个单位长度，那么它的斜边的长一定是5个单位长度．而且3，4，5这三个数有这样的关系：32＋42＝52.(1)请你验证这个事实；(2)请你观察图K－16－8，Rt△ABC的两条直角边的长分别为AC＝7，BC＝4，请你探究这个直角三角形的斜边AB的平方是否等于42＋72.图K－16－816．如图K－16－9是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形(两直角边长分别为a，b，斜边长为c)和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形，并利用此图形证明勾股定理.图K－16－9新定义题型阅读下面的情景对话，然后解答问题．(1)根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形．”是真命题还是假命题(直接给出结论，不必证明)；(2)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a∶b∶c的值．图K－16－10详解详析【课时作业】 [课堂达标]1．[解析] B ∵直角三角形的两直角边长分别为6和8，∴由勾股定理，得斜边的长＝62＋82＝10.2．[答案] A3．[解析] C 观察图形，由勾股定理，得AB ＝52＋12＝26，BC ＝32＋22＝13，AC ＝32＋42＝5，∴△ABC 中有两条边的长是无理数，故选C .4．[解析] B ∵大正方形的面积是16，小正方形的面积是3，∴四个直角三角形的面积和为16－3＝13，即4×12ab ＝13，∴2ab ＝13，a 2＋b 2＝16，∴(a ＋b)2＝a 2＋b 2＋2ab ＝16＋13＝29.故选B .5．[解析] B 当12是斜边长时，第三边长是122－52＝119；当12是直角边长时，第三边长是122＋52＝13.6．[解析] A 在Rt △ABC 中，根据勾股定理，得a 2＋b 2＝100.由a ＋b ＝14，得(a ＋b)2＝196，即a 2＋2ab ＋b 2＝196，所以ab ＝48，12ab ＝24，即Rt △ABC 的面积为24 cm 2.7．[答案] 6 8．[答案] 3 cm[解析] 如图所示，在△ACB 中，AB ＝AC ＝5 cm ，BC ＝8 cm ，AD ⊥BC.∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝90°，BD ＝CD ＝12BC ＝4 cm .由勾股定理得AD ＝AB 2－BD 2＝52－42＝3(cm )，故答案为3 cm . 9．[答案] 7[解析] ∵△ABC 为等腰三角形，OA ＝OB ＝3，∴OC ⊥AB.在Rt △OBC 中，OC ＝BC 2－OB 2＝42－32＝7.∵以点O 为圆心，OC 长为半径画弧交数轴于点M ，∴OM ＝OC ＝7，∴点M 对应的实数为7.10．[答案] 154[解析] 如图，在Rt △ABC 中，由AC ＝8 cm ，BC ＝6 cm ，根据勾股定理，得AB ＝10 cm .设CE ＝x cm ，由折叠的性质，得BD ＝AD ＝5 cm ，BE ＝AE ＝(8－x)cm ，∠BDE ＝∠ADE ＝90°.在Rt △BCE 中，根据勾股定理可知BC 2＋CE 2＝BE 2，即62＋x 2＝(8－x)2，解方程得x ＝74，∴BE ＝8－74＝254(cm )．在Rt △BDE 中，由勾股定理，得BD 2＋DE 2＝BE 2，即52＋DE 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2542，∴DE ＝154(cm )．故答案为154.11．[答案] 126或66[解析] 分两种情况讨论：(1)当高AD 在△ABC 内部时，如图①，在Rt △ABD 中，由勾股定理，得BD ＝AB 2－AD 2＝132－122＝5(cm )．在Rt △ACD 中，由勾股定理，得CD ＝AC 2－AD 2＝202－122＝16(cm )，∴BC ＝CD ＋BD＝21(cm )，∴△ABC 的面积为12×21×12＝126(cm 2)．(2)当高AD 在△ABC 外部时，如图②，同(1)，在Rt △ABD 中，由勾股定理，得BD ＝5 cm ，在Rt △ACD 中，由勾股定理，得CD ＝16 cm ，∴BC ＝CD －BD ＝16－5＝11(cm )，∴△ABC 的面积为12BC ·AD ＝12×11×12＝66(cm 2)．综上，△ABC 的面积为126 cm 2或66 cm 2.12．解： (1)∵c 是斜边，∴c ＝a 2＋b 2＝72＋242＝25.(2)∵b 是直角边，∴b ＝c 2－a 2＝72－42＝33. 13．解：∵∠ACB ＝90°，AB ＝50 cm ，BC ＝30 cm ， ∴AC ＝502－302＝40(cm )．又∵S △ABC ＝12AC ·BC ＝12AB ·CD ，∴AB ·CD ＝AC ·BC ，∴CD ＝AC ·BC AB ＝40×3050＝24(cm )．即CD 的长是24 cm .14．解：(1)由勾股定理可得AB ＝12＋32＝10，BC ＝52＋22＝29，CD ＝22＋32＝13，AD ＝42＋22＝2 5.(2)由图形可得四边形ABCD 的面积＝5×6－12×3×1－12×5×2－12×2×3－12×4×2＝16.5.15．解：(1)边长的平方可表示以此边长为边的正方形的面积，故可通过面积法验证．分别以这个直角三角形的三边为边向外作正方形，如图，其中AC ＝4，BC ＝3，则S 正方形ABED ＝S正方形FCGH－4S Rt △ABC ＝(3＋4)2－4×12×3×4＝ 72－24＝25，即AB 2＝25，AB ＝5.又因为AC ＝4，BC ＝3，AC 2＋BC 2＝42＋32＝25，所以AB 2＝AC 2＋BC 2.(2)AB 2＝S 正方形ABED ＝S 正方形KLCJ －4S Rt △ABC ＝(4＋7)2 －4×12×4×7＝121－56＝65＝42＋72.16．解：方法一：拼成的图形如图①所示．证明：大正方形的面积既可以表示为(a ＋b)2，又可以表示为c 2＋4×12ab ，∴(a ＋b)2＝c 2＋4×12ab ，a 2＋2ab ＋b 2＝c 2＋2ab ，即a 2＋b 2＝c 2.大正方形的面积既可以表示为c 2，又可以表示为12ab ×4＋(b －a)2，∴c 2＝12ab ×4＋(b －a)2，c 2＝2ab ＋b 2－2ab ＋a 2，即c 2＝a 2＋b 2.[素养提升]解：(1)设等边三角形的边长为a ，则a 2＋a 2＝2a 2，符合奇异三角形的定义，∴“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题．(2)∵∠ACB ＝90°，∴a 2＋b 2＝c 2. ∵Rt △ABC 是奇异三角形，且b ＞a ， ∴a 2＋c 2＝2b 2，∴b ＝2a ，c ＝3a ，∴a ∶b ∶c ＝1∶2∶ 3.如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。
2021-2022学年最新沪科版八年级数学下册第18章 勾股定理章节练习试题(含答案解析)
八年级数学下册第18章 勾股定理章节练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、在ABC 中，A ∠、B 、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，下列条件中，能判定ABC 是直角三角形的是（ ）．A ．2a =，3b =，4c =B ．2a =，5b =，5c =C ．5a =，8b =，10c =D ．7a =，24b =，25c =2、如图1，在ABC 中，2AB BC ==，120B ∠=︒，M 是BC 的中点，设AM a =，则表示实数a 的点落在数轴上（如图2）所标四段中的（ ）A ．①段B ．②段C ．③段D ．④段3、如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，BD AC ⊥，垂足为D ．如果6AC =，3BC =，则BD 的长为（ ）A ．2B ．32C ．D 4、如图，在ABC 中，5AB AC ==，8BC =，D 是线段BC 上的动点（不含端点B 、C ）．若线段AD 长为正整数，则点D 的个数共有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个5、以下列各组数为三边的三角形中不是直角三角形的是（ ）A ．1 2B ．6、10、8C ．3、4、5D ．6、5、46、如图，将长方形纸片ABCD 沿AE 折叠，使点D 恰好落在BC 边上点F 处，若AB ＝3，AD ＝5，则EC 的长为（ ）A ．1B ．53 C ．32 D ．437、如图，在长方体透明容器（无盖）内的点B 处有一滴糖浆，容器外A 点处的蚂蚁想沿容器壁爬到容器内吃糖浆，已知容器长为5cm ，宽为3cm ，高为4cm ，点A 距底部1cm ，请问蚂蚁需爬行的最短距离是（容器壁厚度不计）（ ）A．B C．D8、如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，点D在BC上，∠ADC＝2∠B，AD，则BC的长为（）A B C．D．9、如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的边长为（）A．64 B．16 C．8 D．410、下列各组数据中，能构成直角三角形的三边的长的一组是（）A．1，2，3 B．4，5，6 C．5，12，13 D．13，14，15第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，直线l：y＝﹣43x，点A1坐标为（﹣3，0）．经过A1作x轴的垂线交直线l于点B1，以原点O 为圆心，OB 1长为半径画弧交x 轴负半轴于点A 2，再过点A 2作x 轴的垂线交直线l 于点B 2，以原点O 为圆心，OB 2长为半径画弧交x 轴负半轴于点A 3，…，按此做法进行下去，点A 2021的坐标为_____．2、直角三角形中，根据勾股定理，已知两边可求第三边： Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，（1）若已知边a ，b ，则c ＝_____（2）若已知边a ，c ，则b ＝ _____（3）若已知边b ，c ，则a ＝_____．3、若Rt ⊿ABC 的三边为a ，b ，c ，斜边c = 2，则22a b +=________4、如图，有一个圆柱，它的高等于12cm ，底面上圆的周长等于18cm ，在圆柱下底面的点A 处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A 相对的点B 处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是___________5、如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，15B ∠=︒，3AC =，AB 的垂直平分线l 交BC 于点D ，连接AD ，则BC 的长为__________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图1，在平面直角坐标系中，已知直线AC ：y ＝2x －6，交直线AO ：y ＝12x 于点A ．（1）直接写出点A 的坐标________；（2）若点E 在直线AC 上，当S △AOE ＝6时，求点E 的坐标；（3）如图2，若点B 在x 轴正半轴上，当△BOC 的面积等于△AOC 的面积一半时，求∠ACO ＋∠BCO 的大小．2、在长方形ABCD 中，截取如图所示的阴影部分，已知EC ＝5，CF ＝FG ＝4，EG ＝3，∠EGF ＝90°．（1）连接EF ，求证：∠FEC ＝90°；（2）求出图中阴影部分的面积．3、如图，有一张四边形纸片ABCD ，AB BC ⊥．经测得9cm AB =，12cm BC =，8cm CD =，17cm AD =．（1）求A 、C 两点之间的距离．（2）求这张纸片的面积．4、如图，把长方形纸片OABC 放入直角坐标系中，使OA ，OC 分别落在x 轴、y 轴的正半轴上，连接AC ，将△ABC 沿AC 翻折，点B 落在点D ，CD 交x 轴于点E ，已知CB ＝8，AB ＝4（1）求AC 所在直线的函数关系式；（2）求点E 的坐标和△ACE 的面积；（3）坐标轴上是否存在点P （不与A 、C 、E 重合），使得△CEP 的面积与△ACE 的面积相等，若存在请直接写出点P 的坐标．5、如图，点A 为x 轴负半轴上一点，点B 为y 轴正半轴上一点，AO a =，BO b =，且a 、b 满足a c =有意义．c=，求AB的长；（1）若3（2）如图1，点C与点A关于y轴对称，点P在x轴上（点P在点A左边），以PB为直角边在PB的上方作等腰直角△PDB，试猜想AD与PC的关系并证明；（3）如图2，点M为AB中点，点E为射线OA上一点，点F为射线BO上一点，且90∠=︒，设EMF =，BF nAE m=，请求出EF的长度（用含m、n的代数式表示）．-参考答案-一、单选题1、D【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等即可．【详解】解：A、∵22＋32≠42，∴以a、b、c为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；B、∵22＋52≠52，∴以a、b、c为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；C、∵52＋82≠102，∴以a、b、c为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；D、∵72＋242＝252，∴以a、b、c为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．2、A【分析】过点A作AH⊥BC交CB延长线于点H，可求AH HB=1，BM=1，在Rt△AHM中，求得AM估算出2.6 2.7，即可求解．【详解】解：在ABC 中，2AB BC ==，120B ∠=︒，∵M 是BC 的中点，∴BM =1，过点A 作A 、HA ⊥BC 交CB 延长线于点H ，∴∠ABH =60°，∴AH HB =1，∴HM =2，在Rt △AHM 中，AM=2.7．故选：A ．【点睛】本题考查实数与数轴，熟练掌握勾股定理，通过构造直角三角形求AM 的长度，并作出正确的估算是解题的关键．3、D【分析】先根据勾股定理求出AB ，再利用三角形面积求出BD 即可．【详解】解：∵90ABC ∠=︒，6AC =，3BC =，∴根据勾股定理AB ==，∵BD AC ⊥，∴S △ABC =1122AB BC AC BD ⋅=⋅，即113622BD ⨯=⨯⋅，解得：BD =故选择D ．【点睛】 本题考查直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积等积式，掌握直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积等积式是解题关键．4、B【分析】首先过A 作AE ⊥BC ，当D 与E 重合时，AD 最短，首先利用等腰三角形的性质可得BE =EC ，进而可得BE 的长，利用勾股定理计算出AE 长，然后可得AD 的取值范围，进而可得答案．【详解】解：如图：过A 作AE ⊥BC 于E ，∵在△ABC 中，AB =AC =5，BC =8，∴当AE ⊥BC ，EB =EC =4，∴AE 3，∵D 是线段BC 上的动点(不含端点B ，C ).若线段AD 的长为正整数，∴3⩽AD <5，∴AD =3或AD =4，当AD =4时，在靠近点B 和点C 端各一个，故符合条件的点D 有3点.故选B .【点睛】本题主要考察了等腰三角形的性质，勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质，勾股定理的计算.5、D【分析】利用勾股定理的逆定理逐一分析各选项即可得到答案.【详解】解：A 、因为222214+== ，所以是直角三角形，故本选项不符合题意；B 、因为2226810+= ，所以是直角三角形，故本选项不符合题意；C 、因为222345+= ，所以是直角三角形，故本选项不符合题意；D 、因为222456+≠，所以不是直角三角形，故本选项符合题意；故选：D【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，掌握“勾股定理的逆定理：若222,a b c += 则以,,a b c 为边的三角形是直角三角形”是解本题的关键.6、D【分析】由翻折可知：AD＝AF＝5．DE＝EF，设EC＝x，则DE＝EF＝3−x．在Rt△ECF中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，∴∠B＝∠BCD＝90°，由翻折可知：AD＝AF＝5，DE＝EF，设EC＝x，则DE＝EF＝3−x．在Rt△ABF中，BF4，∴CF＝BC−BF＝5−4＝1，在Rt△EFC中，EF2＝CE2＋CF2，∴（3−x）2＝x2＋12，∴x＝43，∴EC＝43．故选：D．【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握方程的思想方法是解题的关键．7、D【分析】将点A沿着它所在的棱向上翻折至点A'处，分如图（见解析）所示的三种情况讨论，分别利用化曲为直的思想和勾股定理求解即可得．【详解】解：如图，将点A沿着它所在的棱向上翻折至点A'处，则新长方体的长、宽、高分别为5cm,3cm,7cm，将这个新长方体展开为以下三种情况，如图所示：A B'==，1A B'=，2A B'，3，故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确分三种情况讨论是解题关键．8、B【分析】根据∠ADC＝2∠B，∠ADC＝∠B+∠BAD判断出DB＝DA，根据勾股定理求出DC的长，从而求出BC的长．【详解】解：∵∠ADC＝2∠B，∠ADC＝∠B+∠BAD，∴∠B＝∠DAB，∴BD＝AD，在Rt△ADC中，∠C＝90°，∴DC，∴BC＝BD+DC故选：B．【点睛】本题考查了等角对等边，勾股定理，求得BD AD=是解题的关键．9、C【分析】根据勾股定理求出正方形A的面积，根据算术平方根的定义计算即可．【详解】解：由勾股定理得，正方形A的面积＝289－225＝64，8，∴字母A故选：C．【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．10、C【分析】先计算两条小的边的平方和，再计算最长边的平方，根据勾股定理的逆定理判断解题．【详解】解：A.2221+23≠，不是直角三角形，故A不符合题意；B. 2224+56≠，不是直角三角形，故B不符合题意；C. 2225+12=13，是直角三角形，故C不符合题意；D. 22213+1415≠，不是直角三角形，故D不符合题意，故选：C．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．二、填空题1、（﹣2020201953，0）【分析】先根据一次函数解析式求出B1点的坐标，再根据B1点的坐标求出OA2的长，用同样的方法得出OA3，OA4的长，以此类推，总结规律便可求出点A2021的坐标．【详解】解：∵点A1坐标为（﹣3，0），∴OA1＝3，在y＝﹣43x中，当x＝﹣3时，y＝4，即B1点的坐标为（﹣3，4），∴由勾股定理可得OB1＝5，即OA2＝5＝3×53，同理可得，OB2＝253，即OA3＝253＝5×（53）1，OB3＝1259，即OA4＝1259＝5×（53）2，以此类推，OA n＝5×（53）n﹣2＝-1253nn-，即点A n坐标为（﹣-1253nn-，0），当n＝2021时，点A2021坐标为（﹣2020201953，0），故答案为：（﹣2020201953，0）．【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理等知识，是重要考点，难度一般，解题注意，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝﹣43x．2【分析】（1）（2）（3）根据勾股定理及题意可直接进行求解．解：（1）若已知边a，b，则根据勾股定理得c（2）若已知边a，c，则根据勾股定理得b=（3）若已知边b，c，则根据勾股定理得a【点睛】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．3、4【分析】根据勾股定理得出a2+b2=c2，把c=2代入求出即可．【详解】解：∵根据勾股定理得：a2+b2=c2，∵c=2，∴a2+b2=22=4，故答案为：4．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，注意：在直角三角形中．两直角边的平方和等于斜边的平方．4、15cm【分析】如图把圆柱体展开，连接AB，然后可知AC=9cm，BC=12cm，进而可由两点之间，线段最短可知AB即为所求．解：如图所示：∵圆柱的高等于12cm，底面上圆的周长等于18cm，∴AC=9cm，BC=12cm，∴15==，AB cm∴蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是15cm；故答案为：15cm．【点睛】本题主要考查利用勾股定理求最短路径，熟练掌握利用勾股定理求最短路径是解题的关键．5、6+【分析】由线段垂直平分线的性质定理得AD=BD，从而有∠DAB=∠B=15゜，由三角形外角性质可得∠ADC=30゜，由含30度角的直角三角形的性质及勾股定理即可求得AD与CD的长，最后可求得BC的长．【详解】∵直线l是线段AB的垂直平分线∴AD=BD∴∠DAB=∠B=15゜∴∠ADC=∠DAB+∠B=30゜∵90C ∠=︒，3AC =∴AD =2AC =6∴BD =AD =6由勾股定理得：CD =∴6BC BD CD =+=+故答案为：6+【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质定理，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质及勾股定理，熟练运用这些知识是关键．三、解答题1、（1）A （4，2）；（2）E （2，－2）或（6，6）；（3）∠ABO ＋∠DBO ＝45°【分析】（1）联立方程组可求解；（2）设点E 的坐标为(a ，b )，分两种情况讨论：当点E 在A 点上方时；当点E 在A 点下方时求解即可；（3）由面积关系可求OB 的长，由全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质可求解．【详解】解：（1）联立方程组可得：1226y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，解得：42x y =⎧⎨=⎩， ∴点A （4，2），故答案为（4，2）；（2）∵直线y =2x -6与y 轴交于点M ，令2x -6=0，解得：x =3，∴点M （3，0），设点E 的坐标为(a ，b )，当点E 在A 点上方时，则AOE OME OMA S S S =-=1133222b ⨯-⨯⨯=6， 解得：b =6,把b =6代入y =2x -6得：x =6,∴E 的坐标为(6，6)，当点E 在A 点下方时，则AOE OME OMA S S S =+=1133222b ⨯+⨯⨯=6， 解得：b =-2或2（舍去）,把b =-2代入y =2x -6得：x =2,∴E 的坐标为(2，-2)，综上：E（2，－2）或（6，6）（3）由（2）得：C（0，-6），∵△BOC的面积等于△AOC面积的一半，∴12×OC×OB=12×12×OC×4，∴BO=2，如图，作点B关于y轴的对称点B'，连接B'C，AB'，过点A作AH⊥x轴于H点，∴OB=OB'=2，BB'⊥CO，∴BC=B'C，又∵BB '⊥CO ，∴∠BCO =∠B 'CO ，∵AH =B 'O =2，B 'H =6=CO ，∠AHB '=∠B 'OC =90°，∴△AHB '≌△B 'OC （SAS ），∴∠AB 'H =∠B 'CO ，AB '=B 'C ，∴∠AB 'H +∠CB 'O =∠B 'CO +∠CB 'O =90°，∴∠B 'CA =∠ACO +∠B'CO =45°，综上所述：当点B 在x 轴正半轴上时，∠ACO +∠BCO =45°．【点睛】本题考查了一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．2、（1）见解析；（2）132 【分析】（1）先求EF ，再利用勾股定理的逆定理得出△EFC 为直角三角形，即可得证；（2）先求出FEC S和EGF S 的面积，再利用=FEC EGF S S S -阴得出阴影部分的面积．【详解】解：（1）∵∠EGF ＝90°，根据勾股定理得：5=，∵22225550EF EC +=+=，2250CF ==，∴222EF EC CF +=，∴△EFC 为直角三角形，∴∠FEC =90°；（2）∵112555222FEC S EF EC =⨯⨯=⨯⨯=，1143622EGF S FG EG =⨯⨯=⨯⨯=， ∴2513=622FEC EGFS S S -=-=阴． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，灵活运用勾股定理是解题的关键．3、（1）15cm ；（2）114cm 2【分析】（1）连接AC ，在Rt ABC 中利用勾股定理求解即可；（2）先用勾股定理的逆定理证明90ACD ∠=︒，然后根据三角形面积公式求解即可．【详解】解：（1）如图所示，连结AC ．∵在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒．∴由勾股定理，得222AC BC AB =+．∴15cm AC =．（2）∵2217289AD ==，2222158289AC CD +=+=，∴222AD AC CD =+．∴90ACD ∠=︒．∴四边形ABCD 的面积211=91281511422ABC ACD SS cm =+⨯⨯+⨯⨯=． 【点睛】 本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟知勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．4、（1）y ＝142x -+；（2）E (3，0)，10；（3）P 1(-2，0)，P 2(0，323)，P 3(0，-83)． 【分析】（1）先求出A 、C 的坐标，然后用待定系数法求解即可；（2）先证明CE ＝AE ；设CE ＝AE ＝x ，则OE ＝8－x ，在直角△OCE 中，OC 2＋OE 2＝CE 2，则()22248-x x +=，求出x 得到OE 的长即可求解； （3）分P 在x 轴上和y 轴上两种情况讨论求解即可．【详解】解：（1）∵OA ，OC 分别落在x 轴、y 轴的正半轴上，CB ＝8，AB ＝4．∴A (8，0)、C (0，4)，设直线AC 解析式为y ＝kx ＋b ，∴804k b b +=⎧⎨=⎩， 解得：124k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴AC 所在直线的函数关系式为y ＝142x -+；（2）∵长方形OABC 中，BC ∥OA ，∴∠BCA ＝∠CAO ，又∵∠BCA ＝∠ACD ，∴∠ACD ＝∠CAO ，∴CE ＝AE ；设CE ＝AE ＝x ，则OE ＝8－x ，在直角△OCE 中，OC 2＋OE 2＝CE 2，则()2224+8-x =x ，解得：x ＝5；则OE ＝8－5＝3，则E (3，0)，∴S △ACE ＝12×5×4＝10；（3）如图3-1所示，当P 在x 轴上时，∵S SSSS =S SSSS ， ∴1102PE OC ⋅=， ∴5PE =，∵E 点坐标为（3，0），∴P 点坐标为（-2，0）或（8，0）（舍去，与A 点重合）如图3-2所示，当P 在y 轴上时， 同理可得1102PC OE ⋅=，∴203PC =， ∵C 点坐标为（0，4），∴P 点坐标为（0，83-）或（0，323）； 综上所述，坐标轴上是在点P （-2，0）或（0，323）或（0，83-）使得△CEP 的面积与△ACE 的面积相等．【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，三角形面积，坐标与图形，勾股定理与折叠，等腰三角形的性质与判定，平行线的性质等等，解题的关键在于鞥个熟练掌握相关知识进行求解．5、（1）AB =（2）AD =PC ，证明见解析；（3）EF 【分析】（1） 根据二次根式的非负性可求得3a b c ===，再结合勾股定理可求得AB 的值；（2）连接BC ，只需要证明△PBC ≌△DBA ，即可证明AD =PC ；（3）分情况讨论，当12AO OE AO 时，过点M 作MN ⊥x 轴，作MG ⊥y 轴，可证明△MEN ≌△MFG ，从而可得ME =MF ，EN =GF ，可借助m 、n 的代数式EN 和MN ，从而表示ME ，继而可得EF ，画图可知，其它两种情况同理可得．（1）解：∵a 、b满足a c 有意义，∴0a b -≥且0b a -≥，∴3a b c ===，即3AO =，3BO =，AB =（2）解：AD =PC ，证明如下：连接BC ，由（1）可得OA =OB =OC ，∵两个坐标轴垂直，∴∠OAB =∠ABO =∠OBC =∠OCB =45°，∴AB =BC ，∠ABC =90°，又∵△PDB 为等腰直角三角形，∴BP =BD ，∠DBP =90°，∴∠ABD =∠DBP +∠ABP =∠ABC +∠ABP =∠BPC ，在△PBC 和△DBA 中BD BP ABD BPC AB BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△PBC ≌△DBA （SAS ）∴AD =PC ．（3）当12AO OE AO时，过点M作MN⊥x轴，作MG⊥y轴，∴∠ANM=∠MGB=90°，由（2）可知∠OAB=∠ABO=45°，∴∠AMN=∠BMG=90°，∴AN=MN,MG=BG，∠NMG=90°，∵M为AB的中点∴AM=BM，∴△ANM≌△MGB（SSS），∴AN=MN=MG=BG，∵∠EMF=90°，∴∠EMN =90°-∠NMF =∠GMF ，在△MEN 和△MFG 中∵EMN GMF MN MG ANM MGB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△MEN ≌△MFG （SAS ），∴EM =MF ，EN =GF ，∵AE m =，BF n =，∴=ENAN m GF n BG n AN , ∴2n m MN AN ，=2n m EN AN m ， 在Rt △EMN 中，根据勾股定理2222222()()222n m n m m n ME EN MN ， 在Rt △EMF 中，根据勾股定理2222222222m n m n EF ME MF mn ，当12OE AO 或OE AO 时同理可证EF =故EF【点睛】本题考查勾股定理，全等三角形的性质和判定，坐标与图形，二次根式的非负性等．（1）中能根据二次根式的非负性得出a =b =c 是解题关键；（2）中正确构造辅助线，作出全等三角形是解题关键；（3）能借助全等三角形和线段的和差正确表示线段的长度是解题关键．。
沪科版数学八年级下册 勾股定理
144 y
169
解：由勾股定理可得 y2 + 144 = 169， 解得 y = 5.
1. 下列说法中，正确的是
（C）
A. 已知 a，b，c 是三角形的三边，则 a2 + b2 = c2
B. 在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，所以 a2 + b2 = c2
于 M. 通过证明△BCF≌△BDA， F 利用三角形面积与矩形面积的关系， B M
得到正方形 ABFG 与矩形 BDLM
等积，同理正方形 ACKH 与矩形
MLEC 也等积，于是推得：
AB2 AC2 BC2 .
DL
K C E
归纳总结
勾股定理
如果直角三角形的两直角边用 a，
a
c
b 表示，斜边用 c 表示，那么勾股 定理可以表示为 a2 + b2 = c2.
D. 在 Rt△ABC 中，∠B = 90°，所以 a2 + b2 = c2
2. 图中阴影部分是一个正方形，
8 cm
则此正方形的面积为 36 cm².
3. 在△ABC 中，∠C = 90°. （1）若 a = 15，b = 8，则 c = 17 ； （2）若 c = 13，b = 12，则 a = 5 . 4. 若直角三角形中，有两边长是 6 和 8，则第三边长
第18章 勾股定理
18.1 勾他星球上是否存在着“人”呢？为了探寻这一点， 世界上许多科学家向宇宙发出了许多信号，如地球上 人类的语言、音乐、各种图形等.
据说我国著名的数学家华罗庚曾建议“发射”一种 勾股定理的图形(如图).
很多学者认为如果宇宙“人”也拥有文明的话，那 么他们一定会认识这种语言，因为几乎所有具有古 代文化的民族和国家都对勾股定理有所了解.
沪科版八年级下册数学第18章 勾股定理含答案(完整版)
沪科版八年级下册数学第18章勾股定理含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长是（）A.42B.32C.42或32D.42或372、如图，弧AD是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P为弧AD 上任意一点，若AC=5，则四边形ACBP周长的最大值是（）A.15B.15+5C.20D.15+53、下列各组线段中，不能构成直角三角形的是（）A.3，4，5B.5，12，13C.8，16，17D.7，24，254、下列各组数中能够作为直角三角形的三边长的是（）A.1，2，3B.2，3，4C.3，4，5D.4，5，65、连接一个几何图形上任意两点间的线段中，最长的线段称为这个几何图形的直径，根据此定义，图（扇形、菱形、直角梯形、红十字图标）中“直径”最小的是A. B. C. D.6、下列各组三条线段组成的三角形是直角三角形的是( ）A.1，1,B.2,3,4C.2，2,3D.6，8，117、如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点O与坐标原点重合，顶点A、C分别在x轴、y轴上，反比例函数的图象与正方形的两边、分别交于点M、N，轴，垂足为D，连接、、，下列结论错误的是①；②四边形与面积相等；③；④若，，则点C的坐标为.其中正确的结论有（）A.①②B.①②④C.②③④D.①②③④8、如图，在中，，，，垂足为D，，则BD的长为（）A. B.2 C. D.39、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC上一点，∠DAC=30°，BD=2，AB=2，则AC的长为（）A. B.2 C.3 D.10、下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是( )A.3,4,4B.3,4,5C.3,4,6D.3,4,711、如图，正方形中，，E 是的中点，点 P 是对角线上一动点，则的最小值为（）A.4B.C.D.12、如图使用4个全等三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x、y表示直角三角形的两直角边(x>y)，下列四个说法：①x2+y2=49；②x−y=2；③2xy+4=49；④x+y=9. 其中正确的是（）A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④13、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，则AC的长是（）A.8B.4C.64D.1614、若等腰三角形的腰长为13，底边长为10，则底边上的高为（）A.6B.7C.9D.1215、如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=3，DC=1，点P 是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（）A.4B.5C.6D.7二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在2×2的正方形网格中四个小正方形的顶点叫格点，已经取定格点A和B，在余下的格点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的概率是________．17、如图，在ABCD中，线段BE、CE分别平分∠ABC和∠BCD，若AB=5，BE=8，则CE的长度为________.18、如图，已知圆柱的底面直径,高,小虫在圆柱表面爬行，从点爬到点，然后在沿另一面爬回点，则小虫爬行的最短路程为________.19、如图，△ABC中，AB=AC，AB=5，BC=8，AD是∠BAC的平分线，则AD的长为________.20、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2 ，AC＝2，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D 交AB于点F.若△AB′F为直角三角形，则AE的长为________或________21、平面直角坐标系中，点到原点的距离是________.22、如图，点P是y轴正半轴上一点，以P为圆心的圆与x轴、y轴分别交于点A、B、C、D，已知点A的坐标为，点C的坐标为，则点D的坐标为________．23、已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式，则△ABC的形状为________24、如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为________.25、一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，AB，AC的夹角为θ（θ=30°）.要在楼梯上铺一条地毯，已知CA= cm，楼梯宽1 cm，则地毯的面积至少需要________平方米.三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，方格纸上每个小正方形的面积为1．⑴在方格纸上，以线段AB为边画正方形ABCD，并计算所画正方形ABCD的面积．⑵请你在图上分别画出面积为5正方形A1B1C1D1和面积为10的正方形A 2B2C2D2，正方形的各个顶点都在方格纸的格点上．27、如图，在△ABC中，AB=AC，点E，F分别是边AB，AC的中点，点D在边BC 上．若DE=DF，AD=2，BC=6，求四边形AEDF的周长．28、如图，一根旗杆在离地面6米处折断，旗杆顶端落在离旗杆底部8米处，求旗杆折断之前有多高？29、如图，∠C=90°，AC=3，BC=4，AD=12，BD=13，试判断△ABD的形状，并说明理由.30、小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、C2、B3、C4、C5、C6、A7、B8、C10、C11、B12、B13、A14、D15、B二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、28、29、30、。
沪科版八年级数学下册_18.1 勾股定理
感悟新知
知3－练
解题秘方：紧扣“同一三角形的面积的两种表示 法”求解 .
感悟新知
解法提醒
知3－练
等面积法：
用不同的方法表示同一个图形的面积.此题是典型的应
用等面积法求直角三角形斜边上高的问题.即△ ABC 的面
积既可以表示为AC2·BC ，又可以表示为AB2·CD ，再利用 同一图形的面积相等解答 .
感悟新知
解：∵∠ ACB=90°， AC=3， BC=4， ∴ AB= AC2+BC2= 32+42 =5.
知3－练
∵
CD
⊥
AB，∴
S△
ABC=
1 2
AB·CD=
1 2
AC·BC，
∴ AB·CD=AC·BC，
∴
CD=
AC· BC AB
=
3×4 5
=
12 5
.
感悟新知
知3－练
例5 如图 18.1 － 4所示，∠ C=90°， AM=CM， MP ⊥ AB于点 P.
设大正方形的面积为 S，则 S=c2. 根据“ 出入相补， 以 盈 补 虚” 的原理， 有
S=a2+b2，所以 a2+b2=c2
感悟新知
方法
加菲尔德 总统拼图
毕达哥拉 斯拼图
图形
证明
知2－讲
设梯形的面积为
S，则
S=
1 2
(a+b)
(a+b)=
1 2
a2+
1 2
b2+ab.
又
S=
1 2
ab+
1 2
ab+
所以∠ CAC′ = ∠ CAB′ + ∠ B′ AC′
八年级数学下册 第18章 勾股定理18.1 勾股定理第1课时 勾股定理教学课件 沪科版
You made my day!
我们，还在路上……
勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 国外称为毕达哥拉斯定理.
课程讲授
1 勾股定理的证明
B 几何语言：
∵在Rt△ABC中 ，∠C=90°，
a
∴a2+b2=c2（勾股定理）. C
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.
∟
c bA
课程讲授
2 利用勾股定理进行计算
例1 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm， BC＝8 cm，求AC的长．
S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形 =4× 1 ab+c2 2 =c2+2ab，
a b
acБайду номын сангаас
b ca
cb
∴a2+b2+2ab=c2+2ab，
b
a
∴a2 +b2 =c2.
课程讲授
1 勾股定理的证明
归纳：由前面的探索可以发现：对于任意的直角三角
形，如果它的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么一
定有a2+b2=c2.
第18章 勾股定理
18.1 勾股定理
第1课时 勾股定理
新知导入 课程讲授
随堂练习 课堂小结
知识要点
1.勾股定理的证明 2.利用勾股定理进行计算
新知导入
相传2500年前，一次毕达哥拉斯去朋友家作客， 发现朋友家用砖铺成的地 面反映直角三角形三边的 某种数量关系，同学们， 我们也来观察下面的图案， 看看你能发现什么？
解：由题意易知，AC2＋BC2＝AB2， 所以AC2＝AB2－BC2＝102－82＝36. 所以AC＝6 cm.
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课时作业(十六)[18.1 第1课时勾股定理]一、选择题1．若一直角三角形的两直角边长分别为6和8，则斜边长为 ( )A．2 7 B．10C．100 D．10或2 72．如图K－16－1，字母A所代表的正方形的面积为(正方形中的数字表示该正方形的面积)( )A．13 B.13C．8 D．以上都不对K－16－1K－16－23．如图K－16－2，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格三角形ABC中，边长是无理数的边数是( )A．0 B．1 C．2 D．3图K－16－34．我国古代数学家赵爽的《勾股方圆图》是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图K－16－3)．如果大正方形的面积是16，小正方形的面积是3，直角三角形较短的直角边长为a，较长的直角边长为b，那么(a＋b)2的值为( ) A．16 B．29 C．19 D．485．若一直角三角形的两边长分别为12和5，则第三边长为 ( )A．13 B．13或119C．13或15 D．156．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.若a＋b＝14 cm，c＝10 cm，则Rt△ABC的面积为( )A．24 cm2 B．36 cm2 C．48 cm2 D．60 cm2二、填空题7．直角三角形的斜边长是5，一直角边的长是3，则此直角三角形的面积为________．8．等腰三角形的腰长为5 cm，底边长为8 cm，则底边上的高为________．9．如图K－16－4，O为数轴原点，A，B两点分别对应－3，3，作腰长为4的等腰三角形ABC，连接OC，以点O为圆心，OC长为半径向右侧画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为________．K－16－4K－16－510．如图K－16－5所示，一张三角形纸片ABC，∠C＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 cm，现将纸片折叠，使点A与点B重合，那么折痕的长为________cm.11．在△ABC中，AB＝13 cm，AC＝20 cm，BC边上的高AD为12 cm，则△ABC的面积为________cm2.三、解答题12．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b.(1)a＝7，b＝24，求c；(2)a＝4，c＝7，求b.13．如图K－16－6所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝50 cm，BC＝30 cm，CD⊥AB 于点D，求CD的长．图K－16－614．在直角坐标系中，四边形ABCD各顶点的位置如图K－16－7所示．(1)求边AB，BC，CD，AD的长；(2)求四边形ABCD的面积．图K－16－715．在两千多年前，我国古算书上记载“勾三股四弦五”，它的意思是说：如果一个直角三角形的两条直角边长分别为3个单位长度和4个单位长度，那么它的斜边的长一定是5个单位长度．而且3，4，5这三个数有这样的关系：32＋42＝52.(1)请你验证这个事实；(2)请你观察图K－16－8，Rt△ABC的两条直角边的长分别为AC＝7，BC＝4，请你探究这个直角三角形的斜边AB的平方是否等于42＋72.图K－16－816．如图K－16－9是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形(两直角边长分别为a，b，斜边长为c)和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形，并利用此图形证明勾股定理.图K－16－9新定义题型阅读下面的情景对话，然后解答问题．(1)根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形．”是真命题还是假命题(直接给出结论，不必证明)；(2)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a∶b∶c的值．图K－16－10详解详析【课时作业】 [课堂达标]1．[解析] B ∵直角三角形的两直角边长分别为6和8，∴由勾股定理，得斜边的长＝62＋82＝10.2．[答案] A3．[解析] C 观察图形，由勾股定理，得AB ＝52＋12＝26，BC ＝32＋22＝13，AC ＝32＋42＝5，∴△ABC 中有两条边的长是无理数，故选C .4．[解析] B ∵大正方形的面积是16，小正方形的面积是3，∴四个直角三角形的面积和为16－3＝13，即4×12ab ＝13，∴2ab ＝13，a 2＋b 2＝16，∴(a ＋b)2＝a 2＋b 2＋2ab ＝16＋13＝29.故选B .5．[解析] B 当12是斜边长时，第三边长是122－52＝119；当12是直角边长时，第三边长是122＋52＝13.6．[解析] A 在Rt △ABC 中，根据勾股定理，得a 2＋b 2＝100.由a ＋b ＝14，得(a ＋b)2＝196，即a 2＋2ab ＋b 2＝196，所以ab ＝48，12ab ＝24，即Rt △ABC 的面积为24 cm 2.7．[答案] 6 8．[答案] 3 cm[解析] 如图所示，在△ACB 中，AB ＝AC ＝5 cm ，BC ＝8 cm ，AD ⊥BC.∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝90°，BD ＝CD ＝12BC ＝4 cm .由勾股定理得AD ＝AB 2－BD 2＝52－42＝3(cm )，故答案为3 cm . 9．[答案] 7[解析] ∵△ABC 为等腰三角形，OA ＝OB ＝3，∴OC ⊥AB.在Rt △OBC 中，OC ＝BC 2－OB 2＝42－32＝7.∵以点O 为圆心，OC 长为半径画弧交数轴于点M ，∴OM ＝OC ＝7，∴点M 对应的实数为7.10．[答案] 154[解析] 如图，在Rt △ABC 中，由AC ＝8 cm ，BC ＝6 cm ，根据勾股定理，得AB ＝10 cm .设CE ＝x cm ，由折叠的性质，得BD ＝AD ＝5 cm ，BE ＝AE ＝(8－x)cm ，∠BDE ＝∠ADE ＝90°.在Rt △BCE 中，根据勾股定理可知BC 2＋CE 2＝BE 2，即62＋x 2＝(8－x)2，解方程得x ＝74，∴BE ＝8－74＝254(cm )．在Rt △BDE 中，由勾股定理，得BD 2＋DE 2＝BE 2，即52＋DE 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2542，∴DE ＝154(cm )．故答案为154.11．[答案] 126或66[解析] 分两种情况讨论：(1)当高AD 在△ABC 内部时，如图①，在Rt △ABD 中，由勾股定理，得BD ＝AB 2－AD 2＝132－122＝5(cm )．在Rt △ACD 中，由勾股定理，得CD ＝AC 2－AD 2＝202－122＝16(cm )，∴BC ＝CD ＋BD＝21(cm )，∴△ABC 的面积为12×21×12＝126(cm 2)．(2)当高AD 在△ABC 外部时，如图②，同(1)，在Rt △ABD 中，由勾股定理，得BD ＝5 cm ，在Rt △ACD 中，由勾股定理，得CD ＝16 cm ，∴BC ＝CD －BD ＝16－5＝11(cm )，∴△ABC 的面积为12BC ·AD ＝12×11×12＝66(cm 2)．综上，△ABC 的面积为126 cm 2或66 cm 2.12．解： (1)∵c 是斜边，∴c ＝a 2＋b 2＝72＋242＝25.(2)∵b 是直角边，∴b ＝c 2－a 2＝72－42＝33. 13．解：∵∠ACB ＝90°，AB ＝50 cm ，BC ＝30 cm ， ∴AC ＝502－302＝40(cm )．又∵S △ABC ＝12AC ·BC ＝12AB ·CD ，∴AB ·CD ＝AC ·BC ，∴CD ＝AC ·BC AB ＝40×3050＝24(cm )．即CD 的长是24 cm .14．解：(1)由勾股定理可得AB ＝12＋32＝10，BC ＝52＋22＝29，CD ＝22＋32＝13，AD ＝42＋22＝2 5.(2)由图形可得四边形ABCD 的面积＝5×6－12×3×1－12×5×2－12×2×3－12×4×2＝16.5.15．解：(1)边长的平方可表示以此边长为边的正方形的面积，故可通过面积法验证．分别以这个直角三角形的三边为边向外作正方形，如图，其中AC ＝4，BC ＝3，则S 正方形ABED ＝S正方形FCGH－4S Rt △ABC ＝(3＋4)2－4×12×3×4＝ 72－24＝25，即AB 2＝25，AB ＝5.又因为AC ＝4，BC ＝3，AC 2＋BC 2＝42＋32＝25，所以AB 2＝AC 2＋BC 2.(2)AB 2＝S 正方形ABED ＝S 正方形KLCJ －4S Rt △ABC ＝(4＋7)2 －4×12×4×7＝121－56＝65＝42＋72.16．解：方法一：拼成的图形如图①所示．证明：大正方形的面积既可以表示为(a ＋b)2，又可以表示为c 2＋4×12ab ，∴(a ＋b)2＝c 2＋4×12ab ，a 2＋2ab ＋b 2＝c 2＋2ab ，即a 2＋b 2＝c 2.大正方形的面积既可以表示为c 2，又可以表示为12ab ×4＋(b －a)2，∴c 2＝12ab ×4＋(b －a)2，c 2＝2ab ＋b 2－2ab ＋a 2，即c 2＝a 2＋b 2.[素养提升]解：(1)设等边三角形的边长为a ，则a 2＋a 2＝2a 2，符合奇异三角形的定义，∴“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题．(2)∵∠ACB ＝90°，∴a 2＋b 2＝c 2. ∵Rt △ABC 是奇异三角形，且b ＞a ， ∴a 2＋c 2＝2b 2，∴b ＝2a ，c ＝3a ，∴a ∶b ∶c ＝1∶2∶ 3.。