沪教版七年级数学第九章、乘法公式的综合应用专题
沪教版七年级上册教案 9.10 整式的乘法
9.10单项式与单项式相乘（1）教学目标：理解单项式与单项式相乘法则，会运用法则正确、熟练地进行计算。
经历法则的探究过程，领悟化归的数学思想，提高数学语言的归纳能力。
重点： 理解法则、会运用法则正确熟练地进行计算。
难点： 计算中有乘方、乘法等混合运算时的准确率 教学过程：一、单项式与单项式相乘法则的引入：1、用实际问题来引出单项式与单项式相乘的课题.如图，长方形的长是a 2，宽是b 3，它的面积是b a 32⋅，如何计算b a 32⋅？可以看到长方形可以分成6个长为a 、宽为b 的 小长方形，而每个小长方形的面积都是ab ，因此 这个长方形的面积是ab b a 632=⋅．或：运用乘法交换律、结合律计算可得ab b a b a 6))(32(32=⋅⨯=⋅（教师板书式子)这里a 2、b 3都是单项式，b a 32⋅是 单项式乘以单项式．今天我们就学习单项式与单项式相乘．（板书课题）2、用实际问题探索如何进行单项式与单项式相乘的方法,并归纳法则. 问:以上题中的长方形为底，高为a 4的长方体的体积如何求呢？ 那如何求a ab V 46⋅=呢？ 结合上题学生2的回答． 根据长方体体积公式可知，a ab h S V 46⋅==底．ba b a a a ab V 224))(46(46=⋅⨯=⋅=3、计算：246a ab ⋅那么，单项式与单项式相乘有怎样的法则呢？如何归纳呢？ （投影）填空：单项式与单项式相乘有如下的法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别__________作为积的因式，其余字母连同它的指数______，也作为积的因式． 教师板书概念中的关键词：①“系数相乘”②“同底数幂相乘”③“其余字母不变”(作为积的因式) 二、单项式与单项式相乘法则的运用.学习了单项式与单项式相乘法则后如何应用呢？例题1、计算：（1）334x x ⋅； （2）2241(4)2xy x y ⋅-； （3）223(4)(3)ax a x -⋅-； （4）322(2)(5)x x y -⋅.请同学对每道题先观察思考，再计算. 注意：①系数怎么相乘？②同底数幂怎么相乘？③其余字母不变怎么办？(作为积的因式) 学生回答教师板书难点突破：第（4）小题是从运算顺序来看是先乘方，再乘法. 学生练习：P.27 /1请先审题，解题时能够默念法则中的语句.口诀：先乘方再乘法。
沪教版(五四制)七年级数学上册 第九章 幂运算讲义(无答案)
基本幂运算知识点1：同底数幂的乘法法则同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即m n m n a a a +=（m n 、为正整数）。
（1）此性质可以推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即m n p m n p a a a a +++=，（m n p 、、、都为正整数）。
（2）此性质可逆用，即m n m n a a a +=（m n 、为正整数）。
知识点2：幂的乘方法则幂的乘方，底数不变，指数相乘，即()m n mn a a =（m n 、为正整数）。
此性质可逆用，即()()mn m n n m a a a ==。
知识点3：积的乘方法则积的乘方，等于把积的每个因式分别乘方再把所得的幂相乘，即()n n n ab a b =（n 为正整数）。
（1）三个或三个以上因式的乘方也具有这一性质，如()n n n n abc a b c =（n 为正整数）。
（2）此性质可逆用，即()n n n a b ab =（n 为正整数）。
知识点4：同底数幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减，即m n m n a a a -÷=（0a ≠，m n 、为正整数，且m n >）。
此性质可逆用，即m n m n a a a -=÷（0a ≠，m n 、为正整数，且m n >）。
第十一讲幂运算知识点5：零指数幂与负指数幂法则（1）任何不等于零的数的零次幂都等于1，即01a =（0a ≠）。
（2）任何不等于零的数的负n （n 为正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数，即1n na a -=（0a ≠，n 为正整数）。
【前铺1】 a a a a a a = 。
【前铺2】 ()()a a a a a a = 。
【前铺3】 32(3)= 。
【前铺4】 55211⨯= 。
【前铺5】 10333÷= 。
【例题1】 （1）下列各式计算过程正确的是（ ）A.22x x x +=B.2x x x ÷=C.22(1)1x x +=+D.22()xy xy =（2）下列各式中计算结果等于62x 的是（ ）A.33x x +B.32(2)xC.322x xD.72x x ÷（3）计算：021(3)()22--+-÷-的结果是（ ） A.1 B.1- C.3 D.118【例题2】 计算：1）53(5)5-÷ 2）302101010⨯÷ 3）03111()()339÷-⨯ 4）33224-⨯÷ 5）62201(7)7()749-÷⨯⨯ 6）24210.50.25()8⨯÷【例题3】 【基础、提高】计算：33111(1)(10921)982⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯= 。
沪教版(五四制)七年级数学上册 9.3整式的乘法同步讲义(带答案)
-------------整式的乘法（★★★）1.掌握底数、指数、同底数幂的概念；；2.掌握同底数幂的乘法运算法则，并能灵活地运用法则进行计算；3.掌握幂的乘方、积的乘方的概念，并知道他们的区别；4.掌握幂的乘方、积的乘方的运算法则并能够准确运算；5.理解并掌握单项式与单项式相乘法则，能够熟练地进行单项式的乘法计算；6.理解和掌握单项式与多项式相乘法则，能够熟练地进行多项式的乘法计算；7.熟练运用法则进行多项式与多项式的相乘、单项式与多项式相乘的计算。
知识结构1. 同底数幂的乘法性质：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
（、都是正整数）2. 幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
（、都是正整数）3. 积的乘方：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
（为正整数）4. 单项式与单项式相乘单项式与单项式相乘的法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式。
运算步骤是：①系数相乘为积的系数；②同底数幂相乘，作为积的因式；③只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数也作为积的一个因式；注：1、单项式与单项式相乘的法则，对于三个以上的单项式相乘也适用．2、单项式与单项式相乘的实质是乘法的交换律与结合律以及幂的运算性质．5. 单项式与多项式相乘单项式与多项式相乘的法则：单项式与多项式相乘，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。
注：①用单项式遍乘多项式的各项，不要漏乘，②要注意符号。
单项式乘以多项式的实质是乘法的分配律与单项式乘以单项式的和．“知识结构”这一部分的教学，可采用下面的策略：1.本部分建议时长5分钟.2.请学生先试着自己写出计算公式，发现学生有遗忘时教师帮助学生完成.1.本部分建议时长20分钟.2.进行例题讲解时，教师宜先请学生试着自行解答.若学生能正确解答，则不必做过多的讲解；若学生不能正确解答，教师应对相关概念、公式进行进一步辨析后再讲解例题.3.在每一道例题之后设置了变式训练题，应在例题讲解后鼓励学生独立完成，以判断学生是否真正掌握了相关考点和题型.4.教师应正确处理好例题与变式训练题之间的关系，宜采用讲练结合的方式，切不可将所有例题都讲完后再让学生做变式训练题.例题1计算：(★★)答案：解：原式同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
沪教版(五四制)七年级数学上册 9.4乘法公式同步讲义
-------------乘法公式：平方差公式、完全平方公式（★★）1. 掌握平方差公式、完全平方公式的概念；2. 会运用平方差公式、完全平方公式进行一些数的简便运算；3. 综合运用平方差公式和完全平方公式进行整式的简便运算；4. 经历探索公式的推导过程，进一步发展符号感和推理能力。
知识结构平方差公式1. 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差.这就是平方差公式.即：22))((b a b a b a -=-+2. 公式的结构特征：（1）左边是两个两项式相乘，这两个二项式中，有一项是完全相同的，另一项是两个互为相反数.（2）右边是这两个数的平方差，即完全相同的项与互为相反的项的平方差.3. 公式的应用：（1）公式中的字母a ，b 可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式，只要符合公式的结构特征，就可以用此公式进行计算.（2）公式中的a b22-是不可颠倒的，注意是相同项的平方减去相反项的平方，还要注意字母的系数和指数.（3）为了避免错误，初学时，可将结果用“括号”的平方差表示，再往括号内填上这两个数.如：(a + b) (a - b)= a2－ b2↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓计算：(1 + 2x)(1 - 2x)= ( 1 )2－( 2x )2=1-4x2完全平方公式一块边长为a 米的正方形实验田，因需要将其边长增加b 米，形成四块实验田，以种植不同的新品种。
（如图）用不同的形式表示实验田的总面积，并进行比较，你发现了什么？ba a b（比较等号左边的代数式的特点，等号右边的代数式的特点，等号左右两边的联系）由此归纳出完全平方公式： （a+b ）2=a 2+2ab+b 2（a-b ）2=a 2-2ab+b2两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的两倍．1.本部分建议时长5分钟.2.请学生先试着自行补全上图，发现学生有遗忘时教师帮助学生完成.“典例精讲”这一部分的教学，可采用下面的策略：“知识结构”这一部分的教学，可采用下面的策略：1.本部分建议时长20分钟.2.进行例题讲解时，教师宜先请学生试着自行解答.若学生能正确解答，则不必做过多的讲解；若学生不能正确解答，教师应对相关概念、公式进行进一步辨析后再讲解例题.3.在每一道例题之后设置了变式训练题，应在例题讲解后鼓励学生独立完成，以判断学生是否真正掌握了相关考点和题型.4.教师应正确处理好例题与变式训练题之间的关系，宜采用讲练结合的方式，切不可将所有例题都讲完后再让学生做变式训练题.例题1运用平方差公式计算：)23)(23(n m n m -+ (★★)答案：1、229-4m n 。
沪教版七年级 整式乘法公式,带答案
乘法公式课时目标1. 学会用文字和字母表示平方差公式，知道平方差公式的结构特征.2. 在数的简捷运算、代数式的化简求值及解方程中正确、熟悉地运用平方差公式.3. 学会用文字和字母表示完全平方公式，知道完全平方公式的结构特征.4. 理解平方差公式和完全平方公式中的字母，既可以表示数，又可以表示单项式或多项式等.5. 在运用乘法公式时，逐步树立代换的思想，利用字母的意义，灵活进行乘法运算，如公式的逆用和配方.知识精要一．平方差公式()()__________a b a b +-=注：公式中的 ,a b 既可表示一个数，也可以表示单项式，多项式等代数式. 二、完全平方公式2()__________a b +=2()_______________a b -=推广：2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++22222()2222a b c d a b c d ab bc cd da +++=+++++++ 三、乘法公式的变形应用 （1）平方差公式的常见变形 ● 位置变化如()()__________a b b a +-= ● 符号变化如()()()()a b a b b a b a ---=--⋅-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦22()b a =--22a b -=2222()()()()()a b a b a b a b a b a b ---=-+-=--=-+● 系数变化如()()()()ma mb a b m a b a b +-=+-22()m a b =- （2）完全平方公式的常见变形 ● 符号变化如2222()()2a b a b a ab b --=+=++或 2222()()2a b a b a ab b -+=-=-+ ● 移项变化222()2a b a ab b +=++（1）22___________a b →+=222()2a b a ab b -=-+（2）22____________a b →+=22(1)(2)()()4a b a b ab -=+--=（3）立方和（差）公式：22()()__________a b a ab b +-+=热身练习7. 填空题1. 计算：)121)(121(+---a a =_________________2. 计算：11()()33n n x x -+=______________________3. 计算：2211()(________)24x y x y -+=-4. 将多项式21x +加上一个单项式后，使它能成为另一个整式的完全平方，你 添加的这个单项式可以是____________.（只要填一个符合题意的即可）5. 22222()()()_________x y x y x y -+-+=6. 2222(9)(9)(9)x x x -+--_____________=8. 选择题7.下列运算不能用平方差公式的是（ ）A.()()a b b a ---B.2222()()m n n m -+C.(13)(31)a a -+D.()()a b a b +-- 8.下列各式的计算中正确的是（ ）A.22(3)(3)3m n m n m n +-=-B.2(23)(23)29x x x +-=-C.222(2)24x y x xy y +=++D.22(1)21x x x --=++ 9.已知2244(34)169x y A y x --⋅=-，则A 等于（ ） A.2234x y - B.2243y x - C. 2234x y -- D. 2234x y +10.在一块直径为a +b 的圆形场上，分别划出一个直径为a ，另一个直径为b 的小的圆形场地上植满花卉，剩余的部分铺设草皮，试求需铺设草的场地面积. （用,,a b π的代数式表示）精解名题1.分组讨论探索：你们能理解下列图形所表达的恒等式？ 试写出来，并说出图形的意义(1)a+ a = a a + a恒等式__________________________(2) b=a= + + +恒等式__________________________2.计算：(1) 2(1)(1)(1)x x x+-+；(2) (1)(1)x y x y+---（3）21495033⨯3.已知,x y a xy b+==.求：（1）22x y+（2）33yx+4.求证：四个连续整数的积加上1的和，一定是整数的平方.5.用完全平方公式推导“个位数字为5的两位数的平方数”的计算规律.6.某高级中学得到政府投资，进行了校园改造建设，他们的操场原来是长方形，改建后变为正方形，正方形的边长比原来的长方形的长少6米，比原来长方形的宽多了6米，问操场的面积比原来大了还是小了？相差多少平方米？7.将多项式29x x +加上一个整式后，使它能成为另一个整式的完全平方，你有哪些方法，请尽量写出不同的解法.备选例题一．用平方差公式解题 1.计算：2432(12)(12)(12)(12)1+++++2.计算：1)13()13)(13)(13(23242+++++3.计算：)1611)(411)(211(+++错误!未找到引用源。
沪教版初一数学第九章整式第三节整式的乘法9.7同底数幂的乘法
（3） （______）______；
（4） （______）______.
9．下列各式中，不能用同底数幂的乘法法则化简的是（）.
A．
B．
C．
D．
10．计算
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
11．若 ,则 等于( )
A． ．B． ．C． ．D． ．
12．若a•23＝26，则a等于（ ）
沪教版（上海)七年级上9.7同底数幂的乘法
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1． 的底数是______，指数是______，幂是______，其意义是______.
2．同底数幂相乘，底数______，指数______， ______.（ 、 都是正整数）
11．B
【解析】
【分析】
根据同底数幂的乘法运算即可求解.
【详解】
∵
∴ =2×3=6
故选B.
【点睛】
此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知同底数幂的乘法公式.
12．D
【解析】
【分析】
根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，可得答案．
【详解】
解：a•23＝26，
a＝23＝8，
故选：D．
【点睛】
本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握底数不变指数相加是本题的解题关键．
【详解】
解：（1） （错）改正为： ；
（2） （错）改正为： ；
（3） （错）改正为： ；
（4） （错）改正为： .
故答案为：(1).错(2). (3).错(4). (5).错(6). (7).错(8).
七年级数学上册第九章(9.13-9.15 共3个专题)课件沪教版
如何正确找到多项式的公因式呢?
1、各项系数的最大公因数 2、各项都含有的相同字母 3、相同字母的“最低次幂”
观察分析 归纳小结
找公因式的方法： 1.公因式的系数应取各项系数的最大公约数 （当系数是整数时） （如：5ab2c+15abc2公因式的系数应取5） 2.字母取各项的相同字母，且相同字母的指
8 a 3 b2 –12ab 3 + ab
m b2 + n b 7x 3y2 –42x2y 3
a2 b – 2a b2 + abc
7(x–3)–x(3–x)
7x
ab
b 7x2y2
ab
(x-3)
例题1 分解因式：6xy2 +9xy
解：原式=3xy 2y+3xy 3 找出公因式
=3xy(2y+3)
例题2：分解因式
(1) x 2 3xy 2y 2 (2) x 2 5xy 14y 2 (3) x 2y 2 5xy 24 (4) x 4 8x 2y 2 12y 4
通过这节课的学习，你有些 什么收获？
作业：《伴你成长》9.15（1） 《练习册》p32 1、2、3、4
例7 利用因式分解计算：
(1)2919.99 7219.99 1319.99 19.9914 (2)39 37 1381
思维拓展训练
(1)已知：4x2 7x 1 3,求 8x2 14x的值。 (2)已知：a b c 2 0,
求a(a b c) b(c a b) c(b c a)的值。 (3)若x3 x2 x 1 0,
注意：如果多项式的第一项的系数是负
沪教版初一数学第九章整式第四节乘法公式9.11平方差公式
沪教版初一数学第九章整式第四节乘法公式9.11平方差公式沪教版（上海)七年级上9.11平方差公式学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．()()33a a +-=______=______；2．(1)()()22x y y x -+=______=______.(2)()()()2212141x x x +-+=______；. 3．10298?=___________=____________.4．若2m n -=，5m n +=，则22m n -的值为______.5．若()22x y p x y --?=-，那么p 等于（）. A ．x y --B ．-+x yC ．x y -D ．x y +6．下列各式中，可以运用平方差公式计算的是（）.A ．()()44a c a c -+-B ．()()22x y x y -+C ．()()3113a a ---D ．()()x y x y --+ 7．计算：(1)()()11ab ab +-；(2)()()55b b +-；(3)()()a b a b -+--；(4)()()222332y x x y ---；(5)()()3333m n m n --+；(6)()()32322323x y x y +-.8．为了应用平方差公式计算()()a b c a b c -++-，必须先适当变形，下列各变形中，正确的是（）.A ．()()a c b a c b +-++B ．()()a b c a b c -++-C ．()()b c a b c a +--+D ．()()a b c a b c --+-9．研究下列算式：2222222231881,531682,752483,973284-==?-==?-==?-==?······请你表示出第n 个等式10．计算：(1)()123233a b a b ??-+； (2)2510977-?. 11．先化简，再求值：（1）()()()211x x x x +-+-，其中12x =-；（2）()()()()222a a b a b a b a b -++-++，其中12a =-，1b =. 12．(1)计算并观察下列各组算式：88______,79______.?==?. 55______,46______.==? 1212______,1113______.?==?(2)已知2525625?=，那么2426?=______.(3)你能举出一个类似的例子吗？(4)从以上的过程中，你发现了什么规律，你能用语言叙述这个规律吗?你能用代数式表示这个规律吗？(5)你能证明你所得到的规律吗？13．下列运算正确的是( )A ．4a-a=3B ．2(2a-b)=4a-bC ．(a+b)2=a 2+b 2D ．(a+2)(a-2)=a 2-414．下列运算正确的是（）A ．236a a a ?=B ．22()()a b a b b a -++=-C ．347()a a =D ．358a a a +=15．比较20102012?与20082014?的大小.16．计算：（1）22222222100999897969521-+-+-++-L ；（2）()()()()()()24816322121212121211+++++++；（3）()()()()2410241111a a a a +++??+L ，其中1a ≠.17．将9.52变形正确的是（）A ．9.52=92+0.52B ．9.52=（10+0.5）（10﹣0.5）C ．9.52=102﹣2×10×0.5+0.52D ．9.52=92+9×0.5+0.52参考答案1．223a - 29a -【解析】【分析】根据平方差公式直接计算即可.【详解】解：()()2223339a a a a +-=-=-，故答案为：223a -，29a -.【点睛】本题考查了平方差公式，熟记公式是解题关键.2．()222x y - 224x y - 4161x -【解析】【分析】（1）根据平方差公式直接计算即可；（2）两次运用平方差公式计算即可.【详解】解：（1）()()()22222224x y y x x y x y -+=-=-；（2）()()()()()22242121414141161x x x x x x +-+=-+=-，故答案为：()2 22x y -，224x y -，4161x -. 【点睛】本题考查了平方差公式，熟记公式是解题关键.3．(1002+)(1002-) 9996【解析】【分析】根据平方差公式计算即可.【详解】解：()()10298100210029996?=+-=，故答案为：()()10021002+-，9996.【点睛】本题考查了平方差公式，灵活运用公式是解题关键.4．10【解析】【分析】逆用平方差公式变形求解即可.【详解】解：∵2m n -=，5m n +=，∴()()225210m n m m n n =+-=?=-，故答案为：10.【点睛】本题考查了平方差公式，灵活运用公式变形求解是解题关键. 5．B【解析】【分析】将等式变形即可得出结果.【详解】解：将()22x y p x y --?=-变形为()()()()x y p x y x y +?-=+-，∴p x y -=-，∴p x y =-+，故选：B.【点睛】本题考查了平方差公式，熟记公式并灵活运用是解题关键.6．C【解析】【分析】可以用平方差公式计算的式子的特点是：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．相乘的结果是：相同项的平方减去相反项的平方．【详解】解：A 、()()44a c a c -+-不符合平方差公式的形式，故本选项错误；B 、()()22x y x y -+不符合平方差公式的形式，故本选项错误；C 、()()()2231133191a a a a ---=--=-，正确；D 、()()x y x y --+不符合平方差公式的形式，故本选项错误．故选：C ．【点睛】本题考查了平方差公式，比较简单，关键是要熟记平方差公式（a ＋b ）（a?b ）＝a 2?b 2． 7．(1)221a b - ； (2)225b - ； (3)22a b -；(4)4249y x - ； (5)269n m -；(6)6449x y -【解析】【分析】（1）运用平方差公式计算即可；（2）运用平方差公式计算即可；（3）运用平方差公式计算即可；（4）运用平方差公式计算即可；（5）运用平方差公式计算即可；（6）运用平方差公式计算即可；【详解】解：(1)()()22111ab ab a b +-=-； (2)()()25255b b b +-=-； (3)()()22a b a b a b -+--=-；(4)()()2242233249y x x y yx ---=-； (5)()()()3362263399m n m n m nn m --=--+=-； (6)()()323264232349x yx y x y +-=-.【点睛】本题考查了平方差公式，比较简单，关键是要熟记平方差公式（a ＋b ）（a?b ）＝a 2?b 2．8．D【解析】【分析】根据平方差公式的结构特征判断即可.【详解】解： A. ()()a c b a c b +-++，改变了等式，不符合题意；B. ()()a b c a b c -++-，不符合平方差公式的结构特征，不符合题意；C. ()()b c a b c a +--+，改变了等式，不符合题意；D. ()()()22a b c a b c a b c --+-=--，正确，故选：D.【点睛】本题考查了平方差公式，关键是要熟记平方差公式（a ＋b ）（a?b ）＝a 2?b 2．9．22(21)(21)8n n n +--=．【解析】试题分析：2222222231881,531682,752483,973284-==?-==?-==?-==?…所以第n 个等式为：22(21)(21)8n n n +--=，故答案为22(21)(21)8n n n +--=．考点：规律型．10．（1）224a b -；（2） 459949- 【解析】【分析】（1）将原式变形，然后利用平方差公式计算即可；（2）利用平方差公式变形计算即可.【详解】（1）原式()()22a b a b =-+224a b =-；（2）原式22101077=-+- 410049??=-- ???459949=-. 【点睛】本题考查了平方差公式，灵活运用公式变形求解是解题关键.11．(1) 21x +，0；（2） 224a b -，0【解析】【分析】（1）利用单项式乘多项式以及平方差公式展开，合并同类项得到最简结果，再代入求值；（2）利用单项式乘多项式、平方差公式以及完全平方公式展开，合并同类项得到最简结果，再代入求值【详解】（1）原式()2221x x x =+--2221x x x =+-+21x =+，当12x =-时，原式12102??=?-+=；（2）原式222222222224a ab a b a ab b a b =-+-+++=-，当12a =-，1b =时，原式21141210--==-=. 【点睛】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握运算法则及乘法公式是解题关键.12．（1）64，63；25，24；144，143；（2）624；（3）1010100?=，91199?=（答案不唯一）；（4）一个整数的平方比它相邻两个数的乘积大一，用代数式表示为：()()2111n n n =-++；（5）见解析.【解析】【分析】（1）直接计算即可；（2）根据（1）中式子特点，可直接得出答案；（3）根据（1）中式子特点，写出一个式子即可；（4）根据（1）中式子特点，总结规律即可；（5）利用平方差公式展开即可证明.【详解】解：（1）88647963?==?， 55254624==?， 12121441113143?==?；（2）已知2525625?=，那么2426624?=；（3）例如：1010100?=，91199?=（答案不唯一）；（4）观察式子特点可知：一个整数的平方比它相邻两个数的乘积大一，用代数式表示为：()()2111n n n =-++；（5）证明：右边()()2211111n n n n =-++=-+==左边，故此规律成立.【点睛】本题考查了平方差公式，解题的关键是找出其中的规律进行解答．13．D【解析】A.由合并同类项的法则得，43a a a -=，所以原运算错误；B.由去括号法则得，()2242a b a b -=- ，所以原运算错误；C.由完全平方公式得，()2222a b a ab b +=++ ，所以原运算错误；D.由平方差公式得，()()2224a a a +-=-，所以原运算正确. 故选D.14．B【解析】试题分析：A 、a 2·a 3＝a 5，故A 错误； B 、(－a ＋b )(a ＋b )＝(b －a )(b ＋a )＝b 2－a 2，故B 正确；C 、(a 3)4＝a 12，故C 错误；D 、a 3与a 5不是同类项，不能合并，故D 错误．故选B ．15．2010201220082014?>?【解析】【分析】分别利用平方差公式变形，然后再进行比较.【详解】∵()()2220102012201112011120111?=-+=-，()()2220082014201132011320113?=-+=-，∴2010201220082014?>?.【点睛】本题考查了平方差公式，灵活运用公式变形求解是解题关键.16．（1）5050 （2）642（3）204811a a -- 【解析】【分析】（1）每两个数为一组，利用平方差公式变形求解即可；（2）式子前面乘以（2-1），然后利用平方差公式计算即可；（3）式子前面乘以（a-1），再整体除以（a-1），然后分子利用平方差公式计算即可.【详解】解：（1）22222222100999897969521-+-+-++-L ()()()()()()1009910099989798972121L =+-++-+++-10099989721L =++++++100(1001)2+= 5050=；（2）()()()()()()24816322121212121211+++++++()()()()()()()2481632212121212121211=-+++++++()()()()()()224816322121212121211=-++++++()()()()()448163221212122111=-+++++()()()()881632212121121=-++++()()()1616322121121=-+++()()323221211=-++64211=-+642=；（3）()()()()2410241111a a a a +++??+L()()()()()241024111111a a a a a a L-+++??+=- ()()()()224102411111a a a a a L -++??+=- ()()()4410241111a a a a L -+??+=- ()()81024111a a a L -??+=-204811a a -=-；【点睛】本题考查了平方差公式，灵活运用公式变形求解是解题关键. 17．C【解析】【分析】根据完全平方公式进行计算，判断即可．【详解】9.52=（10﹣0.5）2=102﹣2×10×0.5+0.52，或9.52=（9+0.5）2=92+2×9×0.5+0.52，观察可知只有C选项符合，故选C．【点睛】本题考查的是完全平方公式，完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．。
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乘法公式的综合应用
1、平方差公式
符号表示：(a+b)(a-b)=a2-b2
语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
要点诠释：平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方。
2、完全平方公式
符号表示：(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2
语言描述：两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍。
题型一、完全平方公式
1．已知x2+kxy+64y2是一个完全式，则k的值是（）
A．8 B．±8 C．16 D．±16
2．若9x2+mxy+16y2是一个完全平方式，则m的值为（）A．24 B．-12 C．±12 D．±24
3．若4x2+mxy+9y2是一个完全平方式，则m （）
A．6 B．12 C．±6 D．±12
4．下列多项式中是完全平方式的是（）
A．2x2+4x-4 B．16x2-8y2+1
C．9a2-12a+4 D．x2y2+2xy+y2
5．如果x2+mx+9是一个完全平方式，则m的值为（）
A．3 B．6 C．±3 D．±6 6．x2-10x+ =（x-）2．
7．下列各式是完全平方式的是（）
A．x2-x+1
4B．1+x2
C．x+xy+1 D．x2+2a-1 题型二、
1、若（x+ 1
x）2=9，则（x -
1
x）2的值为．
2．已知x-1
x=1，则x2+= ．
4．已知(a＋b)2＝7，(a－b)2＝4，求a2＋b2和ab的值．4．若a2+b2=5，ab=2，则（a+b）2= ．
5．已知x+y=1，则12 x 2+xy+12 y 2= ．
6．已知x+y=17，xy=60，则x 2+y 2= ．
7.若x ＋y ＝3，xy ＝1，则x 2+y 2＝_______．
8、已知 0132=--a a ，求:（1）221a a +
的值 （2）441a a +的值 9、已知0152=--m m ，求2
2152m m m +-的值 10、已知2008,2009==y x ，求()()()()
22233232232y x x y y x y x -+----的值
题型三、
1.已知三角形的三边a 、b 、c 满足a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋bc ＋ac ，试利用
乘法公式判断这个三角形的形状．
2．不论a 、b 取何有理数， a 2＋b 2－2a －4b ＋5的值总是 ( )
A ．负数
B ．零
C ．正数
D ．非负数
3．若x ＋y ＋z ＝－2，xy ＋yz ＋xz ＝1，则x 2＋y 2＋z 2的值是 ( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5 题型四、
1．试求(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(232＋1)＋1的个位数字．
2．计算(2＋1)×(22＋1)×(2
4＋1)×…×(22n ＋1)的结果是 ( ) A ．24n －1 B ．222n
－1 C ．22n －1 D ．2n －1
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⨯⨯⎪
⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-2221011.....41131121123. 乘法公式课后综合练习
【基础巩固】
1．已知x 2＋16x ＋k 是完全平方式，则常数k 等于 ( )
A ．64
B ．48
C ．32
D ．16
2．若(3x ＋2y)2＝(3x －2y)2＋A ，则代数式A 为 ( )
A ．－12xy
B ．12xy
C ．24xy
D ．－24xy
3．(1)若(x －m)2＝x 2＋x ＋a ，则m ＝_______，a ＝_______；
(2)(－2p －q)(－a ＋2p)＝_______．
4．(1)(a ＋b ＋c)(a ＋b －c)＝[( )＋c][( )－c]＝( )2－c 2；
(2)(a －b ＋c)(a ＋b －c)＝[a －(_______)][a ＋( )]＝a 2－( )2．
5．(1)(a ＋1)(a －1)(a 2＋1)＝_______；
(2)(a ＋2)(a 2－4)(a －2)＝_______．
6．计算：
(1)(3－4a)(3＋4a)＋(3＋4a)2； (2)(2019．泉州)(x ＋3)2＋(2＋x)(2－x)；
(3)(2x －1)(2x ＋1)(4x 2＋1)； (4)(2x －y)(4x 2－y 2)(2x ＋y)；
(5)(a ＋2)2(a －2)2； (6)(a ＋b －2c)(a ＋b ＋2c)．
【拓展提优】
7．计算(3a ＋b)(－3a －b)等于 ( )
A ．9a 2－6ab －b 2
B ．－b 2－6ab －9a 2
C ．b 2－9a 2
D ．9a 2－b 2
8．已知a 2＋b 2＝2019，则(a ＋b)2－2ab 的值为 ( )
A ．2019
B ．2019
C ．2019
D ．不能确定
9．(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)＋1的计算结果的个位数字是 ( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
10．(1)已知x ＋y ＝－5，xy ＝3，则x 2＋y 2＝_______；
(2)若(a ＋b)2＝5，(a －b)2＝3，则a 2＋b 2＝_______．
11．(1)(2x －1)2－(2x ＋1)2＝_______；(2)3(x ＋2y)(1
3x －23y)＝_______．
12．计算：
(1)(16x 4＋y 4)(4x 2＋y 2)(2x －y)(2x ＋y)； (2)(a －2b ＋3c)(a ＋2b －3c)；
(3)(2x ＋3y)2(2x －3y)2； (4)(a －2b ＋3c)2．
13．解方程：3(x ＋1)(x －1)－3(x －1)2＋2＝8．
14．(1)先化简，再求值：2b 2＋(a ＋b)(a －b)－(a －b)2，其中a ＝－3，b ＝． 1
2
(2) 求代数式(a ＋2b)(a －2b)＋(a ＋2b)2－4ab 的值，其中a ＝1，b ＝1
10．
参考答案
【基础巩固】
1．A 2．C 3．(1)－ 14 (2)q 2－4p 2 4．(1)a ＋b a ＋b a ＋b (2)b －c b －c b －c 5．(1)a 4－1 (2)a 4－8a 2＋16 6．(1)18＋24a (2)6x ＋13
(3)16x 4－1 (4)16x 4－8x 2y 2＋y 4 (5)a 4－8a 2＋16 (6)a 2＋2ab ＋b 2－4c 2
【拓展提优】
7．B 8．A 9．C 10． (1) 19 (2)4 11．(1)－8x (2)x 2－4y 2
12．(1) 256x 8－y 8 (2)a 2－4b 2＋12bc －9c 2 (3)16x 4－72x 2y 2＋81y 4
(4)a 2＋4b 2＋9c 2－4ab ＋6ac －12bc 13．x ＝2 14．(1) 2ab ，－3 (2) 2a 2，2
12。