圆周运动加速度的矢量法推导
圆周运动加速度切向加速度方向沿切线方向
vA
vB 2192 km h1
t 3s，r 3.5103 m
vB vA
dv
at
t
dt
0
r an
o
B
a
at
vB
at
vB
vA t
而B点
an
vB2 r
解得：at 23.3 m s2，an 106 m s2
18
讨论
a at2 an2 109 m s2 A
vA
B
arctan at 12.4o
15
例题
例1： 一质点沿半径为1m的圆周运动，
运动方程为 2 3t 3
式中 以弧度计，t以秒计，求：
(1) t=2s时，质点的切向和法向加速度； (2) 当总加速度的方向和切向加速度成
45o角时，其角位移 是多少?
如果给出的运动方程形式是直角坐标系下 的，该如何求解？
16
讨论
例2 一歼击机在高空 A 点A时的水平速率为1 940
v
det dt
切向单位矢量
· lim · Δt 0
Δet Δt
det dt
dθ dt
en
v
v
et
et 2
et1
O enR
法向单位矢量
法向单位矢量
法向加速度
an
vω
ω2R
v2 R
et
et1
et 2
8
圆周运动加速度
at
dv dt
─ 切向加速度 方向沿切线方向，可正可负。
at是引起速度大小改变的加速度。
平面极坐标
平面极坐标系下，任意一点的 坐标由R和θ表示。
平面极坐标系和直角坐标系的关
圆周运动中的加速度公式推导题
圆周运动中的加速度公式推导题1、自然坐标系的定义切向轴：沿轨迹在该点的切向方向单位矢量为e t ;法向轴：沿轨迹的法线并指向曲线凹侧，单位矢量为e n .在自然坐标系中，速度（1）te v v ��=2、加速度公式推导方法1［1］如图2所示，分别为质点在B 点和C 点的速度矢()()t ∆+t v t v ��和量，作出速度的矢量三角形，在矢量上截取一段，使其()t ∆+t v �长度等于v(t),作矢量和n v �∆tv �∆tn v v v ���∆∆∆+=t v lim t v lim tv lima tt n t t ∆∆∆∆∆∆∆∆∆����000→→→+==（2）tt n n t n e a e a a a ����+=+=☆法向加速度：na �如图2所示两个相似三角形，rBCv v n =∆�当时，相等，因此0→∆t s BC ∆和对应的弧长弦长图1�)图2（3）rv t t v t v a t t n t n 2000S lim r v r S lim lim =∆∆=∆∆⋅=∆∆=→∆→∆→∆�的方向：当时，n a �0→∆t v v 0,n��度的方向趋向于垂直于速从而∆→∆θ的方向而指向圆心。
因此的方向在任何时刻都垂直于圆的切线方向而沿着半n a �径而指向圆心，从而称之为法向加速度或向心加速度。
☆切向加速度：ta �（4）dtdvt v t v a t t t t =∆∆=∆∆=→∆→∆00limlim即等于速率的变化率。
线方向。
的方向也沿着轨道的切在同一直线上，从而和方向趋向于和时，由于t t a v v 0t ���∆→∆从而称之为切向加速度。
讨论：①切向加速度表示质点速率变化的快慢。
的方向相反。
的方向与速度这时表示速率随时间减小方向相同。
的的方向与速度这时表示速率随时间增大。
为一代数量，可正可负②v a ,0v a ,0 t t ����<>t t t a a a 方法2［2］☆切向加速度由：t e v v ��=为速率。
加速度是一个描述物体速度变化的物理量
加速度是一个描述物体速度变化的物理量，是矢量——即有大小又有方向，加速度是物理学中的一个物理量，是一个矢量，一般用字母a表示，在国际单位制中的单位为米每二次方秒。
加速度是速度矢量关于时间的变化率，描述速度的方向和大小变化的快慢。
在本页面中会多次用到“质点”这一物理概念。
简单地说，当被研究的运动物体的大小和形状不对实验造成影响或影响很小时，可以把这个物体抽象成一个有质量但不存在大小、形状的点，质点是一个理想化的物理模型。
为了描述物体运动速度变化的快慢这一特征，我们引入加速度这一概念。
名称：加速度（Acceleration ）1.定义：速度的变化量Δv与发生这一变化所用时间Δt的比值。
2.公式：a=Δv/Δt3.单位：m/s^2 （米每平方秒）4.加速度是矢量，既有大小又有方向。
加速度的大小等于单位时间内速度的增加量；加速度的方向与速度变化量ΔV方向始终相同。
特别，在直线运动中，如果速度增加，加速度的方向与速度相同；如果速度减小，加速度的方向与速度相反。
5.物理意义：表示质点速度变化的快慢的物理量。
举例：假如两辆汽车开始静止，均匀地加速后，达到10m/s的速度，A车花了10s，而B车只用了5s。
它们的速度都从0m/s变为10m/s，速度改变了10m/s。
所以它们的速度变化量是一样的。
但是很明显，B 车变化得更快一些。
我们用加速度来描述这个现象：B车的加速度(a=Δv/t，其中的Δv是速度变化量)>加速度计构造的类型A车的加速度。
显然，当速度变化量一样的时候，花时间较少的B车，加速度更大。
也就是说B车的启动性能相对A 车好一些。
因此，加速度是表示速度变化的快慢的物理量。
注意：1.当物体的加速度保持大小和方向不变时，物体就做匀变速运动。
如自由落体运动、平抛运动等。
当物体的加速度方向与初速度方向在同一直线上时，物体就做匀变速直线运动。
如竖直上抛运动。
2.加速度可由速度的变化和时间来计算，但决定加速度的因素是物体所受合力F和物体的质量M。
圆周运动及其描述
o en
et et
即 d et 与P点的切向正交。因此 d et d v en en en dt dt R
角 速 度 的 单位： 弧度/秒(rads-1) ； 角加速度的单位： 弧度/平方秒(rad s-2) 。
讨论：
(1) 角加速度对运动的影响： 等于零，质点作匀速圆周运动； 不等于零但为常数，质点作匀变速圆周运动； 随时间变化，质点作一般的圆周运动。
(2) 质点作匀速或匀变速圆周运动时的角速度、 角位移与角加速度的关系式为
at称切向加速度，其大小表示质点速率变化的快慢； an称法向加速度,其大小反映质点速度方向变化的快慢。 上述加速度表达式对任何平面曲线运动都适用，但式 中半径R 要用曲率半径 代替。
2 d v v 由 a dt e t e n R 2 2 的大小为 a at an a
（2）令a = b ，即
P
a
(v0 bt) (bR)
2
2
R
b
得 t v0 / b （3）当a = b 时，t = v0/b ，由此可求得质点历经
的弧长为
s v0t bt /2
2
v /2b
2 0
s
它与圆周长之比即为圈数：
τ
n o
R
s v n 2R 4Rb
2 0
2 x x0 v0t at / 2 2 2 v v0 2a ( x x0 )
1.3.4角量和线量的关系
圆周运动切向加速度和法向加速度公式
圆周运动切向加速度和法向加速度公式圆周运动是物体在一个固定半径的圆周路径上运动的过程。
在圆周运动中，物体会具有切向加速度和法向加速度。
首先，我们来看一下圆周运动的切向加速度。
切向加速度是物体沿着圆周路径方向的加速度，它与圆周运动的线速度和半径有关。
切向加速度的大小可以用以下公式来计算：a_t = v^2 / r其中，a_t表示切向加速度，v表示线速度，r表示圆周运动的半径。
接下来，我们来看一下圆周运动的法向加速度。
法向加速度是物体指向圆心的加速度，它使物体保持在圆周路径上运动。
法向加速度的大小可以用以下公式来计算：a_n = v^2 / r其中，a_n表示法向加速度，v表示线速度，r表示圆周运动的半径。
需要注意的是，切向加速度和法向加速度是彼此垂直的两个矢量。
切向加速度的方向与圆周路径的切线方向一致，而法向加速度的方向指向圆心。
圆周运动的切向加速度和法向加速度在物体的速度发生变化时起着重要的作用。
当物体的速度变大时，切向加速度和法向加速度的大小也会增加，使物体的运动更加剧烈。
当物体的速度减小时，切向加速度和法向加速度的大小也会减小，使物体的运动变得平缓。
切向加速度和法向加速度还与物体的质量有关。
根据牛顿第二定律，加速度与力成正比，与物体的质量成反比。
因此，在相同力的作用下，质量较大的物体的切向加速度和法向加速度较小，而质量较小的物体的切向加速度和法向加速度较大。
除了切向加速度和法向加速度，圆周运动还存在着径向加速度。
径向加速度是物体朝向圆心方向的加速度，它与物体的速度和圆周运动的半径有关。
径向加速度可以用以下公式计算：a_r = v^2 / r其中，a_r表示径向加速度，v表示线速度，r表示圆周运动的半径。
圆周运动的切向加速度、法向加速度和径向加速度是描述物体在圆周路径上运动的重要物理量。
它们的存在使得物体能够保持在圆周路径上运动，并且加速或减速，从而形成各种有趣的动态现象。
在实际应用中，对于圆周运动的分析和计算十分重要。
圆周运动切向加速度和法向加速度公式
圆周运动切向加速度和法向加速度公式圆周运动是物体在圆形路径上运动的一种运动形式。
当物体在圆周运动时，其速度和加速度的方向会发生变化，其中切向加速度和法向加速度是描述速度变化的两个重要参数。
切向加速度是指物体在圆周运动中速度方向的变化率，也就是物体在圆周上的切线方向上的加速度。
它的大小可以通过以下公式计算：at = v^2 / r其中，at代表切向加速度，v代表物体的速度，r代表物体所处圆周路径的半径。
根据上述公式可以看出，切向加速度的大小正比于速度平方，反比于半径。
法向加速度是指物体在圆周运动中速度大小的变化率，也就是物体在圆周上的法线方向上的加速度。
它的大小可以通过以下公式计算：an = v^2 / r其中，an代表法向加速度。
切向加速度和法向加速度的方向是不同的。
切向加速度的方向与速度方向相切，指向速度变化的方向；而法向加速度的方向与速度方向垂直，指向圆心。
在圆周运动中，物体的速度不断变化，因此其速度的变化率即加速度也不断变化。
切向加速度和法向加速度的大小和方向都会随着速度的变化而变化。
在实际应用中，切向加速度和法向加速度具有重要意义。
例如，汽车在转弯时，需要通过调节切向加速度和法向加速度来保持行驶在圆周上平衡，否则容易发生侧翻或失控等危险情况。
在机械工程中，设计机械零件的运动轨迹时，也需要考虑到切向加速度和法向加速度对零件的影响，以保证运动的稳定和安全。
总结起来，切向加速度和法向加速度是描述物体在圆周运动中速度变化的重要参数。
它们的大小和方向都与物体的速度、半径和运动轨迹相关。
在实际应用中，切向加速度和法向加速度对于控制物体在圆周运动中的行为和稳定性具有重要意义。
圆周运动中的速度与加速度计算
圆周运动中的速度与加速度计算圆周运动是物体沿着一个圆形轨道运动的过程，它在日常生活和科学研究中都有广泛的应用。
在圆周运动中，速度和加速度是两个重要的物理量，它们对于描述物体的运动状态和变化趋势起着关键作用。
本文将从速度和加速度的概念入手，详细探讨圆周运动中的速度与加速度的计算方法。
一、速度的计算速度是描述物体在单位时间内位移的变化量，它是一个矢量量纲。
在圆周运动中，物体的速度与它所处的位置和时间有关。
我们可以通过以下公式来计算圆周运动中的速度：v = rω其中，v表示速度，r表示物体的半径，ω表示物体的角速度。
在圆周运动中，物体的速度大小等于半径与角速度的乘积。
当物体的角速度增大时，其速度也会相应增大；当物体的半径增大时，其速度也会相应增大。
这说明速度与角速度和半径之间存在着直接的线性关系。
二、加速度的计算加速度是描述物体在单位时间内速度的变化量，也是一个矢量量纲。
在圆周运动中，物体的加速度与它的速度和时间有关。
我们可以通过以下公式来计算圆周运动中的加速度：a = rα其中，a表示加速度，r表示物体的半径，α表示物体的角加速度。
在圆周运动中，物体的加速度大小等于半径与角加速度的乘积。
当物体的角加速度增大时，其加速度也会相应增大；当物体的半径增大时，其加速度也会相应增大。
这说明加速度与角加速度和半径之间存在着直接的线性关系。
三、速度与加速度的关系在圆周运动中，速度和加速度之间存在着一定的关系。
根据速度和加速度的定义，我们可以得到以下公式：a = vω其中，a表示加速度，v表示速度，ω表示角速度。
这个公式说明了加速度与速度和角速度之间的关系。
当物体的速度增大时，其加速度也会相应增大；当物体的角速度增大时，其加速度也会相应增大。
这说明加速度与速度和角速度之间存在着直接的线性关系。
四、实际应用圆周运动的速度与加速度计算在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在机械工程中，我们需要计算旋转机械的速度和加速度，以确定其工作状态和性能。
圆周运动公式推导过程
圆周运动公式推导过程匀速圆周运动证明：先把匀速圆周运动的运动轨迹用参数方程表示出来：（圆周运动圆心在坐标系原点）\begin{equation} \left\{ \begin{aligned}x(t)&=r\cos\theta \\ y(t)&=r\sin\theta \\ \end{aligned} \right. \end{equation}其中角度 \theta 为线性变化， \omega=\frac{\theta}{t}为常数，将此关系式代入参数方程求其质点运动速度，对参数方程求对时间的导数：\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} v_x(t)&=-ωr\sinωt \\ v_y(t)&=ωr\cosωt \\ \end{aligned}\right. \end{equation}求其加速度，同理：\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} a_x(t)&=-ω^2r\cosωt \\ a_y(t)&=-ω^2r\sinωt \\ \end{aligned} \right. \end{equation}那么匀速圆周运动的加速度就出来了：a_n=\sqrt{a_{x}^2+a_{y}^2}=ω^2r=\frac{v^2}{r}\rightarrowf_n=mω^2r=m\frac{v^2}{r}可以证明变速圆周运动也满足上式变速圆周运动证明：继续使用参数方程的方法证明，仅仅增加复合函数求导（链式法则）和乘法求导的内容先把变速圆周运动的运动轨迹用参数方程的形式表示出来：\begin{equation} \left\{\begin{aligned}x(t)&=r\cos[θ(t)]\\ y(t)&=r\sin[θ(t)]\\ \end{aligned} \right. \end{equation}（注意：这是复合函数的形式）写成质点位置矢量的坐标形式：\vec{r(t)}=\{x(t),y(t)\} ，模长为 r不同于匀速圆周运动，现在需要对非线性变化的角度\theta(t) 求时间的导数，因此角速度 \omega(t) 现在为变量，需要增加一个瞬时角速度定义ω(t)=\lim_{δt→0}{\frac{δθ}{δt}=\frac{\mathrm{d}θ}{\mathrm{d}t}}=\theta'(t) ，即对角度求时间的导数等于瞬时角速度对参数方程求时间的导数：\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} v_x(t)&=-rω(t)\sin[θ(t)] \\ v_y(t)&=rω(t)\cos[θ(t)] \\\end{aligned} \right. \end{equation}写成速度矢量的坐标形式：\vec{v(t)}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=\{v_{ x}(t),v_{y}(t)\} ，模长为 v(t)=r\omega(t)（由曲线运动的性质可知，速度总是沿着曲线的切线方向）继续对时间继续导数，出现了要对角速度求导数，增加了一个角加速度定义\alpha(t)=\lim_{δt→0}{\frac{δ\omega}{δt}}=\frac{\m athrm{d}\omega}{\mathrm{d}t}=\omega'(t) ，即角速度对时间的导数等于角加速度求导可得变速运动的合加速度分量表达式：\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} a_x(t)&=-(rα(t)\sin[θ(t)]+rω^2(t)\cos[θ(t)]) \\ a_y(t)&=rα(t)\cos[θ(t)]-rω^2(t)\sin[θ(t)] \\ \end{aligned} \right. \end{equation}写成矢量的坐标形式：\vec{a(t)}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=\{a_{ x}(t),a_{y}(t)\}最后一步，要将合加速度向垂直于速度方向和半径方向进行分解才能分别得到切向加速度和法向加速度，可以利用矢量（向量）标量积（数量积）的几何意义，将加速度向两个互相垂直的单位矢量进行投影，可得：切向加速度：（数值）\begin{equation} \begin{aligned} a_{τ} &=\vec{a}·\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}\\&=a_{x}\frac{v_{x}}{v}+a_{y}\frac{v_{y}}{v}\\ &=-a_{x}\sin(\theta)+a_{y}\cos(\theta)\\ &=\alpha(t) r\\ \end{aligned} \end{equation}法向加速度：（数值）\begin{equation} \begin{aligned} a_{n} &=\vec{a}·\frac{\vec{r}}{|\vec{r}|}\\&=a_{x}\frac{x_{x}}{r}+a_{y}\frac{x_{y}}{r}\\&=a_{x}\cos(\theta)+a_{y}\sin(\theta)\\ &=-\omega^2(t) r\\ \end{aligned} \end{equation}（出现负号代表法向加速度方向与位置矢量方向相反，指向圆心）至此可以看出和匀变速圆周运动下的公式相同再补一个用矢量微积分来证明的方法：利用矢量叉乘求导公式：\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\vec{a}×\vec{b})=\frac{\mathrm{d}\vec{a}}{\mathrm{d}t}×\vec{b}+\vec{a}×\frac{\mathrm{d}\vec{b}}{\mathrm{d}t}\vec{a}×(\vec{b}× \vec{c})=\vec{b}(\vec{a} ·\vec{c})-\vec{c}(\vec{a} ·\vec{b}) ，可以简单的记成back-cab原则在圆周运动中： \vec{v}= \vec{ω}×\vec{r} ，\vec{ω}·\vec{r}=\vec{r}·\vec{ω} =0下面开始证明：\begin{equation} \begin{aligned}\vec{a}&=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}\\&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\vec{ω}×\vec{r}) \\&=\frac{\mathrm{d}\vec{ω}}{\mathrm{d}t}×\vec{r}+ \vec{ω}×\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}\\&=\vec{α}×\vec{r}+\vec{ω}×\vec{v}\\&=\vec{a_{τ}}+\vec{a_{n}} \end{aligned}\end{equation}可得：切向加速度：\vec{a_{τ}}= \vec{α}×\vec{r}\begin{equation} \begin{aligned} 法向加速度：\vec{a_{n}}&= \vec{ω}×\vec{v} \\&=\vec{ω}×(\vec{ω}×\vec{r}) \\&=\vec{ω}(\vec{ω} ·\vec{r})-\vec{r}(\vec{ω} ·\vec{ω}) \\&=-ω^2\vec{r} \end{aligned} \end{equation}。
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圆周运动加速度的矢量法推导
作者：董雯雯李江林
来源：《新教育时代·教师版》2016年第23期
摘要：对圆周运动的加速度进行推导，以期帮助广大学生对此有深入的理解。
关键词：圆周运动；加速度
一、加速度的概念
瞬时速度的引入是为了精细地反映物体的运动情况，而为了描述速度变化的快慢和方向，物理学中提出了加速度的概念。
设某物体在 t时刻的速度为 v
2.非匀速圆周运动
小球沿圆周做非匀速运动，顾名思义即速度的大小发生变化且速度的方向也发生变化，可以做出非匀速圆周运动的速度矢量图，如图 2。
三、结论
文章对圆周运动从匀速圆周运动和非匀速圆周运动的加速度进行推导。
对匀速圆周运动通过矢量分析，得出向心加速度的大小与运动速率有关，方向始终指向圆心。
对非匀速圆周运动，主要运用极限思想和数学思想，得出非匀速圆周运动的加速度是由切向加速度和法向加速度合成，切向加速度反映速度大小改变的快慢，而法向加速度表示速度方向改变的快慢。