河北省普通高中高二数学学业水平考试模拟试题
2023年3月河北省高中数学学业水平合格考试卷六(含答案详解)
2023年3月河北省普通高中学业水平合格性考试数学模拟试卷（六）一、选择题（本题共30小题，每题3分，共90分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知R 是实数集，集合{314},{10}A xx B x x =-<+≤=->∣∣，则下图中阴影部分表示的集合是（）A ．{43}x x -<≤∣B ．{41}x x -<<∣C ．{13}xx <≤∣D ．{}4xx ≤-∣2．若a b >，c d >则（）A ．a c b d +>+B ．a c b d ->-C ．ac bd>D ．ad bc>3．设集合{|04}A x x =<<,{2,3,4,5,6}B =，则A B = （）A ．{2}B ．{2,3}C ．{3,4}D ．{2,3,4}4．已知某圆柱体的底面半径为2，高为3，则该圆柱体的侧面的面积为（）A ．3πB ．6C ．6πD ．12π5．下列统计量可用于度量样本1x ，2x ，3x ......，n x 离散程度的是（）A ．1x ，2x ，3x ......，n x 的众数B ．1x ，2x ，3x ......，n x 的中位数C ．1x ，2x ，3x ......，n x 的极差D ．1x ，2x ，3x ......，n x 的平均数6．若()31i 2i z +=，则z =（）A ．iB ．1i+C ．1i-+D ．22i-+7．从2022年北京冬奥会、冬残奥会志愿者的30000人中随机抽取10人，测得他们的身高分别为（单位：cm ）：162、153、148、154、165、168、172、171、170、150，根据样本频率分布估计总体分布的原理，在所有志愿者中任抽取一人身高在155.5cm －170.5cm 之间的人数约为（）A ．18000B ．15000C ．12000D ．100008．向量0a b ⋅= 是a b ⊥的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要9．设复数i1iz =+，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．已知向量a ，b满足1a = ，2b = ，a b -=，则2a b -等于（）A ．B C D ．11．已知2x >，则函数42y x x =+-的最小值是（）A ．8B ．6C ．4D ．212．将函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移ϕ个单位后，得到的函数图象关于y 轴对称，则ϕ的可能取值为（）A ．3πB ．6πC ．23πD ．2π13．已知三棱锥-P ABC 的棱AB ，AC ，AP 两两互相垂直，AB AC AP ===A 为球心，1为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到的交线最长为（）A ．π2B C ．3D 14．函数2x y a a a =-+（0a >且1a ≠）的图象不可能是A ．B ．C ．D ．15．若函数()f x 的定义域是[0,4]，则函数()2()1f xg x x =-的定义域是（）A ．{|02x x ≤≤且}1x ≠B ．{|02x x <<且}1x ≠C ．{|08x x ≤≤且}1x ≠D ．{|08x x <<且}1x ≠16．已知四棱锥S ABCD -的所有顶点都在同一球面上，底面ABCD 是正方形且和球心O 在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于4+O 的体积等于（）A ．3B ．3C D ．317．直角坐标平面中除去两点(1,1)A ､(2,2)B -可用集合表示为（）A ．{(,)|1,1,2,2}x y x y x y ≠≠≠≠-B ．1{(,)|1x x y y ≠⎧⎨≠⎩或2}2x y ≠⎧⎨≠-⎩C ．2222{(,)|[(1)(1)][(2)(2)]0}x y x y x y -+--++≠D ．2222{(,)|[(1)(1)][(2)(2)]0}x y x y x y -+-+-++≠18．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .)cos cos sin c B b C a A +=，ABC 的面积)222S a b c =+-，当a =时，ABC 的内切圆的面积为（）A ．4πB ．3πC ．2πD ．π19．已知三棱锥S ABC -为正三棱锥，且6AB =，SA =，点M 、N 是线段AC 、SB 的中点，平面α与平面SBC 没有公共点，且A ∈平面α，若l 是平面α与平面ABC 的交线，则直线l 与直线MN 所成角的正切值为（）A B C D 20．将函数2()2sin cos cos 2cos 1sin 222x x xf x ϕϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭||2πϕ⎛⎫< ⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象，且函数()g x 的图象关于y 轴对称，则6g π⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．2B ．12C ．D ．12-21．已知函数3()log 3f x x x =+，()33x g x x =+，3()3h x x x =+的零点分别1x ，2x ，3x ，则1x ，2x ，3x 的大小关系为（）A ．231x x x <<B ．123x x x <<C ．213x x x <<D ．321x x x <<22．已知定义在R 上的函数()[]f x x m =+，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，m R ∈，给出下列四种说法：①m ∃∈R ，使得()f x 是一个增函数；②m ∃∈R ，使得()f x 是一个奇函数；③m ∃∈R ，使得()f x 在区间[0,1]上有唯一零点.其中，正确的说法个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．323．已知,,(0,)x y t ∈+∞，且11tx y+=，A ．当2t =时，当且仅当2x y ==时，2x y +有最小值B ．当8t =时，当且仅当253x y ==时，2x y +的最小值为25C ．若2x y +的最小值为9，则t 的值为2D ．若2x y +的最小值为25，则t 的值为624．甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．甲先投且先投中者获胜，约定有人获胜或每人都已投球2次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响．则投篮结束时，乙只投了1个球的概率为（）A ．13B ．49C ．59D ．2325．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 分别是棱11C D 、11B C 的中点，P 是上底面1111D C B A 内一点，若//AP 平面BDEF ，则线段AP 长度的取值范围是（）A ．⎣B ．⎣⎦C ．⎣D ．⎣26．已知函数()()2log 41x f x ax =++是偶函数，函数()()22222f x x xg x m -=++⋅的最小值为3-，则实数m 的值为（）A ．3B ．52-C ．2-D ．4327．已知函数()sin (0)f x x ωω=>在区间2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且|()|1f x =在区间[]0,π上有且仅有一个解，则ω的取值范围是（）A ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．33,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．13,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦28．定义空间两个向量的一种运算sin ,a b a b a b ⊗=⋅，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（）A ．()()a b a b λλ⊗=⊗ B ．()()a b c a b c ⊗⊗=⊗⊗ C ．()()()a b c a c b c+⊗=⊗+⊗ D ．若()11,a x y =r ，()22,b x y =r，则1221a b x y x y ⊗=-29．若对任意实数0,0x y >>，不等式()x a x y ≤+恒成立，则实数a 的最小值为（）A ．12B 1-C 1+D ．1230．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭，3B π=，则a c +的取值范围是（）A ．⎝B ．32⎛ ⎝C ．⎣D ．32⎡⎢⎣二、解答题（本题共1题，共10分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）31．已知平面向量1232a e e =-+ ，125b e e =+，其中()11,0e =u r ，()20,1e =u r ．(1)求a 与b的夹角θ；(2)若1242c e e =- 与ka b +共线，求实数k 的值．1．D 【分析】化简集合A ，B ，根据给定的韦恩图，结合补集、交集的定义求解作答.【详解】依题意，{43},{1}A xx B x x =-<≤=<∣∣，由韦恩图知，阴影部分表示的集合是R ()ðA B ，而R {|4A x x =≤-ð或3}x >，所以{}R 4()xA B x =≤- ∣ð.故选：D 2．A 【分析】根据不等式的性质，或代入特殊值判断选项.【详解】A.根据不等式的性质可知，A 正确；B.若11>-，22>-，()1212-<---，可知B 不正确；C.若11>-，22>-，()()1212⨯=-⨯-，故C 不正确；D.若11>-，22>-，()()1212⨯-=-⨯，故D 不正确.故选：A 3．B 【分析】根据交集的概念可得答案.【详解】A B = {2,3}.故选：B 4．D 【分析】根据侧面积公式求解即可【详解】由题意，则该圆柱体的侧面的面积为22312ππ⨯⨯=故选：D 5．C 【分析】利用众数、中位数、极差、平均数的定义以及含义分析即可求解.【详解】解：众数是指统计分布上具有明显集中趋势的数值，代表数据的一般水平；中位数是统计数据中选取中间的数，是一种衡量集中趋势的数值；极差是用来表示统计资料中的变异数量，反应的是最大值与最小值之间的差距，刻画一组数据的离散程度；平均数是反应数据的平均水平是一种衡量集中趋势的数值.故选：C 6．C 【分析】利用复数运算性质计算即可【详解】32i 2i 2i(1i)=1i 1i 1i 2z +===-++-故选：C 7．C 【分析】根据给出的数据算出事件发生的概率，再乘以总数即可.【详解】在随机抽取10人中，身高在155.5cm －170.5cm 之间的人数为4人，所以从所有志愿者中任抽取一人身高在155.5cm －170.5cm 的概率为42=105，所以从2022年北京冬奥会、冬残奥会志愿者的30000人中随机抽取一人身高在155.5cm －170.5cm 之间的人数约为230000=120005⨯人.故A ，B ，D 错误.故选：C.8．B 【分析】利用数量积的定义||||cos ,a b a b a b ⋅=<>判断即可【详解】由题意，向量垂直是对非零向量而言的，故充分性不成立；若a b ⊥ ，则,2a b π<>= ，cos ,0a b <>= ，故||||cos ,0a b a b a b ⋅=<>= 因此必要性成立故向量0a b ⋅= 是a b ⊥的充要条件故选：B 9．D 【分析】先求出z ，再求出z ，直接得复数z 在复平面内对应的点.【详解】()()()i 1i i 11i 1i 1i 1i 22z -===+++-，则11i 22z =-∴z 在复平面内对应的点为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第四象限故选：D.10．A 【分析】通过平方的方法，结合向量数量积运算求得正确答案.【详解】由a b -=得a b -==两边平方得222525,0a a b b a b a b -⋅+=-⋅=⋅=，所以2a b -.故选：A 11．B 【分析】根据基本不等式可求得最小值．【详解】∵2x >，∴442+24+2622y x x x x =+=+-≥==--，当且仅当422x x =--，即4x =时等号成立．∴y 的最小值是6．故选：B ．12．A 【分析】先求得平移后的函数为cos 223y x πϕ⎛⎫=++ ⎝⎭，再根据余弦函数的对称性列式求解即可【详解】将函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移ϕ个单位后，得到函数()cos 2cos 2233y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，因为图象关于y 轴对称，所以23k πϕπ+=，k ∈Z ，则26k ππϕ=-，k ∈Z 故选：A.13．D 【分析】由条件可得球A 与三棱锥的表面,,ABC APC APB 的交线均为以点A 为顶点，半径为1，圆心角为π2的圆弧，然后利用等体积法算出点A 到平面PBC 的距离，然后可得球A 与表面PBC的交线为以PBC .【详解】因为三棱锥-P ABC 的棱AB ，AC ，AP 两两互相垂直，AB AC AP ===所以球A 与三棱锥的表面,,ABC APC APB 的交线均为以点A 为顶点，半径为1，圆心角为π2的圆弧，其长度为π2，设点A 到平面PBC 的距离为d ，因为AB AC AP ==，所以PBC 是边长为2的等边三角形，由P ABC A PBC V V --=可得11112232322d ⨯⨯⨯⨯⨯⨯，解得3d =，所以球A 与表面PBC 的交线为以PBC =的圆，其长度为3，因为π32>，所以以顶点A 为球心，1为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到的交线最长为故选：D 14．D 【解析】分两类，当01a <<时，和1a >进行讨论，即可得到答案.【详解】当01a <<时，函数2x y a a a =-+为减函数，取0x =时，函数值22155244y a a a a ⎛⎫=-+=--+= ⎪⎝⎭，又01a <<，所以2021551244a a a a ⎛⎫<-+=--+≤ ⎪⎝⎭故C选项符合题意，D 选项不符合题意；当1a >时，函数2x y a a a =-+为增函数，取0x =时，函数值221524y a a a a ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，又1a >，所以20215124a a a a ⎛⎫-+=--+< ⎪⎝⎭，故A 选项符合题意，B 选项也符合题意.故选：D.【点睛】本题考查函数的图象的识别，分类讨论，属于基础题.15．A 【解析】由函数()f x 的定义域是[0,4]，可得04x ≤≤，从而024x ≤≤，解得02x ≤≤，所以函数()2f x 的定义域是[0,2]，又10x -≠，得1x ≠，取交集可得函数()21f x x -的定义域，即可得到答案.【详解】由函数()f x 的定义域是[0,4]，可得04x ≤≤，从而024x ≤≤，解得02x ≤≤，所以函数()2f x 的定义域是[0,2]又10x -≠，得1x ≠，函数()2()1f xg x x =-的定义域是{|02x x ≤≤且}1x ≠故选：A.【点睛】方法点睛：求抽象函数的定义域的方法：（1）已知()f x 的定义域为[,]a b ，求[]()f g x 的定义域：求不等式()a g x b ≤≤的解x 的范围，即为[]()f g x 的定义域；（2）已知[]()f g x 的定义域为[,]a b ，求()f x 的定义域：由a x b ≤≤确定()g x 的取值范围，即为()f x 的定义域.（3）已知[]()f g x 的定义域，求[]()f h x 的定义域：先由[]()f g x 的定义域，求得()f x 的定义域，再由()f x 的定义域，求得[]()f h x 的定义域.16．C 【分析】由条件可得球心O 为正方形ABCD 的中心，当此四棱锥的高为球的半径时，此四棱锥体积取得最大值.设球O 的半径为R ,则AB ==，可得SBC △为等边三角形，根据条件可得R =.【详解】四棱锥S ABCD -的所有顶点都在同一球面上，底面ABCD 是正方形且和球心O 在同一平面内,所以球心O 为正方形ABCD 的中心，当此四棱锥的高为球的半径时，此四棱锥体积取得最大值.此时四棱锥为正四棱锥.设球O 的半径为R ，则AB ==,SB =SBC △为等边三角形，则221sin 602SBC S SB ==所以此四棱锥的表面积为22424SBC ABCD S S R +=+=+所以R =O 的体积3433V R π==.故选：C.【点睛】本题考查四棱锥的表面积和外接球的体积问题，属于中档题.17．C 【解析】直角坐标平面中除去两点(1,1)A ､(2,2)B -，其余的点全部在集合中，逐一排除法．【详解】直角坐标平面中除去两点(1,1)A 、(2,2)B -，其余的点全部在集合中，A 选项中除去的是四条线1,1,2,2x y x y ====-；B 选项中除去的是(1,1)A 或除去(2,2)B -或者同时除去两个点，共有三种情况，不符合题意；C 选项2222{(,)|[(1)(1)][(2)(2)]0}x y x y x y -+--++≠，则22(1)(1)0x y -+-≠且22(2)(2)0x y -++≠，即除去两点(1,1)A ､(2,2)B -，符合题意；D 选项2222{(,)|[(1)(1)][(2)(2)]0}x y x y x y -+-+-++≠，则任意点(),x y 都不能2222[(1)(1)][(2)(2)]0x y x y -+-+-++=，即不能同时排除A ，B 两点．故选：C 【点睛】本题考查了集合的基本概念，考查学生对集合的识别，属于中档题．18．D 【分析】利用三角形的面积公式与余弦定理可求得tan C 的值，进而可求得角C ，利用正弦定理结合两角和的正弦公式可求得sin A 的值，可求得角A 的值，可判断ABC 的形状，利用等面积法可求得ABC 的内切圆的半径，结合圆的面积公式可求得结果.【详解】)cos cos sin 2c B b C a A +=，由正弦定理可得)()2sin sin cos cos sin A B C B C B C A =+=+=，()0,A π∈ ，则sin 0A >，故sin A =，因为)222S a b c =+-，则1sin 2cos cos 242ab C ab C C ==，则tan C =()0,C π∈ ，故3C π=，则203A π<<，因此，3A π=，所以，ABC 为等边三角形，设等边ABC 的内切圆半径为r ，则()12ABCS a b c r =++△，则2224136ABC S r a a b c a ====++△，因此，ABC 的内切圆的面积为2r ππ=.故选：D.19．D 【分析】由题意可知平面//α平面SBC ，利用面面平行的性质定理可得出//l BC ，然后取线段AB 的中点D ，连接DM 、DN ，可得出//DM BC ，由此可得出直线l 与直线MN 所成的角为DMN ∠或其补角，在 Rt DMN 中计算出tan DMN ∠，即可得解.【详解】因为平面//α平面SBC ，平面α 平面=ABC l ，平面SBC I 平面ABC BC =，所以//l BC ，取AB 中点D ，连接DM ，DN ，D 、M 分别为AB 、AC 的中点，则//DM BC ，所以//l DM ，同理//DN SA ，所以异面直线l 和MN 所成角即为DMN ∠或其补角.取BC 中点O ，则SO BC ⊥，AO BC ⊥，又SO AO O = ，所以BC ⊥平面SOA ，又SA ⊂平面SOA ，所以BC SA ⊥，所以DM DN ⊥.在 Rt DMN 中，132DM BC ==，12DN SA =，所以tan 3DN DMN DM ∠==.所以直线l 和MN 所成角的正切值为3，故选：D.【点睛】本题考查异面直线所成角的正弦值的计算，考查了面面平行性质定理的应用，考查计算能力，属于中等题.20．A 【分析】根据三角函数的二倍角公式和和差角公式先对函数()f x 化简为()()sin f x x ϕ=+，再由图象的平移得出函数()g x 的解析式，由函数的对称性可求得ϕ，可得选项.【详解】函数()()22sin cos cos 2cos 1sin sin cos cos sin sin 222x xxf x x x xϕϕϕϕϕ⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为()sin 3g x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.由()sin 3g x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称，可得()g x 为偶函数，故32k ππϕπ+=+，Z k ∈，即6k πϕπ=+，Z k ∈.又2πϕ<，故6πϕ=，可得函数()sin cos 2g x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，则6g π⎛⎫= ⎪⎝⎭故选:A.【点睛】本题考查三角函数的恒等变形，三角函数的图象平移，三角函数的奇偶性和对称性，属于中档题.21．A 【分析】先判断出三个函数的单调性，再分别判断三个函数函数值的正负情况，得出零点的值或范围，即可得到答案．【详解】解：因为函数3()log 3f x x x =+，()33x g x x =+，3()3h x x x =+，所以函数()f x ，()g x ，()h x 均为增函数，当0x >时，()330x g x x =+>恒成立，故()g x 的零点小于0，即20x <，当1x >时，3()log 30f x x x =+>恒成立，当13x =时，()0f x =，所以113x =，当0x =时，()0h x =，故30x =，故231x x x <<．故选：A ．22．B 【分析】举反例(0)(0.5)f f =和()0.50f =，()0.51f -=-，得到①②错误，计算1m =-满足有唯一零点，得到答案.【详解】①(0)[0]f m m =+=，(0.5)[0.5]f m m =+=，故①错误；②若m ∃∈R ，使得()f x 是一个奇函数，则(0)[0]0f m m =+==，()[]f x x =，()0.50f =，()0.51f -=-，故假设不成立，②错误；③当[)0,1x ∈时，()[]f x x m m =+=，当1x =时，()[]1f x x m m =+=+，当1m =-时，满足()f x 在区间[0,1]上有唯一零点，③正确.故选：B.23．C 【解析】当2t =时，121x y +=，()1222x y x y x y ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭展开后利用基本不等式即可判断A ；当当8t =时，181x y +=，()2812x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭展开后利用基本不等式即可判断B ；()12212122122x y x y t t t x y x t y txy ⎛⎫+=++=+++≥++++ ⎪⎝⎭，分别令129t ++和1225t ++即可求出t 的值，可判断选项C 、D ，进而可得正确选项.【详解】对于选项A ：当2t =时，121x y+=，()122225259x x y x y x y x y y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当12122x y y x x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即3x y ==时等号成立，所以3x y ==时，2x y +有最小值，故选项A 不正确；对于选项B ：当8t =时，181x y+=，()188********25xx y x y x y x y y ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当18128x y y x xy ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即510x y =⎧⎨=⎩时等号成立，所以510x y =⎧⎨=⎩时，2x y +有最小值，故选项B 不正确；对于选项C ：()12212221x y x t y tx y t t x y x y ⎛⎫+=++=+++≥++ ⎪⎝⎭12t =++129t ++即0==，即2t =，当且仅当12122x y y x x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即3x y ==时等号成立，所以2t =，故选项C 正确；对于选项D ：()12212221x y x t y tx y t t x y x y ⎛⎫+=++=+++≥++ ⎪⎝⎭12t =++1225t ++即0+==，即8t =，当且仅当12128x y y x x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即510x y =⎧⎨=⎩时等号成立，所以8t =，故选项D 不正确；故选：C 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.24．B 【分析】根据题意，乙只投了1个球包括甲未投进乙投进结束，甲未投进乙未投进甲再投投进结束两个互斥事件的和，由互斥事件的和的概率及独立事件同时发生的概率求解.【详解】设k A ，k B 分别表示甲、乙在第k 次投篮时投中，则()13k P A =，()12k P B =，（1k =，2），记“投篮结束时，乙只投了1个球”为事件D ．则()()()()()()()()1111111212P D P A B P A B A P A P B P A P B P A =+=+212114.323239=⨯+=故选：B 25．C 【解析】分别取11A D 、11A B 的中点M 、N ，连接AM 、AN 、MN 、FM ，推导出平面//AMN 平面BDEF ，可得出点P 的轨迹为线段MN ，进而可求得线段AP 长度的取值范围.【详解】如下图所示，分别取11A D 、11A B 的中点M 、N ，连接AM 、AN 、MN 、FM ，因为四边形1111D C B A 为正方形，则1111//B A C D 且1111A D B C =，因为M 、F 分别为11A D 、11B C 的中点，则11//A M B F 且11A M B F =，所以，四边形11A B FM 为平行四边形，则11//A B MF 且11A B MF =，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AB A B 且11AB A B =，//AB MF ∴且AB MF =，所以四边形ABFM 为平行四边形，可得//AM BF ，AM ⊄ 平面BDEF ，BF ⊂平面BDEF ，//AM ∴平面BDEF ，同理可证//AN 平面BDEF ，AM AN A = ，所以，平面//AMN 平面BDEF ，在线段MN 上任取一点P ，则AP ⊂平面AMN ，//AP ∴平面BDEF ，即点P 的轨迹为线段MN ，在AMN 中，AM AN ==MN =，当AP MN ⊥时，即当P 为MN 的中点，AP 的长度取最小值，即min2AP =，当点P 与点M 或点N 的重合时，AP 的长度取最大值，即max AP AM ==.因此，线段AP 长度的取值范围是2⎡⎢⎣.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查线段长度取值范围的求解，解题的关键就是利用//AP 平面BDEF 推测出点P 的轨迹，一般利用线面平行的性质或面面平行的性质来找出动点P 的轨迹，在确定点P 的轨迹后，再利用几何知识求解.26．B 【分析】利用函数的奇偶性求出参数，在利用换元法把问题转化为含参的二次函数问题，再通过讨论参数来处理二次函数轴动区间定的问题进行求解.【详解】因为函数()()2log 41xf x ax =++是偶函数，所以()()f x f x -=，即()()22log 41log 41x x ax ax -+-=++，所以()()222log 41log 410x x ax -++-+=，其中()()()()()22222241441441log 41log 41log log log log 424141414x x x x x x xx x x x xx ---+⋅+⋅++-+====+++⋅，所以220ax x +=，解得1a =-，所以()()2log 41xf x x =+-，所以()()2log 414122222x x xf x x x x +--+===+，故函数()()222222x x x xg x m --=+++的最小值为3-．令22x x t -+=，则2t ≥，故函数()()222222x x x xg x m --=+++的最小值为3-等价于()()222h t t mt t =+-≥的最小值为3-，等价于()222223mh m ⎧-≤⎪⎨⎪=+=-⎩或22 22324mm m h ⎧->⎪⎪⎨⎛⎫⎪-=--=- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得52m =-．故A ，C ，D 错误.故选：B ．27．D 【分析】先利用整体代换思想以及正弦函数的单调递增区间求出函数()f x 的单调递增区间，结合集合的包含关系求出ω的范围，然后再利用正弦函数取最大值的性质可再得一个ω的范围，两个范围取交集即可求解.【详解】令2,222x k k ππωππ⎡⎤∈-+⎢⎣⎦，解得22,22k k x ππππωωωω⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈，而函数()sin (0)f x x ωω=>在区间2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以223230ππωππωω⎧-≤-⎪⎪⎪≥⎨⎪>⎪⎪⎩，解得304ω<≤，当[]0,x π∈时，[]0,x ωω∈π，因为|()|1f x =在区间[]0,π上有且仅有一个解，所以232πωππωπ⎧≥⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，解得1322ω≤<.综上所述，ω的取值范围是1324ω≤≤.故选：D.【点睛】本题的核心是利用整体思想，首先根据正弦函数的单调性，以及已知单调性得ω的一个取值范围；然后根据取最值的个数，求得ω的另一个范围.这里要注意，|()|1f x =说明()1f x =±，而根据题意，|()|1f x =只有一个解，所以()f x 只能取一个值，而根据函数本身的图象可以发现()f x 只能等于1.如果能够取到1-，那么根据自变量的范围，此时()f x 肯定也可以取1，所以舍去.28．D【分析】A ．按λ的正负分类讨论可得，B ．由新定义的意义判断，C ．可举反例说明进行判断，D ．与平面向量的数量积进行联系，用数量积求出两向量夹角的余弦值，转化为正弦值，代入计算可判断．【详解】A ．()sin ,a b a b a b λλλ⊗=<> ，0λ>时，,,a b a b λ<>=<> ，()sin ,()a b a b a b a b λλλ⊗=<>=⊗ ，0λ=时，()()0,0a b a b λλ⊗=⊗=，成立，0λ<时，,,a b a b λπ<>=-<>，sin ,sin(,)sin ,a b a b a b λπ<>=-<>=<>()sin ,()a b a b a b a b λλλ⊗=-<>=-⊗ ，综上，A 不恒成立；B ．a b ⊗ 是一个实数，()a b c ⊗⊗ 无意义，B 不成立；C ．若(0,1),(1,0)a b == ，(1,1)c = ，则(1,1)a b += ，,0a b c <+>= ，()sin 000a b c a b c +⊗=+== ，,,,44a c b c ππ<>=<>= ，()()1sin 1sin 244a cbc ππ⊗+⊗=+= ，()()()a b c a c b c +⊗≠⊗+⊗ ，C 错误；D ．若()11,a x y =r ，()22,b x y =r，则a =b =cos ,a b <>=，sin ,a b <>== ，所以1221sin ,a b a b a b x y x y ⊗=<>=- ，成立．故选：D ．【点睛】本题考查向量的新定义运算，解题关键是理解新定义，并能运用新定义求解．解题方法一种方法是直接利用新定义的意义判断求解，另一种方法是把新定义与向量的数量积进行联系，把新定义中的sin ,a b <> 用cos ,a b <> ，而余弦可由数量积进行计算．29．D【分析】分离变量将问题转化为a 0,0x y >>的最(0)t t =>及1(1)t m m +=>，然后通过基本不等式求得答案.【详解】由题意可得，a 0,0x y >>恒成立，1x =+(0)t t =>2111t t x +=++，再设1(1)t m m +=>，则22111(1)1t m y t m x+===++-+212222m m m m m =-++-12≤==，当且仅当21m m ==时取得“=”.所以212a ≥，即实数a故选：D.30．A 【分析】利用三角恒等变换及正弦定理将cos cos sin sin()sin B C A A C b c C⎛⎫++= ⎪⎝⎭进行化简，可求出b 的值，再利用边化角将a c +化成角，然后利用辅助角公式及角的范围即可得到答案.【详解】由题知cos cos sin sin()sin B C A A C bc C ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，3B π=∴cos cos sin sin sin B C A B b c C⎛⎫+= ⎝⎭即cos cos 3sin B C A b c C+=由正弦定理化简得∴sin cos cos 3sin 3A cB bC C ⋅+⋅==∴sin cos cos sin C B C B +=∴sin()sin B C A +==∴b = 3B π=∴1sin sin sin a b c A B C===∴23sin sin sin sin()sin )326a c A C A A A A A ππ+=+=+-==+ 203A π<<∴5666A πππ<+<∴26A π<+≤即2a c <+≤故选：A .【点睛】方法点睛：边角互化的方法（1）边化角：利用正弦定理2sin sin sin a b c r A B C===（r 为ABC 外接圆半径）得2sin a r A =，2sin b r B =，2sin c r C =；（2）角化边：①利用正弦定理：sin 2a A r =，sin 2b B r =，sin 2c C r=②利用余弦定理：222cos 2b c a A bc+-=31．(1)3π4;(2)7-.【分析】（1）根据向量的坐标运算及向量的夹角公式计算求解即可；（2）由共线向量的坐标表示求解即可.【详解】（1）因为()11,0e =u r ，()20,1e =u r ，所以1232(3,2)a e e =-+=- ，125(5,1)b e e =+= ，35213a b →→⋅=-⨯+=-，||||a b →→==，cos2||||a ba b θ→→→→⋅∴==-，0θπ≤≤Q ，3π4θ∴=.（2）1242(4,0)(0,2)(4,2)c e e =-=-=- ，(3,2)(5,1)(53,21)ka b k k k +=-+=-+ ，1242c e e =- 与ka b + 共线，4(21)2(53)0k k ∴++-=，解得7k =-.即实数k 的值为7-.。
2023年河北省普通高中学业水平合格性考试数学试题
一、单选题二、多选题1. 已知抛物线的焦点为F ，C上一点满足，则抛物线C 的方程为（ ）A．B．C．D．2. 已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．3. 若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b4. 已知，，，则（ ）A．B．C．D．5. 已知椭圆(a >b >0)的离心率为，则＝（ ）A．B．C．D．6. 已知双曲线的一条渐近线的方程为，则的值为（ ）A．B．C ．4D ．67. 已知函数的零点为m ，若存在实数n 使且，则实数a 的取值范围是（ ）A．B．C．D．8. 设F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点，使，O 为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（ ）.A．B．C．D．9.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P 在双曲线的右支上，现有四个条件：①；②；③PO 平分；④点P 关于原点对称的点为Q ，且，能使双曲线Ｃ的离心率为的条件组合可以是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④10.如图，在四棱柱中，平面，，，，为棱上一动点，过直线的平面分别与棱，交于点，，则下列结论正确的是（）A ．对于任意的点，都有B ．对于任意的点，四边形不可能为平行四边形C ．存在点，使得为等腰直角三角形D ．存在点，使得直线平面2023年河北省普通高中学业水平合格性考试数学试题三、填空题四、解答题11. 已知函数对都有，若函数的图象关于直线对称，且对，当时，都有，则下列结论正确的是（ ）A．B ．是偶函数C ．是周期为4的周期函数D．12. 某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这名学生中，成绩位于内的学生成绩方差为，成绩位于内的同学成绩方差为.则（ ）参考公式：样本划分为层，各层的容量､平均数和方差分别为：、、；、、.记样本平均数为，样本方差为，.A．B．估计该年级学生成绩的中位数约为C．估计该年级成绩在分及以上的学生成绩的平均数为D．估计该年级成绩在分及以上的学生成绩的方差为13. 已知集合，集合，若，则______.14.已知展开式的二项式系数之和为256，则其展开式中的系数为_____________.（用数字作答）15.设空间向量，，且，则______，______．16.已知函数.(1)当时，求函数的单调区间；(2)是否存在正整数m ，使得恒成立，若存在求出m 的最小值，若不存在说明理由.17. 2023年春节期间，科幻电影《流浪地球2》上映，获得较好的评价，也取得了很好的票房成绩．某平台为了解观众对该影片的评价情况（评价结果仅有“好评”“差评”），从平台所有参与评价的观众中随机抽取200人进行调查，数据如下表所示（单位：人）：好评差评合计男性8030110女性306090合计11090200(1)判断是否有99.9%的把握认为对该部影片的评价与性别有关？(2)若将频率视为概率，从所有给出“差评”的观众中随机抽取3人，用随机变量X 表示被抽到的男性观众的人数，求X 的分布列和数学期望．参考公式：，其中．参考数据：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.841 5.024 6.6357.87910.82818. 如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面．（1）求证：平面平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．19. 小强和小基两位同学组成“联盟队”参加两轮猜灯谜活动.每轮活动由小强、小基各猜一个灯谜，他们猜对与否互不影响.若两人都猜对，则得3分；若仅一人猜对，则得1分；若两人都没猜对，则得0分.已知小强每轮猜对的概率是，小基每轮猜对的概率是，各轮结果互不影响.(1)求“联盟队”猜对4个灯谜的概率；(2)求“联盟队”两轮得分之和的分布列和数学期望.20. 已知函数.(1)讨论的单调性.(2)若存在两个零点，且曲线在和处的切线交于点.①求实数的取值范围；②证明：.21. 如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1ACC1⊥平面ABC，△ABC和△A1AC都是正三角形，D是AB的中点（1）求证：BC1∥平面A1DC；（2）求直线AB与平面DCC1所成角的正切值.。
2025年高中数学学业水平合格性考试模拟试卷试题(含答案解析)
2025年普通高中学业水平合格性考试数学模拟试卷满分150分，考试用时90分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共12题，每小题6分，共计72分。
每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）1．已知集合{}{}21,0,1,2,3,230M N x x x =-=--<，则M N = （）A ．{}1,0,1-B ．{}1,0,1,2,3-C ．{}0,1,2D ．{}1-2．函数()21,0,3,0,xx x f x x +<⎧=⎨≥⎩则()2f =（）A ．3B ．6C ．9D ．123．函数()11f x x =-的定义域为（）A ．RB ．{}1xx ≠∣C ．{}3xx ≠∣D ．∅4．函数π3sin 2,4y x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R 的最大值为（）A ．1B ．2C ．3D ．45．在ABC V 中，1,45AB AC BAC ∠===，则BC =（）A ．1B CD ．26．不等式220x x --<的解集是（）A ．{|12}x x -<<B ．{|1x x <-或2}x >C ．{|2x x <-或1}x >D ．{|21}x x -<<7．若直线l 的方程是230x y +-=，则这条直线的斜率k =（）118．已知向量()()1,2,2,4a b ==-- ，则23a b +=rr （）A ．()5,10--B ．()4,8--C ．()3,6--D ．()2,4--9．若()()224230a x a x -+++=是关于x 的一元一次方程，则21a +的值为（）A ．5B ．3-C ．3-或5D ．210．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，与平面11AA B B 平行的直线为（）A ．ABB ．1CC C ．BC D ．AC11．从两名男生（记为1B 和2B ），一名女生（记为G ）中任意抽取两人参加志愿者活动，则抽到的两人都是男生的概率为（）A ．13B ．12C ．23D ．112．记函数()()()112f x x a x b =-+-+-的两个零点为1x ，2x ，若2a b ->，则下列关系正确的是（）A ．122x x b +<B ．122x x b +>C ．122x x a +=D ．122x x a +>二、填空题（本题共6小题，每小题6分，共计36分）13．已知α为钝角，且π3cos 25α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan α=．14．已知向量2a = ，3b = ，a b +=，那么a b -=r r ．15．已知实数a ，b 分别满足2310a a ++=，2310b b -+=，且0a b +≠，则ab 的值为.16．某高中高一年级有学生1440人，高二年级有学生1600人，高三年级有学生1760人.现用分层抽样的方法，从这三个年级学生中抽取n 人了解他们的学习情况，其中在高二年级抽取了100人，则n =.17．x 为实数，且不等式53x x m -+-<有解，则实数m 的取值范围是.18．函数()3326f x x a x x a x x x=-+++---+≥对一切0x >均成立，则实数a 的取值范围是.三、解答题（本题共4小题，第19,20,21题各10分，第22题12分，共42分。
河北省普通高中学业水平考试数学试卷(含答案)
2020年12月河北省普通高中学业水平考试数学试卷(含答案)参考公式：柱体的体积公式：V=Sh(其中S 为柱体的底面面积，h 为高)锥体的体积公式：V=31Sh(其中S 为锥体的底面面积，h 为高) 台体的体积公式：V=)(31''S S S S ++h(其中S ′、S 分别为台体的上、下底面面积，h 为高)球的体积公式：V=π34R 3(其中R 为球的半径) 球的表面积公式：S=4πR 2(其中R 为球的半径)一、选择题 (本题共30道小题，1-10题，每题2分，11-30题，每题3分，共80分，在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求) 1．若集合A=N ，B={x ||x |≤1}，则A ∩B=A ．{0，1}B ．{-1，0，1}C ．{x|-1≤x ≤1}D ．{x|0≤x ≤1} 2．tan120°=A ．33-B ．33 C ．3- D ．3 3．等差数列{a n}的通项公式为a n =3n-1，则它的公差是A ．1B ．2C ．3D ．4 4．已知向量a =(1，-1)，b =(-1，2)，则|2a +b |=A ．1B ．2C ．3D ．4 5．若a>b ，则下列不等式成立的是A ． a 2>b 2B ．b a >1 C ．b a 2121< D ． lg(a-b)>0 6．在等差数列{a n }中，a 3=2，a 6+a 10=17，则a 13A ．31B ．64C ．15D ．30 7．对任意实数x ，不等式x 2-2x -a ≥0恒成立，则实数a 取值范围是A ．a ≥-1B ．a ≤-1C ．a <-1D ．a >-1 8．已知点A(2，-1)，B(0，3)，则线段AB 的垂直平分线的方程是A ．2x 十y -3=0B ．2x -y -1=0C ．x -2y +1=0D ．x +2y -3=0 9．函数f (x )=2x +3x 的一个零点所在的区间是A ．(-2，-1)B ．(-1，0)C ．(0，1)D ．(1，2)10．假设某车站每隔5分钟发一班车，若某乘客随机到达该车站，则其等车时间不超过3分钟概率是A ．51 B ．52 C ． 53 D ．54 11．已知平面α⊥平面β，α∩B=l ，若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则A ．m ∥lB ．m ∥nC ．m ⊥nD ．n ⊥l12．若实数x ，y 满足 则z=x-3y 的最小值是 A ．34-B ．-10C ．-8D ．4 13．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是A ．21B ．33C ．36D ．45 14．若53cos -=α，παπ<<2，则sin α= A ．2512 B ．2512- C ． 2524 D ．2524-15．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值是A ．23B ．3C ．0D ．21 16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若 a tanC= c sinA ，则△ABC 一定是A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形17．函数f (x )=sin(ϕω+x )(ω>0，0<ϕ<π)的图象如图所示，则ω，ϕ的值分别是A ．1，8π B ．1，85πC ．2，4π D ．2，43π18．在直角三角形ABC 中，A=90°，AB=2，则AB ·BC = A ．-4 B ．4C ．-8D ．819．已知数列{a n }的前n 项和S n ，满足S n =2-a n ，则S 5=x+2≥0y ≥x x+2y-2y ≤0A ．31B ．63C ．1631 D ．3263 20．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若B=60°，a =1，b =3，则c ＝A ．1B ．2C ．2D ．3 21．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA=CB=CC 1，CA ⊥CB ，CC 1⊥底面ABC ，则异面直线AB 1与BC 所成角的余弦值是A ．33 B ．36 C ．22D ．3222．右面茎叶图表示是甲、乙两人在5次综合测评成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩概率是A ．54 B ．53C ．52 D ．5123．已知函数y =f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )=x 2+ax ，且f (1)=2，则a ＝A ．-1B ．1C ．-3D ．3 24．若直线x+y+1=0与圆x2+y2-6y+m=0相切，则m=A ．1B ．17C ．9-22D ．9+22 25．已知函数f (x )=x 2-2ax -3在区间[2，+∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是A ．[1，+∞)B ．[2，+∞)C ．(－∞ ，1 ]D ．(－∞ ，2 ] 26．若正数a ，b 满足a +4b =ab ，则a +b 的最小值是A ．10B ．9C ．8D ．627．如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱侧面积之比是A ．3：2B ．2：3C ．1：2D ．1：128．三角形三条中线的交点称之为三角形的重心，已知G 为△ABC 的 重心，AB =a ，AC =b ，则BG =A ．32-a +31b B ．31-a －31bC ．32-a －31bD ．31-a +32b29．过坐标原点O 的直线l 与圆C ：4)32(22=+-y x 交于A ，B 两点，若OA OB 2=，则A ．63±B ．33± C ．±1 D ．3±30．若对函数y =f (x )图象上任意一点A ，在其图象上均存在点B ，使得OA ⊥OB(O 为坐标原点)则称该函数为“好函数”，给出下列4个函数：①f(x)=x1; ②f (x )=x +1; ③f(x)=-x 2+2x +3; ④f (x )=2x 其中“好函数”的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3二、解答題(本题共3道小题，31题6分，32题7分，33题7分，共20分，解答应写出文字说明、演算步驟或证明过程)31．已知数列{a n }为等比数列，且a 1=1，8a 2-a 5=0(I)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)求数列{a n +1}的前n 项和S n 。
高中数学学业水平测试模拟9
1 1 ； a b
⑤ 若a b 0, c d , 则ac bd ． 其中真命题的个数是 A 1
0
16.已知集合 M {x | x a 0}, N {x | ax 1 0}，若 M N N ，则实数 a 等于 A、 1 17.三个数 a 3
0.7
B.第二象限
C.第三象限
14.360 和 504 的最大公约数是 A 72 B
C
D
用心
爱心
专心
1
河北省普通高中学业水平考试样卷
河北衡水重点中学数学中心教研室高二数学组组编
② 若a b, 则ac2 bc2 ③ 若ac2 bc2 , 则a b ； ④ 若a b, 则
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15.若函数 f(x)唯一的一个零点同时在区间（0，16）、（0，8）、（0，4）、（0，2）内，那 么下列命题中正确的是 A 函数 f(x)在区间（0，1）内有零点 B 函数 f(x)在区间（0，1）或（1，2）内有零点 C D 函数 f(x)在区间[2，16 ) 内无零点 函数 f(x)在区间（1，16）内无零点
3 4
C、
2 5
D、
6 5 5
26、已知 O 为原点，点 A、B 的坐标分别为 , (0, a ) 其中常数 a 0 ，点 P 在线段 AB 上， （a,0） 且 AP = t AB ( 0 t 1 )，则 OA · OP 的最大值为 (A) a (B)2 a (C)3 a (D) a
2
20.棱台上、下底面面积之比为 1∶9,则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是 A 、 1∶7 B 、2∶7 C、 7∶19 D、 5∶ 16 21、如图，大正方形的面积是 13，四个全等的直角三角形围成一个小正方形.直角三角形的较短 边长为 2。向大正方形内投一飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率为 A.
河北专版学业水平测试普通高中学业水平合格性考试模拟试卷(四)(含答案解析)
河北专版学业水平测试普通高中学业水平合格性考试模拟试卷（四）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}1,2,4,5A =，{}1,3,4B =，则A B ⋂等于（）A ．{1，2，3，4，5}B ．{1，3，4}C ．{2，5}D ．{1，4}2．函数cos(2)6y x π=-，x R ∈的最小正周期为（）A ．2B ．2πC ．πD ．2π3．下列函数中，与y x =相等的为（）A ．2x yx=B ．2y =C ．lg10xy =D ．y =4．若向量a =（2，3），b =（-1，5），则a +2b的坐标为（）A ．（0，13）B ．（1，8）C ．（4，13）D ．（0，7）5．已知向量a ，b 的夹角为3π，且｜a ｜，b =（3，1），则a b ⋅ 的值等于（）A ．BCD ．26．某班级有6名学生参加了演讲社团，其中有4名男同学1234,,,,A A A A 2名女同学12,B B ，现从这6名同学中随机选取2人参加学校演讲比赛，则恰好选中1名男生和1名女生的概率为（）A ．815B ．715C ．25D ．137．在复平面内，复数z 所对应的点的坐标为(1,1)-，则z z ⋅=（）A ．2B ．2i-C D ．2i8．为了得到函数()23y cos x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭的图象，只需把函数2y cos x =的图象() A ．向左平行移动3π个单位长度B ．向右平行移动3π个单位长度C ．向左平行移动6π个单位长度D ．向右平行移动6π个单位长度9．已知20.8a =，0.82b =，2log 0.8c =，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c>>B ．a c b >>C ．b a c>>D ．c a b>>10．sin150︒的值为（）A ．B ．12-C ．12D ．211．已知函数()xf x a =（0a >，且1a ≠）的图象经过点()2,4，则（）A ．12B ．2C ．14D ．4a 的值为12．已知点()1,2A ，()1,2B --，则向量AB的坐标为（）A ．()2,4B ．()0,0C ．()1,1--D ．()2,4--13．下列函数中是奇函数的为（）A ．y x=B ．1y xx=+C ．y =D ．ln y x=14．设复数z 满足()13i z i +=+，则z =（）AB ．2C ．D15．若圆锥轴截面面积为60°，则体积为（）A B C D 16．盒中有5个大小质地完全相同的球，其中3个红球和2个白球，从中任意取出2个球，则取出的两个球都是白球的概率为（）A ．12B ．25C ．16D ．11017．在ABC 中，AB a =，BC b=，则a b + 等于（）A ．ACB ．BC C ．ABD ．CA18．甲、乙两名篮球运动员在相同站位点各进行6组篮球投篮练习，每组投篮10次，每投进篮筐一次记1分，否则记0分，他们每组投篮的得分如下：甲789549乙787877则下列说法正确的是（）A ．甲比乙的平均成绩高，乙比甲的成绩稳定B ．甲比乙的平均成绩高，甲比乙的成绩稳定C ．乙比甲的平均成绩高，甲比乙的成绩稳定D ．乙比甲的平均成绩高，乙比甲的成绩稳定19．为了得到函数π2sin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R 的图象，只需将函数2sin y x =，x ∈R 的图象上所有的点（）A ．向左平行移动π3个单位长度B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向左平行移动π6个单位长度D ．向右平行移动π6个单位长度20．若132a =，213b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 3c =，则,,a b c 的大小关系为（）A ．b<c<aB ．b a c <<C ．c<a<bD ．c b a<<21．如图，一艘船向正北航行，航行速度为每小时30海里，在A 处看灯塔S 在船的北偏东30︒的方向上．1小时后，船航行到B 处，在B 处看灯塔S 在船的北偏东75︒的方向上，则船航行到B 处时与灯塔S 的距离为（）A ．B ．C ．海里D ．22．函数()22x f x x =+-的零点所在的一个区间是（）A ．（-2，-1）B ．（-1，0）C ．（0，1）D ．（1，2）23．从某中学抽取100名学生进行周课余锻炼时长(单位:min)的调查,发现他们的锻炼时长都在50～350min 之间,进行适当分组后(每组为左闭右开的区间),画出频率分布直方图如图所示,则直方图中x 的值为（）A ．0.0040B ．0.0044C ．0.0048D ．0.005224．如图所示的茎叶图是甲、乙两位同学在期末考试中的六科成绩，已知甲同学的平均成绩为85，乙同学的六科成绩的众数为84，则x ，y 的值为（）A ．2，4B ．4，4C ．5，6D ．6，425．在实数范围内，使得不等式11x＞成立的一个充分而不必要的条件是A ．0x >B ．1x <C ．01x <<D ．102x <<26．设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l ⊂α，m β⊂A ．若l β⊥，则αβ⊥B ．若αβ⊥，则l m ⊥C ．若//l β，则//αβD ．若//αβ，则//l m27．已知函数2()21xf x a =-+是R 上的奇函数，若函数(2)y f x m =-的零点在区间()11-，内，则m 的取值范围是（）A ．11(,)22-B ．(11)-，C ．(2,2)-D ．()01，28．在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，N 是棱CC 1的中点，则异面直线AD 1与DN 所成角的余弦值为（）A ．10B ．5C ．2D 29．已知0,0x y >>，且350x y xy +-=，则34x y +的最小值是（）A ．4B ．5C ．6D ．930．若5log 0.2a =，50.2b =，0.25c =，则a ，b ，c 三者的大小关系为（）A ．b c a>>B ．b a c>>C ．c a b>>D ．c b a>>二、解答题31．已知二次函数()2221135f x x a x a a a ⎛⎫=+++++ ⎪⎝⎭（R a ∈且0a ≠），其对称轴为0x x =，函数()()g x f x x =-．(1)当1a =-时，求不等式()1f x >-的解集；(2)当1a =-时，求函数()g x 在区间[]3,5上的最小值和最大值；(3)若函数()g x 有两个零点1x ，2x ，且12x x <，求证：102x x <．参考答案：1．D【解析】根据交集定义计算．【详解】由交集的定义很容易得出{1,4}A B = ．故选：D ．2．C【分析】由公式2T ωπ=计算．【详解】函数cos(2)6y x π=-，x R ∈的最小正周期为22T ππ==．故选：C ．【点睛】本题考查余弦型复合函数的周期，属于简单题．3．C【分析】确定函数的定义域和对应法则后可得结论．【详解】函数y x =的定义域是R ，四个选项中只有,C D 的定义域是R ，排除,A B ，y x =，对应法则不相同，排除D ，lg10x y x ==，满足题意．故选：C ．【点睛】本题考查函数的定义，两个函数是同一个函数，要求定义域、值域、对应法则都相同，值域是由定义域和对应法则确定，因此只要定义域和对应法则相同即可．4．A【分析】由向量线性运算的坐标表示计算．【详解】2(2,3)2(1,5)(2,3)(2,10)(0,13)a b +=+-=+-=．故选：A ．【点睛】本题考查向量线性运算的坐标表示，掌握向量的坐标运算是解题基础．5．C【分析】求出b，然后由数量积的定义计算．【详解】因为向量a ，b 的夹角为3π，且｜a ｜b =（3，1），所以b ==∴1cos 32a b a b π⋅=== ．故选：C ．【点睛】本题考查向量的数量积，考查向量模的坐标运算，掌握数量积的定义是解题基础．6．A【分析】用列举法写出所有基本事件，然后计数后可得概率．【详解】6名学生中任取2名的所有基本事件有：12131411122324,,,,,,,A A A A A A A B A B A A A A 2122,,A B A B 343132,,,A A A B A B 414212,,A B A B B B ，共15个，其中恰好选中1名男生和1名女生的事件有1112,,A B A B 2122,,A B A B 3132,,A B A B 4142,A B A B 共8个，∴所求概率为815P =．故选：A ．【点睛】本题考查古典概型，解题方法用列举法写出所有基本事件．7．A【解析】根据复数的几何意义求出复数z ，再求出复数z 的共轭复数，最后根据复数的乘法法则计算可得；【详解】解：因为在复平面内，复数z 所对应的点的坐标为(1,1)-，所以1z i =-，所以1z i=+所以()()21112z z i i i ⋅=-+=-=故选：A 8．D【解析】设出平移量a ，然后根据平移法则“左加右减，上加下减”构造关于平移量的方程，解方程求出平移量，即可得到答案．【详解】设将函数2y cos x =的图象向右平移a 个单位后，得到函数23y cos x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x R∈的图象，则()223cos x a cos x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解得6a π=，所以，函数2y cos x =的图象向右平行移动6π个单位长度，可得到函数23y cos x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x R ∈的图象，故选：D【点睛】本题考查的知识点是函数()y Acos x ωϕ=+的图象变换，其中设出平移量为a ，然后根据平移法则“左加右减，上加下减”构造关于平移量的方程，是解答本题的关键．9．C【分析】把各数与中间值0，1比较即得．【详解】200.81<<，0.821>，2log 0.80<，所以b a c >>．故选：C ．【点睛】本题考查幂和对数的比较大小，掌握指数函数和对数函数的性质是解题关键．不同底的幂或对数解题时可借助于中间值0，1等比较大小．属于基础题.10．C【分析】根据诱导公式及特殊三角函数值求解即可.【详解】()1sin150sin 18030sin 302︒=︒-︒=︒=.故选：C.11．B【分析】将()2,4代入()xf x a =即可求出a 的值.【详解】因为函数()xf x a =（0a >，且1a ≠）的图象经过点()2,4，所以24a =，解得：2a =.故选：B.12．D【分析】由平面向量的坐标表示即可得出答案.【详解】已知点()1,2A ，()1,2B --，则向量()2,4AB =--.故选：D.13．B【分析】由奇函数的定义对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A ，y x =的定义域为R ，关于原点对称，()()f x x x f x -=-==，所以y x =为偶函数；对于B ，1y x x=+的定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，()()1f x x f x x-=--=-，所以1y x x =+为奇函数；对于C ，y ={}0x x ≥，不关于原点对称，所以y =对于D ，ln y x =的定义域为{}0x x >，不关于原点对称，所以y =故选：B.14．D【详解】分析：先根据复数除法得z ，再根据复数的模求结果.详解：因为()13i z i +=+，所以31(3)(1)212i z i i i i +==+-=-+,因此z =选D.点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R .其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi 15．D【分析】设圆锥底面圆的半径为r ，由轴截面面积为r ，再利用圆锥体积公式计算即可.【详解】设圆锥底面圆的半径为r ，由已知，122r ⨯=，解得r =所以圆锥的体积2133V r ππ==.故选：D【点睛】本题考查圆锥的体积的计算，涉及到圆锥的定义，是一道容易题.16．D【分析】求出从中任意取出2个球，共有多少种取法，确定取出的两个球都是白球的取法数，根据古典概型的概率公式即可求得答案.【详解】由题意从中任意取出2个球，共有25C 10=种取法，其中取出的两个球都是白球的取法有1种，故取出的两个球都是白球的概率为110，故选：D 17．A【分析】根据平面向量的加法法则，即可得答案.【详解】在ABC 中，AB a =，BC b=，则a b AC += ,故选：A 18．D【分析】分别计算出甲乙两人的平均数和方差，比较大小，可得答案.【详解】由题意可得甲乙两人的平均数分别为：7+8+9+5+4+97+8+7+8+7+722=7==663x x 甲乙，，甲乙两人的方差分别为：2222222111=[(77)(87)(97)(57)(47)(97)]63s -+-+-+-+-+-=甲，222222212222222222222=[(7(8(7)(8)(7)(7]63333339s -+-+-+-+-+-=乙，故x x <甲乙，22s s >乙甲，由此可知乙比甲的平均成绩高，乙比甲的成绩稳定，故选：D 19．A【分析】根据三角函数图象的平移变换规律，即可判断出答案.【详解】由题意可知为了得到函数π2sin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R 的图象，只需将函数2sin y x =，x ∈R 的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度，故选：A 20．D【分析】根据指数函数以及对数函数的性质判断,a c 的范围，和b 比较，可得答案.【详解】由题意可得103221a =>=，2110139b ⎛⎫<==< ⎪⎝⎭，2231log log 10c =<=，故c b a <<，故选：D 21．A【分析】求出ABS 中的边AB 的长，求得45BSA ∠= ,利用正弦定理即可求得答案.【详解】由题意得，在ABS 中,30BAS ∠= ，30AB =，753045BSA ∠- ,由正弦定理有,sin sin AB BS BSA BAS =∠∠代入数据得30sin 45sin 30BS︒=,解得BS =，故选：A ．22．C【分析】利用函数的零点判定定理，先判断函数的单调性，然后判断端点值的符合关系．【详解】解：∵f （x ）＝2x +x ﹣2在R 上单调递增又∵f （0）＝﹣1＜0，f （1）＝1＞0由函数的零点判定定理可知，函数的零点所在的一个区间是（0，1）故选：C ．【点睛】本题主要考查函数零点区间的判断，判断的主要方法是利用根的存在性定理，判断函数在给定区间端点处的符号是否相反．23．B【分析】由各组数据频率之和即所有矩形面积之和为1可得答案.【详解】因为各组数据频率之和即所有矩形面积之和为1,则()0.00120.002420.00360.0060501x +⨯+++⨯=,解得0.0044x =.故选:B.24．D【分析】本题先读出茎叶图中的数据，再根据条件：甲同学的平均成绩为85，乙同学的六科成绩的众数为84，分别求出x 、y 值，得到本题结论．【详解】解：根据题目中提供的茎叶图，可知：甲同学在期末考试中六科成绩分别为：75，82，84，80x +，90，93．乙同学在期末考试中六科成绩分别为：74，75，80y +，84，95，98．甲同学的平均成绩为85，∴1(758284809093)856x ++++++=，6x ∴=，乙同学的六科成绩的众数为84，4y ∴=，故x 、y 的值分别为：6，4．故选：D ．【点睛】本题考查了茎叶图、众数、平均数的知识，本题难度不大，属于基础题．25．D【分析】先解不等式，再根据解集与选项之间包含关系确定选择.【详解】111001,x x x x->∴<∴<< 因为11(0,)(0,1),(0,(0,1)22⊂≠所以102x <<为不等式11x 成立的一个充分而不必要的条件，选D.【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．26．A【详解】试题分析：由面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一平面的一条垂线，则两面垂直，可得l β⊥，l ⊂α可得αβ⊥考点：空间线面平行垂直的判定与性质27．A【分析】根据奇函数定义求出a ，确定函数的单调性，然后由()f x 的零点是0得出结论．【详解】∵()f x 是奇函数，∴2(0)011f a =-=+，1a =，2()121x f x =-+，易知()f x 在R 上是增函数，∴()f x 有唯一零点0，函数(2)y f x m =-的零点在区间()11-，内，∴20x m -=在(1,1)-上有解，2x m =，∴11(,)22m ∈-．故选：A ．【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查函数的零点，解题关键是等价转化，把函数零点转化为方程在某个区间上有解，从而再转化为求函数值域．28．A【分析】取BC 的中点M ，可得1//MN AD ，则DNM ∠（或其补角）是异面直线AD 1与DN 所成角，在三角形中可求．【详解】如图，取BC 的中点M ，连接,MN AM ，连接1BC ，∵N 是1CC 中点，则1//MN BC ，正方体中1111//,AB C D AB C D =，则11ABC D 是平行四边形，∴11//AD BC ，∴1//AD MN ，∴DNM ∠（或其补角）是异面直线AD 1与DN 所成角，因为正方体棱长为2，则MN =DM DN ==AMN ∆是等腰三角形，∴cosDNM ∠故选：A ．【点睛】本题考查异面直线所成的角，解题关键是根据定义作出异面直线所成角，然后在三角形中求解即可．29．B 【分析】因为11334(34)5x y x y y x ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开后利用基本不等式，即可得到本题答案.【详解】由350x y xy +-=，得135y x+=，所以1131312134(34)13(135555x y x y x y y x y x ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当11,2x y ==，取等号.故选：B.30．D 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数单调性，并借助“媒介数”比较大小作答.【详解】55log 0.2log 10a =<=，5000.20.21b <=<=，0.20551c =>=，所以a ，b ，c 三者的大小关系为c b a >>.故选：D31．(1)()(),24,-∞⋃+∞(2)最小值为214-，最大值为-3(3)证明见解析【分析】（1）根据一元二次不等式的求解即可得解，（2）利用二次函数的单调性即可求解最值，（3）根据韦达定理得1213x x t +=-，2123x x t =+，由判别式可得1t <-或115t >．进而分情况讨论即可求解.【详解】（1）当1a =-时，()2671f x x x =-+>-，即2680x x -+>，解得4x >或2x <，∴当1a =-时，不等式()1f x >-的解集为()(),24,-∞⋃+∞．（2）当1a =-时，()()226777g x f x x x x x x x =-=-+-=-+．∵二次函数图象的对称轴为直线72x =且二次项系数为10>，开口向上，∴()g x 在区间73,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在区间7,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴()2min 77721772224g x g ⎛⎫⎛⎫==-⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．∵()2337375g =-⨯+=-,()2557573g =-⨯+=-，∴()()max 53g x g ==-，∴函数()g x 在区间[]3,5上的最小值为214-，最大值为-3．（3）证明：令1t a a=+，则()2233f x x tx t =+++，2t ≥．由()0g x =得()223130x t x t +-++=．则1213x x t +=-，2123x x t =+．由()()2223141356110t t t t ∆=--⨯⨯+=-->，解得1t <-或115t >．又2t ≥，所以2t ≤-或115t >．又函数()f x 的对称轴为032t x x ==-，所以120122x x x +=-．显然120x x >，故120x x <<或120x x <<，①当120x x <<时，1201022x x x +=-<．这时01102221x x x x x -=-=-．因为20x <，所以210x ->．故0120x x ->，即102x x <．②当120x x <<时，12130x x t +=->，即13t <．又因为2t ≤-或115t >，所以2t ≤-，所以0302t x =->．这时01012221x x x x x -=-=-．因为21233x x t =+>，120x x <<，所以21223x x x <<，故21x >．所以210x ->，故0120x x ->，即102x x <．综上可知：102x x <。
高二年级学业水平考试模拟考数学试卷有参考答案
高二年级学业水平考试模拟考数学试卷（考试时间：100分钟； 试卷满分：100分）【注意事项】1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.请在答题卡指定位置按规定要求作答，答在试卷上一律无效。
参考公式∶如果事件 A 、B 互斥，那么P （AUB ）= P （A ）+P （B ）.球的表面积公式：S=4πR 2，体积公式;V =43πR 3，其中R 表示球的半径. 柱体的体积公式∶V= Sh ，其中S 表示柱体的底面面积，h 表示柱体的高. 锥体的体积公式∶V=13Sh ，其中S 表示锥体的底面面积，h 表示锥体的高.第Ⅰ卷（选择题 共66分）一、选择题：本大题共22个小题，每小题3分，共66分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡相应的位置上填涂.1. 已知集合S ={0，1，2}，T ={2，3}，则S ∪T =（ ）.A. {0，1，2}B. {0，2}C. {0，1，2，3}D. {2}2. 数学中，圆的黄金分割的张角是137.5°，这个角称为黄金角，黄金角在植物界受到广泛青睐，例如车前草的轮生叶片之间的夹角正好是137.5°，按这一角度排列的叶片，能很好的镶嵌而又互不重叠，这是植物采光面积最大的排列方式，每片叶子都可以最大限度的获得阳光，从而有效提高植物光合作用的效率。
那么，黄金角所在的象限是（ ）.A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 一元二次不等式的解集为（ ）.A. B. C. D.4. 已知向量a =（1，2），b =(-2，0)，则a b ⋅的值等于（ ）.A. -4B. -3C. -2D. 1 5. 已知i 是虚数单位，复数5−i 1+i 的虚部是（ ）. A. -3 B. -3iC. 2D. 2i 220x x -<{}02x x <<{}20x x -<<{}22x x -<<{}11x x -<<6. 下列函数中，在R 上为增函数的是（ ）.7. 224log log 55+的值为（ ）. A. 12 B. 2 C. 1029 D. 29108. 0000sin 79cos34cos79sin34-的值为（ ）.A. 1B. 2C. 2D. 129. 已知角α的终边过点P （−1，√3），则cosα的值为（ ）.A. √32B. 12C. −12D. −√3210. 在ABC ∆中， A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知三个内角的度数之比A:B:C= 1:2:3，那么三边长之比a:b:c 等于（ ）.A. 1:2:3B. 2C. 2D. 3:2:1 11．为了得到函数的图像,只需把的图像上所有的点（ ）.A.向左平移个单位B. 向右平移个单位C.横坐标变为原来的π3倍，纵坐标不变D. 纵坐标变为原来的π3倍，横坐标不变12. 已知，若，则的最小值为（ ）. A. 1 B. C. 2 D.13. 函数()ln 26f x x x =+-的零点一定位于区间（ ）.A. ()1,2B. ()2,3C. ()3,4D. ()4,5. 2x A y =. B y x =-1. C y x =0.5. log D y x =sin(),3y x x R π=-∈sin ,y x x R =∈3π3π0,0x y >>2xy =12x y+214. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，对角线1A C 与平面ABCD 所成角的正弦值为（ ）. A. 3 B. 22 C. 6 D. 315. 已知sinθ=−45，且θ为第四象限的角，则tan θ的值等于（ ）. A. 35 B. 34- C. 35 D. 43- 16. 先后抛掷一枚质地均匀的硬币，则两次均正面向上的概率为（ ）. A .14 B .12 C .34D .1 17. 函数2()log f x x =在区间[2，8]上的值域为（ ）.A. (-∞，1]B. [2，4]C. [1，3]D. [1， +∞) 18. 设50.31,0.3,5a b c ===，则下列不等式正确的是（ ）.A ．a b c >>B ．b a c >> C.c a b >> D ．a c b>> 19 .已知向量a =（2，3），b =(4，x )，若a ⃗∥b⃗⃗，则实数x 的值为（ ）. A.−6 B. 6 C. 83 D. −8320. 一个圆锥的底面直径和高都等于一个球的直径，那么圆锥与球的体积之比是（ ）.A. 1:3B. 2:3C. 1:2D. 2:921.已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在区间(]0,∞-上为减函数，则)1(f 、)2(-f 、)3(f 的大小关系是（ ）.)A （)3()2()1(f f f >-> )B （)3()1()2(f f f >>-)C （)2()3()1(-<<f f f )D （)3()2()1(f f f <-<22. 已知函数()123,0,log ,0x x f x x x +⎧≤=⎨>⎩若f (x 0)>3，则x 0的取值范围是( ). A. (8，，∞) B. (，∞，0)∪(8，，∞) C. (0,8) D. (，∞，0)∪(0,8)第Ⅱ卷（非选择题共34分）二、填空题:本大题共4个小题，每小题4分，共16分.请把答案写在答题卡相应的位置上.23. 昆明市某公司有高层管理人员、中层管理人员、一般员工共1000名，现用分层抽样的方法从公司的员工中抽取80人进行收入状况调查.若该公司有中层管理人员100名，则从中层管理人员中应抽取的人数为______.24. 已知向量a=（2，1），b=(3，λ)，若a⃗⊥b⃗⃗，则λ=25. 函数1lg(2)y x x的定义域是 .f-的值是________________.26. 若函数()f x为奇函数，当0x>时，()10xf x=，则(1)三、解答题:本大题共3个小题，第27题5分，第28题6分，第29题7分，共18分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.27. 小李到某商场购物，并参加了一次购物促销的抽奖活动，抽奖规则是：一个袋子中装有大小相同的红球3个、白球2个，每个球被取到的概率相等，红球上分别标有数字1、2、3，每个红球上只标有一个数字.一次从袋中随机取出2个球，如果2个球都是红球则中奖(其他情况不中奖)，而且2个红球上标记的数字之和表示所得奖金数(单位:元).求小李所得奖金数为3元或者5元的概率.28. 已知∆ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，a=bcosC+csinB.（1）求角B；（2）若b=2，求三角形∆ABC面积的最大值.29. 如图，点P为菱形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，点E为PA的中点.（1）求证: PC//平面BDE；（2）求证: BD⊥平面PAC.第五次学业水平测试模拟考试参考答案二、填空题23、 8 24、 -6 25、 [1,2） 26、 -10三、解答题27、解：设袋子中的两个白球标号为A、B，三个红球的标号为上面的数字，即为1、2、3；一次从袋子中随机取出2个球的结果用（x,y）表示，则所有可能的结果有：（A,B）,(（A,1）,（A,2）,（A,3）,（B,1）,（B,2）,（B,3）,（1,2）,（1,3）,（2,3）,共10种。
河北专版学业水平测试普通高中学业水平合格性考试模拟试卷(二)(含答案解析)
河北专版学业水平测试普通高中学业水平合格性考试模拟试卷（二）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}0,1,3,5A =，{}1,0,1B =-，则A B = （）A ．{}0,1B ．{}1,0,1-C ．{}1,0,1,3,5-D ．∅2．cos120 的值是（）A ．2B ．12C ．12-D ．3．函数sin 2y x =是A ．最小正周期为2π的奇函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为π的偶函数4．已知0.7log 0.8a =， 1.1log 0.9b =，0.91.1c =，则,,a b c 的大小关系是（）A ．b a c<<B ．a c b<<C ．a b c <<D ．c<a<b5．半径为1的球的表面积是（）A ．2πB ．4πC ．πD ．4π36．化简PM PN MN -+u u u u r u u u r u u u u r所得的结果是（）A ．2MN u u u u rB ．2NMu u u u r C ．0D ．PM7．已知向量()1,2a =- ，()0,1b = ，则a b ⋅为（）A ．()1,1-B ．()1,3-C ．1D ．28．掷两枚质地均匀的骰子，设A =“第一枚出现奇数点”，B =“第二枚出现偶数点”，则A 与B 的关系为（）．A ．互斥B ．互为对立C ．相互独立D ．相等9．已知幂函数()y f x =的图象过点(，则该函数的解析式是（）A ．2xy =B ．y =C ．lg y x=D ．2y x =10．()cos 570-︒的值为（）A ．12B ．2C ．12-D ．11．函数f （x ）＝ln （﹣x ）的定义域是（）A ．（0，+∞）B ．（﹣∞，0）C ．（﹣∞，﹣1）D ．（﹣∞，+∞）12．已知()1,1a =r ，()2,0b =- ，则32a b -r r＝（）A ．()7,0B ．()7,2-C ．()1,3-D ．()7,313．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为A ．1y x =+B ．2y x =-C ．1y x=D ．y x x=14．如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF +-=u u u r u u u r u u u r（）A ．0B ．BEC ．ADD ．CF15．棱长为a 的正方体外接球的表面积为A ．2a πB ．23a πC ．22a πD ．24a π16．若,,a b c ∈R ，且a b >则下列不等式一定成立的是（）A ．a c b c+≥-B ．ac bc>C ．2c a b>-D ．()2a b c -≥17．在ABC 中，已知45A =o ，2a =，b =，则B 等于（）A ．30B ．60C ．150D ．30 或15018．不等式()()120x x --≤的解集为（）A ．{}12x x ≤≤B ．{1x x ≤或}2x ≥C ．{}12x x <<D ．{1x x <或}2x >19．将函数cos 2y x =的图象向右平移π4个单位长度，所得图象的函数解析式为（）A ．πcos 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．πcos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．sin 2y x=D ．sin 2y x=-20．设0.55a =，5log 0.5b =，2e c -=，则,,a b c 三者的大小关系是（）A ．b a c>>B ．a c b>>C ．a b c>>D ．c b a>>21．设0x 为方程28x x +=的解.若0(,1)()x n n n N +∈+∈，则n 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．422．已知平面α，β，直线l ，m ，且有l α⊥，m β⊂，则下列四个命题正确的个数为（）．①若αβ∥，则l m ⊥；②若l m ，则l β∥；③若αβ⊥，则l m ；④若l m ⊥，则l β⊥；A ．1B ．2C ．3D ．423．图1是根据某班学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，若80分以上为优秀，根据图形信息可知：这次考试的优秀率为（）A ．25%B ．30%C ．35%D ．40%24．设l,m,n 均为直线，其中m,n 在平面内，“l”是“lm 且ln ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件25．已知函数2()8f x x kx =--在区间[5,20]上具有单调性，则实数k 的取值范围是（）A ．][(),1040,∞∞-⋃+B ．][(),4010,∞∞--⋃-+C ．[)10,+∞D ．[)40,∞+26．为了得到函数1cos 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需把余弦函数cos y x =曲线上所有的点（）A ．向左平行移动3π个单位长度B ．向右平行移动3π个单位长度C ．向左平行移动13个单位长度D ．向右平行移动13个单位长度27．已知命题：x ∀∈Z ，x ∈N ，则该命题的否定是（）A ．x ∀∈Z ，x ∉NB ．x ∃∈Z ，x ∈NC ．x ∃∈Z ，x ∉ND ．x ∃∉Z ，x ∉N28．为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁~18岁的男生体重（kg ），得到频率分布直方图如图所示，根据该图可得这100名学生中体重在[]56.5,64.5的学生人数是（）A ．20B ．30C ．40D ．5029．函数sin cos y x x =，x ∈R 的最大值为（）A ．1BC ．12D ．230．如图，在铁路建设中需要确定隧道的长度，已测得隧道两端的两点,A B 到某一点C 的距离分别是3km ，1km 及60AC B ∠= ，则,A B 两点的距离为（）A ．7kmB ．13km CD二、解答题31．如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，BD 与AC 相交于O 点，M ，N 分别是AB ，PC 的中点.(1)求证：//MO 平面PAD ；(2)若45PDA ∠=︒，求证：MN ⊥平面PCD .参考答案：1．A【分析】由交集定义可直接求得结果.【详解】由交集定义知：{}0,1A B = .故选：A.2．C【分析】利用诱导公式可得cos120cos60=- ，由此可得结果.【详解】()1cos120cos 18060cos 602=-=-=-.故选：C.3．B【分析】根据正弦函数的性质，可得函数()f x 为奇函数，再根据周期的计算公式，即可判定，得到答案.【详解】由题意，函数()sin 2f x x =，则()sin(2)sin 2()f x x x f x -=-=-=-，所以函数()sin 2f x x =为奇函数，且最小正周期22T ππ==，故选B.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，其中熟记三角三角函数的图象与性质，准确求解与计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4．A【分析】根据特殊值0和1与指数函数对数函数的单调性逐一比较大小.【详解】对于0.7log 0.8a =，0.70.70.70log 1log 0.8log 0.71=<<=1.1 1.1log 0.9log 10b =<=0.901.1 1.11c =>=所以：b a c <<故选：A【点睛】此题考查指数对数的大小比较，关键在于根据函数单调性和特殊函数值的大小关系，利用不等式的传递性解题.5．B【分析】利用球的表面积公式直接求解即可.【详解】 球的半径1R =，∴该球的表面积24π4πS R ==.故选：B.6．C【分析】根据向量加减法运算可直接得到结果.【详解】0PM PN MN NM MN -+=+=.故选：C.7．D【分析】根据向量数量积坐标运算直接求解即可.【详解】10212a b ⋅=-⨯+⨯=.故选：D.8．C【分析】根据互斥、对立、独立事件的定义判断即可.【详解】解：掷两枚质地均匀的骰子，设A =“第一枚出现奇数点”，B =“第二枚出现偶数点”，事件A 与B 能同时发生，故事件A 与B 既不是互斥事件，也不是对立事件，故选项A ，B 错误；()3162P A ==，()3162P B ==，()331664P AB =⨯=，()()111224P A P B ⋅=⨯=，因为()()()P A P B P AB ⋅=，所以A 与B 独立，故选项C 正确；事件A 与B 不相等，故选项D 错误.故选：C.9．B【分析】根据幂函数定义可设()f x x α=，代入所过点坐标即可求得结果.【详解】设幂函数()f x x α=，则()22f α==12α∴=，()12f x x ∴==故选：B.10．D【解析】根据三角函数诱导公式化简可得()cos 570cos150-︒=︒，即可求解.【详解】由题：()()()()cos 570cos 570cos 720150cos 150cos150-︒=︒=︒-︒=-︒=︒=.故选：D【点睛】此题考查求三角函数值，关键在于熟练掌握诱导公式的使用，可以记住口诀“奇变偶不变，符号看象限”.11．B【分析】根据对数的真数部分大于0，简单计算可得结果.【详解】由题可知：00x x ->⇒<所以函数()f x 的定义域为(),0∞-故选：B【点睛】本题考查对数型函数的定义域的求法，考查计算，属基础题.12．D【分析】利用向量的坐标运算即可得到答案.【详解】()()()323,34,07,3a b -=--=.故选：D【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，属于简单题.13．D【详解】A 是增函数，不是奇函数；B 和C 都不是定义域内的增函数，排除，只有D 正确，因此选D.点评：该题主要考查函数的奇偶性和单调性，理解和掌握基本函数的性质是关键.14．B【分析】由相等向量、向量加减法运算法则直接求解即可.【详解】 六边形ABCDEF 为正六边形，CD AF ∴=，BA CD EF BA AF FE BF FE BE ∴+-=++=+= .故选：B.15．B【分析】由正方体性质确定其外接球的半径，再由球体表面积公式求表面积.【详解】棱长为a ，所以球的表面积为2243a ππ⨯=.故选：B 16．D【分析】根据不等式的性质，逐项判断，即可得出结果.【详解】对于A 选项，例如3,2,10a b c ===-，a c b c +<-，故A 错；对于B 选项，若0c <，则ac bc <，故B 错；对于C 选项，若0c =，则20c a b=-，故C 错；对于D 选项，因为a b >，a b c ∈R 、、，所以0a b ->，2c ≥0，因此()20a b c -≥，即D 正确.故选：D.17．A【分析】利用正弦定理和三角形大边对大角原则可求得结果.【详解】由正弦定理得：sin 451sin 22b A B a === ，a b > ，A B ∴>，则045B << ，30B ∴= .故选：A.18．B【分析】利用一元二次不等式解法规则即可求得该不等式解集.【详解】由()()12=0x x --，可得12=1=2x x ，则不等式()()120x x --≤的解集为{1x x ≤或}2x ≥故选：B 19．C【分析】根据三角函数平移变换原则和诱导公式可直接求得结果.【详解】将函数cos 2y x =的图象向右平移π4个单位长度得：ππcos 2cos 2sin 242y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：C.20．B【分析】根据指数函数和对数函数单调性，结合临界值0,1即可比较出大小关系.【详解】0.500255551e e 0log 1log 0.5->==>>=> ，a c b ∴>>.故选：B.21．B【分析】由题意可得0028xx +=，令()28x f x x =+-，由()()20,30f f <>，可得0(2,3)x ∈，再根据0(,1)x n n ∈+，即可求解n 的值.【详解】有题意可知0x 是方程28x x +=的解，所以0028xx +=，令()28xf x x =+-，由()()220,330f f =-<=>，所以0(2,3)x ∈，再根据0(,1)()x n n n N +∈+∈，可得2n =，故选B.【点睛】本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系，以及函数的零点的判定定理的应用，其中解答中合理吧方程的根转化为函数的零点问题，利用零点的判定定理是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题.22．A【分析】逐项判断后可得正确的选项.【详解】若αβ∥，l α⊥，则l β⊥；因为m β⊂,所以l m ⊥；①对，若l m ，l α⊥，m β⊂，则l β∥或l β⊂，若αβ⊥，l α⊥，m β⊂，则l 与m 平行、异面或相交，若l m ⊥，l α⊥，m β⊂，则l 与β相交、平行或l 在β内，故选：A.【点睛】本题考查空间中线面位置关系的判断，注意动态考虑位置关系，本题为基础题.23．B【分析】80分以上的两个小矩形的面积之和为优秀率．【详解】(0.0250.005)100.3+⨯=，故选：B ．【点睛】本题考查频率分布直方图，属于基础题．24．A【详解】设l,m,n 均为直线，其中m,n 在平面内，“l”，则“l m 且ln ”，反之若“lm且l n ”，当m//n 时，推不出“l”，∴“l”是“lm 且ln ”的充分不必要条件，选A ．25．A【分析】结合二次函数的对称轴与区间[]5,20的关系求得k 的取值范围.【详解】由于函数2()8f x x kx =--在区间[5,20]上具有单调性，所以()f x 的对称轴52kx =≤或202k x =≥，解得10k ≤或40k ≥，所以k 的取值范围是][(),1040,∞∞-⋃+.故选：A 26．C【解析】根据三角函数图象变换规律确定选项.【详解】因为cos y x =向左平行移动13个单位长度得1cos 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故选：C【点睛】本题考查三角函数图象变换，考查基本分析判断能力，属基础题.27．C【分析】由特称命题的否定可直接得到结果.【详解】由特称命题的否定知：原命题的否定为x ∃∈Z ，x ∉N .故选：C.28．C【分析】由频率直方图中的小长方形的面积即为该范围内的频率,先求出体重在[56.5,64.5]的频率,再由样本的容量求人数即可.【详解】解:由频率直方图得,体重在[56.5,64.5]的频率为0.0320.0520.0520.0720.4⨯+⨯+⨯+⨯=,∴所求人数为1000.440⨯=.故选：C.29．D【分析】利用辅助角公式化简函数为π2sin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据正弦型函数的最值可求得结果.【详解】πsin 2sin 3y x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ ，当ππ2π,Z 32x k k +=+∈，即π2π,Z 6x k k =+∈时，sin y x x =取得最大值2.故选：D.30．C【分析】利用余弦定理直接求解即可.【详解】由余弦定理得：2222cos 916cos 607AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠=+-= ，)km AB ∴=.故选：C.31．(1)证明见解析；(2)证明见解析【分析】（1）利用线面平行判定定理即可证明//MO 平面PAD ；（2）先利用45PDA ∠=︒，求得PA AD BC ==，再利用线面垂直判定定理即可证明MN ⊥平面PCD .【详解】（1）∵M ，O 分别是AB ，BD 的中点，∴MO AD ∥.又∵AD ⊂平面PAD ，MO ⊄平面PAD ，∴//MO 平面PAD .（2）如图，连接PM ，MC ，NO ，∵45PDA ∠=︒，∴PA AD BC ==.由PA ⊥矩形ABCD 所在平面，可得PA AB ⊥，PA AD⊥易证Rt Rt PAM CBM ≌△△，得PM CM =.∵N 为PC 的中点，∴MN PC ⊥.∵N ，O 分别是PC ，AC 的中点，∴NO PA ∥.∵PA ⊥平面ABCD ，∴NO ⊥平面ABCD ，又CD ⊂平面ABCD ，∴NO CD ⊥，∵MO AD ∥，AD CD ⊥，∴MO CD ⊥.又∵MO NO O ⋂=，MO ⊂平面MNO ，NO ⊂平面MNO .∴CD ⊥平面MNO ,又∵MN ⊂平面MNO ，∴MN CD ⊥.又MN PC ⊥，PC CD C ⋂=，PC ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD∴MN ⊥平面PCD .。
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省普通高中学业水平考试模拟试卷 一、选择题：（本题共25小题，1—15小题每小题2分，16—25小题每小题3共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若sin0且tan0是，则是
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 2．在等比数列{}na中，若24a，532a,则公比应
A．2 B．±2 C．－2 D．±12 3.函数)1lg()(xxf的定义域是 A.),2( B.),1( C.),1[ D.),2[ 4．直线x+y+1=0与圆212
2
yx的位置关系是
A.相交 B.相离 C.相切 D.不能确定 5．平面∩面=m，直线l∥，l∥ ，则
A．m∥lB．m⊥lC．m与l异面 D．m与l相交 6．已知集合|1,|21xMxxNx，则MN=
A．B．|0xx C．|1xx D．|01xx 7．已知向量tan,),cos,(sin),4,3(则且baba为 A．43 B．34 C．43 D．3
4
8．函数412xxfx的图象
A. 关于原点对称 B. 关于直线y=x对称 C. 关于x轴对称 D. 关于y轴对称 9．设等差数列na的前n项和为Sn，若36963，SS，则987aaa等于
A．63 B．45 C．36 D．27 10．设O为平行四边形ABCD的对称中心，216,4eBCeAB，则2132ee
=
A．OA B．OB C．OC D．OD 11．若0..
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 12．用2、3、4组成无重复数字的三位数，这些数被4整除的概率是 A．12B． 13C．14D．15
13．设0x，0y，1xy，则xy的最大值是
A．2 B．1 C．22 D．32 14．不等式04)2(2)2(2xaxa 对于Rx恒成立，那么a的取值围是 A．)2,2(B．]2,2( C．]2,( D．)2,( 15．为了了解高三学生的数学成绩，抽取了某班60名学生，将所得数据整理后，画出其频率分布直方图（如图所示），已知从左到右各长方形高的比为2：3：5：6：3：1，则该班学生数学成绩在（80，100）之间的学生人数是 A. 32人 B. 27人 C. 24人 D. 33人 16．函数xxxf2)1ln()(
的零点所在的大致区间是
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,)e D．(3,4) 17．如果函数f(x)=x2+bx+c对任意的实数x，都有f(1+x)=f(-x)，那么 A．)2()0()2(fff B．)2()2()0(fff
C．)2()2()0(fff D．)2()0()2(fff 18．设函数()sin(2)3fxx，则下列结论正确的是
A．()fx的图像关于直线3x
对称
B．()fx的图像关于点(,0)4对称 C．把()fx的图像向左平移12个单位，得到一个偶函数的图像 D．()fx的最小正周期为，且在[0,]6上为增函数 19．在△ABC中，a,b,c分别为三个角A,B,C
100 120 60 80 分数
组距频率 15题
开始 输入n 00ST， 是 ?2n所对的边，设向量(,),(,)mbccanbca， 若mn,则角A的大小为 A.6 B. 3 C. 2 D. 32 20．阅读右边的程序框，若输入的n是100， 则输出的变量S和T的值依次是 A．2550，2500 B．2550，2550
C．2500，2500 D．2500，2550
21．函数f（x）=)1(11xx的最大值是 A.54B.45C.43D.34 22．已知函数()sin(0)fxx的最小正周期为，则该函数的图象 A．关于点0，对称 B．关于直线x对称 C．关于点0，对称 D．关于直线x对称 23．正方体1111ABCDABCD中，P、Q、R分别是AB、AD、11BC
的中点．那么，
正方体的过P、Q、R的截面图形是 A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 24．在数列}{na中，nncaa1（c为非零常数），且前n项和为kSn
n3，则k等于
A．0 B．1 C．-1 D．2 25．直线21)10()xayaR（
的倾斜角的取值围是
A．[0，4] B． [43，) C．[0，4]∪（2，) D． [4，2)∪[43，) 二、填空题：（本题共5小题，每小题2分，共10分） 26．若向量a→＝(1＋2λ，2－3λ)与b→＝(4，1)共线，则λ＝_______________. 27．方程1)12(log3x的解x
28．若21)4tan(
，且2,0，则.__________________cossin
29．函数y)1,0(1)3(logaaxa的图象恒过定点A，若点A在直线01nymx 上，其中0mn,则nm
21
的最小值为.
30．已知变量x、y满足条件09201yxyxx则zxy的最大值是； 三、解答题：（本大题共3小题，30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 31．已知圆22:46120Cxyxy
的圆心在点C， 点(3,5)A，求；
（1）过点A的圆的切线方程； （2）O点是坐标原点，连结OA，OC，求△AOC的面积S．
32．在相同条件下对自行车运动员甲、乙两人进行了6次测试，测得他们的最大速度(单位：m/s)的数据如下： 甲 27 38 30 37 35 31 乙 33 29 38 34 28 36 （1）用茎叶图表示甲，乙两个成绩； （2）根据茎叶图分别计算两个样本的平均数x和方差s2，并根据计算结果估计哪位运动员的成绩比较稳定。
33．在ABC中，2BC，2AC31AB． (Ⅰ)求ABAC； (11)设ABC的外心为O，若ACmAOnAB，求m，n的值．
省普通高中学业水平考试-----数学试卷1答案 一．选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
C A B C A D D D B B A B A
14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 B D B C C B A D A D C B 一、选择题 1、C【解析】∵sin<0,∴在3、4象限有tan>0，∴在1、3象限，∴在3象限 2、A【解析】a5=a2q3 3、B【解析】x-1>0
4、C【解析】圆心（1，0），半径r=2∴d=2211，∴d=r，∴相切 5、A【解析】由线面平行的性质易知 6、D【解析】2x>1，∴x>0
7、D【解析】∵ba，∴3sin+4cos=0, ∴3sin=-4cos,∴tan=3
4
8、D【解析】xxxf212)(
，∴)()(xfxf，∴)(xf为偶函数，∴其关于y轴对称
9、B【解析】S3=9，S6-S3=27，∴S9-S6=45，即a7+a8+a9=45 10、B【解析】OBDBDAABBCABee2223221 11、A【解析】由y=logax向左平移5个单位即可 12、B【解析】∵仅有432、324可被4整除，∴P=31233A
13、A【解析】令x=sin2，y=cos2或由均值)(22)(2yxxyyxyx
14、B【解析】a=2时显然成立，当a≠2时，△<0且a-2<0即可
15、D【解析】6020
11=33
16、B【解析】0)2()1(ff 17、C【解析】由题对称轴为21x，且在（21，+）单调增，又)1()0(ff，)3()2(ff而)3()2()1(fff，故C 18、C【解析】将)(xf左移12得到)22sin(3)12(2sin)(xxxf
=cosx
19、B【解析】∵nm，∴nm=0，∴b(b-c)+(c-a)(c+a)=0，∴b2+c2-a2=bc，由余弦定理b2+c2-a2=2bccosA知cosA=21，故B 20、A【解析】经计算S=2550，T=2500