高等数学上册第一到第三章复习资料

高等数学上册第一到第三章复习资料写在前面：小伙伴们，高数是比较重的一门课，以下内容我可以保证是在问过罗老师后总结的第一章函数与极限总说：1.第一节至第三节是概念问题，小伙伴们只需要了解。

但是在这里有个函数极限的定义，下面我会列出2.第四、五、六、七节可以说是第一章重点了，牵扯到极限的运算。

3.第八、九、十节也是概念居多，而且与第二章函数导数牵扯较大。

在第十节，零点定理与介值定理也是重点二、极限运算的各种定理与推论（极限运算的基础）x 0是x 0+ x 0- 1.定理1：有限个无穷小的和也是无穷小2.定理2：有界函数与无穷小的乘积是无穷小3.定理3：如果limf ﹙x ﹚=A ，limg ﹙x ﹚=B ，那么：﹙1﹚lim[f ﹙x ﹚±g ﹙x ﹚]=lim f ﹙x ﹚±limg ﹙x ﹚=A ＋B ﹙2﹚lim[f ﹙x ﹚·g ﹙x ﹚]= lim f ﹙x ﹚·limg ﹙x ﹚=A ·B﹙3﹚若有B ≠0，则 lim [f ﹙x ﹚/ g ﹙x ﹚]= limf ﹙x ﹚/ limg ﹙x ﹚=A/B 4.定理4：设有数列﹛x n ﹜和﹛y n ﹜，如果lim n →∞x n =A ， lim n →∞y n =B 那么：（1）lim n →∞（x n ±y n ﹚=A ±B（2） lim n →∞x n ·y n =A ·B（3）当n x 0(1,2,3...)B 0lim n n nAy n y B →∞≠=≠=且时， 5.定理5：[][][]00000,00()()lim (),lim (),(),g(x)u ,lim ()lim ()x xu u x x u u y f g x g x g x u f u A x f g x f u Aδ→→→→===∈≠== 设函数是由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合而成，f 在点x 的某去心邻域内有定义，若且存在x 有则：4.推论1：常数与无穷小的乘积是无穷小5.推论2：有限个无穷小的乘积也是无穷小6.推论3：如果limf(x)存在,而c 为常数，则：[]lim ()lim ()cf x c f x =7.推论4：如果limf(x)存在，而n 是正整数，则：[][]lim ()lim ()nnf x f x = 二、无穷小的比较处公式：（可根据题干变换x ）11nx 等价于 arcsinx x 等价于 sinx x 等价于211-cos x 2x 等价于 1sec cos x x等价于 tan tx x等价于三、重要极限：0sin lim1x x x →= 1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭四、零点定理与介值定理：1.零点定理：设函数f(x)在闭区间[a ，b ]上连续，且f(a)与f(b)异号，那么在开区间﹙a ，b ﹚内至少有一点ξ ，使：f(ξ)=02.介值定理：设函数f(x)在闭区间[a ，b ]上连续，且在这区间的端点取不同的值f （a ）=A f(b)=B,那么，对于A 与B 之间的任意一个数C ，在开区间（a,b ） 内至少有一点ξ ，使：f(ξ)=C （a<ξ<b ）第二章 导数与微分总说：这一章可以说是前半本书的重点，它不仅与极限联系，而且与后面的积分息息相关，这章必须融会贯通。

1. 关于第一、二节，高中已经学过不再赘余，只说下反函数的求导。

（导数表详见p95页，最好背过）2. 第三、四、五节重点来了，也就是隐函数，高阶导数，参数方程的求导以及函数的微分。

一、 反函数的求导：11()=x f x f -⎡⎤⎣⎦′′（） 或dy 1dxdx dy=二、 高阶导数：高中有过接触，二阶导数，三阶导数、、、、此处指出初等函数的n 阶导数（考试出题可以代入） 1.()()n xx ee = ()()cosx cos +n 2n x π⎛⎫= ⎪⎝⎭ ()()s i n x s i n 2n x n π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()()()()()11!ln 111n n nn x x --+=-⎡⎤⎣⎦+ 2.布尼茨公式：（简单记忆的方式）()()()0nnk k n k n k u v C u v -=+=∑ （详细的此处不列出，可见p102）三、 隐函数与参数方程函数的求导1.隐函数的求导很简单，总结一下吧：就是将x ，y 统一求导（注意：y 的导数为yy ′）然后把y ′解出来即可。

（说的有不足之处，还是看不懂的一定翻书p105，做做例题，考试这块绝对有）2.参数方程确定的函数的求导：（这里指出方法，不作赘余）如:()()()()x t dy t y t dx t ϕψψϕ===′′的一阶导数为 )())()()dy t t dx t ψϕψϕϕ-=′′′′′′′3(t (t 二阶导数为四、函数微分1.定义：设函数y=f(x)在某区间内有定义，x 0+Δx 在这区间内，如果增量Δy=f （x 0+Δx ）-f （x 0） 可表示为Δy=A Δx=οΔx ，其中A 是不依赖于Δx 的常数，那么称函数y=f(x)在x 0 是可微的，而A Δx 叫做函数y=f(x)在点 x 0 相当于自变量增量 Δx 的微分，记做dy,即：dy= A Δx(很抽象的概念，但是这部分选择题填空题应该会出，但不会是概念，而是计算)2.微分的计算大致是把导数反过来，导数的求法熟悉了，这块不是问题 3.近似计算：Δy= f （x 0+Δx ）-f （x 0）≈f ′(x 0) Δxf （x 0+Δx ）≈f （x 0）＋f ′(x 0) Δx f(x) ≈f （x 0）＋f ′(x 0)（x-x 0）第三章 微分中值定理与导数的应用总说：这章特别重要，我会一节一节的罗列。

第一节 微分中值定理一、 罗尔定理： 如果函数f(x)满足（1） 在闭区间[a,b ]上连续 （2） 在开区间（a,b ﹚内可导（3） 在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b) 那么，在区间（a,b ﹚内至少存在一点ξ ()a b ξ<< ，使得()0f ξ=′ 二、 拉格朗日中值定理：如果函数f(x)满足（1） 在闭区间[a,b ]上连续 （2） 在开区间（a,b ﹚内可导 那么，在区间（a,b ﹚内至少存在一点ξ()a b ξ<<，使等式()()()()b f f a f b a ξ-=-′成立 三、 柯西中值定理：如果函数f(x)、F (x)满足（1） 在闭区间[a,b ]上连续 （2） 在开区间（a,b ﹚内可导（3） 对于任意(,),()0x a b F x ∈≠′那么，在区间（a,b ﹚内至少存在一点ξ，使等式()()()()()()f b f af F b F aF ξξ-=-′′ 成立 （注：这节定理主要还是应用，注意做课后习题） 第二节 洛必达法则第二节洛必达法则这并没有什么要说的，这节主要还是练习，熟能生巧，还有这节考试必考！第三节泰勒公式（有多少人愁这个？）注：这节怎麽说呢，有可能出题也有可能不出，出的话肯定是难题，我还是先罗列定理，还有这节须熟记3个展开式，后面我会列出。

一、 泰勒中值定理：（直接来公式）()()()()()()()()()()200000002!)!n nn f x f x f x f x x x x x f x x x R x n =+-+-++-+ ′′′（其中 ()()()()()()1101n n n f R x x x n ξ++=-+！二、 佩亚诺型余项：()()n 0nR x x x ο⎡⎤=-⎣⎦三、 f(x)按 (x-x 0)的幂展开的带有佩亚诺型余项的n 阶泰勒公式()()()()()()()000000()()!n nnf x f x f x fx x x x x x x n ο⎡⎤=+-++-+-⎣⎦′四、 带有拉格朗日余项的麦克劳林展开式()()()()()()()()()21100002!!(01)1!n n n n f f f x f f x x x n f x x n θθ++=+++++<<+ ′′′五、 带有佩亚诺型余项的麦克劳林展开式()()()()()()000!n n nf f x f f x x x n ο=++++ ′六、三个展开式1.211(01)2!!(1)!n xxn x x e e x x n n θθ+=+++++<<+2.()()()352112212sinx x 13!5!(21)!cos 1(21)!m m mmm m x x x R m x R x x m θ--+=-+-+-+-=-+3.()()2422112221111cos 112!4!(2)!cos 1(01)(22)!mm m m m m x x x x R x m xR x x m θθ++++=-+-+-+=-<<+第四、五、六节 函数（毕竟高中有基础，就放到一起吧）一、单调性（高中知识，不再赘余） 二、凹凸性1.定义：设f(x)在区间I 上连续，如果对I 上任意两点x 1 、x 2恒有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭那么称f （x ）在I 上的图形是凹的；如果恒有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭那么称f （x ）在I 上的图形是凸的3. 判断条件：()()00f x f x ><′′′′为凹 为凸三、函数的最大值与最小值（高中知识此处不赘余。

注：函数的驻点只是可能是极值点） 四、 函数图形的描绘（考试很少出，自己去看下p164）此处提出水平线与铅直线的问题1. 水平线：要求水平线就找当x 趋近于无穷，y 值有没有趋进于某个值2. 铅直线：要求铅直线就找x 趋近于哪个值，y 值趋近于无穷第七节 曲率这节主要记住公式，考试直接应用：()3/22K 1+y y =′′′ 1R Kρ==()()()()()()()()3/2t t t t x t K y t t t ϕψϕψϕψϕψ-===⎡⎤+⎣⎦′′′′′′′2′2对于参数方程其公式为 第八节 方程的近似解此章节考试一般不考，考的话也只是这个思想，即二分法与切线法的思想，此处不在赘余，希望大家自己看书p179小结：至此，我的任务结束了啊←0←给小伙伴们打印了复习重点，接下来就看你们的了。

感觉高数这门课，背背公式（概念请无视吧），做做题都差不多了。

（前提是你上课跟着老师）还是希望大家现在就开始吧，因为等结课完了实在没时间去复习了，就算那时候复习也过得不彻底。