22.1 一元二次方程

(m−1)x2 − (2m−1)x + m = 0 是关于χ的一元 分析：如果方程
一次方程，则满足下列条件： m－1=0 ① 2m－1≠0 ② 解①得:m=1, 把m=1代入②可得2m－1=2－1=1≠0 ∴m=1时,该方程为一元一次方程. 如果该方程为关于χ的一元二次方程,则应满足 m－1≠0． 解之得m≠1 ∴当m≠1时,该方程为一元二次方程
1.下列方程中 无论 为何值 总是关于 的一元 下列方程中,无论 为何值,总是关于 下列方程中 无论a为何值 总是关于x的一元 二次方程的是( 二次方程的是 D ) A.(2x-1)(x2+3)=2x2-a B.ax2+2x+4=0 C.ax2+x=x2-1 D.(a2+1)x2=0 2.当m为何值时 方程 为何值时,方程 当 为何值时
2
1 2 1 x − x = 28 2 2
?
x + 2x − 4 = 0 x2 − 75x + 350 = 0
2
x2 − x = 56
这三个方程都不是一元一次方程.那么这两个 这三个方程都不是一元一次方程 那么这两个 方程与一元一次方程的区别在哪里？ 方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么 共同特点呢？ 共同特点呢？ 特点: 特点 ①都是整式方程 都是整式方程; ②只含一个未知数; 只含一个未知数 ③未知数的最高次数是2. 未知数的最高次数是
1-x
例题讲解 例题讲解
• [例３]方程（2a − 4) x − 2bx + a = 0 ， 在 例 方程 什么条件下此方程为一元二次方程？ 什么条件下此方程为一元二次方程？在 什么条件下此方程为一元一次方程？ 什么条件下此方程为一元一次方程？
2
解：当a≠2时是一元二次方程；当a a≠2时是一元二次方程； 时是一元二次方程 b≠0时是一元一次方程 时是一元一次方程； ＝2，b≠0时是一元一次方程；
问题(2) 要组织一次排球邀请赛, 问题(2) 要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要 比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7 比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天 安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛? 安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?
分析: 分析 全部比赛共 4×7=28场 × 场
3 x( x − 1) = 5( x + 2)
?
练一练
把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二 次项系数、一次项系数和常数项：
方
程
一般形式
二次项 系 数
一次项 常数 系 数 项
பைடு நூலகம்
3x2＝5x－1 5x 1 (x＋2)(x －1)＝6 4－7x2＝0
3 2－5 ＋1 0 3x －5x＋1＝0 5 1 5x 1 1x2＋1 －8 ＋x－8＝0 0 4 －7x2 ＋0 x＋4＝0 －7 －7x2 ＋4＝0 7x2 － 4＝0
为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗 可以为零吗？ 为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？
a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0)
二次项系数 一次项系数
例题讲解
• [例1]判断下列方程是否为一元二次方程？ 判断下列方程是否为一元二次方程？ 判断下列方程是否为一元二次方程 不是 • （1） x + 2 = 5 y − 3 3 • （2）x = 4 x−2 2 −1 = x • （3） x +1 2 2 • （4）x − 4 = ( x + 2)
设应邀请x个队参赛 每个队要与其他 (x-1) 个队 设应邀请 个队参赛,每个队要与其他 个队参赛 各赛1场 各赛 场, 由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛
1 是同一场比赛,所以全部比赛共 是同一场比赛 所以全部比赛共 x( x −1) = 28 场. 2
整理， 整理，得 化简， 化简，得
x − x = 56
问题( 有一块矩形铁皮, 100㎝ 50㎝ 问题(1) 有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在它的四角 各切去一个正方形,然后将四周突出部分折起, 各切去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作 一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600 3600平方 一个无盖方盒 , 如果要制作的方盒的底面积为 3600 平方 厘米,那么铁皮各角应切去多大的正方形? 厘米,那么铁皮各角应切去多大的正方形?
1.一元二次方程的概念 一元二次方程的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 的整 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整 式方程叫做一元二次方程。 式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式 、
一般地,任何一个关于x 一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以 2 的形式, 化为 ax2 + bx的形式,我们把 +c = 0 ax + bx + c = 0 一元二次方程的一般形式。 (a,b,c为常数 a≠0）称为一元二次方程的一般形式 为常数， (a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。
3 1 －7
－5 5 1 0
1 －8 4
练习 ： 1 1 解：（ ）原方程化为5 x 2 − 4 x − 1 = 0 二次项系数为5, 一次项系数为 − 4, 常数项为 − 1 （2）原方程化为4 x 2 − 81 = 0 二次项系数为4, 一次项系数为0, 常数项为 − 81 （3）原方程化为4 x 2 + 8 x − 25 = 0 二次项系数为4, 一次项系数为8, 常数项为 − 25 （4）原方程整理得，x 2 + x − 2 = 8 x − 3 3
化简得3 x 2 - 7 x + 1 = 0 二次项系数为3, 一次项系数为 − 7, 常数项为1
练习2： 解：（ ）列方程为4 x 2 = 25 1 2 化为一般形式为4 x − 25 = 0 （2）列方程为x( x − 2) = 100 化为一般形式为x 2 − 2 x − 100 = 0
x
（3）列方程为x ×1 = (1 − x) 2 化为一般形式为x 2 − 3x + 1 = 0
(m + 1) x
4 m −2
+ 27mx + 5 = 0
是关于x的一元二次方程 是关于 的一元二次方程. 的一元二次方程
• 3. 将下列方程化为一般形式，并分别 将下列方程化为一般形式， 指出它们的二次项、 指出它们的二次项、一次项和常数项及 它们的系数： 它们的系数： ⑴ 6y = y
2
⑵ ⑶
?
分析: 分析
设切去的正方形的边长为xcm, 设切去的正方形的边长为xcm, 则盒底的长为 (100-2x)cm ,宽 宽 为 (50-2x)cm . 根据方盒的底面积为3600cm2, x 根据方盒的底面积为 得
3600
100㎝ 100㎝
50㎝ 50㎝
(100 − 2x)(50 − 2x) = 3600 即 x2 − 75x + 350 = 0
2
是 不是 不是
?
例题讲解 例题讲解
• [例2] 将下列方程化为一般形式， 将下列方程化为一般形式， 并分别指出它们的二次项、 并分别指出它们的二次项、一次项 和常数项及它们的系数： 和常数项及它们的系数：
解： x( x − 1) = 5( x + 2) 3 2 整理得3x − 3x = 5 x + 10 2 移项合并得 3 x − 8 x − 10 = 0 2 所以二次项为3x ，一次项为 − 8 x，常数项为 − 10 这三个项系数分别为3， 8， 10 − − 32页练习 第32页练习 第1、2题
一元二次方程的概念
• 像这样的等号两边都是整式, 只含有一 像这样的等号两边都是整式, 个未知数(一元)，并且未知数的最高次 个未知数(一元) 数是2(二次)的方程叫做一元二次方程 2(二次 数是2(二次)的方程叫做一元二次方程
1 − 10 x − 900 = 0是一元二次方程吗？ 2 x
一元二次方程的一般形式 一般地,任何一个关于x 一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以 的形式, 化为 ax2 + bx + c = 0我们把 的形式, ax2 + bx + c = 0 (a,b,c为常数 a≠0）称为一元二次方程的一般形式 为常数， 一元二次方程的一般形式。 (a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。 想一想
−(x−2)(x+3) =8
(2 3 + x)(2 3 − x) = (x −3)
2
?
4.当m =1 时,方程 －1)χ2－(2m－1) χ+m=0是关于 当 方程(m－ χ 方程 － 是关于 的一元一次方程,当 上述方程才是关于χ χ的一元一次方程 当m ≠1 时,上述方程才是关于χ的一元二 上述方程才是关于 次方程． 次方程．