2018年全国各地中考数学试卷解析版分类汇编三角形的边与角

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2018中考数学试题分类汇编考点20等腰三角形等边三角形和直角三角形含解析20180714455

考点20等腰三角形、等边三角形和直角三角形一．选择题（共5小题）1．（2018•湖州）如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是（）A．20°B．35°C．40°D．70°【分析】先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°﹣∠CAB）=70°．再利用角平分线定义即可得出∠ACE=∠ACB=35°．【解答】解：∵AD是△ABC的中线，AB=AC，∠CAD=20°，∴∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°﹣∠CAB）=70°．∵CE是△ABC的角平分线，∴∠ACE=∠ACB=35°．故选：B．2．（2018•宿迁）若实数m、n满足等式|m﹣2|+=0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（）A．12B．10C．8D．6【分析】由已知等式，结合非负数的性质求m、n的值，再根据m、n分别作为等腰三角形的腰，分类求解．【解答】解：∵|m﹣2|+=0，∴m﹣2=0，n﹣4=0，解得m=2，n=4，当m=2作腰时，三边为2，2，4，不符合三边关系定理；当n=4作腰时，三边为2，4，4，符合三边关系定理，周长为：2+4+4=10．故选：B．3．（2018•扬州）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是（）A．BC=EC B．EC=BE C．BC=BE D．AE=EC【分析】根据同角的余角相等可得出∠BCD=∠A，根据角平分线的定义可得出∠ACE=∠DCE，再结合∠BEC=∠A+∠ACE、∠BCE=∠BCD+∠DCE即可得出∠BEC=∠BCE，利用等角对等边即可得出BC=BE，此题得解．【解答】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠ACD+∠A=90°，∴∠BCD=∠A．∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠DCE．又∵∠BEC=∠A+∠ACE，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∴∠BEC=∠BCE，∴BC=BE．故选：C．4．（2018•淄博）如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC 于点N，且MN平分∠AMC，若AN=1，则BC的长为（）A．4B．6C．D．8【分析】根据题意，可以求得∠B的度数，然后根据解直角三角形的知识可以求得NC的长，从而可以求得BC的长．【解答】解：∵在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，∴∠AMN=∠NMC=∠B，∠NCM=∠BCM=∠NMC，∴∠ACB=2∠B，NM=NC，∴∠B=30°，∵AN=1，∴MN=2，∴AC=AN+NC=3，∴BC=6，故选：B．5．（2018•黄冈）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD=2，CE=5，则CD=（）A．2B．3C．4D．2【分析】根据直角三角形的性质得出AE=CE=5，进而得出DE=3，利用勾股定理解答即可．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CE为AB边上的中线，CE=5，∴AE=CE=5，∵AD=2，∴DE=3，∵CD为AB边上的高，∴在Rt△CDE中，CD=，故选：C．二．填空题（共12小题）6．（2018•成都）等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数为80°．【分析】本题给出了一个底角为50°，利用等腰三角形的性质得另一底角的大小，然后利用三角形内角和可求顶角的大小．【解答】解：∵等腰三角形底角相等，∴180°﹣50°×2=80°，∴顶角为80°．故填80°．7．（2018•长春）如图，在△ABC中，AB=AC．以点C为圆心，以CB长为半径作圆弧，交AC 的延长线于点D，连结BD．若∠A=32°，则∠CDB的大小为37度．【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理在△ABC中可求得∠ACB=∠ABC=74°，根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质在△BCD中可求得∠CDB=∠CBD=∠ACB=37°．【解答】解：∵AB=AC，∠A=32°，∴∠ABC=∠ACB=74°，又∵BC=DC，∴∠CDB=∠CBD=∠ACB=37°．故答案为：37．8．（2018•哈尔滨）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD 为直角三角形，则∠ADC的度数为130°或90°．【分析】根据题意可以求得∠B和∠C的度数，然后根据分类讨论的数学思想即可求得∠ADC 的度数．【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，∴∠B=∠C=40°，∵点D在BC边上，△ABD为直角三角形，∴当∠BAD=90°时，则∠ADB=50°，∴∠ADC=130°，当∠ADB=90°时，则∠ADC=90°，故答案为：130°或90°．9．（2018•吉林）我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k=，则该等腰三角形的顶角为36度．【分析】根据等腰三角形的性质得出∠B=∠C，根据三角形内角和定理和已知得出5∠A=180°，求出即可．【解答】解：∵△ABC中，AB=AC，∴∠B=∠C，∵等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k=，∴∠A：∠B=1：2，即5∠A=180°，∴∠A=36°，故答案为：36．10．（2018•淮安）若一个等腰三角形的顶角等于50°，则它的底角等于65°．【分析】利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理直接求得答案．【解答】解：∵等腰三角形的顶角等于50°，又∵等腰三角形的底角相等，∴底角等于（180°﹣50°）×=65°．故答案为：65．11．（2018•娄底）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE=3cm，则BF=6cm．【分析】先利用HL 证明Rt△ADB≌Rt△ADC，得出S △ABC =2S △ABD =2×AB•DE=AB•DE=3AB，又S△ABC=AC•BF，将AC=AB 代入即可求出BF．【解答】解：在Rt△ADB 与Rt△ADC 中，，∴Rt△ADB≌Rt△ADC，∴S △ABC =2S △ABD =2×AB•DE=AB•DE=3AB，∵S △ABC =AC•BF，∴AC•BF=3AB，∵AC=AB，∴BF=3，∴BF=6．故答案为6．12．（2018•桂林）如图，在△ABC 中，∠A=36°，AB=AC，BD 平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是3．【分析】首先根据已知条件分别计算图中每一个三角形每个角的度数，然后根据等腰三角形的判定：等角对等边解答，做题时要注意，从最明显的找起，由易到难，不重不漏．【解答】解：∵AB=AC，∠A=36°∴△ABC 是等腰三角形，∠ABC=∠ACB==72°，BD 平分∠ABC，∴∠EBD=∠DBC=36°，∴在△ABD 中，∠A=∠ABD=36°，AD=BD，△ABD 是等腰三角形，在△ABC 中，∠C=∠ABC=72°，AB=AC，△ABC 是等腰三角形，在△BDC 中，∠C=∠BDC=72°，BD=BC，△BDC 是等腰三角形，所以共有3个等腰三角形．故答案为：313．（2018•徐州）边长为a 的正三角形的面积等于．【分析】根据正三角形的性质求解．【解答】解：过点A 作AD⊥BC 于点D，∵AD⊥BC∴BD=CD=a，∴AD==a，面积则是：a•a=a 2．14．（2018•黑龙江）如图，已知等边△ABC 的边长是2，以BC 边上的高AB 1为边作等边三角形，得到第一个等边△AB 1C 1；再以等边△AB 1C 1的B 1C 1边上的高AB 2为边作等边三角形，得到第二个等边△AB 2C 2；再以等边△AB 2C 2的B 2C 2边上的高AB 3为边作等边三角形，得到第三个等边△AB 3C 3；…，记△B 1CB 2的面积为S 1，△B 2C 1B 3的面积为S 2，△B 3C 2B 4的面积为S 3，如此下去，则S n =（）n．【分析】由AB 1为边长为2的等边三角形ABC 的高，利用三线合一得到B 1为BC 的中点，求出BB 1的长，利用勾股定理求出AB 1的长，进而求出第一个等边三角形AB 1C 1的面积，同理求出第二个等边三角形AB 2C 2的面积，依此类推，得到第n 个等边三角形AB n C n 的面积．【解答】解：∵等边三角形ABC 的边长为2，AB 1⊥BC，∴BB 1=1，AB=2，根据勾股定理得：AB 1=，∴第一个等边三角形AB 1C 1的面积为×（）2=（）1；∵等边三角形AB 1C 1的边长为，AB 2⊥B 1C 1，∴B 1B 2=，AB 1=，根据勾股定理得：AB 2=，∴第二个等边三角形AB 2C 2的面积为×（）2=（）2；依此类推，第n 个等边三角形AB n C n 的面积为（）n．故答案为：（）n．15．（2018•湘潭）如图，在等边三角形ABC 中，点D 是边BC 的中点，则∠BAD=30°．【分析】根据等腰三角形的三线合一的性质和等边三角形三个内角相等的性质填空．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC．又点D是边BC的中点，∴∠BAD=∠BAC=30°．故答案是：30°．16．（2018•天津）如图，在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为．【分析】直接利用三角形中位线定理进而得出DE=2，且DE∥AC，再利用勾股定理以及直角三角形的性质得出EG以及DG的长．【解答】解：连接DE，∵在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=2，且DE∥AC，BD=BE=EC=2，∵EF⊥AC于点F，∠C=60°，∴∠FEC=30°，∠DEF=∠EFC=90°，∴FC=EC=1，故EF==，∵G为EF的中点，∴EG=，∴DG==．故答案为：．17．（2018•福建）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，D是AB的中点，则CD=3．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．【解答】解：∵∠ACB=90°，D为AB的中点，∴CD=AB=×6=3．故答案为：3．三．解答题（共2小题）18．（2018•绍兴）数学课上，张老师举了下面的例题：例1等腰三角形ABC中，∠A=110°，求∠B的度数．（答案：35°）例2等腰三角形ABC中，∠A=40°，求∠B的度数，（答案：40°或70°或100°）张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：变式等腰三角形ABC中，∠A=80°，求∠B的度数．（1）请你解答以上的变式题．（2）解（1）后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，设∠A=x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．【分析】（1）由于等腰三角形的顶角和底角没有明确，因此要分类讨论；（2）分两种情况：①90≤x＜180；②0＜x＜90，结合三角形内角和定理求解即可．【解答】解：（1）若∠A为顶角，则∠B=（180°﹣∠A）÷2=50°；若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B=180°﹣2×80°=20°；若∠A为底角，∠B为底角，则∠B=80°；故∠B=50°或20°或80°；（2）分两种情况：①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角，∴∠B的度数只有一个；②当0＜x＜90时，若∠A为顶角，则∠B=（）°；若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B=（180﹣2x）°；若∠A为底角，∠B为底角，则∠B=x°．当≠180﹣2x且180﹣2x≠x且≠x，即x≠60时，∠B有三个不同的度数．综上所述，可知当0＜x＜90且x≠60时，∠B有三个不同的度数．19．（2018•徐州）（A类）已知如图，四边形ABCD中，AB=BC，AD=CD，求证：∠A=∠C．（B类）已知如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠A=∠C，求证：AD=CD．【分析】（A类）连接AC，由AB=AC、AD=CD知∠BAC=∠BCA、∠DAC=∠DCA，两等式相加即可得；（B类）由以上过程反之即可得．【解答】证明：（A类）连接AC，∵AB=AC，AD=CD，∴∠BAC=∠BCA，∠DAC=∠DCA，∴∠BAC+∠DAC=∠BCA+∠DCA，即∠A=∠C；（B类）∵AB=AC，∴∠BAC=∠BCA，又∵∠A=∠C，即∠BAC+∠DAC=∠BCA+∠DCA，∴∠DAC=∠DCA，∴AD=CD．。

2018年全国中考数学试卷解析分类汇编经典专题22 等腰三角形

等腰三角形一.选择题1,（2015威海,第9题4分）【答案】：B【解析】根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC=∠ACB，再求出∠CBD，然后根据∠ABD=∠ABC﹣∠CBD计算即可得解．【备考指导】本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等，熟记性质是解题的关键．2.．（2015·山东潍坊第11 题3分）如图，有一块边长为6cm的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（）A．cm2B．cm2C．cm2D．cm2考点：二次函数的应用；展开图折叠成几何体；等边三角形的性质．.分析：如图，由等边三角形的性质可以得出∠A=∠B=∠C=60°，由三个筝形全等就可以得出AD=BE=BF=CG=CH=AK，根据折叠后是一个三棱柱就可以得出DO=PE=PF=QG=QH=OK，四边形ODEP、四边形PFGQ、四边形QHKO为矩形，且全等．连结AO证明△AOD≌△AOK就可以得出∠OAD=∠OAK=30°，设OD=x，则AO=2x，由勾股定理就可以求出AD=x，由矩形的面积公式就可以表示纸盒的侧面积，由二次函数的性质就可以求出结论．解答：解：∵△ABC 为等边三角形，∴∠A =∠B =∠C =60°，AB =BC =A C ．∵筝形ADOK ≌筝形BEPF ≌筝形AGQH ，∴AD =BE =BF =CG =CH =AK ．∵折叠后是一个三棱柱，∴DO =PE =PF =QG =QH =OK ，四边形ODEP 、四边形PFGQ 、四边形QHKO 都为矩形．∴∠ADO =∠AKO =90°．连结AO ，在Rt △AOD 和Rt △AOK 中，， ∴Rt △AOD ≌Rt △AOK （HL ）．∴∠OAD =∠OAK =30°．设OD =x ，则AO =2x ，由勾股定理就可以求出AD =x ， ∴DE =6﹣2x ，∴纸盒侧面积=3x （6﹣2x ）=﹣6x 2+18x ， =﹣6（x ﹣）2+，∴当x =时，纸盒侧面积最大为．故选C ．点评：本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，矩形的面积公式的运用，二次函数的性质的运用，解答时表示出纸盒的侧面积是关键．3．(2015•江苏苏州,第7题3分)如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 为BC 中点，∠BAD =35°，则∠C 的度数为 A ．35° B ．45° C ．55° D ．60°【难度】★【考点分析】考察等腰三角形三线合一，往年选择填空也常考察三角形基础题目，难度很 DC B A（第7题）。

各地2018年中考数学试卷精选汇编全等三角形(word,含解析)

全等三角形一、选择题1、（2018•四川成都•3 分）如图,已知,添加以下条件,不能判定的是（）A. B.C. D.【答案】C【考点】三角形全等的判定【解析】【解答】解：A、∵∠A=∠D,∠ABC=∠DC B,BC=CB∴△AB C≌△DCB,因此 A 不符合题意；B、∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC=CB∴△ABC≌△DCB,因此B 不符合题意；C、∵∠ABC=∠DCB,AC=DB,BC=CB,不能判断△ABC≌△DCB,因此C 符合题意；D、∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC=CB∴△ABC≌△DCB,因此 D 不符合题意；故答案为：C【分析】根据全等三角形的判定定理及图中的隐含条件,对各选项逐一判断即可。

2 （2018 年江苏省南京市•2分）如图,AB⊥CD,且AB=CD、E、F 是AD 上两点,CE⊥AD,BF⊥AD、若CE=a,BF=b,EF=c,则AD 的长为（）A、a+cB、b+cC、a﹣b+cD、a+b﹣c【分析】只要证明△ABF≌△CDE,可得 AF=CE=a,BF=DE=b,推出 AD=AF+DF=a+（b﹣c）=a+b ﹣c；【解答】解：∵AB⊥CD,CE⊥AD,BF⊥AD,∴∠AFB=∠CED=90°,∠A+∠D=90°,∠C+∠D=90°,∴∠A=∠C,∵AB=CD,∴△ABF≌△CDE,∴AF=CE=a,BF=DE=b,∵EF=c,∴AD=AF+DF=a+（b﹣c）=a+b﹣c,故选：D、【点评】本题考查全等三角形的判定和性质,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,属于中考常考题型、3、（2018·ft东临沂·3 分）如图,∠ACB=90°,AC=BC、AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别是点 D、E,AD=3,BE=1,则 DE 的长是（）A、B、2 C、2 D、【分析】根据条件可以得出∠E=∠ADC=90°,进而得出△CEB≌△ADC,就可以得出 BE=DC,就可以求出DE 的值、【解答】解：∵BE⊥CE,AD⊥CE,∴∠E=∠ADC=90°,∴∠EBC+∠BCE=90°、∵∠BCE+∠ACD=90°,∴∠EBC=∠DCA、在△CEB和△ADC中,,∴△CEB≌△ADC（AAS）,∴BE=DC=1,CE=AD=3、∴DE=EC﹣CD=3﹣1=2故选：B、【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键,学会正确寻找全等三角形,属于中考常考题型、4 （2018·台湾·分）如图,五边形 ABCDE 中有一正三角形 ACD,若AB=DE,BC=AE,∠E=115°,则∠BAE的度数为何？（）A、115B、120C、125D、130【分析】根据全等三角形的判定和性质得出△ABC 与△AED 全等,进而得出∠B=∠E,利用多边形的内角和解答即可、【解答】解：∵正三角形ACD,∴AC=AD,∠ACD=∠ADC=∠CAD=60°,∵AB=DE,BC=AE,∴△ABC≌△AED,∴∠B=∠E=115°,∠ACB=∠EAD,∠BAC=∠ADE,∴∠ACB+∠BAC=∠BAC+∠DAE=180°﹣115°=65°,∴∠BAE=∠BAC+∠DAE+∠CAD=65°+60°=125°,故选：C、【点评】此题考查全等三角形的判定和性质,关键是根据全等三角形的判定和性质得出△A BC与△A ED 全等、5.（2018•广西桂林•3分）如图,在正方形ABCD 中,AB=3,点M 在CD 的边上,且DM=1, ΔAEM 与ΔADM 关于AM 所在的直线对称,将ΔADM 按顺时针方向绕点A 旋转90°得到ΔABF,连接EF,则线段EF 的长为（）A.3B.C.D.【答案】C【解析】分析：连接 BM.证明△AFE≌△AMB 得 FE=MB,再运用勾股定理求出 BM 的长即可.详解：连接BM,如图,由旋转的性质得：AM=AF.∵四边形ABCD 是正方形,∴AD=AB=BC=CD,∠BAD=∠C=90°,∵Δ AEM 与Δ ADM 关于AM 所在的直线对称,∴∠DAM=∠EAM.∵∠DAM+∠BAM=∠FAE+∠EAM=90°,∴∠BAM=∠EAF,∴△AFE≌△AMB∴FE=BM.在Rt△BCM中,BC=3,CM=CD-DM=3-1=2,∴BM=∴FE=.故选C.点睛：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等、也考查了正方形的性质、6.(2018 四川省眉ft市2 分 ) 如图,在ABCD 中,CD=2AD,BE⊥AD于点E,F 为DC 的中点,连结 EF、BF,下列结论：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S 四边形 DEBC=2S△EFB；④∠CFE=3∠DEF,其中正确结论的个数共有（）。

2018年中考数学试题分类汇编解析(21)全等三角形

2018中考数学试题分类汇编：考点21 全等三角形一．选择题（共9小题）1．（2018•安顺）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（）A．∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．【解答】解：∵AB=AC，∠A为公共角，A、如添加∠B=∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD；B、如添AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；C、如添BD=CE，等量关系可得AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；D、如添BE=CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件．故选：D．2．（2018•黔南州）下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（）A．甲和乙B．乙和丙C．甲和丙D．只有丙【分析】根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与△ABC全等，甲与△ABC不全等．【解答】解：乙和△ABC全等；理由如下：在△ABC和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：SAS，所以乙和△ABC全等；在△ABC和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：AAS，所以丙和△ABC全等；不能判定甲与△ABC全等；故选：B．3．（2018•河北）已知：如图，点P在线段AB外，且PA=PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是（）A．作∠APB的平分线PC交AB于点CB．过点P作PC⊥AB于点C且AC=BCC．取AB中点C，连接PCD．过点P作PC⊥AB，垂足为C【分析】利用判断三角形全等的方法判断即可得出结论．【解答】解：A、利用SAS判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90°，∴点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意；C、利用SSS判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90°，∴点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意；D、利用HL判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∴点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意，B、过线段外一点作已知线段的垂线，不能保证也平分此条线段，不符合题意；故选：B．4．（2018•南京）如图，AB⊥CD，且AB=CD．E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF ⊥AD．若CE=a，BF=b，EF=c，则AD的长为（）A．a+c B．b+c C．a﹣b+c D．a+b﹣c【分析】只要证明△ABF≌△CDE，可得AF=CE=a，BF=DE=b，推出AD=AF+DF=a+（b﹣c）=a+b﹣c；【解答】解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠AFB=∠CED=90°，∠A+∠D=90°，∠C+∠D=90°，∴∠A=∠C，∵AB=CD，∴△ABF≌△CDE，∴AF=CE=a，BF=DE=b，∵EF=c，∴AD=AF+DF=a+（b﹣c）=a+b﹣c，故选：D．5．（2018•临沂）如图，∠ACB=90°，AC=BC．AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD=3，BE=1，则DE的长是（）A．B．2 C．2 D．【分析】根据条件可以得出∠E=∠ADC=90°，进而得出△CEB≌△ADC，就可以得出BE=DC，就可以求出DE的值．【解答】解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E=∠ADC=90°，∴∠EBC+∠BCE=90°．∵∠BCE+∠ACD=90°，∴∠EBC=∠DCA．在△CEB和△ADC中，，∴△CEB≌△ADC（AAS），∴BE=DC=1，CE=AD=3．∴DE=EC﹣CD=3﹣1=2故选：B．6．（2018•台湾）如图，五边形ABCDE中有一正三角形ACD，若AB=DE，BC=AE，∠E=115°，则∠BAE的度数为何？（）A．115 B．120 C．125 D．130【分析】根据全等三角形的判定和性质得出△ABC与△AED全等，进而得出∠B=∠E，利用多边形的内角和解答即可．【解答】解：∵正三角形ACD，∴AC=AD，∠ACD=∠ADC=∠CAD=60°，∵AB=DE，BC=AE，∴△ABC≌△AED，∴∠B=∠E=115°，∠ACB=∠EAD，∠BAC=∠ADE，∴∠ACB+∠BAC=∠BAC+∠DAE=180°﹣115°=65°，∴∠BAE=∠BAC+∠DAE+∠CAD=65°+60°=125°，故选：C．7．（2018•成都）如图，已知∠ABC=∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（）A．∠A=∠D B．∠ACB=∠DBC C．AC=DB D．AB=DC【分析】全等三角形的判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理逐个判断即可．【解答】解：A、∠A=∠D，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合AAS，即能推出△ABC ≌△DCB，故本选项错误；B、∠ABC=∠DCB，BC=CB，∠ACB=∠DBC，符合ASA，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；C、∠ABC=∠DCB，AC=BD，BC=BC，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出△ABC≌△DCB，故本选项正确；D、AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合SAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；故选：C．8．（2018•黑龙江）如图，四边形ABCD中，AB=AD，AC=5，∠DAB=∠DCB=90°，则四边形ABCD的面积为（）A．15 B．12.5 C．14.5 D．17【分析】过A作AE⊥AC，交CB的延长线于E，判定△ACD≌△AEB，即可得到=△ACE是等腰直角三角形，四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等，根据S△ACE×5×5=12.5，即可得出结论．【解答】解：如图，过A作AE⊥AC，交CB的延长线于E，∵∠DAB=∠DCB=90°，∴∠D+∠ABC=180°=∠ABE+∠ABC，∴∠D=∠ABE，又∵∠DAB=∠CAE=90°，∴∠CAD=∠EAB，又∵AD=AB，∴△ACD≌△AEB，∴AC=AE，即△ACE是等腰直角三角形，∴四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等，=×5×5=12.5，∵S△ACE∴四边形ABCD的面积为12.5，故选：B．9．（2018•绵阳）如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，若AE=，AD=，则两个三角形重叠部分的面积为（）A．B．3C．D．3【分析】如图设AB交CD于O，连接BD，作OM⊥DE于M，ON⊥BD于N．想办法求出△AOB的面积．再求出OA与OB的比值即可解决问题；【解答】解：如图设AB交CD于O，连接BD，作OM⊥DE于M，ON⊥BD于N．∵∠ECD=∠ACB=90°，∴∠ECA=∠DCB，∵CE=CD，CA=CB，∴△ECA≌△DCB，∴∠E=∠CDB=45°，AE=BD=，∵∠EDC=45°，∴∠ADB=∠ADC+∠CDB=90°，在Rt△ADB中，AB==2，∴AC=BC=2，×2×2=2，∴S△ABC=∵OD平分∠ADB，OM⊥DE于M，ON⊥BD于N，∴OM=ON，∵====，=2×=3﹣，∴S△AOC故选：D．二．填空题（共4小题）10．（2018•金华）如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC（不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是AC=BC．【分析】添加AC=BC，根据三角形高的定义可得∠ADC=∠BEC=90°，再证明∠EBC=∠DAC，然后再添加AC=BC可利用AAS判定△ADC≌△BEC．【解答】解：添加AC=BC，∵△ABC的两条高AD，BE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠DAC+∠C=90°，∠EBC+∠C=90°，∴∠EBC=∠DAC，在△ADC和△BEC中，∴△ADC≌△BEC（AAS），故答案为：AC=BC．11．（2018•衢州）如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，BF=CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是AB=ED（只需写一个，不添加辅助线）．【分析】根据等式的性质可得BC=EF，根据平行线的性质可得∠B=∠E，再添加AB=ED可利用SAS判定△ABC≌△DEF．【解答】解：添加AB=ED，∵BF=CE，∴BF+FC=CE+FC，即BC=EF，∵AB∥DE，∴∠B=∠E，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS），故答案为：AB=ED．12．（2018•绍兴）等腰三角形ABC中，顶角A为40°，点P在以A为圆心，BC 长为半径的圆上，且BP=BA，则∠PBC的度数为30°或110°．【分析】分两种情形，利用全等三角形的性质即可解决问题；【解答】解：如图，当点P在直线AB的右侧时．连接AP．∵AB=AC，∠BAC=40°，∴∠ABC=∠C=70°，∵AB=AB，AC=PB，BC=PA，∴△ABC≌△BAP，∴∠ABP=∠BAC=40°，∴∠PBC=∠ABC﹣∠ABP=30°，当点P′在AB的左侧时，同法可得∠ABP′=40°，∴∠P′BC=40°+70°=110°，故答案为30°或110°．13．（2018•随州）如图，在四边形ABCD中，AB=AD=5，BC=CD且BC＞AB，BD=8．给出以下判断：①AC垂直平分BD；②四边形ABCD的面积S=AC•BD；③顺次连接四边形ABCD的四边中点得到的四边形可能是正方形；④当A，B，C，D四点在同一个圆上时，该圆的半径为；⑤将△ABD沿直线BD对折，点A落在点E处，连接BE并延长交CD于点F，当BF⊥CD时，点F到直线AB的距离为．其中正确的是①③④．（写出所有正确判断的序号）【分析】依据AB=AD=5，BC=CD，可得AC是线段BD的垂直平分线，故①正确；依据四边形ABCD的面积S=，故②错误；依据AC=BD，可得顺次连接四边形ABCD的四边中点得到的四边形是正方形，故③正确；当A，B，C，D四点在同一个圆上时，设该圆的半径为r，则r2=（r﹣3）2+42，得r=，故④正确；连接AF，设点F到直线AB的距离为h，由折叠可得，四边形ABED是菱形，AB=BE=5=AD=GD，BO=DO=4，依据S△BDE=×BD×OE=×BE×DF，可得DF=，=S梯形ABFD﹣S△ADF，即可得到h=，故⑤错误．进而得出EF=，再根据S△ABF【解答】解：∵在四边形ABCD中，AB=AD=5，BC=CD，∴AC是线段BD的垂直平分线，故①正确；四边形ABCD的面积S=，故②错误；当AC=BD时，顺次连接四边形ABCD的四边中点得到的四边形是正方形，故③正确；当A，B，C，D四点在同一个圆上时，设该圆的半径为r，则r2=（r﹣3）2+42，得r=，故④正确；将△ABD沿直线BD对折，点A落在点E处，连接BE并延长交CD于点F，如图所示，连接AF，设点F到直线AB的距离为h，由折叠可得，四边形ABED是菱形，AB=BE=5=AD=GD，BO=DO=4，∴AO=EO=3，=×BD×OE=×BE×DF，∵S△BDE∴DF==，∵BF⊥CD，BF∥AD，∴AD⊥CD，EF==，=S梯形ABFD﹣S△ADF，∵S△ABF∴×5h=（5+5+）×﹣×5×，解得h=，故⑤错误；故答案为：①③④．三．解答题（共23小题）14．（2018•柳州）如图，AE和BD相交于点C，∠A=∠E，AC=EC．求证：△ABC ≌△EDC．【分析】依据两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等进行判断．【解答】证明：∵在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（ASA）．15．（2018•云南）如图，已知AC平分∠BAD，AB=AD．求证：△ABC≌△ADC．【分析】根据角平分线的定义得到∠BAC=∠DAC，利用SAS定理判断即可．【解答】证明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC．16．（2018•泸州）如图，EF=BC，DF=AC，DA=EB．求证：∠F=∠C．【分析】欲证明∠F=∠C，只要证明△ABC≌△DEF（SSS）即可；【解答】证明：∵DA=BE，∴DE=AB，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴∠C=∠F．17．（2018•衡阳）如图，已知线段AC，BD相交于点E，AE=DE，BE=CE．（1）求证：△ABE≌△DCE；（2）当AB=5时，求CD的长．【分析】（1）根据AE=DE，BE=CE，∠AEB和∠DEC是对顶角，利用SAS证明△AEB≌△DEC即可．（2）根据全等三角形的性质即可解决问题．【解答】（1）证明：在△AEB和△DEC中，，∴△AEB≌△DEC（SAS）．（2）解：∵△AEB≌△DEC，∴AB=CD，∵AB=5，∴CD=5．18．（2018•通辽）如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A 作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=CD，连接CF．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）若AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．【分析】（1）由AF∥BC得∠AFE=∠EBD，继而结合∠EAF=∠EDB、AE=DE即可判定全等；（2）根据AB=AC，且AD是BC边上的中线可得∠ADC=90°，由四边形ADCF是矩形可得答案．【解答】证明：（1）∵E是AD的中点，∴AE=DE，∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE，∠EAF=∠EDB，∴△AEF≌△DEB（AAS）；（2）连接DF，∵AF∥CD，AF=CD，∴四边形ADCF是平行四边形，∵△AEF≌△DEB，∴BE=FE，∵AE=DE，∴四边形ABDF是平行四边形，∴DF=AB，∵AB=AC，∴DF=AC，∴四边形ADCF是矩形．19．（2018•泰州）如图，∠A=∠D=90°，AC=DB，AC、DB相交于点O．求证：OB=OC．【分析】因为∠A=∠D=90°，AC=BD，BC=BC，知Rt△BAC≌Rt△CDB（HL），所以AB=CD，证明△ABO与△CDO全等，所以有OB=OC．【解答】证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中，∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），∴∠OBC=∠OCB，∴BO=CO．20．（2018•南充）如图，已知AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC．求证：∠C=∠E．【分析】由∠BAE=∠DAC可得到∠BAC=∠DAE，再根据“SAS”可判断△BAC≌△DAE，根据全等的性质即可得到∠C=∠E．【解答】解：∵∠BAE=∠DAC，∴∠BAE﹣∠CAE=∠DAC﹣∠CAE，即∠BAC=∠DAE，在△ABC和△ADE中，∵，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠C=∠E．21．（2018•恩施州）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC ∥FD，AD交BE于O．求证：AD与BE互相平分．【分析】连接BD，AE，判定△ABC≌△DEF（ASA），可得AB=DE，依据AB∥DE，即可得出四边形ABDE是平行四边形，进而得到AD与BE互相平分．【解答】证明：如图，连接BD，AE，∵FB=CE，∴BC=EF，又∵AB∥ED，AC∥FD，∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA），∴AB=DE，又∵AB∥DE，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AD与BE互相平分．22．（2018•哈尔滨）已知：在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD，作BF⊥CD，垂足为点F，BF与AC交于点C，∠BGE=∠ADE．（1）如图1，求证：AD=CD；（2）如图2，BH是△ABE的中线，若AE=2DE，DE=EG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADE 面积的2倍．【分析】（1）由AC⊥BD、BF⊥CD知∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF，根据∠BGE=∠ADE=∠CGF得出∠DAE=∠GCF即可得；（2）设DE=a，先得出AE=2DE=2a、EG=DE=a、AH=HE=a、CE=AE=2a，据此知S△=2a2=2S△ADE，证△ADE≌△BGE得BE=AE=2a，再分别求出S△ABE、S△ACE、S△BHG，ADC从而得出答案．【解答】解：（1）∵∠BGE=∠ADE，∠BGE=∠CGF，∴∠ADE=∠CGF，∵AC⊥BD、BF⊥CD，∴∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF，∴∠DAE=∠GCF，∴AD=CD；（2）设DE=a，则AE=2DE=2a，EG=DE=a，=AE•DE=•2a•a=a2，∴S△ADE∵BH是△ABE的中线，∴AH=HE=a，∵AD=CD、AC⊥BD，∴CE=AE=2a，则S △ADC =AC•DE=•（2a +2a ）•a=2a 2=2S △ADE ；在△ADE 和△BGE 中，∵，∴△ADE ≌△BGE （ASA ），∴BE=AE=2a ，∴S △ABE =AE•BE=•（2a ）•2a=2a 2，S △ACE =CE•BE=•（2a ）•2a=2a 2，S △BHG =HG•BE=•（a +a ）•2a=2a 2，综上，面积等于△ADE 面积的2倍的三角形有△ACD 、△ABE 、△BCE 、△BHG ．23．（2018•武汉）如图，点E 、F 在BC 上，BE=CF ，AB=DC ，∠B=∠C ，AF 与DE 交于点G ，求证：GE=GF ．【分析】求出BF=CE ，根据SAS 推出△ABF ≌△DCE ，得对应角相等，由等腰三角形的判定可得结论．【解答】证明：∵BE=CF ，∴BE +EF=CF +EF ，∴BF=CE ，在△ABF 和△DCE 中∴△ABF ≌△DCE （SAS ），∴∠GEF=∠GFE ，∴EG=FG ．24．（2018•咸宁）已知：∠AOB．求作：∠A'O'B'，使∠A'O′B'=∠AOB（1）如图1，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D；（2）如图2，画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径间弧，交O′A′于点C′；（3）以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所而的弧交于点D′；（4）过点D′画射线O′B'，则∠A'O'B'=∠AOB．根据以上作图步骤，请你证明∠A'O'B′=∠AOB．【分析】由基本作图得到OD=OC=O′D′=O′C′，CD=C′D′，则根据“SSS“可证明△OCD ≌△O′C′D′，然后利用全等三角形的性质可得到∠A'O'B′=∠AOB．【解答】证明：由作法得OD=OC=O′D′=O′C′，CD=C′D′，在△OCD和△O′C′D′中，∴△OCD≌△O′C′D′，∴∠COD=∠C′O′D′，即∠A'O'B′=∠AOB．25．（2018•安顺）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AF=DC；（2）若AC⊥AB，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．【分析】（1）连接DF，由AAS证明△AFE≌△DBE，得出AF=BD，即可得出答案；（2）根据平行四边形的判定得出平行四边形ADCF，求出AD=CD，根据菱形的判定得出即可；【解答】（1）证明：连接DF，∵E为AD的中点，∴AE=DE，∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE，在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS），∴EF=BE，∵AE=DE，∴四边形AFDB是平行四边形，∴BD=AF，∵AD为中线，∴DC=BD，∴AF=DC；（2）四边形ADCF的形状是菱形，理由如下：∵AF=DC，AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AC⊥AB，∴∠CAB=90°，∵AD为中线，∴AD=BC=DC，∴平行四边形ADCF是菱形；26．（2018•广州）如图，AB与CD相交于点E，AE=CE，DE=BE．求证：∠A=∠C．【分析】根据AE=EC，DE=BE，∠AED和∠CEB是对顶角，利用SAS证明△ADE ≌△CBE即可．【解答】证明：在△AED和△CEB中，，∴△AED≌△CEB（SAS），∴∠A=∠C（全等三角形对应角相等）．27．（2018•宜宾）如图，已知∠1=∠2，∠B=∠D，求证：CB=CD．【分析】由全等三角形的判定定理AAS证得△ABC≌△ADC，则其对应边相等．【解答】证明：如图，∵∠1=∠2，∴∠ACB=∠ACD．在△ABC与△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（AAS），∴CB=CD．28．（2018•铜仁市）已知：如图，点A、D、C、B在同一条直线上，AD=BC，AE=BF，CE=DF，求证：AE∥BF．【分析】可证明△ACE≌△BDF，得出∠A=∠B，即可得出AE∥BF；【解答】证明：∵AD=BC，∴AC=BD，在△ACE和△BDF中，，∴△ACE≌△BDF（SSS）∴∠A=∠B，∴AE∥BF；29．（2018•温州）如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，AD∥EC，∠AED=∠B．（1）求证：△AED≌△EBC．（2）当AB=6时，求CD的长．【分析】（1）利用ASA即可证明；（2）首先证明四边形AECD是平行四边形，推出CD=AE=AB即可解决问题；【解答】（1）证明：∵AD∥EC，∴∠A=∠BEC，∵E是AB中点，∴AE=EB，∵∠AED=∠B，∴△AED≌△EBC．（2）解：∵△AED≌△EBC，∴AD=EC，∵AD∥EC，∴四边形AECD是平行四边形，∴CD=AE，∵AB=6，∴CD=AB=3．30．（2018•菏泽）如图，AB∥CD，AB=CD，CE=BF．请写出DF与AE的数量关系，并证明你的结论．【分析】结论：DF=AE．只要证明△CDF≌△BAE即可；【解答】解：结论：DF=AE．理由：∵AB∥CD，∴∠C=∠B，∵CE=BF，∴CF=BE，∵CD=AB，∴△CDF≌△BAE，∴DF=AE．31．（2018•苏州）如图，点A，F，C，D在一条直线上，AB∥DE，AB=DE，AF=DC．求证：BC∥EF．【分析】由全等三角形的性质SAS判定△ABC≌△DEF，则对应角∠ACB=∠DFE，故证得结论．【解答】证明：∵AB∥DE，∴∠A=∠D，∵AF=DC，∴AC=DF．∴在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠ACB=∠DFE，∴BC∥EF．32．（2018•嘉兴）已知：在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF ⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF．求证：△ABC是等边三角形．【分析】只要证明Rt△ADE≌Rt△CDF，推出∠A=∠C，推出BA=BC，又AB=AC，即可推出AB=BC=AC；【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，∴∠AED=∠CFD=90°，∵D为AC的中点，∴AD=DC，在Rt△ADE和Rt△CDF中，，∴Rt△ADE≌Rt△CDF，∴∠A=∠C，∴BA=BC，∵AB=AC，∴AB=BC=AC，∴△ABC是等边三角形．33．（2018•滨州）已知，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D为BC的中点．（1）如图①，若点E、F分别为AB、AC上的点，且DE⊥DF，求证：BE=AF；（2）若点E、F分别为AB、CA延长线上的点，且DE⊥DF，那么BE=AF吗？请利用图②说明理由．【分析】（1）连接AD，根据等腰三角形的性质可得出AD=BD、∠EBD=∠FAD，根据同角的余角相等可得出∠BDE=∠ADF，由此即可证出△BDE≌△ADF（ASA），再根据全等三角形的性质即可证出BE=AF；（2）连接AD，根据等腰三角形的性质及等角的补角相等可得出∠EBD=∠FAD、BD=AD，根据同角的余角相等可得出∠BDE=∠ADF，由此即可证出△EDB≌△FDA （ASA），再根据全等三角形的性质即可得出BE=AF．【解答】（1）证明：连接AD，如图①所示．∵∠A=90°，AB=AC，∴△ABC为等腰直角三角形，∠EBD=45°．∵点D为BC的中点，∴AD=BC=BD，∠FAD=45°．∵∠BDE+∠EDA=90°，∠EDA+∠ADF=90°，∴∠BDE=∠ADF．在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE=AF；（2）BE=AF，证明如下：连接AD，如图②所示．∵∠ABD=∠BAD=45°，∴∠EBD=∠FAD=135°．∵∠EDB+∠BDF=90°，∠BDF+∠FDA=90°，∴∠EDB=∠FDA．在△EDB和△FDA中，，∴△EDB≌△FDA（ASA），∴BE=AF．34．（2018•怀化）已知：如图，点A．F，E．C在同一直线上，AB∥DC，AB=CD，∠B=∠D．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若点E，G分别为线段FC，FD的中点，连接EG，且EG=5，求AB的长．【分析】（1）根据平行线的性质得出∠A=∠C，进而利用全等三角形的判定证明即可；（2）利用全等三角形的性质和中点的性质解答即可．【解答】证明：（1）∵AB∥DC，∴∠A=∠C，在△ABE与△CDF中，∴△ABE≌△CDF（ASA）；（2）∵点E，G分别为线段FC，FD的中点，∴ED=CD，∵EG=5，∴CD=10，∵△ABE≌△CDF，∴AB=CD=10．35．（2018•娄底）如图，已知四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD，过O点作EF⊥BD，分别交AD、BC于点E、F．（2）判断四边形BEDF的形状，并说明理由．【分析】（1）首先证明四边形ABCD是平行四边形，再利用ASA证明△AOE≌△COF；（2）结论：四边形BEDF是菱形．根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；【解答】（1）证明：∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF．（2）解：结论：四边形BEDF是菱形，∵△AOE≌△COF，∴AE=CF，∵AD=BC，∴DE=BF，∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∵OB=OD，EF⊥BD，∴EB=ED，∴四边形BEDF是菱形．36．（2018•桂林）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD=CF，AB=DE，BC=EF．（2）若∠A=55°，∠B=88°，求∠F的度数．【分析】（1）求出AC=DF，根据SSS推出△ABC≌△DEF．（2）由（1）中全等三角形的性质得到：∠A=∠EDF，进而得出结论即可．【解答】证明：（1）∵AC=AD+DC，DF=DC+CF，且AD=CF∴AC=DF在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SSS）（2）由（1）可知，∠F=∠ACB∵∠A=55°，∠B=88°∴∠ACB=180°﹣（∠A+∠B）=180°﹣（55°+88°）=37°∴∠F=∠ACB=37°。

2018中考数学真题分类汇编解析版-13.3.等腰(等边)三角形

一、选择题1.．(2018·攀枝花，4，3分)如图2，等腰直角三角形的顶点A ，C 分别在直线a ，b 上，若a ∥b ，∠1＝30°，则∠2的度数为( )A ．30°B ．15°C ．10°D ．20°4．B ，解析：等腰直角三角形中的锐角∠B ＝45°．过点B 作BD ∥a (点D 在点B 的右边)，则∠ABD ＝∠1＝30°，且BD ∥b ．∴∠2＝∠DBC ＝∠ABC －∠ABD ＝45°－30°＝15°．故选B ．2．（2018·枣庄市，10，3）如图是由8个全等的小矩形组成的大正方形，线段AB 的端点都在小矩形的顶点上，如果点P 是某个小矩形的顶点，连接P A ，PB ，那么使△ABP 为等腰直角三角形的点P 的个数是（）A ． 2个B ．3个C ．4个D ．5个答案：B ，解析：如下图，设每个小矩形的长与宽分别为x 、y ，则有2x ＝x ＋2y ，从而x ＝2y ．因为线段AB 是1×2的矩形对角线，所以根据网格作垂线可知，过点B 与AB 垂直且相等的线段有BP 1和BP 2，过点A 与AB 垂直且相等的线段有BP 3，且P 1、P 2，P 3都在顶点上，因此满足题意的点P 共有3个，故选择B ．P 2P 3P 1AB3．（2018·扬州市，7，3分）在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，CE 平分∠ACD 交AB 于E ，则下列结论一定成立的是（） A ．BC ＝EC B ．EC ＝BE C ．BC ＝BE D ．AE ＝EC21E D CBAC ，解析：∵∠B ＋∠BCD ＝∠B ＋∠A ＝90°，∴∠BCD ＝∠A ；∵CE 平分∠ACD ，∴∠1＝∠2； ∵∠CEB ＝∠A ＋∠1，∠BCE ＝∠BCD ＋∠2，∴∠CEB ＝∠BCE ，∴BC ＝BE ．故选C ．E D CBA第7题图a b ACB12图26．（2018江苏宿迁，6，3分）若实数m ，n 满足等式042=-+-n m ，且m ，n 恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长是A ．12B ．10C ．8D ．6答案：B ，解析：根据042=-+-n m 得m=2，n=4，再根据等腰三角形三边关系定理得：三角形三边长分别为4，4，2，故选B ．7. （2018·山东淄博，11，4分）如图，在Rt △ABC 中，CM 平分∠ACB 交AB 与点M ，过点M 作MN ∥BC 交AC 于点N ，且AN 平分∠AMC .若AN =1，则BC 的长为（） A ．4 B ．6 C ．43 D ．8N MA BC答案：B 解析：∵MN ∥BC ，∴∠AMN =∠NMC =∠NCM =∠BCM . 又∠A =90°，∴∠AMN =∠B =30°. ∴∠MN =2AN =2=NC . ∴BC =2AC =6.8. （2018·山东淄博，12，4分）如图，P 为等边三角形ABC 内的一点，且P 到三个顶点A ，B ，C 的距离分别为3，4，5，则△ABC 的面积为（）A ．9＋2543B ．9＋2523C ．18＋253D ．18＋2523AB CP答案：A 解析：∵三角形ABC 是等边三角形，∴AB =AC ，∠BAC =60°. 如图，将△ABP 绕顶点A 逆时针旋转60°到△ACP ′处.则△ACP ′≌△ABP .∴P A =P ′A =3，PB =P ′C =4，∠BAP =∠CAP ′.∴∠P ′AP =∠P AC +∠CAP ′=∠P AC +∠BAP =∠BAC =60°. ∴△P AP ′是等边三角形. ∴PP ′=P ′A =3.在△PP ′C 中，PP '2+P ′C 2=9+15=25=PC 2.∴△PP ′C 是直角三角形.∴∠PP ′C =90°. 类似地，可分别旋转△ACP ，△BCP .由此可得：△ABC 的面积=3221131[(345)+343)]2222⨯++⨯⨯⨯⨯=25394+.9．（2018·娄底市，10，3分）如图（2），往竖直放置的在A 处由短软管连接的粗细均匀细管组成的“U ”形装置中注入一定量的水，水面高度为6cm ，现将右边细管绕A 处顺时针方向旋转60︒到AB 位置,则AB 中水柱的长度约为( ) A ．4cm B ．63cm C ．8cm D ．12cm图(2)C ，解析：如图，构造Rt △ACD ，设AD=xcm ，因为∠ACD=30︒,AC=2AD=2xcm ．则x+2x=12，解得x=4，所以AC=2x=810．（2018·黄冈市，4，3分）如图，在△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，且分别交BC 、AC 于点D和E ，∠B ＝60°，∠C ＝25°，则∠BAD 为（） A ．50° B ．70° C ．75° D ．80°DEABCB ，解析：∵DE 垂直平分AC ，∴AD ＝CD ，∴∠DAC ＝∠C ＝25°，∴∠ADB ＝∠DAC ＋∠C ＝25°＋25°＝50°，在△ABD 中，∠BAD ＝180°－∠B －∠BAD ＝180－60°－50°＝70°．故选B ．11．(2018·荆门，11，3分)如图，等腰Rt △ABC 中，斜边AB 的长为2，O 为AB 的中点，P 为AC 边上的动点，OQ ⊥OP 交BC 于点Q ，M 为PQ 的中点，当点P 从点A 运动到点C 时，点M 所经过的路线长为( )A ．24πB ．22π C ．1 D ．211．C 解析：设AC ，BC 的中点分别为E ，F ，连接EF ，OC ，MO ，MC ．∵点M 是Rt △OPQ 和Rt △CPQ 的斜边PQ 的中点，∴MO ＝MC ．∴点M 在OC 的垂直平分线上．∵点E ，F 在OC 的垂直平分线上，∴点M 在中位线EF 上．可见点M 运动的路径是线段EF ，路线长＝12AB ＝1．故选C ．二、填空题 1．(2018·泸州，16，3分)如图5，等腰△ABC 的底边BC ＝20，面积为120，点F 在边BC 上，且BF ＝3FC ，QP M BC O A 图3FEQPMB CO A 第11题图EG 是腰AC 的垂直平分线，若点D 在EG 上运动，则△CDF 周长的最小值为．GFEDCBA答案：18，解析：∵BC ＝20，BF ＝3FC ，∴BF ＝34×20＝15，FC ＝14×20＝5．∵△CDF 周长＝CD ＋DF ＋FC ＝CD ＋DF ＋5，∴当CD ＋DF 最小时，△CDF 的周长有最小值．连接AD ．∵EG 是AC 的垂直平分线，∴AD ＝CD ，∴CD ＋DF ＝AD ＋DF ．根据“两点之间，线段最短”可知当点A ，D ，F 在同一条直线上时，AD ＋DF 的最小值为AF ．过点A 作AH ⊥BC 于H ，∵BC ＝20，△ABC 的面积为120，∴AH ＝2120=1220⨯．∵AB ＝AC ，∴BH ＝CH ＝12BC ＝10，∴HF ＝15－10＝5．在Rt △AHF 中，根据勾股定理，得AF ＝225+12＝13，即CD ＋DF 的最小值为13，∴△CDF 周长的最小值为13＋5＝18．2．（2018·成都，11，4分）等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数为．80° 解析：三角形是等腰三角形，一个底角为50°，∴另一个底角也为50°，根据三角形内角定理可得它的顶角为180°－50°－50°=80°.3．．（2018•无锡市，18，2）如图，已知∠XOY =60°，点A 在边OX 上，OA =2，过点A 作AC ⊥OY 于点C ，以AC 为一边在∠XOY 内作等边三角形ABC ，点P 是△ABC 围成的区域（包括各边）内的一点，过点P 作PD //OY 交OX 于点D ，作PE //OX 交OY 于点E ，设OD =a ，OE =b ,则a +2b 的取值范围是 . 答案：2(25)a b +≤≤，解析：如图①过P 作PH ⊥OY 交于点H ，∵PE //OX ，∠XOY =60°，∴∠PEH =∠XOY =60°，∠EPH =30°，∴EH =1122EP a =，∴a +2b =12()2()22a b EH EO OH +=+=，∵点P 是△ABC 围成的区域（包括各边）内的任意一点，∴当P 在AC 边上时，H 与C 重合（见图②），此时min 1OH OC ==，min (2)2a b +=；当P 在点B 时（见图③），max 35122OH =+=，max (2)5a b +=，∴2(25)ab +≤≤4．（2018·娄底市，16，3分）如图（6），△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC 于D 点，DE ⊥AB 于点E ，BF ⊥AC 于点F ，DE=3cm ，则BF= cm ．FEDCBA图（6）答案6，解析：在△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC ，所以AD 平分∠BAC ，又DE ⊥AB ，过D 作DG ⊥AC 于G ，则DG=DE=3cm ，再根据等腰三角形三线合一的性质，知D 是BC 边中点，由此可得BF=2DG=6 cmGF EDCBA5．（2018·天津市，17，3分）如图，在边长为4的等边△ABC 中，D ,E 分别为AB ,BC 的中点，EF ⊥AC 于点F ，G 为EF 的中点，连接DG ，则DG 的长为 .答案，192 解析：如图，连接DE .∵D ,E 分别为AB ,BC 的中点，∴CE =12BC =12×4=2，DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥AC ，DE =12AC =12×4=2，∴∠DEB =∠C =60°.∵EF ⊥AC ，∴∠EFC =90°,∠FEC =180°-90°-60°=30，∴∠DFG =180°﹣∠DEB ﹣∠FEC =180°-60°-30°=90°.在Rt △EFC 中， EF =CE ·tanC =2×3=32.∵G 是EF 的中点，∴EG =32.在Rt △DEG 中，根据勾股定理，得DG =2222319=2=22DE EG ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭.三、解答题 1.．（2018滨州，25，13分）已知，在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D 为BC 的中点．（1）如图①，若点E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且DE ⊥DF ，求证：BE ＝AF ；（2）若点E 、F 分别为AB 、CA 延长线上的点，且DE ⊥DF ，那么BE ＝AF 吗？请利用图②说明理由．图②图①ADFE ADBCCB第25题图思路分析：（1）利用等腰直角三星的性质，连接AD ，构造△BDE 和△ADF ，通过ASA 证明全等即可得出结论；（2）类比（1），通过连接AD ，仍然可以构造△BDE 和△ADF ，通过ASA 证明全等得出结论．解答过程：（1）如图①，连接AD ，∵∠BDA ＝∠EDF ＝90°∴∠BDE ＋∠EDA ＝∠EDA ＋∠ADF ∴∠BDE ＝∠ADF 又∵D 为BC 中点，△ABC 是等腰直角三角形∴BD ＝AD ，∠B ＝∠DAC ＝45° ∴△BDE ≌△ADF （ASA ）∴BE ＝AF ．答案图①FEADCB答案图②FADBCE第25题答图（2）如图②，连接AD ，∵∠BDA ＝∠EDF ＝90°∴∠BDE ＋∠BDF ＝∠BDF ＋∠ADF∴∠BDE ＝∠ADF 又∵D 为BC 中点，△ABC 是等腰直角三角形∴BD ＝AD ，∠B ＝∠DAC ＝45° ∴∠EBD ＝∠F AD ＝180°－45°＝135°∴△BDE ≌△ADF （ASA ）∴BE ＝AF 2．（2018·嘉兴市，19，6）已知：在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为AC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，垂足分别为点E 、F ，且DE ＝DF ．求证：△ABC 是等边三角形．FEDA BC思路分析：通过证明Rt △ADE ≌Rt △CDF ，得到∠A ＝∠C ，从而得到AB ＝BC ，从而AB ＝AC ＝BC ．证明：∵AB ＝AC ． ∴∠B ＝∠C ．∵ DE ⊥AB ，DF ⊥BC ． ∴∠DEA ＝∠DFC ＝Rt ∠． ∵D 为AC 的中点． ∴DA ＝DC ．又∵DE ＝DF ．∴Rt △ADE ≌Rt △CDF （HL ）． ∴∠A ＝∠C ．∴∠A ＝∠B ＝∠C ． ∴△ABC 是等边三角形．3（2018·绍兴，22，12分）数学课上，张老师举了下面的例题：例1 等腰三角形ABC 中，∠A =110°，求∠B 的度数.（答案：35°）例2 等腰三角形ABC 中，∠A =40°，求∠B 的度数.（答案：40°或70°或100°）张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：变式等腰三角形ABC 中，∠A =80°，求∠B 的度数. （1）请你解答以上的变式题.（2）解（1）后，小敏发现，∠A 的度数不同，得到∠B 的度数的个数也可能不同.如果在等腰三角形ABC 中，设∠A =x °，当∠B 有三个不同的度数时，请你探索x 的取值范围.思路分析：已知等腰三角形的一个角，求另一个角，需要分类讨论.对等腰三角形进行讨论时，最好以底角或底边为依据进行分类，这样便于做到既不重复，也不遗漏.因此第（1）问分三种情形：“∠A 为顶角，∠B 为顶角，∠C 为顶角”进行计算即可.第（2）问先以∠A 为钝角、直角、锐角进行分类，当∠A 为锐时，再以“∠A 为顶角，∠B 为顶角，∠C 为顶角”进行探索，最后还要注意应注意排除特殊情况——等边三角形的情形.解答过程：解：（1）当∠A 为顶角时，∠B =2180A∠-︒=50°；当∠B 为顶角时，∠B =180°-2∠A =20°；当∠C 为顶角时，∠B =∠A =80°.综上，∠B =20°或50°或80°. （2）①当90≤x ＜180时，∠A 只能为顶角，故∠B 的度数只有一个；②当0＜x ＜90时，∠A 可能为顶角，也可能为底角.当∠A 为顶角时，∠B =︒-)2180(x；当∠B 为顶角时，∠B =(180-2x ) °；当∠C 为顶角时，∠B =∠A =x °.当2180x -=180-2x 时，x =60；当2180x-=x时，x =60；当180-2x =x 时，x =60.综上，∠B 有三个不同的度数时， x 的取值范围是0＜x ＜90且x =60.。

6.3锐角三角函数-河北省1997-2018年中考数学试题分类汇编(word原题及解析版)

第六部分图形的变化6.3 锐角三角函数【一】知识点清单1、锐角三角函数锐角三角函数的定义；锐角三角函数求值；特殊角的三角函数值；计算器—三角函数（求函数值或锐角）；锐角三角函数的增减性（补充）；同角三角函数的关系（删）；互余两角三角函数的关系（删）2、解直角三角形直角三角形的边角关系；解直角三角形3、解直角三角形的应用解直角三角形的应用；解直角三角形的应用-坡度坡角问题；解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-方向角问题【二】分类试题汇编一、选择题1．（1999年-7题-3分）已知：在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，AD 为BC 边上的高．则下列结论中，正确的是（）A ．AB B ．AD=12AB C ．AD=BD D ．2．（2004年课标卷-9题-2分）已知：如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PO 交⊙O 于点B ，PA=4，OA=3，则cos ∠APO 的值为（）A ．35B ．34C ．43D ．453．（2009年-8题-2分）如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB ，CD 分别表示一楼，二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC 的长是8m ，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是（）A B ．4m C ． D ．8m4．（2013年-14题-3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠C=30°，CD=．则S阴影=（）A．πB．2πC D．2 35．（2013年-16题-3分）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，且AE=EF=FB=5，DE=12动点P从点A出发，沿折线AD﹣DC﹣CB以每秒1个单位长的速度运动到点B停止．设运动时间为t秒，y=S△EPF，则y与t的函数图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题1．（2002年-10题-2分）如图，某建筑物BC直立于水平地面，AC=9米，要建造阶梯AB，使每阶高不超过20 cm，则此阶梯最少要建阶．（最后一阶的高度不足20 cm1.732）2．（2005年课标卷-14题-3分）如图是引拉线固定电线杆的示意图．已知：CD⊥AB，CD=m，∠CAD=∠CBD=60°，则拉线AC的长是m．3．（2006年课标卷/大纲卷-14题-3分）如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PA=∠APO=30°，则⊙O的半径长为．4．（2010年-17题-3分）某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高AO=8米，母线AB与底面半径OB的夹角为α，4tan3α=，则底面积是平方米（结果保留π）．三、解答题1．（1998年-30题-10分）如图所示，一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动，台风中心都属台风区．当轮船到A处时，测得台风中心移到位于点A正南方向B处，且AB=100海里．（1）若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风？若会，试求轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由；（2）现轮船自A处立即提高船速，向位于东偏北30°方向，相距60海里的D港驶去．为使台风到来之到达D≈3.6）？2．（2003年-27题-12分）如图，已知P为∠AOB的边OA上的一点，以P为顶点的∠MPN的两边分别交射线OB于M、N两点，且∠MPN=∠AOB=α（α为锐角）．当∠MPN以点P为旋转中心，PM边与PO重合的位置开始，按逆时针方向旋转（∠MPN保持不变）时，M、N两点在射线OB上同时以不同的速度向右平行移动．设OM=x，ON=y（y＞x＞0），△POM的面积为S．若，OP=2．（1）当∠MPN旋转30°（即∠OPM=30°）时，求点N移动的距离；（2）求证：△OPN∽△PMN；（3）写出y与x之间的关系式；（4）试写出S随x变化的函数关系式，并确定S的取值范围．3．（2004年大纲卷-24题-8分）如图1，一个圆球放置在V型架中．图2是它的平面示意图，CA、CB都是⊙O的切线，切点分别是A、B，如果⊙O的半径为cm，且AB=6cm，求∠ACB．4．（2005年大纲卷-28题-12分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21．动点P从点D出发，沿射线DA的方向，在射线DA上以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C 同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（2）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形；（3）当线段PQ与线段AB相交于点O，且2AO=OB时，求∠BQP的正切值；（4）是否存在时刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．5．（2007年-20题-7分）某段笔直的限速公路上，规定汽车的最高行驶速度不能超过60 km/h（即50 3m/s）．交通管理部门在离该公路100 m处设置了一速度监测点A，在如图所示的坐标系中，点A位于y轴上，测速路段BC在x轴上，点B在点A的北偏西60°方向上，点C在点A的北偏东45°方向上．（1）请在图中画出表示北偏东45°方向的射线AC，并标出点C的位置；（2）点B坐标为，点C坐标为；（3）一辆汽车从点B行驶到点C所用的时间为15 s，请通过计算，判断该汽车在限速公路上是否1.7）6．（2008年-22题-9分）气象台发布的卫星云图显示，代号为W的台风在某海岛（设为点O）的南偏东45°方向的B点生成，测得．台风中心从点B以40km/h的速度向正北方向移动，经5h后到达海面上的点C处．因受气旋影响，台风中心从点C开始以30km/h的速度向北偏西60°方向继续移动．以O为原点建立如图所示的直角坐标系．（1）台风中心生成点B的坐标为，台风中心转折点C的坐标为；（结果保留根号）（2）已知距台风中心20km的范围内均会受到台风的侵袭．如果某城市（设为点A）位于点O的正北方向且处于台风中心的移动路线上，那么台风从生成到最初侵袭该城要经过多长时间？7．（2011年-25题-10分）如图1至图4中，两平行线AB、CD间的距离均为6，点M为AB上一定点．思考如图1，圆心为O的半圆形纸片在AB，CD之间（包括AB，CD），其直径MN在AB上，MN=8，点P为半圆上一点，设∠MOP=α．当α=度时，点P到CD的距离最小，最小值为．探究一在图1的基础上，以点M为旋转中心，在AB，CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图2，得到最大旋转角∠BMO=度，此时点N到CD的距离是．探究二将如图1中的扇形纸片NOP按下面对α的要求剪掉，使扇形纸片MOP绕点M在AB，CD之间顺时针旋转．（1）如图3，当α=60°时，求在旋转过程中，点P到CD的最小距离，并请指出旋转角∠BMO的最大值；（2）如图4，在扇形纸片MOP旋转过程中，要保证点P能落在直线CD上，请确定α的取值范围．（参考数椐：sin49°=34，cos41°=34，tan37°=34．）8．（2012年-26题-12分）如图1和2，在△ABC中，AB=13，BC=14，cos∠ABC=5 13．探究：如图1，AH⊥BC于点H，则AH=，AC=，△ABC的面积S△ABC=；拓展：如图2，点D在AC上（可与点A，C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E，F，设BD=x，AE=m，CF=n（当点D与点A重合时，我们认为S△ABD=0）（1）用含x，m，n的代数式表示S△ABD及S△CBD；（2）求（m+n）与x的函数关系式，并求（m+n）的最大值和最小值；（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围．发现：请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值．9．（2013年-26题-14分）一透明的敞口正方体容器ABCD﹣A′B′C′D′装有一些液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α（∠CBE=α，如图1所示）．探究：如图1，液面刚好过棱CD，并与棱BB′交于点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图2所示．解决问题：（1）CQ与BE的位置关系是，BQ的长是dm；（2）求液体的体积；（参考算法：直棱柱体积V液=底面积S△BCQ×高AB）（3）求α的度数．（注：sin49°=cos41°=34，tan37°=34）拓展：在图1的基础上，以棱AB为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出，图3或图4是其正面示意图．若液面与棱C′C或CB交于点P，设PC=x，BQ=y．分别就图3和图4求y与x的函数关系式，并写出相应的α的范围．延伸：在图4的基础上，于容器底部正中间位置，嵌入一平行于侧面的长方形隔板（厚度忽略不计），得到图5，隔板高NM=1dm，BM=CM，NM⊥BC．继续向右缓慢旋转，当α=60°时，通过计算，判断溢出容器的液体能否达到4dm3．10．（2014年-22题-10分）如图1，A，B，C是三个垃圾存放点，点B，C分别位于点A的正北和正东方向，AC=100米．四人分别测得∠C的度数如下表：他们又调查了各点的垃圾量，并绘制了下列尚不完整的统计图2，图3：（1）求表中∠C度数的平均数x：（2）求A处的垃圾量，并将图2补充完整；（3）用（1）中的x作为∠C的度数，要将A处的垃圾沿道路AB都运到B处，已知运送1千克垃圾每米的费用为0.005元，求运垃圾所需的费用．（注：sin37°=0.6，cos37°=0.8，tan37°=0.75）11．（2015年-26题-14分）平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图1摆放，分别延长DA 和QP交于点O，且∠DOQ=60°，OQ=OD=3，OP=2，OA=AB=1．让线段OD及矩形ABCD位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向开始旋转，设旋转角为α（0°≤α≤60°）．发现：（1）当α=0°，即初始位置时，点P直线AB上．（填“在”或“不在”）求当α是多少时，OQ 经过点B．（2）在OQ旋转过程中，简要说明α是多少时，点P，A间的距离最小？并指出这个最小值；（3）如图2，当点P恰好落在BC边上时，求a及S阴影拓展：如图3，当线段OQ与CB边交于点M，与BA边交于点N时，设BM=x（x＞0），用含x的代数式表示BN的长，并求x的取值范围．探究：当半圆K与矩形ABCD的边相切时，求sinα的值．12．（2016年-25题-10分）如图，半圆O的直径AB=4，以长为2的弦PQ为直径，向点O方向作半圆M，其中P点在AQ上且不与A点重合，但Q点可与B点重合．发现：AP的长与QB的长之和为定值l，求l：思考：点M与AB的最大距离为______，此时点P，A间的距离为______；点M与AB的最小距离为______，此时半圆M的弧与AB所围成的封闭图形面积为______；探究：当半圆M与AB相切时，求AP的长．（注：结果保留π，cos35°cos55°13．（2017年-25题-11分）平面内，如图，在▱ABCD中，AB=10，AD=15，tanA=43，点P为AD边上任意点，连接PB，将PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ．（1）当∠DPQ=10°时，求∠APB的大小；。

2018年全国中考数学真题分类等腰三角形与等边三角形解析版(精品文档)

2018年全国中考数学真题分类等腰三角形与等边三角形（二）一、选择题1. （2018山西省，8题，3分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=60°， AC=6,将△ABC 绕点C 按逆时针方向旋转得到△A'B'C,此时点A'恰好在AB 边上，则点B'与点B 之间的距离为( ) A ．12B ．6C ．6√2D ．6√3【答案】D【解析】解：连接B'B∵ 将△ABC 绕点C 按逆时针方向旋转得到△A'B'C,∴ CA=CA ’又∵ ∠A=60°∴ △AA'C 为等边三角形∴ ∠ACA ’ =60°，即旋转角为60° ∴ ∠BCB ’ =∠ACA ’ =60° ∴ △BB'C 为等边三角形 ∴ BB ’=BC又∵ 在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=60°, AC=6, ∴ BB ’=BC=6√3【知识点】锐角三角函数、旋转、等边三角形2. （2018内蒙古包头，8，3分）如图3，在△ABC 中，AB ＝AC ， △ADE 的顶点D 、E 分别在BC 、AC 上，且∠DAE ＝90°，AD ＝AE .若∠C +∠BAC ＝145°，则∠EDC 的度数为( ) A.17.5° B.12.5° C.12° D.10°【答案】D【思路分析】由∠C+∠BAC＝145°得知∠B＝35°；由AB＝AC得知∠B＝∠C＝35°；由等腰直角三角形的性质可得∠AED＝45°，又∵∠AED＝∠EDC+∠C，∴∠EDC＝45°－35°＝10°.【知识点】等腰三角形的性质；等腰直角三角形的性质；三角形内角和；三角形外角的性质3. （2018云南省昆明市，11，4分）在△AOC中，OB交AC于点D，量角器的摆放如图所示，则∠CDO的度数为（）A． 90° B． 95° C． 100° D．120°【答案】B．【解析】由量角器的摆放可知，∠BOA＝70°，∠COA＝130°，又∵OC＝OA，∴∠A＝∠C＝1 2（180°－130°）＝25°，∵∠BOA＝70°，∠COA＝130°，∴∠COD＝∠COA－∠BOA＝130°－70°＝60°，∴∠CDO＝180°－∠COD－∠C＝180°－60°－25°＝95°，故选B．【知识点】三角形的外角；等腰三角形的性质二、填空题1. （2018广西省桂林市，16，3分）如图，在△ABC中，∠ A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是．【答案】3．【解题过程】∵∠ A ＝36°，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ＝72°，又∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD ＝12∠ABC ＝36°，∴∠BDC ＝∠C ＝72°，∴△BCD 是等腰三角形，又∵∠BDC ＝∠A ＋∠ABD，∴∠A ＝∠ABD ＝36°，∴∴△ABD 是等腰三角形，故有3个等腰三角形．【知识点】等腰三角形的性质和判定；三角形的内角和定理2. （2018黑龙江绥化，18，3分）已知等腰三角形的一个外角为130°，则它的顶角的度数为 . 【答案】50°或80°.【解析】解：当等腰三角形顶角的外角为130°时，顶角为180°-130°=50°；当等腰三角形底角的外角为130°时，顶角为180°-2(180°-130°)=80°. 故答案为50°或80°. 【知识点】等腰三角形的性质3. （2018湖南娄底，16，3）如图，ABC 中，ABAC ，ADBC 于D 点，DEAB 于点E ，BF AC 于点F ，3cm DE ，则BFcm .【答案】6【解析】过点D 作AC DH ⊥，对ABC ∆用等面积法，得到DF=DE+DH ，再三线合一得到AD 是角平分线，进一步得到DE=DH ，故答案为6AAB【知识点】等腰三角形三线合一、等面积法4. （2018吉林长春，12，3分）如图，在ΔABC 中，AB=AC .以点C 为圆心，以CB 长为半径作圆弧，交AC 的延长线于点D ，连结BD .若∠A =32°，则∠CDB 的大小为度.(第12题)【答案】37【解析】∵AB=AC ，∠A =32° ∴∠ACB =(180°－32°)÷2=74° 由尺规作图知，CB=CD ∴∠CBD=∠CDB 又∵∠CBD+∠CDB=∠ACB∴∠CDB =21∠ACB=37°【知识点】等腰三角形，三角形内角和，尺规作图，外角5. （2018吉林省，14, 2分）我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k ，若k=12，则该等腰三角形的顶角为度．【答案】36【解析】根据等腰三角形的性质得出∠B=∠C ，根据三角形内角和定理和已知得出5∠A=180°，求出即可．设顶角为α，则其底角为1-2α︒（180），由k=12，可得1-2α︒（180）=2α，解出α=36°。

2018年全国有关中考数学试题分类汇编(相交线平行线三角形)含解析

2018年全国有关中考数学试题分类汇编（相交线平行线三角形）含解析C . 11D . 125 （2007四川资阳）如图5,已知△ ABC 为直角三角形，/ C=90 °若沿图中虚线剪去/ C ,则/ 1 + / 2等于（）CA. 90 °B. 135C. 270 °D.3156、（ 2007四川资阳）如图 8，在△ ABC 中，已知/ C=90 ° AC = 60 cm ,AB=100 cm , a 、b 、c …是在△ ABC 内部的矩形，它们的一个顶点在 AB 上，一组对边分别在 AC 上或与AC 平行，另一组对边分别在平行.若各矩形在 AC 上的边长相等，矩形的矩形a 、b 、c …的个数是（）DA. 6C. 8 1、于 1、 2、 3、 B 、选择题（2007河北省）如图1,直线a , b 相交于点O ,若/ 1等于40°,则/ 2等（）C A . 50° B . 60° C . 140° D . 160°（2007浙江义乌）如图，点 P 是/ BAC 的平分线 AD 上一点，PE ± AC 于点E . 已知PE=3,则点P 到AB 的距离是（）A A 3B . 4C . 5D . 6（2007重庆）已知一个等腰三角形两内角的度数之比为 1 : 4,则这个等腰三角形顶角的度数为（（A ） 200 （2007浙江义乌） )C(B ) 1200如图，AB// CD / 1=110 (C ) 200或 1200/ ECD=70 , 5、 A 30°（2007天津）下列判断中错误.的是（有两角和一边对应相等的两个三角形全等有两边和一角对应相等的两个三角形全等有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等有一边对应相等的两个等边三角形全等B . 40°.50° )BA. B. C. D. 4、 AD （2007甘肃陇南）如图，在厶ABC 中，DE // BC ,若 —— AB13'DE =4，则 B . 10 BC 上或与BCa 的一边长是72 cm ，则这样B. 7D. 97、（ 2007浙江临安）如图，在△ ABC 中, DE// BC DE 分别与AB AC 相父于点D 、E ,右AD=4 DB=2 则DE ： BC 的值为A.8、（ 2007福建晋江）如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折, 若DE = a ，则下列说法正确的个数有（）C2 O图1 bE36.60°（D ） /E 的大小是（ BC=E方法一（A ）方法「二、填空题（2007广西南宁）如图 1，直线a , b 被直线c 所截，若 a 60（2007云南双柏）等腰三角形的两边长分别为4和9 , .92、为3、（ 2007浙江义乌）如图，在厶ABC 中,点DE 分别是边 ABAC 的中点, 贝U BC=_▲___cm. 124、（ 2007福建福州）如图 5,点D , E 分别在线段 AB , AC 上，BE , CD 相交于点O , AE AD ，要使△ ABE ◎△ ACD ，需添加一个条件是 _____ （只要写一个条件）. 解： B C , AEB ADCAB AC , BD CE （任选一个即可）, CEO BDO25、（2007四川德阳）如图，已知等腰△ ABC 的面积为8cm ，点D ,分别是AB , AC 边的中点，则梯形 DBCE 的面积为 2cm（2007浙江杭州）一个等腰三角形的一个外角等于 110，则这一角形的三个角应该为70 ,70 40 或70 ,55 ,556、个二①DC '平分/ BDE :②BC 长为（.2 2）a ;（③△ B C ' D 是等腰三角形：④厶 CED 的周长等于BC 的长。

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三角形的边与角
一、选择题
1. （2014•山东威海，第9题3分）如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在
BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结
论中不正确的是（）

A． ∠BAC=70° B． ∠DOC=90° C． ∠BDC=35° D． ∠DAC=55°
考点：角平分线的性质；三角形内角和定理
分析：根据三角形的内角和定理列式计算即可求出∠BAC=70°，再根据角
平分线的定义求出∠ABO，然后利用三角形的内角和定理求出
∠AOB再根据对顶角相等可得∠DOC=∠AOB，根据邻补角的定义
和角平分线的定义求出∠DCO，再利用三角形的内角和定理列式计
算即可∠BDC，判断出AD为三角形的外角平分线，然后列式计算
即可求出∠DAC．
解答：解：∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，
∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣50°﹣60°=70°，故A选项
结论正确，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABO=∠ABC=×50°=25°，
在△ABO中，∠AOB=180°﹣∠BAC﹣∠ABO=180°﹣70°﹣25°=85°，
∴∠DOC=∠AOB=85°，故B选项结论错误；
∵CD平分∠ACE，
∴∠ACD=（180°﹣60°）=60°，
∴∠BDC=180°﹣85°﹣60°=35°，故C选项结论正确；
∵BD、CD分别是∠ABC和∠ACE的平分线，
∴AD是△ABC的外角平分线，
∴∠DAC=（180°﹣70°）=55°，故D选项结论正确．
故选B．
点评：本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定
义，熟记定理和概念是解题的关键．
2. （2014•山东临沂,第3题3分）如图，已知l1∥l2，∠A=40°，∠1=60°，则∠2的度数为（）

A． 40° B． 60° C． 80° D．
100°
考点：平行线的性质；三角形的外角性质．
分析：根据两直线平行，内错角相等可得∠3=∠1，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻
的两个内角的和列式计算即可得解．
解答：解：∵l1∥l2，
∴∠3=∠1=60°，
∴∠2=∠A+∠3=40°+60°=100°．
故选D．

点评：本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，
熟记性质并准确识图是解题的关键．

3. （2014•江苏苏州,第6题3分）如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，∠B=80°，
则∠C的度数为（）
A． 30° B． 40° C． 45° D．
60°
考点：等腰三角形的性质
分析：先根据等腰三角形的性质求出∠ADB的度数，再由平角的定义得出∠ADC的度数，根
据等腰三角形的性质即可得出结论．
解答：解：∵△ABD中，AB=AD，∠B=80°，
∴∠B=∠ADB=80°，
∴∠ADC=180°﹣∠ADB=100°，
∵AD=CD，
∴∠C===40°．
故选B．
点评：本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键．

4．（2014•福建福州,第6题4分）下列命题中，假命题．．．是【】
A．对顶角相等 B．三角形两边和小于第三边
C．菱形的四条边都相等 D．多边形的内角和等于360°

4.
5.
6.
7.
8.
二、填空题
1. （2014•山东威海，第15题3分）直线l1∥l2，一块含45°角的直角三角板如图放置，∠1=85°，
则∠2= 40° ．

考点：平行线的性质；三角形内角和定理
分析：根据两直线平行，同位角相等可得∠3=∠1，再根据三角形的一个外角等
于与它不相邻的两个内角的和求出∠4，然后根据对顶角相等解答．
解答：解：∵l1∥l2，
∴∠3=∠1=85°，
∴∠4=∠3﹣45°=85°﹣45°=40°，
∴∠2=∠4=40°．
故答案为：40°．

点评：本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角
的和的性质，熟记性质是解题的关键．
2．（2014•湖南怀化，第15题，3分）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，延长BC到D，
则∠ACD= 80 °．
考点：三角形的外角性质．
分析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
解答：解：∵∠A=30°，∠B=50°，
∴∠ACD=∠A+∠B=30°+50°=80°．
故答案为：80．
点评：本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，熟记性质是解题的关
键．

3. （2014•江苏盐城,第14题3分）如图，A、B两地间有一池塘阻隔，为测量A、B两地的
距离，在地面上选一点C，连接CA、CB的中点D、E．若DE的长度为30m，则A、B两地
的距离为 60 m．

考点：三角形中位线定理．
专题：应用题．
分析：根据三角形中位线求出AB=2DE，代入求出即可．
解答：解：∵D、E分别是AC、BC的中点，DE=30m，
∴AB=2DE=60m
故答案为：60．
点评：本题考查了三角形的中位线的应用，注意：三角形的中位线平行于第三边，并且等于
第三边的一半．
4．（2014•广州,第11题3
分）中，已知，，则的外角的度数

是_____．
【考点】三角形外角
【分析】本题主要考察三角形外角的计算，，则的外角为

【答案】
5．（2014•广州,第12题3分）已知是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB
，

垂足分别为点，，则PE的长度为_____．
【考点】角平线的性质
【分析】角平分线上的点到角的两边距离相等．
【答案】
10